31ZZS 9. PŘEDNÁŠKA 24. listopadu 2014

Transkript

1 3ZZS 9. PŘEDNÁŠKA 24. listopadu 24 SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Fourierovy řady Diskrétní Fourierovy řady Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace Spektrální analýza Zobrazení signálu ve frekvenční oblasti Spektrum Spektrogram Reliéf Aplikace - fázový vokodér

2 Fourierovy řady I Jean Baptiste Fourier (francouzský matematik ) Harmonická analýza Libovolný periodický signál lze rozložit na jednotlivé harmonické složky. Harmonická syntéza Kombinací harmonických složek lze vytvořit prakticky libovolný periodický signál.

3 Fourierovy řady II Trigonometrický tvar Fourierových řad x( t ) k a [ a cos( k t) b sin( k t)] k k a a k, b k k stejnosměrná složka koeficienty Fourierovy řady pořadí harmonické složky T a x( t) dt T b k 2 T T x ( t )sin( k t ) dt a k 2 T T x( t)cos( k t) dt

4 Fourierovy řady III Spektrální (polární) tvar Fourierových řad x( t ) k c k cos( k t ) k c k k amplituda k-té spektrální složky fáze k-té spektrální složky c k a 2 k b 2 k k arctan b a k k

5 Fourierovy řady IV Komplexní (exponenciální) tvar Fourierových řad X k k jk t x( t) e X k komplexní koeficient X k 2 ( a k jb k ) c 2 X k k

6 Fourierovy řady X k T T 2 T 2 x( t)e j2kft dt

7 Diskrétní Fourierovy řady K výpočtu spektra periodických číslicových signálů lze použít vztah X[ k] N N n x[ n]e j2nk/ N X k T T 2 T 2 x( t)e j2kft dt Pro signál popsaný N vzorky je podstatných N/2 hodnot spektra. Dalších N/2 hodnot jsou čísla komplexně sdružená a není třeba je počítat. Výpočtem podle výše uvedeného vztahu dostaneme diskrétní spektrum s hodnotami komplexních koeficientů na frekvencích k Fs/N. Spektrum můžeme počítat i pro k > N, dostaneme však stejné hodnoty jako pro základní interval -N/2 < k < N/2. Spektrum číslicových signálů je periodické s periodou Fs.

8 Od periodických signálů k neperiodickým X k T T 2 T 2 x( t)e j2kft dt Spojité signály (popsané analytickou funkcí) Na neperiodický signál se nahlíží jako na signál, jehož T Místo FŘ se používá FT Protože T, Δf spektrum spojité X ( f ) x( t)e j2ft dt

9 Od FT k DFT X ( f ) x( t)e j2ft dt Číslicové signály (nejsou spojité a nejsou nekonečně dlouhé) Numerický ekvivalent FT bude X[ k] N x[ n]e n j2nk/ N DFT je popsána stejným vztahem jako DFŘ Spektrum číslicového signálu je diskrétní a periodické

10 Diskrétní Fourierova transformace Definiční vztah N X[ k] x[ n]e n j2nk/ N Vstupem je N hodnot čísl. signálu (podle předpokladu jde o periodu) Výstupem je N hodnot komplexních koeficientů spektra na normovaných frekvencích k/n, tj. na reálných frekvencích k Fs/N. Spektrum je periodické s periodou Fs, tj pro k > N dostaneme tytéž hodnoty. Hodnoty koeficientů pro N/2 < k < N jsou komplexně sdružené s prvními N/2 hodnotami, netřeba je počítat. Při určování modulu jednostranného spektra je nutné násobit dvěma. Pokud vybraných N vzorků signálu netvoří jednu periodu (v praxi je to téměř vždy), jsou výsledné hodnoty zatíženy chybami (objeví se neexistující složky).

11 Zpětná (inverzní) DFT DFT IDFT X[ k] N n x[ n]e j2nk/ N x[ n] N N n X[ k]e j2nk/ N Vztah pro IDFT se liší od DFT pouze ve znaménku exponenciální funkce. Normovací koeficient /N se někdy uvádí u DFT. Do IDFT vstupuje vždy N hodnot dvoustranného spektra, tj. nejenom N/2 hodnot jednostranného spektra. Pokud na signál aplikujeme nejprve DFT a následně IDFT, dostaneme tentýž signál. Vyplývá to z toho, že popis signálu v časové i ve frekvenční oblasti je ekvivalentní co do úplnosti informace. (Ve spektrální oblasti však musíme vždy uvažovat jak modul, tak i fázi.)

12 Fast Fourier Transform FFT rychlý algoritmus výpočtu DFT Poskytuje stejné hodnoty jako DFT, ale mnohem rychleji Vysoké rychlosti je dosaženo optimalizovaným způsobem symetričnost exponenciálních členů, podobnost mezi lichými a sudými koeficienty Nejrychleji funguje v případech, že N je mocninou 2 Např. pro N=24 je FFT 2x rychlejší než DFT V MATLABu fft(x) spočítá DFT pro signál x ifft(x) spočítá IDFT pro spektrum X

13

14

15

16

17

18

19

20 * =

21

22

23

24

25

26 Praktická aplikace DFT a FFT Analyzovaný signál rozdělíme do kratších úseků Délku segmentu volíme tak, aby se počet vzorků N rovnal mocnině 2 Pokud nelze zvolit N jako mocninu 2, doplníme signál nulami Vzorky vynásobíme vhodným oknem Pomocí FFT vypočítáme komplexní koeficienty spektra Do časové oblasti se lze vrátit pomocí IFFT

27 amplituda amplituda Zobrazení signálů ve frekvenční oblasti 2.5 Jedna perioda harmonickeho signalu f=5 Hz > cas [s] x -3 Zrcadlene spektrum harmonickeho signalu v meritku > frekvence [s]

28 Frekvenční osa v periodogramu b) Jedna perioda obdelnikoveho signalu > uhlova frekvence <...2 [rad]> c) > cas [s] x -3 Zrcadlene spektrum obdelnika > frekvence <...fs> [Hz] > normovana uhlova frekvence <...2> [-] d) > poradi harmonicke

29 Jednostranné a dvoustranné spektrum Dvoustranne spektrum obdelnika > f [Hz].5 Amplitudove spektrum obdelnika v meritku

30 f(k) F [db] f(k) F [db] f(k) F [db] f(k) F [db] f(k) F [db] f(k) F [db] Porovnání oken.5 Pravouhle okno Blackmanovo okno Hannovo okno Dolph-Cebys okno Hammingovo okno -5-4 / N.5 Dolph-Cebys okno

31 X 2 (k) X 2H (k) x 2 [n] x 2H [n] X (k) X H (k) x [n] x H [n] Potlačení prosakování váhováním signálu x [n]=sin(k*pi/8), n=..63, dve periody Signal x [n] vahovany Hammingovym oknem, dve periody n Spektrum x [n] n Spektrum signalu x H [n] vahovaneho Hammingovym oknem k.5 x 2 [n]=sin(n*pi/), n=..63, dve periody k Signal x 2 [n] vahovany Hammingovym oknem, dve periody n Spektrum signalu x 2 [n] n Spektrum signalu x 2H [n] vahovaneho Hammingovym oknem k k

32 Doplnění nul 2 Jedna perioda obdelnikoveho signalu Zrcadlene spektrum obdelnika > frekvence <...fs>

33 ---> frekvence Spektrogramy rozlišení 4,28 s 4,64 s 4,32s 4,6 s > cas > cas > cas > cas

34 Spektrum samohlásek samohlaska "a" perioda samohlasky "a" > cas [s] > cas [s] T = /f 8 6 f f 2 f = /T amplitudove spektrum f 3.5 f amplitudove spektrum f 2 f f > frekvence [Hz] > frekvence [Hz]

35 ---> frekvence [Hz] ---> frekvence [Hz] ---> frekvence [Hz] ---> frekvence [Hz] Spektrogramy slovo "jedna" > cas [s] > cas [s] širokopásmové úzkopásmové > cas [s] samohlaska "a" > cas [s] > cas [s] > cas [s]

36 Spektrogramy a) širokopásmový spektrogram dobré rozlišení v čase (základní frekvence je určena vertikálními pruhy) load osum.asc; sig = osum; fs = 8; subplot(2,,); specgram(sig,24,fs,hamming(32),3); title( wideband spectrogram') xlabel(''), ylabel('frequence [Hz]') b) úzkopásmový spektrogram dobré frekvenční rozlišení (základní frekvence je určena horizontálními pruhy) subplot(2,,2); specgram(sig,24,fs,hamming(52),5); title( narrowband spectrogram') xlabel('---> cas [s]'), ylabel('frequence [Hz]')

37 [db] 3d zobrazení osm [Hz].2 sekundy.4.6

38 Aplikace: vokodér

39 Vokodér Triky s vokodérem Časové prodloužení a zkrácení Frekvenční posunutí

40 Vokodér Krátkodobá Fourierova transformace X m n n k x k e 2mk j n Re-syntéza x k n n m X m e 2mk j n

41 Vokodér Triky s vokodérem Prodlužení nebo zkrácení času (komprese, expanze) bez zkreslení základní periody ve studiích využíváno k úpravě délky Změna základní periody (pitch shifting) bez časového zkreslení lze využít ve studiu ke korekcím Libovolné změny ve spektrálních obálkách

42 Vokodér Triky Prodlužení nebo zkrácení času (komprese, expanze) bez zkreslení základní periody ve studiích využíváno k úpravě délky Úzkopásmový spektrogram (zachovává spektrální charakteristiky) => okno ~ 3-4 ms 5% - 75% překrytí je optimální pro rekonstrukci SPEKTRÁLNÍ MANIPULACE - INTERPOLACE krok nové časové mřížky je dán /R amplitudová spektra jsou lineárně interpolována pro rekonstrukci signálu původní je důležitý fázový rozdíl Změna základní periody (pitch shifting) bez časového zkreslení Časově pozměněný signál je převzorkován na původní délku

43 Vokodér I % encode X = []; k=; for start = :window_shift:n-window_length, frame = sig(start+:start+window_length).*hamming(window_length); X(:,k)=fft(frame); k=k+; end

44 Vokodér II % interpolation %Y=X; Xmag = interpq([:size(x,2)- ]',abs(x'),[:/r:size(x,2)-2]'); new_grid=floor(:/r:size(x,2)-2)+; D=diff(angle(X'))'; D_new=D(:,new_grid); phasex = cumsum(d_new'); Y = (Xmag.* exp(j*phasex))';

45 Vokodér III % decode k=; N_new=size(Y,2)*window_shift+window_length; signal_y=zeros(n_new,); for start = :window_shift:(size(y,2)-)*window_shift, segment=real(ifft(y(:,k),window_length)).*hamming(window_length); signal_y((start+):(start+window_length))... =signal_y((start+):(start+window_length))+segment; k=k+; end

46 Potlačení šumu pomocí vokodéru nonlinear spectral subtraction [Vaseghi,S.V.: Advanced Signal Processing and Digital Signal Processing]

47 Potlačení šumu pomocí vokodéru nonlinear spectral subtraction [Vaseghi,S.V.: Advanced Signal Processing and Digital Signal Processing] % ; % spectral manipulation coef=.2; r=abs(x')./window_length Y = (X'.*r./(r+coef))';

48 Potlačení šumu pomocí vokodéru nonlinear spectral subtraction [Vaseghi,S.V.: Advanced Signal Processing and Digital Signal Processing] % ; % spectral manipulation coef=.2; r=abs(x')./window_length Y = (X'.*r./(r+coef))';