Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce

Transkript

1 Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz

2 Přehled Evoluce křivek princip evoluce použití evoluce křivky ve statistice návrh metody hledání hloubkové kontury metodou postupné evoluce ukázky evoluce uzavřených B-spline křivek v Matlabu Evoluce ploch princip evoluce využití evoluce při rekonstrukci ploch digitální rekonstrukce reálných povrchů některé metody rekonstrukce ploch

3 Princip postupný vývo křivky od istého počátečního tvaru a polohy k bodům vstupním množiny postupnému vývoi e křivka podrobena do té doby, dokud nesplňue něaké předem dané kritérium zde evoluce zastavena v okamžiku, kdy křivka vhodně aproximue vstupní množinu bodů

4 dána množina bodů p 1.. N v rovině cílem e proložit tyto body křivkou primárně e evoluce používána k aproximaci výslednou křivku hledáme tak, aby byla splněna podmínka N 1 min x c p x 2 min, kde x značí body na křivce p

5 měme parametricky popsanou křivku m c( u) B ( u) V i0 u i a, b c ( u) : c( s, u) označme s v reprezentaci křivky se obevuí dva rozdílné parametry i u Vi B i parametr křivky řídící body křivky bázové funkce su, vektor parametrů s ( s 1, s2,..., s n ) s n N 1 min p c ( u ) min u s 2 s sou x-ové a y-ové souřadnice řídících bodů

6 hledáme vektor parametrů, který definue křivku nechť vektor parametrů závisí na dalším parametru t evoluční parametr parametr t můžeme chápat ako čas 1 2 s ( s 1, s2,..., s n ) s( t) s ( t), s ( t),..., s ( t) tyto parametry sou v čase modifikovány tak, že se počáteční křivka mění a pohybue stále blíž k daným bodům n

7 hledáme vektor parametrů, který definue křivku nechť vektor parametrů závisí na dalším parametru t evoluční parametr parametr t můžeme chápat ako čas 1 2 s ( s 1, s2,..., s n ) s( t) s ( t), s ( t),..., s ( t) tyto parametry sou v čase modifikovány tak, že se počáteční křivka mění a pohybue stále blíž k daným bodům n s( t ) s ( t ), s ( t ),..., s ( t ) n 0

8 hledáme vektor parametrů, který definue křivku nechť vektor parametrů závisí na dalším parametru t evoluční parametr parametr t můžeme chápat ako čas 1 2 s ( s 1, s2,..., s n ) s( t) s ( t), s ( t),..., s ( t) tyto parametry sou v čase modifikovány tak, že se počáteční křivka mění a pohybue stále blíž k daným bodům n s( t ) s ( t ), s ( t ),..., s ( t ) n 1

9 hledáme vektor parametrů, který definue křivku nechť vektor parametrů závisí na dalším parametru t evoluční parametr parametr t můžeme chápat ako čas 1 2 s ( s 1, s2,..., s n ) s( t) s ( t), s ( t),..., s ( t) tyto parametry sou v čase modifikovány tak, že se počáteční křivka mění a pohybue stále blíž k daným bodům n s( t ) s ( t ), s ( t ),..., s ( t ) n 2

10 hledáme vektor parametrů, který definue křivku nechť vektor parametrů závisí na dalším parametru t evoluční parametr parametr t můžeme chápat ako čas 1 2 s ( s 1, s2,..., s n ) s( t) s ( t), s ( t),..., s ( t) tyto parametry sou v čase modifikovány tak, že se počáteční křivka mění a pohybue stále blíž k daným bodům n s( t ) s ( t ), s ( t ),..., s ( t ) 1 2 n

11 ak e řízen pohyb pro každý bod p 1.. křivce f c( u ) během evoluce se body N vstupní množiny spočítáme nebližší bod na f pohybuí k bodům vstupní množiny rychlostí nebo c ( u ) v u c u s n s s ( ) s ( ) i i1 si normálovou rychlostí Τ n ( ) Τ cs u s s i s i1 si v ( u ) n ( u ) s n ( u )

12 ak e řízen pohyb ns( u) značí ednotkovou normálu křivky v bodě označíme: d : p f chceme minimalizovat c ( u ) s N 1 T v ( u ) d n ( u ) min s s 2 s f p

13 ak e řízen pohyb ns( u) značí ednotkovou normálu křivky v bodě označíme: d : p f chceme minimalizovat c ( u ) s 2 v s u d ns u vs u d ( ) ( ) ( ) min 1 1 u { a, b} u { a, b} N T N 2 s f p

14 ak e řízen pohyb ns( u) značí ednotkovou normálu křivky v bodě označíme: d : p f chceme minimalizovat c ( u ) s v s u d ns u vs u d 1 1 u { a, b} u { a, b} N výsledkem 1 2 aktualizueme vektor parametrů T 2 ( ) ( ) ( ) min s, s,..., s n N s1 s1, s2 s2,..., s n s n 2 s

15 vstupní množina bodů v rovině

16 počáteční poloha a tvar křivky

17 evoluce v čase

18 evoluce v čase

19 evoluce v čase

20 výsledná křivka

21 výsledná křivka s řídícím polygonem V [ s, s ] i p q V i - body, které sou v čase t modifikovány

22 Použití evoluce křivek ve statistice rozbor statistických dvourozměrných dat hledání hloubkové kontury metodou postupné evoluce nově navržená metoda vstupem konečná množina bodů v rovině cílem e tato zadaná data vhodně obklopit křivkou tak, aby byla zvýrazněna lokální hustota vzorků a splněno předem dané statistické kritérium poem hloubky dat obdoba kvantilu pro ednorozměrná data

23 Použití evoluce křivek ve statistice princip řízení pohybu iný zde nepočítáme nebližší bod na křivce, ale určueme pro každý bod (a v každém kroku evoluce) tzv. sílu funkce nepřímo úměrná hloubce čím více e daný bod křivky obklopen body ze vstupní množiny, tím menší e síla t.,,čím e bod na křivce hlouběi v datech, tím méně se křivka pohybue přidání další podmínky na obsah oblasti ohraničené křivkou evoluce e zastavena v okamžiku, kdy obsah oblasti, kterou uzavřená křivka vymezue, dosáhne předem dané hodnoty poté lze určit nový menší obsah a spustit evoluci znovu evoluci lze lépe řídit, dává,,lepší aplikovatelné výsledky

24 Programová demonstrace Ukázka evoluce uzavřených b-spline křivek v prostředí Matlab

25 Evoluce ploch dána množina bodů p 1.. N v prostoru cílem e proložit tyto body plochou výslednou plochu hledáme tak, aby byla splněna podmínka N 1 min x c p x 2 min, kde x značí body na ploše p

26 Evoluce ploch dána množina bodů p 1.. N v prostoru cílem e proložit tyto body plochou výslednou plochu hledáme tak, aby byla splněna podmínka N 1 min x c p x 2 min, kde x značí body na ploše p

27 Evoluce ploch vstupní množina bodů v prostoru

28 Evoluce ploch počáteční poloha a tvar plochy

29 Evoluce ploch evoluce v čase

30 Evoluce ploch evoluce v čase

31 Evoluce ploch evoluce v čase

32 Evoluce ploch výsledná plocha

33 Evoluce ploch výsledná plocha s řídící sítí V [ s, s, s ] i p q r V i - body, které sou v čase t modifikovány

34 Použití evoluce při rekonstrukci ploch Digitální dokumentace rekonstrukce ploch e využívaná v mnoha odvětvích vědy a průmyslu dokumentace památek a soch, architektura, stavitelství, design, vytvoření CAD modelu z dané množiny bodů v prostoru (tzv. mračna bodů) mračna bodů získávána 3D skenováním reálných povrchů nutné počítat s nepřesností v měření skenování se provádí vícekrát z různých stanovišť, ednotlivé,,skeny se následně slučuí ve výsledném mračnu bodů mohou být redundantní data nutné odstranit ztenčuící algoritmy

35 Použití evoluce při rekonstrukci ploch Metody rekonstrukce ploch celá řada algoritmů využívaící dělení prostoru pomocí Voronoiova diagramu, Delaunayovy triangulace, výsledkem těchto metod bývá velice často troúhelníková síť aproximuící zadanou množinu bodů velice komplikovaný problém, dosud neexistuí uspokoivé univerzální řešící postupy následue převod troúhelníkové sítě do CAD reprezentace, implicitní nebo parametrické vyádření segmentace detekce a rozdělení na oblasti s,,rozdílnou geometrií t. rovinné oblasti, části válcových ploch nebo obecné plochy (freeform patches) není ednoduché aproximace oblasti typem plochy určeného při segmentaci (surface fitting)

36 Závěr a budoucí práce Evoluce křivek pro uzavřené křivky implementace fungue velmi dobře program strukturovaný obsahue funkce parametrizovaný - všechny používané parametry se specifikuí na začátku běhu programu počet řídících bodů křivky stupeň křivky velikost kroku evoluce...

37 Závěr a budoucí práce Evoluce křivek analýza statistických dat další vylepšení algoritmu použití na různá pravděpodobnostní rozdělení Evoluce ploch využití k rekonstrukci ploch zpracování reálných mračen bodů Rekonstrukce ploch aproximace ploch stavební praxe pomocí kvadratických plátů rekonstrukce kleneb tvořeny částmi roviny, kulové plochy, válcové plochy nebo kuželové plochy prvotní reprezentace ednoduchá, lze považovat za výškové pole, triangulace půdorysu