Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
|
|
- Karla Nováková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Předmět: MA4 Dnešní látka Diferenciální operátory Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Literatura: Kapitola 6 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 27. Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 21.
2 Skalární součin funkcí C([a, b]) lineární (vektorový) prostor funkcí spojitých na intervalu [a, b]. Standardní skalární součin funkcí u, v C([a, b]) je definován rovností (u, v) = b a u(x)v(x) dx. Pozorování: Pro každé u, v C([a, b]) je (u, v) reálné číslo. Poznámka: Skalární součin se zadanou kladnou váhovou funkcí ψ (u, v) ψ = b a ψ(x)u(x)v(x) dx. Pravděpodobnost, speciální ortogonální polynomy aj.
3 Vlastnosti (u, v) = b a u(x)v(x) dx. Pro u, v, w C([a, b]) a α R platí (2. přednáška!) (u, v) = (v, u), (u + v, w) = (u, w)+(v, w), (αu, v) = α(u, v) = (u,αv), (u, u), (u, u) = u =. To jsou vlastnosti definující skalární součin v reálném oboru bez ohledu na konkrétní předpis, jímž je skalární součin definován (měli jsme skalární součin uspořádaných n-tic v reálném oboru). Zároveň vidíme, že lze definovat normu b u = (u, u) = a u 2 (x) dx. Schwarzova nerovnost: (u, v) u v. (2. přednáška!)
4 Funkce u, v C([a, b]), pro něž platí (u, v) =, se nazývají ortogonální (kolmé). Např. (sin x, cos x) = pro skalární součin na intervalu [,π]. Avšak (sin x, cos x) = 1/2 pro skalární součin na intervalu [,π/2].
5 Diferenciální operátory Operátor je zobrazení, které prvku z jednoho vektorového prostoru přiřadí nějaký prvek ze stejného nebo z jiného vektorového prostoru. Budeme se zabývat především vektorovými prostory funkcí. Operátor A je definován na svém definičním oboru D(A) (vektorový (pod)prostor funkcí).
6 Příklady I : C([a, b]) C([a, b]) I : g g, I(g) = g operátor identity, identický operátor Definiční obor D(A) = C([a, b]). A : C((, )) C((, )), D(A) = C((, )) A : g ĝ, A(g)(x) = g(x + h), kde h R je pevně zvoleno; operátor posuvu. Např. h = π/2, A(sin)(x) = cos(x) pro x R. A : C 1 ([a, b]) C([a, b]), D(A) = C 1 ([a, b]), A : g g diferenciální operátor často značen D, tj. D(g)(x) = g (x), x [a, b]. D 12 : C 12 ([a, b]) C([a, b]), D(A) = C 12 ([a, b]), D 12 (g)(x) = g (12) (x), x [a, b]. Lineární operátory, tj. A(αu + βv) = αa(u) + βa(v) pro α,β R a u, v D(A). Poznámka: U lin. op. často zkrácený zápis Au, Iv, atd.
7 Lineární diferenciální operátor n-tého řádu (LDOn) [MA 3, kapitola 5] A def = w n D n + w n 1 D n 1 + w 1 D + w I, kde w, w 1,...,w n jsou funkce spojité na [a, b], x [a, b] w n (x) ( w n > (w n < ) na celém [a, b]). D(A) = {u C n ([a, b]) : u splňuje homogenní okr. podm.}. Homogenní okrajové podmínky: n rovnic tvaru: = lineární kombinace hodnot u(a), u (a),..., u (n 1) (a), u(b), u (b),...,u (n 1) (b). Například homogenní OP pro LDO 2. řádu na [a, b] α 1 u(a)+α 2 u (a)+β 1 u(b)+β 2 u (b) =, α 3 u(a)+α 4 u (a)+β 3 u(b)+β 4 u (b) =, kde α 1,...,α 4,β 1,...,β 4 R.
8 Příklady u + 7u =, u(a) =, u(b) =. OÚ odpovídá LDO2: u D(A): Au def = u a operátorová rovnice: najít Au = 7u, D(A) = {u C([a, b]) C 2 ((a, b)) : u(a) = u(b) = }. Nebo LDO2: Bu def = u 7u a op. rovnice: najít u D(B): Bu =, D(B) = {u C([a, b]) C 2 ((a, b)) : u(a) = u(b) = }.
9 Jiná OÚ: e x u (x) (3+x 2 )u (x)+sin x u(x) = cos 3 x, u(a) = 1, u(b) = π 4 LDO2: Au(x) def = e x u (x) (3+x 2 )u (x)+sin x u(x). Najít u D(A), aby platilo Au = cos 3 x, kde D(A) = {u C([a, b]) C 2 ((a, b)) : u(a) = 1, u(b) = π 4 }. D(A) (na rozdíl od přechozích D(A)) není vektorový prostor. Této nepříjemnosti se později vyhneme přeformulováním úlohy.
10 Pro OÚ u +λu =, u(a) =, u (b) = máme LDO2: Au def = u a operátorovou rovnici: najít u D(A), aby Au = λu, kde D(A) = {u C([a, b]) C 2 ((a, b)) : u(a) = u (b) = }. Od předchozí se liší def. oborem operátoru. Jde o úlohu na vlastní čísla a vlastní funkce. Prostě podepřený nosník na pružném podloží se spojitým příčným zatížením f operátor: Au def = (EIu ) +γu, operátorová rovnice: najít u D(A), aby Au = f, kde D(A) = {u C 2 ([a, b]) C 4 ((, L)) : u() = u () = u(l) = u (L) = }.
11 Symetrické operátory Je zadán vhodný skalární součin. Např. b (η,ξ) def = η(x)ξ(x) dx. a LDOn A na D(A) se nazývá symetrický, pokud pro u, v D(A) platí (Au, v) = (u, Av). Operátor se nazývá pozitivní na D(A), pokud u D(A), u (Au, u) >. Operátor se nazývá pozitivně definitní na D(A), pokud existuje taková konstanta c > nezávislá na u, že u D(A) (Au, u) c u 2. Pozitivně definitní pozitivní.
12 Příklady A = D 2, tj. Au def = u. a) A je symetrický a pozitivní na D(A) = {u C 2 ([a, b]) : u(a) = u(b) = }. b) A je symetrický a pozitivní na D(A) = {u C 2 ([a, b]) : u(a) = u (b) = }. c) A je symetrický, ale není pozitivní na D(A) = {u C 2 ([a, b]) : u (a) = u (b) = }. V a), b) lze dokázat pozitivní definitnost.
13 Variační princip (A vždy bude sym. operátor) Model oboustranně vetknutého nosníku délky L, příčně zatíženého silou f C([, L]): (EIu ) = f, u() = u(l) =, u () = u (L) =. Energie pružné deformace: W 1 (u) = 1 L 2 EIu 2 dx, Energie vnějších sil: W 2 (u) = L fu dx. Celková potenciální energie nosníku při posunutí u C 4 ([, L]) (a OP) je F(u) = W 1 (u)+w 2 (u). Princip minima celkové potenciální energie: skutečné posunutí je to, jehož F(u) je nejmenší mezi myslitelnými přípustnými posunutími (ta jsou dána okrajovými podmínkami a nutnou hladkostí funkcí). Uvidíme, že mezi minimem F(u) a okrajovou úlohou skutečně je přímý vztah daný variačním principem.
14 Funkcionál energie Funkcionál je zobrazení z prostoru funkcí do R. Např. G : f b a f 2 (x) dx je (nelin.) funkcionál, G : C([a, b]) R. Pro okrajovou úlohu Au = f, u D(A), f C([a, b]) definujme funkcionál energie F R předpisem F(u) = (Au, u) 2(f, u). Pro (EIu ) = f, u() = u(l) =, u () = u (L) = máme díky p.p. (Au, u) = L EIu 2 dx, 2(f, u) = 2 L fu dx. Tedy F(u) = 2 F(u). (Poznámka: Někdy však F nemá fyzikální interpretaci.) K definičnímu oboru D(A): Povšimněme si, že po p.p. je F definován nejen na D(A) = {u C 4 ([, L]) : u() = u(l) =, u () = u (L) = }, nýbrž i na "větším" prostoru, kdy D(A) = {u C 2 ([, L]) : u() = u(l) =, u () = u (L) = }.
15 Vycházíme z Au = f, u D(A) a F(u) = (Au, u) 2(f, u). u, w D(A) F(u + w) F(u) = 2(Au f, w)+(aw, w), nebot F(u + w) F(u) = (A(u + w), u + w) 2(f, u + w) (Au, u)+2(f, u) = (Au, u)+(au, w)+(aw, u)+(aw, w) 2(f, u) 2(f,w) (Au, u)+2(f,u) = (Au, w)+(aw, u)+(aw, w) 2(f, w) = (Au, w)+(w, Au)+(Aw, w) 2(f, w) = 2(Au, w) 2(f, w)+(aw, w) Důsledek: Je-li Au = f, u D(A) a Av = f, v D(A), pak F(v) = F(u), nebot Au f = a při volbě w = v u platí Aw = A(v u) = Av Au = f f =. Tedy F je na množině všech řešení konstantní. Inspirováni minimem potenciální energie se budeme zabývat minimalizací funkcionálu F. K tomu bude nutné definovat několik nových pojmů.
16 O množině funkcí M řekneme, že je hustá v množině funkcí V, pokud ve V neexistuje netriviální funkce ortogonální ke každému prvku u M. Tedy D(A) je hustý v C([a, b]), jestliže platí, že u C([a, b]) & v D(A) (u, v) = = u =. Poznámka: Např. v C([, π]) jsou husté polynomy definované na intervalu [,π] nebo množina {sin kx : k = 1, 2,...}, kde x [,π]. "Lidově" řečeno: V husté množině M je tolik a tak rozmanitých funkcí, že se před nimi ve skalárním součinu "neukryje" žádná nenulová funkce z C([a, b]).
17 Lineární operátor A s definičním oborem D(A) se nazývá slabě pozitivní, pokud pro u D(A) platí (Au, u). Připomenutí: pozitivní... (Au, u) > pro u. (Poznámka: V MA 43 je pozitivnost operátoru formulována trochu odlišně, ale smysl je stejný.) Funkcionál energie F má v u D(A) minimum, pokud v D(A) F(v) F(u) ostré minimum, pokud v D(A), v u F(v) > F(u).
18 Věta (variační princip): Bud A symetrický operátor s hustým definičním oborem D(A) a bud F funkcionál energie příslušný rovnici Au = f, u D(A). Je-li A slabě pozitivní, pak F má v u D(A) minimum právě tehdy, když Au = f, u D(A). Je-li A pozitivní, pak F má v u D(A) ostré minimum právě tehdy, když Au = f, u D(A). (Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.) Pozorování: Je-li Au = f, pak odpovídající minimální "energie" (tj. dvojnásobek potenciální energie) je F(u) = (Au, u) (f, u) (f, u) = (Au f, u) (f, u) = (f, u).
19 Důkaz: Nejprve "F má v u D(A) minimum Au = f." Necht w D(A), definujme φ(t) = F(u + tw), t R. Z F(u + w) F(u) = 2(Au f, w)+(aw, w) dostaneme φ(t) = F(u)+2t(Au f, w)+t 2 (Aw, w). Protože F nabývá min. v u, nabývá φ min. v, tj. = φ () = [2(Au f, w)+2t(aw, w)] t= = 2(Au f, w). Jelikož Au f C([a, b]) a w D(A) (Au f, w) =, jest Au = f (z hustoty).
20 Nyní "Au = f, kde u D(A), a A je slabě pozitivní F má v u minimum." Necht v je libovolný prvek D(A), definujme w = v u. Z F(u + w) F(u) = 2(Au f, w)+(aw, w) a slabé pozitivity dostaneme F(v) F(u) = F(u + w) F(u) = (Aw, w), tj. minimum v u. Pro A pozitivní je (Aw, w) >. QED
21 Pozorování: Rovnice Au = f, kde A je pozitivní operátor na D(A) a f C([a, b]), má nejvýše jedno řešení u D(A). Důkaz: Necht u 1, u 2 D(A) Au 1 = f, Au 2 = f. Definujme v = u 1 u 2. Pak Av = A(u 1 u 2 ) = Au 1 Au 2 =. Vyčísleme (Av, v), tj. (Av, v) = (, v) =. Ale A je pozitivní, tudíž (Av, v) = v =.
22 Velký nedostatek Věta o vztahu mezi řešením operátorové rovnice a minimem funkcionálu energie není existenční. Neříká nic o tom, zda řešení u D(A) existuje. Netvrdí, že minimum F na D(A) existuje, tj. že se ho nabývá v nějakém prvku u D(A). Vztah mezi řešením OÚ a minimem funkcionálu energie byl dávno" znám, avšak postupně se ukazovalo, že existence minima není samozřejmá, že je to zapeklitý problém, jenž je však elegantně řešitelný, pokud operátor A je pozitivně definitní. Pro takové operátory budeme hledat přibližné řešení okrajových úloh.
23 Pozitivně definitní operátor Operátor A se nazývá pozitivně definitní na D(A), existuje-li taková konstanta C >, že pro každou funkci u D(A) platí přičemž C nezávisí na u. (Au, u) C u 2, Připomenutí: u 2 = (u, u) = b a u2 (x) dx.
24 Příklad Operátor Au def = u +(3 sin x)u je symetrický a pozitivně definitní na D(A), kde D(A) = {u C 2 ([,π]) : u() = = u(π)}. Symetrie z integrace po částech. Pozitivní definitnost: (Au, u) = π u u dx + π (3 sin x)u2 dx = π u 2 dx + π (3 sin x)u2 dx π 2u2 dx = 2 u 2.
25 Zlepšení konstanty v nerovnosti (Friedrichsova nerovnost) Necht u C 1 ([a, b]) a necht u(a) =, přičemž a, b R, a < b. Pak platí: u 2 2 (b a) 2 u 2. Důkaz: Pro x [a, b] je u(x) = x a u (t) dt + u(a) = x a u (t) dt. u 2 = = b a b a ( x 2 b ( x u (t) dt) dx a a a ( ) b (x a) u 2 (t) dt dx = a (b a)2 u 2. 2 b a x 1 2 dt a ) u 2 (t) dt dx b u 2 (t) dt (x a) dx Využili jsme Schwarzovy nerovnosti (v, w) v w, tj. x x x a 1 u (t) dt a 12 dt a u 2 (t) dt, a toho, že x a v 2 (t) dt b a v 2 (t) dt, jestliže a x b a v je prvkem (například) C([a, b]). a
26 Varianta Friedrichsovy nerovnosti Necht u C 1 ([a, b]) a necht u(b) =, přičemž a, b R, a < b. Pak platí: u 2 2 (b a) 2 u 2. Důkaz: Pro x [a, b] je u(x) = b x u (t) dt. Dále lze integrovat a odhadovat jako v předchozím případě. Konstantu v nerovnosti lze zlepšit viz K. Rektorys: Variační metody...
27 Aplikujme na náš příklad Au def = u +(3 sin x)u D(A) = {u C 2 ([,π]) : u() = = u(π)}. (Au, u) = = π π π u u dx + u 2 dx + u 2 dx + 2 u 2 /π 2 + π π π π = 2(1+1/π 2 ) u 2. (3 sin x)u 2 dx (3 sin x)u 2 dx ( u 2 min (3 sin t) t [,π] 2u 2 dx ) dx
28 Pozor: Bez Friedrichsovy nerovnosti se někdy neobejdeme! Příklad: Au def = u 1 (3 sin x)u 3π 2 D(A) = {u C 2 ([,π]) : u() = = u(π)}. Pozitivní definitnost: (Au, u) = = π π π u u dx 1 3π 2 u 2 dx + 1 3π 2 u 2 dx + 1 3π 2 2 u 2 /π π 2 π π π u 2 min t [,π] π (3 sin x)u 2 dx (sin x 3)u 2 dx ( 3)u 2 dx = (2/π 2 1/π 2 ) u 2 = π 2 u 2. (sin t 3) dx Modrá hodnota je sice záporná, ale je "přebita" kladnou hodnotou π u 2 dx.
29 Energetický skalární součin, energetická norma, energetický prostor Necht A je symetrický a pozitivně definitní operátor na D(A). Energetický skalární součin (u, v) A = (Au, v) u, v D(A). Energetická norma u A = (u, u) A u D(A). Energetická vzdálenost ρ A (u, v) = u v A u, v D(A). Díky symetrii a pozitivní definitnosti A je (, ) A opravdu skalární součin a A norma na D(A).
30 Variační metody Definice: Řekneme, že posloupnost lineárně nezávislých funkcí v 1, v 2,... tvoří v D(A) bázi, lze-li ke každé funkci u D(A) a ke každé hodnotě ε > najít takové přirozené číslo j a taková čísla a 1, a 2,..., a j, že j u a i v i < ε. A i=1 Jinými slovy: Konečné lineární kombinace prvků báze jsou husté v D(A); konečnými lineárními kombinacemi prvků báze se dostaneme libovolně blízko k libovolnému prvku z D(A). Jiný pohled na hustotu, než s jakým jsme se setkali. Zvolme přirozené číslo n a označme V n n-rozměrný vektorový (lineární) podprostor prostoru D(A) vytvořený všemi funkcemi tvaru n b i v i, kde b 1,...,b n R. i=1
31 Ritzova metoda Funkcionál F(u) = (u, u) A 2(f, u) minimalizujeme nikoliv na D(A), nýbrž jen na podprostoru V n. Tedy mezi všemi n-ticemi hledáme takovou n-tici (c 1,..., c n ) R n, aby pro funkci u = n i=1 c iv i nabýval funkcionál F(u) minima na V n. Jde vlastně o hledání minima reálné funkce více proměnných, tj. proměnných c 1, c 2,..., c n.
32 Příklad: Řešme Ritzovou metodou problém u +(1+sin 2 x)u = 4, u() = = u(π). Operátor A = u +(1+sin 2 x)u je symetrický a pozitivně definitní na svém D(A) (proč?). Přísně vzato nevíme, zda funkcionál energie F(u) = (Au, u) 2(f, u), kde f = 4, na D(A) nabývá svého minima, ale pokud ano, je to minimum ostré. Najdeme řešení, jímž se k minimu přiblížíme, bude to tedy řešení jen přibližné. Báze 1 D(A): {sin kx : k = 1, 2,...}, vezměme 1. člen v 1 = sin x, tj. hledejme přibližné řešení ve tvaru u c = cv 1 = c sin x (OP splněny). 1 Stanovit bázi nemusí být snadný úkol a nebudeme se mu věnovat. Použitá trigonometrická báze je převzata ze skript K. Retorys: Matematika 43. Tamtéž viz příklad polynomiální báze.
33 Funkcionál energie pro funkci u c F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ) = c 2 (Av 1, v 1 ) 2c(f, v 1 ) ( ekvivalentní vyjádření je F(uc ) = c 2 (v 1, v 1 ) A 2c(f, v 1 ) ) definuje funkci jedné reálné proměnné g(c) = c 2 (Av 1, v 1 ) 2c(f, v 1 ). Poznámka: Skalární součin (Av, v) lze spočítat přímo nebo jako (v, v) A s využitím integrace po částech. Minimalizovat F na (pod)prostoru V = {c sin x : c R} je totéž, jako najít minimum paraboly g na R. Podmínka minima g (c) = implikuje 2c(Av 1, v 1 ) 2(f, v 1 ) =, tj. minima se nabývá pro c = (f, v 1) (Av 1, v 1 ) = (4, sin x) ( (sin x) +(1+sin 2 x) sin x, sin x) =
34 = π 4 sin x dx π ( (sin x) sin x +(1+sin 2 x) sin 2 x) dx = 64 1, π "Přesné" řešení červeně, přibližné řešení 1, 85 sin x modře.
35 Zkusme nyní hledat přibližné řešení ve tvaru u c = c 1 v 1 + c 2 v 2, kde v 1 = sin x, v 2 = sin 3x. (Výpočtem lze ukázat, že funkce sin 2x se v lineární kombinaci vyjadřující přibližné řešení vyskytuje s koeficientem. Uvidíme za chvíli.) Pak
36 F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ) = ( ) A(c 1 v 1 + c 2 v 2 ), c 1 v 1 + c 2 v 2 2(f, c1 v 1 + c 2 v 2 ) = c 1 (Av 1, c 1 v 1 + c 2 v 2 )+c 2 (Av 2, c 1 v 1 + c 2 v 2 ) 2c 1 (f, v 1 ) 2c 2 (f, v 2 ) = c1 2 (Av 1, v 1 )+c 1 c 2 (Av 1, v 2 )+c 1 c 2 (Av 2, v 1 )+c2 2 (Av 2, v 2 ) 2c 1 (f, v 1 ) 2c 2 (f, v 2 ) = c1 2 (Av 1, v 1 )+2c 1 c 2 (Av 1, v 2 )+c2 2 (Av 2, v 2 ) 2c 1 (f, v 1 ) 2c 2 (f, v 2 )
37 Hledá se tedy minimum funkce dvou proměnných: g(c 1, c 2 ) = c 2 1 (Av 1, v 1 )+2c 1 c 2 (Av 1, v 2 )+c 2 2 (Av 2, v 2 ) 2c 1 (f, v 1 ) 2c 2 (f, v 2 ). Podmínky minima: nulové parciální derivace dle c 1 a c 2 vedou k rovnicím (využito (Av j, v i ) = (v j, Av i ) = (Av i, v j )) c 1 (Av 1, v 1 )+c 2 (Av 1, v 2 ) =(f, v 1 ), c 1 (Av 1, v 2 )+c 2 (Av 2, v 2 ) =(f, v 2 ) nebo ekvivalentně c 1 (v 1, v 1 ) A + c 2 (v 1, v 2 ) A =(f, v 1 ), c 1 (v 1, v 2 ) A + c 2 (v 2, v 2 ) A =(f, v 2 ). Po vyčíslení skalárních součinů dostaneme (Ritzovu) soustavu lineárních algebraických rovnic pro dvě neznámé:
38 Řešení: c 1 = 1, 87, c 2 =, 26 u c = 1, 87 sin x +, 26 sin 3x. 2 c 1 11π/8 c 2 π/8 = 8, c 1 π/8+c 2 21π/4 = 8/ "Přesné" řešení červeně, 1. přibližné modře, 2. přibližné zeleně.
39 Zkusme nyní hledat přibližné řešení ve tvaru u c = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 + c 4 v 4 + c 5 v 5, kde v 1 = sin x, v 2 = sin 2x, v 3 = sin 3x, v 4 = sin 4x, v 5 = sin 5x.
40 Opět se hledá minimum funkce F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ) ( = g(c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 ) ), tentokrát však už pěti proměnných, tj. c 1, c 2, c 3, c 4, c 5. Podmínky minima: nulové parciální derivace, z nich dostáváme soustavu (v 1, v 1 ) A c 1 +(v 1, v 2 ) A c 2 +(v 1, v 3 ) A c 3 +(v 1, v 4 ) A c 4 +(v 1, v 5 ) A c 5 = (f, v 1 ), (v 2, v 1 ) A c 1 +(v 2, v 2 ) A c 2 +(v 2, v 3 ) A c 3 +(v 2, v 4 ) A c 4 +(v 2, v 5 ) A c 5 = (f, v 2 ), (v 3, v 1 ) A c 1 +(v 3, v 2 ) A c 2 +(v 3, v 3 ) A c 3 +(v 3, v 4 ) A c 4 +(v 3, v 5 ) A c 5 = (f, v 3 ), (v 4, v 1 ) A c 1 +(v 4, v 2 ) A c 2 +(v 4, v 3 ) A c 3 +(v 4, v 4 ) A c 4 +(v 4, v 5 ) A c 5 = (f, v 4 ), (v 5, v 1 ) A c 1 +(v 5, v 2 ) A c 2 +(v 5, v 3 ) A c 3 +(v 5, v 4 ) A c 4 +(v 5, v 5 ) A c 5 = (f, v 5 ). Symetrie!
41 Řešení: c 1 = 1, 87, c 2 =, c 3 =, 27, c 4 =, c 5 =, 44 u c = 1, 87 sin x +, 27 sin 3x +, 44 sin 5x "Přesné" řešení červeně, přibližné s 1. bázovou funkcí modře, přibližné s 1., (2.) a 3. bázovou funkcí zeleně, přibližné s 1., (2.), 3., (4.) a 5. bázovu funkcí černě.
42 Jiný systém bázových funkcí pro OÚ (pu ) + qu = f, u() =, u(b) =, kde p(x) p >, q(x) na intervalu (, b). Polynomiální báze: v 1 = g(x), v 2 = xg(x),..., v n = x n 1 g(x),..., kde g C 2 ([, b]) je kladná funkce v intervalu (, b) splňující okrajové podmínky. Např. g(x) = x(b x).
43 Přibližné řešení naší úlohy (p = 1, q = 1+sin 2 x) u +(1+sin 2 x)u = 4, u() = = u(π), hledejme ve tvaru u c = cv 1 = cx(π x), tedy v jednorozměrném prostoru {cx(π x) : c R}, jenž je podprostorem prostoru D(A). Hodnotu c R musíme určit. Opět minimalizujeme funkci jedné reálné proměnné g(c) = F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ) = c 2 (Av 1, v 1 ) 2c(f, v 1 ), kde Av 1 = (x(π x)) +(1+sin 2 x)x(π x).
44 Podmínka minima g (c) = implikuje 2c(Av 1, v 1 ) 2(f, v 1 ) =, tj. minima se nabývá pro c = (f, v 1) (Av 1, v 1 ) = (4, x(π x)) ( (x(π x)) +(1+sin 2 x)x(π x), x(π x)) π 4x(π x) dx = π (2x(π, 738. x)+(1+sin2 x)x 2 (π x) 2 ) dx
45 Tedy přibližné řešení u =, 738x(π x) "Přesné" řešení červeně, přibližné modře.
46 Srovnání s přibližným řešením u = 1, 85 sin x (fuchsinová)
47 Rozšiřme prostor, v němž hledáme přibližné řešení. Necht u c = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3, kde v 1 = x(π x), v 2 = x 2 (π x), v 3 = x 3 (π x). Minimalizujeme funkci tří reálných proměnných g(c 1, c 2, c 3 ) = F(u c ) = (Au c, u c ) 2(f, u c ), kde Au c = u c +(1+sin 2 x)u c. Z podmínky nulovosti parciálních derivací funkce g dostaneme soustavu tří rovnic pro tři neznámé, jejím vyřešením pak přibližné řešení:
48 u = 1, 16x(π x), 416x 2 (π x)+, 132x 3 (π x) "Přesné" řešení červeně, přibližné s 1 bázovou funkcí modře, přibližné se 3 bázovými funkcemi zeleně.
49 Příklad: ((2+sin(x))u ) + xu = f, u() = u(π) =, kde f je taková funkce, aby u = sin(3x)exp(x) bylo přesné řešení OÚ. 15 Presne reseni: sin(3x)exp(x) 1 presne priblizne, 3 baz. fce x Prostor, v němž hledáme přibližné řešení, je příliš malý (dimenze 3), rozdíl mezi přesným a přibližným řešením je značný.
50 15 1 Presne reseni: sin(3x)exp(x) presne priblizne, 5 baz. fci x
51 15 1 Presne reseni: sin(3x)exp(x) presne priblizne, 7 baz. fci x
52 15 1 Presne reseni: sin(3x)exp(x) presne priblizne, 9 baz. fci x
53 Nehomogenní okrajové podmínky převod na úlohu s homogenními okrajovými podmínkami: řešení hledáme ve tvaru u = u + w, kde funkce w splňuje zadané nehomogenní OP a funkce u vyhovuje homogenním OP. Příklad: Okrajová úloha u + e x u = cos x v (, 3), u() = 1, u(3) = 5. Zvolíme například w(x) = 1 2x, pak u = u + w dosadíme do rovnice a odvodíme OÚ pro neznámou funkci u (jest u = (u + w) = u ): u + ex (u + w) = cos x v (, 3)
54 Po úpravě u + ex u = cos x e x (1 2x) v (, 3), u () =, u (3) =. Ritzovou metodou můžeme najít přibližné řešení u Ritz této nové OÚ. Pak přibližné řešení původní OÚ je u Ritz = u Ritz + 1 2x.
Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Literatura:
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceLiteratura: Text o lineární algebře na webových stránkách přednášejícího (pro opakování). Kapitoly 4 a 5 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3,
Předmět: MA4 Dnešní látka Motivační úloha: ztráta stability nosníku Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami a jejich řešitelnost Vlastní čísla a vlastní funkce Obecnější pohled na řešitelnost
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceLiteratura: O. Zindulka: Matematika 3 (kapitola 4, kapitola 5)
Předmět: MA03 Opakování: formulace okrajové úlohy (OÚ), skalární součin funkcí, ortogonalita funkcí Nová látka: vlastní čísla a vlastní funkce OÚ ortogonalita vlastních funkcí řešitelnost OÚ Literatura:
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceLiteratura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Vícekteré charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VícePružnost a plasticita II CD03
Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Více