Diferenciální geometrie

Transkript

1 Diferenciální geometrie Pomocný učební text František Ježek Plzeň, leden 2004

2 Obsah 1 Křivky Vyjádření křivky Transformace parametru Délka křivky, oblouk jako parametr Tečný vektor a tečna křivky Oskulační rovina Frenetovy vzorce, křivosti Kanonické a přirozené rovnice křivky Oskulační vlastnosti křivek Obálky systému křivek Evoluty a evolventy Plochy Vyjádření plochy Transformace parametrů Tečné vlastnosti ploch Obalové plochy Rozvinutelné plochy Vektory na ploše Tenzory na ploše a tenzorová pole První základní forma plochy Druhá základní forma plochy Normálová křivost a Meusnierova věta Dupinova indikatrix a významné směry na ploše Gaussova a střední křivost Geodetická křivost plochy Weingartenovy a Gaussovy rovnice Asymptotické, hlavní a geodetické křivky Minimální plochy

3 Předmluva Tento text je záznamem přednášek, které jsem připravil pro Fakultu aplikovaných věd v akademickém roce 2002/03 pro předmět Diferenciální geometrie. Ochotným přístupem dvou studentů byl záznam přednášek vysázen v systému L A TEX. Pro tento akademický rok jsem provedl autorizaci a doplnění tohoto záznamu. Velké poděkování patří studentům Petru Märzovi a Marku Byrtusovi, kteří pro budoucí generaci studentů připravili základ záznamu přednášek. Budu Vám vděčný za případné připomínky k textu. Franišek Ježek 3

4 Kapitola 1 Křivky 1.1 Vyjádření křivky Definice 1. Regulární křivkou třídy C n v E 3 rozumíme množinu K E 3, pro níž existuje vektorová funkce P (t), t I tak, že (a) P : I K, I je otevřený interval, (b) P je třídy C n, (c) P (t 0 ) 0 pro všechna t 0 I, (d) t 1 t 2 P (t 1 ) P (t 1 ). Obrázek 1.1: K definici křivky 4

5 1.2. Transformace parametru 5 Poznámka 1. Rozepsáním do složek dostaneme parametrické vyjádření. Příklad 1. Uvažujme dvě různé parametrizace přímky (a) P (t) = (t, t, t), t R tato přímka je regulární křivkou, (b) P (t) = (t 3, t 3, t 3 ), t R stejná přímka jako v (a), ale už není regulární křivkou, protože neplatí nerovnost P (0) 0. Poznámka 2. Křivkou zpravidla rozumíme množinu, která je skoro všude (až na konečný počet bodů) regulární křivkou. Poznámka 3. Kromě vektorových (nebo parametrických) rovnic lze pracovat i s explicitními nebo implicitními rovnicemi. Explicitní Implicitní E 2 y = f(x) f(x, y) = 0 E 3 y = f 1 (x) f 1 (x, y, z) = 0 z = f 2 (x), x I f 2 (x, y, z) = 0 Převod mezi implicitním a explicitním tvarem lze provést pomocí věty o implicitních funkcích. K určení regulární křivky implicitními rovnicemi je nutné, aby následující matice měla hodnost 2: ) ( f1 x f 2 x f 1 y f 2 y f 1 z f 2 z 1.2 Transformace parametru Věta 1. Nechť P (t), t I, je regulární křivkou a nechť ϕ je spojitá funkce ϕ : I I a ϕ (t 0) 0 pro každé t 0 I. Pak P (ϕ(t )), t I, je vektorovou rovnicí křivky P (t). Důkaz. Funkce ϕ je rostoucí nebo klesající. Snadno se ověří podmínky definice 1 i pro P (ϕ(t )) na I..

6 1.3. Délka křivky, oblouk jako parametr 6 Obrázek 1.2: Transformace parametru Obrázek 1.3: Transformace parametru na křivce 1.3 Délka křivky, oblouk jako parametr Věta 2. Nechť P (t), t I = (t d, t h ). Pak délka křivky je dána vztahem d = t h t d P (t) P (t) dt

7 1.4. Tečný vektor a tečna křivky 7 Důkaz. Tvrzení plyne z integrálního počtu a z rovnice: ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dx(t) dy(t) dz(t) P (t) P (t) = + +. dt dt dt Definice 2. Nechť P (t), t I, je regulární křivkou. Položme s(t) = t t d P ( t ) P ( t ) d t a inverzní funkci označme t(s). Pak nový parametr s nazýváme oblouk. Poznámka 4. Definice 2 je korektní, neboť s (t) = P ( t ) P ( t ) > 0 a tedy existuje inverzní funkce. Derivaci podle oblouku značíme tečkou, tj. ṖP (s) = dp (s)/ds. Příklad 2. Kružnici (0,r) parametrizujte obloukem. Víme, že parametrické vyjádření kružnice je x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, t 0, 2π), kde s(t) = t t r 2 cos 2 t + r 2 sin 2 t d t = r2 d t = rt. 0 Pak dostáváme t = 1 s a z toho už plyne parametrizace obloukem ve tvaru r ( ) 1 x(s) = r cos r s a 0 ( ) 1 y(s) = r sin r s. 1.4 Tečný vektor a tečna křivky Z diferenciálního počtu je známo, že tečna je limitní polohou sečny. Definice 3. Vektor P (t 0 ) = dp dt (t 0) nazýváme tečný vektor křivky P (t), t I, v bodě t 0. Tečnou křivky v daném bodě rozumíme přímku P (k) = P (t 0 ) + kp (t 0 ).

8 1.4. Tečný vektor a tečna křivky 8 Obrázek 1.4: Tečný vektor křivky Věta 3. Křivka má v daném bodě jedinou tečnu. Důkaz. Ukážeme, že tečna nezávisí na zvolené parametrizaci. Uvažujme změnu parametru t = ϕ(t ), kde ϕ je spojitá a ϕ 0. Pak platí dp (t ) dt = dp (t) dt dϕ(t ) dt, kde člen dϕ(t ) dt 0. Tečné vektory pro různé parametrizace jsou kolineární, tj. tečna nezávisí na parametrizaci. Věta 4. Nechť P (t), t I je regulární křivka. Parametr t je obloukem, právě když dp dt = 1 pro každé t I. Důkaz. Nechť t je parametr, který je obloukem. Platí t = s(t) = t t d P ( t ) P ( t ) d t. Derivujeme-li podle t dostáváme tuto rovnici 1 = P ( t ) P ( t ) d t = P.

9 1.4. Tečný vektor a tečna křivky 9 Integrováním vztahu P = 1 podle parametru dostáváme s s d 1d t = s s d = Pro oblouk položíme s d = 0. s s d s s d P ( t ) P ( t ) d t, P ( t ) P ( t ) d t. Věta 5. Nechť je dána křivka implicitními rovnicemi f 1 (x, y, z) = 0, f 2 (x, y, z) = 0 a nechť bod [x 0, y 0, z 0 ] leží na křivce. Pak vektor f 1 f 1 y z f 1 f 1 f 1 f 1 x z x y,, f 2 f 2 y z f 2 f 2 f 2 f 2 x z x y je tečným vektorem. Důkaz. Nechť x = x(t), y = y(t), z = z(t) je parametrické vyjádření téže křivky v okolí bodu [x 0, y 0, z 0 ], pak pro derivace df 1 dt a df 2 dt platí následující rovnost df i dt = f i x dx dt + f i y dy dt + f i z dz dt = 0, i = 1, 2. Hledáme řešení pro neznámé dx dt, dy dt a dz. Jde o ortogonální vektor k jiným dvěma vektorům. Použijeme tedy vektorový součin, tj. dt ( dx dt, dy dt, dz ) ( dt f1 je kolineární s x, f 1 y, f ) ( 1 f2 z x, f 2 y, f ) 2. z Příklad 3. Určete tečnu řezu kulové plochy (0, r = 5) rovinou x+y+z 7 = 0 ve zvoleném bodě. Máme tedy dvě implicitní vyjádření, která jsou x 2 + y 2 + z 2 25 = 0 x + y + z 7 = 0. Můžeme si zvolit z, např. z = 0, pak bod který spňuje rovnost je např. [3, 4, 0]. Dostáváme takovouto obecnou soustavu 2x dx dt dy dz + 2y + 2z dt dt dx dt + dy dt + dz dt = 0 = 0.

10 1.5. Oskulační rovina 10 Dosadíme-li bod [3, 4, 0] do první rovnice 6 dx dt + 8dy dt + 0 = 0 dx dt + dy dt + dz dt = 0, pak tečný vektor v bodě [3, 4, 0] podle věty 5 má tvar ( ) 8 0 t = 1 1, , = (8, 6, 2) (4, 3, 1). Tečna v bodě je P (t) = (3, 4, 0) + t(4, 3, 1). 1.5 Oskulační rovina Oskulační rovina je limitní polohou roviny tx určené tečnou t a pohybujícím se bodem X křivky. Definice 4. Nechť P (t), t I, je regulární křivka a je dáno t 0 I. Nechť vektory P (t 0 ) a P (t 0 ) jsou nekolineární, pak rovinu R(u, v) = P (t 0 ) + up (t 0 ) + vp (t 0 ) nazýváme oskulační rovinou křivky v daném bodě. Věta 6. Oskulační rovina se nemění při změně parametrizace. Důkaz. Je-li t = ϕ(t ), kde ϕ je spojitá a ϕ 0 pro každé t I, pak platí t 0 = ϕ 1 (t ), P (t 0) = dp (ϕ(t )) (t dt 0) = P (t 0 ) dϕ dt (t 0) a z toho plyne, že tečné vektory jsou kolineární. Určíme dále druhé derivace: [ P (t ) = P (t) dϕ ] = P (t) ϕ (t) + P (t) ϕ (t), dt P (t 0) = P (t 0 ) ϕ (t 0) + P (t 0 ) ϕ (t 0). P (t 0) je tedy lineární kombinací P (t 0 ) a P (t 0 ). Definice 5. Bod křivky, v němž P (t 0 ) a P (t 0 ) jsou kolineární, nazýváme inflexní bod. Poznámka 5. V inflexním bodě není definována oskulační rovina, resp. za oskulační rovinu lze považovat každou rovinu procházející tečnou. Snadno tedy plyne, že pojem inflexní bod nezávisí na parametrizaci (viz důkaz věty 6).

11 1.6. Frenetovy vzorce, křivosti Frenetovy vzorce, křivosti Definice 6. Normálou křivky v daném bodě rozumíme každou přímku R(s) = P (t 0 ) + sn, kde n P (t 0 ) = 0, tj. každou přímku kolmou na tečnu. Hlavní normála n je normála ležící v oskulační rovině. Binormála b je normála, která je kolmá k oskulační rovině. Rovinu tb nazýváme rektifikační, rovinu nb nazýváme normálová. Obrázek 1.5: Tečna t, hlavní normála n, binormála b, oskulační rovina τ, normálová rovina ν, rektifikační rovina µ křivky k v bodě X Nechť křivka je parametrizovaná obloukem P (s), s I. Víme, že ṖP (s 0 ) = 1, (podle věty 4) pro každé s 0 I. Tedy ṖP P + P ṖP = 0 ṖP P = 0, tj. P je buď nulový (inflexe), nebo ortogonální k ṖP. Definice 7. První křivostí křivky v bodě rozumíme číslo k(s 0 ) = P (s 0 ), tj. velikost vektoru druhé derivace vektorové funkce parametrizované pomocí oblouku. Označme t(s 0 ) = ṖP (s 0 ) a n(s 0 ) = P (s 0 ) P (s 0 ) = 1 1 k P (s 0 ) = 1 1 k ṫt(s 0 ) jednotkové vektory tečny a hlavní normály. Dále b(s 0 ) = t(s 0 ) n(s 0 ) je jednotkový vektor binormály. Ze vztahu b(s 0 ) b(s 0 ) = 1 plyne derivováním b(s 0 ) ḃb(s 0 ) = 0. Tedy ḃb patří do zaměření oskulační roviny, tj. ḃb = At + Bn. Dále b t = 0 a derivováním ḃb t + b ṫt = 0 ḃb t + b k t = 0 ḃb t = 0. Jestliže rovnici ḃb = At + Bn vynásobíme t, máme ḃb t = A, ale to je nula.

12 1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 12 Definice 8. Druhou křivostí křivky (torzí) v bodě rozumíme číslo neboli 2 k(s 0 ) = ḃb. 2 k(s 0 ) = ḃb n, Věta 7. (Frenetovy vzorce) Pro regulární křivku parametrizovanou obloukem platí ṫt = 1 kn ṅn = 1 kt + 2 kb ḃb = 2 kn. Důkaz. Máme tyto vztahy ṫt = 1 kn ḃb = 2 kn a chceme určit ṅn. Víme, že platí ṅn n = 0, tedy ṅn = At + Bb a můžeme derivovat t n = 0 ṫt n + t ṅn = 0 1 k + t ṅn = 0 t dotpmbn = 1 k, b n = 0 ḃb n + b ṅn = 0 2 k + b ṅn = 0 b dotpmbn = 2 k. Snadno plyne A = 1 k, B = 2 k. Poznámka 6. Ryze algebraicky lze větu vyvodit po zavedené první křivosti pomocí tzv. věty o ortonormálním repéru. Věta 8. Pro regulární křivku s obecným parametrem platí ( 1 k) 2 = P P 2 (P P ) 3 2 k = (P, P, P ) (P P ) 2 Důkaz. Důkaz je snadným cvičením a provede se změnou parametrizace.

13 1.7. Kanonické a přirozené rovnice křivky Kanonické a přirozené rovnice křivky Pro vektorovou funkci P (s) použijeme v okolí bodu s = 0 rozvoje v mocninou řadu. Platí ṖP = t, P = 1 kn, dále snadno vypočteme P (3) = 1 kṅn + n d1 k ds = 1 k( 1 kt + 2 kb) + 1 kn = 1 k 2 t + 1 kn + 1 k 2 kb. Pro rozvoj bude platit P (s) = P (0) + P (1) (0)s P (2) (0)s P (3) (0)s a tedy (v lokálním repéru) [ P (s) = t(0) s 1 ] 1 k 2 (0)s [ 1 + n(0) 1 k(0)s ] 1 k(0)s [ ] 1 + b(0) 1 k(0) 2 k(0)s Definice 9. Vyjádření křivky P (s) ve tvaru P (s) = t 0 g 1 (s) + n 0 g 2 (s) + b 0 g 3 (s), kde funkce g i (s) jsou dány řadou, jejíž členy obsahují hodnotu derivací první a druhé křivosti v bodě s = 0, nazýváme kanonickými rovnicemi křivky v okolí bodu s = 0. Poznámka 7. Nejjednodušší náhradou prostorové křivky (jednodušší prostorovou křivkou) je P (s) P (0) + t(0)s + n(0) 1 1 k(0)s 2 + n(0) 1 1 k(0) 2 k(0)s Z vymezení pojmu kanonická rovnice plyne, že je-li dán repér, pak k určení křivky stačí znát 1 k(s) a 2 k(s). Definice 10. Jsou - li dány funkce 1 k(s) a 2 k(s), je dán přirozený popis ( přirozené rovnice ) křivky, neboli trojice s, 1 k(s), 2 k(s) tvoří přirozené souřadnice bodu na křivce. Příklad 4. Přirozené rovnice kružnice jsou 1 k = 1 r ; 2 k = 0. Křivkou s přirozenými rovnicemi 1 k(0) = a 1 s + a 0, 2 k(s) = 0 je klotoida. Použití má tato křivka v návrhu přechodových oblouků komunikací.

14 1.8. Oskulační vlastnosti křivek 14 Obrázek 1.6: Klotoida 1.8 Oskulační vlastnosti křivek Definice 11. Nechť P (s) a Q(s), s I, jsou křivky. Řekneme, že pro s = 0 mají dotyk řádu q (neboli q + 1 bodový dotyk), jestliže d r P ds (0) = dr Q (0), r = 0,..., q. r dsr Věta 9. Nutnou a postačující podmínkou pro dotyk řádu q je (s = 0): q = 1 rovnost tečných vektorů (jednotkových), q = 2 rovnost tečných vektorů, vektorů hlavních normál a rovnost první křivosti, q = 3 rovnost tečných vektorů, vektorů hlavních normál, rovnost první a druhé křivosti a derivací první křivosti. Důkaz. Plyne z kanonického tvaru křivky. Definice 12. Kružnice, která má s křivkou v daném bodě dotyk alespoň druhého řádu (alespoň tříbodový) nazýváme oskulační kružnící. Kružnice s dotykem alespoň třetího řádu (alespoň čtyřbodovým) se nazývá hyperoskulační kružnice. Věta 10. Oskulační kružnice křivky P (s) v bodě s = s 0 leží v oskulační 1 rovině křivky v daném bodě, má poloměr a pro střed této kružnice platí 1 k(s) S = P (s 0 ) + 1 n(s 1 k(s 0 ) 0 ). Důkaz. Důkaz plyne z věty 9. Technickým problémem je stanovení znaménka + nebo u vektoru hlavní normály.

15 1.9. Obálky systému křivek 15 Obrázek 1.7: Oskulační kružnice křivky k v bodě X(s 0 ) 1.9 Obálky systému křivek Uvažujeme křivky F (x, y, α 0 ) = 0 a F (x, y, α 1 ) = 0 a nechť tyto křivky mají průsečík Q. Místo toho můžeme vzít ekvivalentní soustavu F (x, y, α 0 ) = 0 F (x, y, α 1) F (x, y, α 0 ) α 1 α 0 = 0. Limitním přechodem α 1 α 0 máme soustavu F (x, y, α) F (x, y, α) = 0 = 0. α Jejím řešením je (pokud řešení existuje) charakteristický bod. Pro proměnné α dostaneme obalovou křivku a α je jej9 parametr. Věta 11. V charakteristickém bodě, v němž 2 F α 2 dotýká tvořící křivky. F (x,y,α) α 0, se obalová křivka Důkaz. Nechť z rovnice F (x, y, α) = 0 a = 0 byl eliminován parametr α, tj. F (x, y, α(x, y)) = 0. K tomu potřebujeme podmínku 2 F 0. Uvažujme α 2 charakteristický bod X[x α, y α ]. Tečna obálky bude v tomto tvaru [ F (x x 0 ) x + F α α ] [ F + (y y 0 ) x α 0 y + F α α ] = 0, y α 0 ale F α = 0 a z toho vyplývá (x x 0 ) F x (x 0, y 0, z 0 ) + (y y 0 ) F y (x 0, y 0, z 0 ), což je však tečna křivky F (x, y, α) = 0 v bodě X.

16 1.10. Evoluty a evolventy 16 Poznámka 8. Využili jsme toho, že pro rovinnou křivku F(x,y)=0 je rovnicí (x x 0 ) F x (x 0, y 0 ) + (y y 0 ) F y (x 0, y 0 ) = 0 dána tečna křivky v bodě [x 0, y 0 ]. Příklad 5. Určete obálku systému kružnic (x α) 2 + y 2 = 1. Podle předcházející věty máme rovnice: Dostáváme dvě rovnice F α = 2(x α)( 1) = 0, 2 F α 2 0. (x α) 2 + y 2 1 = 0 x α = 0 Vyjádříme - li si z druhé rovnice x a dosadíme jej do první rovnice, máme pak tuto rovnici y 2 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou systému křivek jsou tedy dvě přímky y = 1 a y = Evoluty a evolventy Obalová křivka normál dané rovinné křivky se nazývá evoluta této křivky. Věta 12. Křivka k, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky P = P (s) (a leží tedy na ploše tečen této křivky), se nazývá evolventou dané křivky k, viz obr Křivku P = P (s) nazýváme evolventou křivky k. Podle toho lze odvodit rovnici 1.1 evolventy k k dané evolutě k o rovnici P = P (s) ve tvaru R(s) = P (s) + (c s) t(s), kde c R. (1.1) Důkaz. Platnost rovnice 1.1 je dokázána v příkladu 6. Každé křivce přísluší jediná evoluta a zároveň k ní přísluší neomezeně mnoho evolvent, které tvoří soustavu rovnoběžných (ekvidistantních ) křivek. Je-li křivka k evolutou křivky k, potom obráceně nazýváme křivku k evolventou křivky k. Střed křivosti dané křivky v jejím určitém bodě je limitní polohou průsečíku normály křivky v tomto bodě s normálou v bodě, který se bez omezení danému bodu po křivce blíží.

17 1.10. Evoluty a evolventy 17 Obrázek 1.8: Evoluta a evolventy Evoluta dané křivky je také množinou středů křivosti této křivky. Evolventu vytvoří každý bod přímky, který se jako tečna odvaluje po dané křivce (její evolutě). Normála dané křivky k je tečnou její evoluty k s bodem dotyku v příslušném středu křivosti bodu dané křivky, tj. normála evolventy je tečnou její evolventy a obráceně. Bodu evolventy s extrémní hodnotou křivosti přísluší bod vratu evoluty. Normála evolventy v inflexním bodě je asymptotou její evoluty. Délka oblouku evoluty (za předpokladu spojitosti křivky a regularity bodů) se rovná rozdílu poloměrů křivosti evolventy, které se jí dotýkají v krajních bodech tohoto oblouku. Příklad 6. Je dána křivka k o rovnici P = P (s). Napište vektorovou funkci R(s), jež vyjadřuje evolventu k křivky k, čili křivku, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky k. Z toho vyplývá R(s) = P (s) + λ(s) t(s), (1.2) kde λ(s) je skalární funkce, t(s), resp. n(s), je tečný, resp. normálový, vektor Frenetova trojhranu. Zároveň platí a R t(s) = 0, (1.3) t(s) = P (s) P P (s), t t (s) = n k n(s). Dosazení derivace rovnice 1.2 do rovnice 1.3 získáme rovnici ( t(s) + λ (s) t(s) + λ(s) t (s) ) t(s) = 0. Víme, že t(s) t(s) = 1, t (s) t(s) = 0, tedy 1 + λ (s) = 0 λ (s) = 1.

18 1.10. Evoluty a evolventy 18 Jestliže tento výsledek zintegrujeme, dostaneme λ(s) = s + c, kde c je konstanta. Evolventou křivky k jsou křivky R(s) = P (s) + (c s) t(s), kde c R. (1.4) Příklad 7. Napište rovnici evolventy kružnice. P (ϕ) = (a cosϕ, a sinϕ) ṖP (ϕ) = ( a sinϕ, a cosϕ) ṖP (ϕ) = a (sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) = a P P t(ϕ) = (t) ϕ t P P = (sinϕ, cosϕ) ; s = (t) ṖP (ϕ) du = a du = a ϕ Dosazením do vzorce 1.4 dostaneme R(ϕ) = (a cosϕ c sint + a ϕ sinϕ, a sinϕ + c cosϕ a ϕ cosϕ) R(ϕ) = ( a (cosϕ + ϕ sinϕ) c sinϕ, a (sinϕ ϕ cosϕ) + c cosϕ ). Pro c = 0 dostáváme u=0 u=0 R(ϕ) = ( a (cosϕ + ϕ sinϕ), a (sinϕ ϕ cosϕ) ). Obrázek 1.9: Evolventa kružnice Příklad 8. Najděte evolventy šroubovice. t(ϕ) = P (t) = (cost, sinϕ, t) ṖP (ϕ) = ( sinϕ, cosϕ, 1) ṖP (ϕ) = sin 2 ϕ + cos 2 ϕ + 1 = 2 P P (t) P P (t) = 1 ϕ ( sinϕ, cosϕ, 1) ; s = ṖP (t) du = 2 2 u=0 ϕ u=0 1 du = 2 ϕ

19 1.10. Evoluty a evolventy 19 Opět užitím vzorce 1.4 dostaneme R(ϕ) = ( cosϕ + c ( 1 2 sinϕ) + 2 ϕ ( 1 2 sinϕ), sinϕ + c ( 1 cosϕ) 2 ϕ ( 1 cosϕ), 2 2 ϕ + c ( 2 2 ) 2 ( 1 2 t) ). Provedeme-li substituci 1 2 c = d dostaneme R(ϕ) = ( (cosϕ + ϕ sinϕ) d sinϕ, (sinϕ ϕ cosϕ) + d cosϕ, d ). Všechny evolventy šroubovice jsou rovinné křivky ležící v rovině z = d(viz obrázek 1.10). Speciálně v rovině z = 0 leží evolventa R(ϕ) = (cosϕ + ϕ sinϕ, sinϕ ϕ cosϕ, 0), která je zároveň průsečnicí tečen šroubovice s touto rovinou (viz příklad 9). Obrázek 1.10: Evolventa šroubovice Příklad 9. Parametricky vyjádřete křivku, která je průsečnicí tečen šroubovice P (ϕ) = (cosϕ, sinϕ, ϕ) a roviny z = 0. Tedy P (ϕ) = ( sinϕ, cosϕ, 1). Tečny libovolné křivky v jejím neinflexním bodu P (t) jsou přímky R(ϕ) = P (ϕ) + λ P (ϕ), kde k R.

20 1.10. Evoluty a evolventy 20 Pro šroubovici ze zadání mají tyto tečny rovnici R(ϕ) = (cosϕ λ sinϕ, sinϕ λ cosϕ, ϕ + λ), kde k R. Protože hledáme průsečnici s rovinou z = 0, musí platit λ = ϕ. Výsledná křivka je vyjádřena rovnicí R(ϕ) = (cosϕ + ϕ sinϕ, sinϕ ϕ cosϕ, 0), kde k R. Zároveň můžeme jednoduše ověřit, že tečny šroubovice protínají křivku R(ϕ) kolmo. Z toho vyplývá, že R(ϕ) je evolventou kružnice.

21 Kapitola 2 Plochy 2.1 Vyjádření plochy Definice 13. Regulární plochou třídy C n v E 3 rozumíme množinu P E 3, pro niž existuje vektorová funkce P (u, v), (u, v) Ω, kde Ω je oblast (otevřená kompaktní množina), taková že (a) P : Ω P je zobrazení na množinu, (b) P je třídy C n (n 3), (c) P a P u v jsou lineárně nezávislé ve všech bodech oblasti Ω, (d) (u 0, v 0 ) Ω,(u 1, v 1 ) Ω a (u 0, v 0 ) (u 1, v 1 ) P (u 0, v 0 ) P (u 1, v 1 ). Obrázek 2.1: K definici plochy 21

22 2.1. Vyjádření plochy 22 Poznámka 9. Podobně jako u regulární křivky proběhne zobecnění a zavedení singulárních bodů (podmínka (c) u křivek i ploch), kde v bodě vratu křivky neexistuje tečna a ve vrcholu plochy neexistuje tečná rovina. Definice 14. Nechť je dána plocha určená vektorovou funkcí P (u, v) na oblasti Ω a nechť jsou dány funkce α(t) a β(t), t I určující křivku v Ω, pak P (α(t), β(t)) nazýváme křivkou na ploše. Je-li β(t) konstantní, nazýváme křivku parametrickou křivkou (v křivkou, v je konst.). Podobně pro α(t) = konst. mluvíme o parametrické křivce (u křivka). Obrázek 2.2: K definici parametrických křivek plochy Poznámka 10. Zpravidla Ω = I u I v, tj. jde o dvourozměrný interval. Jinak může dojít k rozpadu parametrizované křivky. Věta 13. Každým bodem plochy procházejí dvě parametrické křivky, které se nedotýkají. Důkaz. Plyne z definice 13 bodu (c). Poznámka 11. Stejně jako u křivek i u ploch se objevuje problém odstranitelných a neodstranitelných singularit. Poznámka 12. Kromě vektorových funkcí mají plochy i implicitní vyjádření F (x, y, z) = 0. Vyjádření x = f 1 (y, z) nebo y = f 2 (x, z) nebo z = f 3 (x, y) se nazývá explicitní. Lokálně jsou možné vzájemné převody.

23 2.2. Transformace parametrů Transformace parametrů Věta 14. Je dána plocha P (u, v) na oblasti Ω a nechť je dáno zobrazení oblasti Ω na Ω vztahy u = ϕ 1 (u, v) a v = ϕ 2 (u, v). Nechť (a) ϕ 1, ϕ 2 jsou třídy C n, (b) na Ω je Jakobián (c) zobrazení je prosté, pak plochy P (u, v) a P (u, v) = P ϕ 1 u ϕ 1 v Důkaz. Ověřením podmínek definice 13. ϕ 2 u ϕ 2 u 0, ( ) ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v) splývají. Definice 15. Einsteinovou sumační konvencí rozumíme úmluvu, podle níž ve vztazích, kde je týž index použit zároveň jako dolní a horní, provádíme podle tohoto indexu sčítání. Příklad 10. Určete P a P. u v Označte u u 1 ; v u 2 ; u u 1 a v u 2 ; ϕ 1 u 1 ( ) ; ϕ 2 u 2 ( ) P u 1 = P u 1 u 1 u 1 + P u 2 u 2 u 1 Použijeme-li zápis a v Einsteinově sumaci P = P u 2 u 1 u 1 u 2 P u i = P i, lze psát + P u 2 P i = P 1 u1 u i + P 2 u2 u i P i = P j uj u i, kde P popisuje plochu pomocí parametrizace (u 1, u 2 ). u 2 u 2

24 2.3. Tečné vlastnosti ploch Tečné vlastnosti ploch Věta 15. Všechny tečny regulárních křivek na regulární ploše v daném bodě leží v jedné rovině. Důkaz. Uvažujme křivku na ploše P ( u 1, u 2 ) ; (u 1 (t), u 2 (t) ). Určíme dp dt = P 1 du1 dt + P 2 du2 dt = P i dui dt. Tedy tečný vektor je lineární kombinací nekolineárních vektorů P 1 a P 2. K tomu, aby šlo o regulární křivku, stačí, aby ( du1 dt, du2 ) 0 a zobrazení bylo dt třídy C 1 a bylo prosté. Definice 16. Rovinu R(α 1, α 2 ) = P + α 1 P 1 + α 2 P 2 = P + α i P i nazýváme tečná rovina plochy. Přímku R(t) = P +t(p 1 P 2 ) normálou plochy a vektor λ(p 1 P 2 ), λ 0 normálovým vektorem v daném bodě. Věta 16. Nechť je plocha dána implicitním vyjádřením f(x 1, x 2, x 3 ) = 0. Pak jejím normálovým vektorem (v daném bodě) je vektor n = (f 1, f 2, f 3 ). Důkaz. V okolí daného bodu existuje parametrizace x 1 (u 1, u 2 ), x 2 (u 1, u 2 ), x 3 (u 1, u 2 ). Derivujeme f ( x 1 (u 1, u 2 ), x 2 (u 1, u 2 ), x 3 (u 1, u 2 ) ) = 0 podle u 1 a u 2 f u 1 = f 1 x 1 u 1 + f 2 x 2 u 1 + f 3 x 3 u 1 = n P 1 = 0, podobně n P 2 = 0. Vektor n je tedy ortogonální k P 1 i P 2 a tvrzení je dokázáno. 2.4 Obalové plochy Je dán jednoparametrický systém ploch (regulárních) f(x 1, x 2, x 3, α) = 0, α I. Obalová plocha κ se v každém bodě dotýká některé z ploch a naopak každá plocha dané jednoparametrické sousty se dotýká κ. Navíc předpokládáme, že plochy nemají společné části. Věta 17. Pro obalovou plochu f(x 1, x 2, x 3, α) platí: bod [x 1, x 2, x 3 ] leží na obalové ploše, existuje-li α tak, že f(x 1, x 2, x 3, α) = 0 a f α (x 1, x 2, x 3, α) = 0.

25 2.4. Obalové plochy 25 Důkaz. Uvažujme obalovou plochu P (u, v). Existuje α tak, že f(x 1, x 2, x 3, α) = 0 se obalové plochy dotýká. α je rovněž funkcí u a v. Derivujme obě strany rovnice f ( x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v), α(u, v) ) = 0 podle u a v. Dostaneme f x 1 x 1 u + f x 2 x 2 u + f x 3 x 3 u + f α α u = 0, f x 1 x 1 v + f x 2 x 2 v + f x 3 x 3 v + f α α v = 0. Součet prvních tří členů je nulový: a ( f x 1, f x 2, f x 3 ) = n ( x 1 u, x 2 u, x 3 u ) či ( x 1 v, x 2 v, x 3 v ) jsou ortogonální k n. Tedy f α α u = 0 a f α α v = 0, tj. buď f α = 0 nebo α = α = 0. Vyloučíme druhou možnost, pak u v by totiž α = konst. v nějakém okolí, což znamená, že splývá část obalové a tvořící plochy. Proto musí být f = 0 a věta je dokázána. α Definice 17. Je-li pro zvolené α rovnicemi f(x 1, x 2, x 3, α) = 0 a f α (x 1, x 2, x 3, α) = 0 popsána křivka, nazýváme ji charakteristika obalové plochy. Příklad 11. Uvažujme systém jednotkových kulových ploch (x 1 α) 2 + x x = 0. Určete obalovou plochu a charakteristiku. f α = 2(x 1 α) ( 1) = 0 x 1 α = 0. Rovnice obalové plochy je x x = 0, což je v E 3 rotační válcová plocha a v E 2 charakteristika (v rovině x 1 = α).

26 2.5. Rozvinutelné plochy 26 Obrázek 2.3: Válcová plocha jako obálka jednoparametrické soustavy kulových ploch 2.5 Rozvinutelné plochy Definice 18. Regulární plocha, která je obalovou plochou jednoparametrického systému rovin, se nazývá rozvinutelná plocha. Uvažujme jednoparametrický systém rovin ve tvaru Z věty 17 plyne n 1 (α)x 1 + n 2 (α)x 2 + n 3 (α)x 3 + d(α) = 0. (2.1) n 1(α)x 1 + n 2(α)x 2 + n 3(α)x 3 + d (α) = 0. (2.2) Nechť n(α) n(α) = 1. Derivováním tohoto vztahu získáme 2n(α) n (α) = 0, z čehož plyne ortogonalita (předpokládáme nenulovost n ) vektorů n a n. Uvažujme soustavu n 1 (α)x 1 + n 2 (α)x 2 + n 3 (α)x 3 + d(α) = 0, n 1(α)x 1 + n 2(α)x 2 + n 3(α)x 3 + d (α) = 0, (2.3) n 1(α)x 1 + n 2(α)x 2 + n 3(α)x 3 + d (α) = 0 a zkoumejme její řešitelnost pro neznámé x 1, x 2, x 3. Mohou nastat tyto případy (tomu budou odpovídat jednotlivé typy rozvinutelných ploch): (i) Nechť pro libovolné α je determinant matice soustavy (2.3) nulový. Přičemž označme m(α) jednotkový vektor průsečnice rovin (2.1) a (2.2).

27 2.5. Rozvinutelné plochy 27 Nutně m(α) n(α) = 0 a m(α) n (α) = 0, pak ale vzhledem k nulovosti determinantu matice soustavy (2.3) m(α) n (α) = 0 (m (α) je lineární kombinací n(α) a n (α)). Ukážeme, že m (α) = 0 (půjde o válcovou plochu). [n(α) m(α)] = n } {{ m} +n m = 0 n m = 0, =0 [n (α) m(α)] = n } {{ m} +n m = 0 n m = 0. =0 m má nulový skalární součin s n, n i s m ([m m] = 2m m = [1] = 0), tj. s prvky repéru, pak je ale m nulový vektor, směr průsečnice rovin se nemění. Plocha je tedy tvořena navzájem rovnoběžnými přímkami. Jde tudíž o obecnou válcovou plochu. (ii) Nechť determinant matice soustavy (2.3) je pro libovolné α nenulový a řešení nezávisí na α, tj. je jím bod. Pak ale všechny přímky dané soustavou rovnic (2.1) a (2.2) procházejí tímto bodem. Jde tedy o kuželovou plochu. (iii) Poslední možností je situace, kdy determinant matice soustavy (2.3) je pro libovolné α nenulový a řešení závisí na α, kde P = (α) ( x 1 (α), x 2 (α), x 3 (α) ) popisuje křivku a platí P (α) n (i) (α) + d (i) (α) = 0, i = 0, 1, 2. Derivováním vztahu tohoto pro i = 0 Podle (2.3) ale P (α) n(α) + P (α) n (α) + d (α) = 0. P (α) n (α) + d (α) = 0, tedy z rozdílu výše uvedených rovnic vyplývá, že Podobně z vztahů pro derivace P (α) n(α) = 0. P (α) n (α) = 0 Tedy P (α) je ortogonální k n(α) i n (α), tj. je kolineární s vektorem průsečnice (2.1) a (2.2). Tedy P (α) je křivka, jejíž tečny jsou površkami obalové plochy - je to plocha tečen. Věta 18. Rozvinutelnými plochami jsou válcové, kuželové plochy a plochy tečen prostorových křivek.

28 2.6. Vektory na ploše Vektory na ploše Je dána plocha P (u 1, u 2 ), kde P 1, P 2 jsou souřadnicové vektory v tečné rovině. a = P i a i je vektor ze zaměření tečné roviny. Definice 19. Je dána plocha P (u 1, u 2 ). Vektorem na ploše rozumíme vektor a = P i a i = P i a i ; P i = P u i. Čísla ai, i = 1, 2 nazýváme kontravariantní souřadnice vektoru a. Ukažme, jak se při změně parametrizace mění kontravariantní souřadnice. Nechť a = P i a i a změnou parametrizace a = P i a i. Vztahy mezi parametrizacemi jsou P i u i = P i u i, P (u 1, u 2 ) = P (u 1 (u 1, u 2 ), u 2 (u 1, u 2 )), P 1 = P 1 u1 u 1 + P 2 u2 u 1 = P i ui u 1 podobně P 2 a po dosazení máme větu. Věta 19. Při transformaci parametrizace plochy se kontravariantní souřadnice vektoru na ploše transformují pomocí vztahů a i = ui u j aj, a j = uj u i ai. Příklad 12. Uvažujme rovinu a proveďme změnu souřadnic, tj. změnu parametrizace roviny. x = u u = u + v u = u v y = v v = v v = v z = 0 P 1 = (1, 0, 0) ; P 2 = (0, 1, 0) ; P 1 = (1, 0, 0) ; P 2 = ( 1, 1, 0) u u = 1 ; u v = 1 ; v u = 0 ; v v = 1 a 1 = 1 a a 2 ; a 2 = 0 a a 2 a 1 = a 1 + a 2 ; a 2 = a 2 a = (1, 1) a = (2, 1)

29 2.6. Vektory na ploše 29 Uvažujme skalární součin a b (vektorů na ploše) a vyjádřeme ho v kontravariantních souřadnicích, kde a = a i P i ; b = b i P i a b = a i b j P i P j a označme g ij = P i P j potom a b = a i b j g ij Věta 20. Platí g = g 11 g 12 g 21 g 22 > 0. Důkaz. P i P j = P i P j cosϕ ij, pro i j je ϕ ij 0, ϕ ij π (tj.p i, P j nejsou kolineární). g = P 1 2 P 1 P 2 cosϕ 12 P 1 P 2 cosϕ 12 P 2 2 = = P 1 2 P 2 2 (1 cos 2 ϕ 12 ) = P 1 2 P 2 2 (sin 2 ϕ 12 ) > 0, Definice 20. Označme a i = a P i a nazvěme ji kovariantní souřadnicí vektoru a. Odvodíme vztah mezi kovariantními a kontravariantními souřadnicemi. a i = a P i = P i P j a j a i = g ij a j Matice (g ij ) je dle věty 20 regulární ( (a 1, a 2 ) = (a 1, a 2 g11 g ) 12 g 21 g 22 ) Proto ( (a 1, a 2 g11 g ) = (a 1, a 2 ) 12 g 21 g 22 ) 1. Značíme: g 11 = g 22 g ; g 22 = g 11 g ; g 12 = g 21 = g 12 g a i = g ij a j

30 2.7. Tenzory na ploše a tenzorová pole 30 Věta 21. Pro převody mezi kontravariantními a kovariantními souřadnicemi platí vztahy a i = g ij a j a a i = g ij a j, kde g ij = P i P j a matice (g ij ) je inverzní k (g ij ). Pro převod mezi parametrizacemi platí a j = ui u j ai ; a i = uj u i aj 2.7 Tenzory na ploše a tenzorová pole Definice 21. Tenzorem n-tého řádu v bodě plochy rozumíme 2 n čísel a j1...j h i 1...i d, h + d = n (indexy nabývají hodnoty 1 nebo 2), jestliže se při změně parametrizace plochy transformují pomocí vztahu a n 1...n h m 1...m d = ui 1 u m 1... uid u m d un1 u j 1... unh u j h aj 1...j h i 1...i d Tenzor nultého řádu se nazývá skalár. Tenzor prvního řádu se nazývá vektor. Říkáme, že a j 1...j h i 1...i d je d krát kovariantní a h krát kontravariantní. Věta 22. g ij je dvakrát kovariantní kvadratický tenzor. g ij je dvakrát kontravariantní tenzor. Důkaz. Důkaz plyne z výpočtů před větou 21. Definice 22. Řekněme, že (a) tenzor je symetrický, je-li nezávislý k záměně indexů, (b) tenzor je antisymetrický, mění-li se znaménko hodnoty při záměně indexů, (c) součtem dvou tenzorů rozumíme tenzor, jehož složky jsou součtem složek sčítanců, (d) součinem tenzorů rozumíme tenzor, jehož složky jsou součinem složek daných tenzorů, tj. např. c lm ijk = a ij b lm k, (e) úžením tenzoru rozumíme vytvoření tenzoru eliminací jednoho dolního a jednoho horního indexu sečtením a kl ij b l j = a il ik = a 1l 1k + a 2l 2k,

31 2.8. První základní forma plochy 31 (f) zvýšením, resp. snížením indexu rozumíme a...i = g ij a...j a...i... = g ij a...j Poznámka 13. Bylo by vhodné dokázat, že obrazy tenzorů v daných operací jsou opět tenzory. Definice 23. Je-li v každém bodě plochy definován tenzor, mluvíme o tenzorovém poli. Speciálně o skalárním poli, resp. vektorovém poli, pro tenzory nultého a prvního řádu. 2.8 První základní forma plochy Definice 24. Kvadratickou formou ϕ(x 1, x 2 ) = g ij x 1 x 2 nazýváme první základní formou plochy. Tenzor g ij je prvním (neboli metrickým) tenzorem plochy. Věta 23. Nechť R(t) = P (u 1 (t), u 2 (t)) je křivka na ploše a t t 0, t 1, pak integrál t 1 du g i du j ij dt dt dt určuje délku oblouku křivky pro t t 0, t 1. t 0 Důkaz. t 1 t 0 R R dt = t 1 t 0 ( ) 2 P i dui dt = dt t 1 t 0 g ij du i dt duj dt dt Definice 25. Nechť jsou dány plochy P (u 1, u 2 ) nad oblastí ω a R(v 1, v 2 ) nad oblastí λ. Vzájemně jednoznačné zobrazení ϕ : P R nazýváme regulární, jestliže na jedné z ploch lze provést transformaci τ parametrů tak, že odpovídající si body mají stejné křivočaré souřadnice, tj. ϕ(p (u 1, u 2 )) = R(τ(v 1, v 2 )).

32 2.8. První základní forma plochy 32 Definice 26. Regulární zobrazení dvou ploch nazýváme rozvinutím (délkojevným zobrazením), právě když obrazem křivky je křivka stejné délky. Věta 24. Regulární zobrazení ploch P (u 1, u 2 ), R(v 1, v 2 ) nad oblastí Ω je rozvinutím, právě když v odpovídajících bodech jsou stejné kovariantní souřadnice prvních základních tenzorů. Důkaz. (a) Předpokládáme rovnost tenzorů, tj g ij = ĝ ij v odpovídajících si bodech. Pak se samozřejmě rovnají i následující integrály t 2 gij du i du j dt = t 2 ĝij du i du j dt, t 1 kde t je parametr na křivce a na t závisí i ostatní veličiny pod odmocninou. (b) Předpokládáme, že se rovná délka obrazu a vzoru křivky a dokazujeme rovnost tenzorů v bodech křivky. Důkaz vedeme sporem. Nechť v bodě (u 1, u 2 ) se nerovnají souřadnice tenzoru na ploše P a R. Ze spojitosti plyne, že souřadnice se liší v jistém okolí (u 1, u 2 ). Tak najdeme křivku, která má rozdílnou délku vzoru a obrazu, což je spor. t 1 Věta 25. Pro úhel α dvou křivek na ploše platí cos α = Pro úhel parametrických křivek platí g ij du i du j gkl du k du l g mn du m du n. (2.4) cos α = g 12 g11 g 22 (2.5) a nutnou a postačující podmínkou pro ortogonalitu parametrické sítě je, aby ve všech bodech plochy platilo Důkaz. Vztah (2.4) plyne ze známého vztahu g 12 = 0. (2.6) cos α = a b a b (2.7) a ze zavedení metrického tenzoru. (2.7) plyne z parametrických křivek (du 1, du 2 ) = (1, 0) a (dv 1, dv 2 ) = (0, 1) Podmínka (2.6) je již snadným důsledkem (2.7).

33 2.8. První základní forma plochy 33 Obrázek 2.4: Konformní zobrazení plochy na plochu Definice 27. Regulární zobrazení dvou ploch, které zachovává úhly křivek, nazýváme konformní zobrazení. Věta 26. Regulární zobrazení dvou ploch je konformní, právě když při použití shodných křivočarých souřadnic platí g ij = λ ĝ ij, i = 1, 2, j = 1, 2, λ > 0, tj. metrické tenzory mají úměrné kovariantní souřadnice. Důkaz. (a) Nechť g ij = λ ĝ ij, λ > 0, pak ze vztahu (2.4) plyne snadno dokazované tvrzení. (b) Nechť je zobrazení konformní. Uvažujme (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ), (c 1, c 2 ), (d 1, d 2 ) tak, že g ij a i b j = 0, g ij c i d j = 0, (2.8) pak i (konformnost) ĝ ij a i b j = 0, ĝ ij c i d j = 0. (2.9) Soustava dvou rovnic (2.8) je homogenní pro tři neznámé g 11, g 12 (= g 21 ) a g 22. Podobně v (2.9). Řešení soustav (homogenních) se stejnou maticí jsou v tomto případě násobkem (3 neznámé, hodnost 2). Věta 27. Nechť je dána plocha P (u, v) na oblasti Ω. Pak obsah plochy je (pokud existuje) dán vztahem P = g11 g 22 (g 12 ) 2 du 1 du 2. Ω

34 2.9. Druhá základní forma plochy 34 Důkaz. Platí Pro vektory platí P = Ω P u P 1 u 2 du1 du 2. (a b) (c d) = (ac) (bd) (a d) (b c) a tedy ( P u P ) ( P 1 u 2 u P ) = g 1 u 2 11 g 22 (g 12 ) 2. Věta 28. Regulární zobrazení je rovnoploché (plochojevné), tj. zachovává oblast plochy, právě když při vyjádření ve shodných křivočarých souřadnicích se rovnají diskriminanty prvních tenzorů, tj. g 11 g 22 g 2 12 = ĝ 11 ĝ 22 ĝ Důkaz. Důkaz podobně jako u věty (26). 2.9 Druhá základní forma plochy Zabývejme se křivostmi ploch a křivek na ploše. Označme a definujme h ij = n i P j. P i = P u i, i = 1, 2 n = P 1 P 2 P 1 P 2, P ij = 2 P u i u j, n i = n u i Věta 29. Čísla (funkce) h ij tvoří symetrický tenzor (tzv. druhý základní tenzor plochy) a platí h ij = np ij. Důkaz. (a) Snadno se vypočte, že pro h ij platí příslušné transformační vztahy, tj. že jde o tenzor. (b) Ukážeme, že h ij = np ij. Jistě platí np ij = 0 (n je vektorový součin P 1 P 2 ). Derivováním n j P i + np ij = 0 h ij = np ij. (c) Symetrie tenzoru h ij plyne ze zaměnitelnosti derivování h ij = np ij = np ji = h ji.

35 2.10. Normálová křivost a Meusnierova věta Normálová křivost a Meusnierova věta Studujme křivost křivky na ploše P (s) = P ( u 1 (s), u 2 (s) ). Křivka je parametrizována obloukem. První křivost P P P = 1 k ν (ν je jednotkový vektor hlavní normály). Označíme γ = n ν, tj. odchyliku normály plochy a hlavní normály křivky. Definice 28. Normálovou křivostí křivky k v bodě X rozumíme číslo n k = P P P n. Poznámka 14. Platí také n k = 1 k cosγ (viz geometrický význam skalárního součinu). Věta 30. Normálová křivost všech křivek plochy se společnou tečnou v daném bodě je stejná. Důkaz. Vyjdeme ze vztahu P (s) = P ( u 1 (s), u 2 (s) ). Platí ( P P (s 0 ) = P i u 1 (s 0 ), u 2 (s 0 ) ) u i (s 0 ) P P P (s 0 ) = P ij ( u 1 (s 0 ), u 2 (s 0 ) ) u i (s 0 ) u j (s 0 ) + P i ( u 1 (s 0 ), u 2 (s 0 ) ) ü i (s 0 ) Vypočteme n k násobením (skalárním) vektorem n k = P P P n = P ij n u i (s 0 ) u j (s 0 ) + P i n ü i (s 0 ) = h ij u i (s 0 ) u j (s 0 ) Tedy n k je dáno tečným vektorem a druhým tenzorem plochy, tj. normálová křivost je stejná pro všechny křivky plochy s daným tečným vektorem. Věta 31. (Meusnierova) Středy křivosti (středy oskulačních kružnic) křivek plochy, které se dotýkají jedné tečny plochy, leží na kružnici. Důkaz. Platí n k = 1 k cosγ. Pro normálový řez s danou tečnou n k = 1 k. Označme n ρ = 1 n k a n ρ = 1 1 k. Pak ale n ρ = n ρ cosγ a podle Thaletovy věty střed křivosti leží na kružnici nad průměrem XS, kde XS = n ρ Věta 32. Pro normálovou křivost platí n k = h ij du i du j g ij du i du j

36 2.11. Dupinova indikatrix a významné směry na ploše 36 Důkaz. Derivaci podle oblouku u i nahradíme derivací podle obecného parametru: du i = λ u i, λ 0. Pro λ platí λ = (du 1, du 2 ), ale pro velikost vektoru na ploše (např. V26) platí λ = g ij du i du i. Tedy u i = du i gij du i du j a n k = h ij u i u j = h ij du i du j g ij du i du j 2.11 Dupinova indikatrix a významné směry na ploše Definice 29. Směr, pro nějž je normálová křivost nulová, nazýváme asymptotický. Bod, v němž každý směr je asymptotický, nazýváme planární bod. Kruhovým bodem rozumíme bod, v němž normálová křivost je konstantní (ve všech směrech stejná). Obrázek 2.5: a) Eliptický, b) parabolický, c) hyperbolický bod X dané plochy Uvažujme jednotkový vektor v tečné rovině a = (du 1, du 2 ) a označme 1 R = h ij du i du j, R je poloměr oskulační kružnice normálového řezu.

37 2.11. Dupinova indikatrix a významné směry na ploše 37 Vytvořme křivku a nazveme ji Dupinova indikatrix. P (t) = X + a(t) R Věta 33. Dupinova indikatrix v bodě, který není planární, je středovou kuželosečkou nebo dvojicí středových kuželoseček. Důkaz. 1 R = h ij du i du j ; (α 1, α 2 ) = R (du 1 du 2 ), pak (du i, du j ) určuje jednotkový vektor. Označme 1 R = h ij α i R α j R, tj. h ij α i α j = ±1. h ij α i α j obsahuje jen kvadratické členy, jde tedy o středovou kvadriku. Dvě různá znaménka umožňují existenci dvou hyperbol. (Pro elipsu je jedna z nich imaginární.) Stanovme h = h 11 h 22 (h 12 ) 2, diskriminant druhé formy plochy. Pomocí znaménka h můžeme rozhodnout o počtu asymptotických směrů plochy. Definice 30. Řekněme, že bod plochy je: 1. eliptický, je-li h > 0, 2. parabolický, je-li h = 0, 3. hyperbolický, je-li h < 0. Věta 34. Dupinova indikatrix v eliptickém (hyperbolickém, parabolickém) bodě je elipsa (dvojice hyperbol se společnými asymptotami, dvojice rovnoběžných přímek). V hyperbolickém (parabolickém, eliptickém) bodě existují dva (jeden, žádný) asymptotický směr. Důkaz. Vyjdeme ze vztahu h ij α i α j = ±1 a pro asymptotické směry platí h ij α i α j = 0 a lze zavést λ = α1 nebo λ = α2 (jedno z čísel musí být nenulové). Pak o existenci asymptotického směru rozhoduje diskriminant kva- α 2 α 1 dratické rovnice h 11 (λ) 2 + 2h 12 (λ) + h 22 = 0, tj. h 2 12 h 11 h 22 = h. Další část je snadným důsledkem klasifikace kuželoseček. Definice 31. Směr plochy je hlavní, je-li normálová křivost v něm extrémální (maximální, resp. minimální).

38 2.12. Gaussova a střední křivost 38 Věta 35. Nenulový vektor (du 1, du 2 ) plochy určuje hlavní směr, právě když (du 1 ) 2 du 1 du 2 (du 2 ) 2 g 11 g 12 g 22 = 0. h 11 h 12 h 22 Důkaz. Z vlastností Dupinovy indikatrix plyne, že g ij du i dv j = 0 pro (du 1, du 2 ) a (dv 1, dv 2 ) ležící v hlavních směrech. Hlavní osy kuželosečky jsou totiž hlavními směry. Z teorie kuželoseček plyne i konjugovanost hlavních směrů, tj. h ij du i dv j = 0. Jde o sdružené průměry. Máme tedy soustavu tj. g ij du i dv j = 0 h ij du i dv j = 0, (g 11 du 1 + g 21 du 2 ) dv 1 + (g 12 du 1 + g 22 du 2 ) dv 2 = 0 (h 11 du 1 + h 21 du 2 ) dv 1 + (h 12 du 1 + h 22 du 2 ) dv 2 = 0. Pro existenci (dv 1, dv 2 ) 0 je nutné a stačí, aby g 11du 1 + g 21 du 2 g 12 du 1 + g 22 du 2 h 11 du 1 + h 21 du 2 h 12 du 1 + h 22 du 2 = 0, tj. použitím věty o součtu a násobku pro determinanty (du 1 ) 2 g 11 g 12 h 11 h 12 + (du 2 ) 2 g 21 g 22 h 21 h 22 + du 1 du 2 g 11 g 22 h 11 h 22 + du 1 du 2 g 21 g 12 h 21 h 12 kde g 21 g 12 h 21 h 12 = 0, pak již plyne tvrzení (rozvoj determinantu). + = 0, 2.12 Gaussova a střední křivost Definice 32. Hlavními křivostmi plochy v neplanárním bodě rozumíme normálové křivosti v hlavních směrech. Označme je n k min, n k max.

39 2.12. Gaussova a střední křivost 39 Gaussovou křivostí plochy v daném neplanárním bodě rozumíme číslo K = n k min nk max. Střední křivost plochy v neplanárním bodě je dána vztahem H = n k min + n k max 2 Odvodíme vzorce pro výpočet Gaussovy a střední křivosti. Pro (du 1, du 2 ) máme normálovou křivost n k a platí Dále n k min n k n k max. n k = h ij du i du j g ij du i du j = κ γ. Určení hlavních křivostí lze chápat jako hledání extrémů funkce κ kγ. Pro k = n k max je κ n k max γ 0 (a právě pro hlavní směr nastane rovnost), podobně pro k = n k min je κ n k min γ 0 a pro hlavní směr nastane rovnost. Hledáme tedy (du 1, du 2 ) tak, aby (κ k ex γ) bylo extrémní. Parciálním derivováním podle du 1 a du 2 dostaneme:. du 1 (κ k exγ) = 0 a du 2 (κ k exγ) = 0, tj. 2h 11 du 1 + 2h 12 du 2 k ex (2g 11 du 1 + 2g 12 du 2 ) = 0 2h 12 du 1 + 2h 22 du 2 k ex (2g 12 du 1 + 2g 22 du 2 ) = 0 tj. pro neznámé du 1, du 2, které tvoří nenulový vektor, musí být h 11 k ex g 11 h 12 k ex g 12 h 12 k ex g 12 h 22 k ex g 22 = 0. To je kvadratická rovnice pro k ex : ( g11 g 22 (g 12 ) 2) k 2 ex (g 11 h 22 2g 12 h 12 +g 22 h 11 )k ex + ( h 11 h 22 (h 12 ) 2) = 0. Absolutní člen rovnice (v normalizovaném tvaru) je součinem kořenů k min k max = h 11 h 22 (h 12 ) 2 g 11 g 22 (g 12 ) 2 = h g.

40 2.12. Gaussova a střední křivost 40 Věta 36. Pro Gaussovu křivost platí G = h g, kde h a g jsou diskriminanty druhé a první základní formy plochy. Pro střední křivost K = 1 2 g11 h 22 2g 12 h 12 + g 22 h 11. g Důkaz. Zdůvodnění pro Gaussovu křivost je uvedeno před větou. Tvrzení o střední křivosti plyne z vlastnosti lineárního členu kvadratické rovnice v normovaném tvaru (koeficient se rovná opačné hodnotě k součtu kořenů). Věta 37. (Eulerova) Pro normálovou křivost n k platí n k = n k max cos 2 ϕ + n k min sin 2 ϕ, kde ϕ je odchylka směru od hlavního směru s maximální normálovou křivostí. Důkaz. Uvažujme (α 1, α 2 ) a (β 1, β 2 ) kontravariantní souřadnice jednotkových vektorů hlavních směrů. Hlavní směry jsou ortogonální. Označme (γ 1, γ 2 ) směr na ploše, jistě lze psát γ i = α i cosϕ + β i sinϕ Normálová křivost pro směr (γ 1, γ 2 ) n k = h ij γ i γ j = h ij (α i cosϕ + β i sinϕ) (α j cosϕ + β j sinϕ) = = h 11 [(α 1 ) 2 cos 2 ϕ + (β 1 ) 2 sin 2 ϕ + 2α 1 β 1 sinϕ cosϕ ] + + 2h 12 [α 1 α 1 cos 2 ϕ + β 1 β 2 sin 2 ϕ + β 1 α 2 sinϕ cosϕ + α 1 β 2 sinϕ cosϕ ] + + h 22 [(α 2 ) 2 cos 2 ϕ + (β 2 ) 2 sin 2 ϕ + 2α 2 β 2 sinϕ cosϕ ] = = n k max cos 2 ϕ + n k min sin 2 ϕ + 2sinϕ cosϕ h ij α i β j = }{{} =0 = n k max cos 2 ϕ + n k min sin 2 ϕ. Dané směry jsou sdružené, tj. h ij α i β j = 0. Tím je věta dokázána. Bez důkazu uvedeme větu, kterou v roce 1827 objevil Gauss a považoval ji za slavný objev (egregium = slavný). Věta 38. (Theorema Egregium) Gaussovu křivost lze vyjádřit pouze pomocí koeficientů g ij a jejich prvních a druhých derivací.

41 2.13. Geodetická křivost plochy 41 Důsledek 1. (Theoremy Egregium) (i) Plochy, které lze na sebe rozvinout (délkojevně zobrazit) mají v odpovídajících bodech stejnou Gaussovu křivost. (ii) Rozvinutelné plochy mají nulovou Gaussovu křivost. (iii) Gaussova křivost je kladná v eliptických, nulová v parabolických a záporná v hyperbolických bodech. Důkaz. (i) Plyne snadno z věty 38. Rovina má samozřejmě Gaussovu křivost G = 0. (ii) Stejně jako (i). (iii) Plyne z věty 36, znaménko G je dáno znaménkem h (g > 0, věta 20) Geodetická křivost plochy Definice 33. Nechť P (t), t I, je křivka na ploše κ. Velikost průmětu vektoru první křivosti P P P křivky do tečné roviny plochy nazýváme goedetická křivost křivky na ploše. Obrázek 2.6: Geometrický význam geodetické křivosti křivky na ploše Věta 39. Pro geodetickou křivost křivky na ploše platí g k = (n, P P, P P P ), kde n je jednotkový normálový vektor plochy, P jednotkový tečný vektor křivky a P P P vektor první křivosti křivky.

42 2.14. Weingartenovy a Gaussovy rovnice 42 Důkaz. Označme c = n P P. Vektor c, c = 1, patří do zaměření tečné roviny. Zřejmě g k = c P P P. Tedy g k = (n P P ) P P P = (n, P P, P P P ) Weingartenovy a Gaussovy rovnice Věta 40. (Weingartenova) Pro vektory P i = P u i platí n i = h j i P j a n i = n i, i = 1, 2, u Důkaz. Vyjdeme ze vztahu n n = 1, tj. n n i = 0. Tedy n i leží v tečné rovině, tj. n i = k j i P j, kde k j i jsou kombinační koeficienty, které vypočteme. Vynásobíme rovnici P k : neboli k j i = hj i P k n i = k j i P j P k h ik = k j i g jk (jde o operaci snížení indexu). Věta 41. (Gaussova) Pro vektory P ij platí P ij = Γ k ij P k + h ij n, kde Γ k ij jsou tzv. Christoffelovy symboly, pro než Γ k ij = P ij P l g lk Důkaz. P ij vyjádříme v bázi P 1, P 2, n a stanovíme koeficienty λ k ij a b ij. Vyjdeme z platnosti těchto vztahů: P ij = λ k ij P k + b ij n (2.10) n n = 1, n P i = 0, n P ij = h ij. Po skalárním vynásobení (2.10) vektorem n dostaneme n P ij = h ij = b ij. Po skalárním vynásobení (2.10) vektorem P r dostaneme P r P ij = λ k ij P k P r = λ ij k g kr.

43 2.15. Asymptotické, hlavní a geodetické křivky 43 Poznámka 15. Weingartenovy a Gaussovy vzorce tvoří pro plochu analogii k Frenetovým vzorcům pro křivku. Popisují změnu lokálního repéru plochy, který je tvořen tečnými vektory parametrických křivek a vektorem normály plochy. Celkem jde o šest rovnic, ale dvě z nich vzhledem k zaměnitelnosti pořadí derivování splývají. n 1 = h j 1 P j n 2 = h j 2 P j P 11 = Γ k 11 P k + h 11 n P 12 = Γ k 12 P k + h 12 n P 22 = Γ k 22 P k + h 22 n Poznámka 16. Christoffelovy symboly netvoří tenzor, neboť jejich transformace při změně souřadnic je obecnější než u tenzoru. Christoffelovy symboly jsou příkladem tzv. konexe Asymptotické, hlavní a geodetické křivky Definice 34. Křivka plochy je asymptotická, je-li její normálová křivost v každém bodě nulová. Věta 42. Tečna asymptotické křivky je určena asymptotickým směrem. Hlavní normála asymptotické křivky leží v tečné rovině plochy (binormála je normálou plochy). Asymptotická křivka je určena diferenciální rovnicí h ij du i du j = 0. Důkaz. Plyne z vlastností normálové křivosti. Poznámka 17. Pro parametrické křivky, které jsou asymptotické, platí h 11 = h 22 = 0 Definice 35. Křivka plochy je hlavní křivkou, je-li její tečna v každém bodě určena hlavním směrem. Poznámka 18. Hlavní křivky jsou nazývány také křivoznačné. Věta 43. Hlavní křivky na ploše bez planárních a kruhových bodů jsou popsány diferenciální rovnicí (du 1 ) 2 du 1 du 2 (du 2 ) 2 g 11 g 12 g 22 = 0. h 11 h 12 h 22

44 2.15. Asymptotické, hlavní a geodetické křivky 44 Hlavní křivky (na takové ploše) tvoří ortogonální síť. Parametrické křivky jsou hlavními křivkami, právě když g 12 = h 12 = 0. Důkaz. plyne z vlastností hlavních směrů. Věta 44. (Rodrignesova) Křivka P (s) = P ( u 1 (t), u 2 (t) ) plochy je hlavní křivkou plochy, právě když v každém bodě jsou vektory n = P lineárně závislé. Koeficient kolineárnosti je roven hlavní křivosti n k ex, tj. n = n k ex P P. Důkaz. n je jednotkový vektor normály plochy a n n = 0, tj. n leží v zaměření tečné roviny, tedy n = α P + β P P, ( P = 1, P P P = 0), (2.11) P kde P je kolmý vektor na P a leží v tečné rovině. Rovnici (2.11) vynásobíme P : n P P = β, ale n = n j (u j ) a P = P i b i, tedy β = [n j (u j ) ] [P i b i ] = h ij (u j ) b i. Jde o hlavní křivku, derivace normálové křivosti musí být nulová, tj. β = 0. Snadno spočteme n = α P, tedy n P = α P P, tj. α = n n P P P = h ij (u i ) (u j ) = n k g ij (u i ) (u j ) ex. n P Předpokládáme n = α P a ukážeme, že vektor P a P jsou konjungované k 2. základní formě. To plyne ze vztahu n P P = 0, čili ( n j (u j ) ) (P i b i) = h ij (u j ) c i = 0. n P n Definice 36. Křivku plochy, která obsahuje jen body s nulovou geodetickou křivostí, nazýváme geodetickou křivkou (neboli geodetikou). Věta 45. Pro geodetickou křivost platí g k = m, kde m = ( d 2 u k ds 2 + Γk ij dui ds duj ) P k ds

45 2.15. Asymptotické, hlavní a geodetické křivky 45 Důkaz. P P = P i dui ; P P P = P ij dui ds ds duj ds + P i d2 u i 2. ds Pomocí Gaussovy věty (41) P P P = ( Γ k ij P k + h ij n ) dui ds duj ds + P i d2 u i ds 2. Z toho že g k je velikost pravoúhlého průmětu vektoru 1. křivosti do tečné roviny plyne vzorec. Poznámka 19. Větu (45) lze chápat i jako soustavu diferenciálních rovnic pro určení geodetik. Vypočteme Christoffelovy symboly tak, že vystačíme s 1. tenzorem. Tím ukážeme, že geodetická křivost je pojmem vnitřní geometrie plochy. Platí g ij = P i P j, derivujeme cyklickou záměnou Vytvoříme (2.12) + (2.13) - (2.14) k g ij = P ik P j + P i P jk (2.12) j g ki = P kj P i + P k P ij (2.13) i g jk = P ji P k + P j P ki (2.14) 2 P i P jk = ( k g ij + j g ki i g jk ), tedy Γ k ij lze vyjádřit pomocí derivací g ij. Věta 46. (O geodetice I.) (a) Křivka plochy je geodetikou, právě když v každém bodě (s nenulovou první křivostí) splývá hlavní normála křivky s normálou plochy. (b) Je-li geodetická křivka rovinná (ale není přímkou), pak je hlavní křivkou. (c) Při rozvinutí dvou ploch na sebe (délkojevné zobrazení) se všechny geodetiky jedné plochy zobrazí na geodetiky druhé plochy. Důkaz. (a) Plyne z definice geodetické křivosti. (b) Je důsledkem lemmatu

46 2.15. Asymptotické, hlavní a geodetické křivky 46 Lemma 1. Křivka plochy je hlavní, právě když plocha tvořená normálami plochy v bodech křivky je rozvinutelná. (c) Plyne z toho, že lze Γ k ij vyjádřit pomocí derivací g ij. Věta 47. (O nejkratší spojnici) (a) Pokud mezi dvěma body plochy existuje nejkratší spojnice, pak je geodetikou. (b) Každým bodem plochy prochází jediná geodetika s danou tečnou. Věta 48. (O geodetice II.) (a) Každá přímka (nebo její část) na ploše je geodetikou. (b) Každý normálový řez plochy je geodetikou. Poznámka 20. Řez je normálový, je-li rovina řezu v každém bodě řezu kolmá na tečnou rovinu (obsahuje normálu plochy). Důkaz. Je zřejmý z definice. Příklad 13. (a) Geodetikami v rovině jsou právě její přímky. Splývá množina geodetik a nejkratších spojnic. (b) Geodetikami na kulové ploše jsou tzv. hlavní kružnice, tj. kružnice, které mají střed ve středu kulové plochy. To plyne např. z věty 48 - b. (c) Geodetikou (jednou z geodetik) na obecné válcové ploše je normálový řez (viz věta 48 - b). (d) Geodetikami na rotační válcové ploše jsou: površky, rovnoběžkové kružnice a šroubovice. Zvolíme-li na povrchu dva body, existuje mezi nimi (nejsou-li na téže rovnoběžkové kružnici, tj. normálovém řezu) nekonečně mnoho geodetik. Jen jedna z nich je nejkratší spojnicí. (e) Uvažujme rotační plochu P (u, v) = ( α(u) cos v, α(u) sin v, β(u) )