KYBERNETIKA A UMĚLÁ INTELIGENCE
|
|
- Nikola Magdalena Soukupová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 KYBERNETIKA A UMĚLÁ INTELIGENCE 4. Algoritmická entropie a složitost laboratory Gerstner Gerstnerova laboratoř katedra kybernetiky fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze
2 Revidujeme pojem entropie Uvažujme zprávu... Informační entropie: P() =.5, P() =.5, H = Zprávu tedy nelze komprimovat?! Evidentně to není pravda. Toto jsme již vyřešili v minulé přednášce. Závěr je nesprávný, protože není splněna podmínka statistické nezávislosti znaků na znacích předchozích. Např: P(,) = > ½ = P() Entropie vyšších řádů N H... n ( Zm Zm, Zm 2,..., Zm N ) = P( zm, zm 2,..., zm N ) H ( Zm zm, zm 2 zm zm 2 z m n jsou již < pro N >. Tím je rozpor vysvětlen.,..., z m N ) Zdá se tedy, že entropie dostatečného řádu je již univerzálním měřítkem neuspořádanosti, množství informace a komprimovatelnosti. Je tomu tak opravdu?
3 Příklad: zpráva z chaotického zdroje Uvažujme chaotický dynamický systém z. přednášky: logistický model v diskrétním čase. Pro stav S m v čase m nechť platí S =.3 S m+ = 4 S m ( - S m ) Definujme diskrétní stav. veličinu X m = S m.5 X m = S m <.5 Zkoumejme (nekonečnou) zprávu sestávající z posloupnosti stavů X m :... Lze tuto zprávu komprimovat? Zkusme zjistit hodnotu entropie.
4 Lze komprimovat zprávu chaotického zdroje? Entropie H řádu N vypočítaná ze zprávy délky l choatického modelu. Pravděpodobnosti odhadnuty relativními četnostmi ve zprávě. Tj. např. P(z m = z m =,z m- =,z m-2 = ) # "" # "" Zkuste si naprogramovat sami! Se stoupající délkou zprávy l se četnosti blíží skutečným pravděpodobnostem. Pozorování: H všech řádů konverguje k! (Pro N > nutno věřit ) Zpráva binarizovaného chaotického zdroje tedy podle Shannonovy informační teorie není komprimovatelná. Ve skutečnosti ji ale lze komprimovat zcela jednoduše! JAK?
5 Algoritmická komprese Stačí vyslat zprávu:.s:=.3; 2.S:=4*S*(-S); 3.print((sign(S-.5)+)/2); 4.goto 2; Tato zpráva obsahuje 6 znaků (CR/LF nepodstatné, jen pro přehlednost) Nese v sobě úplnou informaci o nekonečné posloupnosti stavů zdroje. Dosáhli jsme nekonečné komprese! (6/ = znaků na jeden znak zdroje) (Je-li komunikační kanál binární, program lze dále překódovat do délky max. 7(~ASCII) * 6 binárních znaků) Dekódování u cíle = vykonání programu. Dekódování není problém. Kódování bude obecně obtížnější uvidíme dále Je to švindlování? Srovnejme s principy kódování z minulé přednášky: Vysílající (zdroj) a příjemce (cíl) museli mít před začátkem komunikace k dispozici stejnou kódovou tabulku. V tomto případě musí mít stejný k dispozici překladač stejného programovacího jazyka. Na principu přenosu informace se ale nic nemění.
6 Algoritmická entropie Zpráva může být algoritmicky komprimovatelná, i když není komprimovatelná z hlediska Shannonovy informační teorie. Obráceně to samozřejmě neplatí, protože klasické kódování lze vždy implementovat algoritmem (vyhledávání v tabulce). Našli jsme tedy silnější (obecnější) měřítko množství informace ve zprávě a její komprimovatelnosti: Andrey N. Kolmogorov Algoritmická entropie, též Kolmogorovská složitost K(J,Z) zprávy (posloupnosti) Z délka nejkratšího programu (v jazyce J ), který generuje Z. K( J, Z) = min prg ( J, Z ) prg( J, Z) prg(j,z)... program v jazyce J generující posloupnost znaků Z prg(j,z)... délka programu prg(j,z), tj. počet znaků v programu Systémová interpretace alg. entropie: žádná zpráva (jakkoliv složitá, chaotická) nemůže být složitější než systém, který ji generuje. Definice nepoužívá pojmu pravděpodobnost. Platí, i když pravděpodobnosti znaků v nekonečné zprávě vůbec neexistují (příslušné relativní četnosti nekonvergují). K čemu je ale taková definice, když jedna zpráva má různou A.E. pro různé jazyky J?
7 Algoritmická entropie Závislost na konkrétním programovacím jazyku je ve skutečnosti nepodstatná. Uvažujme množinu dostatečně silných jazyků J, kde v každém jazyku J J můžeme naprogramovat intepretr každého jazyka J J. Potom pro každé dva J, J J : c Z : K( J, Z) K( J ', Z) c.... absolutní hodnota, c konstanta nezávislá na Z (viz pořadí kvantifikátorů) Důkaz: stačí ukázat (symetrie), že K(J,Z) K(J,Z) + c. Toto platí: c je déka programu v J intepretujícího jazyk J. Pro dostatečně složité ( zajímavé) zprávy Z příspěvek konstanty c zanedbatelný, volba jazyka J tedy nepodstatná. Nadále tedy vynecháme J ze značení. Alg. entropii zprávy Z označíme K(Z). Úmluva: K(Z) budeme měřit při binárním kódování programů, tj. v bitech. Jaké konkrétní jazyky obsahuje J? Všechny běžné jazyky: JAVA, C, Perl, Prolog,... Neformálně: jakýkoliv jazyk s přístupem k paměti, obsahující větvení na základě podmínek cykly (nebo možnost rekurze) aritmetiku (alespoň inkrementaci a dekrementaci) může implementovat jakýkoliv algoritmus, tj. i interpretovat jiné jazyky.
8 Turingův stroj Je užitečné definovat jeden referenční, co nejjednodušší prvek J Turingův stroj abstraktní, jednoduchý systém pro vykonání algoritmu konečný automat s přístupem k externí paměti Jeho vlastnosti se snadno matematicky analyzují. Součásti Turingova stroje: Alan M. Turing Páska: může uchovat neomezeně dlouhou posloupnost znaků z konečné abecedy. Hlava: může číst a psát na pásku a pohybovat s ní (měnit aktuální místo o krok) Stavový registr: uchovává aktuální stav (jeden z konečné množiny možných stavů) Přechodová tabulka: pro každou dvojici aktuálního stavu a znaku na pásce definuje nový znak na aktuálním místě pásky, nový stav, a směr pohybu pásky (L/P) o krok. Churchova-Turingova teze: jakýkoliv výpočet (obecněji: algoritmus, racionální myšlenkový pochod ) lze implementovat Turingovým strojem. Není matematickou větou! Výpočet je intuitivní pojem. Jazyky schopné implementovat stejné algoritmy jako T.S. (tedy jazyky v naší množině J) v se nazývají turingovsky ekvivalentní. Alonzo Church
9 Turingovská ekvivalence dynamických systémů I nelineární dynamické systémy jsou Turingovsky ekvivalentní! Každý výpočet algoritmus lze implementovat nějakým nelineárním dynamickým systémem. Stavové veličiny paměť, přechod mezi stavy vykonání instrukce. Příklad: Paritní funkce vrací, pokud je vstupem sudé číslo, jinak. Program lze překódovat do dynamického systému: kde x je vstupní hodnota, A je matice je jednoduchá nelineární funkce: = A function parity(x). y:=; 2. if x > {x--; y++} else goto 5 3. if x > {x--; y--} else goto 5 4. goto 2 5. return(y) T x s k s A f k s,,,,,,,] [ () )) ( ( ) ( = = + r r r r f r, ) ( ) ( = > = i i i i i s s f s s s f pokud, pokud r r f s
10 Turingovsky ekvivaletní dynamické systémy Systém se ustálí na řešení, tj. pro ustálený stav systému v čase k u platí s 2 (k u ) = parity(x) Na obrázku: barva úměrná hodnotě s 2 v ustáleném stavu, pro různé počáteční hodnoty s () = x... vstup s 3 ()... jedna z paměťových buněk systému Stavové veličiny reálné. Modré body odpovídají speciálním případům místům, kde je definována tradiční paritní funkce pro celá čísla. Turingovská ekvivalence nelineárních dynamických systémů má zásadní důsledky pro teorii dynamických systémů uvidíme dále. představuje vazbu mezi teorií dynamických systémů a teoretickou informatikou.
11 Vlastnosti algoritmické entropie Opakování: Zpráva může být algoritmicky komprimovatelná, i když není komprimovatelná z hlediska Shannonovy informační teorie. Existují vůbec nějaké algoritmicky nekoprimovatelné zprávy? Ano! Uvažujme binární zprávy a binárně kódované programy. Existuje právě 2 l zpráv délky l. Najdeme pro každou z nich nějaký program dosahující alespoň minimální komprese tedy kratší alespoň o bit? Programů maximální délky l- je l l 2 = 2 = 2 l (součet geom. řady). Tedy i kdyby všechny programy maximální délky l- byly použity pro zprávy délky právě l, tak se stejně na jednu nedostane. Důsledek: Neexistuje žádný univerzální (vždy úspěšný) bezeztrátový kompresní algoritmus. Obecně lze ukázat, že zprávy s vysokou algoritmickou entropií (tj. zprávy, které komprimovat nelze, nebo lze jen velmi málo) tvoří většinu všech možných zpráv. Srovnejte s 2. termodynamickou větou: stavy s nejvyšší termodynamickou entropií jsou nejpravděpodobnější.
12 Souvislosti algoritmické entropie: Ockhamova břitva Libovolnou teorii (např. přírodně-vědeckou) lze formalizovat a převést na algoritmus v nějakém turingovsky ekvivalentním jazyce. Libovolnou posloupnost pozorování (např. přírodního systému) lze formalizovat a převést na posloupnost znaků nějaké abecedy (tj. na zprávu). Přírodní vědy = hledání teorií k pozorováním přírody. V řeči obecné teorie systémů: hledání generativního systému k datovému. Jednu posloupnost pozorování lze obvykle vysvětlit více než jednou teorií. Kterou z nich zvolit? William of Ockham: entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem tj. entity se nemají násobit bezdůvodně. Teorie by neměla klást předpoklady zbytečné pro vysvětlení pozorování. Ockamova (též Occamova) břitva: Ze všech teorií vysvětlujících daná pozorování vybrat tu nejjednodušší. Přímá aplikace algoritmické komprese! Tj. hledání programu ( teorie) generujícího ( vysvětlujícího) zprávu ( pozorování) Z, tak, že prg(z) je co nejkratší, ideálně délky K(Z). Varianty alg. komprese se využívají ve strojovém učení a data miningu (přednáška 8). Teoreticky by mohly být základem automatizovaného vědeckého bádání! Má to ale jeden háček... William of Ockham 4. století
13 Lze vypočítat algoritmickou entropii? Lze vůbec naprogramovat funkci slozitost(z) pro výpočet K(Z)? Předpokládejme, že ano, a využijme ji v následujícím programu generujícím zprávu složitosti alespoň n : function generujzpravu(n) for l = to for z in < všechny zprávy délky l > /* je jich 2 l */ if slozitost(z) >= n {return z; quit} Označme: u = délka tohoto programu v binárním kódování. Nyní naprogramujme funkci: function generujpodivnouzpravu() return generujzpravu(< nějaké číslo >) Funkce ještě není hotová, zbývá doplnit argument v 2. řádce. Označme nejprve c = délka funkce v binárním kódování, když je argument prázdný. Po dosazení nějakého čísla n do argumentu bude délka funkce c + log 2 n. (Pro zakódování čísla n je potřeba log 2 n binárních číslic) Dosaďmě do argumentu takové n, které vyhovuje nerovnici u + c + log 2 n < n Najdeme snadno, neboť n roste rychleji než log 2 n a u, c jsou konstanty.
14 Nerozhodnutelnost algoritmické entropie Nyní volejme: Z = generujpodivnouzpravu(). Dostaneme zprávu Z, která má algoritmickou entropii nejméně n (viz definici funkcí). Zároveň platí, že zpráva Z je generována programem jehož délka je u + c + log 2 n : function generujpodivnouzpravu() return generujzpravu( < n > ) function generujzpravu(n) délka: log 2 n for l = to for z in < zprávy délky l > /* je jich 2 l */ if slozitost(z) >= n {return z; quit} délka: c + log 2 n délka: u Protože u u + + c + c log + log 2 n< n, : Z má algoritmickou entropii nižší než n. 2 n < n Z předpokladu, že program slozitost(z) existuje, jsme dospěli k logickému sporu! Jediný možný důsledek: předpoklad byl chybný. Algoritmus pro výpočet algoritmické entropie libovolné zprávy neexistuje. Určení hodnoty a.e. je nerozhodnutelný problém. Stále zbývá možnost horního odhadu K(Z). Např. je-li HK(Z) zpráva obdržená Huffmanovým kódováním zprávy Z, tak určitě platí K(Z) HK(Z) + c, kde konstanta c je délka programu pro převod kódu dle kódovací tabulky + počet bitů nutných k uložení tabulky a HK(Z) je délka komprimované zprávy HK(Z).
15 Problém zastavení algoritmu (Ne)rozhodnutelnost = zásadní vlastnost výpočetních problémů. Existují ještě další nerozhodnutelné problémy? Je jich mnoho. Slavný příklad: Problém zastavení (halting problem): Mějme nějaký program, jehož binární kód je P a jehož vstupem je binární zpráva Z. Problém: prohlédni si P a Z a rozhodni, zda se P na Z zacyklí, nebo zastaví. Lze naprogramovat funkci halt(p,z), která správně rozhodne pro libovolné P a Z? Rozhodnutí v konečném čase, tj. nestačí jen spustit P na Z a čekat, jak to dopadne. Předpokládejme, že halt(p,z) existuje, a využijme ji v tomto programu: function neprijemnost(z) /* vstupem je binární zpráva */. if halt(z,z)= zastavi then goto Nechť NEPRIJEMNOST je binární kód programu neprijemnost. Zastaví se, nebo zacyklí program neprijemnost(neprijemnost)? Pokud se zacyklí, tak podmínka v. řádce byla splněna. Tedy výstupem funkce halt(neprijemnost,neprijemnost) bylo zastavi, z čehož plyne, že neprijemnost se na vstupu NEPRIJEMNOST zastaví. SPOR! Pokud se zastaví, tak podmínka v. řádce nebyla splněna.tedy výstupem funkce halt(neprijemnost,neprijemnost) bylo zacykli, z čehož plyne, že neprijemnost se na vstupu NEPRIJEMNOST zacyklí. SPOR! Funkce tedy nemůže existovat! Problém zastavení je nerozhodnutelný.
16 Problém zastavení: důsledek pro dynamické systémy Přednáška : z popisu lineárního dynamického systému lze určit jeho stabilitu, tj. zda bude jeho stav při dané počáteční podmínce konvergovat k nějaké ustálené hodnotě. Je něco podobného možné pro obecné dynamické systémy (vč. nelineárních)? Dříve v této přednášce: každý výpočet (algoritmus) lze implementovat nějakým (obecně nelineárním) dynamickým systémem. vstupní data ~ počáteční podmínky, ustálený stav ~ výsledek výpočtu. Předpokládejme, že umíme pro jakýkoliv dynamický systém S určit, zda se ustálí při daných počátečních podmínkách s r (). Je tedy k dispozici funkce odezva(s,s), kde S je popis S (např v binárním kódu) a s je popis s r (). Potom bychom vyřešili problém zastavení: function mazanyhalt(p,z) preved P na popis ekvivalentniho dynamickeho systemu S preved Z na popis evivalentnich pocatecnich podminek s if odezva(s,s)= ustali then return( zastavi ) else return( zacykli ) To ale není možné dokázali jsme, že problém zastavení je nerozhodnutelný. Ze sporu vyplývá, že předpoklad byl nesprávný. Neexistuje tedy postup pro určení (ne)stability z popisu libovolného dynamického systému. Nikdy nebude existovat obecná teorie dynamických systémů s podobnými schopnostmi, jako má teorie lineárních dynamických systémů.
17 Rozhodnutelnost a dokazování Ukázali jsme nerozhodnutelnost některých problémů. Co vlastně ale přesně znamená rozhodnout problém? Je to totéž, jako najít důkaz nějakého tvrzení. Např. tvrzení algoritmus P se zastaví na vstupu Z Co je tedy důkaz tvrzení T? Posloupnost odvození tvrzení z již odvozených tvrzení, dokud není odvozeno i T. Odvozuje se podle odvozovacích pravidel. Dokud není odvozeno nic, nedá se ani nic odvodit! Je třeba zavést nějaká počáteční tvrzení, považovaná za platná bez důkazu. To jsou tzv. axiomy. Všechna tvrzení vč. axiomů musí být formulována v nějakém jazyce, tj. v nějaké kódové abecedě znaků) jazyk + axiomy + odvozovací pravidla = formální systém Příklad pro formální systém výrokové logiky: jazyk: znaky pro výroky (A, B, C,...), logické spojky (,,, ) příklad axiomu: A (B A) (pro jakákoliv tvrzení A,B.) odvozovací pravidlo modus ponens : je-li již odvozeno A a A B, lze odvodit B. Nejsou nerozhodnutelné problémy (tj. nedokazatelná tvrzení) jen důsledkem špatně nastaveného formálního systému? např. nevhodná volba axiomů v matematické logice
18 Nerozhodnutelnosti se nezbavíme! Gödelova věta o neúplnosti. Kurt Gödel: V každém bezesporném formálním systému s aritmetikou existují tvrzení, jejichž pravdivost nelze rozhodnout. Bezespornost: nelze odvodit tvrzení i jeho opak. Co je to systém s aritmetikou? Např. systém, v němž lze dokázat tvrzení jako x : x < x +, tedy pro všechna x platí, že x je menší než x +. Pozn.: např. ve výrokové logice to nelze proč? Důkaz neúplnosti: Každé tvrzení lze syntakticky chápat jako zprávu v konečné abecedě znaků (zde, x,...). Můžeme tedy zavést kódování, které libovolnému tvrzení jednoznačně přiřazuje nějaký binární kód (viz přednášku 3). Tento binární kód je zároveň binární reprezentací nějakého přirozeného čísla n. Definujme tedy funkci k(t) kódující tímto způsobem tvrzení T na přirozené číslo n. Dále definujme funkci d(n): d(n) = je-li tvrzení s kódem n v systému dokazatelné, jinak d(n) =. Příklad: v jakémkoliv systému s aritmetikou platí Kurt Gödel 96,Brno 978,Princeton d(k( x : x < x + ) =
19 Gödelova věta o neúplnosti Gödelův trik: zaveďme substituční funkci s(n) = m tak, že m je kód tvrzení vzniklého tak, že ve tvrzení s kódem s n nahradíme všechny znaky proměnných konstantou n a vymažeme kvantifikace. Příklad: platí-li k( x : x < x + ) = 35 a také k( 35 < 35 + ) = 298 tak platí s(35) = 298 Uvažujme dvě tvrzení T : x : d(s(x)) = ; a nechť m = k(t) T2 : d(s(m)) = ;T2 neobsahuje žádnou proměnnou! Do tvrzení je dosazena konkrétní hodnota m z předchozí řádky. Předpoklad systému s aritmetikou jsme potřebovali proto, aby systém byl schopen počítat funkce s a d prostřednictvím odvozování. Všimněte si, že s(m) je kód tvrzení T2. Teď to přijde! Předpokládejme úplnost, tj. systém dokáže T2, nebo jeho negaci T2. Pokud dokáže T2, tak platí d(s(m)) =, tedy tvrzení s kódem s(m) je nedokazatelné (z definice funkce d). Tvrzení s kódem s(m) je T2, tedy T2 je nedokazatelné! Spor. Pokud dokáže T2, tak platí d(s(m)) = a tvrzení s kódem s(m), tedy T2, je dokazatelné. Vzhledem k bezespornosti je tedy T2 nedokazatelné! Spor. V obou případech spor: T2 nelze dokázat ani vyvrátit. Věta dokázána.
20 Shrnutí přednášky Algoritmická entropie (= Kolmogorvská složitost) zprávy je délka nejkratšího programu v turingovsky ekvivalentním jazyce, který tuto zprávu generuje. Turingovsky ekvivalentní jazyk = umí implementovat jakýkoliv algoritmus (výpočet). Abstraktním představitelem je Turingův stroj. Pro zprávy dostatečné složitosti má volba konkrétního turingovsky ekvivalentního jazyka zanedbatelný vliv na hodnotu algoritmické entropie. A. E. je mírou neuspořádanosti a komprimovatelnosti zprávy nezávislou na pravděpodobnostní distribuci znaků. A. E. je silnější, než informační entropie: zprávu lze algoritmicky komprimovat, i když není komprimovatelná z hlediska I.E. Hodnotu A. E. lze jen aproximovat, nelze ji obecně vypočítat, jde o nerozhodnutelný problém. Další příklady nerozhodnutelných problémů: problém zastavení algoritmu, či problém stability nelineárního dynamického systému. Gödelova věta: V každém bezesporném formálním systému s aritmetikou existují tvrzení, jejichž pravdivost nelze rozhodnout. Důsledky Gödelovy věty jsou obrovské: nelze alternativně formulovat matematické axiomy tak, aby nevznikaly výše uvedené nerozhodnutelné problémy. Důsledek pro umělou inteligenci: Nelze sestrojit univerzální inteligentní systém schopný logicky odvodit pravdivost jakéhokoliv tvrzení v daném systému, pokud je alespoň natolik silný, aby uměl dokázat aritmetická fakta.
Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceNegativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1
Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit
VíceLogika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
VíceTřída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceEvropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti MI-SOC: 11 METODY VERIFIKACE SYSTÉMŮ NA ČIPU Hana Kubátov vá doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta 1 informačních
VíceSystém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
VíceGödelovy věty o neúplnosti
Gödelovy věty o neúplnosti Miloš Jakubíček PB016 Úvod do umělé inteligence Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 23. listopadu 2007 1 Gödel & historie Kurt Gödel Historický kontext 2 Jazyk a metajazyk
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
VíceStatistická teorie učení
Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální
VíceVýroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceKOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.
1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií
VíceKOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč, Jan Kybic. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání.
1/25 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč, Jan Kybic Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD
Více10. Techniky formální verifikace a validace
Fakulta informačních technologií MI-NFA, zimní semestr 2011/2012 Jan Schmidt EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI 10. Techniky formální verifikace a validace 1 Simulace není
VíceSložitost Filip Hlásek
Složitost Filip Hlásek Abstrakt. Příspěvek popisuje dva základní koncepty teoretické informatiky, Turingovy stroje a složitost. Kromě definic důležitých pojmů uvádí také několik souvisejících tvrzení,
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceAUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace
AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2018/2019 1 / 15 Rezoluční metoda v PL Rezoluční důkaz Obecné
Více1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí
1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2015/2016 1 / 15 Algebraické teorie Základní algebraické teorie
VíceTřída PTIME a třída NPTIME. NP-úplnost.
VAS - Přednáška 9 Úvod ke kursu. Složitost algoritmu. Model RAM. Odhady složitosti. Metoda rozděl a panuj. Greedy algoritmy. Metoda dynamického programování. Problémy, třídy složitosti problémů, horní
Více11 VYPOČITATELNOST A VÝPOČTOVÁ SLOŽITOST
11 VYPOČITATELNOST A VÝPOČTOVÁ SLOŽITOST Na první přednášce jsme si neformálně zavedli pojmy problém a algoritmus pro jeho řešení, které jsme na počítači vykonávali pomocí programů. Jako příklad uveďme
VíceMatematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
VíceProgramovací jazyky. imperativní (procedurální) neimperativní (neprocedurální) assembler (jazyk symbolických instrukcí)
Programovací jazyky Programovací jazyky nižší assembler (jazyk symbolických instrukcí) vyšší imperativní (procedurální) Pascal, C/C++, Java, Basic, Python, php neimperativní (neprocedurální) Lisp, Prolog
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceLogika a logické programování
Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VícePojem algoritmus. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava
Pojem algoritmus doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 12. září 2016 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Pojem algoritmus 54 / 344
VíceUsuzování za neurčitosti
Usuzování za neurčitosti 25.11.2014 8-1 Usuzování za neurčitosti Hypotetické usuzování a zpětná indukce Míry postačitelnosti a nezbytnosti Kombinace důkazů Šíření pravděpodobnosti v inferenčních sítích
Více2 Důkazové techniky, Indukce
Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou
VíceVýroková a predikátová logika - XIV
Výroková a predikátová logika - XIV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIV ZS 2018/2019 1 / 20 Nerozhodnutelnost Úvod Rekurzivní a rekurzivně
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Vícepostaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceTeoretická informatika průběh výuky v semestru 1
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 8 Přednáška Model RAM Ve studijním textu je detailně popsán model RAM, který je novějším výpočetním modelem než Turingův stroj a vychází z architektury
VíceKomprese dat. Jan Outrata KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. přednášky
Komprese dat Jan Outrata KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI přednášky Statistické metody Jan Outrata (Univerzita Palackého v Olomouci) Komprese dat Olomouc, únor březen 2016 1 / 23 Tunstallův
VíceDijkstrův algoritmus
Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceAlgoritmy komprese dat
Algoritmy komprese dat Úvod do teorie informace Claude Shannon (1916 2001) 5.11.2014 NSWI072-7 Teorie informace Informace Co je to informace? Můžeme informaci měřit? Existují teoretické meze pro délku
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceProgramovací jazyky. imperativní (procedurální) neimperativní (neprocedurální) assembler (jazyk symbolických instrukcí)
Programovací jazyky Programovací jazyky nižší assembler (jazyk symbolických instrukcí) vyšší imperativní (procedurální) Pascal, C/C++, Java, Basic, Python, php neimperativní (neprocedurální) Lisp, Prolog
VíceAlgoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VícePredikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy
1 Predikátová logika Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu 2. term a formule 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy 5. vázané a volné výskyty proměnných ve formuli 6. otevřené
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceBooleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.
Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz
VíceKonstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
VíceRezoluční kalkulus pro výrokovou logiku
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku Petr Pudlák Výroková logika Výhody Jednoduchý jazyk. Rozhodnutelnost dokazatelnosti i nedokazatelnosti. Rychlejší algoritmy. Nevýhody
VíceVzdálenost jednoznačnosti a absolutně
Vzdálenost jednoznačnosti a absolutně bezpečné šifry Andrew Kozlík KA MFF UK Značení Pracujeme s šifrou (P, C, K, E, D), kde P je množina otevřených textů, C je množina šifrových textů, K je množina klíčů,
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
VíceHilbertovský axiomatický systém
Hilbertovský axiomatický systém Predikátová logika H 1 Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 24. října 2008 Specifikace H 1 Jazyk L H1 přejímáme jazyk predikátové logiky
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2015/2016 1 / 16 Tablo metoda v PL Důsledky úplnosti Vlastnosti
Vícedoplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je
28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci
VíceFormální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků
Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Připomenutí základních pojmů ABECEDA jazyk je libovolná podmnožina
VícePřevyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
VíceGrafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
VíceTeorie informace: řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa
Teorie informace: řešené příklady 04 Tomáš Kroupa Kolik otázek je třeba v průměru položit, abychom se dozvěděli datum narození člověka (den v roce), pokud odpovědi jsou pouze ano/ne a tázaný odpovídá pravdivě?
VíceSložitost algoritmů. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava
Složitost algoritmů doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 27. prosince 2015 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Složitost algoritmů
VíceStefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Logika pro každodenní přežití Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy 2 Cíle předmětu Poskytnout dostatečné teoretické zázemí Dát jiný pohled na informatiku Odlišit inženýra
VíceTřídy složitosti P a NP, NP-úplnost
Třídy složitosti P a NP, NP-úplnost Cíle přednášky: 1. Definovat, za jakých okolností můžeme problém považovat za efektivně algoritmicky řešitelný. 2. Charakterizovat určitou skupinu úloh, pro které není
VíceUnbounded Model Checking
Unbounded Model Checking Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze 25. října 2011 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceDynamické programování
Dynamické programování prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceAlgoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.
Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceSložitost 1.1 Opera ní a pam ová složitost 1.2 Opera ní složitost v pr rném, nejhorším a nejlepším p ípad 1.3 Asymptotická složitost
1 Složitost 1.1 Operační a paměťová složitost Nezávislé určení na konkrétní implementaci Několik typů operací = sčítání T+, logické T L, přiřazení T A(assign), porovnání T C(compare), výpočet adresy pole
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška desátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. Obsah 1 Úvod do modální logiky 2 Logické programování a Prolog 3
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2017/2018 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceObsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23
Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2
VíceÚvod do teorie informace
PEF MZLU v Brně 24. září 2007 Úvod Výměna informací s okolím nám umožňuje udržovat vlastní existenci. Proces zpracování informací je trvalý, nepřetržitý, ale ovlivnitelný. Zabezpečení informací je spojeno
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceNP-úplnost problému SAT
Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x
VíceAgent pracující v částečně pozorovatelném prostředí udržuje na základě senzorického modelu odhaduje, jak se svět může vyvíjet.
Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Dnešní program Agent pracující v částečně pozorovatelném prostředí udržuje na základě senzorického modelu
VíceOd Turingových strojů k P=NP
Složitost Od Turingových strojů k P=NP Zbyněk Konečný Zimnění 2011 12. 16.2.2011 Kondr (Než vám klesnou víčka 2011) Složitost 12. 16.2.2011 1 / 24 O čem to dnes bude? 1 Co to je složitost 2 Výpočetní modely
Více