Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33
|
|
- Stanislav Pavlík
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33
2 Motivace Motivace 3-osé obrábění motivaci k zavedení offsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat pouze translační pohyb ve směru všech os souřadného systému, nemůže se natáčet. fréza se neustále dotýká obráběné plochy. Offsety ITG 2 / 33
3 Motivace Motivace 5-osé obrábění 5-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat jak translační pohyb ve směru všech os souřadného systému, tak rotační pohyb. frézu je tedy možné vždy nastavit tak, aby osa frézy byla rovnoběžná s normálou plochy v bodě, který chceme obrábět. Offsety ITG 3 / 33
4 Klasický offset v rovině Klasický offset v rovině necht C je křivka daná parametrizací c(t) = (x(t), y(t)), t I R. tečný vektor podél křivky c(t) potom je c (t) = (x (t), y (t)), t I R. otočíme-li tečný vektor v každém bodě o π/2 a znormujeme, dostaneme jednotkový normálový vektor n(t) = ( y (t), x(t)) x 2 (t) + y 2 (t). jednostranný offset C d křivky C ve vzdálenosti d je potom dán parametrizací c d (t) = c(t) + d n(t). Offsety ITG 4 / 33
5 Klasický offset v rovině Klasický offset v rovině oboustranný offset křivky můžeme získat jako obálku jednoparametrického systému kružnic S(t) : (x c(t)) (x c(t)) = d 2, se středy kružnic na křivce C. eliminací parametru t z rovnic F (x, t) = (x c(t)) (x c(t)) = d 2, F t(x, t) = (x c(t)) ċ(t) = 0, získáme implicitní vyjádření daného oboustranného offsetu. Offsety ITG 5 / 33
6 Klasický offset v rovině Klasický offset v rovině Offsety ITG 6 / 33
7 Příklady Klasický offset v rovině 1 Vypočtěte klasický offset paraboly. 2 Vypočtěte klasický offset Tschirnhausenovy kubiky a(s) = ( s 2, s 1 s3). 3 3 Vypočtěte klasický offset elipsy. 4 Zkonstruujte offset paraboly v Cabri. 5 Zkonstruujte offset elipsy v Cabri. Offsety ITG 7 / 33
8 Klasický offset v rovině Vlastnosti offsetu křivky body na křivce a k nim příslušné body na offsetu této křivky mají v těchto bodech stejné normálové vektory, resp. mají v těchto bodech rovnoběžné tečny offset rovinné křivky obecně není křivka stejného typu platí jen ve speciálních případech (offset kružnice je opět kružnice), ale už v jiných jednoduchým příkladech ne (offset paraboly není parabola, offset elipsy není elipsa...) připomeňme, že evoluta křivka je množina středů křivostí této křivky, resp. obálka všech normál této křivky, daná vztahem e(t) = c(t) + r(t)n(t) = c(t) + 1/k(t)n(t) je-li r min d r max, singularita offsetu leží právě na evolutě křivky, tj. singularity offsetu jsou takové body, kde d = r(t) navíc, offset a evoluta jsou v tomto bodě na sebe kolmé Offsety ITG 8 / 33
9 Klasický offset v rovině Vlastnosti offsetu křivky Offsety ITG 9 / 33
10 Klasický offset v rovině Offset rovinné lomené čáry každá hrana lomené čáry má jednoznačně určenou normálu nicméně problém nastává ve vrcholech každému vrcholem přiřadíme všechny jednotkové normály mezi normálami hran, které incidují s tímto vrcholem (tedy v podstatě část kružnice s poloměrem d) offset lomené čáry se tedy skládá z úseček a částí kružnic Offsety ITG 10 / 33
11 Klasický offset v prostoru Klasický offset v prostoru necht S je plocha daná parametrizací S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) I J. jednotkový normálový vektor vypočteme ze vztahu n(u, v) = 1 (Su Sv). S u S v jednostranný offset S d plochy S ve vzdálenosti d je potom dán parametrizací S d (u, v) = S(u, v) + d n(u, v), kde n(u, v) je jednotková normála plochy S(u, v). Offsety ITG 11 / 33
12 Klasický offset v prostoru Klasický offset v prostoru oboustranný offset plochy můžeme získat jako obálku dvouparametrického systému sfér (x S(u, v)) (x S(u, v)) = d 2, se středy sfér na ploše S. eliminací parametrů u, v z rovnic (x S(u, v)) (x S(u, v)) = d 2, (x S(u, v)) S u(u, v) = 0, (x S(u, v)) S v(u, v) = 0, získáme jeho implicitní vyjádření. Offsety ITG 12 / 33
13 Příklady Klasický offset v prostoru 1 Vypočtěte klasický offset paraboloidu. 2 Vypočtěte klasický offset Enneperovy plochy b(u, v) = (u 1 3 u3 + uv 2, v v3 vu 2, u 2 v 2 ). Offsety ITG 13 / 33
14 Klasický offset v prostoru Vlastnosti offsetu plochy bod na ploše a jemu příslušný bod na offsetu této plochy mají v těchto bodech opět společnou normálu a rovnoběžné tečné roviny podobně jako pro křivky, pouze pro speciální třídy ploch platí, že jejich offset je plocha stejného typu typickým příkladech je kulová plocha podobně např. offsety rotační válcové plochy s osou A a poloměrem r jsou offsety opět rotační válcové plochy se stejnou osou a poloměry r + d a r d dále offsety rotačních ploch jsou opět rotační plochy: rotační plocha vzniká rotací profilové křivky okolo osy a normály této křivky jsou současně normálami rotační plochy (a procházejí osou rotace) offset rotační plochy tedy najdeme tak, že najdeme offset (rovinné) profilové křivky a ten následně rotujeme okolo osy rotace Offsety ITG 14 / 33
15 Klasický offset v prostoru Vlastnosti offsetu plochy offsety anuloidu jsou také opět anuloidy (speciální případ rotační plochy) offsety válcových ploch: válcovou plochu získáme vytažením hladké rovinné křivky ve směru kolmém na rovinu, ve které tato křivka leží offset válcové plochy tedy najdeme tak, že najdeme offset generující křivky a tuto offsetovou křivku vytáhneme opět ve směru kolmém na rovinu, ve které křivky leží offset kuželové plochy: kuželová plocha vznikne spojování bodů na generující křivce s pevně daným bodech pomocí přímek obecně offsetem kuželové plochy není opět kuželová plocha, platí to pouze pro rotační kuželovou plochu Offsety ITG 15 / 33
16 Ořezávání offsetů Ořezávání offsetů offsety křivek i ploch mohou obecně obsahovat tzv. samoprůniky (viz např. offset paraboly, elipsy) v praktických aplikacích mohou samoprůniky způsobovat problémy např. samoprůnik offsetu plochy (po kterém se při obrábění pohybuje referenční bod na ose frézy) způsobí při obrábění podříznutí, tj. zaříznutí do již obrobené části a poškození obráběného materiálu proto se obvykle řeší problém ořezávání offsetů, kde části offsetů za samoprůniky (kde je offset blíže k dané křivce než je původní vzdálenost offsetu d) odstraníme, aby k těmto praktickým problémům nedocházelo typicky rozlišujeme lokální samoprůniky (samoprůnik vznikl v průsečíku offsetové křivky a evoluty) a globální samoprůniky (samoprůnik offsetu v odlišných částech křivky) Offsety ITG 16 / 33
17 Aplikace zaoblování Aplikace zaoblování často se v aplikacích chceme vyhnout ostrým hranám na objektech pokud hrana vzniká jako průnik dvou ploch, často tuto hranu nahrazujeme novou plochou, která spojitě napojuje obě počáteční plochy (plocha zaoblení) obvykle se tato plocha volí jako část kanálové plochy příslušnou část kanálové plochy můžeme získat tak, že valíme kulovou plochu poloměru r podél průnikové hrany obou ploch, tj. tak, že se kulová plocha stále dotýká obou ploch (ale neprotíná je) křivku, po které se tato kulová plocha pohybuje, získáme jako průnik offsetových ploch obou počátečních ploch ve vzdálenosti r Offsety ITG 17 / 33
18 Racionalita offsetů Aplikace zaoblování Geometrické modelování se zaměřuje především na parametrický popis objektů a speciálně hlavně na ty objekty, které mohou být popsány pomocí polynomiální/racionální parametrizace. Nicméně racionalita daného objektu ještě negarantuje racionalitu odvozených objektů, jako jsou právě např. offsety. Jak je to s racionalitou klasického offsetu? Pro jaké křivky a plochy je offset racionální? Jak je najdeme? Jak určíme, že má křivka racionální offset? Offsety ITG 18 / 33
19 Offset paraboly Aplikace zaoblování A... parabola daná parametrizací a(t) = (t, 1 2 t2 ) B... kružnice ( daná ) parametrizací 1 s b(s) = 2, 2s s 2 +1 s 2 +1 Normály jsou n a(t) = (2t, 1), n b (s) = b(s) Ze vztahu pro výpočet konvoluce parametricky n a(t) = λn b (s) a tedy 2t = λ 1 s2 s 2 + 1, 1 = λ 2s s t = 1 s2. 4s Potom konvoluce je dána parametrizací ( ( s 2 1 s 2 1 ) ) 2 c(s) = a d (s) = a(t(s))+db(s) =, +d 4s 16s 2 ( 1 s 2 s 2 + 1, ) 2s. s Offsety ITG 19 / 33
20 Aplikace zaoblování Polynomiální křivky s Pythagorejským hodografem Necht C je křivka daná polynomiální parametrizací c(t). Hodograf křivky c(t) je dán parametrizací c (t). Křivka c(t) = (x(t), y(t)) je křivkou s Pythagorejským hodografem (PH křivkou), pokud složky jejího hodografu c (t) splňují Pythagorejskou podmínku, tedy pokud platí (σ(t) je polynom) x 2 (t) + y 2 (t) = σ 2 (t). Splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že hodograf musí být možné vyjádřit ve tvaru x (t) = (u 2 (t) v 2 (t))w(t) y (t) = 2u(t)v(t)w(t) pro nějaké polynomy u(t), v(t), w(t). Potom σ(t) = (u 2 (t) + v 2 (t))w(t). Používá se i komplexní reprezentace z = u + iv z 2 = (u 2 v 2, 2uv) = (x, y ) Vezmeme-li w(t) = 1 a u(t), v(t) takové, že GCD(u(t), v(t)) = 1, dostáváme regulární PH křivky lichého stupně. Offsety ITG 20 / 33
21 Aplikace zaoblování Polynomiální křivky s Pythagorejským hodografem Přímým důsledkem zavedení PH křivek je, že jsou to křivky s polynomiální délkou oblouku, jelikož s(t) = t 0 x 2 (u) + y 2 (u)du = t 0 σ(u) du. PH křivky jsou křivky s racionálním offsetem jelikož platí ( ) ( ) y (t) n(t) = x 2 (u) + y 2 (u), x (t) y (t) = x 2 (u) + y 2 (u) σ(t), x (t) σ(t) je c d (t) = c(t) + dn(t) racionální. Nejjednoduššími PH křivkami jsou přímky u(t), v(t), w(t) volíme konstantní. Prvními netriviálními regulárními PH křivkami jsou kubiky u(t), v(t) volíme lineární w(t) = 1 Lze ukázat, že existuje právě jedna PH kubika, tzv. Tschirnhausenova kubika a(t) = ( 3a(3 t 2 ), at(3 t 2 ) ) Offsety ITG 21 / 33
22 Aplikace zaoblování Interpolace pomocí PH křivek PH křivky je možné použít k interpolaci rovinných dat, což se hodí např. pokud chceme nahradit rovinou křivku pomocí PH spline křivky PH kubiky lze použít ke G 1 Hermitovské interpolaci vstupem jsou body a směry tečen v těchto bodech Pro interpolaci se tedy používají pouze části Tschirnhausenovy kubiky Každý takový oblouk Tsch. kubiky je možné vyjádřit jako kubickou Bézierovu křivku, pro jejíž řídící body platí a navíc platí d 12 = d 01d 23 a θ 1 = θ 2 P 1 = P (u2 0 v0, 2 2u 0v 0), P 2 = P (u0u1 v0v1, u0v1 + u1v0), 3 P 3 = P (u2 1 v1, 2 2u 1v 1), Offsety ITG 22 / 33
23 Aplikace zaoblování Interpolace pomocí PH křivek Pro daná vstupní data (θ 0, θ 3) lze rozhodnout, zda interpolační PH kubika existuje, příp. kolik existuje řešení a jestli obsahují smyčku nebo ne Offsety ITG 23 / 33
24 Aplikace zaoblování Interpolace pomocí PH křivek Dále je možné k interpolaci použít rovinné PH kvintiky Výhodou je, že již mají inflexní body a lze tedy interpolovat v podstatě libovolná data (oproti PH kubikám) Typicky se používají pro C 1 Hermitovu interpolaci jsou zadány body a tečné vektory v těchto bodech obvykle se využívá komplexní reprezentace PH křivek obecně pro zadaná data dostáváme 4 řešení (interpolanty) problém spočívá v automatickém výběru nejlepšího interpolantu Další možností je využít PH kvintiky k nalezení C 2 spojité PH křivky interpolující zadané body Offsety ITG 24 / 33
25 Aplikace zaoblování Racionální PH křivky Racionálně parametrizované křivky s racionálním offsetem se nazývají racionální PH křivky, tzn. jsou to křivky s racionálním jednotkovým normálovým vektorem. Pro charakterizaci racionálních PH křivek je vhodné využít duální reprezentaci křivek křivka c(t) s normálovým polem n(t) je popsána jako obálka svých tečen n 1(t)x + n 2(t)y = h(t). Jestliže n(t) je racionální parametrizace jednotkové kružnice a h(t) je racionální, dostáváme jako obálku této soustavy přímek racionální PH křivku. Všechny možné racionální parametrizace n(t) je možné zapsat ve tvaru n 1(t) = 2ab a 2 + b, n2(t) = a2 b 2 2 a 2 + b 2 pro nesoudělné polynomy a = a(t), b = b(t). Offsety ITG 25 / 33
26 Racionální PH křivky Aplikace zaoblování Řešením soustavy lineárních rovnic n 1(t)x + n 2(t)y = h(t), n 1(t)x + n 2(t)y = h (t) dostáváme popis všech racionálních PH křivek v závislosti na polynomech a(t), b(t), h(t) ve tvaru x = 2ab a 2 + b h a2 b 2 2 2(a b ab ) h, y = a2 b 2 a 2 + b h + ab 2 a b ab h (1) Jelikož n(t) je jednotkový, h(t) je orientovaná vzdálenost tečny od počátku. Theorem Všechny racionální křivky c(t) s racionálním offsetem c d (t) lze vyjádřit ve tvaru (1), kde a, b jsou nesoudělné polynomy v t a h je libovolná racionální funkce v t. Nahradíme-li h(t) za h(t) + d, dostáváme přímo parametrizaci offsetu c d (t) křivky c(t) ve vzdálenosti d. Offsety ITG 26 / 33
27 Aplikace zaoblování Racionální PH křivky kardioida PH parametrizace kardioidy ( k(t) = 8 t 6 6t 4 + t 2) ( ) 32t 3 t 2 1 ( t ), 4 ( t ) 4 Jednotkový normálový vektor ( 2t 3t 4 10t n(t) = ( t ) 3 ), t6 15t t 2 1 ( t ) 3 Hledáme a(t) = a 0 + a 1t + a 2t 2 + a 3t 3, b(t) = b 0 + b 1t + b 2t 2 + b 3t 3. Dosazením a(t) a b(t) do obecné parametrizace jednotkové kružnice a srovnáním s (2) dostáváme soustavu 21 rovnic pro 8 neznámých a 0,..., b 3. Dostáváme dvě řešení a 1(t) = 3t t 3, b 1(t) = 3t 2 1 a a 2(t) = 3t + t 3, b 2(t) = 1 3t 2. Potom (2) h(t) = n(t) k(t) = 16t3 (t 2 + 1) 3. Offsety ITG 27 / 33
28 Aplikace zaoblování Plochy s racionálním offsetem Plocha S je plochou s racionálním offsetem (PN plochou), jestliže existuje její racionální parametrizace s(u, v) taková, že příslušný jednotkový normálový vektor n(u, v) je racionální. PN... Pythagorean Normal vector Myšlenka analogická racionálním PH křivkám... využívá se duální reprezentace ploch plocha s(u, v) s jednotkovým normálovým vektorem n(u, v) je popsána jako obálka tečných rovin Potom také n 1(u, v)x + n 2(u, v)y + n 3(u, v)z = h(u, v). n 1(u, v)x + n 2(u, v)y + n 3(u, v)z = h(u, v) + d je duální reprezentace offsetu S d plochy ve vzdálenosti d. Je-li n(u, v) parametrizací jednotkové sféry (resp. přesněji řešeno parametrizací Gaussova obrazu S) a h(u, v) je racionální funkce v u, v, potom obálkou je PN plocha. Offsety ITG 28 / 33
29 Aplikace zaoblování PN plochy Necht E(u, v) : n(u, v) x = h(u, v) je dvouparametrický systém rovin, kde n(u, v) je jednotkový normálový vektor, h(u, v) racionální funkce. Parametrizace s(u, v) obálky tohoto systému rovin dostaneme jako průnik rovin E, E u, E v, tj. řešíme soustavu lineárních rovnic pro x = (x, y, z) ve tvaru n(u, v) x = h(u, v), n u(u, v) x = h u(u, v), n v(u, v) x = h v(u, v). Máme-li jednoparametrický systém rovin E(t) : n(t) x = h(t), obálkou S je rozvinutelná plocha, jejíž parametrizaci získáme řešením soustavy n(t) x = h(t), n t(t) x = h t(t). válcová plocha, kuželová plocha nebo plocha tečen prostorové křivky. Offsety ITG 29 / 33
30 Aplikace zaoblování Racionální jednotkový normálový vektor Cílem je popsat všechny racionální parametrizace jednotkové sféry v R 3. Klasickou racionální parametrizaci jednotkové sféry je možné najít pomocí stereografické projekce: Jednotková sféra... x 2 + y 2 + z 2 = 1 Pól ster. projekce... Z = (0, 0, 1) Mapujeme body roviny xy na jednotkovou sféru, tj. bodu X = (u, v, 0) přiřazujeme bod F na sféře. Dostáváme svazek přímek, které realizují projekce bodů a které všechny procházejí pólem projekce G(t) : x(t, λ) = (0, 0, 1) + λ(u, v, 1). Najdeme průsečík přímek G(t) se sférou... λ = Racionální parametrizace jednotkové sféry potom je ( f(u, v) = 2 1+u 2 +v 2. 2u 1 + u 2 + v, 2v u 2 + v, u2 + v u 2 + v 2 ). Offsety ITG 30 / 33
31 Aplikace zaoblování Racionální jednotkový normálový vektor Pokud místo bodů X = (u, v, 0) budeme promítat na sféru body X = (a/c, b/c, 0), dostaneme ( ) 2ac e(u, v) = a 2 + b 2 + c, 2bc 2 a 2 + b 2 + c, a2 + b 2 c 2. 2 a 2 + b 2 + c 2 Analogicky jako u křivek, a, b, c můžeme chápat jako polynomy v proměnných u, v dostáváme tak různé parametrizace jednotkové sféry. Nicméně tato parametrizace stále závisí na pólu projekce! Proto se zavádí pojem tzv. univerzální parametrizace sféry: ( ) 2(ac + bd) m = a 2 + b 2 + c 2 + d, 2(bc ad) 2 a 2 + b 2 + c 2 + d, a2 + b 2 c 2 d 2 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Tečné roviny libovolné PN plochy v R 3 je možné zapsat ve tvaru T (u, v) : m x = h, h je racionální funkce v u, v. Příslušnou parametrizaci s(u, v) potom dostaneme z průniku T T u T v. Offsety ITG 31 / 33
32 Aplikace zaoblování Parabolické Dupinovy cyklidy Zvolme h(u, v) = q(u, v)/(u 2 + v 2 + 1), kde q(u, v) je kvadratický polynom a n(u, v) jako standardní základní racionální parametrizaci sféry. Duální reprezentace takové plochy tedy je E(u, v) : 2ux + 2vy + (u 2 + v 2 1)z = q(u, v). Obálka rovin E(u, v) a všechny její offsety jsou parabolické Dupinovy cyklidy. q(u, v) = u 2 v 2 q(u, v) = u 2 v 2 3 Offsety ITG 32 / 33
33 Příklady PN ploch Aplikace zaoblování Racionální kanálové plochy Kvadriky elipsoidy, hyperboloidy, paraboloidy Racionální nerozvinutelné přímkové plochy Obálka racionálního jednoparametrického systémy rotačních kuželů Z klasických ploch např. Enneperova plocha Kvadratické Bézierovy pláty (u + v, u 2, v 2 ) (u, u 2 + v, v 2 ) (u, uv, v 2 ) (u, uv, u 2 + v) (u, u 2 v 2, uv) (uv + u, u 2, v 2 ) (uv + u + v, u 2, v 2 ) (uv, u + v 2, u 2 ) (uv v, u + v 2, u 2 ) Offsety ITG 33 / 33
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceBézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
Bézierovy křivky Bohumír Bastl (bastl@kma.zcu.cz) KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26 Opakování Interpolace
VíceZákladní vlastnosti ploch
plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
Více8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy
VíceFunkce dvou proměnných
Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
VíceDiferenciáln. lní geometrie ploch
Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní
VíceAnalytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceKristýna Bémová. 13. prosince 2007
Křivky v počítačové grafice Kristýna Bémová Univerzita Karlova v Praze 13. prosince 2007 Kristýna Bémová (MFF UK) Křivky v počítačové grafice 13. prosince 2007 1 / 36 Pojmy - křivky a jejich parametrické
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
VíceROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
VíceKonstruktivní geometrie
Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VíceKMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení
KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
VícePříklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
Více(15) Určete vektory tečny, hlavní normály a binormály křivky f(t) = (t, t 2, t + 1)
Cvičení II (Křivky) (1) Rozhodněte, zda pohyb f(t) = (t 1, t 3 t), t R je jednoduchý. [Není, bod samoprotnutí odpovídá hodnotám t = 1 a t = 1 () Určete singulární body pohybu x = r( cos t cos t), y = r(
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceŠroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
Více37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
VíceDeg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková
KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a
VíceJe-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceKŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od
KŘIVKY A PLOCHY JANA ŠTANCLOVÁ jana.stanclova@ruk.cuni.cz Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK Obsah matematický popis křivek a ploch křivky v rovině implicitní tvar
Vícena magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
VíceKlíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
VícePŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A
PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li
VíceVýpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2008 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Josef.Pelikan@mff.cuni.cz NPGR004, intersection.pdf 2008 Josef Pelikán, http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca
VíceJana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
VíceOd Pythagora ke geometrickému modelování. Miroslav Lávička 1
Od Pythagora ke geometrickému modelování Miroslav Lávička 1 Email: lavicka@kma.zcu.cz 1 Katedra matematiky Fakulty aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Brána matematikou otevřená Seminář pro
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceKřivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
VícePodrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma
Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější
VíceŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce
1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé
VíceObsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
VícePopis jednotlivých kvadrik
Kapitola Popis jednotlivých kvadrik V této kapitole se budeme abývat některými kvadrikami podrobněji. Nejprve budeme uvažovat elipsoid a hperboloid, které patří do skupin regulárních středových kvadrik.
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl I Světlana Tomiczková Plzeň 12. února 2016 verze 2.0 2 Autoři Obsah 1 Elementární
VíceAnalytická geometrie v E 3 - kvadriky
Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 5. října 2016 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 5. října 2016 1 / 14 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
VíceKlasické třídy ploch
Klasické třídy ploch Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Klasické třídy ploch klasické plochy jsou často generovány kinematicky, a to pohybem tvořicí křivky takto např. vznikají
VíceROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
VíceDiferenciální geometrie
Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5
VíceZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Zpracovala: Kristýna Rožánková FA ČVUT 2011 ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY Zborcené přímkové plochy jsou určeny třemi křivkami k, l, m, které neleží na jedné rozvinutelné
VíceVýpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2018 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Intersection 2018 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 26 Průsečík
VíceGeometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0
Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceZákladní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Více7.KINEMATICKÁ GEOMETIE V ROVINĚ 7.1 Rovinné křivky
7.KINEMATICKÁ GEOMETIE V ROVINĚ 7.1 Rovinné křivky Křivka jako jednoparametrická množina bodů v E 2. k={x[x,y] E 2, x=x(u), y=y(u), u J R Příklad. Oblouk asteroid: x=cos 3 u, y=sin 3 u, u (dx/du,dy/du)
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY Cyklické křivky patří především mezi technické křivky. Mají bohatou historii. První zmínku nacházíme dokonce už u Ptolemáia, konkrétnější studie
VíceTopografické plochy KG - L MENDELU. KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56
Topografické plochy KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Topografické plochy 1 / 56 Obsah 1 Úvod 2 Křivky a body na topografické ploše 3 Řez topografické plochy rovinou 4 Příčný a podélný profil KG - L (MENDELU)
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceGymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Kartografické projekce Vypracoval: Jiří Novotný Třída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
Více5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)
5. PLOCHY V POČÍAČOVÉ GRAFICE Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět popsat plochy používané v počítačové grafice řešit příklady z praxe, kdy jsou použity plochy Výklad Interpolační plochy - plochy,
Více5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ
5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VíceFergusnova kubika, která je definována pomocí bodu P1, vektoru P1P2, bodu P3 a vektoru P3P4
Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? a. Černá b. Zelená c. Modrá d. Červená Úloha 2 Jakým minimálním počtem bodů je jednoznačně určena interpolační křivka 5. řádu? a. 6 b. 3 c. 5 d. 7
VícePlochy počítačové grafiky II. Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS
II Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS Konstrukce a zadání plochy hraniční křivky sítí bodů Kinematicky vytvořené křivky
VíceKinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.
Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Výpočty trajektorií bodů při složených pohybech. Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
VícePlochy zadané okrajovými křivkami
Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát plocha je určena dvěma okrajovými křivkami, pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceKRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceZobecněné klínové plochy
Zobecněné klínové plochy Mgr. Jana Vecková Fakulta stavební, ČVUT v Praze Tato práce byla inspirována články Václava Havla [1] - [3] a prací studentů [4]. Moji snahou bylo zobecnit klasické pojetí klínových
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VícePlošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
Více3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE
3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 2. října 2018 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 2. října 2018 1 / 15 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
VíceDefinice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceKRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Více