MASARYKOVA UNIVERZITA. Čtyřúhelníky PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Diplomová práce. Katedra matematiky. Brno Vedoucí práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc.

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Čtyřúhelníky Diplomová práce Brno 2008 Vedoucí práce: RNDr. Růžena Blažková, CSc. Autor práce: Mgr. Marta Mrázová 1

2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracovala samostatně a použila jen prameny uvedené v seznamu literatury. V Brně dne 5. prosince 2008 Marta Mrázová 2

3 Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala RNDr. Růženě Blažkové, CSc. za její čas, trpělivost a cenné rady, které mi v průběhu vypracování této diplomové práce poskytla. 3

4 OBSAH OBSAH... 4 ÚVOD ČTYŘÚHELNÍKY TŘÍDĚNÍ ČTYŘÚHELNÍKŮ ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI ROVNOBĚŽNÍKŮ TŘÍDĚNÍ ROVNOBĚŽNÍKŮ SOUHRNNÝ PŘEHLED ZÁKLADNÍCH VLASTNOSTÍ ROVNOBĚŽNÍKŮ LICHOBĚŽNÍKY VLASTNOSTI OBECNÉHO LICHOBĚŽNÍKU SPECIÁLNÍ PŘÍPADY LICHOBĚŽNÍKU Vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku Vlastnosti pravoúhlého lichoběžníku RŮZNOBĚŽNÍKY DELTOID VLASTNOSTI DELTOIDU DALŠÍ VLASTNOSTI ČTYŘÚHELNÍKŮ TEČNOVÉ ČTYŘÚHELNÍKY TĚTIVOVÉ ČTYŘÚHELNÍKY DVOUSTŘEDOVÉ ČTYŘÚHELNÍKY VZTAHY PRO POČETNÍ ÚLOHY SE ČTYŘÚHELNÍKY ROVNOBĚŽNÍKY Čtverec Obdélník Kosodélník Kosočtverec LICHOBĚŽNÍKY RŮZNOBĚŽNÍKY SOUHRNNÝ PŘEHLED ČTYŘÚHELNÍKY V UČIVU ZŠ RÁMCOVÝ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM OSNOVY PRO VZDĚLÁVACÍ PROGRAM ZÁKLADNÍ ŠKOLA ŘEŠENÉ POČETNÍ PŘÍKLADY SBÍRKA PŘÍKLADŮ ZÁVĚR RESUME SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY

5 ÚVOD Diplomová práce se zabývá tématem čtyřúhelníky. Uvádí některé poznatky o těchto geometrických útvarech, zejména v rámci učiva matematiky na základní škole. Toto téma jsem si vybrala proto, že mě geometrie velice zajímá. Její rozsah je však široký. Bylo tedy třeba se rozhodnout pro konkrétnější téma. Vybrala jsem čtyřúhelníky, jelikož i v učivu na základní škole je jim věnována velká pozornost. Věřím, že zpracování tohoto tématu bude pro mě přínosem v mé učitelské praxi. První kapitola se zabývá čtyřúhelníky z obecného hlediska. Je zde proto uvedena jejich definice, základní vlastnosti a třídění. Přesná terminologie je pro učitele velice důležitá. V prvé řadě proto, aby byla látka správně pochopena, ale také proto, aby se žáci terminologii správně naučili, uvědoměle ji používali a nezaměňovali odborné pojmy. Následující tři kapitoly se pak zabývají konkrétními druhy čtyřúhelníků (rovnoběžníky, lichoběžníky a různoběžníky) a jejich vlastnostmi. Jednotlivé vlastnosti jsou uvedeny ve větách a ty jsou dokázány. Pátá kapitola se věnuje čtyřúhelníkům tečnovým a tětivovým tzn. těm, kterým lze vepsat či opsat kružnici. Je to specifická vlastnost, která se týká jen některých čtyřúhelníků. V šesté kapitole jsou uvedeny vztahy pro výpočty obvodů a obsahů konkrétních čtyřúhelníků. Poslední tři kapitoly se zabývají tématem čtyřúhelníky vzhledem k jejich užití na základní škole. Je zde uvedeno, jak je toto téma obsaženo v základních dokumentech pro vyučování na ZŠ tedy v Učebních osnovách pro vzdělávací program Základní škola a Rámcovém vzdělávacím programu. Dále jsou řešené některé složitější úlohy z matematických olympiád, které se tohoto tématu týkají. Poslední kapitola je pak sbírkou příkladů k procvičení učiva o čtyřúhelnících. Je složena z příkladů z nejrůznějších učebnic a cvičebnic, podle kterých se učí a učilo na základní škole. Může sloužit jak učitelům jako námět pro jejich pedagogickou činnost, tak žákům k procvičení tohoto tématu. 5

6 1. ČTYŘÚHELNÍKY Čtyřúhelník lze definovat více způsoby. Uveďme alespoň dvě definice čtyřúhelníku. Definice 1: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD rozumíme sjednocení trojúhelníků ABD a BDC právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD. Definice 2: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry se čtyřmi vrcholy A, B, C, D a její vnitřní oblasti. Obecný čtyřúhelník ABCD je znázorněn v následujícím obrázku (obr. 1). Obr. 1 Body A, B, C, D se nazývají vrcholy čtyřúhelníku ABCD, dvojice A, B; B, C; C, D a A, D sousední vrcholy a dvojice A, C a B, D protější vrcholy tohoto čtyřúhelníku. Úsečky AB, BC, CD, AD se nazývají strany čtyřúhelníku ABCD, dvojice AB, BC; BC, CD; CD, AD; AD, AB jsou sousední strany a dvojice AB, DC a BC, AD jsou protější strany tohoto čtyřúhelníku. 6

7 Úsečky AC, BD nazýváme úhlopříčky čtyřúhelníku ABCD. Úhly ABC, BCD, ADC, BAD náležící vnitřní oblasti čtyřúhelníku nazýváme vnitřními úhly, přičemž dvojice úhlů ABC, BCD; BCD, ADC; ADC, BAD; BAD, ABC označujeme jako sousední úhly čtyřúhelníku ABCD a dvojice úhlů ABC, ADC a BCD, BAD jako protější úhly čtyřúhelníku ABCD. Ve školské matematice se pro velikosti úseček čtyřúhelníku užívá tohoto označení: AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, AC = e = u 1, BD = f = u 2 ; a pro velikosti jeho úhlů: BAD = α, ABC = β, BCD = γ, ADC = δ. Věta V1.1: Součet velikostí všech vnitřních úhlů čtyřúhelníku je roven 360. Důkaz věty V1.1: (Obr. 2.) Nechť ABCD je čtyřúhelník. Úhlopříčka AC rozdělí tento čtyřúhelník ABCD na trojúhelníky ABC a ACD. Je zřejmé, že součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku ABCD se rovná součtu velikostí vnitřních úhlů trojúhelníků ABC a ACD. Pro trojúhelník ABC platí: je-li BAC = α 1, ACB = γ 1, ABC = β, pak pro velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC platí: α 1 + β + γ 1 = 180. Pro trojúhelník ACD platí: je-li CAD = α 2, ACD = γ 2, ADC = δ, pak pro velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC platí: α 2 + δ + γ 2 = 180. Z těchto dvou platností pro čtyřúhelník ABCD plyne, že: α 1 + β + γ 1 + α 2 + δ + γ 2 = tedy: α 1 + α 2 + β + γ 1 + γ 2 + δ = 360 a protože α = α 1 + α 2 a γ = γ 1 + γ 2 : α + β + γ + δ = 360. (srov. [36], s. 24, 25) Obr. 2 7

8 1.1 Třídění čtyřúhelníků Čtyřúhelníky můžeme třídit z mnoha hledisek. Mezi nejzákladnější patří rozdělení na čtyřúhelníky konvexní a nekonvexní. Ve školské matematice se zabýváme zejména čtyřúhelníky konvexními. Definice 3: Útvar U nazýváme konvexní právě tehdy, když pro každé jeho dva body X, Y platí, že úsečka XY je podmnožinou útvaru U. Definice 4: Útvar U nazýváme nekonvexní právě tehdy, když existují alespoň dva body X, Y náležící útvaru U pro které platí, že úsečka XY není podmnožinou útvaru U. Čtyřúhelník ABCD na obr. 3a je konvexní na obr. 3b nekonvexní. Pro konvexní čtyřúhelník musí platit, že všechny jeho vnitřní úhly jsou větší než 0 a menší než 180, zatímco nekonvexní čtyřúhelník má právě jeden úhel větší než 180 a menší než 360. Obr. 3a Obr. 3b způsobem: Konvexní čtyřúhelník je možno definovat jako průnik polorovin tímto Definice 5: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Konvexním čtyřúhelníkem nazýváme takový čtyřúhelník ABCD, který je průnikem polorovin ABC, BCD, CDA a DAB. Konvexní čtyřúhelník ABCD = ABC BCD CDA DAB. 8

9 Konvexní čtyřúhelníky můžeme dále třídit různými způsoby. Jedním způsobem je třídění podle vzájemné polohy protějších stran získáváme tak různoběžníky a čtyřúhelníky s rovnoběžnými stranami, což jsou rovnoběžníky a lichoběžníky. Rovnoběžník je konvexní čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou rovnoběžné. Lichoběžník je konvexní čtyřúhelník, jehož dvě protější strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě strany jsou různoběžné. Různoběžník je konvexní čtyřúhelník, jehož žádné dvě protější strany nejsou rovnoběžné. Dále třídíme rovnoběžníky například podle polohy sousedních stran, tedy na pravoúhelníky a kosoúhelníky. (Podrobnějším roztříděním rovnoběžníků se budeme zabývat v kapitole 2. 2.) Třídění čtyřúhelníků pak můžeme jednoduše shrnout v následujícím schématu. ČTYŘÚHELNÍKY RŮZNOBĚŽNÍKY ČTYŘÚHELNÍKY S ROVNOBĚŽNÝMI STRANAMI LICHOBĚŽNÍKY ROVNOBĚŽNÍKY PRAVOÚHELNÍKY KOSOÚHELNÍKY OBDÉLNÍKY ČTVERCE KOSODÉLNÍKY KOSOČTVERCE 9

10 2. ROVNOBĚŽNÍKY V této kapitole se nyní blíže seznámíme s rovnoběžníky, které tvoří převážnou část čtyřúhelníků probíraných v matematice na základní škole. Definice 6: Konvexní čtyřúhelník ABCD nazýváme rovnoběžník právě tehdy, když jeho dvě dvojice protějších stran jsou rovnoběžné. (Obr. 4.) Obr. 4 Jsou-li všechny jeho vnitřní úhly pravé, nazýváme tyto rovnoběžníky pravoúhlé, není-li tomu tak, nazýváme je kosoúhlé. Jsou-li všechny jeho strany shodné úsečky, nazýváme tyto rovnoběžníky rovnostranné. 2.1 Základní vlastnosti rovnoběžníků V následující kapitole uveďme základní vlastnosti rovnoběžníků. Věta V2.1: Protější strany rovnoběžníku jsou shodné. Důkaz věty V2.1: (Obr. 5.) Nechť ABCD je rovnoběžník. Je-li AB CD BC AD AB CD BC AD. Úhlopříčka AC rozděluje čtyřúhelník ABCD na trojúhelníky ABC a CDA. Z rovnoběžnosti stran AB a CD pak plyne, že BAC ACD (jedná se o střídavé úhly) a CAD ACB (taktéž střídavé úhly), a protože AC je společná strana obou trojúhelníků, jsou podle věty usu oba trojúhelníky shodné tedy ABC CDA. 10

11 Z této shodnosti vyplývá i shodnost příslušných stran trojúhelníku ABC a CDA: AB CD BC AD. Obr. 5 Věta V2.2: Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné. Důkaz věty V2.2: Nechť ABCD je rovnoběžník. Je-li AB CD BC AD BAD BCD ABC ADC. 1) V důkazu věty V2.1 jsme z rovnoběžnosti stran AB a CD vyvodili, že BAC ACD a CAD ACB, (přičemž jsme vycházeli z toho, že úhlopříčka AC rozdělila čtyřúhelník ABCD na trojúhelníky ABC a CDA, a potom jsme dokázali jejich shodnost). Nechť BAC = α 1 (tedy i ACD = α 1 ) a CAD = α 2 (tedy i ACB = α 2 ). Jelikož BAD = BAC CAD a BCD = ACD ACB platí, že BAD = α 1 + α 2 a BCD = α 1 + α 2. To znamená, že BAD = BCD, tedy BAD BCD. 2) Nyní rozdělíme čtyřúhelník ABCD úhlopříčkou BD na trojúhelníky ABD a CBD (obr. 6) a obdobným způsobem dokážeme, že ABC ADC. Obr. 6 Jelikož ABD BDC (střídavé úhly) CBD ADB (střídavé úhly) BD je společná strana obou trojúhelníků platí, že ABD CBD. Dále nechť platí: ABD = β 1 (tedy i BDC = β 1 ) a CBD = β 2 (tedy i ADB = β 2 ). A protože 11

12 ABC = ABD CBD ADC = CDB ADB znamená to, že ABC = β 1 + β 2 a ADC = β 1 + β 2 a z toho plyne, že ABC = ADC, tedy ABC ADC. Sloučením výsledku z 1) a 2) dostáváme, že: BAD BCD a ABC ADC. Věta V2.3: Součet velikostí každých dvou sousedních úhlů rovnoběžníku je 180. Důkaz věty V2.3: V větě V2.2 jsme dokázali, že protější vnitřní úhly jsou vždy shodné. Protože součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku je roven 360, platí 2 α + 2 β = 360. Po vydělení této rovnosti dvěma vychází α + β = 180. Tento důkaz by bylo možné provést také na základě vlastností vedlejších a souhlasných úhlů (obr. 7): Úhly α a β jsou souhlasné, jsou tedy shodné a pro jejich velikosti tedy platí α = β. Jelikož β, β jsou vedlejší úhly, je součet jejich velikostí 180. A protože α = β, znamená to, že také součet sousedních úhlů α a β je 180. Obr. 7 Věta V2.4: Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí. Důkaz věty V2.4: (Obr. 8.) Nechť ABCD je rovnoběžník. Nechť S je průsečík úhlopříček AC a BD. Je-li AB CD BC AD AS CS BS DS. Protože AB CD, BAC ACD (střídavé úhly) a ABD BDC (taktéž střídavé úhly) a bod S náleží jak úsečce AC, tak úsečce BD, platí podle věty usu: ABS CDS. 12

13 Z této shodnosti vyplývá i shodnost příslušných stran trojúhelníku ABS a CDS: AS CS a BS DS, což znamená, že úhlopříčka AC je rozdělena bodem S na dvě shodné úsečky AS a CS a úhlopříčka BD je rozdělena bodem S na dvě shodné úsečky BS a DS. Jinak řečeno, protože bod S je průnikem úhlopříček, tak se úhlopříčky navzájem půlí. Obr. 8 Věta V2.5: Průsečík úhlopříček je středem souměrnosti rovnoběžníku. Důkaz věty V2.5: (Obr. 9.) Nechť S je průsečík úhlopříček rovnoběžníku ABCD. Ve větě V2.4 jsme dokázali, že AS CS BS DS. Můžeme tedy říct, že vrchol D je obrazem vrcholu B a vrchol C je obrazem vrcholu A ve středové souměrnosti se středem S. Platí tedy také, že trojúhelník CDS je obrazem trojúhelníku ABS a trojúhelník BCS obrazem trojúhelníku ADS. Je tedy zřejmé, že rovnoběžník ABCD je středově souměrný podle bodu S. Obr. 9 Věta V2.6: Každý středově souměrný čtyřúhelník je rovnoběžník. Důkaz věty V2.6: Nechť ABCD je čtyřúhelník a předpokládejme, že je souměrný podle nějakého středu S. Pak obrazem jeho vrcholu A je některý ze zbylých vrcholů B, C nebo D. Žádný vrchol nemůže být samodružný, protože aby byl čtyřúhelník souměrný, musí střed souměrnosti náležet vnitřní oblasti čtyřúhelníku, tedy žádný vrchol nemůže být středem souměrnosti. (srov. [16], s. 88) 13

14 Kdyby byl jeho obrazem sousední vrchol, např. B (obr. 10a), byly by souměrně sdružené vrcholy C a D a protější strany AB a CD by měly společný bod S. Proto je obrazem vrcholu A vrchol C a obrazem vrcholu B vrchol D (obr. 10b). Strany AB a CD jsou souměrně sdružené, tedy rovnoběžné. Podobné tvrzení platí i pro souměrně sdružené strany BC a AD. Čtyřúhelník ABCD je tedy rovnoběžník a střed souměrnosti S je průsečík jeho úhlopříček. ([16], s. 88) Obr. 10a Obr. 10b Věta V2.7: Má-li čtyřúhelník všechny strany shodné, jeho úhlopříčky svírají pravý úhel. Důkaz věty V2.7: Uvažujme rovnostranný čtyřúhelník ABCD, průsečík jeho úhlopříček označme S. Úhlopříčky rozdělí tento čtyřúhelník na čtyři trojúhelníky: ABS, CDS, CBS a ADS (obr. 11a, b). Podle věty usu jsou tyto čtyři trojúhelníky shodné. (Např. SAB SCD a ABS CDS střídavé úhly a z výchozí podmínky AB CD, to znamená, že ABS CDS. Obdobně bychom dokázali i ostatní shodnosti.) To také znamená, že ASB BSC CSD ASD, pro jejich velikosti tedy platí ASB = BSC = CSD = ASD = 90 (360 : 4). (Obr. 11c). Obr. 11a Obr. 11b Obr. 11c 14

15 Věta V2.8: Má-li rovnoběžník shodné dvě sousední strany, jsou všechny jeho strany shodné. Důkaz věty V2.8: Máme dokázat, že platí-li v čtyřúhelníku ABCD, že AB BC, pak také platí, že BC DC AD. V důkazu věty V2.1 jsme dokázali, že je-li AB CD BC AD AB CD BC AD. Protože tento důkaz provádíme pro rovnoběžník, platí tato věta i v tomto případě. Proto můžeme tvrdit, že na základě toho, že AB BC, je také BC DC, tedy všechny strany jsou shodné. Věta V2.9: Je-li jeden vnitřní úhel rovnoběžníku pravý, jsou všechny čtyři vnitřní úhly pravé. Důkaz věty V2.9: Nechť ABCD je rovnoběžník. Je-li například BAD pravý, platí na základě věty V2.3 pro velikost úhlu ABC: ABC = = 90. Tedy oba tyto sousední úhly jsou pravé. Protější úhly BAD, BCD a ABC, ADC jsou na základě věty V2.2 shodné, proto i BCD = 90 a ADC = 90, jsou tudíž pravé. Věta V2.10: Úhlopříčky pravoúhlých rovnoběžníků jsou shodné. Důkaz věty V2.10: (Obr. 12.) Nechť ABCD je rovnoběžník. Předpokladem této věty je, že vnitřní úhly tohoto rovnoběžníku jsou pravé. Platí tedy: BAD ABC. Základní vlastností (dokázanou ve větě V2.1) rovnoběžníku je, že jeho protější strany jsou shodné, proto můžeme konstatovat, že BC AD. Budeme-li uvažovat ABD a ABC, platí pro ně z právě uvedených vlastností a z věty sus (AB společná strana, BAD ABC, BC AD), že jsou shodné. Na základě této shodnosti trojúhelníku musí pak také platit, že AC BD. Obr

16 Věta V2.11: Úhlopříčky rovnostranných rovnoběžníků jsou osami jejich vnitřních úhlů. Důkaz věty V2.11: Nechť ABCD je rovnostranný rovnoběžník. Ve větě V2.7 bylo dokázáno, že úhlopříčky rozdělí tento čtyřúhelník na čtyři shodné trojúhelníky ABS, CDS, CBS a ADS. Z toho také vyplývá, že úhly BAS, DCS, BCS a DAS jsou shodné. A je-li BAS DAS znamená to, že úhel BAD je danou úhlopříčkou (přímkou AS) rozdělen na dva shodné úhly. Takto bychom postupovali i u ostatních úhlů úhlů ABC, BCD, ADC. Můžeme tedy tvrdit, že úhlopříčky rovnostranných rovnoběžníků jsou osami jejich vnitřních úhlů. Věta V2.12: Svírají-li úhlopříčky rovnoběžníku pravý úhel, je tento rovnoběžník osově souměrný podle přímek obsahujících tyto jeho úhlopříčky. Důkaz věty V2.12: Předpokladem této věty je, že úhlopříčky dokazovaného rovnoběžníku svírají pravý úhel. Z věty V2.7 lze vyvodit, že takový čtyřúhelník má všechny strany shodné. Uvažujme tedy rovnoběžník ABCD, jehož strany jsou shodné a jeho úhlopříčky svírají pravý úhel (obr. 13a). Protože se úhlopříčky navzájem půlí (V2.4), prochází přímka BC středem úsečky AC. A jelikož jsou úhlopříčky na sebe kolmé (předpoklad této věty V2.12), můžeme konstatovat, že přímka BD je osou úsečky AC. V osové souměrnosti dle osy BD je obrazem bodu A bod C a naopak, a body B, D jsou samodružné. Tedy obrazem úsečky (strany) AB je úsečka (strana) CB a naopak. A obrazem úsečky (strany) AD je úsečka (strana) CD a naopak. Obdobně bychom dokázali, že také přímka obsahující úhlopříčku AC je osou souměrnosti takovéhoto rovnoběžníku (je tentokrát osou úsečky BD) (obr. 13b). Obr. 13a Obr. 13b 16

17 Věta V2.13: Je-li rovnoběžník pravoúhlý, je také osově souměrný podle přímek spojujících středy každých dvou protějších stran. Důkaz věty V2.13: Předpokladem této věty je, že všechny vnitřní úhly daného rovnoběžníku jsou pravé. Uvažujme tedy takový rovnoběžník, jeho vrcholy označme body A, B, C, D a také označme středy stran AB a DC body M a N v tomto pořadí (obr. 14a). Nyní potřebujeme dokázat, že přímka MN je kolmá na strany AB a CD, tedy je jejich osou. Jelikož je M střed úsečky AB, platí AM MB, a jelikož N je střed DC, platí DN NC. Pro rovnoběžník platí, že jeho protější strany jsou shodné (V2.1), tedy AB DC. Proto také platí AM DN a MB NC. Jestliže AM DN, znamená to, že bod M je ve stejné vzdálenosti od bodu A, jako je bod N od bodu D. Přímka MN je tedy rovnoběžná se stranou AD. Protože je AD kolmá na stranu AB a na stranu CD, je i přímka MN kolmá na strany AB a CD. Z této kolmosti plyne, že přímka MN je osou úseček AB a CD (je na ně kolmá a prochází jejich středy). To pak znamená, že bod B je obrazem bodu A a naopak, že bod C je obrazem bodu D a naopak, a body M, N jsou samodružné. Platí tedy, že obrazem úsečky AM je úsečka BM a naopak, že obrazem úsečky DN je úsečka CD a naopak, a tedy i obrazem AD je úsečka BC. Můžeme tudíž konstatovat, že tento rovnoběžník je osově souměrný podle přímky MN, tedy podle přímky spojující středy stran AB a CD. Obdobně bychom dokázali, že také přímka spojující středy stran BC a AD je osou souměrnosti těchto úseček a tedy i celého rovnoběžníku (obr. 14b). Obr. 14a Obr. 14b 17

18 2.2 Třídění rovnoběžníků Rovnoběžníky je možno třídit více způsoby například podle vlastností sousedních stran či vlastností úhlopříček. Třídění podle vlastností sousedních stran: kolmé shodné čtverce sousední strany neshodné obdélníky kosé shodné kosočtverce neshodné kosodélníky Třídění podle vlastností úhlopříček: kolmé shodné čtverce úhlopříčky neshodné kosočtverce kosé shodné obdélníky neshodné kosodélníky Definice 7: Kosodélník je rovnoběžník, jehož sousední strany mají různé délky a nejsou k sobě kolmé. (Obr. 15.) Obr. 15 Kosodélník je nejobecnějším případem rovnoběžníku. 18

19 Definice 8: Kosočtverec (obr. 16) je rovnoběžník, jehož sousední strany mají stejné délky a nejsou k sobě kolmé. Obr. 16 Definice 9: Obdélník (obr. 17) je rovnoběžník, jehož všechny vnitřní úhly jsou pravé a jeho sousední strany nejsou shodné. Obr. 17 Definice 10: Čtverec (obr. 18) je rovnoběžník, který má všechny vnitřní úhly pravé a všechny strany shodné. Obr

20 2.3 Souhrnný přehled základních vlastností rovnoběžníků Na základě podkapitoly 2.1 a definic daných rovnoběžníků můžeme jejich vlastnosti shrnout do následující tabulky. V ní je uvedeno, zda platí daná tvrzení. TVRZENÍ Protější strany jsou rovnoběžné. KOSO- DÉLNÍK ROVNOBĚŽNÍKY KOSO- ČTVEREC OBDÉLNÍK ČTVEREC ANO ANO ANO ANO Protější strany jsou shodné. ANO ANO ANO ANO Sousední strany jsou kolmé. NE NE ANO ANO Sousední strany jsou shodné. NE ANO NE ANO Všechny strany jsou shodné. NE ANO NE ANO Součet velikostí vnitřních úhlů je 360. ANO ANO ANO ANO Vnitřní úhly jsou pravé. NE NE ANO ANO Součet velikostí sousedních úhlů je 180. ANO ANO ANO ANO Protější úhly jsou shodné. ANO ANO ANO ANO Úhlopříčky se navzájem půlí. ANO ANO ANO ANO Úhlopříčky jsou shodné. NE NE ANO ANO Úhlopříčky svírají pravý úhel. NE ANO NE ANO Úhlopříčky jsou osami vnitřních úhlů. NE ANO NE ANO Daný rovnoběžník je středově souměrný. ANO ANO ANO ANO (S průsečík úhlopříček.) Daný rovnoběžník je osově souměrný dle přímek NE ANO NE ANO obsahujících jeho úhlopříčky. Daný rovnoběžník je osově souměrný dle přímek spojujících středy protějších stran. NE NE ANO ANO 20

21 3. LICHOBĚŽNÍKY Definice 11: Lichoběžník (obr. 19) je konvexní čtyřúhelník, jehož dvě protější strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě protější strany jsou různoběžné. Obr. 19 Rovnoběžné strany lichoběžníku se nazývají základny a různoběžné strany ramena lichoběžníku. Úsečka, jejímiž krajními body jsou středy těchto ramen, se nazývá střední příčka lichoběžníku. Vzdálenost základen se nazývá výška lichoběžníku. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, nazýváme rovnoramenný lichoběžník. Lichoběžník, jehož jedno rameno je kolmé k základně, nazýváme pravoúhlý lichoběžník. 3.1 Vlastnosti obecného lichoběžníku Věta V3.1: Střední příčka lichoběžníku je rovnoběžná s oběma základnami a její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen. Důkaz věty V3.1: (Obr. 20.) Nechť ABCD je lichoběžník se základnami AB a CD. Střed ramene AD označme M, střed ramene BC označme N. Dále průsečík polopřímek BA a CM označme E. Jelikož AB CD a E náleží polopřímce BA, platí též, že BE CD. Z toho pak dále plyne, že AEM DCM (jedná se o střídavé úhly) a EAM CDM (taktéž střídavé úhly). Podle věty usu tedy EAM CDM a z uvedené shodnosti vyplývá: EA CD. Pro délku strany EB trojúhelníku EBC platí: EB = a + c. 21

22 Nyní si na polopřímce MN zvolme bod F tak, aby platilo MN = NF. Musíme dokázat, že čtyřúhelník EBFM je rovnoběžník. Podle sus je ABC CDA (MN FN BN CN BNF CNM vrcholové), tedy CM BF. A protože EM CM, je také EM BF. Z dané shodnosti trojúhelníků také plyne, že MCN FBN a CMN BFN, jedná se tedy o střídavé úhly vůči přímkám MC a BF a to znamená, že EM BF. Z úsudků EM BF a EM BF jsme dokázali, že čtyřúhelník EBFM je rovnoběžník. To znamená, že EB MF, nebo-li MN AB ( CD) - tedy střední příčka MN je rovnoběžná se svými základnami. Že je EBFM rovnoběžník, znamená to také, že EB FM. A protože N je střed 1 1 FM, platí, že MN = FM = BE. Jak jsme již dokázali, BE = a + c, proto 2 2 BE = a + c, kde a, c jsou délky základen. Tím jsme dokázali, že velikost střední 2 příčky je rovna aritmetickému průměru délek jeho základen. Obr. 20 Věta V3.2: Součet vnitřních úhlů při každém rameni lichoběžníku je úhel přímý. Důkaz věty V3.2: Nechť ABCD je lichoběžník se základnami AB a CD. Prodlužme jeho ramena AD a BC a průsečík těchto polopřímek označme P. (Obr. 21.) Obr

23 Protože základny AB a CD jsou rovnoběžné, platí BAD CDP a ABC DCP (jedná se vždy o dvojici souhlasných úhlů). Úhel CDP je vedlejší k úhlu ADC, proto je jejich součet 180. Také DCP je vedlejší k BCD, a tedy je jejich součet také 180. Pro úhly u ramena AD i pro úhly u ramena BC tak platí: BAD + ADC = 180 a ABC + BCD = 180, jedná se tedy v obou případech o úhly přímé. (srov. [16], s. 80) 3.2 Speciální případy lichoběžníku Již v úvodu kapitoly o lichoběžníku byly uvedeny pojmy rovnoramenný a pravoúhlý lichoběžník. Uveďme nyní některé jejich vlastnosti Vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku Věta V3.3: Rovnoramenný lichoběžník je souměrný podle společné osy obou základen. Důkaz věty V3.3: Uvažujme rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD. Sestrojme přímku o, která prochází středem S 1 základny AB, i středem S 2 základny CD (obr. 23a). Trojúhelníky AS 1 D a BS 1 C jsou podle věty sus shodné. Proto CS 1 = DS 1. Také trojúhelníky DS 1 S 2 a CS 1 S 2 (obr. 23b) jsou shodné podle věty sss. Platí tedy DS 2 S 1 = CS 2 S 1 = 180 : 2 = 90. To znamená, že přímka o je k oběma základnám kolmá (obr. 23c). Přímka o je tedy společnou osou úseček AB a CD, takže ramena AD a BC jsou podle ní souměrně sdružená. Přímka o je tedy osou souměrnosti rovnoramenného lichoběžníku ABCD. (srov. [16], s. 81, 82) Obr. 23a Obr. 23b Obr. 23c 23

24 Věta V3.4: Úhly přilehlé k základně rovnoramenného lichoběžníku jsou shodné. Důkaz věty V3.4: Uvažujme rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD. Veďme vrcholy C a D kolmice k základně AB. Nechť body Y, X jsou v tomto pořadí jejich průsečíky se základnou AB. Vznikly tak úsečky CY a DX kolmé k oběma základnám (obr. 24). Obě úsečky jsou shodné, neboť délka každé z nich je rovna výšce lichoběžníku ABCD. Tyto úsečky dělí lichoběžník na obdélník (nebo čtverec) XYCD a dva pravoúhlé trojúhelníky AXD a BYC, které jsou shodné podle vět Ssu. ([16], s. 81) (DX CY AD BC DAX CBY). Proto platí DAX = CBY a ADC = BCD. Obr. 24 Věta V3.5: Osa souměrnosti rozděluje rovnoramenný lichoběžník na dva shodné pravoúhlé lichoběžníky. Důkaz věty V3.5: Uvažujme rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD. Sestrojme přímku o, která prochází středem S 1 základny AB, i středem S 2 základny CD. (Obr. 23c.) Ve větě V3.3 bylo dokázáno, že takový lichoběžník je osově souměrný podle přímky o, tedy lichoběžníky AS 1 S 2 D a BS 1 S 2 C jsou shodné. Ve větě V3.3 bylo také dokázáno, že DS 2 S 1 = CS 2 S 1 = 90. Jedná se tedy o dva shodné pravoúhlé lichoběžníky. Věta V3.6: Úhlopříčky rovnoramenného lichoběžníku jsou shodné. Důkaz věty V3.6: (Obr. 25.) Uvažujme libovolný rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD. Platí tedy: AD BC. AB je společná strana. Podle věty V3.4 DAB ABC. Z věty sus pak plyne, že ABD BAC, tedy AC BD, což jsme měli dokázat. Obr

25 3.2.2 Vlastnosti pravoúhlého lichoběžníku Věta V3.7: Rameno, jež je kolmé k oběma základnám, je zároveň výškou pravoúhlého lichoběžníku. Důkaz věty V3.7: (Obr. 26.) Výškou lichoběžníku rozumíme vzdálenost jeho základen, tedy velikost úsečky, jejíž krajní body jsou průsečíky základen a kolmice vedené na tyto základny v kterémkoliv jejich bodě. Je-li daný lichoběžník pravoúhlý, a jestliže vedeme kolmici vrcholem, který je u pravého úhlu, obsahovala by taková kolmice i rameno lichoběžníku, a tedy by toto uvažované rameno bylo i výškou daného lichoběžníku, jelikož vrcholy s pravými úhly by byly zároveň průsečíky dané kolmice se základnami. Obr

26 4. RŮZNOBĚŽNÍKY Definice 12: Různoběžník je konvexní čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné. Obecně různoběžníky blíže nespecifikujeme, jelikož existuje nekonečně mnoho jejich případů. Jeden různoběžník s jistou pravidelností je deltoid Deltoid Definice 13: Deltoid (obr. 27) je čtyřúhelník, jež má právě dvě dvojice shodných sousedních stran. Obr Vlastnosti deltoidu Věta V4.1: Úhlopříčky deltoidu jsou na sebe kolmé a jedna z úhlopříček je druhou úhlopříčkou půlena. Důkaz věty V4.1: (Obr. 28.) Nechť ABCD je deltoid, ve kterém AB AD a BC CD. Podle věty sss jsou trojúhelníky ABC a ADC, které jsme získali rozdělením deltoidu úhlopříčkou AC, shodné. Jelikož je AC jejich společná strana, znamená to také, že jsou 26

27 tyto trojúhelníky osově souměrné podle přímky obsahující tuto společnou stranu AC (tedy deltoid je souměrný podle přímky obsahující úhlopříčku AC). Bod B je tedy obrazem bodu D a bod D je obrazem bodu B. Znamená to tedy, že body B, D leží na téže kolmici k ose AC. A jelikož úsečka BD je zároveň druhou úhlopříčkou uvažovaného deltoidu, můžeme konstatovat, že jsou tyto úhlopříčky na sebe kolmé. Označme nyní průsečík těchto úhlopříček například bodem S. Na základě zmíněné osové souměrnosti je DS BS, tedy úhlopříčka AC půlí úhlopříčku BD. Obr. 28 Věta V4.2: Úhlopříčka deltoidu, která půlí druhou úhlopříčku, je osou vnitřních úhlů, kterým náleží. Důkaz věty V4.2: Nechť ABCD je deltoid, ve kterém AB AD a BC CD. Ve větě V4.1 bylo dokázáno, že v takovém deltoidu platí ABC ADC. Tedy také BAC DAC, jejichž sjednocením je BAD, a také BCA DCA, jejichž sjednocením je BCD. Tedy úhly BAD a BCD jsou úhlopříčkou AC půleny. Věta V4.3: Deltoid má jednu osu souměrnosti, a to v přímce, která obsahuje jednu jeho úhlopříčku (tu, která není druhou půlena). Důkaz věty V4.3: Nechť ABCD je deltoid, ve kterém AB AD a BC CD. Že je takový deltoid osově souměrný podle úhlopříčky AC a že tato úhlopříčka půlí druhou úhlopříčku, bylo dokázáno v důkaze věty V4.1. Zbývá dokázat, že deltoid není 27

28 souměrný podle úhlopříčky BD, a tedy úhlopříčka AC je jedinou úhlopříčkou uvažovaného deltoidu ABCD. Rozdělíme-li deltoid ABCD úhlopříčkou BD na dva trojúhelníky, je zřejmé, že tyto trojúhelníky nejsou shodné (ačkoliv mají stranu BD společnou, zbývající dvě strany mají vzájemně různé). A nejsou-li shodné, nemohou být ani svými obrazy, nejedná se tedy o osovou souměrnost. 28

29 5. DALŠÍ VLASTNOSTI ČTYŘÚHELNÍKŮ Za speciální vlastnost obecného čtyřúhelníku lze považovat, můžeme-li mu vepsat či opsat kružnici. Mluvíme pak o čtyřúhelníku tečnovém, tětivovém, popř. dvojstředovém. 5.1 Tečnové čtyřúhelníky Definice 14: Čtyřúhelník ABCD nazýváme tečnovým čtyřúhelníkem právě tehdy, když existuje kružnice, která se dotýká všech jeho stran. Kružnice, která se dotýká všech stran čtyřúhelníku, se nazývá kružnice vepsaná, protože každá strana daného čtyřúhelníku je tečnou takovéto kružnice. Její střed musí být stejně vzdálen od všech stran. Středem kružnice vepsané čtyřúhelníku je tedy průsečík jeho os vnitřních úhlů, protože právě pro každý bod osy úhlu platí, že má stejnou vzdálenost od obou ramen, v našem případě stran. Můžeme tedy říci, že mají-li osy vnitřních úhlů čtyřúhelníku právě jeden společný průsečík, je tento bod stejně vzdálen ode všech jeho stran, a jedná se o tečnový čtyřúhelník. Mezi tečnové čtyřúhelníky tak patří: čtverec kosočtverec deltoid rovnoramenný lichoběžník, jehož ramena jsou shodná se střední příčkou Věta V5.1: Kosočtverec a čtverec jsou tečnové čtyřúhelníky. Důkaz věty V5.1: Že jsou kosočtverec (obr. 29a) a čtverec (obr. 29b) tečnové čtyřúhelníky, plyne bezprostředně z věty V2.11, která říká, že úhlopříčky rovnostranných rovnoběžníků (což jsou právě kosočtverec a čtverec) jsou osami jejich 29

30 vnitřních úhlů. Čímž je splněna podmínka tečnového čtyřúhelníku. Úhlopříčky se mohou protínat v jediném bodě, který je zároveň středem jejich kružnice vepsané. Obr. 29a Obr. 29b Věta V5.2: Je-li lichoběžník rovnoramenný a velikost jeho střední příčky je rovna velikosti jeho ramene, lze mu vepsat kružnici. (Obr. 30.) Obr. 30 Důkaz věty V5.2: Nechť ABCD je rovnoramenný lichoběžník se základnami AB a CD. Dále pro něj platí, že velikost jeho střední příčky je rovna velikosti jeho ramene. Tedy podle věty V3.1 se ramena rovnají také aritmetickému průměru délek obou základen, tzn. BC AB + DC = AD =. 2 Sestrojme nyní středy R, S základen AB, CD v tomto pořadí (obr. 31). Na rameni AD sestrojme bod T tak, aby platilo AT = AR, DT = DS. Bodem T pak veďme kolmici t k přímce AD a sestrojme průsečík O přímek t a RS. (Obě tyto přímky jsou různoběžné, neboť jsou to kolmice ke dvěma různoběžkám AB a AS.) Podle věty 30

31 Ssu snadno dokážeme, že platí OSD OTD a OTA ORA. Odtud plyne, že OS OT OR. Kružnice k (O; r = OS ) se tedy dotýká stran AB, AD, CD po řadě v bodech R, T, S a vzhledem k souměrnosti rovnoramenného lichoběžníku podle přímky RS (R = S 1, S = S 2 ) dotýká se i strany BC. Jedná se tedy o kružnici vepsanou uvažovanému rovnoramennému lichoběžníku ABCD. (srov. [44], s. 92) Obr. 31 Věta V5.3: Součty délek protějších stran tečnového čtyřúhelníku jsou si rovny. Důkaz věty V5.3: (Obr. 32a, b.) Nechť AB = a, BC = b, CD = c, AD = d. Pak tvrzení dané věty můžeme zapsat ve tvaru a + c = b + d. Podmínka nutná: Ze souměrnosti kružnice podle každé osy, která prochází jejím středem, vyplývá, že úseky na tečnách libovolné kružnice z libovolného bodu dotyku jsou shodné. Označíme-li tedy T, U, V, X body dotyku ke stranám a, b, c, d v tomto pořadí a úseky AT = e, BU = j, CV = h, DX = f, platí, že AT = AX = e, BT = BU = j, CU = CV = h, DV = DX = f. Podle tohoto označení platí: e + f = d, j + h = b, e + j = a, f + h = c. Odtud bezprostředně plyne dané tvrzení, že a + c = b + d. Podmínka dostačující: Přepokládejme, že v čtyřúhelníku ABCD platí daná rovnost a + c = b + d. Musíme nyní dokázat, že daný čtyřúhelník je tečnový. Volme označení stran čtyřúhelníku tak, aby d > a. Kdyby d = a, bylo by v důsledku dané rovnosti i b = c, a proto by se jednalo o čtverec či kosočtverec, což jsou čtyřúhelníky zřejmě tečnové. Platí-li d > a, platí v důsledku dané rovnosti také c> b. Stranu AB tak můžeme přenést na stranu AD do úsečky AQ a stranu BC na stranu CD do úsečky CP. Protože DQ = d a a DP = c b, je v důsledku dané rovnosti DQ = DP. 31

32 Každý z trojúhelníků AQB, CBP, DPQ je tedy rovnoramenný a osa každé ze základen je i osou úhlu u příslušného hlavního vrcholu. (Obr. 32c.) Osy těchto základen se protínají v bodě S, který má stejnou vzdálenost od stran AB, AD, DC i BC. Je tedy středem kružnice vepsané čtyřúhelníku ABCD. ([21], s. 167, 168) Obr. 32a Obr. 32b Obr. 32c Jelikož pro deltoid též platí, že součty délek protějších stran jsou si rovny, podle V5.3 platí také následující věta. Věta V5.4: Deltoid je tečnovým čtyřúhelníkem. (Obr. 33.) Obr

33 5.2 Tětivové čtyřúhelníky Definice 15: Čtyřúhelník ABCD nazýváme tětivovým čtyřúhelníkem právě tehdy, když existuje kružnice, která prochází body A, B, C, D. Kružnice, která prochází všemi vrcholy čtyřúhelníku, se nazývá kružnice opsaná, protože každá strana daného čtyřúhelníku je tětivou takovéto kružnice. Její střed musí být stejně vzdálen ode všech vrcholů. Pro každé dva krajní body úsečky platí, že množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od těchto bodů, je osa dané úsečky. Hledáme-li tedy střed kružnice opsané čtyřúhelníku, musí tento střed náležet všem čtyřem osám stran. Platí tedy, že střed kružnice opsané čtyřúhelníku leží na průsečíku os všech jeho stran. Takový průsečík pak může být nejvýše jeden. Mezi tětivové čtyřúhelníky tak patří: čtverec obdélník rovnoramenný lichoběžník deltoid, jehož dva protější úhly, které jsou svírány neshodnými stranami deltoidu, jsou pravé Věta V5.5: Čtverec a obdélník jsou tětivové čtyřúhelníky. Důkaz věty V5.5: Že jsou čtverec (obr. 34a) a obdélník (obr. 34b) tětivové čtyřúhelníky, plyne bezprostředně z věty V2.10, která říká, že úhlopříčky pravoúhlých rovnoběžníků jsou shodné, a z věty V2.4, jež tvrdí, že úhlopříčky rovnoběžníků se navzájem půlí. Obr. 34a Obr. 34b 33

34 Uvažujme tedy pravoúhlý rovnoběžník, jehož průsečík úhlopříček označme bodem S. Je tedy zřejmé, že bod S rozdělil tyto úhlopříčky na čtyři shodné úsečky, tedy od bodu S je stejná vzdálenost ke všem vrcholům uvažovaného pravoúhlého rovnoběžníku. Bod S je tedy středem kružnice opsané uvažovanému pravoúhlému rovnoběžníku. Pravoúhlým rovnoběžníkem je čtverec a obdélník, proto jim lze opsat kružnici. Věta V5.6: Rovnoramenný lichoběžník je tětivový. Důkaz věty V5.6: (Obr. 35.) Máme dokázat, že rovnoramennému lichoběžníku ABCD lze opsat kružnici, tedy že existuje kružnice, na které leží všechny čtyři jeho vrcholy. K tomuto zdůvodnění využijeme souměrnosti rovnoramenného lichoběžníku. Nechť o je osa rovnoramenného lichoběžníku ABCD. Jelikož obrazem ramena AD v osové souměrnosti s osou o je rameno BC, je také obrazem osy o 1 úsečky AD osa o 2 úsečky BC. Souměrně sdružené přímky o 1 a o 2 se protínají v bodě S, který leží na přímce o. Protože S o 1, platí AS = DS. Podobně z toho, že S o 2, plyne BS = CS. A jelikož S o, tak také AS = BS. Platí tedy AS = BS = CS = DS, tudíž bod S má stejnou vzdálenost od všech vrcholů lichoběžníku ABCD. Proto body A, B, C, D leží na kružnici k (S; r = AS ). Rovnoramennému lichoběžníku ABCD lze tedy opsat kružnici a nazýváme jej proto tětivový. (srov. [16], s. 82) Obr

35 Věta V5.7: Součet velikostí protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý. Důkaz věty V5.7: (Obr. 36.) Nechť ABC = β, ADC = δ. Podmínka nutná: Předpokládejme, že ABCD je tětivový čtyřúhelník. Libovolná jeho úhlopříčka, např. AC, dělí kružnici k na dva oblouky: na jednom z nich je vrchol B, na druhém vrchol D. Pro jim příslušné středové úhly, kde ASC = 2β, ASB = 2δ, platí 2β + 2δ = 360. Pro příslušné obvodové úhly platí β + δ = 180. Součet velikostí vnitřních úhlů u vrcholů B a D je 180. Součet velikostí vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů musí být též tedy rovněž 180. Podmínka dostačující: Předpokládejme, že platí β + δ = 180. Sestrojíme-li kružnici k opsané trojúhelníku ABC, musí tato kružnice procházet i vrcholem D, neboť součet středových úhlů příslušných kružnicovým obloukům ABC, ADC je 2 (β + δ) = 360. ([21], s. 165) Obr. 36 Věta V5.8: Deltoid, jehož dva protější úhly, které jsou svírány neshodnými stranami deltoidu, jsou pravé, je tětivový. (Obr. 37.) Obr

36 Důkaz věty V5.8: Nechť ABCD je deltoid, pro který platí CDA = CBA = 90. Pak podle V1.1 platí CDA + CBA = = = 180. Tedy součet velikostí protějších vnitřních úhlů je 180, což podle V5.7 znamená, že se jedná o tětivový čtyřúhelník. Věta V5.9: Středem kružnice opsané deltoidu, jehož dva protější úhly, které jsou svírány neshodnými stranami deltoidu, jsou pravé, je střed úhlopříčky, která je osou zbývajících dvou úhlů. Důkaz věty V5.9: Nechť ABCD je deltoid, pro který platí CDA = CBA = 90 (obr. 38). Trojúhelník ACD je tedy pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu D. Budeme-li deltoidu opisovat kružnici, musí procházet všemi jeho body. Vytvoříme-li tedy kružnici opsanou trojúhelníku ACD, bude i vrchol B náležet této kružnici získáme jej přenesením bodu D v osové souměrnosti podle osy AC. Máme-li tedy určit kružnici opsanou trojúhelníku ACD, je jí Thaletova kružnice sestrojená nad stranou AC. Protože střed Thaletovy kružnice je středem úsečky, nad kterou je sestrojena, je středem kružnice opsané trojúhelníku ACD, a tedy i deltoidu ABCD, střed úhlopříčky AC. obr. 38 Obr. 39 Věta V5.10 (Ptolemaiova): V každém tětivovém čtyřúhelníku je součin délek úhlopříček roven součtu součinů délek protějších stran. Důkaz věty V5.10: Nechť AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, AC = e, BD = f. (Obr. 39.)Pak tvrzení Ptolemaiovy věty můžeme psát ve tvaru ef = ab + bd. 36

37 Nechť úhlopříčka AC svírá se stranou AD úhel velikosti ε. Sestrojme polopřímku AM tak, aby platilo BAM = ε, M BD. Protože o obvodových úhlech platí, že ADB ACB a ACD ABD, jsou podle konstrukce podobné tyto trojúhelníky: e a e d ACD ~ ABM, ACB ~ ADM. (Obr. 40.) Platí tedy, =, =, neboli c BM b DM e BM = ac, e DM = bd. Sečtením těchto rovností a úpravou dostaneme dané tvrzení. ([21], s. 166) Obr Dvoustředové čtyřúhelníky Definice 16: Čtyřúhelník ABCD nazýváme dvoustředovým čtyřúhelníkem právě tehdy, když mu lze vepsat i opsat kružnici. Dvojstředovým čtyřúhelníkem je v každém případě čtverec, pro nějž platí, že střed kružnice vepsané je také středem kružnice opsané (obr. 41). Je tomu tak proto, že průsečík os vnitřních úhlů je tentýž bod, jako průsečík os stran. Tento průsečík je také průsečíkem úhlopříček. Obr

38 Dvojstředovým čtyřúhelníkem, který má střed kružnice vepsané (O) různý od středu kružnice opsané (S), je např. libovolný tečnový rovnoramenný lichoběžník (obr. 42a) nebo deltoid, jehož dva protější úhly, které jsou svírány neshodnými stranami deltoidu, jsou pravé (obr. 42b). Obr. 42a Obr. 42b 38

39 6. VZTAHY PRO POČETNÍ ÚLOHY SE ČTYŘÚHELNÍKY obsahem. V početních úlohách s čtyřúhelníky se zabýváme zejména jejich obvodem a Definice 17: Každý čtyřúhelník je ohraničen svými čtyřmi stranami. Součet jejich délek se nazývá obvod čtyřúhelníku a označujeme ho o. Podle označení pro velikosti stran ve čtyřúhelníku ABCD, že AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, můžeme vzorec pro výpočet obvodu čtyřúhelníku obecně zapsat takto: o = a + b + c + d. Obvod se udává v délkových jednotkách, tedy v mm, cm, dm, m, km. Definice 18: Obsah čtyřúhelníku, jež zpravidla označujeme S, chápeme jako kladné reálné číslo přiřazené danému geometrickému obrazci, které udává počet čtverečních jednotek, kterými lze útvar pokrýt. Má tyto vlastnosti: 1) Shodné obrazce mají sobě rovné obsahy. 2) Skládá-li se obrazec z několika obrazců, které se navzájem nepřekrývají, rovná se jeho obsah součtu jejich obsahů. 3) Obsah čtverce, jehož strana má délku 1 (mm, cm, ), je 1 (mm 2, cm 2, ). Obsah konvexních čtyřúhelníků pak obecně vypočítáme ze vzorce: 1 S = e f sinϕ, 2 kde e, f jsou délky úhlopříček a ϕ je úhel, který obě úhlopříčky svírají. 39

40 km 2. Obsah se udává v jednotkách čtverečních, tedy v mm 2, cm 2, dm 2, m 2, ar, ha, 6.1 Rovnoběžníky V následujícím textu jsou věty o obvodu formulovány pro jednotky délkové a obsah pro jednotky čtvereční Čtverec Obvod o čtverce je roven čtyřnásobku délky jeho strany a. Symbolicky: o = 4 a. Obsah S čtverce je roven druhé mocnině délky jeho strany. Symbolicky: S = a 2. Délka úhlopříčky u čtverce s délkou strany a je rovna součinu délky strany a a druhé odmocniny ze 2. Symbolicky: u = a 2. Poloměr r kružnice opsané čtverci je roven polovině délky jeho úhlopříčky u. Symbolicky: r = 2 u. Poloměr ρ kružnice vepsané čtverci je roven polovině její strany a. Symbolicky: a ρ =. 2 40

41 6.1.2 Obdélník Obvod o obdélníku je roven dvojnásobku součtu délek jeho stran a, b. Symbolicky: o =2 (a + b). Obsah S obdélníku je roven součinu délek jeho stran a, b. Symbolicky: S = a b. Důkaz: Umístíme-li shodné obdélníky se stranami o délce a, b do polohy podle obr. 43, platí pro obsah S čtverce ABCD: S = (a + b) 2 = (a 2 + 2ab + b 2 ). Protože se podle konstrukce obr. 43 nakreslené čtverce a obdélníky nepřekrývají a je a 2 obsah čtverce APQR, b 2 obsah čtverce QUCT, je 2 a b obsah dvou shodných obdélníků PBUQ a RQTD. Obsah obdélníku PBUQ je tedy S = a b. ([19], s. 82) Obr. 43 Délka úhlopříčky u obdélníku je rovna odmocnině ze součtu druhých mocnin délek jeho stran a, b. Symbolicky: u = 2 2 a + b. Poloměr r kružnice opsané obdélníku je roven polovině délky jeho úhlopříčky. u a Symbolicky: r = 2 + b =

42 6.1.3 Kosodélník Obvod o kosodélníku je roven dvojnásobku součtu délek jeho stran a, b. Symbolicky: o =2 (a + b). Obsah S kosodélníku je roven součinu délky jeho strany a příslušné výšky. Symbolicky: S = a v a = b v b, Důkaz: Pro zdůvodnění vzorce S = a v a si vyznačme v kosodélníku ABCD jeho výšku v a z bodu B, délku strany AB označme a. Průsečík této výšky se stranou CD označme E (obr. 44). Platí tedy v a = BE. Po přemístění pravoúhlého trojúhelníku BCE tak, že jeho přepona BC splyne se stranou AD, vznikne obdélník ABEE, kde E je přenesený vrchol E. Tento obdélník ABEE a kosodélník ABCD mají proto shodné obsahy S, pro které platí S = a v a. (srov. [36], s. 28) Totéž bychom mohli dokázat pro stranu b (délku strany BC) a výšku v b., Obr. 44 Obsah S kosodélníku je roven součinu délek jeho stran a hodnoty funkce sinus ostrého vnitřního úhlu α daného kosodélníku. Symbolicky: S = a b sin α Důkaz: (Obr. 45.) Nechť ABCD je kosodélník, jež má ostrý úhel u vrcholu A a pro délky jeho stran platí označení AB = a, AD = b. Vedeme-li výšku v a z vrcholu D na stranu AB a průsečík této výšky se stranou AB označíme E, získáváme pravoúhlý trojúhelník AED s pravým úhlem u vrcholu E. Podle funkce sinus pro úhel α v (protější k odvěsně v a ) v AED s přeponou AD platí: sin α = a, tedy po úpravě b 42

43 v a = sin α b. Podle věty V6.11 platí S = a v a. Dosadíme-li za v a dostáváme S = a b sin α. Obr Kosočtverec Obvod o kosočtverce je roven čtyřnásobku délky jeho strany a. Symbolicky: o = 4 a. Obsah S kosočtverce je roven součinu délky jeho strany a jeho výšky. Symbolicky: S = a v a. Důkaz: (Obr. 46.) Tuto větu bychom odůvodnili stejně, jako u výpočtu obsahu kosodélníku (důkaz V6.11). Obr

44 Obsah S kosočtverce je roven polovině součinu délek jeho úhlopříček. Symbolicky: S = e f 2 Důkaz: Uvažujme kosočtverec ABCD, který úhlopříčkami rozdělíme na čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky. Průsečík úhlopříček si označme S. Přemístíme-li pravoúhlý trojúhelník ABS tak, že jeho přepona AB splyne se stranou AD, a trojúhelník BCS tak, aby jeho přepona BC splynula se stranou CD, dostaneme obdélník ACS 2 S 1, kde S 1 je přenesený bod S trojúhelníku ABS a S 2 je přenesený bod S trojúhelníku BCS (obr. 47). Tento obdélník a kosočtverec ABCD mají proto shodné obsahy S. Jelikož AC = e 1 e f a SD = f, můžeme napsat S = Obr. 47 Obsah S kosočtverce je roven součinu druhé mocniny délky strany a a hodnoty funkce sinus ostrého vnitřního úhlu α daného kosočtverce. Symbolicky: S = a 2 sin α. Obr

45 6.2 Lichoběžníky Obvod o lichoběžníku se rovná součtu délek jeho stran a, b, c, d. Symbolicky: o = a + b + c + d. Obvod o rovnoramenného lichoběžníku se rovná součtu délek základen a, c a dvojnásobku délky jeho ramen b. Symbolicky: o = a +2 b + c. Obsah S lichoběžníku je roven jedné polovině ze součinu součtu délek jeho základen a, c a výšky lichoběžníku v. Symbolicky: S = ( a + c ) 2 v. Důkaz: Uvažujme libovolný lichoběžník ABCD a jeho výšku v. Střed ramene BC si označme E, průsečík polopřímek AB a DE označme D (obr. 49). Jelikož AB CD a D náleží polopřímce AB, platí též, že AD CD. Z toho pak dále plyne, že EBD ECD (jedná se o střídavé úhly) a BD E CDE (taktéž střídavé úhly). Podle věty usu tedy DEC D EB. Z uvedené shodnosti vyplývá: BD CD. Lichoběžník ABCD je tak obsahově shodný jako trojúhelník ADD. Pro délku strany AD trojúhelníku ADD platí: AD = a + c. Obsah trojúhelníku a tedy i obsah lichoběžníku ABCD vypočítáme pomocí již uvedeného vzorce: S = (srov. [36], s. 42) ( a + c) 2 v. Obr

46 Obsah S pravoúhlého lichoběžníku je roven jedné polovině ze součinu součtu délek jeho základen a, c a délky ramene, které svírá se základnou pravý úhel. Symbolicky: S = ( a + c ) za předpokladu, že d je délka ramene, jež svírá se základnou pravý úhel. 2 d, Délka střední příčky m lichoběžníku je rovna aritmetickému průměru délek obou základen. a + c Symbolicky: m = Různoběžníky Obvod o různoběžníku se rovná součtu délek jeho stran a, b, c, d. Symbolicky: o = a + b + c + d. Obsah S různoběžníku je roven jedné polovině součinu délek jeho úhlopříček e, f a hodnoty funkce sinus ostrého úhlu ϕ, který úhlopříčky e, f svírají. 1 Symbolicky: S = e f sinϕ. 2 Důkaz: (Obr. 50.) Nechť ABCD je čtyřúhelník a platí pro něj AC = e, CD = f. Úhlopříčka e rozdělí čtyřúhelník ABCD na dva trojúhelníky: ABC a ACD. Pro obsah čtyřúhelníku ABCD pak musí platit, že se rovná součtu obsahů těchto trojúhelníků. Obsah trojúhelníku se vypočítá jako jedna polovina ze součinu délky strany a výšky k této straně příslušné. Je tedy nutné si vyznačit výšky těchto trojúhelníků. Veďme tedy kolmici z bodu D na přímku AC a jejich průsečík označme E. Potom veďme také kolmici z bodu B na přímku AC a jejich průsečík označme F. Označme DE = v 1, BF = v 2. Trojúhelník SBF má pravý úhel u vrcholu F, vyjádříme pomocí funkce sinus výšku v 1 = x sinϕ. Obdobně v SDE s pravým úhlem u vrcholu F, vyjádříme pomocí funkce sinus výšku v 2 = y sinϕ. 46

47 Pro obsah ABC platí: S ABC = 2 1 e v2, pro obsah ACD: S ACD = 2 1 e v1. Po dosazení za výšky v 1, v 2 dostáváme pro obsah ABC: S ABC = 2 1 e y sinϕ, pro obsah ACD: S ACD = 2 1 e x sinϕ. Jak již bylo uvedeno, obsah čtyřúhelníku ABCD se rovná součtu obsahů trojúhelníků ABC a ACD. Jednoduchou úpravou tohoto součtu vyvodíme S = 2 1 e f sinϕ. Obr. 50 Obvod o deltoidu je roven dvojnásobku součtu délek jeho stran a, b. Symbolicky: o = 2(a + b). Obsah S deltoidu je roven jedné polovině součinu délek jeho úhlopříček e, f. 1 Symbolicky: S = e f. 2 Důkaz: Podle V4.1 jsou úhlopříčky deltoidu na sebe kolmé, tedy svírají pravý úhel. Protože sin 90 = 1, můžeme to, za předpokladu že e, f jsou délky jeho úhlopříček, 1 1 dosadit do rovnosti z věty V6.22 S = e f sinϕ a dostáváme tedy S = e f 1, 2 2 tedy S = 2 1 e f. 47

48 6.4 Souhrnný přehled Nechť pro dané vzorce platí: AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, AC = e, BD = f, BAD = α, ABC = β, BCD = γ, ADC = δ. Obecný čtyřúhelník různoběžník (obr. 51): Obvod o = a + b + c + d Obsah S = 2 1 e f sinϕ (ϕ - odchylka úhlopříček e, f) Úhly α + β = 180 Obr. 51 Kosodélník (obr. 52): Obvod o = 2(a+ b) Obsah S = a v a = b v b S = a b sinα Úhly α + β = 180 Obr. 52 Kosočtverec (obr. 53): Obvod o = 4a Obsah S = a v a e f S = 2 S = a 2 sin α Úhly α + β = 180 Obr. 53 Obdélník (obr. 54): Obvod o = 2(a+ b) Obsah S = a b Úhlopříčka u 2 = 2 a + u a Poloměr kružnice opsané r = 2 + b = 2 2 b 2 2 Úhly α = β = γ = δ = 90 Obr

49 Čtverec (obr. 55) : Obvod o = 4a Obsah S = a 2 Úhlopříčka u = a 2 Poloměr kružnice opsané u a 2 r = = 2 2 Poloměr kružnice vepsané a ρ = 2 Úhly α = β = γ = δ = 90 Obr. 55 Lichoběžník (obr. 56): Obvod Obvod rovnoramenného lichoběžníku o = a + b + c + d o = a +2 b + c a + c v 2 Obsah S = ( ) Střední příčka a + c m = 2 Úhly α + β + γ + δ = 360 Obr. 56 Deltoid (obr. 57): Obvod o = 2(a+ b) Obsah e f S = 2 Poloměr kružnice opsané e r = 2 Úhly α + β + γ + δ = 360 β = δ Obr

50 7. ČTYŘÚHELNÍKY V UČIVU ZŠ Máme-li se v následující části zabývat učivem o čtyřúhelnících na základní škole, musíme znát, jak je toto učivo obsaženo v základních dokumentech vymezujících obsah a rozsah daného učiva a také kompetence žáka z nich vyplývající. Nyní se nachází naše školství v přechodném období. Od školního roku 2007/2008 musely všechny základní školy přejít na Rámcový vzdělávací program alespoň v 1. a 6. ročnících. Některé školy se již řídí pouze Rámcovým vzdělávacím programem, některé školy se však ještě řídí v některých ročnících učebními osnovami vzdělávacího programu Základní škola z roku 1996 (s novelizací ) či osnovami vzdělávacího programu Obecná škola z roku 1997 (s novelizací ). Tato kapitola se tedy zabývá tím, co tyto dokumenty uvádějí vzhledem k učivu o čtyřúhelnících na 2. stupni základní školy. 7.1 Rámcový vzdělávací program Na základě Rámcového vzdělávacího programu mají základní školy vypracované Školní vzdělávací programy. V Rámcovém vzdělávacím programu je matematika obsažena ve Vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace. Rámcový vzdělávací program k charakteristice matematiky uvádí: Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě a umožňuje tak získávat matematickou gramotnost. Pro tuto svoji nezastupitelnou roli prolíná celým základním vzděláváním od 1. do 9. ročníku a vytváří předpoklady pro úspěšné studium. Vzdělávání klade důraz na důkladné porozumění základním myšlenkovým postupům a pojmům matematiky a jejich vzájemným vztahům. Žáci si postupně osvojují některé pojmy, algoritmy, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití. ([1], s. 21) 50

51 Dále je uvedeno, že obsah vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace je rozdělen na čtyři tématické okruhy Číslo a proměnná, Geometrie v rovině a prostoru, Závislosti, vztahy a práce s daty a Nestandardní aplikační úlohy a problémy. Na závěr této charakteristiky je uvedeno: Žáci se učí využívat výpočetní techniky (především kalkulátory, vhodný počítačový software, určité typy výukových programů) a používat některé další pomůcky, což umožňuje přístup k matematice i žákům, kteří mají nedostatky v numerickém počítání a v rýsovacích technikách. Zdokonalují se rovněž v samostatné a kritické práci a se zdroji informací. ([1], s. 21) Z charakteristiky daného předmětu vychází to, jak v žácích vytvářet a rozvíjet dané kompetence, deklarované v Rámcovém vzdělávacím programu. Rámcový vzdělávací program tedy dále uvádí, že vzdělávání v dané vzdělávací oblasti (v našem případě v Matematice a její aplikaci vlastní pozn.) směřuje k utváření a rozvíjení klíčových kompetencí tím, že vede žáka k: využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech, jako jsou odhady, měření a porovnávání velikostí a vzdáleností, problémy orientace k rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si nezbytných matematických vzorců a algoritmů rozvíjení kombinatorického a logického myšlení, ke kritickému usuzování a srozumitelné a věcné argumentaci prostřednictvím řešení matematických problémů rozvíjení abstraktního myšlení osvojováním si a využíváním základních matematických pojmů a vztahů, k poznávání jejich charakteristických vlastností a na základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů vytváření zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh) a efektivnímu využívání osvojeného matematického aparátu 51

52 vnímání složitosti reálného světa a jeho porozumění; k rozvíjení zkušenosti s matematickým modelováním (matematizací reálných situací), k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití; k poznání, že realita je složitější než její matematický model, že daný model může být vhodný pro různorodé situace a jedna situace může být vyjádřena různými modely provádění rozboru problému a plánu řešení, odhadování výsledků, volbě správného postupu k vyřešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému přesnému a stručnému vyjadřování užíváním matematického jazyka včetně symboliky, prováděním rozborů a zápisů při řešení úloh a ke zdokonalování grafického projevu rozvíjení spolupráce při řešení problémových a aplikovaných úloh vyjadřujících situace z běžného života a následně k využití získaného řešení v praxi; k poznávání možností matematiky a skutečnosti, že k výsledku lze dospět různými způsoby rozvíjení důvěry ve vlastní schopnosti a možnosti při řešení úloh, k soustavné sebekontrole při každém kroku postupu řešení, k rozvíjení systematičnosti, vytrvalosti a přesnosti, k vytváření dovednosti vyslovovat hypotézy na základě zkušenosti nebo pokusu a k jejich ověřování nebo vyvracení pomocí protipříkladů ([1], s. 21, 22) Zaměřme se nyní, jaké očekávané výstupy žáků a konkrétní učivo z oblasti Matematika a její aplikace se týká čtyřúhelníků. Geometrie v rovině a prostoru Očekávané výstupy žák: zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů; využívá potřebnou matematickou symboliku 52

53 charakterizuje a třídí základní rovinné útvary určuje velikost úhlu měřením a výpočtem odhaduje a vypočítá obsah a obvod základních rovinných útvarů využívá pojem množina všech bodů dané vlastnosti k charakteristice útvaru a k řešení polohových a nepolohových konstrukčních úloh načrtne a sestrojí rovinné útvary užívá k argumentaci a při výpočtech věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků načrtne a sestrojí obraz rovinného útvaru ve středové a osové souměrnosti, určí osově a středově souměrný útvar určuje a charakterizuje základní prostorové útvary (tělesa), analyzuje jejich vlastnosti odhaduje a vypočítá objem a povrch těles načrtne a sestrojí sítě základních těles načrtne a sestrojí obraz jednoduchých těles v rovině analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy s využitím osvojeného matematického aparátu Učivo - rovinné útvary přímka, polopřímka, úsečka, kružnice, kruh, úhel, trojúhelník, čtyřúhelník (lichoběžník, rovnoběžník), pravidelné mnohoúhelníky, vzájemná poloha přímek v rovině (typy úhlů), shodnost a podobnost (věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků) - metrické vlastnosti v rovině druhy úhlů, vzdálenost bodu od přímky, trojúhelníková nerovnost, Pythagorova věta - prostorové útvary kvádr, krychle, rotační válec, jehlan, rotační kužel, koule, kolmý hranol - konstrukční úlohy množiny všech bodů dané vlastnosti (osa úsečky, osa úhlu, Thaletova kružnice), osová souměrnost, středová souměrnost 53

54 Nestandardní aplikační úlohy Očekávané výstupy žák: užívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů a nalézá různá řešení předkládaných nebo zkoumaných situací řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tematických a vzdělávacích oblastí Učivo - číselné a logické řady - číselné a obrázkové analogie - logické a netradiční geometrické úlohy 7.2 Osnovy pro vzdělávací program Základní škola Osnovy pro vzdělávací program z roku 1996 (aktualizované k 1. září 2006) uvádějí: Matematika spolu s výukou českého jazyka tvoří osu vzdělávacího působení základní školy. Matematika poskytuje žákům vědomosti a dovednosti potřebné pro orientaci v praktickém životě a vytváří předpoklady pro úspěšné uplatnění ve většině oborů profesionální přípravy i různých směrů studia na středních školách. Rozvíjí intelektuální schopnosti žáků, jejich paměť, představivost, tvořivost, abstraktní myšlení, schopnost logického úsudku. Současně přispívá k vytváření určitých rysů osobnosti, jako je vytrvalost, pracovitost, kritičnost. Poznatky a dovednosti získané v matematice jsou předpokladem k poznávání přírodovědných oborů, ekonomiky, techniky a využití počítačů. ([2], s. 69) K cílům vyučování matematice učební osnovy uvádějí, že vyučování matematice směřuje k tomu, aby se žáci naučili: provádět početní výkony s přirozenými desetinnými čísly a zlomky, a to pamětně i písemně; při řešení složitějších úloh užívat racionálně kapesní kalkulátor, 54

55 řešit úlohy z praxe s užitím početních výkonů, včetně užití procentového počtu a jednoduchého úrokování, provádět odhady výsledků řešení a posuzovat jejich reálnost, provádět potřebné zaokrouhlení, číst a užívat jednoduché statistické tabulky a diagramy, užívat proměnnou, chápat její význam, řešit rovnice a nerovnice a užívat je při řešení úloh, zapisovat a graficky znázornit závislosti kvantitativních jevů v přírodě a ve společnosti a pracovat s některými konkrétními funkcemi při řešení úloh z praxe, řešit metrické geometrické úlohy, vypočítat obvody a obsahy rovinných obrazců, povrchy a objemy těles, užívat základní vztahy mezi rovinnými obrazci (shodnost, podobnost) orientovat se v rovině a v prostoru, užívat soustavu souřadnic, chápat vztah mezi čísly a body jako základ počítačových znázornění a projektů, dokazovat jednoduchá tvrzení a vyvozovat logické závěry z daných předpokladů. ([2], s. 69) Učivo o čtyřúhelnících je v Osnovách pro vzdělávací program Základní škola obsaženo zejména v 7. ročníku, kde je mu věnována konkrétní pozornost. Je však zahrnuto také v opakování učiva z prvního stupně v 6. ročníku a v učivu o osové a středové souměrnosti (6. a 7. ročník). V 8. ročníku je pozornost věnována spíše složitějším konstrukčním úlohám a v 9. ročníku se využívá získaných poznatků o čtyřúhelnících v geometrii v prostoru. Osnovy k tématickému celku Čtyřúhelníky (7. ročník) uvádějí toto učivo: Rovnoběžník a jeho vlastnosti. Výšky a úhlopříčky rovnoběžníku. Obdélník, kosodélník, čtverec, kosočtverec. Obvod a obsah rovnoběžníku. Lichoběžník. Vlastnosti lichoběžníku. Obvod a obsah lichoběžníku. Konstrukce výšky a úhlopříčky rovnoběžníku. 55

56 Rozlišování různých druhů rovnoběžníků podle jejich vlastností. Výpočty obvodů a obsahů rovnoběžníků. Řešení slovních úloh vedoucích k výpočtům obvodů a obsahů rovnoběžníků. Konstrukce rovnoběžníků z daných prvků. Rozlišování různých druhů lichoběžníků a jejich vlastnosti. Výpočty obvodů a obsahů lichoběžníků. Konstrukce lichoběžníků z daných prvků. Řešení slovních úloh na výpočty obvodů a obsahů rovnoběžníků a lichoběžníků. K tomuto učivu uvádí, že žák by měl umět: Rozlišovat jednotlivé druhy rovnoběžníků a znát jejich vlastnosti. Rozlišovat jednotlivé druhy lichoběžníků a znát jejich vlastnosti. Sestrojit rovnoběžník v jednoduchých případech. Vypočítat obvod a obsah rovnoběžníku. Sestrojit lichoběžník v jednoduchých případech. Vypočítat obvod a obsah lichoběžníku. Řešit slovní úlohy z praxe vedoucí k výpočtu obvodu a obsahu rovnoběžníku, lichoběžníku a trojúhelníku. Na závěr jsou uvedeny příklady rozšiřujícího učiva: Vzorec pro výpočet obsahu kosočtverce pomocí délek úhlopříček. Složitější slovní úlohy z praxe na výpočet obvodů a obsahů rovnoběžníků a lichoběžníků. Deltoid. 56

57 8. ŘEŠENÉ POČETNÍ PŘÍKLADY V závěru této diplomové práce je uvedeno několik zajímavých příkladů a jejich řešení z posledních 10 ročníků matematické olympiády (srov. [3]). 1 Jsou řazeny od lehčích úloh po těžší. 2 Př. 1) 3 Vojta má dva obdélníky. První z nich má šířku 7 cm a délku 11 cm, druhý má rozměry 8 cm a 4 cm. Jaké obvody mohou mít z nich složené šestiúhelníky? Obdélníky se nesmí překrývat. Řešení: Vojta z daných obdélníků sestavil následující čtyři různé šestiúhelníky znázorněné na obr. 58a d (šestiúhelníky otočené nebo souměrné považujeme za shodné). Obr. 58a Obr. 58b Obr. 58c Obr. 58d Šestiúhelníky tedy mohou mít obvod 46 cm nebo 52 cm. 1 Některé příklady se mohou zdát být podobné, přesto jsem je však uvedla, protože podle mého názoru každý z nich může řešitele obohatit o něco nového. 2 Řadila jsem je z mého subjektivního hlediska. Doporučuji brát také v úvahu, pro který ročník je daný příklad určen ročník: Z5 II 2 57

58 Př. 2) 4 Když se dva obdélníky skamarádí, přitisknou se stranami k sobě tak, aby měly alespoň jeden vrchol společný (toto pravidlo kamarádství je stejné i mezi dvěma čtverci či mezi čtvercem a obdélníkem). Čtverec se stranou délky 6 cm se skamarádil s obdélníkem se stranami délek 7 cm a 9 cm. Potom si ještě našly další čtverec, s kterým se oba skamarádily. Jaké rozměry mohl mít tento čtverec? Najdi všechny možnosti (délky stran čtverců a obdélníků jsou celá čísla). Řešení: Čtverec 6 cm x 6 cm a obdélník 7 cm x 9 cm se mohli skamarádit dvěma způsoby (obr. 59 a, b): Obr. 59a Obr. 59b K nim je nutné uvažovat všechny možnosti přidání nového čtverce (viz. obr. 60 a d ): Obr. 60a Obr. 60b Obr. 60c Obr. 60d Čtverec tedy může mít stranu délky 1 cm, 3 cm, 13 cm nebo 15 cm ročník: Z5 I 5 58

59 Př. 3) 5 Jeden ze tří čtverců, na které jsme rozdělili obdélník, má obsah 36 cm 2. Jaké rozměry mohl mít obdélník? 6 Řešení: Obdélník lze rozdělit na tři čtverce dvěma různými způsoby (viz obr. 61a, 61b). V prvním případě je nově vzniklý obdélník tvořen ze 3 shodných čtverců, které podle zadání mají obsah 36cm 2, jejich strana má tedy délku 6 cm (a = S ). Rozměry obdélníku jsou tedy 6 cm a 6 3 = 18 cm. V druhém případě existují dvě možnosti. a) Má-li obsah 36 cm 2 menší ze čtverců, pak je délka jeho strany 6 cm a délka strany většího čtverce je = 12 cm. Rozměry obdélníku jsou tedy 12 cm a = 18 cm. b) Má-li obsah 36 cm 2 větší ze čtverců, pak je délka jeho strany 6 cm a délka strany menšího čtverce je 6 : 2 = 3 cm. Rozměry obdélníku jsou tedy 6 cm a = 9 cm. Obr. 61a Obr. 61b Př. 4) 7 Maminka šije utěrky z látky šíře 120 cm. Hotová utěrka má rozměry 60 cm 38 cm. Při stříhání látky je potřeba počítat 2 cm na každém okraji na začištění. Kolik nejméně centimetrů látky musí maminka koupit, aby z ní mohla ušít 10 utěrek? Řešení: Nejprve si musíme uvědomit, jaký kus látky potřebuje maminka vystřihnout na jednu utěrku. Bude to obdélník o rozměrech 42 cm a 64 cm. To znamená, že se nám na látku nevejdou ani tři utěrky na šířku, ani dvě utěrky na výšku. Naznačíme si jednotlivé umístění (viz. obr. 62): ročník: Z5 I 3 6 Autorka: Bednářová ročník: Z5 II 3 59

60 Při rozložení a) bude třeba 5 64 = 320 cm látky. Při rozložení b) bude zapotřebí = 420 cm látky. Při rozložení c) musíme zjistit, která ze dvou délek je větší. Čtyři utěrky v horní řadě zaujímají 256 cm (4 64 = 256), šest utěrek ve spodní řadě zaujímají 252 cm (6 42 = 252 cm). Při rozložení c) tedy bude třeba 256 cm látky. Obr. 62 Maminka musí koupit nejméně 256 cm látky. Př. 5) 8 Tatínek vyřízl z kartonu čtvercového tvaru rámeček o šířce 4 cm. Obsah rámečku je 320 cm 2. Zjisti vnější a vnitřní rozměr rámečku. 9 Řešení: Nejprve si rámeček rozdělíme na 4 shodné obdélníky (obr. 63). Obsah každého z nich je čtvrtina z 320 cm 2, tedy 80 cm 2. Délku tohoto obdélníku vypočítáme tak, když jeho obsah vydělíme jeho šířkou tedy 80 : 4 = 20 cm. Vnitřní rozměr rámečku je o 4 cm menší než délka daného obdélníku, tedy 16 cm, vnější rozměr je o 4 cm větší než délka daného obdélníku, tedy 24 cm. Obr ročník: Z6 II 1 9 Autorka: Hozová 60

61 Př. 6) 10 Šestiúhelník na obrázku 64 se dá rozdělit na dva stejné obdélníky (délky stran v cm jsou celá čísla). Obsah šestiúhelníku je 48 cm 2, jeho obvod lze dělit čtyřmi beze zbytku. Urči rozměry obdélníku. (Úloha má více řešení.) 11 Obr. 64 Řešení: Daný šestiúhelník můžeme rozdělit na dva stejné obdélníky podle obrázku 65. Obr. 65 Obsah každého z obdélníků je roven polovině obsahu šestiúhelníku, tedy 24 cm 2. Celočíselné délky obdélníků tedy mohou být 1cm a 24 cm, 2 cm a 12 cm, 3 cm a 8 cm, 4 cm a 6 cm. Má-li být obvod šestiúhelníku o = 2a + 4b, kde a < b, dělitelný čtyřmi, musí být a dělitelné dvěma. To je splněno pouze v případě, že délky stran jsou 2 cm a 12 cm nebo 4 cm a 6 cm. Poznámka: Lze také prvně vypočítat jednotlivé obvody a určit jejich dělitelnost čtyřmi. Př. 7) 12 Boris sestavil ze 32 zápalek obdélník (nikoli čtverec). Jeho sestra vložila do obdélníku několik zápalek a tak ho rozdělila přesně na 7 čtverců. Kolik zápalek mohly měřit strany Borisova obdélníku? Všechny zápalky byly stejně dlouhé a žádnou nelámali ročník: Z6 II 2 11 Autorka: Barešová ročník: Z6 I 3 61

62 Řešení: Rozměry všech obdélníků, které se dají sestavit z 32 zápalek jsou: 1 x 15, 2 x 14, 3 x 13, 4 x 12, 5 x 11, 6 x 10 a 7 x 9. Na 7 čtverců se dají rozdělit tyto (obr. 66 a - e): Obr. 66a Obr. 66b Obr. 66c Obr. 66d Obr. 66e Pozn. Uvedeno je vždy jen jedno z možných typových rozdělení. Př. 8) Z obdélníku jsme odstřihli jeho obsahu. Zbyl útvar 16 zakreslený na obr. 67. Jaké rozměry mohl mít původní obdélník? 14 Obr ročník: Z7 I 5 14 Autor: Vaníček 62

63 Řešení: 5 Zbylý útvar se skládá z 15 shodných čtverců, což má představovat zbylých 16 původního obdélníku. Pomocí trojčlenky jednoduše spočítáme, že původní obdélník se skládal z 48 takových čtverců bylo z něj tedy odstřiženo 33 takových čtverců. Zbylý útvar tedy prvně doplníme 6 čtverci tak, aby nám vznikl obdélník. Abychom však získali hledaný původní obdélník, zbývá ještě doplnit 27 čtverců. Musíme z nich vytvořit také obdélník, který přiložíme k jedné ze stran doplněného obdélníku, jež jedna jeho strana je tvořena ze 7 a druhá ze 3 čtverců. Jelikož číslo 27 je dělitelné jen 3 a ne 7, vytvoříme z 27 čtverců obdélník, jež jedna jeho strana je tvořena ze 3 čtverců a druhá z 9. Přiložíme-li ho k doplněnému obdélníku, dostaneme hledaný původní obdélník, jehož strany jsou tvořeny ze 3 a 16 čtverců, což jsou i jeho rozměry. Př. 9) 15 V rovnoběžníku ABCD je AB : BC = 1: 2 a XDA = α, kde X je střed BC. Jaká je velikost úhlu XAD? 16 Řešení: Doplňme rovnoběžník ABCD o shodný rovnoběžník BEFC (strana BC je pro ně společná) viz obr. 68. Vznikne nám tak kosočtverec AEFD. Protože úhlopříčky kosočtverce jsou k sobě vzájemně kolmé, je velikost úhlu AXD = 90 ; XAD = 90 α. Obr ročník: Z7 II 3 16 Autorka: Ptáčková 63

64 Př. 10) 17 Na obrázku 69 jsou znázorněny všechny vrcholy dvou čtverců. Zjisti obsah jejich společné části (jeden čtvereček sítě má obsah 25mm 2 ). Obr. 69 Řešení: Jediná možnost dokreslení čtverců je na obrázku 70. Jejich společnou část tvoří čtyřúhelník, jehož vrcholy jsou opět body čtvercové sítě. Celý čtyřúhelník lze svisle rozdělit na dva trojúhelníky. Obsah každého z nich určíme buď přímo, nebo je ve čtvercové síti doplníme na obdélník a uvědomíme si, že obsah trojúhelníku je roven polovině obsahu obdélníku. Proto obsah tohoto obdélníku je tvořen z 8 čtverečků (16 : 2). Protože obsah jednoho čtverečku sítě je 25 mm 2, obsah společné části překrytých čtverců je 8 25 mm 2 = 200 mm 2. Obr ročník: Z5 I 4 64

65 Př. 11) 18 Na obrázku 71 jsou znázorněny vzájemně se překrývající čtverce. Zjisti jejich obsahy, jestliže víš, že současně platí: strana největšího čtverce je o 1 mm delší než strana prostředního a o 2 mm delší než strana nejmenšího z nich, společná část největšího a prostředního čtverce je čtverec s obsahem 100 mm 2, společná část prostředního a nejmenšího čtverce je čtverec s obsahem 64 mm Obr. 71 Obr. 72 Řešení: Vepišme si nejprve do náčrtu známé údaje, tj. obsahy společných částí (obr. 72): 100 mm 2, 64 mm 2 a z těchto obsahů jasně odvozené velikosti jejich stran: 10 mm a 8 mm. Z velikostí známých stran plyne, že strana prostředního čtverce měří 18 mm (8 + 10), obsah prostředního čtverce je tedy S = = 324 mm 2. Strana největšího čtverce má být o 1 mm větší, než strana prostředního čtverce, měří tedy 19 mm. Obsah největšího čtverce je tedy S = = 361 mm 2. Strana nejmenšího čtverce má být o 2 mm menší, než strana největšího čtverce, měří tedy 17 mm. Obsah nejmenšího čtverce je tedy S = = 289 mm 2. Obsahy zadaných čtverců (od nejmenšího po největší) jsou tedy 289 mm 2, 324 mm 2, 361 mm ročník: Z5 II 2 19 Autorka: Bednářová 65

66 Př. 12) 20 Rozděl obdélník o rozměrech 27 cm a 12 cm a) na tři obdélníky, b) na dvě části, tak, aby z nich bylo možno složit čtverec (díly se nesmějí překrývat). Řešení: V prvé řadě je nutné zjistit délku strany výsledného čtverce. Protože se díly nesmí překrývat, musí mít daný obdélník a výsledný čtverec stejný obsah. Pro obsah obdélníku platí: S = a b = = 324 cm 2. Strana čtverce je tedy a = S = 324 = 18 cm. a) Z původního obdélníku ustřihneme obdélník o rozměrech 18 cm a 12 cm. Do čtverce chybí obdélník o rozměrech 18 cm a 6 cm. K dispozici máme obdélník o rozměrech 12 cm a 9 cm. Stačí jej tedy rozstřihnout na 2 shodné části obdélníky o rozměrech 6 cm a 9 cm (obr. 73 a, b). Obr. 73a Obr. 73b b) Abychom dostali čtverec ze dvou dílů rozděleného obdélníku, musíme šířku obdélníku o 6 cm prodloužit a délku o 9 cm zkrátit. Výsledný tvar je pak ve tvaru L (obr. 74 a, b): Obr. 74a Obr. 74b ročník: Z6 I 5 66

67 Př. 13) 21 Jedna ze stran obdélníku ABCD je dvakrát kratší než jedna z úhlopříček kosočtverce KLMN. Jedna ze stran kosočtverce KLMN je stejně dlouhá jako jedna z úhlopříček obdélníku ABCD. Kosočtverec KLMN má obsah 36 cm 2. Jak velký obsah má obdélník ABCD? 22 Řešení: Úhlopříčka obdélníku dělí obdélník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky, úhlopříčky kosočtverce ho dělí na čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky. Ze zadání podle věty Ssu vyplývá, že pravoúhlý trojúhelník v obdélníku je shodný s pravoúhlým trojúhelníkem v kosočtverci. Obsah obdélníku je tedy roven polovině obsahu kosočtverce KLMN, proto obsah obdélníku ABCD je 18 cm 2. Př. 14) 23 Kamilka při kreslení obdélníků ve čtvercové síti narazila na takovou zajímavou dvojici: obdélník s rozměry 6 cm a 4 cm a čtverec se stranou délky 4 cm. Nejdříve zakreslila do sítě obdélník a pak čtverec (viz. obr. 75). S údivem ve svém obrázku objevila, že obsah nezakryté části obdélníku je roven obsahu čtverce a že nezakrytá část obvodu obdélníku je rovna celému obsahu čtverce. Mezi následujícími obdélníky najdi všechny dvojice, které mají obě vlastnosti Kamilčiných obdélníků: 3 x 9, 4 x 9, 4 x 6 a 5 x 7 (v centimetrech). Obr ročník: Z7 I 5 22 Autorka: Bednářová ročník: Z7 I 4 67

68 Řešení: obsah. Tedy: Úlohu můžeme řešit experimentálně. Je zřejmé, že první obdélník musí mít větší U obdélníku 3 x 9 vyzkoušíme obdélník 4 x 6. U obdélníku 4 x 9 vyzkoušíme obdélníky 3 x 9, 4 x 6 a 5 x 7. U obdélníku 5 x 7 vyzkoušíme obdélníky 3 x 9 a 4 x 6. Dostaneme tak jediné řešení je-li do obdélníku s rozměry 4 x 9 zakreslen čtverec s rozměry 6 x 6 tak, že jejich průnikem je obdélník 4 x 6. Př. 15) 24 Úhlopříčka dělí lichoběžník na dvě části, jejichž obsahy jsou v poměru 2 : 3. V jakém poměru jsou obsahy dvou částí, na které dělí tento lichoběžník jeho střední příčka? 25 Řešení: Ze zadání je zřejmé, že jedna základna lichoběžníku je dlouhá 3 díly (3d) a a + c 3d + 2d 5 druhá 2 díly (2d). Proto je jeho střední příčka rovna m = = = d. Poměr částí na které dělí střední příčka lichoběžník je poměrem obsahů lichoběžníků vzniklých 5 2d + d v S1 2 9 rozdělením, tedy: S 1 : S2 = = =. S d + d v 2. Střední příčka dělí lichoběžník v poměru 9 : 11. Př. 16) 26 Máme čtyři shodné trojúhelníky. Umíme z nich (bez překrývání) sestavit obdélník s obvodem 22 cm, ale také obdélník s obvodem 29 cm, ale také kosočtverec. Jaký obvod bude mít tento kosočtverec? (Při každém skládání musíme použít všechny čtyři trojúhelníky.) ročník: Z8 II 2 25 Autorka: Bednářová ročník: Z8 II 2 68

69 Řešení: Abychom mohli sestavit ze čtyř trojúhelníků bez překrývání dva různé obdélníky, musí se jednat o trojúhelníky pravoúhlé. Označme odvěsny pravoúhlého trojúhelníka a, b. Potom obvod prvního obdélníku je 4 a + 2 b = 22 a obvod druhého obdélníku je 2 a + 4 b = 29. Odtud dostaneme a = 2,5 cm a b = 6 cm. Přeponu pravoúhlého trojúhelníka vypočítáme pomocí Pythagorovy věty c = 6,5 cm. Obvod kosočtverce je roven 4 6,5 = 26 cm. Př. 17) 27 Body A, B, C a D jsou vrcholy třech různých čtyřúhelníků, které mají obsahy 9, 10 a 13 cm 2. Určete obsah sjednocení těchto čtyřúhelníků. Narýsujte jednu takovou čtveřici bodů. 28 Řešení: Body A, B, C, D ani žádné tři z nich nemohou ležet v jedné přímce, protože by netvořily čtyřúhelník. Zároveň jeden z nich musí ležet v trojúhelníku tvořeném ostatními body, protože jinak by body A, B, C, D tvořily právě jeden čtyřúhelník ABCD. Označme tento bod D. Tak získáme tři nekonvexní čtyřúhelníky ABCD s úhlem při vrcholu D větším než 180º (viz. obr. 76). C D A B Obr. 76 Sjednocením těchto tří čtyřúhelníků je trojúhelník ABC. Jeho obsah dostaneme jako polovinu součtu obsahů všech tří čtyřúhelníků: Obsah sjednocení čtyřúhelníků je tedy 16 cm S = = 16 cm 2. 2 Narýsovat danou situaci je možné různými způsoby, například takto: AC = 8 cm, BC = 4cm, ACB = 90, D leží ve vzdálenosti 1,5 cm od AC i od BC ročník: Z8 I 2 28 Autor:: Černek 69

70 Př. 18) 29 Střední příčka dělí lichoběžník na dvě části, z nichž menší má obsah 18 cm 2 (obr. 77). Jaký obsah bude mít větší z částí, na které dělí tento lichoběžník jeho úhlopříčka, pokud menší má obsah 16 cm 2? Obr. 77 Řešení: Použijeme značení z obrázku 77. Víme, že platí: a + c a + c cv 2 e + c v 2 e =, S = v, S ACD = = 16cm, SXYCD = = 18cm Z prvního a posledních dvou vztahů vyjádříme délky základen: a + 32 v va c = e = =. Odtud plyne, že: 18 v + 2 = v v = v 40 cm. v 2 2v 2 2v = Větší z částí bude mít obsah S ABC = S S ACD = 24 cm 2. Př. 19) 30 O lichoběžníku LICH (LI CH) víme, že LC HI, ILC = IHC a aritmetický průměr délek jeho základen je 8 cm. Vypočítejte obsah tohoto lichoběžníku. Řešení: Z vlastností střídavých úhlů plyne, že IHC = LIH a ILC = ICH. O lichoběžníku dále víme, že ILC = IHC. Je tedy ILC = IHC = IHC = LIH. Označme si nyní průsečík úhlopříček lichoběžníku písmenem S (obr. 78). Oba trojúhelníky LIS, HCS jsou rovnoramenné (protože mají shodné úhly při základně LI, ročník: Z8 I ročník: Z8 I 3 70

71 resp. HC) a pravoúhlé. Velikost úhlů při základně je tedy 45, protože víme, že jsou shodné a jejich součet je 90. Výšky spuštěné na základnu pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku mají velikost rovnu polovině velikosti základny (rozdělí trojúhelník na dva shodné rovnoramenné trojúhelníky). v 1 = je Dále označme LI = a, HC = c. Výška v trojúhelníku LIS má velikost 1 1 a, v trojúhelníku HCS je v2 = c. Výška lichoběžníku v = v1 + v 2 a jeho obsah 2 2 a + c a + c a c a + c a + c S = v = + = Protože je dáno, že aritmetický průměr délek základen lichoběžníku je 8 cm, bude S = 8 8 = 64 cm 2. Obr

72 Př. 20) 31 Drátěný model čtverce byl zdeformován stlačením na kosočtverec tak, že jedna jeho úhlopříčka se prodloužila o 20%. Určete poměr obsahů kruhů vepsaných do vytvořeného kosočtverce a původního čtverce. 32 Řešení: Vzorec pro výpočet obsahu kruhu je S = π r 2. Pro kruh vepsaný do čtverce platí, že jeho poloměrem je polovina velikosti strany daného čtverce, platí tedy: a S 1 = π a = π. 4 Poloměrem kruhu vepsaného do kosočtverce je polovina jeho výšky. Abychom mohli tuto výšku určit, potřebujeme si vyjádřit úhlopříčky tohoto zdeformovaného čtverce na kosočtverec. Delší úhlopříčka, označme ji f, má délku o 20% větší, než úhlopříčka čtverce, pro kterou platí u = a 2. Platí tedy f = 1,2 a 2 = a 2, 88. Délku jeho druhé úhlopříčky vypočteme pomocí Pythagorovy věty, tedy ze vztahu e f = a, jehož úpravou dostaneme délku úhlopříčky e = a 1, 12. Výšku v potom můžeme vyjádřit z rovnosti dvou vztahů pro výpočet obsahu kosočtverce: S = a v = e f 2, tj. v = e f 2 a. Poloměrem kruhu vepsaného do kosočtverce je polovina výšky, tedy r = e f 4 a, po dosazení tedy r = a 0,2016. Obsah kruhu vepsaného do kosočtverce je tedy S 2 = π 0,2016 a 2. Hledaný poměr je tedy S 1 : S 2 = 0,8064: 1 (resp. 504 : 625) ročník: Z8 II 2 32 Autorka: Ušiaková. 72

73 Př. 21) 33 Na obrázku 79 je nakreslen "skoromagický" kapesník. Je černo-bílý, přičemž černou část tvoří čtverce a bílou část tvoří obdélníky. Kdyby měly bílá a černá část stejný obsah, byl by kapesník "magický". Jaké rozměry by měl "magický" kapesník, jehož a) vnitřní čtverec má obsah 324 cm 2? b) rohový čtverec má obsah 16 cm 2? Obr. 79 Řešení: a) Má-li vnitřní čtverec obsah 324 cm 2, je délka jeho strany 18 cm. Označme délku strany rohového čtverce a, potom obsah rohového čtverce je a 2 a obsah obdélníku je 18a. Obsah černé části kapesníku je a 2 a obsah bílé části kapesníku je 4 18a. Odtud dostáváme rovnici a 2 = 4 18a, jejímž řešením je a = 9 cm. Délka strany kapesníku tedy je = 36 cm. b) Má-li rohový čtverec obsah 16 cm 2, je délka jeho strany 4 cm. Označme délku strany vnitřního čtverce a, potom obsah vnitřního čtverce je a 2 a obsah obdélníku je 4a. Obsah černé části kapesníku je a 2 a obsah bílé části kapesníku je 4 4a. Odtud dostáváme rovnici a 2 = 4 4a, jejímž řešením je a = 8 cm. Délka strany kapesníku tedy je = 16 cm ročník: Z9 III 1 73