Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla"

Vítězslav Slavík
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace metodou konečných prvků

2 Motivace Analýza transportních jevů thermal envelope design Podobné problémy Fyzikální jev Difúze Průhyb membrány Smyková deplanace průřezu Elektrostatika Transport vlhkosti Ustálené proudění Charakteristická proměnná koncentrace průhyb deplanační funkce potenciál relativní vlhkost hydraulická výška Hledaná funkce: Rozdělení teploty T(x) [K] Postup podobný úloze taženého-tlačeného prutu diferenciální rovnice + Okrajové podmínky slabé řešení) diskretizace

3 Diferenciální rovnice problému Základní veličiny Je třeba rozlišovat dvě různé veličiny: Teplo Q(x) (též tepelná energie) je část vnitřní energie, kterou těleso přijme nebo odevzdá při tepelné výměně druhému tělesu (vyjadřuje změnu stavu) [J] Teplota T(x), která vyjadřuje stav tělesa [K] Výměna tepelné energie závisí na teplotním rozdílu, ne na vlastní teplotě; gradient teploty(x) = lim x 0 T(x+ x) x = dt dx (x) Tepelný tok q [Wm 2 ] je definován jako Q(x) q n (x) = n(x), a určuje množství tepla Q(x), které 1 m 2 1 s projde jednotkovou plochou s normálou n. Studujeme-li ustálený stav, potom tepelný tok nezávisí na čase.

4 Diferenciální rovnice problému Bilance energie Při přenosu tepla protéká tepelný tok objemovým elementem. Bilance energie vyžaduje, aby změna tepelné energie qa, která je generována uvnitř kontrolního objemu byla rovna tepelné energii odevzdané, protože teplota a tedy i energie musí být konstantní v kontrolním objemu pro ustálený stav. Uvňitř tělesa (x Ω) vstup {}}{ q x (x)a(x) + zdroj {}}{ Q(x + x x ) xa(x ) = výstup {}}{ q x (x + x)a(x + x), kde Q označuje tzv. zdroj tepla (kladný, pokud je teplo generováno, záporný pokud je teplo odebíráno) [Jm 3 s 1 ].

5 Úpravou a limitním přechodem pro x 0: d dx (q x(x)a(x)) + Q(x)A(x) = 0, Pokud uvažujeme A(x) = konst., rovnice se zjednoduší na dq x (x) + Q(x) = 0 pro x Ω dx Konstitutivní rovnice (Fourierův zákon): pro x Ω q(x) = λ(x) dt dx (x); λ je součinitel tepelné vodivosti [Wm 1 K 1 ]. Předepsaná teplota na hranici - Dirichletovská okrajová podmínka: T(x) = T(x) pro x Γ T

6 Diferenciální rovnice problému Bilance energie na hranici q x (x)n(x) = q x (x) pro x Γ q Neumannova okrajová podmínka: q x (x) je dáno Smíšená okrajová podmínka (Convection/mixed/Robin/(Newton) BC) q x (x) = α(x) (T(x) T 0 (x)), pro x Γ qc kde α [Jm 2 K 1 s 1 ] je tzv. film coefficient a T 0 je teplota okolního prostředí

7 Diferenciální rovnice problému Bilance energie na hranici Radiace (Radiation/non-linear mixed/newton BC) q(x) = ε(x)σ(x) ( T 4 (x) T ) 4 pro x Γqr kde ε [-]: je povrchové vyzařování vytažené k černému tělesu (0 < ε < 1) σ = 5, Wm 2 K 4 je Stefan-Boltzmannova konstanta T je teplota okolního prostředí

8 Diferenciální rovnice problému Rovnice vedení tepla Hledáme T(x) [dostatečně hladké] takové aby: pro x Ω: d ( dt λ(x) dx dx (x)) + Q(x) = 0, pro x Γ T : T(x) = T(x) pro x Γ q : λ(x) dt dx (x)n(x) = q x (x), kde pro x Γ qp : q x (x) je dáno pro x Γ qc : q x (x) = α(x) (T(x) T 0 (x)) pro x Γqr : q x (x) = ε(x)σ(x) ( ) T 4 (x) T 4 Nelineární okrajová podmínka Γ qr =

9 Slabé řešení Pro libovolnou váhovou funkci δt takovou, aby δt(x) = 0 pro x Γ T ( ) d ( dt δt(x) λ(x) Ω dx dx (x)) + Q(x) dx = 0 Integrací per-partes 0 = + Γ Ω δt(x)λ(x) dt (x)n(x) ds dx δt(x)q(x) dx Rozdělení integrálu na hranici Γ δt(x)λ(x) dt (x)n(x) ds = dx + Ω dδt dx dt (x)λ(x) (x) dx dx =0 {}}{ δt(x) λ(x) dt (x)n(x) ds Γ T dx δt(x) λ(x) dt Γ q dx (x)n(x) ds }{{} = q x

10 Slabé řešení Γ q δt(x)q x (x) ds = + δt(x)q x (x) ds Γ qp δt(x)α(x) (T(x) T 0 (x)) ds Γ qc Dohromady tedy máme Hledáme T(x) [dostatečně integrovatelné] takové aby: dδt dt (x)λ(x) (x) dx + δt(x)α(x)t(x) ds = Ω dx dx Γ qc δt(x)α(x)t 0 (x) ds δt(x)q x (x) ds + δt(x)q(x) dx Γ qc Γ qp Ω pro všechna δt taková, že δt = 0 na Γ T.

11 Diskretizace metodou konečných prvků Uvažujme dělení oblasti Ω na n konečných prvků Ω e Na každém prvku e, zavedeme lokální apoximaci T e (x) N e (x)r e, dte dx (x) Be (x)r e, δt e (x) N e (x)w e, dδte dx (x) Be (x)w e Dosazením do slabého řešení: Pro všechna w e taková, že w e = 0 na Γ T n e=1 w et( K e,ω { }}{ B e (x) T λ e (x)b e (x) dx r e + Ω e K e,γ {}}{ Γ e qc N e (x) T α e (x)n e (x) ds r e f e,γc f e,γp { }}{ {}}{ N e (x) T α(x)n e (x)t e 0 ds + N e (x) T N e (x)q e ds Γ e qc Γ e qp f e,ω { }}{ N e (x) T N e (x)q e ds ) = 0 Ω e

12 Diskretizace metodou konečných prvků Globální veličiny ( lokalizace) w T ( n e=1 K e r ) n f e = 0 e=1 Konečná podoba soustavy rovnic [ ] [ ] [ K(u, u) K(u, p) r(u) f(u) = K(p, u) K(p, p) r(p) f(p) ] [ 0 + R ] Řešení: K(u, u)r(u) = f(u) K(u, p)r(p) R = K(p, u)r(u) + K(p, p)r(p) f(p)

13 Please feel free to any suggestions, errors and typos to Version 002 Verze 2: Česká verze, drobné doplňky [B. Patzák

Podobné dokumenty

1 Vedení tepla stacionární úloha

1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace