Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce
|
|
|
- Markéta Soukupová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce Petra Surynková Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze petra.surynkova@mff.cuni.cz
2 Přehled (1) Princip rekonstrukce ploch technické praxe z mračna bodů Bodová fáze příprava a předzpracování Polygonální reprezentace Tvarová fáze segmentace, aproximace oblasti daným typem plochy Hraniční reprezentace Polygonální reprezentace příklady v programu Rhinoceros Analytická reprezentace Analytická vyádření hraničně reprezentovaných obektů Bézierovy plochy Racionální Bézierovy plochy Plátování Příklady ploch 1 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
3 Přehled (2) Aproximace ploch Bézierovými pláty Body vstupní množiny tvoří pravidelnou mřížku Body vstupní množiny sou rozmístěny náhodně Programová demonstrace Další vylepšování tvaru aproximuící plochy Princip evoluce křivek Evoluce uzavřených a otevřených B-spline křivek Princip evoluce ploch Evoluce Bézierových ploch Programová demonstrace Závěr a budoucí práce 2 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
4 Rekonstrukce ploch (1) Digitální dokumentace reálných povrchů rekonstrukce ploch e využívána v řadě odvětvích vědy a průmyslu dokumentace soch a památek, architektura, stavitelství, design,... vytvoření CAD modelu z daného mračna bodů body v prostoru, v obecné úloze známe en prostorové souřadnice Bodová fáze příprava a předzpracování mračna bodů získáváme 3D skenováním reálných povrchů nutné počítat s nepřesností v měření skenování se provádí vícekrát z různých stanovišť, ednotlivé,,skeny se následně slučuí ve výsledném mračnu bodů mohou být redundantní data nutné odstranit ztenčuící algoritmy (thinnig algorithms) 3 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
5 Tvarová fáze převod troúhelníkové sítě do CAD reprezentace implicitní nebo parametrické vyádření ploch segmentace detekce a rozdělení na oblasti s,,rozdílnou geometrií t. nalezení rovinné oblasti, části válcových ploch nebo obecné plochy (freeform patches) není ednoduché aproximace oblasti typem plochy určeného při segmentaci (surface fitting) 4 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 Rekonstrukce ploch (2) Polygonální reprezentace celá řada algoritmů využívaící dělení prostoru základem Voronoiovy diagramy, Delaunay triangulace výsledkem těchto metod bývá velice často troúhelníková síť aproximuící zadanou množinu bodů velice komplikovaný problém, dosud neexistuí uspokoivé univerzální řešící postupy př.: α shapes, crust algorithm, cocone algorithms
6 Rekonstrukce ploch (3) Model proektu Frank O. Gehry, Walt Disney Concert Hall digitální rekonstrukce fyzického modelu přináší účinný prostředek v proektování 5 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
7 Walt Disney Concert Hall, Frank O. Gehry - Los Angeles, USA
8
9
10 Hraniční reprezentace (1) Polygonální reprezentace edna z nečastěi používaných reprezentací obektů v počítačové grafice základním prvkem nečastěi troúhelník, někdy čtyřúhelník nebo mnohoúhelníky (nutné určovat konvexitu) polygon e nečastěi reprezentován pouze svými vrcholy pořadí vrcholů a tudíž i pořadí eho stran určue orientaci celého polygonu při rekonstrukci ploch vstupem množina bodů, známe prostorové souřadnice, obecně nevíme nic dalšího díky polygonální reprezentaci, určíme návaznost bodů vstupní množiny de o vygenerování prvotního povrchu plochy, který se dále zpracovává 6 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
11 Hraniční reprezentace (2) Polygonální reprezentace příklady troúhelníkové sítě 7 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
12 Hraniční reprezentace (3) Polygonální reprezentace příklady reálných dat a eich troúhelníkových sítí 8 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
13 9 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
14 10 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
15 11 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
16 Ukázka troúhelníkových sítí naskenovaných reálných obektů Využití modelovacích funkcí a nástroů v programu Rhinoceros 12 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
17 Hraniční reprezentace (4) Analytická reprezentace rozsáhlá teorie diferenciální geometrie křivek a ploch nečastěi parametrický popis, implicitní popis (méně) výhody základní předností analytického vyádření ploch e eho přesnost například v architektuře vysoce žádoucí analytické vyádření ploch umožňue měřit povrch plochy lze poměrně snadno editovat lze měnit tvar plochy s plochami lze provádět různé operace dělení nebo průniky parametricky vyádřené funkce sou ednoduše diferencovatelné obekty takto popsané se snadno navazuí 13 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
18 Hraniční reprezentace (5) v analytické formě bývá obtížné (někdy dokonce nemožné) vyádřit složitý obekt ako celek složité obekty proto popisueme parametricky ako obekty složené z ednodušších částí vytváření výsledných obektů napoováním ploch tzv. plátů se v počítačové grafice označue ako plátování k popisu ploch technické praxe budeme používat Bézierovy a racionální Bézierovy plochy definice, speciální příklady, které lze v rekonstrukci povrchů využít napoování Bézierových plátů 14 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
19 Bézierovy plochy (1) Bézierova plocha stupně e určena ( m1) ( n1) m n i0 0 mn řídícími body a vztahem m n Q( u, v) P B ( u) B ( v), u 0,1, v 0,1 i i bázové funkce k-tého stupně B ( t), k n, m k i sou Bernsteinovy polynomy k i k i ( ) k (1 ) Bi t t t i t 0,1, i 0,1,..., k 15 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
20 Bézierovy plochy (2) Bézierova plocha stupně mn Bézierova plocha prochází rohovými body sítě a okraové křivky plochy sou Bézierovými křivkami pro okrae sítě tečná rovina v bodě podobně pro další rohové body P00 e určena body P00, P10, P01 Q(0,0) P Q(0,1) P Q(1,0) P Q(1,1) P 00 0n m0 mn okraová křivka např.: n n Q(0, v) P0 B ( v) 0 16 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
21 Bézierovy plochy (3) Bézierova plocha stupně mn P m0 P 00 P mn P 0n 17 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
22 Bézierovy plochy (4) Bézierova plocha stupně mn P m0 P 00 P mn n n Q(0, v) P0 B ( v) 0 P 0n m m Q( u,1) Pin Bi ( u) 18 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 i0
23 Bézierovy plochy (5) Bézierova plocha stupně mn křivky plochy a eich řídící polygony 19 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
24 Bézierovy plochy (6) Bézierova plocha stupně mn křivky plochy a eich řídící polygony 20 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
25 Bézierovy plochy (7) Bézierova bikubická plocha m3, n Q( u, v) Pi Bi ( u) B ( v), u 0,1, v 0,1 i ( ) (1 ) P00 P01 P02 P03 B t t B ( t) 3 t(1 t) B ( t) 3 t (1 t) B () t t M B T T 3 2 (, ) 1 T Q u v UM BPM BV u u u M BPM B v P P P P P P P P P P P P P 3 v v Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
26 Bézierovy plochy (8) Bézierova bikubická plocha m3, n3 v Matlabu nepočítáme se symbolickými proměnnými plně využíváme podporu počítání s maticemi určueme matici kořenů Bernsteinových polynomů určueme matici koeficientů Bernsteinových M B polynomů z kořenů Bernsteinových polynomů umíme zpětně určit koeficienty polynomů dále vyhodnocueme Bernsteinovy polynomy v hodnotách parametrů u a v u, v reprezentovány ako vektory, vyhodnocení Bern. pol. ukládáme do matic Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 M B
27 Bézierovy plochy (9) Plátování měme dva Bézierovy pláty první z nich e určen sítí řídících bodů Qi, i 0,..., s; 0,..., n druhý e určen sítí řídících bodů Ri, i 0,..., t; 0,..., n počet bodů ve směru v e stený pro oba pláty a e roven n pláty navazueme ve směru u Napoení C 0 QR, pláty maí společnou stranu, t. Q( u,1) R(0, v), toho docílíme ztotožněním řídících bodů, které určuí příslušnou stranu t. pláty maí společnou hraniční lomenou čáru a různé příčné tečné vektory Q, 0,..., s R0 n 23 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
28 Bézierovy plochy (10) Napoení 0 C 24 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
29 Bézierovy plochy (11) Napoení C 1 1 pokud společná strana plátů e C spoitá a sou-li identické příčné tečné vektory ve směru u podél této strany 1 t. shoda C spoité strany a splnění následuící vztahu pro body řídících polygonů obou plátů Q, 0,..., s Qs 1 R1 R0 n řídící body společné strany plátů leží ve středu úseček, které spouí vždy předposlední bod řídícího polygonu plátu R ve směru u s druhým bodem plátu Q ve steném směru 1 G spoitost pokud e splněna lineární závislost s koeficientem k>0 Qs Qs 1 k R1 R0, 0,..., n 25 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
30 Bézierovy plochy (12) Napoení 1 C 26 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
31 Bézierovy plochy (13) Napoení 0 C 27 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
32 Bézierovy plochy (14) Napoení 1 C 28 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
33 Bézierovy plochy (15) Speciální příklady Bézierových ploch bilineární Bézierova plocha t. m1, n1 e určena 2x2 řídícími body u-křivky a v-křivky sou pouze úsečky výpočtem lze dokázat, že tímto způsobem lze nadefinovat pouze část roviny (pokud řídící body leží v edné rovině) nebo část hyperbolického paraboloidu P 10 P 11 P 01 P Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
34 Bézierovy plochy (16) Speciální příklady Bézierových ploch P 11 hyperbolický paraboloid ako bilineární Bézierova ploch P P00 30 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P
35 Bézierovy plochy (17) Speciální příklady Bézierových ploch Bézierova plocha mn, kde m 1 výpočtem lze dokázat, že tímto způsobem dostáváme přímkové plochy P 15 P 04 P 11 P 12 P 02 P 00 P 03 P 10 P Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 01
36 Bézierovy plochy (18) Speciální příklady Bézierových ploch Bézierova plocha mn, kde m 1 při speciální volbě řídících bodů válcová plocha P 10 P 12 P 14 P 00 P 02 P 04 P 01 P 03 P Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 05
37 Bézierovy plochy (19) Speciální příklady Bézierových ploch Bézierova plocha mn, kde m 1 při speciální volbě řídících bodů kuželová plocha P10 P11 P12 P13 P14 P15 P 00 P 02 P 04 P 01 P Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 05
38 Bézierovy plochy (20) Speciální příklady Bézierových ploch Bézierova plocha mn, kde m2, n2 další speciální volby hyperbolický paraboloid P 10 P 12 P 20 P 22 P 11 P 00 P 21 P 02 P Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
39 Racionální Bézierovy plochy (1) K řídícím bodům sou přiřazeny tzv. váhy estliže sou všechny váhy rovny edné, přechází racionální Bézierova plocha v Bézierovu plochu racionální Bézierovy plochy sou zobecněním Bézierových ploch dovoluí přesný popis kvadrik, lze popsat více speciálních ploch vychází z toho, že kromě paraboly nelze Bézierovými křivkami popsat kuželosečky pro modelování k dispozici další parametry, měníme tvar plochy bez změny řídících bodů Q( u, v) u m n i0 0 m n i0 0 m n w P B ( u) B ( v) i i i m n w B ( u) B ( v) i i 0,1, v 0,1 35 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 w i
40 Racionální Bézierovy plochy (2) P Speciální příklady racionálních Bézierových ploch př. ¼ rotační válcové plochy r,0,0 P r,0, v P P P P r, r,0 r, r, v 0, r,0 0, r, v w w w w w w v výška, r poloměr válce P P Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 10 P 12 P 02 P 11
41 Racionální Bézierovy plochy (3) Speciální příklady racionálních Bézierových ploch př. 1/16 anuloidu P00 0, R, r w00 1 P10 R, R, r 2 w10 2 P R,0, r w P 0, R r, r P R r, R r, r P R r,0, r P 0, R r,0 P R r, R r,0 P R r,0,0 w w w w w w r, R poloměr kružnic P P P 02 P 10 P 20 P Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 22 P 11 P 12
42 Racionální Bézierovy plochy (4) Speciální příklady racionálních Bézierových ploch př. 1/8 koule P00 0,0, r w00 1 P10 r,0, r w P20 r,0,0 w 1 P P P P P P ,0, r r, r, r r, r,0 0,0, r 0, r, r 0, r,0 w w w w w w P P P r - poloměr koule P 11 P 10 P 21 P Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 P 22 P 12
43 Programová demonstrace Ukázka obecných racionálních Bézierových plátů v prostředí Matlab 39 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
44 Aproximace ploch Bézierovými pláty (1) Vstupní množina body v prostoru, známe pouze souřadnice Zednodušení body tvoří v půdoryse pravidelnou obdélníkovou mřížku Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
45 Aproximace ploch Bézierovými pláty (2) Vstupní množina body v prostoru, známe pouze souřadnice Zednodušení body tvoří v půdoryse pravidelnou obdélníkovou mřížku známe m n X ( u, v) P B ( u) B ( v), u 0,1, v 0,1 i0 0 bodům přiřadíme parametry podle mřížky m n m n t. X ( u, v ) P B ( u ) B ( v ) m n i i hledáme k l i i k l i Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011, u v k l 0,,,,,, ,,,,,
46 Aproximace ploch Bézierovými pláty (3) mn stupeň plochy volíme podle toho, zda chceme plochu interpolovat nebo aproximovat pokud máme o ploše další informace např. de o body klenby, můžeme předpokládat nízký stupeň plochy, nebo stupeň dokonce známe hledáme řídící body ve smyslu metody nemenších P i čtverců využíváme funkcí Matlabu k řešení přeurčené soustavy rovnic edna rovnice soustavy m m m n n n X ( u, v ) B ( u ), B ( u ),..., B ( u ) P B ( v ), B ( v ),..., B ( v ) k l k k m k l l n l T 42 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
47 Aproximace ploch Bézierovými pláty (4) výsledná aproximuící plocha 43 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
48 Aproximace ploch Bézierovými pláty (5) Vstupní množina body v prostoru, známe pouze souřadnice Obecné body netvoří v půdoryse pravidelnou mřížku Rekonstrukce ploch 4-1 Petra Surynková, 2011
49 Aproximace ploch Bézierovými pláty (6) Vstupní množina body v prostoru, známe pouze souřadnice Obecné body netvoří v půdoryse pravidelnou mřížku bodům přiřadíme parametry podle přeškálování určueme body s minimální a maximální x-ovou a y-ovou souřadnicí kvůli nepravidelnosti vstupní množiny e nutné body přeuspořádat do matic opět stupeň plochy volíme mn x min y max x max hledáme řídící body nemenších čtverců P i ve smyslu metody Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011 y min
50 Aproximace ploch Bézierovými pláty (7) výsledná aproximuící plocha 46 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
51 Programová demonstrace Ukázka aproximace Bézierovými pláty v prostředí Matlab 47 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
52 Další vylepšování tvaru (1) Snaha přinést do zpracování rekonstrukce povrchů nové metody Poem postupného vylepšování tvaru vysvětlíme na křivkách ukázka evoluce uzavřených a otevřených B-spline křivek Cílem e vhodně aproximovat zadanou množinu bodů v rovině daným typem křivky zvolená metoda e evoluce Podstata evoluce postupný vývo křivky od istého počátečního tvaru a polohy křivka e tomuto procesu podrobena do té doby, dokud nesplňue něaké předem dané kritérium zde, dokud neprochází body vstupní množiny (nebo vhodně aproximue vstupní množinu bodů) 48 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
53 Další vylepšování tvaru (2) dána množina bodů p 1.. N v rovině cílem e proložit tyto body křivkou výslednou křivku hledáme tak, aby byla splněna podmínka N 1 min x c p x 2 min, kde x značí body na křivce p 49 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
54 Další vylepšování tvaru (3) měme parametricky popsanou křivku m c( u) B ( u) V i0 u i a, b c ( u) : c( s, u) označme s v reprezentaci křivky se obevuí dva rozdílné parametry i u Vi B i parametr křivky řídící body křivky bázové funkce vektor parametrů s ( s 1, s2,..., s n ) s n N 1 min p c ( u ) min u s 2 s sou x-ové a y-ové souřadnice řídících bodů 50 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
55 Další vylepšování tvaru (4) hledáme vektor parametrů křivku nechť vektor parametrů závisí na dalším parametru t evoluční parametr parametr t můžeme chápat ako čas s( t) s ( t), s ( t),..., s ( t) 1 2 s ( s 1, s2,..., s n ), který definue tyto parametry sou v čase modifikovány tak, že se počáteční křivka mění a pohybue stále blíž k daným bodům n n n 102 s (( tt ) s ( t ), s ( t ),..., s( t( t) ) 51 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
56 Další vylepšování tvaru (5) ak e řízen pohyb pro každý bod p 1.. křivce f c( u ) během evoluce se body N vstupní množiny spočítáme nebližší bod na f pohybuí k bodům vstupní množiny rychlostí nebo c ( u ) v u c u s n s s ( ) s ( ) i i1 si normálovou rychlostí Τ n ( ) Τ cs u s s i s i1 si v ( u ) n ( u ) s n ( u ) 52 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
57 Další vylepšování tvaru (6) ak e řízen pohyb ns( u) značí ednotkovou normálu křivky v bodě označíme: d : p f chceme minimalizovat c ( u ) s N 1 T v ( u ) d n ( u ) min s s 2 s f p 53 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
58 Další vylepšování tvaru (7) ak e řízen pohyb ns( u) značí ednotkovou normálu křivky v bodě označíme: d : p f chceme minimalizovat c ( u ) s 2 v s u d ns u vs u d ( ) ( ) ( ) min 1 1 u { a, b} u { a, b} N T N 2 s f p 54 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
59 Další vylepšování tvaru (8) ak e řízen pohyb ns( u) značí ednotkovou normálu křivky v bodě označíme: d : p f chceme minimalizovat c ( u ) s v s u d ns u vs u d 1 1 u { a, b} u { a, b} N výsledkem 1 2 aktualizueme vektor parametrů T 2 ( ) ( ) ( ) min s, s,..., s n N s1 s1, s2 s2,..., s n s n 55 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, s
60 Programová demonstrace Ukázka evoluce uzavřených a otevřených B-spline křivek v prostředí Matlab 56 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
61 Další vylepšování tvaru (9) dána množina bodů p 1.. N v prostoru cílem e proložit tyto body plochou výslednou plochu hledáme tak, aby byla splněna podmínka N 1 min x c p x 2 min, kde x značí body na ploše p 57 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
62 Další vylepšování tvaru (10) dána množina bodů p 1.. N v prostoru cílem e proložit tyto body plochou výslednou plochu hledáme tak, aby byla splněna podmínka N 1 min x c p x 2 min, kde x značí body na ploše p 58 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
63 Další vylepšování tvaru (11) vstupní množina bodů v prostoru 59 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
64 Další vylepšování tvaru (12) počáteční poloha a tvar plochy 60 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
65 Další vylepšování tvaru (13) evoluce v čase 61 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
66 Další vylepšování tvaru (14) evoluce v čase 62 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
67 Další vylepšování tvaru (15) evoluce v čase 63 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
68 Další vylepšování tvaru (16) výsledná plocha 64 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
69 Další vylepšování tvaru (17) výsledná plocha s řídící sítí V [ s, s, s ] i p q r V i - body, které sou v čase t modifikovány 65 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
70 Další vylepšování tvaru (18) Princip postupného vývoe tvaru e analogický pro plochy de ale o mnohem komplikovaněší problém to e také důvod, proč počáteční polohu a tvar plochy nevolíme zcela libovolně, ale vycházíme z prvotní aproximace Aproximace e sama o sobě velmi spolehlivou metodou navíc i lze využít identifikaci nesprávných bodů ve vstupní množině protože vycházíme z aproximace metodou nemenších čtverců, nelze iž plochu v tomto směru vylepšovat plocha v lokálním minimu volíme iné funkční závislosti vylepšueme tvar plochy tak, aby lépe aproximovala danou množinu bodů 66 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
71 Další vylepšování tvaru (19) K daným bodům množiny se plochou přibližueme minimalizací chybové funkce chybová funkce např. vyadřue součet vzdáleností bodů vstupní množiny od nebližších bodů na ploše lze použít i iné funkce např. radiální bázové funkce spoité, diferencovatelné Minimalizace chybové funkce výpočet parciálních derivací aktualizace řídících bodů plochy P _ akt P _ poc 1 x x parc _ der _ x 67 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
72 Další vylepšování tvaru (20) Jiný přístup po aproximaci Bézierovou plochou přecházíme k racionální parametrizaci Další tvar plochy vylepšueme změnou vah řídících bodů minimalizueme opět chybovou funkci, ale tentokrát aktualizueme váhy řídících bodů řídící body zůstávaí na místě nemění se stupeň plochy modifikue se tvar plochy Použití ak pro funkci vzdáleností tak pro radiální funkce 68 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
73 Další vylepšování tvaru (21) Radiální funkce volba bodu v mračnu bodů (ve vstupní množině) váha ostatních bodů v mračnu e vůči zvolenému bodu vyádřena radiální funkcí např. vaha( x, y, z) 1 r( ) - vyadřue vzdálenost bodu v mračnu od zvoleného bodu (eukl.) r - radiální funkce, N - počet bodů mračna N chybova _ funkce nem _ vzdal _ k _ plose( x, y, z ) vaha( x, y, z ) i1 2 i i i i i i ( ) např. r( ) e chybová funkce závisí na řídících bodech nebo na eich vahách 69 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
74 Programová demonstrace Ukázka postupného vylepšování tvaru Bézierovy plochy v prostředí Matlab 70 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
75 Závěr a budoucí práce V budoucí práci se zaměříme na použití dalších typů ploch k rekonstrukci povrchů B-spline a NURBS plochy Bézierovy plochy nevýhodné při změně řídícího bodu, změna celé plochy, proto použití racionálních Bézierových ploch eich implementace, použití k aproximaci Další vylepšování tvaru plochy použití iných chybových funkcí další radiální bázové funkce interaktivní přístup možnost vybrat, ke kterým bodům se přiblížíme 71 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
76 Závěr a budoucí práce Další vylepšování tvaru plochy přidání vah k bodům mračna t. vybírání důležitých bodů po aproximaci přeít k racionální parametrizaci a k plátování racionální parametrizace - hotové zvýšení stupně plochy ne vždy výhodné, může vzniknout nežádoucí vlnění Další zpracování dat z 3D skenerů Vizualizace výsledků v programu Rhinoceros 72 Rekonstrukce ploch Petra Surynková, 2011
Rekonstrukce ploch: Polygonální a analytická reprezentace Vybrané metody aproximace ploch
Rekonstrukce ploch: Polygonální a analytická reprezentace Vybrané metody aproximace ploch Petra Surynková Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled (1)
Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce
Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled Evoluce křivek princip evoluce použití evoluce křivky ve
Plochy zadané okrajovými křivkami
Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát plocha je určena dvěma okrajovými křivkami, pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci
Základní vlastnosti ploch
plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie
Plochy počítačové grafiky II. Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS
II Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS Konstrukce a zadání plochy hraniční křivky sítí bodů Kinematicky vytvořené křivky
Křivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 5. října 2016 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 5. října 2016 1 / 14 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 2. října 2018 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 2. října 2018 1 / 15 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
Bézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
Bézierovy křivky Bohumír Bastl (bastl@kma.zcu.cz) KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26 Opakování Interpolace
Digitální rekonstrukce povrchů z mračna bodů
Digitální rekonstrukce povrchů z mračna bodů Petra Surynková, Šárka Voráčová Faculty of Mathematics and Physics, Charles University in Prague Sokolovská 83, 186 75 Praha 8, Czech Republic email: petra.surynkova@mff.cuni.cz,
Počítačová grafika RHINOCEROS
Počítačová grafika RHINOCEROS Ing. Zuzana Benáková Základní otázkou grafických programů je způsob zobrazení určitého tvaru. Existují dva základní způsoby prezentace 3D modelů v počítači. První využívá
Kristýna Bémová. 13. prosince 2007
Křivky v počítačové grafice Kristýna Bémová Univerzita Karlova v Praze 13. prosince 2007 Kristýna Bémová (MFF UK) Křivky v počítačové grafice 13. prosince 2007 1 / 36 Pojmy - křivky a jejich parametrické
Elementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
KMA/GPM Barycentrické souřadnice a
KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009 1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické
KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od
KŘIVKY A PLOCHY JANA ŠTANCLOVÁ jana.stanclova@ruk.cuni.cz Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK Obsah matematický popis křivek a ploch křivky v rovině implicitní tvar
Zobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování
problematika geometrického modelování manifold, Eulerova rovnost základní typy modelů hranový model stěnový model objemový model datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování těleso
5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)
5. PLOCHY V POČÍAČOVÉ GRAFICE Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět popsat plochy používané v počítačové grafice řešit příklady z praxe, kdy jsou použity plochy Výklad Interpolační plochy - plochy,
Základní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
Aproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming
Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace
POČÍTAČOVÁ GRAFIKA - PGR 2012037 2014 2015 PROGRAM PŘEDNÁŠEK. Po 9:00-10:30, KN:A-214
PROGRAM PŘEDNÁŠEK Po 9:00-10:30, KN:A-214 1P 16. 2. Křivky definice, analytické vyjádření. Bézierova křivka definice, vlastnosti, odvození Bernsteinových polynomů, de Castejlau algoritmus. 2P 23. 2. Spojitost
Voronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
12 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Definice V( P) nad množinou bodů P { p v rovině 1,
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 000/00 Michal Marvan 3. Matice lineárního zobrazení V této přednášce budeme používat indexy dvoího druhu:
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Aproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming
Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Další plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Výpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2008 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Josef.Pelikan@mff.cuni.cz NPGR004, intersection.pdf 2008 Josef Pelikán, http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Výpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2018 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Intersection 2018 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 26 Průsečík
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
![Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].](/thumbs/91/104981778.jpg "Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].")
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33
Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33 Motivace Motivace 3-osé obrábění motivaci k zavedení offsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou,
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Radek Výrut VÝPOČET MINKOWSKÉHO SUMY VE 2D A 3D Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského
ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
15. listopadu Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta. Hermitovská interpolace
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Hermitovská interpolace 15. listopadu 2017 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 15. listopadu 2017 1 / 23 Hermiteovská
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Elementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace
Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární
Aproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
CZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE
3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou
Vzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/ III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická geometrie
SEZNAM ANOTACÍ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Označení sady DUM Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická
Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
GIS Geografické informační systémy
GIS Geografické informační systémy Obsah přednášky Prostorové vektorové modely Špagetový model Topologický model Převody geometrií Vektorový model Reprezentuje reálný svět po jednotlivých složkách popisu
37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
Základní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
9 Prostorová grafika a modelování těles
9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy
NURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Karolína Kundrátová NURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE Abstrakt Parametrizace křivek jako NURBS (tj. neuniformní racionální B-spliny) patří k moderním postupům
3. SB 3. SC. Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá žádný nevlastní bod. Tímto obrazem je křivka zvaná elipsa.
Kružnice ve středové kolineaci v rovině. I AB o. IA ' 3. SB 4. B' SB IA'. II AC o. IIA ' 3. SC 4. C' SC IIA' Kružnice ve středové kolineaci v rovině Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá
Robotické architektury pro účely NDT svarových spojů komplexních potrubních systémů jaderných elektráren
Robotické architektury pro účely NDT svarových spojů komplexních potrubních systémů jaderných elektráren Projekt TA ČR č. TA01020457: Výzkum, vývoj a validace univerzální technologie pro potřeby moderních
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
HVrchlík DVrchlík. Anuloid Hrana 3D síť
TVORBA PLOCH Plochy mají oproti 3D drátovým modelům velkou výhodu, pro snadnější vizualizaci modelů můžeme skrýt zadní plochy a vytvořit stínované obrázky. Plochy dále umožňují vytvoření neobvyklých tvarů.
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:
Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje
Triangulace. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
11 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Význam triangulace trojúhelník je základní grafický
Typy geometrie v. Rhinu. Body
Typy geometrie v 16 Rhinu Rhino rozeznává pět základních typů geometrie: body (points), křivky (curves), plochy (surfaces) a spojené plochy (polysurfaces). Navíc jsou plochy nebo spojené plochy, které
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
![obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].](/thumbs/59/44051949.jpg "obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].")
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
Funkce dvou proměnných
Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
ρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů)
Učební text k přednášce UFY Světlo v izotropním látkovém prostředí Maxwellovy rovnice v izotropním látkovém prostředí: B rot + D rot H ( r, t) div D ρ rt, ( ) div B a materiálové vztahy D ε pro dielektrika
Matematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020
Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 Zbyněk Šír Matematický ústav UK Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 1 / 18 O čem předmět bude Chceme podat teoretický základ nezbytný