ANALÝZA PNUS, EFEKTIVNÍ HODNOTA, ČINITEL ZKRESLENÍ, VÝKON NEHARMONICKÉHO PROUDU

Transkript

1 ANALÝZA PNUS, EFEKIVNÍ HODNOA, ČINIEL ZKRESLENÍ, VÝKON NEHARMONICKÉHO PROUDU EO Přednáška 4 Pavel Máša X3EO - Pavel Máša X3EO - Pavel Máša - PNUS

2 ÚVODEM Při analýze stejnosměrných obvodů jsme vystačili pouze s jediným druhem výkonu V HUS jsme již museli zavést tři různé druhy výkonu P, Q a S Ovlivní superpozice více harmonických zdrojů tyto výkony? X3EO - Pavel Máša X3EO - Pavel Máša - PNUS

3 EFEKIVNÍ HODNOA V PNUS Obecná definice efektivní hodnoty proudu Výstižné je anglické označení Root Mean Square Hodnota stejnosměrného proudu I, který by vyvinul stejné teplo, jako proud proměnný p P RI W=RI t Periodický proud Fourierova řada i(t) ¼ I + Dt i / I mk sin(k! t + Ã k ) t W = lim X3EO - Pavel Máša m! i= mx p i t i I fázově posunutý sin je ortogonální funkcí integrál přes periodu součinu harmonických s různou frekvencí, nebo konstanty a sinusovky je X3EO - Pavel Máša - PNUS

4 Efektivní hodnota neharmonického proudu (v PNUS) v I = u t I + v I mk = u t I + I k qi = + I + I + I mk pokud je proud zadán pomocí časového průběhu i(t) =I + I m sin(! t + Ã )+I m sin(! t + Ã )+ Ik pokud jsou zadány efektivní hodnoty jednotlivých harmonických Při praktickém výpočtu je možné uvažovat pouze omezený počet členů řady důležitý je časový průběh obsahuje nespojitost? k = 3 /.5 3/ 5/ 3.5 k = 3 X3EO - Pavel Máša -.5 / 3/ 5/ 3 X3EO - Pavel Máša - PNUS

5 Grafická konstrukce efektivní hodnoty v PNUS Vyšší harmonické se na efektivní hodnotě podílejí poměrně málo, jejich vliv rychle klesá X3EO - Pavel Máša X3EO - Pavel Máša - PNUS

6 VÝKONY V PNUS Okamžitý výkon (univerzální definice) p(t) =u(t)i(t) Činný výkon střední hodnota okamžitého výkonu (za jednu periodu) P = Z p(t)dt V PNUS je proud i napětí vyjádřeno Fourierovými řadami i(t) ¼ I + I mk sin(k! t + k) u(t) ¼ U + U mk sin(k! t + Ã k ) P = Z Z h U + i h U mk sin(k! t + Ã k ) I + Z X i I ml sin(l! t + l) dt l= = U I dt + U I ml sin(l! t + l)dt+ I U mk sin(k! t + Ã k )dt + l= {z } {z } = = + Z fcos [(k l)! t + Ã k l] cos [(k + l)! t + Ã k + l]g dt = U I + U k I k cos(ã k k) l= {z } =, pokud k6=l Z X X3EO - Pavel Máša ortogonalita P = U I + U mk I mk cos(ã k k) =U I + U k I k cos(ã k k) [W] X3EO - Pavel Máša - PNUS

7 Činný výkon, vyjádřený z koeficientů Fourierovy řady v komplexním tvaru u(t) = bu k e jk! t bu k = Z u(t)e jk! t dt i(t) = k= k= b Ik e jk! t b Ik = Z i(t)e jk! t dt Do obecné definice výkonu dosadíme Fourierovu řadu napětí P = Z u(t)i(t)dt = Z bu k e jk! t i(t)dt = P = k= bu k b I k Parsevalův teorém; k= Má význam zejména při výpočtu energie ze známého spektra (spektrální analyzátor) platí též Energii / výkon signálu je možné počítat buď jako integrál / sumu součinu / kvadrátu okamžitých hodnot časového průběhu, nebo jako integrál / součet součinu / kvadrátu Fourierových obrazů Z Z ju(t)j dt = ji(t)j dt = n= k= X3EO - Pavel Máša k= k= bu k Z b I k = b I k bu k bi k N X jx[n]j = N X jx[k]j N k= i(t)e jk! t dt (diskrétní signál) X3EO - Pavel Máša - PNUS

8 Příklad: Vypočítejte efektivní ³ hodnotu napětí s časovým průběhem u(t) = cos ¼ + ¼ 4 Efektivní hodnotu můžeme spočítat podle definice s U = (Pokud ovšem neznáme efektivní hodnotu sinusovky ) Nebo jí můžeme vypočítat z Fourierova obrazu funkce cosinus Z ³ u(t) =cos ¼ + ¼ =5e j ¼ 4 e j¼ +5e j ¼ 4 e j¼ 4 h ³ cos ¼ + ¼ i dt 4 bu =5e j ¼ 4 U bu =5e j ¼ 4 U = bu + U b =5 +5 =5 ) U = p 5 = p X3EO - Pavel Máša X3EO - Pavel Máša - PNUS

9 Zdánlivý výkon Celkový výkon přenesený vodiči Odpovídá součinu efektivních hodnot napětí a proudu K celkovému přenesenému výkonu vzájemně přispívají i různé harmonické napětí a proudu Jalový výkon S = UI = Stejně jako v HUS odpovídá výměně energie mezi zdroji, kapacitory a induktory K tomuto výkonu mohou přispívat pouze stejné harmonické napětí a proudu, stejně, jako u činného výkonu Q = U mk I mk sin(ã k k) = = v u à t U + v u à t U + X U k U mk!ã!ã U k I k sin(ã k k) [var] I + I + X I k! I mk X3EO - Pavel Máša! = [VA] X3EO - Pavel Máša - PNUS

10 Deformační výkon Na činný a jalový výkon přispívají pouze stejné harmonické napětí a proudu, ale efektivní hodnoty napětí a proudu ve zdánlivém výkonu roznásobují efektivní hodnotu každé harmonické napětí s efektivní hodnotou každé harmonické proudu v à u S = t U + X U k!ã I + X l= v = U I + UkI k + Uk Il + U Il + I U k u ;l= l= t {z } k6=l =P +Q {z } Zde se neuplatňuje ortogonalita (už roznásobujeme konstanty) I l! Deformační výkon je tedy část z celkové přenášené energie, která je dána různými harmonickými napětí a proudu jak uvidíme dále v příkladu D = p S P Q = [VA] =D X3EO - Pavel Máša X3EO - Pavel Máša - PNUS

11 Příklad: Dvojbran jsme připojili ke zdroji sinusového napětí u(t). Dvojbranem protékal proud s časovým průběhem i(t).vypočítejte všechny výkony v obvodu. u(t) =sin¼ P; Q i(t) =:5+sin ¼ + 4 ¼ +:5 sin 3¼ + ¼ +: sin 5¼ ¼ D P = ³ cos ¼ = :77 W 4 Q = ³ sin ¼ = :77 var 4 r r S = :5 + ( +:5 +: )=:44 :938 = :366 VA D = p :366 :77 ( :77) =:877 VA X3EO - Pavel Máša 6 6 X3EO - Pavel Máša - PNUS

12 V HUS se někdy účiník nazýval přímo cos ϕ, což v PNUS není v žádném případě možné žádný fázový posun zde neexistuje Obvykle se definuje jako poměr činného a zdánlivého výkonu = P S ÚČINÍK V PNUS Někdy se uvádí fiktivní fázový posun mezi fiktivním harmonickým napětím a proudem se stejnými efektivními hodnotami a činným výkonem ϕ ekv, nemá ale žádný fyzikální význam = P S =cos' ekv X3EO - Pavel Máša X3EO - Pavel Máša - PNUS

13 Činitel harmonického zkreslení (HD otal Harmonic Distorsion) Charakteristika, která udává poměr efektivní hodnoty vyšších harmonických vůči základní harmonické, někdy též jejich výkonu v audiotechnice charakterizuje zkreslení soustavy např. z důvodu limitace amplidudy (oříznutí sinusovky) Příklad signálu s neharmonickým zkreslením sinusovka s poměrně velkou amplitudou po průchodu elektronkovým zesilovačem s jeho pomocí se udává i účiník nelineárních spotřebičů s P HD = I k k= I čitatel se někdy označuje jako efektivní hodnota zbytkové křivky Činitel zkreslení p I d = + I3 + I 4 p + I + I + I 3 + ČINIEL ZKRESLENÍ X3EO - Pavel Máša Jednotky obvykle v %, pak se výsledek vynásobí X3EO - Pavel Máša - PNUS

14 Příklad: Vypočítejte činitel zkreslení obdélníkového průběhu u(t) = 4U m k¼ sin k! t Efektivní hodnota obdélníkového průběhu U = U m (pozor na případnou stejnosměrnou složku) Efektivní hodnota základní harmonické p U HD = U = U p U d = U = U Protože I = q Um ( 4U m s 4U m ¼ p μ U ¼ p ) U U = 4U m ¼ p = r = X3EO - Pavel Máša r ¼ = :4834 = 48:34 % 8 8 = :435 = 43:5 % ¼ X3EO - Pavel Máša - PNUS

15 Příklad: Uvažujme obvod, tvořený sériovou kombinací usměrňovací diody a rezistoru. Obvod je napájen z ideálního zdroje napětí s harmonickým průběhem u(t) =3 p sin34t Diodu idealizujeme tak, že v propustném směru se bude chovat jako vodič, v nepropustném jako dokonalý izolant. Exponenciální průběh, který se zvlášť výrazně projevuje do napětí V zanedbáme. Časový průběh napětí na rezistoru, a časový průběh proudu jsou jednocestně usměrněnou sinusovkou, viz obr. Fourierova řada tohoto průběhu bude: a = Z I m sin!t dt = I m cos!t = I m! a k = Z Z ¼ μ cos ¼ + = I m ¼ I m sin! t cos k! t dt = jsin cos = [sin( + )+sin( )]j = = I m [sin(! t + k! t)+sin(! t k! t)] dt = I ¼ m cos[ ( + k) ]+cos ¼ ( + k) = I m ¼( + k) I m ¼( k) = k =; 4; 6;::: ¼( + k)(k ) b k = Z Z X3EO - Pavel Máša I m sin! t sin k! t dt = jsin sin = [cos( ) cos( + )]j = = I m [cos(! t k! t) cos(! t + k! t)] dt = I ¼ m sin[ ( k) ] sin ¼ ( k) = I m sin(¼ ) = I m ¼ i(t) ¼ I m ¼ + I m sin! t I m ¼ 3 cos(! t)+ 3 5 cos(4! t)+ I m I m ¼ cos[ ( k) ]+cos ¼ ( k) = ¼ sin[ ( + k) ] sin ¼ ( + k) = X3EO - Pavel Máša - PNUS

16 Uvažujme R = Ω I m I m = U m R = 3 p = I m 3¼ : =3:5 A I = I m ¼ : =:69e ¼ j A I 4m = I m 5¼ Výkony dodané ze zdroje: r U =3V I = : =:4 A I m = I m P =3 :63 p cos = 64:5W Q =3 :63 p sin = var D = p S P Q = 64:4VA Výkony na rezistoru: P = RI =64:4W Q =var : =:38e ¼ j A I 6m = I m 35¼ p :69 +:38 HD U =% HD I = +:59 + = 43:43 % :63 U = v u t U + S = UI = 64:4VA : =:63 A :4 + (:63 +:69 +:38 +:59 )=:66 A v U mk = u t (RI ) + : =:59e ¼ j A S =3 :66 = 373:99 VA p d :69 +:38 I = +:59 + p = 39:84 % :63 +:69 +:38 +:59 + D =VA = P S =7:7 % Není možné kompenzovat klasicky (kapacitory, synchronní kondenzátory) naopak, vyšší tepelná zátěž (RI mk ) = RI = 6:6V kompenzačních kapacitorů X3EO - Pavel Máša Rozdíl oproti zdroji zanedbané vyšší harmonické X3EO - Pavel Máša - PNUS

17 Příklad: Nyní uvažujme stejný rezistor, ale síťové napětí bude usměrněné dvojcestně Graetzovým můstkem I m I m I R = i R (t) ¼ I m ¼ 4I m ¼ 3 cos(! t)+ 3 5 cos(4! t)+ Chybí. harmonická bude zdroj dodávat činný výkon? Bude, protože proud zdojem je sinusovka! = U m R = 3 p : =3:5 A I = I m ¼ = 4I m 3¼ r : =:38e ¼ j A I 4m = 4I m 5¼ : =:7 A :7 + (:38 +:76 +:83 )=:3A U R = RI R =3V P = 59 W Q =var S =59VA : =:76e ¼ j A I 6m = 4I m 35¼ X3EO - Pavel Máša D =VA = P S =% : =:83e ¼ j A X3EO - Pavel Máša - PNUS

18 ANALÝZA PNUS V LINEÁRNÍCH OBVODECH Vycházíme z principu superpozice Analýzu můžeme proto provádět jako superpozici harmonických ustálených stavů, tj. složku po složce. Postup:. Harmonická analýza (tj. nalezení koeficientů Fourierovy řady budící veličiny). Výpočet složek s využitím postupů analýzy v harmonickém ustáleném stavu nalezneme hledané řešení 3. Harmonická syntéza vypočtené složky sečteme dohromady X3EO - Pavel Máša X3EO - Pavel Máša - PNUS

19 Příklad: RC článek je napájen ze zdroje trojúhelníkového napětí dle obrázku:. Fourierova řada: stejnosměrná složka nulová, R = Ω C = 6 μf funkce je lichá obsahuje pouze sinové členy funkce je antiperiodická obsahuje pouze liché členy Integrujeme pouze přes první čtvrtinu periody: b k = u(t) = 4 Z 4 = 3U m 4U m t sin! t dt = 3U m ( t cos k! t k! 4 Z 4 8U m (k ) ¼ ( )k+ sin k! t =:s )! = ¼ =¼ Z u = t v =sink! t t sin! t dt = u = v = cos k! t k! ) 8U m cos k! tdt = k! (k ) ¼ ( )k+ X3EO - Pavel Máša X3EO - Pavel Máša - PNUS

20 . Výpočet jednotlivých harmonických proudu b U Ik = b k = bz k 8U m (k ) ¼ ( ) k+ R + j(k )! C 3. Frekvence ω je v impedanci bz = R +, kterou známe z HUS postupně nahrazována frekvencemi j!c jednotlivých harmonických. harmonická 8 b ¼ I = =3: j5:7 5 =5:8e :5j ¹A + j ¼ 6 3. harmonická 8 9¼ b I3 = = 3:9 6 j:64 5 =6:7 e :757j ¹A + j 3 ¼ 6 5. harmonická 8 5¼ b I5 = =:9 6 + j9:7 6 =9:7 e :7j ¹A + j 5 ¼ 6... X3EO - Pavel Máša i(t) = 5:8 sin(¼t+:5)+6:7 sin(6¼t :757)+9:7 sin(¼t+:7)+ ¹A 5 x X3EO - Pavel Máša - PNUS