Plochy zadané okrajovými křivkami

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Plochy zadané okrajovými křivkami"

Luděk Ovčačík
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát plocha je určena dvěma okrajovými křivkami, pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci parametru jedné z křivek tak, aby obě křivky měly parametr ze stejného intervalu plát zkonstruujeme tak, že úsečkou spojíme body a v kde je konstanta volená z intervalu k I a ( v) a ( v), vi 0 1 a ( ) 0 vk a ( ) 1 v k rovnice plátu a ( v) 0 a ( v) 1 P( u, v) a ( v)(1 u) a ( v) u, vi, u 0,1 0 1

křivky měly parametr ze stejného intervalu plát zkonstruujeme tak, že úsečkou spojíme body a v kde je konstanta volená z

2 Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát pokud je pro plochu zadán systém křivek i, můžeme interpolovat po částech tj. pro systém křivek můžeme výslednou plochu sestavit pomocí jednotlivých plátů kvalita výsledné plochy je velmi nízká a( v) není zajištěno hladké napojení sousedních plátů v technické praxi se však s touto plochou setkáváme často např. při interpolaci plochy dané velkým počtem křivek výhodou je, že parametrické křivky pro v = konst. jsou úsečky

pro systém křivek můžeme výslednou plochu sestavit pomocí jednotlivých plátů kvalita výsledné plochy je velmi nízká

3 Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát příklady P u v v u v v u u v 2 (, ),, 2 (1 ), 0,1, 0,2 přímý kruhový konoid

4 Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát příklady P( u, v) ucos( v), usin( v), v v u 0,1, v 0,2 0 přímý šroubový konoid Počítačová geometrie

5 Plochy zadané okrajovými křivkami Bilineární Coonsův plát plocha je určena dvěma systémy křivek plochy, tj. parametrickými křivky jedné a druhé soustavy uvažujme jeden plát, pro jednoduchost předpokládejme, že tento plát bude mít parametry u 0,1, v 0,1 obecný případ převedeme na tento tvar vhodnými transformacemi parametru uvažujme tedy plát plochy určený okrajem (čtyřmi oblouky křivek) pro parametry z jednotkového čtverce protějšími stranami okraje plátu jsou křivky a0( v), a1( v) a b0( u), b1( u)

parametry u 0,1, v 0,1 obecný případ převedeme na tento tvar vhodnými transformacemi parametru uvažujme tedy plát plochy

6 Plochy zadané okrajovými křivkami Bilineární Coonsův plát mapovací matici plátu nazveme matici P00 a0( v) P01 M b0( u) P( u, v) b1( u) P10 a1 ( v) P 11 P( u, v) P(0,0) P,... - je polohový vektor bodu plochy ozn. 00, kde rovnice Coonsova bilineárního plátu je tvaru Počítačová geometrie 1 v (1 u, 1, u) M 1 0 u v 0,1, v 0,1

P(0,0) P,... - je polohový vektor bodu plochy ozn.

7 Plochy zadané okrajovými křivkami Bilineární Coonsův plát lze dokázat jsou-li protější dvě strany okraje bilineárního plátu úsečkami, je výsledná plocha přímkovou plochou (tedy spec. příklad lineárního plátu) Důkaz: je-li např. b ( u) (1 u) P up b ( u) (1 u) P up potom parametrické křivky plátu pro v = konst. jsou rovněž úsečkami rovnice plátu je v tomto případě tvaru P( u, v) a ( v)(1 u) a ( v) u, u 0,1, v 0,1 0 1

příklad lineárního plátu) Důkaz: je-li např.

8 Plochy zadané okrajovými křivkami Bilineární Coonsův plát příklady P( u, v) u, v, u u v v u 0,1, v 0,1 2 2

9 Plochy zadané okrajovými křivkami Bikubický Coonsův plát určen stejně jako bilineární Coonsův plát svým okrajem jde o obecnější plochu rovnice Coonsova bikubického plátu je tvaru F1 ( v) ( F1( u), 1, F2( u)) M 1 0 F2 ( v) F ( t), F ( t) u 0,1, v 0,1 funkce 1 2 byly použity v souvislosti s Fergusonovými křivkami F t t t 3 2 1( ) F ( t) 2t 3t 2 3 2

tvaru F1 ( v) ( F1( u), 1, F2( u)) M 1 0 F2 ( v) F ( t), F ( t) u 0,1, v 0,1 funkce 1 2

10 Plochy zadané okrajovými křivkami Bikubický Coonsův plát plocha obsahuje daný okraj, např. u = 0 P00 a0( v) P01 F1 ( v) (1 1,0) b (0) P(0, v) b (0) P10 a1 ( v) P 11 F2 ( v) P(0, v) a ( v) analogicky ostatní dané křivky leží na plátu 0

u = 0 P00 a0( v) P01 F1 ( v) (1 1,0) b (0) P(0, v) b (0) 1 0

11 Plochy zadané okrajovými křivkami Bikubický Coonsův plát vektory příčných derivací podél okrajových křivek jsou lineární kombinací tečných vektorů okrajových křivek v rozích plátu např. P(0, v) u b(0) b(0) analogicky pro další okrajové křivky

lineární kombinací tečných vektorů okrajových křivek v rozích

12 Plochy zadané okrajovými křivkami Bikubický Coonsův plát Plátování uvažujme dva bikubické Coonsovy pláty plát plát 1 2 P( u, v) s okrajovými křivkami a ( v), a ( v), b ( u), b ( u), u 0,1, v 0,1 P( w, v) s okrajovými křivkami a ( v), a ( v), b ( w), b ( w), v 0,1, w 0, okrajové křivky složené plochy jsou třídy b(1) b(0) 0 2 b(1) b(0) C

u), u 0,1, v 0,1 P( w, v) 0 1 0 1 s okrajovými křivkami a ( v), a ( v), b ( w), b ( w), v

13 Plochy zadané okrajovými křivkami Bikubický Coonsův plát Plátování z předchozího je zřejmé, že navíc každá parametrická křivka 1 v = konst. je třídy C Bikubické Coonsovy pláty zajišťují plátování

14 Plochy zadané okrajovými křivkami Bikubický Coonsův plát příklady P u v u v u u v v u 0,1, v 0, (, ),, 2 3 1

15 Plochy zadané okrajovými křivkami Bikubický Coonsův plát příklady - napojení Počítačová geometrie

16 Plochy zadané okrajovými křivkami 12-vektorový plát Fergusonův plát ozn. P(0,0) u P Fergusonův plát je určen polohovými vektory tečnými vektory tečnými vektory u 00,... P, P, P, P P P P P P P P P u u u u 00, 10, 01, 11 v v v v 00, 10, 01, 11 rohových bodů plátu okrajových v-křivek okrajových u-křivek

17 Plochy zadané okrajovými křivkami 12-vektorový plát rovnice 12-vektorového plátu je tvaru F3 ( v) F( v) ( ) F4 ( v) 1 P( u, v) ( F3 ( u), F1 ( u), F2 ( u), F4 ( u)) M F 2 v M 0 P P 0 P P P P P P P P 0 0 u u v v v v u u P10 P11 u 0,1, v 0,1 F t t t 3 2 1( ) F ( t) 2t 3t F3 ( t) t 2t t F () t t t 4 3 2

v M 0 P P 0 P P P P P P P P 0 0 u u 00 01 v v 00 00 01 01 v v 10 10 11 11 u u P10 P11

18 Plochy zadané okrajovými křivkami 12-vektorový plát platí okrajovými křivkami Fergusonova plátu jsou Fergusonovy kubiky např. u = 0 F3 ( v) F( v) ( ) F4 ( v) 1 P(0, v) (0,1,0,0) M F 2 v P(0, v) P F ( v) P F ( v) P F ( v) P F ( v) v v podobně i pro další tři okrajové křivky

u = 0 F3 ( v) F( v) ( ) F4 ( v) 1 P(0, v) (0,1,0,0) M F 2 v P(0, v) P F (

19 Plochy zadané okrajovými křivkami 12-vektorový plát platí Důkaz 12-vektorový plát splývá s Coonsovým bikubickým plátem, jehož okrajovými křivkami jsou Fergusonovy kubiky dané zadanými body a tečnými vektory 12-vektorového plátu Do rovnice bikubického Coonsova plátu dosadíme za okrajové křivky příslušné rovnice Fergusonových kubik a po jistých algebraických úpravách obdržíme rovnici 12-vektorového plátu Počítačová geometrie

12-vektorového plátu Do rovnice bikubického Coonsova plátu dosadíme za okrajové křivky příslušné rovnice

20 Plochy zadané okrajovými křivkami 16-vektorový plát zadání stejné jako u 12-vektorového plátu liší se v matici M M P P P P P P P P P P P P P P P P uv u u uv v v v v uv u u uv P(0,0) P uv 00,... uv tzv. zkrutové vektory

P P P P P P P uv u u uv 00 00 01 01 v v 00 00 01 01 v v 10 10 11

21 Plochy vzniklé vytažením extrude profil křivka, kterou budeme vytahovat (např. ve směru nějaké osy) z rovinná k( u) [ x( u), y( u),0] prostorová + vektor vytažení P( u, v) [ x( u), y( u), v] k( u) [ x( u), y( u), z( u)] a P( u, v) k( u) va x ui, vj y

22 Plochy vzniklé vytažením vytažení se změnou velikosti profilu profil k( u) [ x( u), y( u),0] P( u, v) [ mv x( u), mv y( u), v] ui, vj vytažení ve směru osy z se současným zvětšováním nebo zmenšováním profilu zvětšení nebo zmenšení je přímo úměrné vytažení s koeficientem úměrnosti m

23 Šablonování křivky po trase sweep profil křivka, která se pohybuje trasa křivka, po které se pohybuje profil k 1 ( u ) [ x ( u ), y ( u ), z ( u )] k ( v ) [ x ( v ), y ( v ), z ( v )] 2 = translační plocha můžeme zaměnit roli křivek P( u, v) k ( u) k ( v) 1 1 ui, vj

24 Plochy vzniklé potažením loft dána soustava křivek hledáme takovou plochu, která interpoluje dané křivky a ( v) 0 a ( v) 1 a ( v) 2 př. lineární plát, hermitovský plát Počítačová geometrie

25 Šablonování křivky po dvou trasách sweep 2 rails b ( u) 0 a ( v) 0 b( u) 1 dány tři okraje trasy b0( u), b1( u) profil a0( v) (není translační plocha, profil se mění) př. bilineární Coonsův plát

26 Bézierovy plochy Bézierova plocha stupně ( m1) ( n1) mn je určena řídícími body a vztahem n m n m Q( u, v) P B ( u) B ( v), u 0,1, v 0,1 i0 j0 ij i j, kde k B ( t), k n, m bázové funkce i jsou Bernsteinovy polynomy k-tého stupně k i k i ( ) k (1 ) Bi t t t i t 0,1, i 0,1,..., k

27 Bézierovy plochy Bézierova plocha stupně platí mn Bézierova plocha prochází rohovými body sítě a okrajové křivky plochy jsou Bézierovými křivkami pro okraje sítě tečná rovina v bodě P je určena body 00 P00, P10, P01 podobně pro další rohové body Q(0,0) P Q(0,1) P Q(1,0) P Q(1,1) P 00 0m n0 nm okrajová křivka např.: m m Q(0, v) P0 jb j ( v) j0

28 Bézierovy plochy Příklad Bézierova plocha se sítí řídících bodů

29 Bézierovy plochy Napojování mějme dva Bézierovy pláty první z nich je určen sítí řídících bodů druhý je určen sítí řídících bodů počet bodů ve směru v je stejný pro oba pláty a je roven m pláty navazujeme ve směru u a požadujeme, aby jejich stupeň v tomto směru byl alespoň tři, tj. s3, t3 napojení 0 C QR, Qij, i 0,..., s; j 0,..., m R, i 0,..., t; j 0,..., m pláty mají společnou stranu, tj., toho docílíme ztotožněním řídících bodů, které určují příslušnou stranu ij Q( u,1) R(0, v) Q, 0,..., sj R0 j j m

30 Bézierovy plochy Napojování napojení C 0

31 Bézierovy plochy Napojování napojení C 1 pokud společná strana plátů je spojitá a jsou-li identické příčné tečné vektory ve směru u podél této strany C 1 tj. shoda spojité strany a splnění následující vztahu pro body řídících polygonů obou plátů Q, 0,..., sj Qs 1 j R1 j R0 j j m křivka spojující řídící body společné strany leží ve středu úseček, které spojují vždy předposlední bod řídícího polygonu plátu Q ve směru u s druhým bodem plátu ve stejném směru R C 1

32 Bézierovy plochy Napojování napojení C 1

33 Bézierovy plochy Bézierova bikubická plocha m 3, n3 B ( t) (1 t) B ( t) 3 t(1 t) B ( t) 3 t (1 t) B () t t Počítačová geometrie (, ) ij i ( ) j ( ), 0,1, 0,1 i0 j0 Q u v P B u B v u v M B P T T 3 2 (, ) 1 T Q u v UM BPM BV u u u M BPM B v P P P P P P P P P P P P P P P P 3 v v

Podobné dokumenty

Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie