Fouriérova transformace, konvoluce, dekonvoluce, Fouriérovské integrály

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Fouriérova transformace, konvoluce, dekonvoluce, Fouriérovské integrály"

Arnošt Jaroš
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 co byste měli umět po dnešní lekci: používat funkce pro výpočet FFT (Fast Fourier Transformation) spočítat konvoluci/dekonvoluci pomocí FFT použít FFT při výpočtu určitých integrálů vědět co je nízko\vysoko frekvenční (Wienerův) filtr vědět, co je fázová korelace a k čemu je dobrá

2 Fouriérovy řady aproximace periodických funkcí pomocí F.řad

3 Fouriérova transformace (f(t) definována na intervalu < T/2; T/2>) základní, fundamentální, frekvence

4 Fouriérova analýza diskrétních dat mějme n hodnot nějaké funkce f(t), měřené v ekvidistatních časových intervalech ti, DFT: Fk reprezentují koeficienty F. řady pro funkci f(t) pro frekvence menší než Nyquistova frekvence

5 Příklad: Analýza časové série počtu slunečních skvrn na povrchu Slunce (Wolfovo číslo) octave:53>s=load('sunspot.dat'); octave:54> cas=s(:,1); octave:55> Wolf=s(:,2); octave:56> FTWolf=fft(Wolf); octave:57> FTWolf(1)=[]; % prvni cislo je suma hodnot v poli octave:58> n=length(ftwolf); octave:59> FTWolf2=abs(FTWolf(1:floor(n/2))).^2; octave:60> nyquist=1/2; octave:61> frekv=(1:n/2)/(n/2)*nyquist; octave:62> out=[frekv' FTWolf2]; octave:63> save ascii 'periodogram.dat' out octave:64> perioda=1./frekv; octave:65> out=[perioda' FTWolf2]; octave:67> save ascii 'cyklus.dat' out octave:68> m=find(ftwolf2==max(ftwolf2)); octave:69> perioda(m) ans =

6 funkce fft a ifft ukázka výpočtu FT Gaussovy funkce x=linspace( 10,10,256); y=5*exp( x.^2/2/4); FTy=fft(y); plot(real(fty)) FTy=fft(fftshift(y)); plot(real(fty)) N=length(x); n=[ N/2:N/2 1]; Delta=x(2) x(1); om=2*pi*n/n/delta; plot(om,fftshift(fty)); po volání fft (ifft) jsou hodnoty v poli o délce N=2n řazeny takto: 1 j N/2 hodnoty pro nezáporné frekvence N/2+1 j N hodnoty pro záporné frekvence fftshift

7 konvoluce a dekonvoluce pomocí FT M, I a R jsou Fouriérovské obrazy m, i a r

8 konvoluce a dekonvoluce pomocí FT dekonvoluce je špatně podmíněná úloha je velmi citlivá na omezenost intervalů, na kterých máme změřená data a na přítomnost šumu data je nutno pro dekonvoluci předpřipravit: odečíst pozadí FT vyžaduje pole stejných délek (nejlépe 2n) data doplníme nulami nutno vyhladit šum pro výpočet FT použijeme implementované funkce fft a ifft (viz help).

9 modifikovaná Stokesova metoda vyhlazení dat pomocí násobení Gaussovou funkcí po zpětné FT vyjde: tj. vyhladíme li M a R, je automaticky vyhlazena i F!!!!

10 % Fourierova transformace of merenych dat % a rozlisovaci funkce M = fft([m zeros(1,length(r) 1)]); % zarovnam nulami na stejnou velikost R = fft([r zeros(1,length(m) 1)]); % vyhlazeni M sigma = length(m)/20; x = 1:length(M); gauss = exp( (x.^2)/sigma^2); gauss = gauss + fliplr(gauss); M = gauss.*m; % vyhlazeni R sigma = length(r)/5; x = 1:length(R); gauss = exp( (x.^2)/sigma^2); gauss = gauss + fliplr(gauss); R = gauss.*r; ft = real(ifft(m./r)); ft = fftshift(ft);

11 Výpočet integrálů pomocí Fouriérovy transformace integrál aproximujeme

12 Výpočet integrálů pomocí Fouriérovy transformace nutno zohlednit kraje intervalu integrace FFT Lichoběžníková aproximace:

13 Filonova metoda výpočtu Fouriérovských integrálů pro malá

14 Filonova metoda výpočtu Fouriérovských integrálů

15 Nízko/vysoko frekvenční filtry ideální NF filtr Butterworthův NF filtr Gaussův NF filtr

16 Nízko/vysoko frekvenční filtry

17 Nízko/vysoko frekvenční filtry

18 Nízko/vysoko frekvenční filtry komprese obrazu

19 Nízko/vysoko frekvenční filtry

20 Wienerův filtr, optimální filtrování instrumentální funkce filtr fyzikální profil šum minimalizace Wienerův filtr

21 logaritmická škála (měřené) (extrapolované) (odhadnuté)

22 Fázová korelace shift teorém similarity teorém zjištění vzájemného posunutí obrázků, rotace a změny měřítka

23 Fázová korelace posun obrázků

24 Fázová korelace rotace

25 Fázová korelace

26 Fázová korelace změna měřítka

27 Fázová korelace

28 Fázová korelace zjištění vzájemného posunutí: 1. spočteme spektra obou obrazů 2. spočteme fázovou korelaci těchto obrazů 3. poloha maxima (x0, y0) určuje vektor vzájemného posunutí obrazů zjištění vzájemné rotace: 1. spočteme amplitudová spektra obou obrazů 2. převedeme spektra do polárních souřadnic (r, ) 3. tato spektra jsou posunutá o vektor (0, ), který určíme metodou uvedenou výše 4. otočíme druhým obrazem o úhel (otočení kolem středu), nyní ještě zbývá posunutí (x0, y0) zjištění změny měřítka: 1. spočteme amplitudová spektra obou obrazů 2. převedeme spektra do polárních souřadnic s log osou r (log(r), ) 3. tato spektra jsou posunutá o vektor ( log(c),0), který určíme metodou uvedenou výše

29 Úkoly: 1) Napište funkci na výpočet koeficientů an a bn F.řad. Aproximujte různé funkce, periodické i neperiodické. 2) Napište skript, který bude počítat Fouriérovské integrály Filonovou metodou. 3) Napište skript, který bude počítat Fouriérovské integrály pomocí FT 4) Napište skript, který bude provádět dekonvoluci dat pomocí modifikované Stokesovy metody 5) Napište skript, který bude aplikovat na data jeden z uvedených šumových filtrů. 6) Troufnete si napsat skript, který bude zjišťovat vzájemné posunutí dvou obrázků?

Podobné dokumenty

Numerická integrace a derivace

Numerická integrace a derivace co byste měli umět po dnešní lekci: integrovat funkce různými metodami (lichoběžníkové pravidlo, Simpson,..) počítat vícenásobné integrály počítat integrály podél křivky a integrály komplexních funkcí