INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ CZ.1.07/2.2.00/ Jitka Machalová, Horymír Netuka METODA KONEČNÝCH PRVKŮ

Transkript

1 INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ CZ.1.07/2.2.00/ Jitka Machalová, Horymír Netuka METODA KONEČNÝCH PRVKŮ Olomouc 2015

2 Předmluva Tento text vznikl v rámci projektu MATAP určenému ke zkvalitnění výuky studentů Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci s matematickým zaměřením. Primárně je určen pro podporu studia kurzu Metoda konečných prvků (KMA/MKP) na Katedře matematické analýzy a aplikací matematiky. Tento kurz úzce navazuje na přednášku Variační metody (KMA/VM). Někteří studenti s teoretickým zaměřením ale tuto přednášku neabsolvují. Proto je zde jedna kapitola věnovaná stručné rekapitulaci variačních metod a to přesto, že již existují skripta k této přednášce ([Machalová 2014]). Vycházíme tím vstříc všem studentům, kteří o problematiku této nejvýznamnější výpočetní metody dneška projeví zájem a které by stostránková skripta o variačních metodách odradila. Probíraná látka se omezuje na eliptické problémy, tj. úlohy, které z fyzikálního hlediska nejsou závislé na čase a kde se tedy řeší rovnovážné stavy stacionárních systémů. Tím je rovněž dáno, že se zde čtenář setká výhradně s lineárními úlohami - s výjimkou krátké kapitoly 6. Text předpokládá, že student má dostatečné znalosti z funkcionální analýzy a je již obeznámen aspoň se základy moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic. Tedy že již ví, co jsou to Sobolevovy prostory, slabá řešení okrajových úloh, derivace funkcionálů apod. Žádný souhrn potřebných znalostí zde neuvádíme, protože ho lze nalézt ve skriptech ([Machalová 2014]). Existuje velké množství literatury o metodě konečných prvků, která je zaměřená na inženýry resp. nějaké uživatele metody. Mnohem skromnější je to s literaturou určenou matematikům. Klasickou knihou v angličtině, které jsme se do jisté míry drželi, je [Ciarlet 1978]. Ta pak vyšla jako přetisk původního vydání znovu roku Kapitoly 1-6 byly později mírně přepracovány a aktualizovány a vydány v publikaci [Ciarlet 1991]. V češtině Ciarletově knize odpovídala skripta [Haslinger 1981], která jsou však dávno rozebraná. Pokusili jsme se je alespoň v omezené míře nahradit. Zároveň jsme se domnívali, že jednostranné zaměření na teoretické aspekty metody není pro studující zcela ideální náplní. Základy teorie MKP chápeme jako nutnou, nikoliv však postačující část kurzu MKP pro matematiky. Jsme na základě svých zkušeností přesvědčení, že úspěšný absolvent matematického studia by také měl být schopný metodu aplikovat. Proto jsme k teorii přidali i obsáhlou kapitolu s poměrně jednoduchými příklady, jejíž prostudování by mělo zájemcům názorně ukázat základní principy fungování MKP. Protože tématika MKP i jejího použití je velmi široká a rozsah přednášek a tím ani skript ji nemůže celou obsáhnout, některé její aspekty jsme zařadili jen formou ukázek. To se týká např. koncepce izoparametrických elementů, o nichž se stručně píše v odstavci 5.3.2, nebo řešení úloh 4. řádu, kde jsme zůstali jen u nosníků a které jsou formou dvou řešených příkladů prezentovány v odstavci 5.2. Rovněž nekonformním prvkům jsme zde věnovali pouze pár stran v odstavci 4.4 stejně jako důležité problematice řešení variačních nerovnic v kapitole 6. Tuto látku považujeme za vhodnější pro postgraduální studium než pro základní kurz MKP. Na závěr by autoři rádi poděkovali oběma recenzentům. Díky tomu, jak pečlivě pročetli základní verzi textu, bylo možné opravit celou řadu menších chyb a nedopatření. Jejich připomínky pak vedly mimo jiné i k podstatnému rozšíření kapitoly 5, což skriptům nepochybně prospělo. Zvláštní poděkování patří prof. Jaroslavu Haslingerovi za jeho skvělé přednášky a knihy, které pro nás byly vzorem a z nichž jsme nemálo čerpali. duben 2015 Autoři 3

3 Obsah 0 Úvod 5 1 Eliptické okrajové úlohy Variační formulace Ritz-Galerkinova metoda Základy metody konečných prvků Triangulace Konečné prvky a prostory konečných prvků Lagrangeovské simpliciální konečné prvky Lagrangeovské obdélníkové konečné prvky Hermiteovské kubické konečné prvky Apriorní odhady a konvergence konformní metody konečných prvků Aproximace v Sobolevových prostorech Odhady pro afinně ekvivalentní konečné prvky Apriorní odhady v H 1 (Ω) normě Apriorní odhady v L 2 (Ω) normě Použití teorie odhadů Konvergence metody Numerická integrace a nekonformní metoda konečných prvků Strangovo první lemma Numerická integrace Konstrukce kvadraturních formulí Speciální typy kvadraturních formulí Strangovo druhé lemma Apriorní odhady chyb pro nekonformní konečné prvky - úvod Příklady použití metody konečných prvků Eliptické úlohy 2. řádu v 1D Výpočet ohybu nosníku Ukázka výpočtu eliptické úlohy ve 2D Lineární trojúhelníkový prvek Izoparametrický čtyřúhelníkový prvek Bilineární obdélníkový prvek Výpočet kroucení tyče Úvod do řešení variačních nerovnic pomocí MKP Závěr 120 Dodatek: Řešení soustav lineárních rovnic 122 Literatura ke studiu 126 4

4 0 Úvod Uvažujme úlohu (P) { u = f v Ω = [0, 1] [0, 1], u = 0 na Γ = Ω. Jednoduchou metodou řešení této úlohy je metoda sítí. Zvolíme přirozené číslo N a položíme h = 1/N. Body [x i, y j ] : x i = ih, y j = jh, i, j = 0, 1,..., N nazveme uzly výpočetní sítě. Pokud je i nebo j rovno 0 nebo N, hovoříme o hraničním uzlu, jinak jde o vnitřní uzel sítě. Obrázek 1: Metoda sítí Hlavní myšlenka metody spočívá v tom, že parciální derivace nahradíme konečnými diferencemi. V našem případě položíme 2 u x (x, y) 2 1 [u(x h, y) 2u(x, y) + u(x + h, y)], h2 2 u y (x, y) 2 1 [u(x, y h) 2u(x, y) + u(x, y + h)]. h2 Dosadíme-li tyto aproximace do dané úlohy (P), dostaneme, že v každém vnitřním uzlu [x i, y j ] platí 4u ij u i 1,j u i+1,j u i,j 1 u i,j+1 = h 2 f ij, kde V hraničních uzlech pak platí u ij = u(x i, y j ), f ij = f(x i, y j ). u 0,j = u N,j = u i,0 = u i,n = 0, i, j = 0,..., N. 5

5 Celkem tak získáme soustavu (N 1) 2 lineárních algebraických rovnic o (N 1) 2 neznámých u ij, i, j = 1,..., N 1. Pokud neznámé očíslujeme ve směru zleva doprava a odspodu nahoru, dostaneme soustavu s pásovou maticí. Výhodou metody sítí je to, že poměrně jednoduše získáme diskrétní úlohu i její algebraickou formu, matice soustav jsou zpravidla řídké a mívají i nějakou speciální strukturu, např. pásovou, blokově pásovou apod., což lze velmi efektivním způsobem využít. Metoda má ovšem i své nevýhody komplikovaně se zpracovávají okrajové podmínky na nepravidelných oblastech, mohou být problémy se zpracováním okrajových podmínek obsahujících derivace, pokud nejsou řešení okrajových úloh dosti hladká (a tak tomu je ve většině případů), mohou nastat problémy s konvergencí metody. Jinou možností řešení úlohy (P) jsou variační metody. Aplikujeme zde Ritzovu metodu, kterou známe např. ze skript [Machalová 2014]. Definujme nejprve funkcionál J(v) = 1 v 2 dxdy fv dxdy. 2 Ω Ω Variačním řešením úlohy (P) je funkce u H 1 0(Ω) taková, že J(u) = min J(v). v H0 1(Ω) Necht {V h }, h (0, 1), je systém konečnědimenzionálních podprostorů prostoru H 1 0(Ω). Ritzovou aproximací funkce u na V h nazveme funkci u h V h takovou, že J(u h ) = min v h V h J(v h ). Tato formulace, jak už víme např. z [Machalová 2014], vede na řešení soustavy lineárních algebraických rovnic s maticí A = (a ij ) n i,j=1, a ij = a(ϕ i, ϕ j ), přičemž a(u, v) = u v dxdy, u, v H 1 0(Ω), Ω je bilineární forma příslušející funkcionálu J a {ϕ i } n i=1 je báze prostoru V h. Je zřejmé, že matice A závisí na konkrétní volbě bázových funkcí. Postupně si předvedeme tři principiální způsoby jejich výběru. 6

6 1. Řešení podle WALTERA RITZE ( ). Ritz zformuloval nedlouho před svojí předčasnou smrtí základy metody, která dnes nese jeho jméno. Ritzova metoda spočívá v aproximaci funkcionálu popsaného výše nějakou lineární kombinací vhodných funkcí splňujících předepsané okrajové podmínky. Zde zvolíme následující bázové funkce ϕ kl (x, y) = sin kπx sin lπy, k, l = 1, 2,..., N a položíme V h = span{ϕ 11, ϕ 12,..., ϕ NN }, takže je dim V h = N 2. Je zřejmé, že ϕ kl (x, y) = 0 pro (x, y) Γ, tudíž V h H 1 0(Ω). Navíc lze ukázat, že systém {V h } je úplný v H 1 0(Ω), tj. ε > 0 v H 1 0(Ω) N a α 1,..., α N R tak, že Obrázek 2: Ritz N v α j ϕ H j < ε. 1 0 (Ω) j=1 Odtud následně plyne (viz skripta [Machalová 2014], kapitola 6), že Ritzova metoda je konvergentní. Navíc je a(ϕ jk, ϕ mn ) = 0 pro j m, k n, což znamená, že matice A je diagonální a soustava algebraických rovnic s touto maticí je proto snadno řešitelná bez použití počítače. Z druhé strany je si ovšem třeba uvědomit, že takto lze zvolit systém bázových funkcí jen ve velmi málo případech. 2. Řešení podle BORISE GALERKINA ( ). Galerkin navázal v roce 1913 na Ritzovy výzkumy. Hlavní problém v tu dobu představovalo, jak zajistit splnění okrajových podmínek na obecnějších oblastech. Galerkin zjistil, že za bázové funkce lze volit polynomy, přičemž potřeba zajistit splnění okrajových podmínek vedla k hledání bázových funkcí ve tvaru gx k y l, kde g je dostatečně hladká funkce splňující předepsanou okrajovou podmínku. Zde proto použijeme bázové funkce tvaru ϕ kl (x, y) = (1 x)(1 y)x k y l, k, l = 1, 2,..., N a jimi generovaný prostor V h = span{ϕ 11, ϕ 12,..., ϕ NN }. Obrázek 3: Galerkin Opět máme ϕ kl (x, y) = 0 pro (x, y) Γ a je tedy V h H 1 0(Ω). I zde lze ukázat, že systém {V h } je úplný v H 1 0(Ω) a Ritzova metoda je proto konvergentní. Máme tak k dispozici obecnější postup řešení, výsledná matice A je však nyní plná, což při velkých hodnotách N představuje velký problém. Uvědomme si, že v obou předcházejících případech jsme prostor V h o vyšší dimenzi mohli získat tak, že k funkcím, které generovaly prostor nižší dimenze, jsme přidali nové bázové funkce. Nový prostor V h proto obsahoval všechny prostory dimenze nižší, což je výhodné. 7

7 Pokud jde o soustavu rovnic, je evidentně nejvýhodnější volba ortogonální báze, nebot v tomto případě dostáváme diagonální matici A. Ale při výběru systému podprostorů {V h } je třeba mít splněné předepsané okrajové podmínky, splněné kritérium úplnosti, které pak zaručí konvergenci Ritzovy metody. Bohužel, jen u velmi mála a velmi jednoduchých úloh lze nalézt takovéto báze vedoucí na diagonální matice, jak tomu bylo u prvního řešení. Co je však velmi nemilé, dokonce ani báze, které by dávaly plnou matici A a přitom prostory jimi generované byly úplné, je ve většině případů nemožné nalézt. A navíc se ukazuje, že odpovídající matice A jsou pak zpravidla špatně podmíněné, což má při velkých počtech neznámých destruktivní efekt na numerické řešení. Klasické postupy, které jsme si zde stručně přiblížili, se proto příliš neosvědčily. Průlom nastal až mnohem později v roce 1942 zásluhou významného Hilbertova žáka Richarda Couranta. 3. Řešení podle RICHARDA COURANTA ( ). V našem případě v oblasti Ω vygenerujeme body x i = ih, y j = jh, h = 1, i, j = 0, 1,..., N, N a z nich pak 2N 2 trojúhelníků (viz obr. 5). Necht K je jeden takový trojúhelník s vrcholy A 1, A 2, A 3. Pak pro libovolnou trojici čísel α 1, α 2, α 3 existuje právě jediná funkce p tvaru p(x, y) = β 0 + β 1 x + β 2 y tak, že p(a i ) = α i i = 1, 2, 3. Obrázek 4: Courant Situaci pro dva sousední trojúhelníky K a K se dvěma společnými vrcholy A 1 a A 2 vyřešíme tak, že na K sestrojíme z daných hodnot ve vrcholech polynom p. Ve společných vrcholech zvolíme stejné hodnoty i pro K a na K sestrojíme polynom p. Je evidentní, že p p na společné straně A 1 A 2. Následně položíme p = { p na K, p na K. Pak p je spojitá funkce na K K. Takto postupujeme dál, s tím, že v případě, že některý vrchol A i leží na Γ, zvolíme příslušnou hodnotu α i = 0. Je tedy zřejmé, že když celá strana K leží na Γ, pak polynom p je na té straně identicky roven nule. Definujme nyní V h = {v h C 0 (Ω): v h K P 1 (K) K, v h = 0 na Γ}, tj. V h je prostor po částech lineárních spojitých funkcí, které se anulují na hranici Γ. Je zřejmé, že dim V h = (N 1) 2 a V h H 1 0(Ω). Bázi prostoru V h tvoří funkce ϕ i V h takové, že ϕ i (A j ) = δ ij pro A j Γ. 8

8 Obrázek 5: Metoda konečných prvků Uvažujme v h V h, tedy v h (x) = i c i ϕ i (x). Z konstrukce V h plyne, že v h je jednoznačně určena svými hodnotami v (N 1) 2 vnitřních uzlech A i a proto v h (x) = (N 1) 2 i=1 v h (A i )ϕ i (x). Zřejmě také platí a(ϕ i, ϕ j ) = 0 pokud A j není vrcholem stejného trojúhelníku jako A i a matice soustavy A = (a(ϕ i, ϕ j )) (N 1)2 i,j=1 proto obsahuje v i-tém řádku maximálně nenulových prvků (viz obr. 5), tedy matice je řídká. Takovýto postup, který jsme si právě uvedli, později v 50. letech 20. století dostal název metoda konečných prvků, zkráceně MKP, anglicky Finite Element Method (FEM). Metoda konečných prvků má tedy všechny výhody variačních metod, protože vychází z variační formulace, a navíc generuje soustavy lineárních rovnic s řídkými maticemi, které jsou vhodné (při znalosti potřebných technologií ) k počítačovému zpracování. 9

9 1 Eliptické okrajové úlohy Než přistoupíme k vlastnímu výkladu metody konečných prvků, provedeme stručnou rekapitulaci základních poznatků o variačních formulacích pro eliptické okrajové úlohy 2. řádu. Připomeneme si rovněž tvrzení týkající se existence a jednoznačnosti řešení takových úloh a na závěr si krátce shrneme výsledky z oblasti aproximací těchto úloh pomocí Ritzovy a Galerkinovy metody. Podrobnější výklad najde čtenář ve skriptech [Machalová 2014]. 1.1 Variační formulace Mějme dánu omezenou oblast Ω R d, d = 1, 2, 3, s lipschitzovskou hranicí Γ a na ní definovaný lineární diferenciální operátor 2. řádu A a rovnici Au(x) = ( a ij (x) u ) + b(x)u(x) = f(x), i, j = 1,..., d x i x j (k zápisu používáme sumační konvenci). Předpokládejme, že a ij C 1 (Ω), b C 0 (Ω), f C 0 (Ω), a ij (x) = a ji (x) x Ω, i, j = 1,..., d, b(x) 0 x Ω, α > 0 : a ij (x) ξ i ξ j α ξ 2 x Ω, ξ R d. { 1 i = j Poznámka 1.1 V případě, že a ij = δ ij = a b 0, 0 i j dostáváme známý Laplaceův operátor a uvedená rovnice je Poissonova rovnice. Pokud je navíc f 0, mluví se o Laplaceově rovnici. Rovnici doplníme okrajovými podmínkami: u(x) = u 0 (x) x Γ 1, u (x) = g(x) x Γ 2, n A u (x) + h(x)u(x) = g(x) x Γ 3, n A kde u 0 C 0 (Γ 1 ), g C 0 (Γ 2 ), g C 0 (Γ 3 ), h C 0 (Γ 3 ), h 0 a Γ 1, Γ 2, Γ 3 jsou navzájem disjunktní otevřené podmnožiny hranice oblasti Ω takové, že Γ 0 Γ 1 Γ 2 Γ 3 = Γ. Zde Γ 0 značí množinu bodů, v nichž dochází ke změnám okrajových podmínek. Konečně u n A (x) a ij (x) u x j n i (x) x Γ, se nazývá derivace podle konormály, přičemž n(x) = (n 1 (x),..., n d (x)) značí jednotkový vektor vnější normály ke hranici Γ. 10

10 Poznámka 1.2 Připomeňme si, že o Dirichletových podmínkách se hovoří někdy jako o stabilních nebo podstatných (anglicky essential) okrajových podmínkách, kdežto ostatní bývají označované jako nestabilní nebo přirozené (anglicky natural). Nyní přikročíme k slabé formulaci úlohy. Přitom oslabíme požadavky na koeficienty operátoru A a zadané funkce: a ij L (Ω), b L (Ω), f L 2 (Ω), u 0 H 1 (Ω), g L 2 (Γ 2 ), g L 2 (Γ 3 ), h L (Γ 3 ). Pro jednoduchost se podívejme nejprve na případ, kdy máme zadánu homogenní Dirichletovu podmínku, tj. u 0 0. Zavedeme prostor tzv. testovacích funkcí V = {v H 1 (Ω): v = 0 na Γ 1 } a těmito funkcemi vynásobíme skalárně danou rovnici, tedy ( ) u a ij v dx + buv dx = fv dx, v V. x i x j Ω Užitím Greenovy formule pak obdržíme u v a ij dx + buv dx + huv ds = x j x i Ω Ω Γ 3 Ω Následně položíme a(u, v) = Ω a ij u x j Ω v dx + x i Ω Ω fv dx + gv ds + Γ 2 buv dx + Γ 3 huv ds, u, v V. Γ 3 gv ds, v V. Tímto předpisem jsme zavedli symetrickou spojitou bilineární formu na V V. Dále ještě definujme na V lineární spojitou formu vztahem L(v) = fv dx + gv ds + gv ds, v V. Ω Γ 2 Γ 3 Slabá formulace uvažované úlohy má pak tento tvar { nalézt u V tak, že (P ) a(u, v) = L(v) v V. O existenci a jednoznačnosti řešení úlohy (P ) hovoří následující známá věta. Věta 1.1 (Lax-Milgram) Necht V je Hilbertův prostor, V je jeho duál, a : V V R je omezená a V -eliptická bilineární forma, tj. existují konstanty M > 0 a α > 0 tak, že platí a necht L V. Pak úloha (P ) má jediné řešení u V. a(u, v) M u V v V u, v V, a(v, v) α v 2 V v V, Důkaz: Důkaz je uveden ve skriptech [Machalová 2014]. 11

11 Poznámka 1.3 Pozorný čtenář si jistě povšiml, že v předpokladech nevystupuje symetrie bilineární formy a. Tvrzení tak platí i v případě nesymetrických úloh, tj. když nemáme symetrii v koeficientech a ij nebo když diferenciální operátor obsahuje alespoň jeden člen s prvními parciálními derivacemi tvaru c i u x i. Definujme dále na V kvadratický funkcionál předpisem J(v) = 1 a(v, v) L(v) 2 a necht u V je řešením úlohy (P ). Jelikož a(.,.) je symetrická, lze psát J(v) = 1 2 a(v, v) a(u, v) = 1 2 a(v u, v u) 1 a(u, u). 2 Ihned vidíme, že funkcionál J nabývá svého minima právě pro v = u. Odtud plyne variační formulace naší úlohy (P ) { nalézt u V tak, že J(u) = min J(v). v V Obě uvedené úlohy (P ) i (P ) jsou za předpokladů uvedených v Lax-Milgramově větě ekvivalentní. Označíme J (u, v) diferenciál Gâteaux funkcionálu J v bodě u ve směru v. Jelikož platí J (u, v) = a(u, v) L(v) v V, je zřejmé, proč jsme slabou formulaci označili (P ). O příslušné rovnici charakterizující stacionární bod funkcionálu J a(u, v) = L(v) v V se pak často hovoří jako o variační rovnici. Při splnění předpokladů Lax-Milgramovy věty lze ukázat, že rovnice charakterizuje bod minima. To budeme v dalším předpokládat. Podívejme se nyní na formulaci problému s nehomogenní podmínkou u 0 množinou {v H 1 (Ω): v = u 0 na Γ 1 } 0. Protože nelze definovat prostor testovacích funkcí, musíme řešení složit z homogenního a partikulárního řešení. Variační formulace pak zní takto: nalézt u = w + u 0 tak, že (P) funkce w V splňuje a(w, v) = L(v) a(u 0, v) v V. Opět tedy řešíme úlohu typu (P ) resp. (P ). Speciální případ nastane, pokud je b 0, Γ 2 = Γ, Γ 0, Γ 1, Γ 3 =. Je známé (viz např. odst. 2.2 z [Machalová 2014]), že tato Neumannova úloha má řešení v 12

12 prostoru V = H 1 (Ω), pokud platí tzv. rovnice rovnováhy f dx + g ds = 0. Ω Γ Řešení je pak však nekonečně mnoho, přičemž se všechna navzájem liší o konstantu. To je z výpočetního hlediska vážná komplikace. Jednoznačnost řešení lze dosáhnout na podílovém prostoru H 1 (Ω)/P 0 (Ω), kde P 0 (Ω) značí prostor polynomů stupně 0 definovaných na Ω. To je uspokojivé z teoretického pohledu, ale pro potřeby výpočtů to opět nevyhovuje. Definujme nyní pro nějaké pevně dané κ > 0 rozšířenou bilineární formu vztahem â(u, v) = a(u, v) + κ u dx v dx, u, v V = H 1 (Ω). Ω Ω Tato forma je evidentně symetrická a jelikož platí u dx v dx meas(ω) u L 2 (Ω) v L 2 (Ω) meas(ω) u V v V u, v V, Ω Ω je také omezená, nebot samotná forma a je také omezená. Dále můžeme na základě předpokladů o koeficientech eliptického operátoru a pomocí Poincarého nerovnosti učinit pro libovolné v V následující odhad ( â(v, v) = a(v, v) + κ Ω v dx) 2 α d i=1 Ω ( ) 2 v dx + κ( x i Ω ) 2 v dx C v 2 V, což znamená, že forma â je V -eliptická. Podle Lax-Milgramovy věty má proto úloha nalézt u V = H 1 (Ω) tak, že ( P) â(u, v) = fv dx + gv ds v V Ω právě jedno řešení. Navíc, položíme-li v této úloze v 1, dostaneme dle definice obou bilineárních forem a s ohledem na podmínku rovnováhy â(u, 1) = a(u, 1) + κ u dx Γ 1 dx = κ meas(ω) u dx = Ω f dx + Γ Ω Ω g ds = 0. Ω Odtud máme u dx = 0, což znamená, že funkce u řeší také původní Neumannovu úlohu Ω 13

13 nalézt u V = H 1 (Ω) tak, že (P) a(u, v) = fv dx + gv ds v V. Ω Γ Úlohu (P) proto vypočítáme tak, že vyřešíme pro tento účel vhodnější úlohu ( P). Získáme tak to její řešení, které vyhovuje vztahu u dx = 0, a všechny další dostaneme přičtením Ω libovolné konstanty k tomuto řešení. 1.2 Ritz-Galerkinova metoda V obecném případě nemůžeme získat řešení úlohy (P ) nebo (P ) analyticky. Proto musíme použít numerické metody. Nejvíce používané metody jsou Ritzova a Galerkinova metoda, kdy hledáme aproximaci u h přesného řešení u v nějakém vhodném konečnědimenzionálním podprostoru V h V. Poněvadž oba zmíněné problémy jsou ekvivalentní, hovoří se často také o Ritz-Galerkinově metodě. Je-li ovšem bilineární forma a nesymetrická, máme k dispozici pouze úlohu (P ) a Galerkinovu metodu. Jelikož je tento případ obecnější, zaměříme se v tomto stručném přehledu na něj. Podrobný výklad obsahuje kapitola 6 ze skript [Machalová 2014]. Aproximaci úlohy (P ) zformulujeme následovně: (P h) { nalézt uh V h takové, že a(u h, v h ) = L(v h ) v h V h. Protože předpokládáme, že a(.,.) je omezená a V -eliptická bilineární forma, pak podle Lax- Milgramovy věty existuje právě jedno řešení u h V h této úlohy. Poznámka 1.4 Ritzova aproximace se vztahuje k úloze (P ) a má tuto formu: (P h ) { nalézt uh V h tak, že J(u h ) = min J(v h ). v h V h V konečnědimenzionálním podprostoru V h zvolíme konečný systém bázových funkcí: V h = span{ϕ 1,..., ϕ Nh }, dim V h = N h. Řešení u h pak můžeme hledat ve tvaru lineární kombinace těchto funkcí, tedy u h = N h j=1 α j ϕ j. Zřejmě pak rovnici (P h ) musí splňovat i bázové funkce ϕ i, 1 i N h. Dosadíme-li tedy postupně za v h = ϕ i pro 1 i N h, dostaneme soustavu lineárních rovnic tvaru N h j=1 a(ϕ j, ϕ i ) α j = L(ϕ i ), 1 i N h. 14

14 Z aplikací v úlohách pružnosti a pevnosti pak pochází následující názvosloví, které se v metodě konečných prvků běžně používá. Definice 1.1 Matici A = (a ij ) N h i,j=1 RN h N h s prvky a ij = a(ϕ j, ϕ i ), 1 i, j N h, nazýváme maticí tuhosti a vektor b = (b 1,..., b Nh ) T R N h se složkami b i = L(ϕ i ), 1 i N h, nazýváme vektor zatížení. Jestliže označíme α = (α 1,..., α Nh ) T R N h vektor neznámých koeficientů, lze výše uvedenou soustavu lineárních rovnic zapsat maticově Aα = b. Lemma 1.1 (Vlastnosti matice tuhosti) Necht jsou splněny předpoklady Lax-Milgramovy věty. Potom matice tuhosti A je regulární a pozitivně definitní matice, která je symetrická, pokud je symetrická bilineární forma a(.,.). Důkaz: Z bilinearity a V -elipticity plyne β.aβ = i,j a(ϕ j, ϕ i ) β i β j ( = a β j ϕ j, j i β i ϕ i ) = a(v, v) α v 2 V > 0 β = (β 1,..., β Nh ) T R N h, β 0, kde jsme označili v = i β i ϕ i, přičemž z toho, že β 0, máme v 0. Další důležitá vlastnost, která má vliv na přesnost Ritz-Galerkinovy metody, je ortogonalita chyby u u h. Lemma 1.2 (Galerkinova ortogonalita) Necht jsou splněny předpoklady Lax-Milgramovy věty a necht u V resp. u h V h je jednoznačně určené řešení úlohy (P ) resp. (P h ). Pak platí a(u u h, v h ) = 0 v h V h. Důkaz: Protože V h V, platí (P ) také pro každé v h V h, tj. a(u, v h ) = L(v h ) v h V h. Odečteme-li od této rovnice rovnici (P h ), dostaneme ihned tvrzení. 15

15 Poznámka 1.5 Uvedené lemma má zajímavou geometrickou interpretaci. Jestliže budeme navíc předpokládat, že bilineární forma a(, ) je symetrická, lze ji považovat za skalární součin definovaný na V. Potom z Galerkinovy ortogonality plyne, že u h V h je projekce prvku u V na V h. Protože je forma a(, ) V -eliptická, říkáme, že u h V h je eliptická projekce přesného řešení u V na V h. S ohledem na předchozí poznámku můžeme očekávat, že chyba u u h v normě V bude mít souvislost s nejlepší aproximací řešení u V ve V h. Toto platí i v obecném případě, jak ukazuje následující tvrzení. Věta 1.2 (Céovo lemma) Necht jsou splněny předpoklady Lax-Milgramovy věty a necht u V resp. u h V h je jednoznačně určené řešení úlohy (P ) resp. (P h ). Pak platí u u h V M α inf v h V h u v h V. Důkaz: Bilineární forma a(, ) je V -eliptická a omezená, proto lze s využitím Galerkinovy ortogonality psát α u u h 2 V a(u u h, u u h ) = a(u u h, u v h + v h u h ) = = a(u u h, u v h ) + a(u u h, v h u h ) }{{} =0 M u u h V u v h V, odkud již plyne tvrzení věty. Na závěr se vrátíme k otázce vhodné volby podprostoru V h. Ta se řídí zejména následujícím: konstrukcí podprostoru V h a především jeho báze, jež musí být taková, aby výsledná soustava lineárních algebraických rovnic byla efektivně řešitelná (o této problematice byla řeč již v Úvodu), odhadem diskretizační chyby u u h, tedy požadovanou přesností aproximace u h V h řešení u V úlohy (P ). Těmto tématům se budeme věnovat podrobněji v dalším textu. Úkoly k procvičení Cvičení 1.1 Ověřte, že pro úlohu (P ) jsou splněny předpoklady Lax-Milgramovy věty. Cvičení 1.2 Ověřte, že v případě, že jsou splněny předpoklady Lax-Milgramovy věty, jsou úlohy (P ) i (P ) ekvivalentní. 16

16 2 Základy metody konečných prvků V této kapitole se seznámíme s ideou metody konečných prvků, jejími základními pojmy a ukázkami některých často používaných prvků. Čtenář se také dozví, jak pomocí konečných prvků lze zkonstruovat konečnědimenzionální podprostory Sobolevových prostorů, jak to vyžadují Ritzova nebo Galerkinova metoda. 2.1 Triangulace Metoda konečných prvků je v podstatě Ritz-Galerkinova metoda, která speciálním způsobem konstruuje konečnědimenzionální podprostory V h. Pro tyto konstrukce jsou přitom charakteristické tyto aspekty: (1) je třeba vytvořit nějakou triangulaci výpočtové oblasti Ω, (2) funkce v h V h jsou obvykle po částech polynomiální, (3) zvolená báze prostoru V h obsahuje pouze funkce, které mají malé nosiče. Postupně se budeme těmito aspekty podrobněji zabývat. Nejprve stanovíme, co budeme rozumět pod pojmem triangulace. Definice 2.1 Necht Ω R d je omezená oblast s lipschitzovskou hranicí Γ. Triangulací T h oblasti Ω rozumíme takový rozklad oblasti Ω na konečný počet podmnožin K zvaných prvky, že platí 1. Ω = K T h K, 2. K je uzavřená množina K T h, 3. K má neprázdný vnitřek, tj. int(k) K T h, 4. int(k 1 ) int(k 2 ) = K 1, K 2 T h, K 1 K 2, 5. hranice K je lipschitzovská K T h, 6. libovolná strana prvku K bud leží na hranici Γ nebo je stranou jiného prvku K K T h, 7. vnitřek libovolné strany prvku K je disjunktní s množinou Γ 0 z odst. 1.1 K T h. Body 6 a 7 zakazují určité situace, které by mohly při vytváření prvkové sítě vzniknout. Máme je znázorněny na obr. 7. V teorii Ritzovy nebo Galerkinovy metody používáme formálně diskretizační parametr h, takže např. rozlišujeme prostory V h a V resp. řešení u h a u. Nyní díky triangulaci můžeme definovat tento parametr zcela konkrétně. 17

17 Obrázek 6: Triangulace v 2D a 3D Obrázek 7: Zakázané případy triangulace Definice 2.2 Diskretizační parametr h je průměr největšího prvku triangulace, tedy h = max K T h diam(k), kde diam (K) značí průměr množiny K, tj. např. u trojúhelníka je to délka jeho nejdelší strany. Poznámka 2.1 V nematematické literatuře se používá běžně název konečně-prvková sít (anglicky finite element mesh popř. grid). Triangulace se nazývá prvková sít v 2D složená pouze z trojúhelníků. V matematických publikacích je však zvykem používat tento název zcela obecně pro sítě v 2D i 3D. Naším dalším úkolem je objasnit souvislost právě zavedeného pojmu triangulace s konstrukcí podprostorů V h V. Nejprve však musíme lépe specifikovat prvky, z nichž se triangulace skládá. Prozatím se zaměříme na polygonální oblasti, tj. ty, jejichž hranici tvoří polygon. 1. Simplexy Definice 2.3 Simplex (nebo d-simplex) K v R d je konvexní obal d+1 bodů A 1,..., A d+1 R d takový, že d+1 d+1 K = {x = λ j A j : 0 λ j 1, λ j = 1}. j=1 j=1 18

18 Obrázek 8: Simplex v 2D a v 3D Simplex K se nazývá nedegenerovaný, jestliže libovolný bod x R d může být jednoznačně vyjádřen ve tvaru d+1 d+1 x = λ j A j, λ j R : λ j = 1. j=1 To, zda je d-simplex nedegenerovaný proto souvisí s existencí jediného řešení systému lineárních rovnic A 1,1 A 1,d+1 λ 1 x 1 (S) A d,1 A d,d+1 λ d =. x d, kde A i,j značí i-tou složku souřadnicového vektoru vrcholu A j. Simplex K je pak nedegenerovaný právě tehdy, když je matice této soustavy regulární. Body A j, 1 j d + 1, se nazývají vrcholy simplexu K. m-dimenzionální stěna simplexu K R d, 0 m d, je m-simplex, jehož vrcholy odpovídají vrcholům K. Stěnou v 1D rozumíme hranu. λ d+1 j=1 Definice 2.4 Simplex ˆK R d s vrcholy Â1 = (0, 0,..., 0) T, Â 2 = (1, 0,..., 0) T, Â 3 = (0, 1, 0,..., 0) T,..., Â d+1 = (0,..., 0, 1) T budeme nazývat (jednotkový) referenční simplex. Pro práci se simplexy se příliš nehodí kartézské souřadnice. Přirozené souřadnice pro simplex zavádí následující definice. Definice 2.5 Barycentrické souřadnice λ j, 1 j d + 1, bodu x R d vzhledem k d + 1 vrcholům A j nedegenerovaného simplexu K jsou složky (jednoznačně určeného) řešení systému lineárních rovnic (S). Těžiště T nedegenerovaného simplexu K je bod, pro nějž platí λ j (T ) = 1 d + 1, 1 j d

19 Obrázek 9: Afinní transformace v 2D Lemma 2.1 Libovolný nedegenerovaný simplex K R d je obrazem referenčního simplexu ˆK, což je dáno tzv. afinní regulární transformací F K : R d R d tvaru ˆx F K (ˆx) = B K ˆx + b K s regulární maticí B K R d d a vektorem b K R d. Důkaz: Provedeme pro případ d = 2 konstrukcí transformace F K. Afinní transformace nedegenerovaného trojúhelníku je dána např. vztahy B K = ( A 2 A 1, A 3 A 1 ), bk = A 1. Poznámka 2.2 Afinní transformace tvaru F K (ˆx) = B K ˆx + b K se nazývá regulární, jestliže matice B K je regulární. Takové zobrazení je zřejmě invertovatelné, proto se používá i název invertovatelné afinní zobrazení. Triangulace T h polygonální oblasti Ω R d se nazývá simpliciální triangulace, jestliže všechny její prvky K jsou simplexy. 2. Obdélníky Definice 2.6 Obdélník (nebo d-obdélník) K v R d je kartézský součin d intervalů [c i, d i ], c i d i, 1 i d, tj. K = d [c i, d i ] = {x = (x 1,..., x d ) T : c i x i d i, 1 i d}. i=1 20

20 Obrázek 10: Obdélník v 2D a v 3D O obdélníku K řekneme, že je nedegenerovaný, jestliže c i < d i, 1 i d. Definice 2.7 Obdélník ˆK = [0, 1] d budeme nazývat referenční obdélník v R d (geometricky to je jednotková krychle v R d ). Body A j, 1 j 2 d obdélníku K R d takové, že A j = (A 1,j,..., A d,j ) T, A i,j = c i nebo A i,j = d i, 1 i d, se nazývají vrcholy. m-dimenzionální stěna d-obdélníku K, 1 m d 1, je m-obdélník, jehož vrcholy odpovídají vrcholům K. Jednodimenzionální stěnou rozumíme hranu. Lemma 2.2 Libovolný nedegenerovaný obdélník K R d je obrazem jednotkové krychle ˆK, což je dáno tzv. diagonální afinní transformací F K : R d R d tvaru ˆx F K (ˆx) = B K ˆx + b K s regulární diagonální maticí B K R d d a vektorem b K R d. Důkaz: viz cvičení. Triangulace T h polygonální oblasti Ω R d se nazývá obdélníková triangulace, jestliže její prvky K jsou d-obdélníky. 2.2 Konečné prvky a prostory konečných prvků Mějme danou triangulaci T h výpočetní oblasti Ω R d. Funkce v standardní metodě konečných prvků jsou definovány lokálně pro jednotlivé prvky K T h a pak poskládány takovým způsobem, že výsledná globální funkce patří do prostoru V. Musíme se pochopitelně zajímat i o způsob, jakým jsou tyto funkce na prvcích zadávány. 21

21 Definice 2.8 Necht T h je triangulace oblasti Ω R d a necht K T h. Předpokládejme, že P K je konečněrozměrný prostor funkcí p: K R takových, že P K H 1 (K), dim P K = n K. Prvky prostoru P K nazýváme lokální funkce. Necht l i : P K R, 1 i n K, jsou lineárně nezávislé lineární funkcionály a definujme Σ K = {l i (p): p P K, 1 i n K }. Prvky množiny Σ K se nazývají stupně volnosti. Definice 2.9 Necht T h je triangulace dané oblasti Ω R d, necht K T h a necht P K a Σ K jsou dány předchozí definicí. Konečným prvkem potom rozumíme trojici (K, P K, Σ K ). Je dobré si uvědomit, že i když se často slovem konečný prvek označuje pouze jeho geometrický tvar, tj. množina K, jde ve skutečnosti o mnohem komplexnější pojem. Na následujícím obrázku můžeme pozorovat různá zadání trojúhelníkového prvku. U první dvojice spočívá rozdíl v tom, že na levém prvku hodláme zadávat lineární funkce, kdežto na tom napravo od něj kvadratické (které vyžadují více výpočetních uzlů ke svému zadání). U druhé dvojice pracujeme v obou případech s lineárními funkcemi, ale jejich zadání se liší umístěním výpočetních uzlů. Rozdíl je zde v množině Σ K. Obrázek 11: K definici konečného prvku Důležitý pojem, který je svázaný s definicí konečného prvku, je unisolventnost. Ta umožňuje na K jednoznačně zadávat funkce z prostoru P K. Definice 2.10 Množina Σ K se nazývá P K -unisolventní, jestliže libovolná funkce p P K je jednoznačně určena svými stupni volnosti v Σ K. 22

22 Z definice bezprostředně plyne, že Σ K je P K -unisolventní tehdy a jen tehdy, když pro libovolná čísla α i, 1 i n K, existuje právě jedna funkce p P K, která splňuje podmínky l i (p) = α i i = 1,..., n K. Odsud dále plyne, že je-li Σ K P K -unisolventní, pak v P K existují funkce, které nyní označíme p i, 1 i n K, takové, že platí l j (p i ) = δ ij j = 1,..., n K (δ ij značí známé Kroneckerovo delta). Libovolnou funkci p P K pak zřejmě lze zapsat ve tvaru p = n K i=1 l i (p) p i. Jelikož funkce p i tvoří evidentně bázi prostoru P K, je přirozené nazvat je lokální bázové funkce, vyskytuje se i název bázové funkce konečného prvku. V literatuře zaměřené na inženýry se používá termín tvarové funkce (anglicky shape functions) a značení N i (x). Na prvcích můžeme definovat interpolace funkcí. Definice 2.11 Necht (K, P K, Σ K ) je konečný prvek. Necht v je dostatečně hladká funkce na K taková, že hodnoty l i (v) jsou definované pro všechny i = 1,..., n K. Funkci Π K v P K splňující l i (Π K v) = l i (v) i = 1,..., n K, nazveme P K -interpolace funkce v na K. Jestliže Σ K je P K -unisolventní, existuje pro každou dostatečně hladkou funkci v právě jedna P K -interpolace Π K v. S ohledem na δ ij -vlastnost bázových funkcí p i pak máme vyjádření Navíc platí, že Π K v = n K i=1 l i (v) p i. Π K p = p p P K. Obvykle se předpokládá, že triangulace sestává z jednoho druhu konečných prvků. Tento intuitivní pojem je v pozadí následující definice. Definice 2.12 Necht T h je triangulace oblasti Ω R d a necht K T h je libovolný prvek s funkcemi z P K a stupni volnosti ze Σ K. Necht dále ( ˆK, ˆP, ˆΣ) je referenční prvek. Řekneme, že konečné prvky (K, P K, Σ K ), K T h, jsou afinně ekvivalentní s referenčním prvkem ( ˆK, ˆP, ˆΣ), jestliže existuje afinní regulární transformace F K : R d R d taková, že pro každé K T h je 1. K = F K ( ˆK), 2. P K = {p: K R : p = ˆp F 1 K, ˆp ˆP }, 3. Σ K = {l i : P K R : l i = ˆl i F 1 K, ˆli ˆΣ, 1 i n K }. Přičemž výraz p = ˆp F 1 K 1 znamená, že p(x) = ˆp(F (x)) x K. K 23

23 Afinně ekvivalentní prvky mají následující důležitou vlastnost. Lemma 2.3 Necht ( ˆK, ˆP, ˆΣ) a (K, P K, Σ K ) jsou afinně ekvivalentní prvky. Potom ˆΣ je ˆP -unisolventní právě tehdy, když Σ K je P K -unisolventní. Důkaz: 1. Necht ˆΣ je ˆP -unisolventní. Potom existuje báze {ˆp i } prostoru ˆP. A funkce p i = ˆp i F 1 K pak tvoří bázi prostoru P K, nebot z definice afinní ekvivalence a lokálních bázových funkcí máme l j (p i ) = ˆl j (ˆp i ) = δ ij. To ovšem značí, že Σ K je P K -unisolventní. 2. Obrácené tvrzení se dokáže analogicky. Tedy: není třeba posuzovat, zda platí P K -unisolventnost pro různé prvky K T h, pokud jsou afinně ekvivalentní, protože stačí ověřit unisolventnost u referenčního prvku. Konečné prvky rozdělíme na dva základní typy. Definice 2.13 Konečný prvek nazveme lagrangeovský, pokud jsou všechny jeho stupně volnosti tvaru l(p) = p(a), kde A K je nějaký bod. Jestliže je mezi stupni volnosti alespoň jedna derivace, pak se takový prvek nazývá hermiteovský. Definice 2.14 Body A K vystupující ve stupních volnosti prvků K T h se nazývají uzly triangulace T h. V případě, že l i (v) = v(a i ), A i K, tj. {l i } jsou definovány jako funkční hodnoty v daných bodech A i K, nazveme P K -interpolaci Lagrangeovou P K -interpolací. Za definiční obor forem {l i } bereme prostor C 0 (K). Odtud je zřejmý název lagrangeovský konečný prvek. Analogicky je tomu u hermiteovských prvků, na nichž definujeme Hermiteovu P K -interpolaci řádu s, kde s je řád nejvyšší derivace vyskytující se v {l i }. Za definiční obor pak bereme prostor C s (K). Jednou z klíčových podmínek pro aplikaci Ritz-Galerkinovy metody je možnost zkonstruovat konečnědimenzionální podprostor Sobolevova prostoru H k (Ω) pro nějaké k = 1, 2. Tímto problémem se budeme zabývat ve zbytku tohoto odstavce. Nejprve si ukážeme jednu typickou konstrukci takového prostoru založenou na lagrangeovských konečných prvcích. U hermiteovských prvků se postupuje analogicky, vše je však technicky komplikovanější. Mějme dánu triangulaci T h oblasti Ω s konečnými prvky (K, P K, Σ K ). Tyto konečné prvky nemusí nutně být afinně ekvivalentní s týmž referenčním prvkem, proto budeme muset specifikovat podmínky, které umožní konstrukci prostoru konečných prvků. Nejprve pro sousední prvky propojíme stupně volnosti. Uvažujme tedy dva sousední konečné prvky (K 1, P K1, Σ K1 ) a (K 2, P K2, Σ K2 ), přičemž Σ K1 = {l 1 i (p 1 ) = p 1 (A 1 i ), 1 i n 1 }, p 1 P K1, A 1 i K 1, Σ K2 = {l 2 i (p 2 ) = p 2 (A 2 i ), 1 i n 2 }, p 2 P K2, A 2 i K 2. 24

24 Obrázek 12: Příklad spojení dvou různých prvků Potom požadujeme, aby (i) ( n1 ) {A 1 i } K 2 = i=1 ( n2 ) {A 2 i } K 1. Označme tuto množinu symbolem N S, přičemž S = K 1 K 2. V souladu se zásadami triangulace jde tedy o množinu všech společných uzlů společné strany obou konečných prvků. Dále propojíme funkce definované na těchto prvcích. Požadujeme pak, aby platilo i=1 (ii) {p 1 S : p 1 P K1 } = {p 2 S : p 2 P K2 }. Tento společný podprostor funkcí označíme P S. Navíc ještě předpokládejme, že pro libovolné p P S platí (iii) p(a) = 0 A N S p = 0 na S. Nakonec zavedeme následující označení. Necht pro každý konečný prvek (K, P K, Σ K ) představuje N K množinu jeho uzlů. Symbolem N h = K T h N K budeme značit množinu všech uzlů triangulace T h. Potom Σ h = {l : v v(a), A N h } znamená množinu všech stupňů volnosti v dané triangulaci T h. Nyní jsme připraveni definovat prostor konečných prvků. Definice 2.15 Necht T h je triangulace oblasti Ω R d, necht K T h, P K a Σ K splňují podmínky definice konečného prvku. Pak nazveme prostor konečných prvků. X h = {v h : Ω R : v h K P K K T h } Poznámka 2.3 V uvedené definici není podstatné, že jsme zde uvažovali lagrangeovské prvky. Poznámka 2.4 Prostory konečných prvků nereflektují stabilní okrajové podmínky, které bývají zapsány v definici prostoru V. Proto obecně neplatí, že X h V a z toho důvodu jsme pro ně nepoužili označení V h. 25

25 V dalším se podíváme na to, za jakých předpokladů je prvkový prostor X h obsažen v H 1 (Ω). Věta 2.1 Necht T h je triangulace oblasti Ω tvořená konvexními prvky (K, P K, Σ K ), tj. takovými, že K je konvexní množina. Necht X h je podprostor v L 2 (Ω) takový, že prostor P K sestává z polynomiálních funkcí pro každé K T h. Potom platí X h H 1 (Ω) tehdy a jen tehdy, když X h C 0 (Ω). Důkaz: 1. Necht nejprve X h H 1 (Ω) a necht existuje funkce v h X h, jež není spojitá. Potom existují sousední prvky K 1, K 2 T h a otevřená koule B (K 1 K 2 ) tak, že B S, v h K1 > v h K2 na B S, kde jsme označili S = K 1 K 2. Symbolem D(Ω) označme prostor nekonečně diferencovatelných funkcí s kompaktním nosičem v Ω. Necht w D(Ω) je funkce taková, že w(x) > 0 x B, w(x) = 0 x Ω B. Označme ještě n j = (n j 1,..., n j d )T jednotkovou vnější normálu ke hraně K j, j = 1, 2. Z toho, že K 1 a K 2 jsou konvexní, plyne, že S je nadrovina a n j je proto na S konstantní. Zároveň existuje index i tak, že n 1 i 0. Pomocí Greenovy formule nyní můžeme psát ( v h w 2 ) v h w 0 = w dx + v h dx = w dx + v h dx = Ω x i Ω x i j=1 K j x i K j x i ( 2 ) w = v h dx + v h Kj wn j i j=1 K j x ds + w v h dx = i K j K j x i ( ) ( ) = vh K1 v h K2 wn 1 i ds = n 1 i vh K1 v h K2 w ds. S B S To je však s ohledem na předpoklad o funkci v h spor. 2. Necht nyní v h X h je spojitá funkce. Pak je v h L 2 (Ω) a zbývá ukázat, že v h má zobecněné první derivace náležející do L 2 (Ω). Jelikož P K H 1 (K) pro všechny K T h a ty mají lipschitzovskou hranici, můžeme použít Greenovu formuli pro libovolné i = 1,..., d v h w w dx + v h dx = v h K wn K i ds w D(Ω), x i x i K K kde n K i představuje i-tou komponentu jednotkové vnější normály ke hranici K. Necht funkce z i L 2 (Ω) je definována takto K z i K = v h x i K T h. 26

26 Sečtením přes všechny K T h pak dostaneme z i w w dx + v h dx = Ω Ω x i K T h K v h K wn K i ds w D(Ω). Součet integrálů po hranicích jednotlivých prvků je však roven nule, protože pro jednotlivé příspěvky k integrálům platí, že bud to jde o část hranice dvou sousedních prvků K 1, K 2 T h a pak je n K 2 = n K 1, takže součet je 0, nebo jde o část hranice oblasti Γ a v tom případě je w = 0, takže příspěvek je roven 0. Celkem tedy máme z i w w dx = v h dx w D(Ω), Ω Ω x i což znamená, že funkce z i, i = 1,..., d, jsou první zobecněné derivace funkce v h, přičemž tyto funkce patří do L 2 (Ω). Tím je důkaz ukončen. Právě dokázaná věta popisuje velmi častý případ konstrukce prostorů konečných prvků pomocí po částech polynomiálních funkcí. V tomto případě zřejmě můžeme definovat prvkový prostor výstižněji: X h = {v h C 0 (Ω): v h K P K K T h }. Ne vždy však lze pracovat na prvcích s polynomy (viz např. izoparametrické prvky, o nichž budeme pojednávat později). Zobecněním právě dokázané věty je následující tvrzení, kde již s po částech polynomiálními funkcemi obecně nepočítáme. Věta 2.2 Necht X h je prostor konečných prvků a předpokládejme, že 1. P K H 1 (K) K T h, 2. X h C 0 (Ω). Potom platí, že X h H 1 (Ω). Důkaz: Necht v h X h. Je zřejmé, že v h L 2 (Ω). Musíme ukázat, že v h má první zobecněnou derivaci z α L 2 (Ω), α = 1, tj. že platí v h D α w dx = ( 1) α z α w dx w D(Ω). Ω Protože v h K H 1 (K), můžeme aplikovat Greenovu větu a dostaneme v h D α w dx = v h D α w dx = K T h Ω Ω K = K T h D α v h w dx + K T h v h n α D α w ds = K = K T h K D α v h w dx + K T h [v h ]n α D α w ds w D(Ω), K 27 S

27 kde [v h ] = v h K1 v h K2 značí skok přes S = K 1 K 2, kde K 1, K 2 T h jsou dva sousední prvky. Ale v h C 0 (Ω) a proto [v h ] = 0, což znamená, že v h má zobecněnou derivaci z α danou po částech jakožto z α K = D α v h K K T h. Důsledek 2.1 Necht X h je prostor konečných prvků a předpokládejme, že 1. P K H 1 (K) K T h, 2. X h C 0 0(Ω). Potom platí, že X h H 1 0(Ω). Důkaz: je čtenáři ponechán jako cvičení. Nyní víme, za jakých předpokladů dokážeme zkonstruovat prostory X h tak, aby to byly podprostory Sobolevových prostorů H 1 (Ω). S ohledem na podmínky 6 a 7 z definice triangulace a vlastnost (iii) funkcí z P K již můžeme přejít k definování konečnědimenzionálního podprostoru V h V : V h = {v h X h : v h (A) = 0 A N h Γ 1 }, kde Γ 1 je tak jako výše ta část hranice oblasti Γ, na níž máme předepsánu stabilní okrajovou podmínku. Předcházející úvahy vedou ještě k jedné, pro praktické použití metody užitečné klasifikaci konečných prvků, jež je dána následujícími definicemi. Definice 2.16 Řekneme, že konečný prvek (K, P K, Σ K ) je třídy C 0, jestliže 1. platí inkluze P K C 0 (K), 2. pro libovolný sousední prvek K T h téhož druhu platí v h K = v h K na S = K K v h X h. Definice 2.17 Řekneme, že konečný prvek (K, P K, Σ K ) je třídy C 1, jestliže 1. platí inkluze P K C 1 (K) 2. pro libovolný sousední prvek K T h téhož druhu platí v h K = v h K na S = K K v h X h, v h = v h K = 0 na S = K K v n K n h X h. 28

28 Poznámka 2.5 Je zřejmé, že lagrangeovské konečné prvky mohou být nejvýše jen třídy C 0. Některé však nejsou ani třídy C 0. V úvodu kapitoly jsme zmínili zásadu (3) pro výběr bázových funkcí {ϕ i } v těchto prostorech. To nyní splníme tak, že tyto funkce budeme definovat následujícím způsobem, přičemž je budeme někdy kvůli odlišení od lokálních bázových funkcí {p j } nazývat globální bázové funkce: 1. každému uzlu A i N h přiřadíme tolik bázových funkcí, kolik je v něm předepsaných stupňů volnosti (tj. u lagrangeovských prvků právě jednu bázovou funkci ϕ i ), 2. ϕ i (A j ) = δ ij A j N h, 3. supp{ϕ i } = K, K A i { pm pro některé m, pokud K supp{ϕ 4. ϕ i K = i }, 0 jinak, 5. ϕ i C 0 (Ω). Globální bázové funkce jsou tedy sestaveny z lokálních bázových funkcí. Vlastnost 3 zaručuje, že nosiče těchto funkcí jsou relativně malé vzhledem k oblasti Ω, pokud máme v triangulaci T h hodně prvků. Ukázky jsou na následujících obrázcích. Na prvním z nich může čtenář vidět nosiče pro vnitřní a okrajový uzel triangulace. Na dalším je ukázka bázové funkce pro první ze zmíněných uzlů, přičemž tato funkce je vytvořena pomocí lineárních lokálních bázových funkcí na jednotlivých prvcích. Obrázek 13: Nosiče dvou bázových funkcí Obrázek 14: Bázová funkce 29

29 Poznámka 2.6 Báze {ϕ i } prostoru V h, jejíž funkce mají vlastnost 2, se někdy nazývá Courantova báze. Nakonec si zde uvedeme bez důkazu následující tvrzení o podmínkách konstrukce prostorů konečných prvků pro eliptické okrajové úlohy 4. řádu. Věta 2.3 Necht X h je prostor konečných prvků a předpokládejme, že 1. P K H 2 (K) K T h, 2. X h C 1 (Ω). Potom platí, že X h H 2 (Ω). Věta 2.4 Necht X h je prostor konečných prvků a předpokládejme, že 1. P K H 2 (K) K T h, 2. X h C 1 0(Ω). Potom V případě, že platí X h H 2 (Ω) H 1 0(Ω). 1. P K H 2 (K) K T h, 2. X h {v C 1 (Ω): v = v n = 0 dostáváme na Γ}, X h H 2 0(Ω). Z uvedených tvrzení je evidentní, že konstrukci takových prostorů X h nelze provést dosavadním postupem, tj. pomocí lagrangeovských prvků, ale je nutné přejít k prvkům hermiteovským. Je ale dobré si uvědomit, že samotné použití nějakého takového prvku ještě negarantuje splnění některé z podmínek 2 z předchozích vět. V dalším textu budeme pro jednoduchost namísto Σ K = {l i (p) = p(a i ) : A i K} psát jen stručně = {p(a i ): A i K}. Σ K 30

30 2.3 Lagrangeovské simpliciální konečné prvky Definice 2.18 Necht K je d-simplex. Pak pro k 0 celé, označme lineární prostor polynomů stupně nejvýše k definovaných na K symbolem P k (K). Tedy p P k (K) má tvar p(x) = a α x α, a α R, α k, α k kde x α = d i=1 x α i i, α = (α 1,..., α d ), α = d α i. i=1 Zřejmě je dim P k (K) = ( ) k + d d = (k + d)!. d! k! Necht K je d-simplex s vrcholy A i, 1 i d + 1, a necht k 0 je celé číslo. V simplexu K uvažujme množinu bodů d+1 L k (K) = {A = λ i A i : λ i {0, 1 k,..., k 1 d+1 k, 1}, λ i = 1}, jejíž rozsah je dán číslem a položme i=1 L k (K) = ( ) k + d, d Σ K = {p(a): A L k (K)}, p P k (K). i=1 Definice 2.19 Trojici (K, P k (K), L k (K)), kde místo Σ K píšeme symbolicky L k (K) a kde k 1 je celé číslo, nazýváme lagrangeovský simpliciální konečný prvek. Poznámka 2.7 Konečný prvek (K, P 1 (K), L 1 (K)) pro K R 2 se nazývá (v matematicky orientované literatuře) Courantův trojúhelník. Lemma 2.4 Lagrangeovský simpliciální konečný prvek je P k (K)-unisolventní. Důkaz: je čtenáři ponechán jako cvičení. Lemma 2.5 Necht ˆK R d je referenční simplex, necht k 1 je celé číslo a necht 1. ˆP = Pk ( ˆK), 2. ˆΣ = {ˆp( Â): Â L k ( ˆK), ˆp ˆP }. Pak všechny konečné prvky (K, P k (K), L k (K)) jsou afinně ekvivalentní s referenčním prvkem ( ˆK, ˆP, ˆΣ). 31

31 Důkaz: Necht F K : R d R d je afinní regulární transformace, přičemž K = F K ( ˆK). Pak P k (K) = {p = ˆp F 1 K : ˆp P k( ˆK)}. Navíc je A L k (K) A = F K (Â), Â L k ( ˆK). Lemma 2.6 Všechny lagrangeovské simpliciální konečné prvky jsou třídy C 0. Důkaz: představuje snadné cvičení. Definice 2.20 Prostor konečných prvků X h tvořený pouze lagrangeovskými simpliciálními konečnými prvky budeme značit S k (Ω, T h ). Lemma 2.7 Necht T h je triangulace výpočetní oblasti Ω R d. Pak platí S k (Ω, T h ) = {v h C 0 (Ω): v h K P k (K) K T h } H 1 (Ω). Důkaz: Z lemmatu 2.6 ihned plyne S k (Ω, T h ) C 0 (Ω) a protože P k (K) H 1 (K), s využitím věty 2.2 máme, že S k (Ω, T h ) H 1 (Ω). Důsledek 2.2 Označme S k,0 (Ω, T h ) = {v h S k (Ω, T h ): v h K Γ = 0 K T h : K Γ }. Pak S k,0 (Ω, T h ) H 1 0(Ω). Důkaz: je ponechán jako cvičení. Necht K je d-simplex s vrcholy A i, 1 i d + 1. Označíme A ij = 1 2 (A i + A j ), 1 i < j d + 1, A iij = 1 3 (2A i + A j ), 1 i j d + 1, A ijk = 1 3 (A i + A j + A k ), 1 i < j < k d

32 Lemma 2.8 Necht K je simplex v R d. Necht λ i, 1 i d + 1, jsou barycentrické souřadnice na K. Potom k=1: pro lineární simpliciální prvek lze bázové funkce ϕ i v uzlech A i, 1 i d + 1, zvolit ve tvaru ϕ i = λ i, 1 i d + 1. k=2: pro kvadratický simpliciální prvek lze bázové funkce ϕ i v uzlech A i, 1 i d + 1, zvolit ve tvaru ϕ i = λ i (2λ i 1), 1 i d + 1, ϕ ij v uzlech A ij, 1 i < j d + 1, zvolit ve tvaru ϕ ij = 4λ i λ j, 1 i < j d + 1. k=3: pro kubický simpliciální prvek lze bázové funkce ϕ i v uzlech A i, 1 i d + 1, zvolit ve tvaru ϕ i = 1 2 λ i(3λ i 1)(3λ i 2), 1 i d + 1, ϕ iij v uzlech A iij, 1 i j d + 1, zvolit ve tvaru ϕ iij = 1 2 9λ iλ j (3λ i 1), 1 i j d + 1, ϕ ijk v uzlech A ijk, 1 i < j < k d + 1, zvolit ve tvaru ϕ ijk = 27λ i λ j λ k, 1 i < j < k d + 1. Důkaz: je čtenáři ponechán jakožto cvičení. Uvedenou teorii si nyní budeme ilustrovat na jednoduchých příkladech. V praxi se však používají právě takové konečné prvky a nikoliv složité. Příklad 2.1 Lineární simpliciální prvek. 1. K je simplex v R d, d = 1, 2, 3, 2. P K = P 1 (K), 3. Σ K = {p(a i ), 1 i d + 1}. p P K jsou lineární funkce tvaru a p(x 1,..., x d ) = a 0 + a 1 x a d x d dim P K = d

33 Obrázek 15: Lineární simpliciální konečné prvky Příklad 2.2 Kvadratický simpliciální prvek. 1. K je simplex v R d, d = 1, 2, 3, 2. P K = P 2 (K), 3. Σ K = {p(a i ), 1 i d + 1, p(a ij ), 1 i < j d + 1}. p P K jsou kvadratické funkce tvaru a p(x 1,..., x d ) = a 0 + d a i x i + i=1 1 i j d dim P K = 1 (d + 1)(d + 2). 2 a ij x i x j Obrázek 16: Kvadratické simpliciální konečné prvky 34

34 2.4 Lagrangeovské obdélníkové konečné prvky Definice 2.21 Necht K = d [c i, d i ] R d i=1 je d-obdélník. Pro k 1 celé označíme symbolem Q k (K) lineární prostor všech polynomů stupně nejvýše k, a to v každé z d proměnných x i, 1 i d. Tedy p Q k (K) je tvaru p(x) = a α1...α d x α x α d d. α i k 1 i d Je zřejmé, že dim Q k (K) = (k + 1) d. V obdélníku K uvažujme množinu bodů L [k] (K) = {A = (x i1,..., x id ) T : x ij a definujme = c j + i j k (d j c j ), i j {0, 1,..., k}, 1 j d} Σ K = {p(a): A L [k] (K)}, p Q k (K). Definice 2.22 Prvek (K, Q k (K), L [k] (K)), kde místo Σ K píšeme symbolicky L [k] (K) a kde k 1 je celé číslo, se nazývá lagrangeovský obdélníkový konečný prvek. Lemma 2.9 Lagrangeovský obdélníkový konečný prvek je Q k (K)-unisolventní. Důkaz: přenecháváme opět jako cvičení. Lemma 2.10 Necht ˆK = [0, 1] d je referenční obdélník v R d, necht k 1 je celé číslo a necht 1. ˆP = Qk ( ˆK), 2. ˆΣ = {ˆp( Â): Â L [k] ( ˆK), ˆp ˆP }. Pak všechny konečné prvky (K, P k (K), L [k] (K)) jsou afinně ekvivalentní s referenčním prvkem ( ˆK, ˆP K, ˆΣ). Důkaz: je čtenáři ponechán jako cvičení. Lemma 2.11 Všechny lagrangeovské obdélníkové konečné prvky jsou třídy C 0. Důkaz: přenecháváme čtenáři. 35

35 Definice 2.23 Prostor konečných prvků X h tvořený pouze lagrangeovskými obdélníkovými konečnými prvky budeme značit S [k] (Ω, T h ). Lemma 2.12 Necht T h je triangulace výpočetní oblasti Ω R d. Pak platí S [k] (Ω, T h ) = {v h C 0 (Ω): v h K Q k (K) K T h } H 1 (Ω). Důkaz: se vede stejně jako u analogického lemmatu z předchozího odstavce 2.3. Důsledek 2.3 Označme S [k],0 (Ω, T h ) = {v h S [k] (Ω, T h ): v h K Γ = 0 K T h : K Γ }. Pak S [k],0 (Ω, T h ) H 1 0(Ω). Příklad 2.3 Lineární obdélníkový prvek. 1. K je obdélník v R d, d = 2, 3, 2. P K = Q 1 (K), dim P K = 2 d. 3. Σ K = {p(a i ), 1 i 2 d }. p P K jsou pro d = 2 bilineární funkce tvaru p(x 1, x 2 ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 1 x 2 a pro d = 3 trilineární funkce p(x 1, x 2, x 3 ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 1 x 2 + a 5 x 1 x 3 + a 6 x 2 x 3 + a 7 x 1 x 2 x 3. Lokální bázové funkce jsou pro referenční prvek v případě d = 2: ˆp 1 = (1 ˆx 1 )(1 ˆx 2 ), ˆp 2 = ˆx 1 (1 ˆx 2 ), ˆp 3 = ˆx 1ˆx 2, ˆp 4 = (1 ˆx 1 )ˆx 2. Obrázek 17: Lineární obdélníkové konečné prvky 36

36 2.5 Hermiteovské kubické konečné prvky Lagrangeovské konečné prvky, které jsme probírali v předcházejících dvou odstavcích, jsou třídy C 0. Prostor X h pak obsahuje právě a pouze spojité funkce. Hermiteovské konečné prvky pracují i s derivacemi, což ale samo o sobě nezaručuje, že v X h budeme mít diferencovatelné funkce. Zde si jako příklad probereme hermiteovské simpliciální konečné prvky s kubickými polynomy. Definice 2.24 Necht 1. K R d je nedegenerovaný simplex s vrcholy A i, 1 i d + 1, a označme A ijk = 1 3 (A i + A j + A k ), 1 i < j < k d + 1, 2. P K = P 3 (K), 3. Σ K = {p(a i ), 1 i d + 1, p(a ijk ), 1 i < j < k d + 1, p x j (A i ), 1 i d + 1, 1 j d}. Pak trojici (K, P K, Σ K ) nazýváme hermiteovským kubickým konečným prvkem. Poznámka 2.8 V definici stupňů volnosti hermiteovských konečných prvků mohou být parciální derivace nahrazeny směrovými derivacemi. V případě kubického prvku lze parciální derivace p x j (A i ), 1 i d + 1, 1 j d, nahradit směrovými derivacemi Dp(A i )(A j A i ), 1 i, j d + 1, i j. Tedy místo Σ K lze uvažovat množinu Σ K = {p(a i ), 1 i d + 1, p(a ijk ), 1 i < j < k d + 1, Dp(A i )(A j A i ), 1 i, j d + 1, i j}. Obrázek 18: Hermiteovské kubické konečné prvky v 2D a 3D 37

37 Poznámka 2.9 Kroužkem kolem uzlového bodu se v literatuře běžně značí stupně volnosti obsahující parciální derivace. Lemma 2.13 Hermiteovské kubické konečné prvky jsou unisolventní. Důkaz: Důkaz provedeme pro d = 3. Necht p P 3 (K). Stačí ukázat, že pokud p(a i ) = 0, 1 i 4, p(a ijk ) = 0, 1 i < j < k 4, Dp(A i )(A j A i ) = 0, 1 i, j 4, i j, pak musí být p 0. Necht tedy S ijk, 1 i < j < k 4, jsou stěny simplexu s vrcholy A i, A j, A k a necht A i A j, A i A k, A j A k jsou odpovídající hrany. Pak p Ai A j P 3 (A i A j ), p Ai A k P 3 (A i A k ), p Aj A k P 3 (A j A k ). Protože hermiteovské interpolační polynomy jsou určeny jednoznačně následujícími hodnotami p(a i ), p(a j ), Dp(A i )(A j A i ), Dp(A j )(A i A j ), dostáváme z předpokladů, že p Ai A j 0. Analogicky pak také obdržíme p Ai A k 0 a p Aj A k 0. Proto je p Sijk 0. Odtud vychází, že p je tvaru Pak z p(a ijk ) = 0 plyne, že α = 0, tj. p = αλ i λ j λ k, α R. p Sijk 0 1 i < j < k 4 p 0. Lemma 2.14 Necht 1. ˆK je referenční simplex v R d, 2. ˆP = P3 ( ˆK), 3. ˆΣ = {ˆp( Â i ), 1 i d + 1, ˆp(Âijk), 1 i < j < k d + 1, ˆp ˆx j (Âi), 1 i d + 1, 1 j d}. Pak hermiteovský kubický konečný prvek (K, P K, Σ K ) je afinně ekvivalentní s referenčním hermiteovským kubickým prvkem ( ˆK, ˆP, ˆΣ). Důkaz: Stačí ukázat, jak se transformovaly parciální derivace. Necht F K : R d R d je afinní regulární transformace tvaru F K (ˆx) = B K ˆx + b K taková, že K = F K ( ˆK). Pak pro ˆp P 3 ( ˆK) a p = ˆp F 1 K máme p d ˆp (F 1 K (A i ) = (A i)) k, x j ˆx k x j k=1 38

38 odkud Dp(A i ) = B 1 K ˆDˆp(Âi). Lemma 2.15 Hermiteovské kubické konečné prvky v R d jsou pro d = 2, 3 třídy C 0. Důkaz: přenecháváme čtenáři. Poznámka 2.10 Příklady na konečné prvky třídy C 1 jsou zařazeny do cvičení. Definice 2.25 Prostor konečných prvků X h tvořený pouze hermiteovskými kubickými konečnými prvky budeme značit symbolem H 3 (Ω; T h ). Lemma 2.16 Necht T h je triangulace oblasti Ω R d. Pak platí H 3 (Ω; T h ) = {v h C 0 (Ω): v h K P 3 (K) K T h } H 1 (Ω). Důkaz: plyne ihned z lemmatu 2.15 a využitím věty 2.2. Necht Ω R 2 a uvažujme prostor H 3 (Ω; T h ) hermiteovských trojúhelníkových konečných prvků. Symbolem B l, 1 l r h, označíme uzly, které jsou vrcholy trojúhelníků K T h a symbolem B l, r h + 1 l s h, uzly, které jsou těžišti prvků K T h. Pak vhodnou bází prostoru H 3 (Ω; T h ) jsou funkce definované následovně. Bázové funkce nejprve rozdělíme na dvě skupiny podle toho, zda lze pomocí nich vyjadřovat funkční hodnoty nebo derivace podle jednotlivých proměnných: 1. ϕ k, 1 k s h, 2. ϕ (1) k, 1 k r h, 3. ϕ (2) k, 1 k r h. Pro tyto funkce pak ustanovíme tyto vztahy: ϕ k (B l ) = δ kl, 1 k, l s h, ϕ k (B l ) = 0, x 1 ϕ k x 2 (B l ) = 0, 1 k s h, 1 l r h, ϕ (1) k (B l) = 0, 1 k r h, 1 l s h, ϕ (1) k x 1 (B l ) = δ kl, ϕ (1) k x 2 (B l ) = 0, 1 k, l r h, ϕ (2) k (B l) = 0, 1 k r h, 1 l s h, ϕ (2) k x 1 (B l ) = 0, ϕ (2) k x 2 (B l ) = δ kl, 1 k, l r h, Lze se snadno přesvědčit, že tyto funkce jsou lineárně nezávislé a tvoří proto bázi. 39

39 Úkoly k procvičení Cvičení 2.1 Geometrický význam barycentrických souřadnic. Dokažte, že barycentrické souřadnice libovolného bodu trojúhelníka vyhovují těmto vztahům λ i = i i = 1, 2, 3, kde je celková plocha trojúhelníku a i, i = 1, 2, 3, jsou obsahy jeho jednotlivých částí dle následujícího obrázku. Obrázek 19: Geometrická interpretace barycentrických souřadnic Cvičení 2.2 Dokažte následující tvrzení, které představuje alternativní definici k definicím 2.16 a Věta 2.5 Necht (K, P K, Σ K ) je konečný prvek Lagrangeova nebo Hermiteova typu v R d, necht δk je libovolná (d 1)-dimenzionální stěna prvku K. Označme Σ δk Σ K množinu těch lineárních forem l i Σ K, které pracují jen s hodnotami funkcí nebo jejich derivací v uzlech ležících na δk. Pak daný prvek je třídy C 0 resp. C 1 tehdy a jen tehdy, když stopy Π K v resp. Π K v i D(Π K v) na δk jsou jednoznačně určeny hodnotami l i (v), pro l i Σ δk. Cvičení 2.3 Ověřte, že hermiteovský kubický prvek v R 1, jenž je zadaný následujícím způsobem: 1. K je úsečka s koncovými body A 1, A 2, 2. P K = P 3 (K), dim P K = 4, 3. Σ K = {p(a 1 ), p(a 2 ), p (A 1 ), p (A 2 )}, je P K -unisolventní a třídy C 1. Cvičení 2.4 Mějme konečný prvek, který má název Argyrisův trojúhelník, s tímto zadáním: 1. K je trojúhelník s vrcholy A i, 1 i 3, a označme A ij = 1 2 (A i + A j ), 1 i < j 3, 40

40 2. P K = P 5 (K), dim P K = 21, 3. Σ K = {p(a i ), Dp(A i ), D 2 p(a i ), 1 i 3, Dp(A ij )n(a ij ), 1 i < j 3}, přičemž n(a ij ) značí směr vnější normály v bodě A ij. Obrázek 20: Argyrisův prvek Prvek lze použít k řešení deskových úloh. Ověřte, že tento kvintický trojúhelník je P K -unisolventní a třídy C 1. 41

41 3 Apriorní odhady a konvergence konformní metody konečných prvků V této kapitole se budeme věnovat základním výsledkům teorie odhadů a teorie konvergence pro metodu konečných prvků a to v její podobě, kterou nazýváme konformní a kterou můžeme považovat v jistém smyslu za standardní. Odvození těchto výsledků je z matematického pohledu zajímavé i pro ty, kteří nehodlají pomocí MKP nic počítat. Konvergenční výsledky při splnění příslušných podmínek garantují, že diskretizace pomocí konečných prvků dává matematicky korektní aproximace řešení původní spojité úlohy. Připomeňme si, že v kapitole 1 jsme spojitou úlohu (P ) { nalézt u V tak, že a(u, v) = L(v) v V aproximovali diskrétní úlohou (P h) { nalézt uh V h takové, že a(u h, v h ) = L(v h ) v h V h. V kapitole 2 jsme se naučili principům konstrukce konečně-prvkových prostorů X h, z nichž lze už snadno vytvořit podprostory V h. V případě, že MKP splňuje 1. V h V, 2. diskretizovaná úloha má tvar u h V h : a(u h, v h ) = L(v h ) v h V h, hovoříme o konformní metodě konečných prvků. V této kapitole budeme předpokládat, že oba tyto předpoklady platí. Poznámka 3.1 Uvědomme si, že předpoklad 2 říká, že bilineární formu a(.,.) nebo lineární formu L(.) neaproximujeme, tedy dokážeme je vypočítat přesně neboli exaktně. Případy, kdy některý z uvedených předpokladů (nebo oba) není splněný, se budeme zabývat v následující kapitole. 3.1 Aproximace v Sobolevových prostorech V kapitole 1 jsme si v souvislosti s Ritz-Galerkinovou metodou uvedli Céovo lemma. Z něj plyne, že k tomu, abychom odhadli chybu u u h V, stačí odhadnout výraz inf v h V h u v h V, kde V je norma prostoru, na němž hledáme řešení u. 42

42 Odtud je ihned vidět, že se tím určení chyby přibližného řešení u h redukuje na úlohu teorie aproximace nalézt vzdálenost funkce u V od podprostoru V h V, přičemž V je nějaký Sobolevův prostor. Dále můžeme pozorovat, že pro naše účely stačí znát odhad rozdílu u v h pro nějaký speciální výběr prvku v h V h. Uvědomíme-li si, že norma v Sobolevově prostoru je dána integrálem, představuje vhodnou volbu funkce, kterou si označíme Π h u, jejíž restrikce na každý prvek K je Lagrangeova nebo Hermiteova interpolace řešení u V (předpokládejme, že takovou interpolaci lze sestrojit). Normu na V pak složíme z dílčích příspěvků přes všechny K T h, tj. inf u v h V u Π h u V, v h V h u Π h u 2 V = K T h u Π K u K 2 K. Poznámka 3.2 Protože se příslušná teorie dá bez větších potíží formulovat i pro odhad v normách prostorů W k,p (Ω) pro k 0 celé a p [1, ], budeme se v dalším zabývat teorií aproximace v Sobolevových prostorech, které obecně nejsou hilbertovské ale pouze banachovské. Základním tvrzením, které budeme potřebovat pro další úvahy, je tzv. Bramble-Hilbertovo lemma. K jeho důkazu si nejprve připravíme tvrzení o ekvivalenci norem na podílovém prostoru W m+1,p (Ω)/P m (Ω). Pro omezenou oblast Ω R d s lipschitzovskou hranicí Γ a celé číslo m 0 uvažujme podílové prostory W m+1,p (Ω)/P m (Ω), p [1, ], jejichž prvky jsou ekvivalentní třídy [v] definované vztahem [v] = {w W m+1,p (Ω): w v P m (Ω)}. Připomeňme, že podílový prostor W m+1,p (Ω)/P m (Ω) je Banachův prostor vzhledem k podílové normě [v] m+1,p,ω = inf v + p m+1,p,ω. p P m(ω) Lze ukázat, že podílová norma je ekvivalentní se seminormou m+1,p,ω. Lemma 3.1 (Ekvivalence norem) Necht Ω R d je ohraničená oblast s lipschitzovskou hranicí a m 0 celé. Potom existuje konstanta C = C(Ω) 0 taková, že pro každé [v] W m+1,p (Ω)/P m (Ω), p [1, ], platí v m+1,p,ω [v] m+1,p,ω C v m+1,p,ω. Důkaz: První nerovnost zleva ve vztahu, který máme dokázat, je triviální. K důkazu druhé nerovnosti položíme N m = dim P m (Ω) a dále označíme symbolem l i, 1 i N m, bázi duálního prostoru k P m (Ω). Máme tedy ( ) l i (p) = 0, 1 i N m, p P m (Ω) p = 0. 43

43 Podle Hahn-Banachovy věty existují funkcionály l i (W m+1,p (Ω)), 1 i N m, takové, že l i Pm(Ω) = l i. Nyní sporem ukážeme, že ( v m+1,p,ω C(Ω) v m+1,p,ω + N m i=1 ) l i (v), v W m+1,p (Ω). Kdyby tato nerovnost neplatila, pak by existovala posloupnost {v k }, v k W m+1,p (Ω), taková, že ( N m ) ( ) v k m+1,p,ω = 1, lim v k m+1,p,ω + l i (v k ) = 0. k Protože posloupnost {v k } je omezená v W m+1,p (Ω) a tento prostor je kompaktně vnořen do W m,p (Ω), existuje podposloupnost {v k } a funkce v W m,p (Ω) taková, že Na druhou stranu ale z ( ) plyne, že i=1 v k v m,p,ω 0, k. v k m+1,p,ω 0, k. Protože v k v v normě prostoru W m+1,p (Ω), musí být D α v 0,Ω = lim k Dα v k 0,Ω = 0, α = m + 1. Tudíž D α v = 0, α = m + 1, odkud vzhledem k souvislosti oblasti Ω plyne, že v P m (Ω). Pak z ( ) máme l i (v) = lim k li (v k ) = 0, 1 i N m. Protože l i (v) = l i (v), plyne z ( ), že v = 0, což je ale spor s ( ). Důsledkem právě dokázaného tvrzení je známé Bramble-Hilbertovo lemma. Lemma 3.2 (Bramble-Hilbertovo lemma) Necht Ω R d je ohraničená oblast s lipschitzovskou hranicí a k 0 celé. Necht L je spojitý lineární funkcionál definovaný na W k+1,p (Ω), p [1, ], takže (i) L(v) L k+1,p,ω v k+1,p,ω v W k+1,p (Ω), kde L k+1,p,ω značí normu funkcionálu L v duálním prostoru ( W k+1,p (Ω) ). Jestliže navíc platí (ii) L(p) = 0 p P k (Ω), pak existuje konstanta C = C(Ω) > 0 taková, že L(v) C L k+1,p,ω v k+1,p,ω v W k+1,p (Ω). Důkaz: Necht v W k+1,p (Ω) je libovolná funkce. Dle definice normy funkcionálu L a dle předpokladů L(v) = L(v + p) L k+1,p,ω v + p k+1,p,ω p P k (Ω) 44

44 a tedy L(v) L k+1,p,ω inf v + p k+1,p,ω. p P k Nyní s ohledem na definici normy na podílovém prostoru W k+1,p (Ω)/P k (Ω) a ekvivalenci norem z předcházející věty dostáváme ihned tvrzení Bramble-Hilbertova lemmatu. Na základě Bramble-Hilbertova lemmatu budeme odhadovat chybu interpolace u Π K u, K T h (Ω), kde Π K je lokální interpolační operátor. Protože nechceme pracovat s odhady, které mají konstantu závislou na aktuálním prvku triangulace, budeme používat afinní ekvivalenci konečných prvků. Proto musíme vědět, jak vypadá afinní transformace Sobolevových norem a seminorem. Předpokládejme, že Ω R d a ˆΩ R d jsou afinně ekvivalentní oblasti, tj. existuje afinní regulární transformace F : ˆΩ Ω : ˆx F (ˆx) = Bˆx + b taková, že F (ˆΩ) = Ω. Věta 3.1 Necht Ω R d a ˆΩ R d jsou afinně ekvivalentní oblasti s lipschitzovskými hranicemi a předpokládejme, že v W m,p (Ω) pro m 0 celé a p [1, ]. Pak pro funkci ˆv = v F platí, že ˆv W m,p (ˆΩ), a existuje kladná konstanta C = C(m, d) taková, že ˆv m,p,ˆω C B m det(b) 1/p v m,p,ω v W m,p (Ω), v m,p,ω C B 1 m det(b) 1/p ˆv m,p,ˆω ˆv W m,p (ˆΩ). Důkaz: K důkazu první nerovnosti pro p [1, ) nejprve předpokládejme, že v C m (Ω). Pak ˆv C m (ˆΩ) a pro multiindex α takový, že α = m, dostaneme D αˆv(ˆx) = D mˆv(ˆx)(e α1,..., e αm ), přičemž funkcionál D mˆv(ˆx) L (R md, R) je m-tý lineární totální diferenciál ˆv a e αi {e 1,..., e d }, 1 i m, kde {e 1,..., e d } je kartézská báze prostoru R d. Odsud máme D αˆv(ˆx) D mˆv(ˆx) = sup D mˆv(ˆx)(ξ 1,..., ξ m ) ξ i 1 a z toho plyne, že ˆv m,p,ˆω = ( ˆΩ α =m D αˆv(ˆx) p dˆx) 1/p ( {α R d : α i 0, α = m} 1/p }{{} =C 1 (m,d) ˆΩ D mˆv(ˆx) p dˆx) 1/p. Nyní užitím pravidel pro derivaci složené funkce dostáváme D mˆv(ˆx)(ξ 1,..., ξ m ) = D m v(x)(bξ 1,..., Bξ m ), 45

45 odkud a tedy D mˆv(ˆx) D m v(x) B m, D mˆv(ˆx) p dˆx B m D m (v(f (ˆx))) p dˆx. ˆΩ ˆΩ Použitím substituce pak dostáváme D m (v(f (ˆx))) p dˆx = det(b 1 ) D m v(x) p dx. ˆΩ Ω Navíc existuje kladná konstanta C 2 (m, d) taková, že D m v(x) = sup D m v(x)(ξ 1,..., ξ m ) C 2 (m, d) max ξ i 1 α =m Dα v(x), odkud ( D m v(x) p dx) 1/p C 2 (m, d) v m,p,ω. Ω Celkem tedy dostáváme platnost první nerovnosti pro v C m (Ω). Dále pak vzhledem ke spojitosti operátoru F můžeme přiřadit v ˆv = v F a protože prostor C 0 (Ω) je hustý v W m,p (Ω) vzhledem k normě m,p,ω, dostáváme platnost první nerovnosti pro v W m,p (Ω). Důkaz pro p = je ponechán čtenáři jako cvičení. Důkaz druhé nerovnosti se provede analogicky, jako u první. Členy B a B 1 v odhadech v předchozí větě dále odhadneme užitím geometrických vlastností afinně ekvivalentních oblastí s lipschitzovskou hranicí. Pro tyto potřeby označíme h = diam(ω), ĥ = diam(ˆω), ρ = sup {diam(b) : B je koule ležící v Ω}, ˆρ = sup {diam( ˆB) : ˆB je koule ležící v ˆΩ}. Lemma 3.3 (Geometrie afinně ekvivalentních oblastí s lipschitzovskou hranicí) Necht ˆΩ R d a Ω R d, Ω = F (ˆΩ), jsou dvě afinně ekvivalentní oblasti s lipschitzovskou hranicí, přičemž F (ˆx) = Bˆx + b je afinní regulární transformace. Necht h, ĥ a ρ, ˆρ jsou definovány dle výše uvedených vztahů. Potom platí B hˆρ, B 1 ĥ ρ, det(b) = meas(ω) meas(ˆω). 46

46 Důkaz: Dokážeme první nerovnost. Lze psát B = 1ˆρ sup Bŵ. ŵ =ˆρ Pro ŵ R d takové, že ŵ = ˆρ, existují ŷ, ẑ R d takové, že ŵ = ŷ ẑ. Položme y = F (ŷ), z = F (ẑ). Pak w = y z = B(ŷ ẑ) = Bŵ a tudíž Bŵ h, nebot h = diam(ω). Podobně se provede důkaz nerovnosti B 1 ĥ ρ. Zbytek důkazu je čtenáři ponechán jako cvičení. Definice 3.1 Necht Π : V 1 (Ω) V 2 (Ω) je lineární spojitý operátor. Řekneme, že Π zachovává polynomy k-tého stupně, jestliže platí Πp = p p P k (Ω). Příkladem takových operátorů jsou interpolační operátory na jednotlivých prvcích. Jestliže je P K = P k (K), pak z definice P K -interpolace pro interpolační operátor Π K ihned plyne Π K p = p p P k (K). Věta 3.2 Necht ˆΩ R d je oblast s lipschitzovskou hranicí, necht k, m 0 jsou celá čísla a předpokládejme, že p, q [1, ] jsou takové, že W k+1,p (ˆΩ) je spojitě vnořen do W m,q (ˆΩ). Navíc předpokládejme, že ˆΠ: W k+1,p (ˆΩ) W m,q (ˆΩ) je lineární operátor zachovávající polynomy k-tého stupně. Necht Ω R d je afinně ekvivalentní s ˆΩ a necht operátor je definován vztahem Π Ω : W k+1,p (Ω) W m,q (Ω) Π Ω v = ˆΠˆv ˆv = v F 1, v W k+1,p (Ω). Pak existuje konstanta C = C(ˆΠ, ˆΩ) > 0 taková, že pro každé v W k+1,p (Ω) je v Π Ω v m,q,ω C (meas(ω)) ( 1 q 1 p ) h k+1 ρ m v k+1,p,ω. Důkaz: Označme Î : W k+1,p (ˆΩ) W m,q (ˆΩ) 47

47 operátor vnoření. Pak vzhledem k tomu, že operátor ˆΠ zachovává polynomy, máme ˆv ˆΠˆv = (Î ˆΠ)(ˆv + ˆp), ˆv W k+1,p (ˆΩ), ˆp P k (ˆΩ). Aplikací Bramble-Hilbertova lemmatu dostáváme ˆv ˆΠˆv m,q,ˆω Î ˆΠ Navíc dle předpokladu a proto užitím předchozí věty obdržíme inf ˆv + ˆp k+1,p,ˆω C(ˆΠ, ˆΩ) ˆv k+1,p,ˆω. ˆp P k (ˆΩ) ˆv ˆΠˆv = v Π Ω v v Π Ω v m,q,ω C B 1 m det(b) 1/q ˆv ˆΠˆv m,q,ˆω. Použijeme-li znovu předchozí větu, dostaneme ˆv k+1,p,ˆω C B k+1 det(b) 1/p v k+1,p,ω. Tvrzení věty pak plyne z posledních tří nerovností, nerovností předchozího lemmatu a z toho, že det(b) = meas(ω)/meas(ˆω). 3.2 Odhady pro afinně ekvivalentní konečné prvky Odhady chyb interpolace zavedené v předchozím odstavci budeme nyní aplikovat na afinně ekvivalentní konečné prvky. Speciálně budeme chtít odhadnout normu rozdílu v Π K v ve vhodném Sobolevově prostoru W k,2 (K) = H k (K) a tento odhad provést pomocí geometrických veličin charakterizujících prvek K. Východiskem bude poslední věta z předcházejícího odstavce. Nejprve si však musíme ujasnit, pro jaké funkce je Lagrangeova nebo Hermiteova interpolace definována. Začneme Lagrangeovou interpolací. Tato aproximace je definovaná pomocí hodnot funkce, kterou chceme interpolovat. Není tedy dobře definována pro funkce z L 2 (K), nebot takové funkce můžeme měnit na množině míry nula a tedy např. v konečně mnoha bodech. Prvky prostoru L 2 (K) jsou totiž třídy funkcí a do jedné a téže třídy patří funkce, které se liší na množině míry nula. Odtud je zřejmé, že pro funkci z L 2 (K) nemá smysl definovat Lagrangeovu interpolaci, protože bychom jí mohli přiřadit nekonečně mnoho takových interpolací. Kdy má tedy smysl definovat Lagrangeovu interpolaci funkce v? Např. tehdy, když v je spojitá na K. Pro funkci v H k (K), k 0 celé, je proto třeba mít zaručeno, že prostor H k (K) je algebraicky i topologicky vnořen do C 0 (K), tj. H k (K) C 0 (K). Z vět o vnoření víme, že v R 2 a R 3 toto nastane pro k 2. Neboli: Lagrangeova interpolace Π K v funkce v H k (K) je definovaná pro k 2. Pro Hermiteovu interpolaci je situace o trochu složitější. Je-li Π K v Hermiteova interpolace funkce v s-tého řádu, tj. používá ke své konstrukci derivace až do řádu s, je třeba, aby H k (K) C s (K). To se splní, když k 2 + s. Takže Hermiteova interpolace s-tého řádu funkce v H k (K) je definovaná pro k 2 + s. Úvahy nyní zpřesníme a zformulujeme v následující větě. 48

48 Je-li Ω R d oblast s lipschitzovskou hranicí a T h je triangulace oblasti Ω, pak pro K T h definujme h K ρ K = diam(k), = sup {diam(b): B je koule ležící v K}. Obrázek 21: diam(k) a ρ(k) pro trojúhelník K Věta 3.3 Necht ( ˆK, ˆP, ˆΣ) je referenční konečný prvek a necht s 0 je nejvyšší řád parciální derivace, která se objeví v definici stupňů volnosti ˆΣ. Předpokládejme dále, že celá čísla k, m 0 jsou taková, že máme spojitá vnoření a že platí H k+1 ( ˆK) C s ( ˆK), H k+1 ( ˆK) H m ( ˆK), P k ( ˆK) ˆP H m ( ˆK). Pak existuje konstanta C = C( ˆK, ˆP, ˆΣ) > 0 taková, že pro všechny prvky (K, P K, Σ K ), které jsou afinně ekvivalentní s ( ˆK, ˆP, ˆΣ), platí v Π K v m,k C hk+1 K ρ m K v k+1,k v H k+1 (K), kde Π K : C s (K) P K je lokální interpolační operátor na K. Důkaz: provedeme bez újmy na obecnosti pro s = 2. Pro interpolační operátor ˆΠ platí ˆΠˆp = ˆp ˆp P k ( ˆK). Jestliže ˆv H k+1 ( ˆK), pak dle předpokladu je ˆv C s ( ˆK). Tudíž výraz ˆΠˆv je dobře definovaný a lze ho psát ve tvaru ˆΠˆv = i ˆv(â 0 i )ˆp 0 i + i,j Dˆv(â 1 i )(ˆξ 1 ij)ˆp 1 ij + i,j,l D 2ˆv(â 2 i )(ˆξ 2 ij ˆξ 2 il)ˆp 2 ijl. Dále vzhledem k předpokladům o spojitých vnořeních je operátor ˆΠ : H k+1 ( ˆK) H m ( ˆK) spojitý, jak ukazuje následující výpočet ˆΠˆv m, ˆK i ˆv(â 0 i ) ˆp 0 i m, ˆK + i,j Dˆv(â 1 i )(ˆξ 1 ij) ˆp 1 ij m, ˆK + + D 2ˆv(â 2 i )(ˆξ 2 ˆξ ij il) ˆp 2 2 ijl m, ˆK i,j,l C ( ˆp 0 i m, ˆK, ˆξ ij ˆp 1 1 ij m, ˆK, ˆξ ij ˆξ 2 il ˆp 2 2 ijl m, ˆK) sup sup D αˆv(ˆx) C( ˆK, ˆP, ˆΣ) ˆv k+1, ˆK. 49 α 2 ˆx ˆK

49 Protože pro lokální interpolační operátory ˆΠ a Π K platí plyne dokazovaný odhad z věty 3.2. Π K v = ˆΠˆv v C s (K), Než přejdeme od odhadů na jednotlivých prvcích k odhadům na celé výpočetní oblasti, musíme deklarovat další požadavek na její triangulaci. Definice 3.2 Triangulace T h oblasti Ω s lipschitzovskou hranicí se nazývá regulární, jestliže existuje kladné reálné číslo σ takové, že pro každé K T h je h K ρ K σ. Definice 3.3 Triangulace T h oblasti Ω s lipschitzovskou hranicí se nazývá silně regulární, jestliže existuje kladné reálné číslo σ takové, že pro každé K T h je h ρ K σ. Poznámka 3.3 Je-li K nedegenerovaný trojúhelník, pak mezi jeho nejdelší stranou h K, poloměrem vepsané kružnice r K = ρ K /2 a minimálním vnitřním úhlem α K platí vztah 1 h K r K 2 sin α K. 2 tan α K 2 Podmínka z předchozí definice bude tedy splněna např. tehdy, když existuje úhel α 0 > 0 nezávisle na h tak, že α K α 0 K T h. Tato podmínka se nazývá Zlámalova podmínka minimálního úhlu a byla publikována v roce 1968 jedním ze zakladatelů matematické teorie MKP vynikajícím brněnským matematikem MILOŠEM ZLÁMALEM ( ). Obrázek 22: Zlámal V případě, že K je obdélník, značí h K jeho delší a ρ K jeho kratší stranu. V obou případech podmínka regularity znamená, že geometrické útvary se zmenšujícím se diskretizačním parametrem h nedegenerují v triangulaci T h v úsečky. Je vcelku zřejmé, že pro regulární triangulaci T h lze hodnotu ρ K z předchozích odhadů vyeliminovat, což zformulujeme v následujícím tvrzení. Důsledek 3.1 (Odhad lokální interpolační chyby) Necht T h jen regulární triangulace oblasti Ω R d s lipschitzovskou hranicí. Předpokládejme, že (K, P K, Σ K ), K T h, jsou konečné prvky, které jsou afinně ekvivalentní s referenčním prvkem ( ˆK, ˆP, ˆΣ), který splňuje předpoklady předchozí věty. Pak existuje kladná konstanta C = C( ˆK, ˆP, ˆΣ) taková, že pro každé K T h je v Π K v m,k C h k+1 m K v k+1,k v H k+1 (K). 50

50 3.3 Apriorní odhady v H 1 (Ω) normě V tomto odstavci se budeme zabývat apriorními odhady pro diskretizaci eliptické okrajové úlohy druhého řádu pomocí MKP. Předpokládejme, že je dána triangulace T h výpočetní oblasti Ω R d taková, že platí (A1) triangulace T h je regulární, (A2) (K, P K, Σ K ), K T h, je množina afinně ekvivalentních konečných prvků s referenčním prvkem ( ˆK, ˆP, ˆΣ), (A3) všechny konečné prvky (K, P K, Σ K ), K T h, jsou třídy C 0. Uvažujme případ, kdy H 1 0(Ω) V H 1 (Ω), V h V a X h V h je prostor konečných prvků generovaný triangulací T h a konečnými prvky, které splňují předpoklady (A1), (A2) a (A3). Nejprve stanovíme odhady pro globální interpolační chybu. V dalším budeme v textu symbolem C > 0 rozumět generickou konstantu nezávislou na parametru h uvažované sítě. Věta 3.4 Předpokládejme, že jsou splněny předpoklady (A1), (A2) a (A3) a že existují konstanty k, l 0, l k, takové, že a H k+1 ( ˆK) C s ( ˆK) P k ( ˆK) ˆP H l ( ˆK), kde s 0 je nejvyšší řád parciální derivace, která se vyskytne v definici stupňů volnosti ˆΣ. Potom globální interpolační operátor Π h : H k+1 (K) V V h je dobře definovaný. Je-li v H k+1 (K) V, platí ( v Π h v m,ω C h k+1 m v k+1,ω pro 0 m min{1, l}, ) 1/2 C h k+1 m v k+1,ω pro 2 m min{k + 1, l}. K T h v Π K v 2 m,k Důkaz: Podle důsledku o odhadu lokálně interpolační chyby máme v Π K v m,k C h k+1 m K v k+1,k, 0 m min{k + 1, l}. Přitom pro K T h máme (Π h v) K = Π K v a h K h, tudíž pro 0 m min{k + 1, l} lze psát ( K T h v Π K v 2 m,k čímž je dokázána druhá nerovnost. ) 1/2 C h k+1 m ( K T h v 2 k+1,k = C h k+1 m v k+1,ω, 51 ) 1/2 =

51 Co se týká první nerovnosti, pro m = 0, 1 a pro l 1 máme V h H m (Ω) a tudíž ( ) 1/2 = v Π h v m,ω. K T h v Π K v 2 m,k Věta 3.5 (Apriorní odhady v H 1 (Ω)-normě) Předpokládejme, že jsou splněny předpoklady (A1), (A2) a (A3) a že existuje celočíselná konstanta k 0 taková, že H k+1 ( ˆK) C s ( ˆK) a P k ( ˆK) ˆP H 1 ( ˆK), kde s 0 je nejvyšší řád parciální derivace, která se vyskytne v definici stupňů volnosti ˆΣ. Předpokládejme dále, že u V je řešení variační rovnice a že splňuje předpoklad regularity u V H k+1 (Ω). Jestliže u h V h je aproximace u získaná pomocí konformních konečných prvků třídy C 0, pak pro globální diskretizační chybu dostáváme apriorní odhad tvaru u u h 1,Ω C h k u k+1,ω. Důkaz: plyne ihned ze Céova lemmatu a předchozí věty. Definice 3.4 Předpokládejme, že jsou splněny předpoklady Lax-Milgramovy věty a uvažujme variační rovnici tvaru kde a(u, v) = L(v) v V, L(v) = (f, v) 0,Ω, f L 2 (Ω). Pak řekneme, že variační problém je k-regulární, k 2, jestliže u V H k (Ω) a existuje konstanta C reg R + taková, že u k,ω C reg f 0,Ω. Důsledek 3.2 Necht jsou splněny předpoklady věty 3.5 a uvažujme 2-regulární variační problém. Pak pro globální diskretizační chybu platí u u h 1,Ω C h 1 f 0,Ω. Důkaz: Důkaz plyne ihned z předchozí věty a definice k-regularity variační rovnice. 52

52 3.4 Apriorní odhady v L 2 (Ω) normě Věta 3.5 ukazuje, že za předpokladu dostatečné regularity řešení variačního problému globální diskretizační chyba u u h je řádu O(h k ) vzhledem k normě 1,Ω. Jelikož prostor H 1 (Ω) je spojitě vnořen do L 2 (Ω), tj. v 0,Ω v 1,Ω v H 1 (Ω), máme rovněž u u h 0,Ω = O(h k ). Nicméně z věty 3.4 víme, že za stejných předpokladů na regularitu je globální interpolační chyba Π h u u 0,Ω řádu O(h k+1 ). Jak ještě uvidíme dále, za jistých dodatečných předpokladů na přidruženou adjungovanou úlohu, je globální diskretizační chyba v L 2 (Ω) normě téhož řádu a tento výsledek je znám jako kvazioptimalita Galerkinovy aproximace. Následující úvahy budou mít zcela abstraktní rámec. Necht H a V jsou Hilbertovy prostory takové, že (a) V je spojitě vnořený do H, tj. identické zobrazení i: V H je spojité, tj. existuje konstanta C 0 taková, že v H C v V v V, (b) V je hustý v H. Ztotožníme-li H s jeho duálem, můžeme H interpretovat jako podprostor V. Skutečně, je-li f H, pak dle (a) platí (f, v) H f H v H f H v V v V, tj. lineární funkcionál f : v V f(v) = (f, v) H je omezený a takový, že f V. Navíc, zobrazení f H f V je injektivní, tj. jestliže f(v) = (f, v) H = 0 pro v V, pak f(v) = 0 pro v H, takže f = 0. Uvažujme abstraktní variační rovnici (P ) a(u, v) = L(v) v V, kde a(, ) : V V R a L V. Předpokládejme, že V h V a aproximujme variační rovnici takto (P h ) a(u h, v h ) = L(v h ) v h V h. Následně si uvedeme horní odhad pro chybu u u h v normě H, což se uvádí jako Aubin- Nitscheho lemma, někdy se uvádí název Nitscheho trik. 53

53 Věta 3.6 (Aubin-Nitscheho lemma) Předpokládejme, že V je Hilbertův prostor, a(, ) : V V R je spojitá a V -eliptická bilineární forma a L V. Předpokládejme dále, že H je Hilbertův prostor splňující (a) a (b) a necht V h V. Navíc necht u V resp. u h V h jsou jediná řešení úloh (P ) resp. (P h ). Pak (i) pro libovolné g H má adjungovaná variační úloha a(v, ϕ g ) = (g, v) H v V jediné řešení ϕ g V, (ii) globální diskretizační chyba u u h splňuje u u h H C u u h V (sup g H 1 g H ) inf ϕ g ϕ h V, ϕ h V h kde konstanta C > 0 pochází z odhadu a(u, v) C u v u, v V. Důkaz: Protože (g, v) H = g(v), g H V, máme z Lax-Milgramovy věty existenci a jednoznačnost řešení adjungované úlohy z (i). Navíc, položíme-li v ní v = u u h V, dostaneme a(u u h, ϕ g ) = (g, u u h ) H. Na druhou stranu, zvolíme-li v = v h = ϕ h V h v (P ), (P h ) a následným odečtením dostaneme a(u u h, ϕ h ) = 0, ϕ h V h. Odečtením posledních dvou rovností od sebe máme odkud a(u u h, ϕ g ϕ h ) = (g, u u h ) H, (g, u u h ) H C u u h V inf ϕ g ϕ h V. ϕ h V h Nakonec přihlédneme k tomu, že u u h H je lineární funkcionál na H, a protože je H = H, užitím definice normy funkcionálu dostaneme u u h H = u u h H = sup g H,g 0 (g, u u h ) H g H. Použitím v předcházející nerovnosti pak obdržíme tvrzení. Kvazioptimální apriorní odhady chyb v L 2 (Ω) normě jsou nyní přímým důsledkem Aubin- Nitscheho lemmatu. 54

54 Věta 3.7 Předpokládejme, že adjungovaný problém a(v, ϕ g ) = (g, v) H v V je 2-regulární a že jsou splněny předpoklady věty 3.5. Dále, jestliže u h V h je C 0 -konformní aproximací u, pak pro globální diskretizační chybu máme apriorní odhad tvaru u u h 0,Ω C h k+1 u k+1,ω. Důkaz: plyne z Aubin-Nitscheho lemmatu volbou H = L 2 (Ω). Zejména, s ohledem na větu 3.4 a 2-regularitu adjungovaného problému, máme inf ϕ g ϕ h 1,Ω ϕ g Π h ϕ g 1,Ω C h ϕ g k+1,ω C h g 0,Ω. ϕ h V h Takže z tvrzení (ii) Aubin-Nitscheho lemmatu pak plyne u u h 0,Ω C h u u h 1,Ω a použitím věty 3.5 na pravou stranu odhadu tak dostaneme tvrzení. 3.5 Použití teorie odhadů Nyní budeme předchozí výsledky aplikovat, nejprve na Lagrangeovu interpolaci. Necht ˆΣ = {p(âi), Â i ˆK}, necht ˆP P k ( ˆK) a necht množina ˆΣ je ˆP -unisolventní. Necht pak ( ˆK, ˆP, ˆΣ) je referenční konečný prvek simpliciálního nebo obdélníkového typu. Symbolem ˆΠˆv označíme ˆP -interpolaci funkce ˆv na ˆΣ. Lemma 3.4 Necht k 1 a 0 m k + 1 jsou celá čísla. Potom zobrazení je lineární a spojité. ˆΠ: H k+1 ( ˆK) H m ( ˆK) Důkaz: Připomeňme si, že ˆP je z definice konečnědimenzionální prostor funkcí definovaných na ˆK. Definujme si na ˆP normu [ ˆp] = max i ˆp(Âi), ˆp ˆP. Z toho, že všechny normy jsou na ˆP ekvivalentní, a z věty o vnoření prostoru H k+1 ( ˆK) do C 0 ( ˆK) pak pro libovolnou funkci ˆv H k+1 ( ˆK) máme 55

55 ˆΠˆv m, ˆK c [ ˆΠˆv] c ˆv C 0 ( ˆK) c ˆv k+1, ˆK, takže zobrazení ˆΠ je omezené a tedy spojité. Věta 3.8 Necht ˆΣ je ˆP -unisolventní, přičemž P k ( ˆK) ˆP. Necht ˆΠ je Lagrangeova ˆP - interpolace na ˆΣ. Necht (K, P, Σ) je prvek afinně ekvivalentní s ( ˆK, ˆP, ˆΣ). Potom existuje konstanta ĉ = ĉ(k, ˆK, ˆΠ) > 0 taková, že pro každé k 1 v Πv m,k ĉ h k+1 m v k+1,k v H k+1 (K), m: 0 m k + 1. Důkaz: plyne z předchozího lemmatu a výsledků odstavce 3.3 a proto ho přenecháváme čtenáři. Nyní odvodíme řády aproximace pro některé konečné prvky, s nimiž jsme se seznámili v kapitole 2. Příklad 3.1 Lineární trojúhelníkový prvek. V tomto případě je ˆP = P1 ( ˆK). Podle věty 3.8 existuje konstanta ĉ > 0 taková, že pro každou v H 2 (K) a 0 m 2, m celé, je v Πv m,k ĉ h 2 m v 2,K. Příklad 3.2 Kvadratický trojúhelníkový prvek. Zde je ˆP = P2 ( ˆK). Podle věty 3.8 existuje konstanta ĉ > 0 taková, že pro každou v H 3 (K) a 0 m 3, m celé, je v Πv m,k ĉ h 3 m v 3,K. Srovnáme-li oba příklady, vidíme, že je-li v H 3 (K), je aproximace této funkce pomocí Lagrangeovy interpolace ve stejné normě v druhém případě o řád přesnější. Např. pro m = 0 je v Πv 0,K ĉ h 2 v 2,K v Πv 0,K ĉ h 3 v 3,K u lineárního prvku, u kvadratického prvku. Tento výsledek ovšem není překvapivý, nebot v druhém případě používáme polynom vyššího stupně. Konstanty ĉ > 0 jsou ovšem v obou případech obecně různé. Dále si musíme uvědomit, že výsledek pro lineární prvek nelze zlepšit, i kdybychom použili hladší funkci v, výsledek pro kvadratický prvek platí jen v tom případě, že v H 3 (K); kdybychom měli v H 2 (K), musíme uvážit, že ˆP = P 2 ( ˆK) P 1 ( ˆK), a použít tím pádem odhad z prvního příkladu. 56

56 Příklad 3.3 Bilineární obdélníkový prvek. V tomto případě je ˆP = Q1 ( ˆK) P 1 ( ˆK). Podle věty 3.8 existuje konstanta ĉ > 0 taková, že pro každou v H 2 (K) a 0 m 2, m celé, je v Πv m,k ĉ h 2 m v 2,K. Řád aproximace je tudíž stejný jako u lineárního trojúhelníku. Mezi oběma prvky jsou ovšem nikoliv bezvýznamné rozdíly v použití. Trojúhelník je vhodnější pro triangulaci obecné polygonální oblasti, gradient funkcí Πv je však na trojúhelníku konstantní. U obdélníkového prvku tomu tak není. Nyní přejdeme k prvkům používajícím Hermiteovu interpolaci. Necht pak ( ˆK, ˆP, ˆΣ) je referenční konečný prvek simpliciálního nebo obdélníkového typu a necht množina ˆΣ je ˆP -unisolventní a používá derivace do s-tého řádu. Symbolem ˆΠˆv označíme ˆP -interpolaci funkce ˆv na ˆΣ. K tomu, aby byla taková interpolace dobře definovaná, budeme potřebovat vnoření prostoru H k ( ˆK) do C s ( ˆK). To je splněno, pokud k 2 + s. Podobně jako lemma 3.4 se dokáže následující pomocné tvrzení. Lemma 3.5 Necht k s + 1 a 0 m k + 1 jsou celá čísla. Potom zobrazení je lineární a spojité. ˆΠ: H k+1 ( ˆK) H m ( ˆK) A bez důkazu si uvedeme i větu, která je analogická větě 3.8 Věta 3.9 Necht ˆΣ je ˆP -unisolventní, přičemž P k ( ˆK) ˆP. Necht ˆΠ je Hermiteova ˆP - interpolace s-tého řádu na ˆΣ. Necht (K, P, Σ) je prvek afinně ekvivalentní s ( ˆK, ˆP, ˆΣ). Potom existuje konstanta ĉ = ĉ(k, ˆK, ˆΠ, s) > 0 taková, že pro každé k s + 1 v Πv m,k ĉ h k+1 m v k+1,k v H k+1 (K), m: 0 m k + 1. Příklad 3.4 Kubický trojúhelníkový prvek. V tomto případě je ˆP = P3 ( ˆK) a s = 1. Podle věty 3.9 existuje konstanta ĉ > 0 taková, že pro každou v H k (K), k = 3, 4 a 0 m k, m celé, je v Πv m,k ĉ h k m v k,k. Příklad 3.5 Argyrisův kvintický trojúhelník. Tento prvek jsme poznali v cvičení za kapitolou 2. Zde máme ˆP = P5 ( ˆK) a s = 2. Podle věty 3.9 existuje konstanta ĉ > 0 taková, že pro každou v H k (K), k = 4, 5, 6 a 0 m k, m celé, je v Πv m,k ĉ h k m v k,k. 57

57 3.6 Konvergence metody V odstavci 3.2 jsme zavedli pojem regulární a silně regulární triangulace, abychom mohli odvodit potřebné apriorní odhady. Zároveň si musíme uvědomit, že jelikož se hodláme zabývat také konvergenčními vlastnostmi MKP, nevystačíme s jednou triangulací T h a jejím parametrem h > 0, ale budeme muset uvažovat nekonečně mnoho triangulací tak, abychom mohli zkoumat chování metody pro h 0+. Definice 3.5 Množina triangulací S = {T h } oblasti Ω s lipschitzovskou hranicí se nazývá systém triangulací, jestliže pro libovolné ε > 0 existuje T h S taková, že h < ε. Definice 3.6 Systém triangulací S = {T h } nazveme regulární, jestliže existuje číslo κ > 0 takové, že κh K ρ K K T h, T h S. Systém S nazveme silně regulární, jestliže existuje číslo κ > 0 takové, že κh ρ K K T h, T h S. Poznámka 3.4 Je-li S silně regulární, pak pro libovolnou triangulaci T h S platí, že rozměry všech prvků K T h, jsou úměrné parametru h, tj. máme C h diam(k) h K T h. Poznámka 3.5 V odstavci 3.2 jsme se seznámili se Zlámalovou podmínkou. Je důležité si uvědomit, že tato podmínka (ale i jiné podmínky regularity) je jen postačující a nikoliv nutná pro konvergenci MKP. V tomto směru vládne mezi některými uživateli MKP nedorozumění. Obecnější nutné podmínky konvergence nejsou doposud známé. Definice 3.7 Necht S = {T h } je systém triangulací. Jestliže existuje číslo h 0 > 0 a celá čísla k, q 0 tak, že pro libovolnou triangulaci T h S a libovolné h (0, h 0 ) platí u u h k,ω C(u) h q, kde C(u) > 0 je konstanta nezávisející na h, pak řekneme, že v normě k,ω konvergence metody roven q. To často stručně zapisujeme takto je řád u u h k,ω = O(h q ) pro h 0 +. Každé slabé řešení eliptické okrajové úlohy 2. řádu leží v prostoru H 1 (Ω). Z předchozích odstavců plyne, že k tomu, abychom dokázali jistý řád konvergence u h k u, je třeba, aby u bylo o něco hladší, tedy aby leželo v prostoru hladších funkcí H k+1 (Ω), k 1. Této vlastnosti se někdy říká regularita řešení. Na hladkost řešení mají vliv všechna vstupní data úlohy, přičemž každý z těchto faktorů může narušit hladkost řešení. Vcelku musíme konstatovat, že obecně není vysoká hladkost řešení nijak zaručena. Budeme-li tedy počítat s touto možností, půjde aspoň o to ukázat, že metoda konverguje, aniž bychom věděli, jak rychle. 58

58 Věta 3.10 Necht S = {T h } je regulární systém triangulací polygonu Ω a necht prostor C (Ω) V je hustý ve V vzhledem k normě V = 1,Ω. Potom platí u u h 1,Ω 0 pro h 0+, kde diskrétní řešení u h úlohy (P h ) náleží do prostoru V h = {v h V : v h K P k (K) K T h }. Důkaz: Necht ε > 0 je dané. Předpoklad o hustotě nám říká, že existuje funkce w C (Ω) V taková, že u w 1,Ω ε 2. Nyní pomocí předchozích výsledků odhadneme w Π h w 1,Ω C h k w k+1,ω. Odtud lze vyvodit, že existuje h 0 > 0 tak, že pro všechny h h 0 máme w Π h w 1,Ω ε 2. Pak u Π h w 1,Ω u w 1,Ω + w Π h w 1,Ω ε 2 + ε 2 = ε a ze Céova lemmatu nakonec máme u u h 1,Ω C u Π h w 1,Ω C ε. Poznámka V právě dokázané větě nemáme žádné předpoklady o regularitě řešení u. To tedy může mít např. i singularity. 2. Předpoklad, že C (Ω) V je hustý ve V není příliš omezující. Je tomu tak např. tehdy, když V = H 1 (Ω) nebo V = H 1 0(Ω). Úkoly k procvičení Cvičení 3.1 Napište apriorní odhady pro kubický trojúhelníkový prvek definovaný následovně 1. K je trojúhelník s vrcholy A 1, A 2, A 3, 2. P K = P 3 (K), dim P K = 10, 59

59 3. Σ K = {p(a i ), i = 1, 2, 3, p(a iij ), 1 i, j 3, i j, p(t )}, přičemž A ij = 1 3 (2A i + A j ) a T = 1 3 (A 1 + A 2 + A 3 ) je těžiště celého trojúhelníku. Cvičení 3.2 Napište apriorní odhady pro bikvadratický obdélníkový prvek, který je definovaný následovně 1. K je obdélník s vrcholy A 1, A 2, A 3, A 4, 2. P K = Q 2 (K), dim P K = 9, 3. Σ K = {p(a i ), i = 1, 2, 3, 4, p(a 12 ), p(a 23 ), p(a 34 ), p(a 14 ), p(s)}, přičemž A ij značí středy jednotlivých stran A i A j a S je střed celého obdélníku. Cvičení 3.3 Napište apriorní odhady pro bikubický obdélníkový prvek, který je definovaný následovně 1. K je obdélník s vrcholy A 1, A 2, A 3, A 4, 2. P K = Q 3 (K), dim P K = 16, 3. Σ K = {p(a i ), p x (A i), p y (A i), Jelikož prvek je hermiteovský, položte s = 2. 2 p x y (A i), i = 1, 2, 3, 4}. 60

60 4 Numerická integrace a nekonformní metoda konečných prvků Důležitý praktický problém představuje pro MKP integrace. Je pochopitelné, že i když pracujeme na konečných prvcích s polynomy, nelze zdaleka vždy vyčíslit integrály, které se vyskytují ve variačních nebo slabých formulacích úloh, přesně. Použití kvadraturních formulí nás tak staví před otázku, jaké je vhodné použít, aniž bychom zhoršili chybu aproximace a zároveň nezatížili výpočet množstvím nadbytečných výpočtů, nebot MKP jich potřebuje zpravidla velmi velké objemy. Kromě toho se v některých úlohách vyplácí porušit základní paradigma metody spočívající v používání spojitých a popř. i hladších aproximací. Tím se dostáváme k tzv. nekonformním konečným prvkům. 4.1 Strangovo první lemma Uvažujme variační rovnici (P ) u V : a(u, v) = L(v) v V H 1 (Ω), a předpokládejme, že jsou splněny předpoklady Lax-Milgramovy věty, takže úloha (P ) má pak jediné řešení u V. Předpokládejme dále, že H je posloupnost kladných reálných čísel a {V h } h H je třída konformních prostorů konečných prvků V h V, h H. Bilineární formu a(, ) : V V R a funkcionál L( ) : V R budeme aproximovat omezenou bilineární formou a omezeným lineárním funkcionálem a budeme uvažovat variační rovnice a h (, ): V h V h R, L h ( ): V h R, h H (P h ) u h V h : a h (u h, v h ) = L h (v h ) v h V h, h H. Definice 4.1 Posloupnost {a h (, )} h H aproximací bilineárních forem a h (, ): V h V h R se nazývá stejnoměrně V h -eliptická, jestliže existuje kladná konstanta α taková, že a h (u h, u h ) α u h 2 V, u h V h, h H. Za předpokladu stejnoměrné V h -elipticity mají variační rovnice (P h ) jediné řešení u h V h. Následující tvrzení, známé jako Strangovo první lemma, je jistým zobecněním Céova lemmatu. 61

61 Věta 4.1 (1. Strangovo lemma) Necht {a h (, )} h H je stejnoměrně V h -eliptická posloupnost bilineárních forem a necht u V resp. u h V h, h H jsou jediná řešení (P ) resp. (P h ). Pak existuje konstanta C > 0 nezávislá na h H taková, u u h V C [ inf v h V h [ ] a(v h, w h ) a h (v h, w h ) u v h V + sup + w h V h w h V + sup w h V h L(w h ) L h (w h ) w h V ] h H. Důkaz: Využitím stejnoměrné V h -elipticity máme pro v h V h α u h v h 2 V a h (u h v h, u h v h ) = = a(u v h, u h v h ) + ( a(v h, u h v h ) a h (v h, u h v h ) ) + + ( L h (u h v h ) L(u h v h ) ). Protože je bilineární forma a(u, v) omezená, tj. platí a(u, v) M u V v V, dostaneme z předchozí nerovnosti vydělením u h v h vztah α u h v h V M u v h V + a(v h, u h v h ) a h (v h, u h v h ) u h v h V + Užitím trojúhelníkové nerovnosti + L h(u h v h ) L(u h v h ) u h v h V M u v h V + a(v h, w h ) a h (v h, w h ) L h (w h ) L(w h ) + sup + sup. w h V h w h V w h V h w h V u u h V u v h V + u h v h V a předchozí nerovnosti dostaneme tvrzení věty. Strangovo první lemma ukazuje, že horní odhad globálně diskretizační chyby je složen ze dvou částí: chyby aproximace inf v h V h u v h V a chyb konzistence inf v h V h a(v h, w h ) a h (v h, w h ) sup, w h V h w h V L(w h ) L h (w h ) sup. w h V h w h V V následujícím odstavci se budeme zabývat vlivem numerické integrace při aproximaci konečnými prvky pro eliptickou okrajovou úlohu druhého řádu. Použijeme přitom právě Strangovo první lemma. 62

62 4.2 Numerická integrace Konstrukce kvadraturních formulí Uvažujme modelovou variační rovnici (P 0 ) a(u, v) = L(v) v V = H 1 0(Ω), kde Ω R d je daná polygonální oblast. Dále necht bilineární forma a(, ) : V V R a funkcionál L( ): V R jsou definovány předpisem a a(u, v) = Ω L(v) = d i,j=1 Ω a ij u x i fv dx. v x j dx, Přitom f L 2 (Ω) a a ij C 0 (Ω), 1 i, j d, jsou takové, že existuje α > 0 tak, že d a ij (x)ξ i ξ j i,j=1 α d ξi 2, x Ω. Budeme aproximovat rovnici (P 0 ) užitím konečného prostoru prvků V h generovaného triangulací T h a konečnými prvky (K, P K, Σ K ), K T h splňujícími předpoklady (A1), (A2) a (A3) z odstavce 3.3 a budeme předpokládat, že ˆP H 1 ( ˆK), odkud plyne konformita, tj. že platí V h V. Bilineární formu a funkcionál, které jsou dány integrály, budeme aproximovat prostřednictvím kvadraturních formulí na jednotlivých prvcích K T h dané triangulace. Vezmeme-li v úvahu afinní ekvivalenci konečných prvků vzhledem k referenčnímu trojúhelníku ˆK i=1 F K : ˆK K K T h ˆx F K (ˆx) = B K ˆx + b K, det(b K ) > 0, a užijeme-li substituci ϕ(x) dx = det(b K ) ˆϕ(ˆx) dˆx, ˆϕ = ϕ F K, K ˆK pak kvadraturní formule pro integraci na referenčním prvku ˆK indukuje vhodnou kvadraturní formuli pro odpovídající integrál na aktuálním prvku K = F K ( ˆK) z T h. Konkrétně, uvažujme referenční kvadraturní formuli Q ˆQ ˆK( ˆϕ) = ˆω q ˆϕ(Âq), q=1 kde ˆω q, 1 q Q, jsou váhy kvadraturní formule a Âq ˆK, 1 q Q, jsou uzly této formule na referenčním prvku. Přitom chybou této kvadraturní formule budeme rozumět rozdíl Ê ˆK( ˆϕ) = ˆϕ(ˆx) dˆx ˆQ ˆK( ˆϕ). ˆK 63

63 Lemma 4.1 Necht ˆQ ˆK je kvadraturní formule na referenčním prvku ˆK daná předpisem ˆQ ˆK( ˆϕ) = Q ˆω q ˆϕ(Âq). q=1 Pak pro afinně ekvivalentní prvek K = F K ( ˆK) dostaneme kvadraturní formuli tvaru Q K (ϕ) = Q ωq K ϕ(a K q ), q=1 kde ωq K = det(b K ) ˆω q, A K q = F K (Âq), 1 q Q. Navíc pro příslušnou chybu kvadraturní formule E K (ϕ) = ϕ(x) dx Q K (ϕ) K platí E K (ϕ) = det(b K )Ê ˆK( ˆϕ). Důkaz: K důkazu tvrzení stačí použít výše uvedenou substituci. Pomocí kvadraturní formule Q K můžeme definovat aproximaci a h (, ) : V h V h R bilineární formy a(, ) předpisem a h (u h, v h ) = K T h Q ωq K q=1 d i,j=1 ( a ij u h x i a aproximaci L h ( ): V h R lineárního funkcionálu L( ) vztahem L h (v h ) = K T h Q q=1 ω K q (fv h )(A K q ). ) v h (A K q ), x j Pak aproximace konečnými prvky modelové variační rovnice (P 0 ) obnáší výpočet u h V h pro h H jakožto řešení aproximované variační rovnice (P 0, h) a h (u h, v h ) = L h (v h ) v h V h. Poznamenejme, že tato rovnice má podle Lax-Milgramovy věty právě jedno řešení za předpokladu, že je bilineární forma (a h (, )) h H omezená a V h -eliptická. Nejprve stanovíme postačující podmínky pro stejnoměrnou V h -elipticitu třídy (a h (, )) h H aproximací bilineárních forem. 64

64 Věta 4.2 Necht ˆQ ˆK je kvadraturní formule na referenčním prvku ˆK, necht ˆω q, 1 q Q, jsou kladné váhy a necht existuje přirozené číslo m takové, že ˆP P m ( ˆK) (i) kvadraturní formule je přesná pro polynomy ˆp P 2m 2 ( ˆK) nebo (ii) sjednocení uzlů Q {Âq} obsahuje P m 1 ( ˆK)-unisolventní podmnožinu. q=1 Pak existuje kladná konstanta α, nezávislá na h H taková, že a h (v h, v h ) α v h 2 1,Ω v h V h, h H. Důkaz: Protože je v h K = p K P K, lze s ohledem na podmínku elipticity bilineární formy a(, ) psát Q q=1 ω K q Dále, protože máme d i,j=1 a tudíž podle věty 3.1 je ( a ij v h x i v h x j ) (A K q ) = Q α q=1 ω K q Q q=1 ω K q d i,j=1 ( a ij p K x i p K x j d ( ) pk ( ) 2 A K x q. i=1 i }{{} = Dp K (A K q ) 2 Dˆp ˆK(Âq)ξ = Dp(A K q )(B K ξ), 1 q Q, Dˆp ˆK(Âq) B K Dp(A K q ), 1 q Q, ) (A ) K q Q q=1 ω K q d ( ) pk ( ) 2 A K x q B K 2 i=1 i }{{} = Dp K (A K q ) 2 Q ωq K q=1 d i=1 Q = det(b K ) B K 2 ˆω q q=1 ( ˆp ˆK ˆx i (Âq )) 2 = d i=1 ( ˆp ˆK ˆx i (Âq )) 2. (i) Nejprve budeme předpokládat, že platí (i), tj. kvadraturní formule ˆQ ˆK je přesná pro všechny polynomy ˆp P 2m 2 ( ˆK). Protože d ( ) 2 ˆp ˆK P 2m 2( ˆK), i=1 ˆx i máme ˆp ˆK 2 1, ˆK = ˆK d ( ) 2 ˆp ˆK dˆx = i=1 ˆx i Q ˆω q q=1 d i=1 ( ) 2 ˆp ˆK (Âq). ˆx i 65

65 Dosadíme-li tento vztah do nerovnosti, kterou jsme odvodili na začátku důkazu, a jestliže použijeme znovu větu 3.1, dostaneme Q q=1 ω K q d i=1 ( ) pk ( ) 2 Q A K x q det(b K ) B K 2 i q=1 ˆω q d i=1 ( ˆp ˆK ˆx i (Âq )) 2 = = det(b K ) B K 2 ˆp ˆK 2 1, ˆK ( B K B 1 K ) 2 pk 2 1,K. Na základě předpokladu regularity T h, h H, je B K B 1 K ĥ ˆK h K C. ˆρ ˆK ρ K Užitím všech těchto odhadů pak dostáváme, že existuje kladná konstanta α, nezávislá na h H, taková, že Q q=1 ω K q d i,j=1 ( ) v h v h (A ) K a ij q α vh 2 1,K v h V h. x i x j Sečteme-li tyto nerovnosti přes všechna K T h dostáváme tvrzení věty. (ii) Nyní dokážeme tvrzení věty za předpokladu, že sjednocení unisolventní podmnožinu. V tomto případě stačí ukázat, že místo Q {Âq} obsahuje P m 1 ( ˆK)- q=1 Q ˆp ˆK 2 1, ˆK = ˆω q q=1 d i=1 ( ) 2 ˆp ˆK (Âq) ˆx i platí Q ˆω q q=1 d i=1 ( ˆp ˆK ˆx i (Âq )) 2 Ĉ ˆp ˆK 2 1, ˆK, kde Ĉ je kladná konstanta. Pak je další postup analogický jako v předchozím případě. Abychom dokázali platnost této nerovnosti, stačí ukázat, že ( Q ˆω q q=1 d i=1 ( ˆp ˆK (Âq )) ) 1/2 2 ˆx i představuje normu podílového prostoru ˆP /P 0 ( ˆK) a pak již stačí použít ekvivalenci norem v konečnědimenzionálních prostorech. Z toho důvodu předpokládejme, že Q ˆω q q=1 d i=1 ( ˆp ˆK ˆx i (Âq )) 2 = 0. Protože váhy ˆω q, 1 q Q, jsou kladné, je zřejmé, že ˆp ˆK ˆx i (Âq ) = 0, 1 i d, 1 q Q. 66

66 Ale pro každé i {1,..., d} je ˆp ˆK ˆx i P m 1 ( ˆK) ˆp ˆK ˆx i 0, což plyne z předpokladu (ii) o existenci P m 1 ( ˆK)-unisolventní množiny uzlů {Âq} Q q=1 kvadraturní formule. Tím je důkaz hotový. S využitím právě dokázané věty můžeme aplikovat Strangovo první lemma. Jestliže řešení u V úlohy (P 0 ) splňuje podmínku u V H k+1 (Ω), k přirozené číslo, pak pro chybu aproximace dostáváme odhad inf u v h 1,Ω u Π h u 1,Ω C h k u k+1,ω. v h V h Dále musíme zformulovat postačující podmínky k tomu, aby chyba konzistence nezhoršila řád konvergence, tj. chceme najít odhad chyby konzistence ve tvaru a(π h u, w h ) a h (Π h u, w h ) sup C(a ij, u) h k, w h V h w h V L(w h ) L h (w h ) sup C(L) h k, w h V h w h V kde C(a ij, u) a C(L) jsou kladné konstanty, nezávislé na h H. Následující pomocné tvrzení bude využito právě ke stanovení takovýchto odhadů chyby konzistence. Lemma 4.2 (Zobecněná Leibnitzova formule) Předpokládejme, že Ω R d je oblast s lipschitzovskou hranicí, že u H m (Ω) a v W m, (Ω) pro nějaké m 0 celé. Pak existuje kladná konstanta C(m, d) taková, že uv m,ω C(m, d) m u m j,ω v j,,ω. j=0 Důkaz: Důkaz je ponechán čtenáři jako cvičení. Věta 4.3 Necht ˆQ ˆK je kvadraturní formule na referenčním prvku ˆK s váhami ˆω q, 1 q Q, a necht existuje přirozené číslo k takové, že ˆP = P k ( ˆK), Ê ˆK( ˆϕ) = 0 ˆϕ P 2k 2 ( ˆK). Pak existuje kladná konstanta C, nezávislá na h H taková, že pro každé a W k, (Ω) a všechna p, q P k (K) platí ( E K a q ) p C h k K a k,,k p 1,K q k,k. x i x j 67

67 Důkaz: Protože q x i, Podle lemmatu 4.1 je kde p x j P k 1 (K), stačí tuto nerovnost dokázat pro E K (avw), a W k, (K), v, w P k 1 (K). E K (avw) = det(b K ) Ê ˆK(âˆvŵ), (+) â W k, ( ˆK), (i) Protože âˆv W k, ( ˆK), najdeme nejprve odhad pro Ê ˆK( ˆϕŵ), ˆv, ŵ P k 1 ( ˆK). ˆϕ W k, ( ˆK), ŵ P k 1 ( ˆK). Přímým odhadem a užitím ekvivalence norem na P k 1 ( ˆK) obdržíme Q Ê ˆK( ˆϕŵ) = ˆϕŵ dˆx ˆω q ( ˆϕŵ)(Âq) Odtud plyne ˆK q=1 Ĉ ˆϕŵ 0,, ˆK Ĉ ˆϕ 0,, ˆK ŵ 0,, ˆK Ĉ ˆϕ k,, ˆK ŵ 0, ˆK. Ê ˆK(ŵ) Ĉ ŵ 0, ˆK, což dokazuje spojitost funkcionálu Ê ˆK(ŵ): W k, ( ˆK) R daného předpisem (Ê ˆK(ŵ))( ˆϕ) = Ê ˆK( ˆϕŵ). Protože P k 1 ( ˆK) Ker(Ê ˆK(ŵ)) dostaneme použitím této nerovnosti v Bramble- Hilbertově lemmatu nerovnost Ê ˆK( ˆϕŵ) Ĉ ˆϕ k,, ˆK ŵ 0, ˆK. (ii) Uvažujme nyní případ ˆϕ = âˆv, kde â W k, ( ˆK) a ˆv P k 1 ( ˆK). Užitím zobecněné Leibnitzovy formule z předchozího lemmatu a položíme-li ˆv k,, ˆK = 0, dostaneme ( k 1 ) Ê ˆK(âˆvŵ) Ĉ â k j,, ˆK ˆv j, ˆK ŵ 0, ˆK. Dále z věty 3.1 plyne, že j=1 â k j,, ˆK Ĉhk j K a k j,,k, 0 j k 1, ˆv j, ˆK Ĉ det(b K) 1/2 h j K v j,k, 0 j k 1, ŵ 0, ˆK Ĉ det(b K) 1/2 w 0,K. Použitím těchto tří nerovností a s ohledem na vztah (+) konečně dostáváme ( k 1 ) E K (avw) C h k K a k j,,k v j,k w 0,K j=0 C h k K a k,,k v k 1,K w 0,K. 68

68 Věta 4.4 Necht ˆQ ˆK je kvadraturní formule na referenčnímu prvku ˆK R d s kladnými váhami ˆω q, 1 q Q, a necht existuje přirozené číslo k takové, že ˆP = P k ( ˆK), Ê ˆK( ˆϕ) = 0 ˆϕ P 2k 2 ( ˆK). Předpokládejme dále, že g W k,p (Ω), p K P k (K) a že je k > d p. Pak existuje konstanta C > 0, nezávislá na h H, taková, že pro každé K T h je E K (gp K ) C (meas(k)) p h k K g k,p,k p K 1,K. Důkaz: Podle lemmatu 4.1 je kde E K (gp) = det(b K ) Ê ˆK(ĝˆp), ĝ W k,p ( ˆK), ˆp P k ( ˆK). Označme nyní ˆP : L 2 ( ˆK) P k ( ˆK) ortogonální projekci L 2 ( ˆK) na P k ( ˆK). Následně rozdělíme Ê ˆK(ĝˆp) takto a odhadneme pak každý člen zvlášt. (i) Odhad prvního členu Ê ˆK(ĝˆp) = Ê ˆK(ĝ ˆP ˆp) + Ê ˆK(ĝ(ˆp ˆP ˆp)) ( ) Protože k > d p, je prostor W k,p ( ˆK) spojitě vnořen do C 0 ( ˆK). Tudíž, pro ˆψ W k,p ( ˆK) je Protože Ê ˆK( ˆψ) Ĉ ˆψ 0,, ˆK Ĉ ˆψ k,p, ˆK. Ê ˆK( ˆψ) = 0 dostáváme z Bramble-Hilbertova lemmatu Nyní pro ˆψ = ĝ ˆP ˆp je ˆψ P k 1 ( ˆK), Ê ˆK( ˆψ) Ĉ ˆψ k,p, ˆK. ˆP ˆp l,, ˆK = 0, l 2, a ze zobecněné Leibnitzovy formule pak plyne ĝ ˆP ( ˆp k,p, ˆK Ĉ ĝ k,p, ˆK ˆP ˆp 0,, ˆK + ĝ k 1,p, ˆK ˆP ) ˆp 1,, ˆK. Využitím ekvivalence norem v P 1 ( ˆK) dostáváme ĝ ˆP ( ˆp k,p, ˆK Ĉ ĝ k,p, ˆK ˆP ˆp 0, ˆK + ĝ k 1,p, ˆK ˆP ˆp 1, ˆK ). 69

69 Protože ˆP je ortogonální projekce, máme ˆP ˆp 0, ˆK ˆp 0, ˆK. Navíc, protože ˆP ˆp = ˆp, ˆp P 0 ( ˆK), plyne z Bramble-Hilbertova lemmatu tudíž Celkem tedy máme Ê ˆK(ĝ ˆP ˆp) (ii) Odhad druhého členu Protože ˆp ˆP ˆp 1, ˆK Ĉ ˆp 1, ˆK, ˆP ˆp 1, ˆK ˆp ˆP ˆp 1, ˆK + ˆp 1, ˆK (1 + Ĉ) ˆp 1, ˆK. Ĉ ( ) ĝ k,p, ˆK ˆp 0, ˆK + ĝ k 1,p, ˆK ˆp 1, ˆK. ( ) ˆp ˆP ˆp = 0 ˆp P 1 ( ˆK), můžeme předpokládat, že je k 2. Dále zvolíme r [1, ) dostatečně velké tak, že W k,p ( ˆK) W k 1,r ( ˆK), W k 1,r ( ˆK) C 0 ( ˆK). 1. případ: 1 p < d 1 V tomto případě můžeme zvolit r = 1 p 1 d tak, aby W 1,p ( ˆK) L r ( ˆK) a proto také W k,p ( ˆK) W k 1,r ( ˆK). Navíc máme k 1 d r = k d p > 0. Pak zřejmě W k 1,r ( ˆK) C 0 ( ˆK). 2. případ: d p V tomto případě je W 1,p ( ˆK) L r ( ˆK) pro každé r [1, ], je-li d < p, a pro každé r [1, ), je-li d = p. Je zřejmé, že totéž platí i pro W k,p ( ˆK) W k 1,r ( ˆK). Dále, jestliže zvolíme r dostatečně velké tak, aby pak W k 1,r ( ˆK) C 0 ( ˆK). Nyní v každém případě obdržíme k 1 d r > 0, Ê ˆK(ĝ(ˆp ˆP ˆp)) Ĉ ĝ(ˆp ˆP ˆp) 0,, ˆK Ĉ ĝ 0,, ˆK ˆp ˆP ˆp 0,, ˆK Ĉ ĝ k 1,r, ˆK ˆp ˆP ˆp 0,, ˆK. Pak lineární funkcionál Ê ˆK(ˆp): W k 1,r ( ˆK) R definovaný předpisem (Ê ˆK(ˆp))(ĝ) = Ê ˆK(ĝ(ˆp ˆP ˆp)) je spojitý a Ê ˆK(ˆp) 70 Ĉ ˆp ˆP ˆp 0,, ˆK.

70 Protože Ê ˆK(ĝ) = 0 je užitím Bramble-Hilbertova lemmatu ĝ P k 2 ( ˆK), Ê ˆK(ĝ(ˆp ˆP ˆp)) Ĉ ĝ k 1,r, ˆK ˆp ˆP ˆp 0, ˆK. ( ) Navíc ˆP ˆp = ˆp, ˆp P 0 ( ˆK) a proto ˆp ˆP ˆp 0, ˆK Ĉ ˆp 1, ˆK. ( ) Nyní je třeba odhadnout ĝ k 1,r, ˆK. Poznamenejme, že W 1,p ( ˆK) L r ( ˆK), tudíž a proto ˆf 0,r, ˆK Ĉ ĝ k 1,r, ˆK Ĉ ( ˆf 0,p, ˆK + ˆf ) 1,p, ˆK, ( ĝ k 1,p, ˆK + ĝ k,p, ˆK ). Užitím této nerovnosti a nerovnosti ( ) ve vztahu ( ) dostaneme Ê ˆK(ĝ(ˆp ˆP ( ) ˆp)) Ĉ ĝ k 1,p, ˆK + ĝ k,p, ˆK ˆp 1, ˆK. Nakonec kombinací tohoto výsledku, vztahů ( ), ( ) a věty 3.1 obdržíme ĝ k j,p, ˆK Ĉ (det(b K)) 1/p h k j K g k j,p,k, 0 j 1, a odtud již plyne tvrzení věty. ˆp j, ˆK Ĉ (det(b K)) 1/2 h j K p K j,k, 0 j 1, Nyní již máme odhady jak pro chybu aproximace, tak i pro chybu konzistence, a proto můžeme stanovit apriorní odhady i pro globální diskretizační chybu v H 1 (Ω) normě. K tomu účelu zformulujeme následující pomocné tvrzení. Lemma 4.3 Necht a i, b i, c i R, 1 i m, a necht r 1, r 2, r 3 jsou přirozená čísla taková, že 1 r r r 3 = 1. Pak platí m a i b i c i i=1 ( m ) 1/r1 ( m ) 1/r2 ( m 1/r3 a i r 1 b i r 2 c i 3) r. i=1 i=1 i=1 Důkaz: Důkaz je čtenáři ponechán jako cvičení. 71

71 Věta 4.5 Předpokládejme, že platí předpoklady (A1), (A2), (A3) a že navíc pro přirozené číslo k je ˆP = P k ( ˆK) a H k+1 C s ( ˆK), kde s 0 je nejvyšší řád parciální derivace, která se vyskytuje v definici stupňů volnosti množiny ˆΣ. Navíc necht ˆQ ˆK je kvadraturní formule na referenčnímu prvku ˆK R d s kladnými váhami ˆω q, 1 q Q taková, že Ê ˆK( ˆϕ) = 0 ˆϕ P 2k 2 ( ˆK). Dále necht existuje p 2 takové, že k > d p a a ij W k, (Ω), 1 i, j d, f W k,p (Ω). Dále necht u V = H 1 0(Ω) je řešení úlohy (P 0 ), u h V h, h H je řešení diskrétní úlohy (P 0, h) a předpokládejme, že u V H k+1 (Ω). Pak existuje konstanta C > 0, nezávislá na h H taková, že pro globální diskretizační chybu platí ) d u u h 1,Ω C h ( u k k+1,ω + a ij k,,ω u k+1,ω + f k,p,ω. i,j=1 Důkaz: Z předpokladů plyne, že třída (a h (, )) h H aproximací bilineárních forem a h (, ) : V h V h R, h H, je stejnoměrně eliptická. Můžeme tedy aplikovat první Strangovo lemma a stanovit tak odhady chyby aproximace a chyby konzistence. (i) Chyba aproximace Užitím předpokladů věty dostáváme ihned z důsledku 3.1 že u Π h u 1,Ω C h k u k+1,ω. (ii) Chyba konzistence, část I Užitím věty 4.3 a Cauchy-Schwarzovy nerovnosti dostaneme pro w h V h a(π h u, w h ) a h (Π h u, w h ) d Π K u w h E K (a ij ) x K T h i,j=1 i x j C ( d ) h k K a ij k,,k Π K u k,k w h 1,K K T h i,j=1 C h k ( d i,j=1 a ij k,,k ) ( K T h Π K u 2 k,k) 1/2 w h 1,Ω. 72

72 Aplikujeme-li znovu větu 3.3 dostaneme ( ) 1/2 u k,k + ( ) 1/2 K T h Π K u 2 k,k K T h u Π K u 2 k,k u k,k + C h u k+1,ω C u k+1,ω. Z posledních dvou odhadů dostáváme celkem a(π h u, w h ) a h (Π h u, w h ) sup w h V h w h 1,Ω (ii) Chyba konzistence, část II Užitím věty 4.4 pro w h V h dostaneme C h k d a ij k,,ω u k+1,ω. i,j=1 L(w h ) L h (w h ) K T h E K (fw h ) C K T h (meas(k)) p h k K f k,p,k w h 1,K. Aplikací nerovnosti z lemmatu 4.3 na poslední sumu v předchozí nerovnosti pro m = T h, 1 r 1 = p, r 2 = p, r 3 = 2, dostaneme L(w h ) L h (w h ) K T h E K (fw h ) Pak tedy L(w h ) L h (w h ) sup w h V h w h 1,Ω C h k (meas(ω)) p f k,p,ω w h 1,Ω. C h k (meas(ω)) p a tvrzení věty již plyne aplikací Strangova prvního lemmatu. f k,p,ω Speciální typy kvadraturních formulí Nejprve budeme uvažovat kvadraturní formule pro simpliciální triangulace. 73

73 Lemma 4.4 Necht ˆK je nedegenerovaný simplex s vrcholy Âi, 1 i 3, necht Âij, 1 i < j 3 jsou středy hran a Â123 těžiště. Pak platí (i) kvadraturní formule ˆK ˆϕ(ˆx) dˆx meas( ˆK) ˆϕ(Â123) je přesná pro polynomy ˆp P 1 ( ˆK), tj. Ê(ˆp) = 0 ˆp P 1 ( ˆK), (ii) kvadraturní formule ˆK ˆϕ(ˆx) dˆx 1 3 meas( ˆK) ˆϕ(Âij) 1 i<j 3 je přesná pro polynomy ˆp P 2 ( ˆK), tj. Ê(ˆp) = 0 ˆp P 2 ( ˆK), (iii) kvadraturní formule ˆϕ(ˆx) dˆx 1 60 ˆK meas( ˆK) ( 3 3 ˆϕ(Âi) + 8 ) ˆϕ(Âij) + 27 ˆϕ(Â123) i=1 1 i<j 3 je přesná pro polynomy ˆp P 3 ( ˆK), tj. Ê(ˆp) = 0 ˆp P 3 ( ˆK). Důkaz: Necht λ i (ˆx), 1 i 3, jsou barycentrické souřadnice bodu ˆx ˆK. Pak pro celá čísla α i 0, 1 i 3, platí ˆK 3 i=1 λ α i i (ˆx) dˆx = meas( ˆK) 3 d! α i! i=1. ( 3 α i + d)! i=1 Zbytek důkazu je čtenáři ponechán jako cvičení. Nyní budeme uvažovat kvadraturní formule pro obdélníkové prvky. 74

74 Lemma 4.5 Necht ˆK = [0, 1] 2 je jednotkový čtverec s vrcholy  1 = (0, 0),  2 = (1, 0),  3 = (1, 1),  4 = (0, 1) a necht Âs = (1/2, 1/2) je těžiště. Pak platí (i) kvadraturní formule ˆK ˆϕ(ˆx) dˆx ˆϕ(Âi) i=1 je přesná pro polynomy ˆp Q 1 ( ˆK), tj. Ê(ˆp) = 0 ˆp Q 1 ( ˆK), (ii) kvadraturní formule ˆK ˆϕ(ˆx) dˆx ˆϕ(Âs) je přesná pro polynomy ˆp Q 1 ( ˆK), tj. Ê(ˆp) = 0 ˆp Q 1 ( ˆK), (iii) necht k 0 je celé číslo a necht ˆB i (0, 1), 1 i k + 1 jsou uzly a ˆω i, 1 i k + 1, jsou váhy Gaussovy kvadraturní formule 1 0 ˆϕ(ˆx) dˆx k+1 i=1 ˆω i ˆϕ( ˆB i ), která je přesná pro polynomy ˆp P 2k+1 ( ˆK). Pak kvadraturní formule ˆϕ(ˆx) dˆx ˆω i1 ˆω i2 ˆϕ( ˆB i1, ˆB i2 ) i i,i 2 {1,...,k+1} ˆK je přesná pro polynomy ˆp Q 2k+1 ( ˆK), tj. Ê(ˆp) = 0 ˆp Q 2k+1 ( ˆK). Důkaz: Důkaz je čtenáři ponechán jako cvičení. 4.3 Strangovo druhé lemma V této kapitole odvodíme odhad abstraktní chyby, známý jako Strangovo druhé lemma. Toto lemma lze aplikovat na konečnědimenzionální aproximaci variační rovnice (P ) a(u, v) = L(v) v V. 75

75 Předpokládejme, že (V h ) h H je třída konečnědimenzionálních lineárních prostorů a že h, h T h, je norma na V h + V závislá na síti. Dále předpokládejme, že lineární funkcionál L je definován na V h + V. Budeme uvažovat třídu aproximací bilineárních forem a h (, ) : (V h + V ) (V h + V ) R. Předpokládejme dále, že třída (a h (, )) h H je stejnoměrně V h -eliptická v tom smyslu, že existuje kladná konstanta α, nezávislá na h H taková, že a h (v h, v h ) α v h 2 V h v h V h, h H. Dále předpokládejme, že třída (a h (, )) h H je stejnoměrně omezená na V h + V, tj. existuje kladná konstanta M, nezávislá na h H taková, že a h (u, v) M u h v h u, v V h + V, h H. Rovnici (P ) budeme aproximovat rovnicí (P h ) a h (u h, v h ) = L(v h ) v h V h, h H. Strangovo druhé lemma je pak jistým zobecněním Céova lemmatu. Věta 4.6 (2. Strangovo lemma) Necht (a h (, )) h H je třída stejnoměrně omezených a stejnoměrně V h -eliptických aproximací bilineárních forem. Necht u V resp. u h V h je jediné řešení variační rovnice (P ) resp. (P h ). Pak existuje kladná konstanta C nezávislá na h H taková, že u u h C ( inf u v h h + v h V h a h (u, w h ) L(w h ) sup w h V h w h h ). Důkaz: Využitím stejnoměrné V h elipticity a vztahu (P h ) lze pro libovolné v h V h psát α u h v h 2 h a h (u h v h, u h v h ) = = a h (u v h, u h v h ) + (L(u h v h ) a h (u, u h v h )). Dále vzhledem ke stejnoměrné omezenosti dostáváme α u h v h h a h (u h v h, u h v h ) M u v h h + L(u h v h ) a h (u, u h v h ) u h v h h M L(w h ) a h (u, w h ) u v h h + sup. w h V h w h h Užitím trojúhelníkové nerovnosti u u h h u v h h + u h v h h a předchozího vztahu dostáváme tvrzení věty. 76

76 Tak jako v případě prvního Strangova lemmatu i zde vidíme, že horní odhad pro globálně diskretizační chybu se skládá z chyby aproximace a chyby konzistence tedy lze každou chybu odhadnout zvlášt. inf v h V h u v h h L(w h ) a h (u, w h ) sup, w h V h w h h 4.4 Apriorní odhady chyb pro nekonformní konečné prvky - úvod Jako příklad nekonformní metody konečných prvků budeme uvažovat eliptickou okrajovou úlohu druhého řádu a regulární simpliciální triangulaci T h, h H výpočetní oblasti Ω R d. Budeme uvažovat prvky nejnižšího řádu, tzv. Crouzeix-Raviartovy prvky, které označíme CR 1 (K) = (K, P K, Σ K ), K T h, a které jsou známé také jako nekonformní P 1 -prvky, kde P K = P 1 (K), Σ K = {p(m i (K)), 1 i d + 1}, p P K, přičemž m i (K), 1 i d + 1, jsou středy hran (pro d = 2) resp. těžiště stěn (pro d = 3). Obrázek 23: Crouzeix-Raviartovy prvky Prostor konečných prvků složený z Crouzeix-Raviartových prvků CR 1 (K), K T h, budeme značit CR 1 (Ω, T h ) a je definován předpisem CR 1 (Ω, T h ) = {v h L 2 (Ω): v h K P 1 (K), K T h, v h je spojitá v m(t ), T S h (Ω)}, kde m(t ), T S h (Ω) jsou středy stran resp. těžiště stěn S h (Ω). Je zřejmé, že obecně Definujme podprostor CR 1,0 (Ω, T h ) předpisem CR 1 (Ω, T h ) H 1 (Ω). CR 1,0 (Ω, T h ) = {v h CR 1 (Ω, T h ): v h (m(t )) = 0, T S h (Ω)}. 77

77 Dále budeme uvažovat Poissonovu rovnici s Dirichletovou okrajovou podmínkou (P 0 ) a(u, v) = L(v) v V = H 1 0(Ω), kde a(u, v) = u v dx, L(v) = fv dx, u, v H 1 0(Ω), Úlohu (P 0 ) budeme nyní aproximovat takto: Ω Ω a h (u h, v h ) = L(v h ) v h CR 1,0 (Ω, T h ), h H, kde bilineární forma a h (, ): H0(Ω) 1 CR 1,0 (Ω, T h ) H0(Ω) 1 CR 1,0 (Ω, T h ) R závislá na síti je definovaná předpisem a h (u, v) = u v dx, u, v H0(Ω) 1 CR 1,0 (Ω, T h ). K T h (Ω) K Definujme dále odpovídající normu v h = a h (v, v), v CR 1,0 (Ω, T h ) H 1 0(Ω). Následně aplikací Strangova druhého lemmatu najdeme tzv. kvazioptimální apriorní odhad chyby v normě. Důkaz lze nalézt v doporučené literatuře. Věta 4.7 Necht u H 1 0(Ω) H s (Ω), s = 2 pro R 2, resp. s = 3 pro R 3, je řešení úlohy (P 0 ) a necht u h CR 1,0 (Ω, T h ), h H, je nekonformní P 1 - aproximace. Pak existuje kladná konstanta C závislá pouze na regularitě triangulace T h, h H, taková, že u u h h C h u s,ω. Úkoly k procvičení Cvičení 4.1 Udělejte analýzu nejjednoduššího nekonformního prvku, jímž je v R 1 prvek (K, P K, Σ K ) zadaný pomocí úsečky K = [x i 1, x i ] s konstantními polynomy P K = P 0 (K) { ( xi x ) } i 1 a stupni volnosti Σ K = p. 2 78

78 5 Příklady použití metody konečných prvků V tomto odstavci si předvedeme řešení několika velmi jednoduchých příkladů pomocí metody konečných prvků. Čtenář by tím měl získat konkrétnější představu o tom, jak se metoda používá a jak vlastně funguje. Budeme se zde držet převážně značení a do jisté míry i názvosloví zavedeného v literatuře zaměřené na výpočetní aspekty MKP. Matice a vektory budou pro názornost vysázeny tučně. Příkladů, jak je dobře známo, není nikdy dost, další však lze získat z doporučené literatury nebo z internetu. 5.1 Eliptické úlohy 2. řádu v 1D Příklad 5.1 Mějme dánu následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu: (a(x)u (x)) + b(x)u(x) = f(x) v (0, 1), u(0) = 0, u (1) = 0, kde koeficienty jsou funkce a(x) a 0 > 0, b(x) 0. Nejprve provedeme přechod k variační resp. slabé formulaci úlohy. Prostor testovacích funkcí zřejmě bude V = {v H 1 ((0, 1)): v(0) = 0}. Danou rovnici skalárně vynásobíme testovací funkcí v, tj. obě strany vynásobíme a zintegrujeme od 0 do 1: 1 1 (au ) v dx + buv dx = 1 fv dx, v V První integrál upravíme pomocí Greenovy formule v 1D, tj. pomocí integrace per partes, s využitím okrajových podmínek takto: 1 1 au v dx + buv dx = 1 fv dx, v V, a zavedeme označení a(u, v) = 1 1 au v dx + buv dx, L(v) = 1 fv dx, u, v V Tím dostáváme slabou formulaci zadané úlohy ve tvaru známém z kapitoly 1: { nalézt u V tak, že a(u, v) = L(v) v V. 79

79 Protože forma a(.,.) je symetrická, můžeme navíc definovat kvadratický funkcionál vztahem J(v) = 1 a(v, v) L(v), v V, 2 a zformulovat i příslušnou variační úlohu (ekvivalentní s předchozí) { nalézt u V tak, že J(u) = min J(v). v V Nyní přistoupíme k diskretizaci. Formálně můžeme zapsat odpovídající diskrétní úlohu takto: { nalézt uh V h tak, že a(u h, v h ) = L(v h ) v h V h, přičemž V h V, dim V h < +. Aplikace postupu MKP vyžaduje určení prostoru konečných prvků X h takto: 1. Provedeme rozdělení intervalu [0, 1] a definujeme triangulaci a diskretizační parametr 0 = x 0 < x 1 < x 2 <... < x N = 1 T h = {K 1, K 2,..., K N }, K i = [x i 1, x i ], h = max h i, h i = x i x i 1. i=1,...,n V h. To zajistíme Obrázek 24: Výpočetní sít 2. Funkce v h X h budou splňovat následující požadavky: v h budou spojité na [0, 1], v h budou lineární na jednotlivých intervalech dělení. Takový prostor X h lze vygenerovat pomocí globálních bázových funkcí definovaných na intervalu [0, 1] a tvaru 0 když x x i 1, x x i 1 když x i 1 x x i, x ϕ i (x) = i x i 1 x i+1 x když x i x x i+1, x i+1 x i 0 když x x i+1. Každému bodu dělení x i, i = 0,..., N, je přiřazená právě jedna taková bázová funkce ϕ i. Prostor V h pak vytvoříme takto X h = {v h C 0 ([0, 1]): v h Ki P 1 i = 1,..., N} V h = {v h X h : v h (0) = 0}. 80

80 Obrázek 25: Globální bázové funkce Jednotlivé konečné prvky (K i, P Ki, Σ Ki ) jsou dány jakožto: úsečky K i = [x i 1, x i ] s lineárními polynomy P Ki = P 1 (K i ) a stupni volnosti Σ Ki = {p(x i 1 ), p(x i )}. Protože pro bázové funkce platí vztah ϕ i (x j ) = δ ij, i, j = 0,..., N, plyne odsud, že diskrétní konečně-prvkové řešení lze vyjádřit ve tvaru u h (x) = N u i ϕ i (x), u i = u h (x i ). i=1 Tento výraz dosadíme do rovnice diskrétní úlohy a za testovací funkce volíme postupně jednotlivé bázové funkce. Po snadných úpravách obdržíme úlohu nalézt u 1,... u N tak, že N u i a(ϕ i, ϕ j ) = L(ϕ j ), j = 1,..., N, i=1 tj. soustavu N lineárních rovnic o N neznámých. Čtenář si jistě povšiml, že ve formulaci úlohy nevystupuje neznámá u 0. Ta je však ve skutečnosti známá na základě předepsané podmínky v prostoru V h. Protože každé neznámé u i přísluší bázová funkce ϕ i, vynecháváme zde jak bázovou funkci ϕ 0 tak i rovnici pro veličinu u 0 (měla by index j = 0). Nyní přistoupíme k vyčíslení koeficientů a pravé strany uvažované soustavy rovnic. Označme k ij prvky matice soustavy lineárních rovnic a f i prvky vektoru pravých stran. Nejprve si všimneme skutečnosti, že supp{ϕ i } = K i K i+1 81 (K 0, K N+1 = ).

81 Obrázek 26: Průnik nosičů bázových funkcí Nosiče bázových funkcí jsou tedy poměrně malé a jsou tím menší, čím hustěji rozdělíme interval [0, 1]. Dále odtud plyne, že k ij = a(ϕ i, ϕ j ) = 0 i j 2 Takže matice soustavy obsahuje jen málo nenulových prvků a naopak obsahuje velký počet nul. O takové matici říkáme, že je řídká (anglicky sparse). Při výpočtu integrálů použijeme jednoduchou kvadraturní formuli Pak obdržíme k j,j 1 = x i+1 x i a j 1/2 x i+1 ( ) xi + x i+1 buv dx b i+1/2 uv dx, b i+1/2 = b. 2 x i x j x j 1 + b j 1/2, j = 1,..., N, x j x j 1 6 k jj = a j 1/2 + a j+1/2 x j+1 x j + b j+1/2 x j x j 1 x j+1 x j 3 k j,j+1 = a j+1/2 x j+1 x j + b j+1/2, j = 1,..., N 1, x j+1 x j 6 k jj = a j 1/2 x j x j 1 + b j 1/2, j = N. x j x j 1 3 x j x j 1 + b j 1/2, j = 1,..., N 1, 3 Jednodušší vztahy dostaneme pro ekvidistantní sít, kdy máme x i x i 1 h, a pro konstantní koeficienty a(x) a, b(x) b: u 0 = 0, ( a h + b ) ( 2a u h + 2b ) ( u a 3 h + b ) u 2 2 = f 1, 6 (. a h + b ) ( 2a u 2 i h + 2b ) ( u 2 i + a 3 h + b ) u 2 i+1 = f i, 6 (. a h + b ) ( 2a u 2 N h + 2b ) ( u 2 N 1 + a 3 h + b ) u 2 N = f N 1, 6 ( a h + b ) ( a u 2 N h + b ) u 2 N = f N. 3 82

82 Zde jsme na pravé straně položili f i = 1 h 1 fϕ i dx, i = 1,..., N. 0 Je zřejmé, že matice soustavy je třídiagonální, a lze se přesvědčit, že je pozitivně definitní. Je dobré si uvědomit, že stabilní resp. Dirichletova podmínka je splněna přesně, a to volbou prostoru V h. Nestabilní resp. Neumannova podmínka se plní variačně a v diskrétní formulaci proto jen přibližně. Např. pro zadání a = 1, b = 0, f 1 lze ukázat, že dostáváme u i = x i 1 2 x2 i, což znamená, že v uzlových bodech x i vypočítáme přesné řešení. Tento jev, který je ve vyšších dimenzích vzácný, se nazývá superkonvergence. Nicméně pro okrajovou podmínku v bodě x = 1 vychází pouze u h(1) = h 2 lim h 0+ u h(1) = 0. To je v jistém smyslu nejlepší výsledek, který můžeme v případě nestabilních podmínek dostat. V tomto příkladu jsme si předvedli matematicky přímočarý postup řešení dané úlohy, který je založený na použití globálních bázových funkcí. Následující příklad by měl čtenáři ukázat jiný, v praxi daleko častější postup, který využívá lokální bázové funkce. Příklad 5.2 Opět budeme řešit okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu, která má nyní tvar u (x) = 1 v (0, 5), u (0) + u(0) = 1, u(5) = 2. Nejprve odvodíme variační/slabou formulaci. Definujme prostor testovacích funkcí V = {v H 1 ((0, 5)): v(5) = 0} a danou rovnici skalárně vynásobme libovolnou funkcí v V. Po použití integrace per partes obdržíme 5 0 u v dx = Aplikujeme obě okrajové podmínky a dostaneme 5 0 v dx + u (5)v(5) u (0)v(0), v V. 5 u v dx = 5 v dx (1 u(0))v(0), v V

83 Označíme si a(u, v) = 5 0 u v dx u(0)v(0), L(v) = 5 0 v dx v(0), u, v V. Protože však máme v úloze nehomogenní Dirichletovu podmínku, musíme její řešení složit z řešení homogenní úlohy a partikulárního řešení. Necht tedy u H 1 ((0, 5)) je funkce taková, že u(5) = 2. Pak můžeme zapsat slabou formulaci zadané úlohy ve tvaru: { nalézt u: u u V tak, že a(u, v) = L(v) v V. Protože forma a(.,.) je symetrická, je možné zformulovat i příslušnou variační úlohu: { nalézt u: u u V tak, že kde funkcionál J definujeme vztahem J(u) = min v V J(v), J(v) = 1 a(v + u, v + u) L(v), v V. 2 Nyní přistoupíme k diskretizaci. Formálně můžeme zapsat odpovídající diskrétní úlohu takto: { nalézt uh : u h u V h tak, že a(u h, v h ) = L(v h ) v h V h, přičemž V h V, dim V h < +. Aplikace postupu MKP vyžaduje určení prostoru konečných prvků X h V h. To uděláme stejně, jako v předcházejícím příkladu: Provedeme rozdělení intervalu [0, 5] a definujeme triangulaci a diskretizační parametr 0 = x 0 < x 1 < x 2 <... < x N = 5 T h = {K 1, K 2,..., K N }, K i = [x i 1, x i ], h = max h i, h i = x i x i 1. i=1,...,n Funkce v h X h budou splňovat následující požadavky: 1. v h budou spojité na [0, 5], 2. v h budou lineární na jednotlivých intervalech dělení. 84

84 Obrázek 27: Průběh funkce z prostoru V h Prostory X h a V h pak vytvoříme takto X h = {v h C 0 ([0, 1]): v h Ki P 1 i = 1,..., N} V h = {v h X h : v h (5) = 0}. Globální bázové funkce ϕ i budou stejné, jako jsme měli v předcházejícím příkladu. Diskrétní resp. přibližné řešení N u h (x) = u i ϕ i (x) pak získáme řešením soustavy rovnic i=0 kde N k ij u j = f i, i = 0,..., N. j=0 5 k ij = a(ϕ i, ϕ j ) = (ϕ i ) (ϕ j ) dx ϕ i (0)ϕ j (0), f j = L(ϕ j ) = ϕ j dx ϕ j (0). Protože máme stejný systém funkcí {ϕ i } jako v předcházejícím příkladu, bude mít soustava stejnou strukturu: a(ϕ 0, ϕ 0 ) a(ϕ 0, ϕ 1 ) u 0 L(ϕ 0 ) a(ϕ 1, ϕ 0 ) a(ϕ 1, ϕ 1 ) a(ϕ 1, ϕ 2 ) 0... u 1 L(ϕ 1 ) 0 a(ϕ 2, ϕ 1 ) a(ϕ 2, ϕ 2 ) a(ϕ 2, ϕ 3 )... u 2 = L(ϕ 2 ) a(ϕ N, ϕ N 1 ) a(ϕ N, ϕ N ) L(ϕ N ) Poznamenejme, že zatím se úmyslně nezabýváme nehomogenní podmínkou u h (5) = 2. K její realizaci se dostaneme později. Vrátíme-li se zpět k funkcím {ϕ i }, za pozornost zde stojí to, že platí ϕ i (x) Ki ϕ i (x) Ki+1 = p (i) 2 (x), = p (i+1) 1 (x), 85 u N

85 přičemž p (j) k (x) značí k-tou, k = 1, 2, lokální bázovou (neboli tvarovou) funkci definovanou na prvku K j. Na globální bázové funkce se tudíž lze dívat jako na spojení lokálních bázových funkcí na sousedních prvcích. Obrázek 28: Vztah globálních a lokálních bázových funkcí Tím je dán základ pro nový způsob výpočtu koeficientů matice tuhosti. Snadným výpočtem nebo přepisem ze zápisu funkce ϕ i (x) dostaneme tvar lokálních bázových funkcí na prvku K i : p (i) 1 (x) = x i x x i x i 1 = x i x h i, p (i) 2 (x) = x x i 1 x i x i 1 = x x i 1 h i. Obrázek 29: Lokální bázové funkce a průběh funkce na prvku Označíme a K (.,.) restrikci formy a(.,.) na interval K. Zřejmě lze pak psát a(ϕ i, ϕ i ) = a Ki (p (i) 2, p (i) 2 ) + a Ki+1 (p (i+1) 1, p (i+1) 1 ), jelikož příspěvky z ostatních prvků jsou rovny nule. Analogicky máme a(ϕ i, ϕ i 1 ) = a Ki (p (i) 2, p (i) 1 ), a(ϕ i, ϕ i+1 ) = a Ki+1 (p (i+1) 1, p (i+1) 2 ), a(ϕ i 1, ϕ i ) = a Ki (p (i) 1, p (i) 2 ), a(ϕ i+1, ϕ i ) = a Ki+1 (p (i+1) 2, p (i+1) 1 ). Odtud je patrné, že vyčíslování lze provádět po prvcích a jednotlivé příspěvky pak vhodně umístit do matice tuhosti. V podstatě chceme pro každý prvek K i vypočítat čtveřici čísel, které sestavíme do tzv. elementární matice tuhosti (anglicky element stiffness matrix): K (e) i = ( a Ki (p (i) 1, p (i) 1 ) a Ki (p (i) 1, p (i) a Ki (p (i) 2, p (i) 1 ) a Ki (p (i) 2, p (i) 86 2 ) 2 ) ).

86 Obrázek 30: Výpočet po prvcích Z vyjádření funkcí p (i) 1, p (i) 2 pak pro prvky této matice dostáváme (i = 2,..., N) k (i) rs = a Ki (p (i) r, p (i) s ) = x i (p (i) r x i 1 ) (p (i) s ) dx = ( 1) r+s 1 h i, r, s = 1, 2. Tedy a K (e) i = 1 ( ) 1 1, i = 2,..., N, h i 1 1 K (e) 1 = 1 ( ) 1 1 h ( ) Podobně vypočítáme elementární vektor zatížení (anglicky element load vector) ( ) f (e) L i = Ki (p (i) 1 ) L Ki (p (i). Pro i = 2,..., N dostaneme 2 ) f (i) r = L Ki (p (i) r ) = x i x i 1 p (i) r dx = h i, r = 1, 2. 2 Tedy a f (e) i = h i 2 f (e) 1 = h 1 2 ( ) 1, i = 2,..., N, 1 ( ) 1 1 ( ) 1. 0 Je zřejmé, že postup založený na výpočtech na úrovni konečných prvků je mimořádně výhodný u ekvidistantních sítí, protože pak stačí vypočítat jen jednu elementární matici a vektor. Nyní zbývá vytvořit algoritmus, který správným způsobem sestaví celkovou matici tuhosti a celkový vektor zatížení z elementárních matic a vektorů. Za tím účelem zavedeme globální a lokální číslování. Globální číslování je shodné s číslováním globálních bázových funkcí. Lokální číslování je pro lokální bázové funkce na jednotlivých prvcích. Označme σ i (j) číslo globální bázové funkce odpovídající j-té lokální bázové funkci na i- tém prvku. 87

87 V našem případě máme tato čísla definována tabulkou: i N j = N-1 j = N. Algoritmy pro sestavování celkové matice tuhosti a vektoru zatížení lze pak zapsat takto: Matice K vynulujeme pole K pro každý prvek m = 1,..., N 1. vypočítáme elementární matici K (e) m = (k (m) ij ) 2 i,j=1 2. pro každou lokální bázovou funkci i = 1, 2 pro každou lokální bázovou funkci j = 1, 2 položíme k σm(i),σm(j) = k σm(i),σm(j) + k (m) ij Vektor f vynulujeme pole f pro každý prvek m = 1,..., N 1. vypočítáme elementární vektor f (e) m = (f (m) i ) 2 i=1 2. pro každou lokální bázovou funkci i = 1, 2 položíme f σm(i) = f σm(i) + f (m) i V dalším provedeme konkrétní výpočet s pěti konečnými prvky, takže bude N = 5 a h i h = 1. Pomocí postupu uvedeného výše získáme soustavu Ku = f ve tvaru u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 = 1/ Ještě však musíme zajistit splnění stabilní okrajové podmínky u(5) = 2. Definujme funkci u H 1 ((0, 5)) takto u(x) = 2ϕ 5 (x). Nyní je nutné modifikovat pravou stranu tak, abychom zajistili splnění podmínky, tj. Provedeme proto následující kroky L(v h ) = L(v h ) a(u, v h ). 1. odečteme poslední sloupec matice K vynásobený hodnotou podmínky, tj. 2, od stávající pravé strany 88.

88 2. vynulujeme poslední řádek a poslední sloupec v matici K, 3. poslední, tj. N-tý prvek na hlavní diagonále položíme rovný 1, 4. poslední, tj. N-tý prvek vektoru pravé strany f položíme rovný hodnotě podmínky, tj. 2. Proces implementace nehomogenní podmínky vypadá tedy takto: u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 = Vyřešením takto vzniklé soustavy je pak vektor [ 1/ ] T 8, 1 2, 19 8, 13 4, 25 8, = 1/ Obrázek 31: Výsledky Příkladu 5.2 Porovnání přibližného řešení u h (x) s přesným řešením u(x) ukazuje obrázek. Postup sestavování výsledné matice soustavy, který byl použit v Příkladu 5.1, se obvykle nazývá sestavování uzel po uzlu (anglicky node by node). Generujeme zde celé řádky matice tuhosti. Postup ukázaný v Příkladu 5.2 se nazývá sestavování prvek po prvku (anglicky element by element). Výsledná matice se vytváří postupně z jednotlivých elementárních matic. 89

89 5.2 Výpočet ohybu nosníku Rovnici nosníku délky L (EI(x) u (x)) = f(x), x (0, L), kde E značí modul pružnosti, I moment setrvačnosti průřezu, u velikost průhybu nosníku a f (spojité) zatížení, musíme nahradit formulací vhodnou pro použití metody konečných prvků. Tou je variační rovnice L 0 EI(x)u (x)v (x) dx = L 0 f(x)v(x) dx v V, kde V je tzv. prostor kinematicky přípustných posunutí a jeho tvar závisí na zadaných okrajových podmínkách. Např. pro nosník, který je vlevo vetknutý a má pravý konec volný, je V = {v H 2 ((0, L)): v(0) = v (0) = 0}. Obrázek 32: Vlevo vetknutý nosník s pravým volným koncem Hodnota E bývá obvykle konstantní, I je obecně funkce proměnné x, v praxi je to však zpravidla konstantní nebo (jde-li o stupňovitý nosník) po částech konstantní funkce. Více se může čtenář dozvědět např. v [Čermák 2010], [Machalová 2014] nebo [Reddy 2006]. Je dobře známo, že uvedená rovnice vyjadřuje minimum potenciální energie nosníku, která je dána funkcionálem Π(v) = 1 2 L Ze zadání úlohy je zřejmé, že platí Označíme-li si 0 EI(x)(v (x)) 2 dx EI(x) C 0 > 0 a(u, v) = L(v) = L 0 L 0 L 0 f(x)v(x) dx, v V. x (0, L). EI u v dx, u, v V, fv dx, v V, vidíme, že se snadno ukáže spojitost obou forem. Dále můžeme s ohledem na Friedrichsovu nerovnost v R 1 (použijeme ji dvakrát) psát a(v, v) = L 0 EI (v ) 2 dx L 0 C 0 (v ) 2 dx L L C 1 ((v ) 2 + (v ) 2 ) dx C 2 ((v ) 2 + (v ) 2 + v 2 ) dx = C 2 v 2 2,Ω,

90 a to za přirozeného předpokladu, že prostor V obsahuje aspoň jednu stabilní okrajovou podmínku. Tím jsme ukázali V -elipticitu bilineární formy a(, ), takže máme zaručenu z Lax- Milgramovy věty existenci a jednoznačnost řešení. Vzhledem k symetrii bilineární formy můžeme totéž konstatovat i o variační úloze, jelikož z V -elipticity plyne konvexita i koercivita funkcionálu Π (viz [Machalová 2014]). Diskrétní formulace této úlohy má pak obecně tvar L 0 EI(x)u h (x)v h (x) dx = L 0 f(x)v h (x) dx v h V h, kde V h je nějaký vhodný konečnědimenzionální podprostor prostoru V. V našem případě bude X h = {v h C 1 ((0, L)): v h Ki P 3 (K i ) K i T h }, V h = {v h X h : v h splňují stabilní okrajové podmínky}. přičemž T h označuje dělení intervalu (0, L) na podintervaly K i = [x i 1, x i ] stejně jako v předcházejícím odstavci 5.1. Důležité jsou zde dva momenty. Funkce z prostorů X h a V h jsou funkce třídy C 1 ((0, L)), nikoliv pouze spojité funkce, jak je tomu u rovnic 2. řádu. Podle vět o vnoření máme totiž v prostoru H 2 ((0, L)) obsaženy spojitě derivovatelné funkce. Z toho důvodu musíme použít hermiteovský prvek s hermiteovskými bázovými funkcemi. Na síti T h nadefinujeme pro i = 0,..., N dva systémy bázových funkcí: 0 pro x < x i 1, 2(x x i 1) 2 (x x i h i /2) pro x [x h ϕ 2i (x) = 3 i 1, x i ] = K i, i 2(x x i+1 ) 2 (x x i + h i+1 /2) pro x [x h 3 i, x i+1 ] = K i+1, i+1 0 pro x > x i+1, a s vlastnostmi ϕ 2i+1 (x) = 0 pro x < x i 1, (x x i 1 ) 2 (x x i ) pro x [x i 1, x i ] = K i, h 2 i (x x i+1 ) 2 (x x i ) pro x [x h 2 i, x i+1 ] = K i+1, i+1 0 pro x > x i+1, ϕ 2i (x j ) = δ ij, (ϕ 2i ) (x j ) = 0, ϕ 2i+1 (x j ) = 0, (ϕ 2i+1 ) (x j ) = δ ij, kde δ ij je Kroneckerovo delta. Funkce takových vlastností potřebujeme pro lokální hermiteovskou interpolaci, která bude zadána pomocí krajních bodů daného intervalu, funkčních hodnot a 91

91 hodnot jejich derivací v těchto bodech. Tím vytvoříme konečné prvky pro naši úlohu. Lineární kombinace uvedených bázových funkcí bude funkce třídy C 1, což značí, že derivace mezi prvky spojitě přecházejí, a po částech kubická, viz zápis prostoru X h. Např. pro nosník na levém konci vetknutý a na pravém volný bude V h = {v h C 1 ((0, L)): v h Ki P 3 (K i ) K i T h, v h (0) = v h (0) = 0} a pro obecné vyjádření diskrétního řešení budeme mít výraz u h (x) = 2N+1 i=0 c i ϕ i (x), přičemž uzly dělení T h jsme očíslovali od 0 do N, tj. x 0 = 0, x N vlastnosti bázových funkcí pak můžeme dokonce psát = L. A s ohledem na δ ij u h (x) = N (u h (x i )ϕ 2i (x) + u h (x i )ϕ 2i+1 (x)). i=0 Poté, co do diskrétní formulace postupně dosadíme za v h všechny bázové funkce, dostaneme po vyčíslení integrálů lineární soustavu rovnic přímo pro neznámé hodnoty u h (x i ) a u h (x i ), podrobněji např. viz [Křížek 1990]. Takto však obvykle nepostupujeme a namísto sestavování zmíněné soustavy po jednotlivých rovnicích postupujeme po prvcích, jak jsme si již předvedli v odstavci 5.1. Je tedy přirozené sestavovat výslednou matici z dílčích elementárních matic. Ty dostaneme tak, že přejdeme od intervalu (x i 1, x i ) v globálních souřadnicích a od globálních bázových funkcí ϕ i (x), např. k referenčnímu intervalu ( 1, +1) v lokálních souřadnicích a lokálním bázovým funkcím, kterým se také říká tvarové funkce. K tomu potřebujeme transformaci do lokálních souřadnic ˆx [ 1, 1] x = h i 2 (ˆx + 1), ˆx = 2 h i x 1, kde h i je délka uvažovaného intervalu. Potom můžeme čtyři tvarové funkce příslušející danému prvku při použití tradičního značení tvarových funkcí zapsat jako N 1 (ˆx) = 1 4 (1 ˆx)2 (2 + ˆx), N 2 (ˆx) = 1 8 h i(1 ˆx) 2 (1 + ˆx), N 3 (ˆx) = 1 4 (1 + ˆx)2 (2 ˆx), N 4 (ˆx) = 1 8 h i(1 + ˆx) 2 (1 ˆx). Obecný člen elementární matice prvku délky h k pak získáme takto Obrázek 33: Tvarové funkce k (e) ij = EI hk 0 d 2 N (e) i dx 2 d 2 N (e) j dx 2 dx = 8EI h 3 k +1 1 d 2 N i dˆx 2 d 2 N j dˆx, i, j = 1, 2, 3, 4. dˆx 2 92

92 Uvažujeme-li ekvidistantní dělení s konstantním krokem h, je výsledný tvar elementární matice po provedených integracích 12 6h 12 6h K (e) = EI 6h 4h 2 6h 2h 2 h h 12 6h. 6h 2h 2 6h 4h 2 Takové matice pak skládáme přes sebe až do konečného sestavení matice K celé soustavy, ( ) 4 ( ) 4 takže např. pro matice K (e) (i) = k (i) lm a K (e) (i+1) = k (i+1) lm dvou sousedních prvků l,m=1 l,m=1 se vytvoří kompletní řádky 2i + 1 a 2i + 2 ve výsledné matici K takto ( ) (i) k 31 k (i) 32 k (i) 33 + k (i+1) 11 k (i) 34 + k (i+1) 12 k (i+1) 13 k (i+1) k (i) 41 k (i) 42 k (i) 43 + k (i+1) 21 k (i) 44 + k (i+1) 22 k (i+1) 23 k (i+1) Podobně postupuje i generování pravé strany, kdy vytváříme výsledný vektor z příspěvků f (e). Ty např. pro rovnoměrné zatížení o velikosti q vypočítáme podle vztahů f (e) i = 1 2 qh +1 1 N (e) i (ˆx) dˆx, i = 1, 2, 3, 4, a v důsledku toho obdržíme f (e) = qh 12 h h Podobně získáme zobecnění tohoto vztahu pro případ, kdy je zatížení lineární s hodnotami q 1 a q 2 v koncových bodech prvku: 7q q 2 ( 20 q1 f (e) = h 20 + q ) 2 h 30 3q q 2. ( 20 q q ) 2 h 20 V konečném důsledku tento postup nakonec vede k sestavení lineární soustavy rovnic, pro niž obvyklý symbolický zápis je Ku = f, kde K se nazývá matice tuhosti nosníku a f vektor (zobecněných) zatížení. Poznamenejme, že takto vzniklá soustava je sedmidiagonální a pozitivně definitní a že vektor neznámých u má strukturu u = [ u 0, θ 0, u 1, θ 1,..., u N, θ N ] T, 93

93 kde značíme u i = u h (x i ), θ i = u h (x i ), i = 0,..., N. Implementaci stabilních podmínek provádíme analogicky jako výše. Řešením ve smyslu metody konečných prvků pak bude funkce u h (x) coby lineární kombinace s koeficienty, které jsme získali vyřešením uvedené soustavy rovnic, a těch bázových funkcí, které odpovídají stupňům volnosti úlohy. Na prvku K i bude průběh této funkce dán vztahem u h (x) = N 1 (x)u i + N 2 (x)θ i + N 3 (x)u i+1 + N 4 (x)θ i+1, x K i+1. Podrobné odvození celého postupu lze nalézt např. v [Reddy 2006]. Příklad 5.3 Uvažujme nosník konstantního průřezu vlevo vetknutý, vpravo prostě podepřený a uprostřed zatížený osamělou silou P kolmo dolů. EI u = f u(0) = u (0) = 0, u(l) = u (L) = 0, v (0, L), Obrázek 34: Příklad 5.3 Předvedeme si jednoduché řešení pomocí dvou prvků. Máme tedy 0 = x 0 < x 1 = L/2 < x 2 = L, h = L 2, K 1 = [x 0, x 1 ], K 2 = [x 1, x 2 ] a prostor přibližných řešení je V h = {v h C 1 ((0, L)): v h Ki P 3 (K i ) i = 1, 2, v h (0) = v h (0) = 0 = v h (L)}. V diskrétní úloze pak vystupují tyto veličiny: x 0 : u 0, θ 0, x 1 : u 1, θ 1, x 2 : u 2, θ 2. Tři z nich jsou ovšem na základě okrajových podmínek známé: u 0 = 0, θ 0 = 0, u 2 = 0. Obrázek 35: Příklad 5.3 Elementární matice jsou pro oba prvky stejné: 96 24L 96 24L K (e) 1 = K (e) 2 = EI 24L 8L 2 24L 4L 2 L L 96 24L. 24L 4L 2 24L 8L 2 94

94 Sestavením do soustavy rovnic dostaneme 96 24L 96 24L L 8L 2 24L 4L EI 96 24L L L 3 24L 4L L 2 24L 4L L 96 24L L 4L 2 24L 8L 2 Poznamenejme zde tři důležité zásady: osamělá síla musí působit ve výpočetním uzlu, u 0 θ 0 u 1 θ 1 u 2 θ 2 = 0 0 P zapíšeme ji na pravou stranu té rovnice, která odpovídá posunutí u i v tomto uzlu, znaménko je dáno tím, zda působí ve směru nebo proti směru vertikální osy. Zdůvodnění: takovou sílu lze interpretovat jako distribuci s nosičem v příslušném uzlu. Nyní zavedeme do soustavy předepsané stabilní okrajové podmínky. Stejným postupem jako u příkladu 5.2 dostaneme EI L 3 Odtud vypočítáme neznámé: L L 2 0 4L L 4L 2 0 8L 2 u 0 = 0, θ 0 = 0, 7P L3 u 1 = 768EI, 0 0 = P u 0 θ 0 u 1 θ 1 u 2 θ 2 θ 1 = P L2 128EI, u 2 = 0, θ 2 = P L2 32EI. Příklad 5.4 Uvažujme stupňovitý nosník vlevo vetknutý, s volným koncem vpravo a zatížený spojitým zatížením, které je kombinace konstantního a lineárního průběhu. Klasická formulace úlohy je (EI u ) = f u(0) = u (0) = 0, u (L) = u (L) = 0. v (0, L), Vstupní data jsou: L = 12, f 0 = f(x 0 ) = 500, EI(x) = { když 0 x 6, když 6 x 12, f(x) = { f0 když 0 x 6, 12 x f 0 6 když 6 x

95 Obrázek 36: Příklad 5.4 Opět začneme s řešením pomocí dvou prvků. Máme a prostor řešení je 0 = x 0 < x 1 = 6 < x 2 = 12, h = 6, K 1 = [0, 6], K 2 = [6, 12], V h = {v h C 1 ((0, L)): v h Ki P 3 (K i ) i = 1, 2, v h (0) = v h (0) = 0}. V diskrétní úloze pak vystupují veličiny: x 0 : u 0, θ 0, x 1 : u 1, θ 1, x 2 : u 2, θ 2, přičemž dvě z nich jsou na základě okrajových podmínek známé: u 0 = 0, θ 0 = 0. Obrázek 37: Příklad 5.4 Elementární matice jsou: 12 6h 12 6h K (e) 1 = h 4h 2 6h 2h 2 h h 12 6h, 6h 2h 2 6h 4h 2 K(e) 2 = h h 12 6h 6h 4h 2 6h 2h h 12 6h. 6h 2h 2 6h 4h 2 Elementární vektory snadno vypočítáme podle vztahů uvedených v úvodní části tohoto odstavce: f (e) 1 = f 0 h 12 h 1 1, f (e) 2 = f 0 h 20 h h 1 30 h Sestavením do soustavy rovnic dostaneme u 0 θ 0 u 1 θ 1 u 2 θ 2 =

96 Následně provedeme implementaci stabilních okrajových podmínek pro u 0 a θ 0 a získáme toto řešení (se zaokrouhlením na 4 platné cifry) u 0 = 0, θ 0 = 0, u 1 = , θ 1 = , u 2 = , θ 2 = Nyní se pokusíme výsledek trochu zpřesnit tím, že provedeme výpočet se 4 konečnými prvky. Nové dělení intervalu (0, 12) vypadá následovně 0 = x 0 < x 1 = 3 < x 2 = 6 < x 3 = 9 < x 4 = 12, h = 3, K 1 = [0, 3], K 2 = [3, 6], K 3 = [6, 9], K 4 = [9, 12]. Prostor řešení V h zůstal v podstatě stejný. V diskrétní úloze vystupují veličiny: x 0 : u 0, θ 0, x 1 : u 1, θ 1, x 2 : u 2, θ 2, x 3 : u 3, θ 3, x 4 : u 4, θ 4, přičemž dvě z nich jsou na základě okrajových Obrázek 38: Příklad 5.4 se 4 prvky podmínek známé: u 0 = 0, θ 0 = 0. Elementární matice jsou: K (e) 1 = K (e) 2 = h 3 K (e) 3 = K (e) 4 = h 3 První dva elementární vektory jsou stejné 12 6h 12 6h 6h 4h 2 6h 2h h 12 6h, 6h 2h 2 6h 4h h 12 6h 6h 4h 2 6h 2h h 12 6h. 6h 2h 2 6h 4h f (e) 1 = f (e) 2 = f 0 h 12 h 1, h kdežto další dva počítáme dle stejného vztahu ale s vždy s jinými hodnotami integrandu, přičemž značíme f 3 = f(x 3 ) = 250: 97

97 7f f ( f0 3 = h 20 + f ) 20 3 h f f, f (e) 4 = f 3 h 20 h 3 3. ( 20 f f ) 20 3 h h f (e) Sestavením do soustavy rovnic dostaneme u 0 θ 0 u 1 θ 1 u 2 θ 2 u 3 θ 3 u 4 θ 4 = Provedeme implementaci stabilních okrajových podmínek pro u 0 a θ 0 a získáme (se zaokrouhlením na 4 platné cifry) u 0 = 0, θ 0 = 0, u 1 = , θ 1 = , u 2 = , θ 2 = , u 3 = , θ 3 = , u 4 = , θ 4 = Obrázek 39: Výsledky příkladu 5.4 Výsledky v prostředním a krajním uzlu se téměř neliší, máme tedy velmi dobrý výsledek, jenž souvisí s jevem tzv. superkonvergence (viz např. [Křížek 1990]). Konkrétně zde se jedná o toto: jsou-li hodnoty EI na jednotlivých prvcích konstantní, lze za předpokladu, že všechny integrály počítáme přesně, ukázat, že v uzlových bodech dostaneme výsledky, které jsou přesné, takže máme u h (x i ) = u(x i ) a u h (x i ) = u (x i ). 98

98 5.3 Ukázka výpočtu eliptické úlohy ve 2D Vrátíme se zde k úloze z úvodu skript a odvodíme její řešení pomocí MKP. K tomu si napřed vytvoříme pracovní nástroje - elementární matice a vektory pro vybrané rovinné konečné prvky. Zůstaneme u těch nejjednodušších, které však zároveň patří mezi nejpoužívanější Lineární trojúhelníkový prvek Nejprve si odvodíme elementární matici tuhosti pro lineární trojúhelníkový prvek (viz příklad 2.1). Uvažujme konečný prvek (K, P K, Σ K ): Obrázek 40: Lineární trojúhelník K je trojúhelník, P K = P 1 (K), Σ K = {p(a i ) : p P K, A i = (x i, y i ), i = 0, 1, 2}. Prvek má 3 uzly ve vrcholech trojúhelníka, které si označíme pomocí jejich souřadnic (x i, y i ), i = 1, 2, 3. Odvodíme tvar lineárních funkcí z P K. Báze takových funkcí je {1, x, y}, takže funkce z V h lze na K zapsat takto u h (x, y) = c 0 + c 1 x + c 2 y. Abychom určili neznámé koeficienty, předpokládejme, že známe 3 uzlové hodnoty u i interpolované funkce. Potom platí u i = u h (x i, y i ) = c 0 + c 1 x i + c 2 y i, i = 1, 2, 3. Toto je soustava 3 rovnic pro 3 neznámé, jejímž řešením je c 0 = 1 2 (α 1u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 ), c 1 = 1 2 (β 1u 1 + β 2 u 2 + β 3 u 3 ), c 2 = 1 2 (γ 1u 1 + γ 2 u 2 + γ 3 u 3 ), kde značíme obsah trojúhelníka a dále α 1 = x 2 y 3 x 3 y 2, β 1 = y 2 y 3, γ 1 = x 3 x 2, α 2 = x 3 y 1 x 1 y 3, β 2 = y 3 y 1, γ 2 = x 1 x 3, α 3 = x 1 y 2 x 2 y 1, β 3 = y 1 y 2, γ 3 = x 2 x 1. Dosazením obdržíme vyjádření v libovolném bodě z K u h (x, y) = c 0 + c 1 x + c 2 y = 1 ( (α 1 u 1 + α 2 u 2 + α 3 u 3 ) + (β 1 u 1 + β 2 u 2 + β 3 u 3 )x + 2 ) + (γ 1 u 1 + γ 2 u 2 + γ 3 u 3 )y = = u 1 2 (α 1 + β 1 x + γ 1 y) + u 2 2 (α 2 + β 2 x + γ 2 y) + u 3 2 (α 3 + β 3 x + γ 3 y) = = u 1 N 1 (x, y) + u 2 N 2 (x, y) + u 3 N 3 (x, y), 99

99 přičemž jsme označili N i (x, y) = 1 2 (α i + β i x + γ i y), i = 1, 2, 3. Snadno lze ukázat, že tyto tvarové funkce (resp. lokální bázové funkce) vlastně představují barycentrické souřadnice na daném trojúhelníku, tj. N i (x, y) = p i (x, y) = λ i (x, y), i = 1, 2, 3. Obrázek 41: Tvarové funkce pro lineární trojúhelník K dalšímu výpočtu potřebujeme gradienty tvarových funkcí N i N i = x N = 1 ( ) βi, i = 1, 2, 3. i 2 γ i y Elementární matici tuhosti lineárního trojúhelníkového prvku mějme dánu takto: K (e) = (a K (N i, N j )) 3 i,j=1. Pro trojúhelník K T h s obsahem rovným lze vypočítat prvky elementární matice tuhosti následovně k (e) ij = a K (N i, N j ) = N i N j dxdy = = K K ( Ni x, N ) j. y = (β iβ j + γ i γ j ) K N i x N j y dxdy = K (β iβ j + γ i γ j ) dxdy = dxdy = (β iβ j + γ i γ j ) = = 1 4 (β iβ j + γ i γ j ), i, j = 1, 2, 3. Celá matice pak vypadá takto K (e) = 1 β 1 β 1 + γ 1 γ 1 β 2 β 1 + γ 2 γ 1 β 3 β 1 + γ 3 γ 1 β 2 β 1 + γ 2 γ 1 β 2 β 2 + γ 2 γ 2 β 3 β 2 + γ 3 γ 2. 4 β 3 β 1 + γ 3 γ 1 β 3 β 2 + γ 3 γ 2 β 3 β 3 + γ 3 γ 3 100

100 Poznámka 5.1 V případě, že bychom museli řešit delší rovnici u + u = f v Ω = [0, 1] [0, 1], bylo by nutné celkovou elementární matici rozšířit o další matici, které se někdy říká elementární matice hmotnosti a má tvar ( ) 3 M (e) = N i N j dxdy. K i,j=1 Jednotlivé členy snadno vypočítáme pomocí formulky známé z literatury (např. [Ciarlet 1978]), která se užívá pro výpočet integrálů na referenčním trojúhelníku ˆK ˆx p ŷ q p! q! dˆxdŷ =, p, q = 0, 1, 2,.... (p + q + 2)! ˆK Jak již víme z odstavce 4.2, je pro afinní zobrazení tvaru F K (ˆx) = B K ˆx + b K x p y q dxdy = det(b K ) ˆx p ŷ q p! q! dˆxdŷ = 2, p, q = 0, 1, 2,..., (p + q + 2)! K ˆK nebot det(b K ) = 2. Vezměme nyní libovolný trojúhelník K T h. Jelikož pro obecný prvek odpovídající matice M (e) máme m (e) ij = K N i N j dxdy = 1 (α 4 2 i + β i x + γ i y)(α j + β j x + γ j y) dxdy, K dostáváme odsud pomocí výše uvedených formulí výslednou podobu elementární matice hmotnosti M (e) = Vypočítáme ještě elementární vektor zatížení. V obecném případě máme ( ) 3 f (e) = f N i dxdy K. i=1 Je-li f f = konst na trojúhelníku K T h, dostaneme vektor f (e) = f V případě, že je funkce f zadaná na trojúhelníku K T h jakožto distribuce s nosičem v uzlu (x j, y j ), což může být např. osamělá síla velikosti P, pak si tuto sílu vyjádříme pomocí Diracovy delta funkce a po snadném výpočtu obdržíme N 1 (x j, y j ) f (e) = P N 2 (x j, y j ). N 3 (x j, y j ) Integrály po hranici nebudeme v naší úloze potřebovat. Výklad i výpočty může zájemce nalézt opět v doporučené literatuře nebo na internetu. 101

101 5.3.2 Izoparametrický čtyřúhelníkový prvek Nyní přejdeme k odvození elementární matice tuhosti pro čtyřúhelníkový prvek se čtyřmi uzly, což představuje zobecnění příkladu 2.3. Další postup budeme ale volit jinak než u trojúhelníka. Použijeme koncept tzv. izoparametrických prvků, které v praxi patří mezi nejpoužívanější a uplatňují se zejména v úlohách, kde Ω má zakřivenou hranici. Izoparametrické zobrazení představuje zobecnění afinní transformace a je definováno takto: Definice 5.1 Necht ( ˆK, ˆP, ˆΣ) je referenční prvek. Řekneme, že F K : ˆx ˆK ((F K ) i (ˆx)) d i=1 R d, 1 d 3, je izoparametrické zobrazení / transformace na prvek (K, P K, Σ K ), jestliže splňuje (F K ) i ˆP i = 1,..., d, F K je prosté zobrazení, K = F K ( ˆK), P K = {p: K R: p = ˆp F 1 K, ˆp ˆP }, Σ K = {p(f K (Âi)): p P K, i = 1,..., d}. Jestliže je (F K ) i P 1 ( ˆK) i = 1,..., d, je transformace F K afinní a prvky ( ˆK, ˆP, ˆΣ) a (K, P K, Σ K ) jsou afinně ekvivalentní. V opačném případě mluvíme o izoparametricky ekvivalentních prvcích a (K, P K, Σ K ) se nazývá izoparametrický konečný prvek. Pozorný čtenář si jistě všiml, že prostor ˆP zde vystupuje jak v definici transformace F K, tak i v definici prostoru P K. Odtud plyne, že počet parametrů určujících funkce z P K je stejný jako počet uzlů popisujících jeho geometrii. Rozmyslíme-li si dobře definici prostoru P K izoparametrického prvku, dojdeme k závěru, že obecně obsahuje nepolynomiální funkce, i když je ˆP složen pouze z polynomů. To však ve skutečnosti nemá žádný dopad na praktické počítání, nebot všechny výpočty provádíme na ˆK a pomocí transformace F K je převádíme na jednotlivé prvky K. Izoparametrické prvky mají zpravidla zakřivenou hranici. Prvek, kterým se ted budeme zabývat, je výjimkou z pravidla a např. analogický prvek v R 3 již tuto vlastnost nemá. Vrátíme se k čtyřúhelníkovému prvku. Ten má 4 uzly ve vrcholech čtyřúhelníka, které si označíme pomocí jejich souřadnic (x i, y i ), i = 1, 2, 3, 4. Bilineární čtyřúhelníkový prvek (K, P K, Σ K ) bude odvozen od referenčního čtvercového prvku. Není podstatné, zda ˆK je jednotkový čtverec jako v odstavci 2.1, nebo zda ho zde budeme definovat trochu jinak. Pro izoparametrickou transformaci F K bude platit Obrázek 42: Bilineární čtyřúhelník (F K ) i Q 1 ( ˆK), i = 1,

102 Uvažujme referenční prvek ( ˆK, ˆP, ˆΣ): ˆK je čtverec [ 1, +1] 2, ˆP = Q 1 ( ˆK), ˆΣ = {ˆp(Âi): ˆp ˆP, Âi = (ˆx i, ŷ i ), i = 1, 2, 3, 4}. Necht (K, P K, Σ K ): K je čtyřúhelník, Obrázek 43: Čtyřúhelníkový izoparametrický prvek P K = {p: K R: ˆp ˆP : p(x) = ˆp(F 1 K (x)) x K}, Σ K = {p(f K (Âi)): p P K, i = 1, 2, 3, 4}, je prvek izoparametricky ekvivalentní s referenčním prvkem. Odvodíme tvar bilineárních funkcí z ˆP. Báze takových funkcí je {1, ˆx, ŷ, ˆxŷ}, takže každou funkci ˆv P definovanou na ˆK lze zapsat jako ˆv(ˆx, ŷ) = c 0 + c 1ˆx + c 2 ŷ + c 3ˆxŷ. Lokální bázové funkce resp. tvarové funkce budeme explicitně definovat pouze na referenčním prvku ˆK. Na K pak budou tyto funkce definovány implicitně pomocí vztahu N i = ˆN i F 1 K, i = 1, 2, 3, 4. Tvarové funkce na ˆK vytvoříme z tvarových funkcí v 1D pro oba souřadné směry. Ty jsou (po opravě na interval [ 1, +1]) podle příkladu 5.2 celkem čtyři: ψ 1 (ˆx) = 1 (1 ˆx), 2 ψ ψ 1 (ŷ) = 1 (1 ŷ), 2 ψ 2(ˆx) = 1 (1 + ˆx), 2 2(ŷ) = 1 (1 + ŷ). 2 Tvarové funkce v 2D dostaneme jako tenzorové součiny ψ i (ˆx) ψ j (ŷ), i, j = 1,

103 Tedy ˆN 1 (ˆx, ŷ) = 1 (1 ˆx)(1 ŷ), ˆN2 4 ˆN 3 (ˆx, ŷ) = 1 (1 + ˆx)(1 + ŷ), ˆN4 4 (ˆx, ŷ) = 1 (1 + ˆx)(1 ŷ), 4 (ˆx, ŷ) = 1 (1 ˆx)(1 + ŷ). 4 K výpočtu elementární matice tuhosti prvku K potřebujeme znát jakobián transformace souřadnic. Ta má v uvažovaném případě tvar x(ˆx, ŷ) = y(ˆx, ŷ) = 4 x i ˆNi (ˆx, ŷ) = a xˆxŷ + b xˆx + c x ŷ + d x, i=1 4 y i ˆNi (ˆx, ŷ) = a y ˆxŷ + b y ˆx + c y ŷ + d y. i=1 Podle pravidel o derivování máme pro složené funkce ˆN i = N i F K, i = 1, 2, 3, 4, vztahy což je v maticovém zápisu ˆN i x y N i ˆx ˆN i = ˆx ˆx x x y N = i ŷ ŷ ŷ y ˆN i ˆx = N i x x ˆx + N i y y ˆx, ˆN i ŷ = N i x x ŷ + N i y y ŷ, [ ax ŷ + b x a y ŷ + b y a xˆx + c x a y ˆx + c y ] N i x N = J(ˆx, ŷ) i y N i x N. i y K určení inverzního vztahu použijeme známou formulku pro výpočet matice inverzní k matici řádu 2: ( ) ( ) b11 b B = 12 B b22 b = b 21 b 22 det(b) B = 12. b 11 b 22 b 12 b 21 b 21 b 11 Odtud pak obdržíme N i x N = J 1 (ˆx, ŷ) i y kde jakobián je dán výrazem ˆN i ˆx ˆN i ŷ = 1 det(j) [ ay ˆx + c y a y ŷ b y a xˆx c x a x ŷ + b x det(j) = (a x ŷ + b x )(a y ˆx + c y ) (a y ŷ + b y )(a xˆx + c x ). ] ˆN i ˆx ˆN i ŷ Za pozornost stojí to, že Jacobiho matice J ani její determinant nejsou nyní na prvku K konstantní a jsou funkcemi ˆx a ŷ. Pokud nechceme dopustit degeneraci prvků, musíme proto navíc zajistit, aby det(j) > 0, což zároveň zaručí, že K bude konvexní (nekonvexní čtyřúhelníky působí problémy). 104,

104 Dále můžeme z posledního vztahu mezi derivacemi vidět, že derivace funkcí N i jsou nepolynomiální, přestože ˆN i polynomy jsou. Dělením výrazem det(j) dostáváme obecně racionální lomenou funkci. Ted již můžeme přikročit k výpočtu elementární matice tuhosti prvku K i. Podobně jako u trojúhelníku položíme K (e) = ( k (e) ij ) 4 i,j=1 = ( K ) 4 N i N j dxdy. i,j=1 Integrál přes K převedeme na integrál přes ˆK pomocí vztahu v dxdy = ˆv det(j) dˆxdŷ. Z předchozí analýzy jsme obdrželi, že Takže pokud si pro stručnost označíme K ˆK N i = J 1 ˆN i, i = 1, 2, 3, 4. J 1 = obdržíme pro i, j = 1, 2, 3, 4 k (e) ij = N i. N j dxdy = K ( = I ˆN i 11 ˆK ˆx + I ˆN i 12 ŷ ( + I ˆN i 21 ˆx + I ˆN i 22 ŷ ˆK ( I11 I 12 I 21 I 22 ( Ni K x )( I ˆN j 11 ), N j x + N i y ˆx + I 12 )( I ˆN j 21 ˆx + I 22 ˆN j ŷ ˆN j ŷ ) dxdy = N j y ) dˆxdŷ + ) dˆxdŷ. Protože všechny prvky matice J 1 obsahují činitel (det(j)) 1 a tvarové funkce ˆN i jsou polynomy, je zřejmé, že zde musíme integrovat racionální lomené funkce. Při výpočtu těchto prvků je tedy nezbytný přechod k nějakým vhodným numerickým kvadraturním formulím. Složky vektoru zatížení mají jednodušší vyjádření tvaru f (e) i = f N i dxdy = ˆf ˆN i det(j) dxdy, i = 1, 2, 3, 4, přičemž jsme definovali K ˆK ˆf(F 1 K (x, y)) = f(x, y), (x, y) K. Také zde jsme zpravidla odkázáni na numerickou integraci. Na závěr této části si připomeňme, že izoparametrické prvky mají ve výpočtech pomocí MKP široké použití a to zejména v případech, kdy řešíme úlohy se zakřivenou hranicí. Prvek, který jsme zde probírali, sice tomuto účelu nevyhovuje, s jednoduchou ukázkou se však můžete seznámit ve cvičení 5.6. Obecně mohou být zakřivené všechny strany izoparametrického prvku, z hlediska použití však obvykle stačí, když je to jen jedna z nich. Od obecného čtyřúhelníku v dalším přejdeme ke speciálnímu případu, který použijeme ve výpočtu uvažovaného problému. 105

105 5.3.3 Bilineární obdélníkový prvek Odvodíme elementární matici tuhosti pro bilineární obdélníkový prvek z příkladu 2.3. Uvažujme prvek (K, P K, Σ K ): K je obdélník, P K = Q 1 (K), Σ K = {p(a i ): p P K, i = 1, 2, 3, 4}. Obrázek 44: Bilineární obdélník Prvek má 4 uzly ve vrcholech obdélníku, které si označíme pomocí jejich souřadnic (x i, y i ), i = 1, 2, 3, 4. Z předchozího již víme, že funkce z V h lze na K zapsat jako u h (x, y) = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 xy. U obdélníku máme: Označíme délky jeho stran: Transformace souřadnic bude nyní afinní Odtud x ˆx = x 2 x 1 2 x 1 = x 4, x 2 = x 3, y 1 = y 2, y 3 = y 4. a = x 2 x 1, b = y 4 y 1. x(ˆx, ŷ) = x 2 x 1 2 y(ˆx, ŷ) = y 4 y 1 2 = a 2, x ŷ = 0, ˆx + x 1, ŷ + y 1. y ˆx = 0, y ŷ = y 4 y 1 2 = b 2. Pro derivace tvarových funkcí pak platí v souladu s tím, co bylo uvedeno v předchozím ˆN i ˆx ˆN i ŷ = 1 2 Inverzní transformace je dána vztahy přičemž [ a 0 0 b N i x N = J 1 (ˆx, ŷ) i y ] N i x N i y ˆN i ˆx ˆN i ŷ = J(ˆx, ŷ) = 2 a b det(j) = ab 4. Protože používáme afinní transformaci, je nyní jakobián konstantní. 106 N i x N. i y ˆN i ˆx ˆN i ŷ,