Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika
|
|
- Alena Tesařová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni
2 Matematické modelování elmg. polí Elektrostatika Osnova Elektrostatika Modelová úloha Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků
3 Elektrostatika popisuje časově neměnná eletrická (silová) pole nabitých těles. Coulombův zákon vyjadřuje síly mezi náboji. PSfrag replacements PSfrag replacements q 2 q 1 F 1 F 2 F 1 q 1 q 2 F 2 F 1 = q 1 q 2 4πε 0 x 2 x 1 2 e 12 = F 2, q 1, q 2 R... elektrické náboje (v Coulombech), x 1, x 2 R 3... polohy nábojů, e 12 := (x 2 x 1 )/ x 2 x 1, ε permitivita vakua
4 Intenzita elektrického pole Elektrostatika je síla elektrického pole na jednotkový náboj. pole kladného náboje pole dvou nesouhlasných nábojů Platí princip superpozice, např.: E(x) = 1 4πε 0 Ω ρ(y)(x y) x y 3 dv (y), kde ρ(y) je objemová hustota náboje v Ω R 3, tj. supp(ρ) Ω.
5 Gaussův zákon (ve vakuu) Elektrostatika Tok elektrického pole z povrchu objemového elementu je určen náboji v tomto objemu. Gaussův zákon je ekvivalentní s Coulombovým zákonem. E(x) n(x) ds(x) = 1 ρ(x) dv (x) pro Ω R 3, ε 0 Ω kde n R 3 je vnější jednotková normála k Ω. Gaussova věta: Ω E(x) n(x) ds(x) = Ω div(e(x)) dv (x) dává Ω div(e(x)) = ρ(x) ε 0 pro x R 3.
6 Příklad 1: Pole dlouhé nabité tyče E(x) n(x) ds(x) = ρ(x) ε 0 dv (x) Ω Ω E(r)2πrl = ρsl E(r) = ρs 2πrε 0 ε 0 Příklad 2: Pole nabité desky E + (x) n(x) ds(x) = Ω Σ 2E + Σ = σ Σ ε 0 E + = σ 2ε 0 σ(x) ε 0 Elektrostatika ds(x) E E ρ σ E E E E E r E E l E E E E PSfrag replacements Ω Ω σ E E S Příklad 3: Pole deskového kondenzátoru E E PSfrag Ω, Σ replacements E E E =2E + = σ ε 0
7 Elektrostatika Příklad 4: Pole dvou vnořených deskových kondenzátorů s opačnou orientací E = E E p = σ σ p ε 0 σ E E E E σ p σ p σ E E E E PSfrag replacements E E E E Příklad modeluje chování polarizovaných nábojů (vnitřní kondenzátor) v dielektriku, které je vloženo do elektrostatického pole (vnější kondenzátor).
8 Gaussův zákon v dielektriku Elektrostatika V dielektrických materiálech se po vložení do elektrostatického pole vytvoří vrstvy polarizovaných nábojů orientovaných v souladu s vnějším polem. Ty se chovají jako vnořené kondenzátory, viz příklad 4, tedy zeslabují vnější pole. Označme ρ pol (x) = div( P(x)) hustotu polarizovaného náboje v dielektriku, kde P je elektrostatická polarizace. div(ε r E(x)) := div div(e(x)) = ρ(x) + ρ pol(x) ( ε 0 E(x) + P(x) ) = ρ(x), ε 0 ε 0 kde ε r 1 je relativní permitivita. Označme D(x) := ε 0 ε r (x)e(x) el. indukci: div(d(x)) = ρ(x) pro x R 3.
9 Elektrický potenciál (napětí) Elektrostatické pole je potenciální: Elektrostatika E(x) = u(x), kde u je elektrický potenciál (napětí). Tzn. práce, kterou vykoná elektrostatické pole působící na jednotkový náboj, nezávisí na dráze: b W a b = E(x) dl(x) = u(x) dl(x) = u(b) u(a) a PSfrag replacements Stokesova věta: S E(x) dl(x) = S c a b = W a c + W c b a tedy: k a b pro jakoukoliv uzavřenou křivku k. E(x) dl(x) = 0 rot(e(x)) n(x) ds(x) dává rot(e(x)) = 0 pro x R 3.
10 Podmínky na rozhraní Elektrostatika PSfrag replacements Γ, σ Γ D 1 Ω ε 1 ε ε 1 2 ε k 2 n 1 n 1 E 1 D 2 E 2 Ω D(x) n(x) ds(x) = Ω ρ(x) dv (x) (D 1(x) D 2 (x)) n 1 (x) = σ(x) pro x Γ. k E(x) dl(x) = 0 (E 1(x) E 2 (x)) n 1 (x) = 0 pro x Γ.
11 Matematické modelování elmg. polí Elektrostatika Osnova Elektrostatika Modelová úloha Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků
12 3d geometrie, redukce do 2d Modelová úloha x 2 x 2 Ω Ω + PSfrag replacements Ω r Ω r x x 1 1 Ω Ω + x 3 Ω +... kladný potenciál U, Ω... záporný potenciál U, Ω r... dielektrikum ε r
13 Modelová úloha Matematický model Hledáme u 0 : Ω 0 R a u r : Ω r R tak, že u r (x) = 0 x Ω r, u 0 (x) = 0 x Ω 0 := R d \ Ω r Ω + Ω, u 0 (x)/ n(x) ε r u r (x)/ n(x) = 0 x Ω r, u 0 (x) u r (x) = 0 x Ω r, u 0 (x) = U x Ω +, u 0 (x) = U x Ω, u 0 (x) 0 x, kde d := 3, resp. d := 2, viz předchozí obrázek vlevo, resp. vpravo.
14 Matematické modelování elmg. polí Elektrostatika Osnova Elektrostatika Modelová úloha Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků
15 Ořezání výpočetní oblasti Variační formulace Uvažujme Ω R d pokrývající Ω r, Ω + i Ω takovou, že Ω Ω + = Ω Ω =, a necht u(x) = 0 pro x Ω \ ( Ω + Ω ). Neuvažujeme tedy nadále neomezenou oblast. Dopuštíme se tím chyby v modelování! Zjednodušme zápis geometrie, konstanty ε r a řešení takto: { { ε 0 ε r, x Ω r, u r (x), x Ω r, ε(x) := u(x) = ε 0, x R d \ Ω r, u 0 (x), x Ω 0 := Ω \ Ω r Ω + Ω. Greenova věta Pro spoj. dif. funkce q, v : ω R a pěkné ω R d s vnější jedn. normálou n(x) platí: q(x) v(x) dx = q(x) v(x) dx + q(x) v(x) n i (x) ds(x). x i x i ω ω ω
16 Odvození variační formulace Variační formulace Vezměme diferencovatelnou funkci v : Ω R, v(x) = 0 pro x Ω. Z první rovnice Ω r ε 0 ε r u r (x) v(x) dx = 0 a aplikací Greenovy věty dostáváme Ω r ε 0 ε r u r (x) v(x) dx u r (x) ε 0 ε r Ω r n(x) v(x) ds(x) = 0. Podobně přenásobíme v a ε 0 druhou rovnici, zintegrujeme ji a užijeme Greenovu větu u 0 (x) ε 0 u 0 (x) v(x) dx ε 0 v(x) ds(x) = 0. Ω 0 Ω 0 n(x)
17 Variační formulace Odvození variační formulace (pokrač.) Sečteme předchozí rovnice s vědomím, že normály k Ω r a k Ω 0 na Ω r Ω 0 jsou opačné u 0 (x) ε(x) u(x) v(x) dx ε 0 v(x) ds(x)+ Ω Ω n(x) ( ) u0 (x) + n(x) ε u r (x) r v(x) ds(x) = 0. n(x) Ω r ε 0 Použijeme v = 0 na Ω a definice ε(x) a u(x) a dostáváme variační rovnici ε(x) u(x) v(x) dx = 0. Ω Zbývá určit množinu, v níž budeme hledat řešení u a množinu testovacích funkcí v.
18 Variační formulace Sobolevův prostor Má-li mít variační rovnice smysl, pak integrály Ω w(x) 2 dx musí mít smysl a být konečné, platí rovnost v(x) = 0 pro x Ω a u(x) vyhovuje předepsaným okrajovým podmínkám pro x Ω a x Ω +. Z teorie variačních metod prvnímu požadavku vyhovuje Sobolevův prostor V := H 1 (Ω) := {v(x) L 2 (Ω) : v(x) [L 2 (Ω)] d }, kde funkce z L 2 (Ω) splňují Ω v2 < a je zobecněný gradient. Pro námi uvažovanou Ω lze V definovat také následujícím zúplněním H 1 (Ω) := C ( Ω ). 1, v 1 := v(x) 2 + v(x) 2 dx, tedy H 1 (Ω) obsahuje funkce z C (Ω), ale i všechny jejich cauchyovské posloupnosti. Ω
19 Prostor testovacích funkcí Variační formulace V prostoru H 1 (Ω) již nemá smysl vyžadovat splnění v(x) = 0 bodově na Ω. Testovací funkce v budeme vybírat ze Sobolevova prostoru V 0 := H 1 0(Ω) := C 0 (Ω). 1, kde v C 0 (Ω), právě když v C (Ω) a supp v := {x Ω : v(x) 0} Ω. Množina řešení Řešení u hledáme v množině V U := C U (Ω). 1, kde C U (Ω) := {v C (Ω) : supp v Ω Ω + Ω, v(x) = U na Ω + a v(x) = U na Ω }.
20 Variační formulace Variační formulace Hledáme u V U tak, že Ω ε(x) u(x) v(x) dx = 0 v V 0. Pro tuto úlohu lze dokázat existenci jednoznačného řešení a jeho spojitou závislost na změnách geometrie Ω i materiálové funkce ε. Energetická formulace K variační formulaci lze dojít i z principu minima elektrostatické energie ϕ(v) := 1 ε(x) v(x) 2 dx. 2 Ω Minimum ϕ nastane ve stacionárním bodě u V U, tj. ϕ ϕ(u + tv) ϕ(u) (u, v) := lim = ε(x) u(x) v(x) dx = 0 v V 0. t 0 t Ω
21 Variační formulace Nehomogenní Dirichletova okr. podmínka: metoda partikulárního řešení Je nepraktické, že V U V 0. Řešení rozložíme u := u H + u P, kde u H V 0 a u P V U. Pak řešíme úlohu: najdi u H V 0 tak, že ε(x) u H (x) v(x) dx = ε(x) u P (x) v(x) dx v V 0. Ω u P závisí na geometrii, naštěstí se po diskretizaci ukáže, že u P nepotřebujeme. Ω up PSfrag replacements x x 1
22 Variační formulace Nehomogenní Dirichletova okr. podmínka: metoda penalizace V inženýrské komunitě je oblíben tento přístup: hledáme u ρ V tak, že v V ε(x) u ρ (x) v(x) dx + ρ u ρ (x) v(x) dl(x) + ρ u ρ (x) v(x) dl(x)+ Ω Ω + Ω + ρ u ρ (x) v(x) dl(x) = ρ U v(x) dl(x) ρ U v(x) dl(x), Γ Ω + Ω kde Γ := Ω \ Ω + Ω, ρ 0 je penalizační parametr. Platí, že u ρ u 1 0 pro ρ.
23 Variační formulace Nehomogenní Dirichletova okr. podmínka: smíšená formulace Matematicky přímočarý přístup je hledání vázaného extrému ϕ vzhledem k omezením u(x) = U na Ω +, u(x) = U na Ω a u(x) = 0 na Γ. Vázaný extrém nastane ve stacionárním bodě lagrangeovského funkcionálu L(u; λ +, λ ) := ϕ(u) + λ + (x)(u(x) U) dl(x)+ Ω + + λ (x)(u(x) + U) dl(x) + λ(x)u(x) dl(x) Ω Γ
24 Variační formulace Nehomogenní Dirichletova okr. podmínka: smíšená formulace Řešíme úlohu: hledáme (u; λ +, λ, λ) V L 2 ( Ω + ) L 2 ( Ω ) L 2 (Γ) tak, že ε u v dx + λ + v dl(x) + λ v dl(x) + λ v dl(x) = 0 v V, Ω Ω + Ω Γ u q + dl(x) = U q + dl(x) q + L 2 ( Ω + ), Ω + Ω + u q dl(x) = U q dl(x) q L 2 ( Ω ), Ω Ω u q dl(x) = 0 q L 2 (Γ). Γ Řešení u je jednoznačné a spojitě závisí na datech, tj. Ω, Ω +, Ω, ε a U. Lagrangeovské multiplikátory λ +, λ a λ jsou nejednoznačné.
25 Matematické modelování elmg. polí Elektrostatika Osnova Elektrostatika Modelová úloha Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků
26 Metoda konečných prvků Galerkinova metoda = projekce na podprostor Metoda partikulárního řešení i penalizace vedou na následující abstraktní úlohu. Mějme Hilbertův prostor V, jeho duál V, spojitý lineární operátor A L(V, V ), který je symetrický a eliptický, spojitý lin. funkcionál b V, hledáme u V : A(u) = b, t.j. v V : A(u), v = b, v. Dle Rieszovy věty je úloha jednoznačně řešitelná a řešení je stabilní u V = b V. Uvažujme dále podprostor V h V a hledejme Galerkinovu aproximaci u h V h : v h V h : A(u h ), v h = b, v h. Tato úloha je také jednoznačně řešitelná a u h V b V. Odečtením rovnic zjistíme, že Galerkinova aproximace u h je A ortogonální projekcí řešení u v h V h : A(u u h ), v h = 0, t.j. u h = P A (u). Metoda konečných prvků spočívá ve specifické volbě konečně dimenzionálního podprostoru V h.
27 Metoda konečných prvků Galerkinova metoda = projekce na podprostor Uvažujme Galerkinovu aproximaci na konečně dimenzionálním podprostoru V h V v h V h : A(u h ), v h = b, v h. Mějme bázi generující V h = e h 1,..., e h n a hledejme souřadnice u := (u 1,..., u n ) R n, přičemž u h = n j=1 u j e h j. Dosadíme-li za vh postupně všechny bázové funkce, dostáváme díky linearitě A následující soustavu lineárních rovnic A u = b, kde (A) ij := A(e h j ), e h i a (b) i := b, e h i. Jelikož je libovolné v h V h lineární kombinací bázových funkcí, stejnou lineární kombinací řádků soustavy dostaneme původní rovnici. Galerkinova aproximace na konečně dimenzionálním podprostoru je tedy soustava lineárních rovnic.
28 Metoda konečných prvků Odhad chyby Galerkinovy aproximace: Céaovo lemma u u h V C Důkaz. Pro libovolné v h V h : u u h 2 V inf u vh =: C dist(u, V h ) v h V h A elip. 1 A(u u h ), u u h C A = 1 A(u u h ), u A(u u h ), u h A(u u C A }{{} h ), v h }{{} =0, viz P A A spoj. c A C A u u h V u v h V =0, viz P A
29 Diskretizace oblasti Metoda konečných prvků Necht d := 2. Diskretizujme Ω do m trojúhelníků tak, že sousedé mají společnou hranu nebo bod, hrany zachytí hranice podoblastí a nejostřejší úhel je zdola omezený Ω = m k=1t k, T i T j = pro i j, x PSfrag replacements 5 x
30 MKP báze Metoda konečných prvků Nad každým uzlem diskretizace x i, i = 1, 2,..., n definujeme konečně prvkovou bázovou funkcí e h i (x) : Ω R tak, že i k : e h i (x) T k = a k i + b k i x 1 + c k i x 2 a e h i (x j ) = δ ij := { 1, i = j, 0, i j, kde a k i, bk i, ck i R. Takto získáváme aproximaci V h := e h 1(x),..., e h n(x) prostoru V. MKP aproximace penalizované formulace MKP aproximace penalizované formulace je následující: hledáme u h ρ(x) = n A ρ u ρ = b ρ, kde (A ρ ) ij := a ρ (e h j, e h i ), (b ρ ) i := b ρ (e h i ), j=1 u j e h j (x): kde a ρ (u ρ, v), resp. b ρ (v), je bilineární, resp. lineární, forma na levé, resp. pravé, straně penalizované variační rovnice.
31 Metoda konečných prvků MKP aproximace metody partikulárního řešení Mějme partikulární řešení u P V U a hledejme homogenní řešení u h H V 0 h a(u h H, v h ) := ε u h H v h = ε u P v h v h V0 h, Ω kde V0 h V h jsou konečně prvkové funkce nabývající nuly na Ω. Uspořádejme uzly diskretizace tak, že V0 h := e h 1,..., e h p e h 1,..., e h p,..., e h n =: V h, a necht u P V h. Hledáme u H R p : A 0 u H = A u P, u := (u H, 0) + u P R n, kde A 0 R p p a A R p n jsou diskretizace bilineární formy a(.,.) na prostorech V0 h V0 h, resp. V0 h V h vzhledem k zmíněným uzlovým bázím. Konstrukce u P závisí na geometrii Ω. Ve skutečnosti nás zajímá u, které závisí pouze na hraniční části u P,Γ := ((u P ) p+1,..., (u P ) n ) R n p, kde (u P,Γ ) i {0, U, U}. Hledáme ũ H R p : A 0 ũ H = A 0,Γ u P,Γ, u := (ũ H, u P,Γ ) R n, kde A 0,Γ R p (n p) je diskretizace a(.,.) na e h 1,..., e h p e h p+1,..., e h n. Ω
32 Metoda konečných prvků MKP aproximace smíšené formulace Necht diskretizace pokrývá hranice úsečkami S k takto: m + k=1 Sk + = Ω +, m k=1 Sk = Ω a m k=1 Sk = Γ, a necht Q h + := f+, 1..., f m + + L 2 ( Ω + ), Q h := f, 1..., f m L 2 ( Ω ) a Q h := f 1,..., f m L 2 (Γ), kde f i +(x) S j + = δ ij pro i, j = 1,..., m +, f i (x) S j = δ ij pro i, j = 1,..., m a f i (x) S j = δ ij pro i, j = 1,..., m. MKP aproximace smíšené formulace vede na sedlo bodovou soustavu lineárních rovnic A B T + B T B T u 0 B B λ + λ = c + c, B λ 0 kde u := (u 1,..., u n ), u h (x) := n j=1 u j e h j (x), (A) ij := Ω ε eh j e h i, (B + ) ij := S+ i eh j, (B ) ij := S i eh j, (B) ij := S i e h j, (c + ) i := U S+ i a (c ) i := U S. i
33 Sestavení MKP matic a vektorů Metoda konečných prvků Iterujeme přes trojúhelníky a sčítáme lokální matice a vektory pravých stran, tj. např. m m + m + A = G k (A k ), B + = G+(B k k +), c + = H+(c k k +), k=1 k=1 kde A k R 3 3, B k + R 1 2, c k + R, G k : R 3 3 R n n, G k + : R 1 2 R m + n, zobrazují lokální matice na globální, H k + : R R m + zobrazuje lokální vektory na globální. Na každém trojúhelníku (prvku) T k zavedeme afinní substituci x := R k ( x) := R k x + x k 1, kde R k := ( x k 2 x k 1, x k 3 x k 1 ), zobrazující referenční trojúhelník T s vrcholy (0, 0), (1, 0) a (0, 1) na T k s x k 1, x k 2 a x k 3. Zaved me ref. bázi ê 1 ( x) := 1 x 1 x 2, ê 2 ( x) := x 1, ê 3 ( x) := x 2, přičemž ê i ( x) = e k i(r k ( x)) pro i = 1, 2, 3 a x T. Pak např. A k := ε ( ) k B k T B k det(r k ), ε k := ε(x) 2 T k, B k := ( R k) ( ) T k=1
34 Metoda konečných prvků Transformace referenčních bázových funkcí PSfrag replacements v R k v 1 ê 1 ( x) e k 1(x) 0 T 1 x 2 x 2 1 T k x 1 x 1
35 Metoda konečných prvků Numerické řešení u a E := u smíšené formulace Volba ε r := 2, U := 1, Ω := ( 7, 7) ( 5, 5), Ω := ( 5, 3) ( 3, 3), Ω + := (3, 5) ( 3, 3), Ω r := ( 1, 1) 2, s diskretizačním parametrem h := 0.25 vede na n := 2015, m + := m := 64, m := x x PSfrag replacements 0.8
36 Matematické modelování elmg. polí Elektrostatika Osnova Elektrostatika Modelová úloha Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků
37 Hraniční integrální formulace Metoda potenciálů Uvažujme d := 2 a přeškálujme geometrii tak, že diam (Ω r Ω Ω + ) < 1. Hledáme řešení pomocí poteciálů jednoduché vrstvy u r (x) := w r (y) g(x, y) dl(y), x Ω r, Γ r u 0 (x) := w 0 (y) g(x, y) dl(y) + w + (y) g(x, y) dl(y) + w (y) g(x, y) dl(y), x Ω 0, Γ r Γ + Γ kde Ω 0 := R d \ Ω r Ω + Ω, Γ r := Ω r, Γ + := Ω +, Γ := Ω, g(x, y) := 1 2π ln x y je fundamentální řešení Laplaceovy rovnice a kde w r, w 0 : Γ r R, w + : Γ + R a w : Γ R jsou neznámé hustoty potenciálů. Řešení splňuje u r (x) = 0, x Ω r, u 0 (x) = 0, x Ω 0 a u 0 (x) C, x, kde C = 0 díky symetrii úlohy. Zbývá splnit podmínky přechodu a okrajové podmínky.
38 Hraniční integrální formulace Vlastnosti potenciálu jednoduché vrstvy Pro po částech spojité w r je Γ r w r (y) g(x, y) dl(y) harmonická funkce v Ω r a v R 2 \Ω r. Pro x Γ r bod spojitosti w r, v jehož okolí je Γ hladká, platí, že pro Ω r x x Γ r : w r (y) g( x, y) dl(y) w r (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) x w r (y) g( x, y) dl(y) Γ 1 r 2 w g(x, y) r(x) + w r (y) Γ r n(x) dl(y). přičemž / n(x) je derivace podle vnější jednotkové normály k Ω r. Podobně platí pro spojité w 0 a Ω 0 x x Γ r : w 0 (y) g( x, y) dl(y) w 0 (y) g(x, y) dl(y), Γ r Γ r n r (x) x w 0 (y) g( x, y) dl(y) Γ 1 r 2 w g(x, y) 0(x) + w 0 (y) Γ r n(x) dl(y).
39 Formulace úlohy Hraniční integrální formulace Pro x Γ r Γ + Γ (až na příslušné rohy)zaved me: g(x, y) [V r w](x) := w(y) g(x, y) dl(y), [K r w](x) := w(y) Γ r Γ r n(x) dl(y), g(x, y) [V + w + ](x) := w + (y) g(x, y) dl(y), [K + w + ](x) := w + (y) Γ + Γ + n(x) dl(y), g(x, y) [V w ](x) := w (y) g(x, y) dl(y), [K w ](x) := w (y) Γ Γ n(x) dl(y). Pak podmínky přechodu a okrajové podmínky dávají hraniční integrální formulaci ε r ( 1 2 I + K r) w r +( 1 2 I + K r) w 0 + K + w + + K w = 0, x Γ r, V r w r + V r w 0 + V + w + + V w = 0, x Γ r, V r w 0 + V + w + + V w = U, x Γ +, V r w 0 + V + w + + V w = U, x Γ, kde I značí identické zobrazení.
40 Matematické modelování elmg. polí Elektrostatika Osnova Elektrostatika Modelová úloha Variační formulace Metoda konečných prvků Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků
41 Diskretizace hranic Metoda hraničních prvků Diskretizujme Γ r, Γ + a Γ do disjunktních úseček m r k=1 Sk r = Γ r, m + k=1 Sk + = Γ +, m k=1 Sk = Γ a uvažujme po úsečkách konstantní bázové funkce f i r, f i + a f i tak, že f i r(x) S j r = δ ij pro i, j = 1,..., m r, f i +(x) S j + = δ ij pro i, j = 1,..., m + a f i (x) S j = δ ij pro i, j = 1,..., m. Hledáme souřadnice neznámých hustot w r, w 0 R m, w + R m +, w R m w r (x) := w + (x) := m r k=1 m + k=1 w rk f i r(x), w 0 (x) := w + k f i +(x), w (x) := m r k=1 m k=1 w 0k f i r(x), w k f i (x).
42 Metoda hraničních prvků Kolokační metoda Rovnice splníme pouze ve středech úseček x k r Sr k, x k + S+, k x k S k ε r ( 1 2 I r + K r,r ) 1 2 I r + K r,r K r,+ K r, w r V r,r V r,r V r,+ V r, 0 V +,r V +,+ V +, w 0 w + = 0 V,r V,+ V, w 0 0 U + U kde I r R m r m r je jednotková matice a kde pro p, q {r, +, } definujeme vektory pravé strany U p := (U,..., U) R m p a prvky matic V p,q, K p,q R m p m q následovně: (V p,q ) ij := g(x i p, y) dl(y), (K p,q ) ij := x g(x i p, y) n i p dl(y), S j q kde n i r, n i + a n i jsou jednotkové normály k S i r, S i + a S i směřující ven z Ω r, Ω +, Ω. S j q,
43 Metoda hraničních prvků Výpočet prvků matic V p,q S j q S j q ln x i p y dl(y) = b j q a j ( q ln b j q a j q ln 2 1 ) pro Sp i = Sq, j ([ x i p ( ) a j q b j q + a j q bq] j A ij pq + ln x i p y 1 dl(y) = b j q a j q + ( [( b j q aq) j x i p aq) j ln x i p a j q ( x i p b j q pro Sp i Sq, j ) ln x i p b j q ]) kde uvažujeme parametrizaci S j q : y(t) := a j q + t ( b j q a j q), t 0, 1, kde (b j q a j q) (x i p a j q) (b j q a j q) (x i p b j q) pq := arctg a j q (b j q x i p) + b j arctg q x i p a j q (b j q x i p) + b j q x i p A ij a kde pro u, v R 2 definujeme součiny u v := u 1 v 1 + u 2 v 2 a u v := u 1 v 2 u 2 v 1.
44 Metoda hraničních prvků Výpočet prvků matic K p,q S j q S j q x ln x i p y n i p dl(y) = 0 pro S i p = S j q, x ln x i p y n i 1 ( p dl(y) = b j q a j n i p ( ) b j q a j q A ij pq + q +n i p (a ) j q b j x i p a j q q ln x i p b j pro Sp i Sq. j q
45 Numerické řešení w r, w 0, w + a w Metoda hraničních prvků Volba ε r := 2, U := 1, Ω := ( 0.05, 0.03) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.03, 0.05) ( 0.03, 0.03), Ω r := ( 0.01, 0.01) 2, s diskretizačním parametrem h := vede na m r := 32, m + := m := w PSfrag replacements 0 x x
46 Numerické řešení u a E := u Metoda hraničních prvků Volba ε r := 2, U := 1, Ω := ( 0.05, 0.03) ( 0.03, 0.03), Ω + := (0.03, 0.05) ( 0.03, 0.03), Ω r := ( 0.01, 0.01) 2, s diskretizačním parametrem h := vede na m r := 32, m + := m := x PSfrag replacements x
Matematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění
Matematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl
VíceELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ
MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ Dalibor Lukáš Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..7/2.2./7.332), na kterém se společně podílela
VíceMatematické modelování elektromagnetických
Matematické modelování elektromagnetických polí Dalibor Lukáš August 24, 2 Předmluva Budiž elektromagnetismus. A bylo světlo. (Richard P. Feynman) Cílem tohoto textu je uvést čtenáře do problematiky modelování
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Vícekteré charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.
Více(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
VíceHomogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Literatura:
Vícepro Maxwellovy rovnice
Rychlé výpočetní metody pro Maxwellovy rovnice VŠB TU Ostrava, 14. dubna 2005 D. Lukáš Katedra aplikované matematiky, Centrum pokročilých a inovačních technologií, VŠB Technická univerzita Ostrava email:
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceELT1 - Přednáška č. 6
ELT1 - Přednáška č. 6 Elektrotechnická terminologie a odborné výrazy, měřicí jednotky a činitelé, které je ovlivňují. Rozdíl potenciálů, elektromotorická síla, napětí, el. napětí, proud, odpor, vodivost,
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceNelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceGAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY
GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceMartin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017
Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceObsah PŘEDMLUVA 11 ÚVOD 13 1 Základní pojmy a zákony teorie elektromagnetického pole 23
Obsah PŘEDMLUVA... 11 ÚVOD... 13 0.1. Jak teoreticky řešíme elektrotechnické projekty...13 0.2. Dvojí význam pojmu pole...16 0.3. Elektromagnetické pole a technické projekty...20 1. Základní pojmy a zákony
VíceLiteratura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Více24. Parciální diferenciální rovnice
24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceObsah. 1 Lineární prostory 2
Obsah 1 Lineární prostory 2 2 Úplné prostory 2 2.1 Metrické prostory.................................... 2 2.2 Banachovy prostory................................... 3 2.3 Lineární funkcionály..................................
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VícePRUŽNOST A PEVNOST II
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ CZ.1.07/2.2.00/ Jitka Machalová, Horymír Netuka METODA KONEČNÝCH PRVKŮ
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Jitka Machalová, Horymír Netuka METODA KONEČNÝCH PRVKŮ Olomouc 2015 Předmluva Tento text vznikl v rámci projektu MATAP určenému ke zkvalitnění výuky
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceZS: 2017/2018 NMAF061 F/2 J. MÁLEK. Matematika pro fyziky I. Posluchárna: T2 T1 Konzultační hodiny: pátek 9:40-10:30, posluchárna T5
ZS: 2017/2018 NMAF061 F/2 J. MÁLEK Matematika pro fyziky I OBECNÉ INFORMACE A SYLABUS Přednášející: Cvičící: Josef Málek Michal Báthory, Tomáš Los, Michal Pavelka, Vít Průša Termíny přednášek: Čtvrtek
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Více14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta
14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceParametrické rovnice křivky
Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceMechanika s Inventorem
Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VícePřednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla
Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VícePožadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VícePotenciál vektorového pole
Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F
Více