Denice integrálu: Od Newtona k Bendové
|
|
|
- Leoš Ovčačík
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Denice integrálu: Od Newtona k Bendové Jan MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí nad Labem OSMA, V B-TU Ostrava, 3. listopadu 2015 Jan MALÝ Od Newtona... 1 / 32
2 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Jan MALÝ Od Newtona... 2 / 32
3 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p ínosu starých ek (Archimédes) a ƒí an. Jan MALÝ Od Newtona... 2 / 32
4 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p ínosu starých ek (Archimédes) a ƒí an. Zaml ím zásluhy B.F. Cavalieriho ( ), P. de Fermata ( ), J. Wallise ( ) a dal²ích. Jan MALÝ Od Newtona... 2 / 32
5 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p ínosu starých ek (Archimédes) a ƒí an. Zaml ím zásluhy B.F. Cavalieriho ( ), P. de Fermata ( ), J. Wallise ( ) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn p esn mysleli. Jan MALÝ Od Newtona... 2 / 32
6 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p ínosu starých ek (Archimédes) a ƒí an. Zaml ím zásluhy B.F. Cavalieriho ( ), P. de Fermata ( ), J. Wallise ( ) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn p esn mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p edm tem spor ) integrál b a f (x) dx (plochu pod grafem funkce) lze po ítat tak, ºe najdeme primitivní funkci k f, tj. takovou F : (a, b) R, ºe F (x) = f (x) na (a, b), a spo ítáme p ír stek funkce F. Jan MALÝ Od Newtona... 2 / 32
7 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p ínosu starých ek (Archimédes) a ƒí an. Zaml ím zásluhy B.F. Cavalieriho ( ), P. de Fermata ( ), J. Wallise ( ) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn p esn mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p edm tem spor ) integrál b a f (x) dx (plochu pod grafem funkce) lze po ítat tak, ºe najdeme primitivní funkci k f, tj. takovou F : (a, b) R, ºe F (x) = f (x) na (a, b), a spo ítáme p ír stek funkce F. Tj. b (N) f (x) dx := lim F (y) lim F (x). a y b x a + Jan MALÝ Od Newtona... 2 / 32
8 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p ínosu starých ek (Archimédes) a ƒí an. Zaml ím zásluhy B.F. Cavalieriho ( ), P. de Fermata ( ), J. Wallise ( ) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn p esn mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p edm tem spor ) integrál b a f (x) dx (plochu pod grafem funkce) lze po ítat tak, ºe najdeme primitivní funkci k f, tj. takovou F : (a, b) R, ºe F (x) = f (x) na (a, b), a spo ítáme p ír stek funkce F. Tj. b (N) f (x) dx := lim F (y) lim F (x). a y b x a + Termín Newton v integrál pro tento p ír stek pochází patrn od Jarníka a v zahrani ní literatu e se tém nevyskytuje. Jan MALÝ Od Newtona... 2 / 32
9 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p ínosu starých ek (Archimédes) a ƒí an. Zaml ím zásluhy B.F. Cavalieriho ( ), P. de Fermata ( ), J. Wallise ( ) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn p esn mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p edm tem spor ) integrál b a f (x) dx (plochu pod grafem funkce) lze po ítat tak, ºe najdeme primitivní funkci k f, tj. takovou F : (a, b) R, ºe F (x) = f (x) na (a, b), a spo ítáme p ír stek funkce F. Tj. b (N) f (x) dx := lim F (y) lim F (x). a y b x a + Termín Newton v integrál pro tento p ír stek pochází patrn od Jarníka a v zahrani ní literatu e se tém nevyskytuje. Newton se ur it nezabýval t ídou takto integrovatelných funkcí. Jan MALÝ Od Newtona... 2 / 32
10 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Nedozvíte se o p ínosu starých ek (Archimédes) a ƒí an. Zaml ím zásluhy B.F. Cavalieriho ( ), P. de Fermata ( ), J. Wallise ( ) a dal²ích. Nedozvíte se, jaké pouºívali zna ení Sir I. Newton a G. W. von Leibniz, ani jak to vlastn p esn mysleli. Podle nich (priorita je nejasná a uº tenkrát byla p edm tem spor ) integrál b a f (x) dx (plochu pod grafem funkce) lze po ítat tak, ºe najdeme primitivní funkci k f, tj. takovou F : (a, b) R, ºe F (x) = f (x) na (a, b), a spo ítáme p ír stek funkce F. Tj. b (N) f (x) dx := lim F (y) lim F (x). a y b x a + Termín Newton v integrál pro tento p ír stek pochází patrn od Jarníka a v zahrani ní literatu e se tém nevyskytuje. Newton se ur it nezabýval t ídou takto integrovatelných funkcí. Nás to samoz ejm zajímat bude. Jan MALÝ Od Newtona... 2 / 32
11 Sir Isaac Newton ( ) Portrét od Godfreye Knellera (1689) Jan MALÝ Od Newtona... 3 / 32
12 Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) portrét od Bernharda Christopha Franckeho (cca 1700) Jan MALÝ Od Newtona... 4 / 32
13 P íklad. Bu F (x) = x a f (x) = { F (x), x 0, 0, x = 0. Potom f nemá Newton v integrál p es [ 1, 1], protoºe nemá na tomto intervalu primitivní funkci. Jan MALÝ Od Newtona... 5 / 32
14 P íklad. Bu F (x) = x a f (x) = { F (x), x 0, 0, x = 0. Potom f nemá Newton v integrál p es [ 1, 1], protoºe nemá na tomto intervalu primitivní funkci. Kdyby ji m la, bylo by to ur it F (test pro x 0, spojitost v nule), ale F nemá derivaci v nule. Jan MALÝ Od Newtona... 5 / 32
15 P íklad. Bu F (x) = x a f (x) = { F (x), x 0, 0, x = 0. Potom f nemá Newton v integrál p es [ 1, 1], protoºe nemá na tomto intervalu primitivní funkci. Kdyby ji m la, bylo by to ur it F (test pro x 0, spojitost v nule), ale F nemá derivaci v nule. V n kterých u ebnicích se zavádí zobecn ní, ºe se povoluje výjime ná kone ná mnoºina, kde se od F nevyºaduje derivace, ale jen spojitost. Takové zobecn ní je ú elové, um lé a ne e²í podstatu problému. Jan MALÝ Od Newtona... 5 / 32
16 P íklad. Bu F (x) = x a f (x) = { F (x), x 0, 0, x = 0. Potom f nemá Newton v integrál p es [ 1, 1], protoºe nemá na tomto intervalu primitivní funkci. Kdyby ji m la, bylo by to ur it F (test pro x 0, spojitost v nule), ale F nemá derivaci v nule. V n kterých u ebnicích se zavádí zobecn ní, ºe se povoluje výjime ná kone ná mnoºina, kde se od F nevyºaduje derivace, ale jen spojitost. Takové zobecn ní je ú elové, um lé a ne e²í podstatu problému. Ale p ecijen výhoda: má-li f integrál p es dva sousedící intervaly, má i p es jejich sjednocení. Jan MALÝ Od Newtona... 5 / 32
17 P íklad. Nech k je p irozené íslo. Bu { x 2 sin 1 F (x) = x k, x 0, 0, x = 0. a f = F. Jan MALÝ Od Newtona... 6 / 32
18 P íklad. Nech k je p irozené íslo. Bu { x 2 sin 1 F (x) = x k, x 0, 0, x = 0. a f = F. Potom f je dob e denovaná, nebo F má derivaci v²ude. Uvaºujme f na intervalu I = [ 1, 1]. Potom f je tedy newtonovsky integrovatelná p es I. Pro k = 1 je funkce f je nespojitá a pro k = 1 je omezená na I, pro k = 2, 3,... je neomezená na I. Jan MALÝ Od Newtona... 6 / 32
19 P íklad. Nech k je p irozené íslo. Bu { x 2 sin 1 F (x) = x k, x 0, 0, x = 0. a f = F. Potom f je dob e denovaná, nebo F má derivaci v²ude. Uvaºujme f na intervalu I = [ 1, 1]. Potom f je tedy newtonovsky integrovatelná p es I. Pro k = 1 je funkce f je nespojitá a pro k = 1 je omezená na I, pro k = 2, 3,... je neomezená na I. Nyní se bude zabývat Riemannovým p ístupem k denici integrálu. Jan MALÝ Od Newtona... 6 / 32
20 Nech [a, b] je uzav ený omezený interval. Mnoºinu D podinterval [a, b] nazveme (oby ejným) d lením intervalu [a, b], jestliºe existují a = x 0 x 1 x m = b tak, ºe D = {[x i 1, x i ]: i = 1,..., m}. Jan MALÝ Od Newtona... 7 / 32
21 Nech [a, b] je uzav ený omezený interval. Mnoºinu D podinterval [a, b] nazveme (oby ejným) d lením intervalu [a, b], jestliºe existují a = x 0 x 1 x m = b tak, ºe D = {[x i 1, x i ]: i = 1,..., m}. Mnoºinu D uspo ádaných dvojic (interval, bod) nazveme riemannovským d lením intervalu [a, b], jestliºe existují a = x 0 ξ 1 x 1 x m 1 ξ m x m = b tak, ºe D = {([x i 1, x i ], ξ i ): i = 1,..., m}. (1) Nech δ > 0. ekneme, ºe riemannovské d lení D je δ-jemné, jestliºe pro v²echna i = 1,..., m je x i x i 1 < δ. Jan MALÝ Od Newtona... 7 / 32
22 Nech [a, b] je uzav ený omezený interval. Mnoºinu D podinterval [a, b] nazveme (oby ejným) d lením intervalu [a, b], jestliºe existují a = x 0 x 1 x m = b tak, ºe D = {[x i 1, x i ]: i = 1,..., m}. Mnoºinu D uspo ádaných dvojic (interval, bod) nazveme riemannovským d lením intervalu [a, b], jestliºe existují a = x 0 ξ 1 x 1 x m 1 ξ m x m = b tak, ºe D = {([x i 1, x i ], ξ i ): i = 1,..., m}. (1) Nech δ > 0. ekneme, ºe riemannovské d lení D je δ-jemné, jestliºe pro v²echna i = 1,..., m je x i x i 1 < δ. Uvaºujme funkci f : [a, b] R a riemannovské d lení D intervalu [a, b], viz (1). Potom riemannovský sou et f p es D je íslo R(f, D) = m f (ξ i )(x i x i 1 ). i=1 Jan MALÝ Od Newtona... 7 / 32
23 ƒíslo I nazveme Riemannovým integrálem funkce f p es [a, b], jestliºe ε > 0 δ > 0 tak, ºe pro kaºdé δ-jemné d lení D intervalu [a, b] je I R(f, D) < ε. Takové íslo I je nejvý²e jedno. Zna íme b (R) f (x) dx. a Jan MALÝ Od Newtona... 8 / 32
24 ƒíslo I nazveme Riemannovým integrálem funkce f p es [a, b], jestliºe ε > 0 δ > 0 tak, ºe pro kaºdé δ-jemné d lení D intervalu [a, b] je I R(f, D) < ε. Takové íslo I je nejvý²e jedno. Zna íme b (R) f (x) dx. a A.L. Cauchy dokázal, ºe kaºdá spojitá funkce f na uzav eném omezeném intervalu má Riemann v integrál. Jan MALÝ Od Newtona... 8 / 32
25 ƒíslo I nazveme Riemannovým integrálem funkce f p es [a, b], jestliºe ε > 0 δ > 0 tak, ºe pro kaºdé δ-jemné d lení D intervalu [a, b] je I R(f, D) < ε. Takové íslo I je nejvý²e jedno. Zna íme b (R) f (x) dx. a A.L. Cauchy dokázal, ºe kaºdá spojitá funkce f na uzav eném omezeném intervalu má Riemann v integrál. Aº na to, ºe tehdy to je²t nebyl Riemann v integrál. B. Riemann p i²el se svou denicí pozd ji. Jeho zásluha je hlavn v tom, ºe nep edpokládal spojitost, ale zavedl t ídu integrovatelných funkcí, pro které jeho denice dává výsledek. Jan MALÝ Od Newtona... 8 / 32
26 Augustin Louis Cauchy ( ) Jan MALÝ Od Newtona... 9 / 32
27 Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) Jan MALÝ Od Newtona / 32
28 V u ebnicích se obvykle zavádí horní a dolní Riemannovské sou ty pro oby ejná d lení, horní a dolní Riemann v integrál a Riemann v integrál se denuje pro funkce, na nichº horní a dolní integrál dává stejnou hodnotu. Tento p ístup pochází ale od J.-G. Darbouxe. Pro se tomu íká Riemann v integrál? Jan MALÝ Od Newtona / 32
29 V u ebnicích se obvykle zavádí horní a dolní Riemannovské sou ty pro oby ejná d lení, horní a dolní Riemann v integrál a Riemann v integrál se denuje pro funkce, na nichº horní a dolní integrál dává stejnou hodnotu. Tento p ístup pochází ale od J.-G. Darbouxe. Pro se tomu íká Riemann v integrál? Riemann byl d ív, a proto se mu p ipisuje v t²í zásluha. Jan MALÝ Od Newtona / 32
30 V u ebnicích se obvykle zavádí horní a dolní Riemannovské sou ty pro oby ejná d lení, horní a dolní Riemann v integrál a Riemann v integrál se denuje pro funkce, na nichº horní a dolní integrál dává stejnou hodnotu. Tento p ístup pochází ale od J.-G. Darbouxe. Pro se tomu íká Riemann v integrál? Riemann byl d ív, a proto se mu p ipisuje v t²í zásluha. Oba p ístupy dávají stejnou t ídu integrovatelných funkcí. Jan MALÝ Od Newtona / 32
31 V u ebnicích se obvykle zavádí horní a dolní Riemannovské sou ty pro oby ejná d lení, horní a dolní Riemann v integrál a Riemann v integrál se denuje pro funkce, na nichº horní a dolní integrál dává stejnou hodnotu. Tento p ístup pochází ale od J.-G. Darbouxe. Pro se tomu íká Riemann v integrál? Riemann byl d ív, a proto se mu p ipisuje v t²í zásluha. Oba p ístupy dávají stejnou t ídu integrovatelných funkcí. Darbouxova denice Riemannova integrálu se pokládá za lep²í z metodického hlediska. Jan MALÝ Od Newtona / 32
32 Jean-Gaston Darboux ( ) Jan MALÝ Od Newtona / 32
33 Riemannovská denice integruje i n které nespojité funkce, nap. funkce po ástech spojité. Existují ale jednoduché integrály, které Riemannova denice nezvládne, nap. x 2 dx = [ 1 ] = 1, x 1 x 1/2 dx = [ 2 x ] 1 0 = 2. Jan MALÝ Od Newtona / 32
34 Riemannovská denice integruje i n které nespojité funkce, nap. funkce po ástech spojité. Existují ale jednoduché integrály, které Riemannova denice nezvládne, nap. x 2 dx = [ 1 ] = 1, x 1 x 1/2 dx = [ 2 x ] 1 0 = 2. Tomu se n kte í auto i u ebnic snaºí odpomoci um lými úpravami, nap íklad zavád jí zobecn ný Riemann v integrál jako limitu Riemannových integrál p es podintervaly. Jan MALÝ Od Newtona / 32
35 Riemannovská denice integruje i n které nespojité funkce, nap. funkce po ástech spojité. Existují ale jednoduché integrály, které Riemannova denice nezvládne, nap. x 2 dx = [ 1 ] = 1, x 1 x 1/2 dx = [ 2 x ] 1 0 = 2. Tomu se n kte í auto i u ebnic snaºí odpomoci um lými úpravami, nap íklad zavád jí zobecn ný Riemann v integrál jako limitu Riemannových integrál p es podintervaly. Takové denice jsou ale um lé a neodstraní princip pro riemannovská denice selhává. Jan MALÝ Od Newtona / 32
36 Riemannovská denice integruje i n které nespojité funkce, nap. funkce po ástech spojité. Existují ale jednoduché integrály, které Riemannova denice nezvládne, nap. x 2 dx = [ 1 ] = 1, x 1 x 1/2 dx = [ 2 x ] 1 0 = 2. Tomu se n kte í auto i u ebnic snaºí odpomoci um lými úpravami, nap íklad zavád jí zobecn ný Riemann v integrál jako limitu Riemannových integrál p es podintervaly. Takové denice jsou ale um lé a neodstraní princip pro riemannovská denice selhává. Funkce x 1/2 má zobecn ný Riemann v integrál p es [ 1, 0] a p es [0, 1], ale uº ne p es [ 1, 1]. Jan MALÝ Od Newtona / 32
37 Ale co h. Riemannova denice selhává i na omezených funkcích na omezeném intervalu. Jan MALÝ Od Newtona / 32
38 Ale co h. Riemannova denice selhává i na omezených funkcích na omezeném intervalu. Uvaºujme Dirichletovu funkci { 1, x racionální, dir(x) = 0, x iracionální, Potom funkce dir není Riemannovsky integrovatelná p es [0, 1]. Jan MALÝ Od Newtona / 32
39 Ale co h. Riemannova denice selhává i na omezených funkcích na omezeném intervalu. Uvaºujme Dirichletovu funkci { 1, x racionální, dir(x) = 0, x iracionální, Potom funkce dir není Riemannovsky integrovatelná p es [0, 1]. Uspo ádejme v²echna racionální ísla do posloupnosti {q n } n a poloºme { 1, x {q 1,..., q n }, f n (x) = 0, jinak. Potom funkce f n jsou riemannovsky integrovatelné a lim f n = dir, n takºe limita riemannovsky integrovatelných funkcí není riemannovsky integrovatelná (p es [0, 1]), a koli má horní i dolní integrál kone ný. Jan MALÝ Od Newtona / 32
40 Ale co h. Existuje derivace, která není Riemannovsky integrovatelná. (takºe newtonovsky ano, riemannovsky ne). Víme, ºe existuje derivace na [ 1, 1], která je neomezená u nuly, ta nem ºe být Riemannovsky integrovatelná p es [ 1, 1]. Jan MALÝ Od Newtona / 32
41 Ale co h. Existuje omezená derivace, která není Riemannovsky integrovatelná. Konstrukce takové funkce je t ºká. Ukaºme si nejprve stavební kámen. Uvaºujeme interval (a, b) a funkci F a,b (x) = (x a) 2 (b x) 2 sin 1 (x a)(b x)(b a). Potom F a,b má omezenou derivaci na (a, b), ale tato derivace nemá jednostranné limity v a + ani v b. Nyní uvaºujeme posloupnost {(a j, b j )} j navzájem disjunktních interval tak, ºe jsou husté v (0, 1), ale jejich sou et délek je men²í neº 1. Poloºme { F a j,bj F (x) = (x), x (a j, b j ), 0, jinak. Potom F má v²ude derivaci ale ta není Riemannovsky integrovatelná. Jan MALÝ Od Newtona / 32
42 Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova denice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav eném intervalu, dále kaºdá k integrování n kterých nespojitých funkcí. Jan MALÝ Od Newtona / 32
43 Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova denice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav eném intervalu, dále kaºdá k integrování n kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich. Jan MALÝ Od Newtona / 32
44 Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova denice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav eném intervalu, dále kaºdá k integrování n kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich. Výhodou Riemannova p ístupu je, ºe v p esných termínech popisuje jak intuitivn vnímáme zadání: obsah plochy pod grafem funkce. Je pouºitelná pro numerickou integraci. Jan MALÝ Od Newtona / 32
45 Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova denice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav eném intervalu, dále kaºdá k integrování n kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich. Výhodou Riemannova p ístupu je, ºe v p esných termínech popisuje jak intuitivn vnímáme zadání: obsah plochy pod grafem funkce. Je pouºitelná pro numerickou integraci. Výhodou Newtonova p ístupu je, ºe popisuje, jak se integrál opravdu po ítá v kalkulu. Jan MALÝ Od Newtona / 32
46 Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova denice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav eném intervalu, dále kaºdá k integrování n kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich. Výhodou Riemannova p ístupu je, ºe v p esných termínech popisuje jak intuitivn vnímáme zadání: obsah plochy pod grafem funkce. Je pouºitelná pro numerickou integraci. Výhodou Newtonova p ístupu je, ºe popisuje, jak se integrál opravdu po ítá v kalkulu.... tedy pokud umíme najít primitivní funkci. Jan MALÝ Od Newtona / 32
47 Shrnutí (a dal²í moudra). Riemannova i Newtonova denice se hodí k integrování spojitých funkcí na omezeném uzav eném intervalu, dále kaºdá k integrování n kterých nespojitých funkcí. Na svou dobu geniální. Ale jejich výkon co se tý e integrování nespojitých funkcí je velmi neuspokojivý, nap. Dirichletovu funkci nezintegruje ºádná z nich. Výhodou Riemannova p ístupu je, ºe v p esných termínech popisuje jak intuitivn vnímáme zadání: obsah plochy pod grafem funkce. Je pouºitelná pro numerickou integraci. Výhodou Newtonova p ístupu je, ºe popisuje, jak se integrál opravdu po ítá v kalkulu.... tedy pokud umíme najít primitivní funkci. Pokud n která funkce má integrál podle obou denic, pak vyjde podle obou stejn. Tzv. Základní v ta kalkulu: Je-li F = f, f Riemannovsky integrovatelná na [a, b], pak b (R) f (x) dx = F (b) F (a). a Jan MALÝ Od Newtona / 32
48 Riemannova denice integrálu po ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m it obecné podmnoºiny p ímky (dokonce i vícerozm rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém M m itelných podmnoºin R a na n m Lebesgueovu míru λ. Jan MALÝ Od Newtona / 32
49 Riemannova denice integrálu po ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m it obecné podmnoºiny p ímky (dokonce i vícerozm rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém M m itelných podmnoºin R a na n m Lebesgueovu míru λ. Zmi me d leºité vlastnosti: pro v²echna a < b R, [a, b] M a λ([a, b]) = b a, Jan MALÝ Od Newtona / 32
50 Riemannova denice integrálu po ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m it obecné podmnoºiny p ímky (dokonce i vícerozm rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém M m itelných podmnoºin R a na n m Lebesgueovu míru λ. Zmi me d leºité vlastnosti: pro v²echna a < b R, [a, b] M a λ([a, b]) = b a, A j M, A j po dvou disjunktní = j=1 A j M a ( λ j=1 A j ) = λ(a j ). j=1 Jan MALÝ Od Newtona / 32
51 Riemannova denice integrálu po ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m it obecné podmnoºiny p ímky (dokonce i vícerozm rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém M m itelných podmnoºin R a na n m Lebesgueovu míru λ. Zmi me d leºité vlastnosti: pro v²echna a < b R, [a, b] M a λ([a, b]) = b a, A j M, A j po dvou disjunktní = j=1 A j M a ( λ j=1 A j ) = λ(a j ). j=1 Nech M M. ekneme, ºe funkce f : M R je m itelná, jestliºe pro v²echna c R je {x : f (x) > c} M. Jan MALÝ Od Newtona / 32
52 Riemannova denice integrálu po ítá s délkou intervalu. H. Lebesgue vymyslel metodu jak m it obecné podmnoºiny p ímky (dokonce i vícerozm rného prostoru). Máme tedy k dispozici systém M m itelných podmnoºin R a na n m Lebesgueovu míru λ. Zmi me d leºité vlastnosti: pro v²echna a < b R, [a, b] M a λ([a, b]) = b a, A j M, A j po dvou disjunktní = j=1 A j M a ( λ j=1 A j ) = λ(a j ). j=1 Nech M M. ekneme, ºe funkce f : M R je m itelná, jestliºe pro v²echna c R je {x : f (x) > c} M. Lebesgueovské d lení D m itelné mnoºiny M je kone ný systém {A j } j navzájem disjunktních m itelných podmnoºin M. Oproti riemannovskému d lení, A j nemusí být intervaly. Jan MALÝ Od Newtona / 32
53 Nech M R je m itelná mnoºina a f : M R je nezáporná m itelná funkce. Nech D = {A 1,..., A m } je Lebesgueovské d lení M, p i a me dolní sou et L(f, D) = m j=1 λ(a j ) inf Aj f. Jan MALÝ Od Newtona / 32
54 Nech M R je m itelná mnoºina a f : M R je nezáporná m itelná funkce. Nech D = {A 1,..., A m } je Lebesgueovské d lení M, p i a me dolní sou et L(f, D) = m j=1 λ(a j ) inf Aj Lebesgue v integrál funkce f denujeme jako supremum v²ech (lebesgueovských) dolních sou t. M ºe vyjít i +. f. Jan MALÝ Od Newtona / 32
55 Nech M R je m itelná mnoºina a f : M R je nezáporná m itelná funkce. Nech D = {A 1,..., A m } je Lebesgueovské d lení M, p i a me dolní sou et L(f, D) = m j=1 λ(a j ) inf Aj Lebesgue v integrál funkce f denujeme jako supremum v²ech (lebesgueovských) dolních sou t. M ºe vyjít i +. Pro funkce st ídající znaménko denujeme Lebesgue v integrál tak, aby integrál rozdílu byl rozdíl integrál, pomocí rozkladu funkce na kladnou a zápornou ást. Pokud to vede k neur itému výrazu, z stává Lebesgue v integrál nedenován. f. Jan MALÝ Od Newtona / 32
56 Henri Léon Lebesgue ( ) Jan MALÝ Od Newtona / 32
57 Výhody Lebesgueova integrálu: Jan MALÝ Od Newtona / 32
58 Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce. Jan MALÝ Od Newtona / 32
59 Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce. Za p ijatelných podmínek je limita posloupnosti integrovatelných funkcí integrovatelná a integrál limity je limita integrál. Jan MALÝ Od Newtona / 32
60 Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce. Za p ijatelných podmínek je limita posloupnosti integrovatelných funkcí integrovatelná a integrál limity je limita integrál. My²lenku lze pouºít na obecn j²í neº jednorozm rné integrace (vícerozm rné, k ivkové, plo²né, pravd podobnostní,... ). Jan MALÝ Od Newtona / 32
61 Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce. Za p ijatelných podmínek je limita posloupnosti integrovatelných funkcí integrovatelná a integrál limity je limita integrál. My²lenku lze pouºít na obecn j²í neº jednorozm rné integrace (vícerozm rné, k ivkové, plo²né, pravd podobnostní,... ). Je naprosto profesionální. V odborné matematické literatu e, pokud není výslovn e eno jinak, integrál=lebesgue v integrál. Jan MALÝ Od Newtona / 32
62 Výhody Lebesgueova integrálu: iroká t ída integrovatelných funkcí. Zahrnuje Riemann v integrál. Integruje v²echny rozumné nezáporné funkce. Za p ijatelných podmínek je limita posloupnosti integrovatelných funkcí integrovatelná a integrál limity je limita integrál. My²lenku lze pouºít na obecn j²í neº jednorozm rné integrace (vícerozm rné, k ivkové, plo²né, pravd podobnostní,... ). Je naprosto profesionální. V odborné matematické literatu e, pokud není výslovn e eno jinak, integrál=lebesgue v integrál. Jan MALÝ Od Newtona / 32
63 Nevýhody Lebesgueova integrálu: Jan MALÝ Od Newtona / 32
64 Nevýhody Lebesgueova integrálu: Pokládá se za nepochopitelný pro studenty. Nedává se do u ebních plán kalkulu. Démonizuje se. Jan MALÝ Od Newtona / 32
65 Nevýhody Lebesgueova integrálu: Pokládá se za nepochopitelný pro studenty. Nedává se do u ebních plán kalkulu. Démonizuje se. Nezahrnuje tzv. neabsolutn konvergentní integrály. Neintegruje v²echny derivace. Jan MALÝ Od Newtona / 32
66 Nevýhody Lebesgueova integrálu: Pokládá se za nepochopitelný pro studenty. Nedává se do u ebních plán kalkulu. Démonizuje se. Nezahrnuje tzv. neabsolutn konvergentní integrály. Neintegruje v²echny derivace. P íklady. Integrály 1 1 x sin 1 x dx, sin x dx x mají smysl jako Newtonovy, ale ne jako Lebesgueovy. Jan MALÝ Od Newtona / 32
67 Problém. Nedal by se vymyslet integrál, který by zahrnul Lebesgue v i Newton v? Ve st edu zájmu p ed sto lety. Jan MALÝ Od Newtona / 32
68 Problém. Nedal by se vymyslet integrál, který by zahrnul Lebesgue v i Newton v? Ve st edu zájmu p ed sto lety. e²ení. A. Denjoy ( ) [2]. Denice velmi sloºitá. Jiné (téº sloºité) denice, dávající stejnou t ídu integrovatelných funkcí: N. N. Luzin ( ) [6], O. Perron ( ) [7]... viz pojednání v Jarníkov knize. Jan MALÝ Od Newtona / 32
69 Problém. Nedal by se vymyslet integrál, který by zahrnul Lebesgue v i Newton v? Ve st edu zájmu p ed sto lety. e²ení. A. Denjoy ( ) [2]. Denice velmi sloºitá. Jiné (téº sloºité) denice, dávající stejnou t ídu integrovatelných funkcí: N. N. Luzin ( ) [6], O. Perron ( ) [7]... viz pojednání v Jarníkov knize. Ve skute nosti n které z t chto denic fungují na je²t ²ir²í t idu integrovatelných funkcí, neº máme na mysli... Jan MALÝ Od Newtona / 32
70 Arnaud Denjoy ( ) Jan MALÝ Od Newtona / 32
71 Objev padesátých let: k DenjoyPerronov integrálu lze dojít malou modikací p vodní Riemannovy denice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3]. Jan MALÝ Od Newtona / 32
72 Objev padesátých let: k DenjoyPerronov integrálu lze dojít malou modikací p vodní Riemannovy denice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3]. Nech δ : [a, b] (0, ) je funkce (tzv. m rka). ekneme, ºe Riemannovské d lení D : a = x 0 ξ 1 x 1 x m 1 ξ m x m = b je δ-jemné, jestliºe x i x i 1 δ(ξ i ), i = 1,..., m. Jan MALÝ Od Newtona / 32
73 Objev padesátých let: k DenjoyPerronov integrálu lze dojít malou modikací p vodní Riemannovy denice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3]. Nech δ : [a, b] (0, ) je funkce (tzv. m rka). ekneme, ºe Riemannovské d lení D : a = x 0 ξ 1 x 1 x m 1 ξ m x m = b je δ-jemné, jestliºe x i x i 1 δ(ξ i ), i = 1,..., m. ƒíslo I nazveme (Henstock-)Kurzweilovým integrálem funkce f p es [a, b], jestliºe ε > 0 existuje m rka δ tak, ºe pro kaºdé δ-jemné d lení D intervalu [a, b] je I R(f, D) < ε. Jan MALÝ Od Newtona / 32
74 Objev padesátých let: k DenjoyPerronov integrálu lze dojít malou modikací p vodní Riemannovy denice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3]. Nech δ : [a, b] (0, ) je funkce (tzv. m rka). ekneme, ºe Riemannovské d lení D : a = x 0 ξ 1 x 1 x m 1 ξ m x m = b je δ-jemné, jestliºe x i x i 1 δ(ξ i ), i = 1,..., m. ƒíslo I nazveme (Henstock-)Kurzweilovým integrálem funkce f p es [a, b], jestliºe ε > 0 existuje m rka δ tak, ºe pro kaºdé δ-jemné d lení D intervalu [a, b] je I R(f, D) < ε. Takové íslo I je nejvý²e jedno. Zna íme (HK) b a f (x) dx. Jan MALÝ Od Newtona / 32
75 Objev padesátých let: k DenjoyPerronov integrálu lze dojít malou modikací p vodní Riemannovy denice! Nezávisle J. Kurzweil, [4] a R. Henstock, [3]. Nech δ : [a, b] (0, ) je funkce (tzv. m rka). ekneme, ºe Riemannovské d lení D : a = x 0 ξ 1 x 1 x m 1 ξ m x m = b je δ-jemné, jestliºe x i x i 1 δ(ξ i ), i = 1,..., m. ƒíslo I nazveme (Henstock-)Kurzweilovým integrálem funkce f p es [a, b], jestliºe ε > 0 existuje m rka δ tak, ºe pro kaºdé δ-jemné d lení D intervalu [a, b] je I R(f, D) < ε. Takové íslo I je nejvý²e jedno. Zna íme (HK) b a f (x) dx. Jediný rozdíl proti Riemannov denici: δ není konstanta. Jan MALÝ Od Newtona / 32
76 Ralph Henstock ( ) Jan MALÝ Od Newtona / 32
77 Jaroslav Kurzweil (*1926) Jan MALÝ Od Newtona / 32
78 Kurzweil v integrál je neabsolutn konvergentní, podobn jako ada n=1 ( 1)n 1 je neabsolutn konvergentní. n Jan MALÝ Od Newtona / 32
79 Kurzweil v integrál je neabsolutn konvergentní, podobn jako ada n=1 ( 1)n 1 je neabsolutn konvergentní. n Nevýhody neabsolutn konvergentní integrace: pot ebuje bohatou strukturu (nap. bere v úvahu uspo ádání reálných ísel, podobn jako neabsolutn konvergentní ady berou v úvahu uspo ádání p irozených ísel). Jan MALÝ Od Newtona / 32
80 Kurzweil v integrál je neabsolutn konvergentní, podobn jako ada n=1 ( 1)n 1 je neabsolutn konvergentní. n Nevýhody neabsolutn konvergentní integrace: pot ebuje bohatou strukturu (nap. bere v úvahu uspo ádání reálných ísel, podobn jako neabsolutn konvergentní ady berou v úvahu uspo ádání p irozených ísel). lo by nahradit Riemann v integrál Kurzweilovým ve výuce kalkulu? Jan MALÝ Od Newtona / 32
81 Kurzweil v integrál je neabsolutn konvergentní, podobn jako ada n=1 ( 1)n 1 je neabsolutn konvergentní. n Nevýhody neabsolutn konvergentní integrace: pot ebuje bohatou strukturu (nap. bere v úvahu uspo ádání reálných ísel, podobn jako neabsolutn konvergentní ady berou v úvahu uspo ádání p irozených ísel). lo by nahradit Riemann v integrál Kurzweilovým ve výuce kalkulu? Pokusy byly, nap. [5], ale zatím se moc neujalo. Jan MALÝ Od Newtona / 32
82 Kurzweil v integrál vznikl drobnou úpravou Riemannovy konstruktivní denice. Velmi nový objev: Stejn mocný integrál (co se tý e t ídy integrovatelných funkcí) lze zavést drobnou úpravou Newtonovy deskriptivní denice, [1]. Jan MALÝ Od Newtona / 32
83 Kurzweil v integrál vznikl drobnou úpravou Riemannovy konstruktivní denice. Velmi nový objev: Stejn mocný integrál (co se tý e t ídy integrovatelných funkcí) lze zavést drobnou úpravou Newtonovy deskriptivní denice, [1]. Nech F, f : (a, b) R jsou funkce. ekneme, ºe F je neur itý integrál Bendové, i ºe f je derivace Bendové funkce F, jestliºe existuje rostoucí funkce γ : (a, b) R (tzv. kontrolní funkce) tak, ºe pro v²echna x (a, b) je F (y) F (x) f (x)(y x) lim = 0. y x γ(y) γ(x) Jan MALÝ Od Newtona / 32
84 Kurzweil v integrál vznikl drobnou úpravou Riemannovy konstruktivní denice. Velmi nový objev: Stejn mocný integrál (co se tý e t ídy integrovatelných funkcí) lze zavést drobnou úpravou Newtonovy deskriptivní denice, [1]. Nech F, f : (a, b) R jsou funkce. ekneme, ºe F je neur itý integrál Bendové, i ºe f je derivace Bendové funkce F, jestliºe existuje rostoucí funkce γ : (a, b) R (tzv. kontrolní funkce) tak, ºe pro v²echna x (a, b) je F (y) F (x) f (x)(y x) lim = 0. y x γ(y) γ(x) Ur itý integrál se pak denuje jako p ír stek neur itého. Jan MALÝ Od Newtona / 32
85 Hana Kruli²ová roz. Bendová (*1988) Jan MALÝ Od Newtona / 32
86 Výhody integrálu Bendové: Jan MALÝ Od Newtona / 32
87 Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární denice Jan MALÝ Od Newtona / 32
88 Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární denice Snadná manipulace p i d kazech vzorc, jako per partes a substituce (derivace sou inu a sloºené funkce) Jan MALÝ Od Newtona / 32
89 Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární denice Snadná manipulace p i d kazech vzorc, jako per partes a substituce (derivace sou inu a sloºené funkce) Snadný d kaz v ty o monotonní konvergenci Jan MALÝ Od Newtona / 32
90 Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární denice Snadná manipulace p i d kazech vzorc, jako per partes a substituce (derivace sou inu a sloºené funkce) Snadný d kaz v ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce Jan MALÝ Od Newtona / 32
91 Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární denice Snadná manipulace p i d kazech vzorc, jako per partes a substituce (derivace sou inu a sloºené funkce) Snadný d kaz v ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce Zákon zachování obtíºnosti: Jan MALÝ Od Newtona / 32
92 Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární denice Snadná manipulace p i d kazech vzorc, jako per partes a substituce (derivace sou inu a sloºené funkce) Snadný d kaz v ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce Zákon zachování obtíºnosti: Pr nik dvou m itelných mnoºin je m itelný d kaz uº není tak k i² álov jednoduchý Jan MALÝ Od Newtona / 32
93 Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární denice Snadná manipulace p i d kazech vzorc, jako per partes a substituce (derivace sou inu a sloºené funkce) Snadný d kaz v ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce Zákon zachování obtíºnosti: Pr nik dvou m itelných mnoºin je m itelný d kaz uº není tak k i² álov jednoduchý Nevýhoda: Jan MALÝ Od Newtona / 32
94 Výhody integrálu Bendové: Naprosto elementární denice Snadná manipulace p i d kazech vzorc, jako per partes a substituce (derivace sou inu a sloºené funkce) Snadný d kaz v ty o monotonní konvergenci Lze vybudovat míru jako integrál z charakteristické funkce Zákon zachování obtíºnosti: Pr nik dvou m itelných mnoºin je m itelný d kaz uº není tak k i² álov jednoduchý Nevýhoda: Zobecn ní do vy²²í dimenze ztrácí eleganci a názornost Jan MALÝ Od Newtona / 32
95 H. Bendová and J. Malý. An elementary way to introduce a Perron-like integral. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 36(1):153164, A. Denjoy. Une extension de l'intégrale de M. Lebesgue. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 154:859862, R. Henstock. Denitions of Riemann type of the variational integrals. Proc. London Math. Soc. (3), 11:402418, J. Kurzweil. Generalized ordinary dierential equations and continuous dependence on a parameter. Czechoslovak Math. J., 7 (82):418449, P. Y. Lee and R. Výborný. Integral: an easy approach after Kurzweil and Henstock, volume 14 of Australian Mathematical Society Lecture Series. Cambridge University Press, Cambridge, N. Lusin. Sur les propriétés de l'intégrale de M. Denjoy. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 155: , O. Perron. Über den Integralbegri. Sitzungsber. Heidelberg Akad. Wiss., A16:116, Jan MALÝ Od Newtona / 32
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
Integrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
Limity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
Aplikovaná matematika 1
Aplikovaná matematika 1 NMAF071 Tomá² Sala 1 MÚ UK, MFF UK ZS 2017-18 1 Tímto bych cht l pod kovat doc. RNDr. Mirkovi Rokytovi, CSc. a doc. Milanu Pokornému za poskytnutí podklad, které jsem pouze mírn
Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
P íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
Pr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
Rovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
Derivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
T i hlavní v ty pravd podobnosti
T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
Ergodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
Ur itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu
V tomto lánku se budeme v novt ur itému integrálu, který dné funkci p i zuje íslo. My²lenk integrování pochází z geometrických poºdvk - zji² ování povrch, objem délek geometrických útvr. To znmená, ºe
Binární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
TEORIE MÍRY A INTEGRÁLU U EBNÍ TEXT PRO NMMA203
TEORIE MÍRY A INTEGRÁLU U EBNÍ TET PRO NMMA23 JAN MALÝ Obsah 1. Poem míry 1 2. Lebesgueova míra: nástin 4 3. M itelné funkce 5 4. Abstraktní Lebesgue v integrál 7 5. Lebesgue v integrál na p ímce 13 6.
Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
Vektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
Relace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
ízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014
ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností
e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a
e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a Úloha 4.1. Na zah átí si dáme snadn j²í p íklad. Ur it zná² hru Myslím si íslo a to má vlastnost, je to velice podobné. Tedy mám binární lineární kód délky 5, který
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
Matematická analýza III. Jan Malý
Matematická analýza III Jan Malý Obsah Kapitola 1. Eukleidovský prostor 5 1. Eukleidovský prostor 5 2. Obecn j²í pohled na prostor 7 3. Spojitost a limita 8 4. Kontrolní otázky 1 Kapitola 2. Diferenciální
1 Spo jité náhodné veli iny
Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta 17. b ezna 2015 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)
Matematická analýza III. Jan Malý
Matematická analýza III Jan Malý Obsah Kapitola 1. Eukleidovský prostor 5 1. Eukleidovský prostor 5 2. Obecn j²í pohled na prostor 7 3. Spojitost a limita 8 Kapitola 2. Diferenciální po et funkcí více
Teorie her. Klasikace. Pomocný text
Pomocný text Teorie her Milí e²itelé, první ty i úlohy kaºdé série spojuje jisté téma a vám bude poskytnut text, který vás tímto tématem mírn provede a pom ºe vám p i e²ení t chto úloh. Teorie her, jiº
Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
brmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika
brmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika P edná²ka. 6 Petr Baudi² pasky@ucw.cz brmlab 2011 Outline 1 Pravd podobnost 2 Um lá inteligence 3 Sloºitost 4 Datové struktury Pravd podobnost Pravd
Základní pojmy teorie mnoºin.
Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající
Vzorové e²ení 4. série
Vzorové e²ení 4. série Úloha 4.1 Kouma koupil Œoumovi k Vánoc m Rubikovu kostku. Strana kostky m í 10 cm. Kdyº mu ji v²ak cht l zabalit do váno ního papíru, zjistil, ºe má k dispozici pouze tvercový papír
f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
LEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 29/5/218, 9: 11: ➊ (8 bod ) Pro parametry a > a b R vypo t te ur itý integrál e ax2 cos(bx2 ) 1 x Uºijte v tu o derivaci integrálu s parametrem. Spln ní p edpokladu
Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
Konvergence kuncova/
Konvergence http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Příklady.. 3. 3 + d Konverguje - u je funkce spojitá, u srovnáme s /. e d Konverguje - na intervalu [, ] je funkce spojitá, na intervalu
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
10 je 0,1; nebo taky, že 256
LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání
3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny
3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny Co to znamená, kdyº prohlásíme, ºe jsou n jaká d leºitá rozd lení? Rozd lení náhodné veli iny je její popis. A náhodná veli ina p edstavuje ur itý náhodný pokus (kde
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia. předmětu MATEMATIKA A
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA A Název tématického celku: Zobrazení,reálné funkce jedné reálné proměnné,elementární funkce a jejich základní vlastnosti,lineární
< (h(x i ) ε) + ϕ k (t i ) ϕ k (t i 1 ) + ε m.
KLASICKÉ ÚLOHY VARIAƒNÍHO POƒTU JAN MALÝ 1. Obecná úloha 1.1. Formulace úlohy. N které klasické úlohy varia ního po tu lze vyjád it ve tvaru J () = h(x) ds, kde h : R n [, + ] je nezáporná zdola polospojitá
Kvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze
Kvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze Svatopluk Krýsl Matematický ústav Univerzity Karlovy Filozocké problémy informatiky 27. íjen 2015 1 Kvantová fyzika 2 Zachycující struktury -
m = V = Sv t P i tomto pohybu rozpohybuje i tekutinu, kterou má v cest. Hmotnost této tekutiny je nepochybn
Odpor vzduchu JAKUB BENDA, MILAN ROJKO Gymnázium Jana Nerudy, Praha V kroužku experimentální fyziky jsme ov ovali vztah: F = ½ SC v (1) V tomto vztahu je F odporová aerodynamická síla p sobící na t leso
Testy pro více veli in
Kapitola 8 Testy pro více veli in 8.1 Testy parametr s více výb ry s p edpokladem normality dat 8.1.1 Testy s dv ma výb ry. P edpoklady: Pro spojité rozd lení normalita nebo velký výb r. Pro diskrétní
p (1) k 0 k 1 je pravd podobnost p echodu ze stavu k i v l ; 1 kroku do stavu k j
Markovovsk n hodn procesy U Markovovsk ho n hodn ho proces nez vis dal v voj na zp sobu, jak se proces dostal do sou asn ho stavu. Plat 8 t
Fyzikální praktikum 3
Ústav fyzikální elekotroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 7. Opera ní zesilova Úvod Opera ní zesilova je elektronický obvod hojn vyuºívaný tém ve v²ech
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost 28. února 204 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
Zobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
Konceptuální modelování
Konceptuální modelování Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,
na za átku se denuje náhodná veli ina
P íklad 1 Generujeme data z náhodné veli iny s normálním rozd lením se st ední hodnotou µ = 1 a rozptylem =. Rozptyl povaºujeme za známý, ale z dat chceme odhadnout st ední hodnotu. P íklad se e²í v následujícím
Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
Matice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce
Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací
ST1 - Úkol 1. [Minimáln 74 K /láhev]
![ST1 - Úkol 1. [Minimáln 74 K /láhev]](/thumbs/27/11389249.jpg "ST1 - Úkol 1. [Minimáln 74 K /láhev]")
ST1 - Úkol 1 P íklad 1 Myslivecký spolek po ádá sv j tradi ní ples. Mimo jiné bylo nakoupeno lahvové víno podle rozpisu v Tabulce 1.1. P edpokládá se (podle historických zku²eností), ºe v²echny láhve budou
Petra Jir tková. Pokrývací v ty
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Petra Jir tková Pokrývací v ty Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: Studijní program: Studijní obor: prof. RNDr.
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Modelování v elektrotechnice
Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod
Obsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
Záludnosti velkých dimenzí
Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel
e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org
e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org Úloha 1.1. Bubla, Lib nka, Henry a Mat j hráli hru. Protoºe byli ty i, napsali si na tabuli ty i ty ky a jejich úkolem pak bylo vepsat mezi n t i znaménka
C++ Akademie SH. 2. Prom nné, podmínky, cykly, funkce, rekurze, operátory. Michal Kvasni ka. 20. b ezna Za áte níci C++
C++ Akademie SH 2. Prom nné, podmínky, cykly, funkce, rekurze, operátory Za áte níci C++ 20. b ezna 2011 Obsah 1 Prom nné - primitivní typy Celá ísla ƒísla s pohyblivou desetinnou árkou, typ bool 2 Podmínka
Algoritmizace a programování
Pátek 14. října Algoritmizace a programování V algoritmizaci a programování je důležitá schopnost analyzovat a myslet. Všeobecně jsou odrazovým můstkem pro řešení neobvyklých, ale i každodenních problémů.
1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
4.5.1 Magnety, magnetické pole
4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus
OBSAH. 1. Základní p edstava o k ivkách a plochách
OBSAH 1. Základní p edstava o k ivkách a plochách 1.díl: P edstava o plo²e.... 2 I trojrozm rné objekty lze znázornit v rovin. 2.díl: Reálná ísla a p ímka.... 3 Souvislost mezi ísly a geometrií. 3.díl:
Funkce signum nemá primitivní funkci na celém R, ale funkce x je spojitá a primitivní k signum na (, 0) Vztah
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonova nebo Riemannova integrálu se definují různým způsobem a dostanou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jako zobecnění Newtonova
Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha
Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
QR, b = QS, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje. a (b c) d =
. cvi ení -Opakování geometrie IR n, p íklady () Najd te velikost úhlu mezi hlavní diagonálou krychle a diagonálou jedné ze stran, která s ní má spole ný vrchol. (2) Dokaºte ºe x y = y x. (3) Dokaºte ºe
Prom nná je komplexní výsledky jsou noblesní
Obsah 3 Prom nná je komplexní výsledky jsou noblesní 5 3. Co je to komplexní funkce komplexní prom nné?....... 7 3.. Gaussova rovina, bod nekone no, okolí bod, íselné poslouposti a ady....................
Co je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
![Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]](/thumbs/94/120485064.jpg "Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]")
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
Unfolding - uºivatelský manuál
Unfolding - uºivatelský manuál Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Katedra softwarového inºenýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky p i kated e matematiky Obsah
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
Domácí úkol 2. Obecné pokyny. Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab.
Domácí úkol 2 Obecné pokyny Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab. Návod pro výpo et v Matlabu Jestliºe X Bi(n, p), pak