1 Operátor a jeho funkce, komutátor

Transkript

1 1 Operátor a jeho funkce, komutátor Funkce operátoru Uvedeme dvě možnosti, jak zavést funkci operátoru  na základě funkce reálného argumentu f(ξ). 1. Rozvojem do řady: Předpokládejme, že existuje rozvoj funkce f(ξ) do mocninné řady v okolí bodu ξ 0 (Maclaurinova řada): f(ξ) a n ξ n, a n 1 Pak se pod funkcí f(â) rozumí operátor Příklad: f(â) df n (ξ) dξ n. (1.0.1) ξ0 a n  n. (1.0.2) eâ  n (1.0.3) 2. Sylvestrova formule: Předpokládejme, že operátor  je samosdružený a známe jeho spektrální rozklad  A kˆp k, (1.0.4) k kde ˆP k A k A k je projektor na podprostor příslušející reálné nedegenerované vlastní hodnotě A k. Je-li funkce f(ξ) analytická v bodech ξ A k, lze funkci operátoru A vyjádřit jako f(â) k f(a k )ˆP k. (1.0.5) Komutátor Komutátor dvou operátorů  a ˆB se definuje jako [Â,ˆB ˆB ˆB (1.0.6) a splňuje mimo jiné tyto vlastnosti: 1. Antisymetrie [Â,ˆB [ˆB, (1.0.7) 2. Jacobiho identita [Â, [ˆB,Ĉ +[ˆB,[Ĉ, +[Ĉ, [Â,ˆB 0. (1.0.8)

2 1.1 Komutátor součinu Pomocí jednoduchých komutátorů vyjádřete komutátor [ˆB,Ĉ. (1.1.1) Komutátor rozepíšeme podle definice (1.0.6). Poté k němu přičteme a odečteme vhodně zvolený člen: [ˆB, Ĉ ˆBĈ ĈˆB+ÂĈˆB ÂĈˆB ) Â(ˆBĈ ĈˆB Â[ˆB,Ĉ } {{ } 0 +(ÂĈ ĈÂ)ˆB +[Â,Ĉ ˆB. (1.1.2) Podobně bychom ukázali, že [Â,ˆBĈ [Â,ˆB Ĉ+ ˆB [Â,Ĉ (1.1.3) a pro čtyři operátory [ˆB,ĈˆD Â[ˆB,Ĉ ˆD+ÂĈ[ˆB, ˆD +[Â,Ĉ ˆDˆB+Ĉ[Â, ˆDˆB Ĉ Â[ˆB, ˆD+ ĈÂ[ˆB, ˆD +[Â, ĈˆBˆD+ Ĉ[Â, ˆDˆB. (1.1.4) 1.2 Komutátor inverzního operátoru Vyjádřete komutátor [Â,ˆB 1 pomocí komutátoru [Â,ˆB. Využijeme skutečnosti, že [Â,ˆ1 [Â,ˆBˆB 1 0, (1.2.1) a rozvineme tento komutátor pomocí formule (1.1.3) z předchozího příkladu: [Â,ˆBˆB 1 [Â,ˆB ˆB 1 + ˆB[Â,ˆB 1. (1.2.2) Dostaneme tedy [Â,ˆB 1 ˆB [Â,ˆBˆB 1 1. (1.2.3) Dalším přirozeným krokem je ukázat, že [ 1,ˆB 1  1ˆB 1 [Â,ˆBˆB 1  1 (1.2.4) (o platnosti tohoto vztahu se lze přesvědčit i prostým roznásobením).

3 1.3 Operátor souřadnice a hybnosti Jsou dány dva samosdružené operátory ˆx, ˆp (souřadnice a hybnost), které splňují komutační relaci [ˆx,ˆp i. 1. Určete [ˆx 2,ˆp. 2. Určete [ˆx n,ˆp. 3. Určete [f(ˆx),ˆp a [ˆx,g(ˆp). 1. Vyřešíme přímočarým použitím vzorce (1.1.2): [ˆx 2,ˆp [ˆxˆx,ˆp ˆx[ˆx,ˆp+[ˆx,ˆpˆx 2i ˆx. (1.3.1) 2. Opakujeme proceduru z předchozího bodu. Dostaneme [ˆx n,ˆp ni ˆx n 1. (1.3.2) Platnost tohoto vztahu lze formálně dokázat matematickou indukcí. 3. Využijeme definice funkce operátoru (1.0.2): [ f (n) (0) [f(ˆx),ˆp ˆx n,ˆp i i m0 f (n) (0) f (n) (0) nˆx n 1 m n 1 [ˆx n,ˆp f (m+1) (0) ˆx m i f (ˆx). (1.3.3) m! (pod derivací funkce operátoru rozumíme f (n) (ˆx) df n (ξ)/dξ n ξˆx ). Analogickým postupem dostaneme 1.4 Exponenciála operátorů [ˆx,f(ˆp) i f (ˆp). (1.3.4) [Â,ˆB 1. Jsou-li Â, ˆB dva komutující operátory, 0, dokažte, že eâ+ˆb eâeˆb eˆbeâ. (1.4.1) 2. Pro obecné nekomutující operátory Â, ˆB ukažte, že platí: ˆK eâ ˆB e  n, (1.4.2) kde ˆK 0 ˆB a ˆK n+1 [Â, ˆK n. Poznámka: Tento vztah se někdy nazývá Baker-Campbell-Hausdorffova (BCH) nebo Hausdorffova formule.

4 3. Dokažte, že pro libovolné nekomutující operátory ˆB, Ĉ platí: eĉˆbĉ 1 ĈeˆB Ĉ 1. (1.4.3) Použitím posledního vztahu lze přepsat rovnici (1.4.2) do jiného, také často užívaného tvaru eâeˆbe  e ˆKn. (1.4.4) 1. Vyjdeme z rozvoje exponenciály operátoru (1.0.3): eâ+ˆb 1 n m0 k0 l0 ) n binomický (Â+ ˆB rozvoj 1  k k! ( ) n m }{{} m!(n m)! ˆB l l!  mˆb n m ( k0 )(  k k! l0 n m0  m m! ˆB n m (n m)! ) ˆB l eâeˆb. l! Komutativitu operátorů  a ˆB jsme využili v binomickém rozvoji. 2. Označíme f(ξ) e ξâ ˆBe ξâ. Levá strana BCH formule je pak rovna f(1). Funkci f(ξ) rozvineme do mocninné řady dané pravou stranou BCH formule, přičemž pro její koeficienty dostaneme ˆK 0 f(0) ˆB {( ˆK 1 f (0) e ξââ)ˆbe ξâ+e ξâ ˆB [Â,ˆB [Â, ˆK 0 { d [Â,ˆB } ˆK 2 f (0) e ξâ dξ eξâ ξ0 ( )} Âe ξâ {( ( e ξâ Â)[Â,ˆB e ξâ +e [Â,ˆB ξâ [Â,ˆB [Â, [Â, ˆK 1 ξ0 Âe ξâ { e ξâ[â,ˆb } e ξâ ξ0. (1.4.5) 3. Opět budeme postupovat tak, že levou stranu výrazu (1.4.3) rozvineme do řady podle vztahu (1.0.3): 1 ) ( n ) eĉˆbĉ 1 (ĈˆBĈ 1 1 ĈˆB n Ĉ 1 1 Ĉ ˆB n Ĉ 1 ĈeˆB Ĉ 1. Rovnici (1.4.4) dostaneme z (1.4.2), přiřadíme-li Ĉ eâ. )} ξ0

5 1.5 Posunutí souřadnice Jsou dány dva samosdružené operátory ˆx, ˆp (souřadnice a hybnost), které splňují komutační relaci [ˆx,ˆp i, a operátor kde a je libovolné reálné číslo. 1. Ukažte, že operátor ˆT(a) je unitární. 2. Nalezněte, čemu se rovná ˆT 1 (a)ˆx ˆT(a). 3. Spočítejte ˆT(a)ψ(x), kde ψ(x) x ψ je vlnová funkce. 1. Unitární operátor musí splňovat rovnost ˆT(a) e i aˆp, (1.5.1) ˆT (a)ˆt(a) ˆT(a)ˆT (a) ˆ1. (1.5.2) Dosadíme vyjádření (1.5.1): ( ) e e i aˆp i aˆp e + i aˆp e i aˆp e i a(ˆp ˆp) eˆ0 ˆ1 (1.5.3) (postupně jsme využili samosdruženosti operátoru ˆp a vztahu (1.4.1)). Stejným způsobem se přímočaře ukáže, že ˆT 1 (a) ˆT (a) ˆT( a) ˆT(a)ˆT(b) ˆT(a+b). (1.5.4) 2. Vyjdeme z rozvoje BCH formule (1.4.2). V našem případě je  i aˆp, ˆB ˆx, takže ˆK 0 ˆx [ i ˆK 1 aˆp,ˆx i a( i ) a ˆK 2 ˆK 3 0. Výsledek tedy zní ˆT 1 (a)ˆx ˆT(a) ˆx+a. (1.5.5) 3. Víme, že platí ˆx x x x. Hledejme neprve, čemu je rovno ˆxˆT(a) x. Vyjdeme z výsledku předchozího bodu: ˆxˆT(a) x ˆT(a)(ˆx+a) x ˆT(a)(x+a) x (x+a) ˆT(a) x. (1.5.6)

6 Stav ˆT(a) x tedy přísluší vlastní hodnotě x+a operátoru ˆx, označíme ho proto Obdobně x+a ˆT(a) x. (1.5.7) x a x ˆT ( a) x ˆT(a). (1.5.8) Z posledních dvou vztahů plyne ˆT(a)ψ(x) x ˆT(a)ψ x a ψ ψ(x a). (1.5.9) Poznámka: Operátor ˆT(a) se nazývá operátor posunutí. 1.6 Rotace operátoru spinu Jsou dány samosdružené operátory Ŝ1,Ŝ2,Ŝ3, které splňují komutační relace pro moment hybnosti, [Ŝj,Ŝ k i ǫ jkl Ŝ l, (1.6.1) a operátor s reálným parametrem φ. Ukažte, čemu se rovnají výrazy ˆR 3 (φ) e i φŝ 3, (1.6.2) ˆR 1 3 (φ)ŝ 1ˆR 3 (φ), ˆR 1 3 (φ)ŝ 2ˆR 3 (φ). Budeme počítat první z hledaných výrazů. Stejně jako v předchozím příkladu vyjdeme z BCH formule (1.4.2), do které nyní dosadíme Dostaneme (s využitím komutačních relací) Â i φŝ 3, ˆB S 1. ˆK 0 Ŝ 1, [ i ˆK 1 φŝ 3,Ŝ 1 i [Ŝ3 φ,ŝ 1 φŝ 2, [ i ˆK 2 φŝ 3, φŝ 2 i [Ŝ3 φ2,ŝ 2 φ 2 Ŝ 1, [ i ˆK 3 φŝ 3, φ 2 Ŝ 1 i [Ŝ3 φ3,ŝ 1 φ 3 Ŝ 2,. což dosadíme do řady (1.4.2), kterou následně sečteme: ˆR 1 3 (φ)ŝ1ˆr 3 (φ) 1 1 0!Ŝ1 1! φŝ2 1 2! φ2 Ŝ ! φ3 Ŝ 2 + [ [ ( 1) k ( 1) k (2k)! φ2k Ŝ 1 (2k +1)! φ2k+1 k0 k0 }{{}}{{} cosφ sinφ Ŝ 1 cosφ Ŝ 2 sinφ. (1.6.3) Ŝ 2

7 Analogicky pro druhý vztah: ˆR 1 3 (φ)ŝ 2ˆR 3 (φ) Ŝ 1 sinφ+ŝ 2 cosφ. (1.6.4) Poznámka: Operátor ˆR 3 (φ) je operátor rotace o úhel φ okolo osy z.