Analytické stanovení hodnoty Value at Risk a Expected Shortfall za předpokladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti 1
|
|
- Vladimír Pravec
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Analyticé stanovení hodnoty Value at Ris a Expected Shortfall za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti 1 Jiří Valecý, Aleš resta Abstrat Mezi největší nedostaty analyticého propočtu Value at Ris a Expected Shortfall patří bezesporu předpolad o normálním rozdělení pravděpodobnosti výnosů. Tyto vša mají rozdělení leptourticá a mnohdy i mírně zešimená. V těchto situacích vede předpolad o normálním rozdělení podhodnocení či nadhodnocení hodnoty VaR a ES oproti sutečnosti. Tento příspěve je věnován analyticému stanovení VaR a ES za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti, s jehož pomocí lze charaterizovat typicé leptourticé rozdělení výnosů finančních ativ. V příspěvu je nejprve charaterizován způsob stanovení VaR a ES analyticou metodou za předpoladu normálního a poté smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti výnosu. Dále jsou prezentovány metody odhadu parametrů pravděpodobnostního rozdělení, tj. metoda momentů a metoda maximální věrohodnosti. V závěru příspěvu jsou propočteny jednotlivé hodnoty VaR a ES, výsledy jsou porovnány. líčová slova Value at Ris, Expected Shortfall, smíšené normální rozdělení pravděpodobnosti, metoda maximální věrohodnosti, metoda centrálních momentů. 1 Úvod Metodologie Value at Ris (dále jen VaR) je poměrně rozsáhlou a propracovanou metodologií pro měření veliosti rizia a řízení eonomicého apitálu, jímž jsou tato rizia ryta. Jedná se tedy o metodologii apliovatelnou ja při řízení operačních a úvěrových rizi, ta při řízení rizi tržních (napřílad aciového, měnového, úroového, opčního a omoditního rizia). Dalším velmi rozšířeným a upřednostňovaným měřítem rizia před VaR je Expected Shortfall (dále jen ES). Jedná se de facto o očeávanou ztrátu, jež přeročí hodnotu VaR na dané hladině pravděpodobnosti. Hodnotu VaR i ES lze stanovit analyticy, na bázi historicé simulace nebo simulace Monte-Carlo. Analyticé řešení je velmi rychlou a jednoduchou metodou stanovení této hodnoty, avša její určení je podmíněno předpolady o pravděpodobnostním rozdělení výnosu ativa, tj. (1) stacionarita pravděpodobnostního chování; () neautoorelovanost a (3) normalita pravděpodnostního rozdělení. Zejména pa třetí předpolad je úsalím problému při propočtu obou měr rizi analyticou metodou, neboť empiricá rozdělení pravděpodobnosti finančních časových řad jsou leptourticá a mnohdy i zešimená. 1 Tento příspěve vznil v rámci podpory projetu SP/111. Ing. Jiří Valecý, Ph.D., VŠB Technicá univerzita Ostrava, Eonomicá faulta, atedra financí, Soolsá tř. 33, 71 1 Ostrava 1; jiri.valecy@vsb.cz; Ing. Aleš resta, VŠB Technicá univerzita Ostrava, Eonomicá faulta, atedra financí, Soolsá tř. 33, 71 1 Ostrava 1; ales.resta.st@vsb.cz.
2 V taovém případě vede předpolad normality nadhodnocení VaR a ES na relativně vysoé hladině spolehlivosti a naopa podhodnocení při relativně nižší hladině spolehlivosti. Řešením tohoto problému je mimo jiné stanovení předpoladu, že veličina je charateristicá smíšeným normálním rozdělením. 3 Cílem tohoto příspěvu je porovnat jednodenní VaR a ES na 95% hladině spolehlivosti u vybraných indexů apitálového trhu za předpoladu normálního a smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti, přičemž parametry jsou odhadnuty dvěma metodami, tj. metodou centrálních momentů a metodou maximální věrohodnosti. V příspěvu jsou tyto metody rovněž porovnány ve smyslu vality odhadu a dále je ověřeno, zda předpolad normálního rozdělení nad/podhodnocuje hodnotu VaR a ES. V příspěvu je nejprve vysvětleno analyticé stanovení hodnoty VaR a ES za předpoladu normálního rozdělení a posléze za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti. Další část je věnována desripci metod odhadu parametrů smíšeného rozdělení, přičemž hlavní pozornost je věnována iterační metodě maximální věrohodnosti. Ve čtvrté části je stanovena hodnota VaR a ES za předpoladu smíšeného rozdělení, jehož parametry jsou určeny metodou centrálních momentů a metodou maximální věrohodnosti a tyto výsledy jsou porovnány ja mezi sebou, ta s hodnotami stanovených za předpoladu normálního rozdělení. V poslední části jsou výsledy shrnuty. Analyticé stanovení Value at Ris a Expected Shortfall Value at Ris je hodnota ztráty na dané hladině pravděpodobnosti α a odpovídá spodnímu α -vantilu rozdělení náhodné veličiny X %, tedy. iid de X t N ( µ, σ ) % a x = α VaR. P X% < x α = α, (1) Expected shortfall lze definovat jao očeávanou ztrátu přeračující hodnotu VaR na dané hladině pravděpodobnosti, tedy ( α ).1 Normální rozdělení pravděpodobnosti Normalizací rovnice (1) dostaneme rovnici ve tvaru de Z N (,1) ES = E X X < x. () α X% x x P ( X% µ α µ α µ < xα ) = P < = P Z < = α, (3) σ σ σ. Vzhledem rovnosti x α µ ( α ) σ 1 de Φ je inverzní funce distribuční funci standardního normálního rozdělení, a vzhledem tomu, že pro symetricé rozdělení pravděpodobnosti platí rovnost 1 Φ α = Φ 1 1 α, lze určit VaR analyticy, a to 1 = Φ, (4) VaR x 1 α 1 α σ µ = = Φ. (5) 3 Lze taé položit předpolad, že veličina má studentovo rozdělení nebo smíšené studentovo rozdělení.
3 Očeávaná ztráta představuje vážený průměr pravděpodobností hodnot x < x α, přičemž P X% <. Vzhledem rovnosti (1) lze ES zapsat ve tvaru suma vah je pravděpodobnost ( x α ) xα 1 α ES = x f x dx, (6) de f ( x ) je distribuční funce normálního rozdělení. Lze doázat, že platí a že ES lze spočítat dle rovnice xα α x f 1 ( x) dx = ϕ Φ ( α ) ( ) 1 1 ES α α ϕ α σ µ = Φ, (7) de ϕ a Φ je funce hustoty a distribuční funce standardního normálního rozdělení.. Smíšené normální rozdělení pravděpodobnosti Smíšené normální rozdělení pravděpodobnosti je taové rozdělení, jež je složeno z dílčích normálních rozdělení (omponent), přičemž aždé z nich odpovídá určitému režimu vývoje časové řady a nastává s pravděpodobností π. U finančních časových řad je dostatečná ombinace dvou až tří omponent (rostoucí, lesající a stagnující trh). Smíšené normální rozdělení je potom váženým součtem dílčích omponent, tedy G x, ( ;, ) de G x = F x, (8) π ( ; µ, σ ) = 1 F x µ σ je distribuční funce smíšeného normálního rozdělení a dílčího normálního rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou µ a rozptylem σ a je počet omponent. Hodnotu VaR lze určit ze vztahu xα µ P X < x = G x = F x = P Z < = ( % α ) ( α ) ( α ;, ) π µ σ π α = 1 = 1 σ x α. (9) Za předpoladu platnosti vztahu (4) a (5), se hodnota VaR = najde řešením rovnice (9) pomocí cílového programování. Postup propočtu očeávané ztráty je analogicý postupu za předpoladu normálního rozdělení. Rozšířením rovnice (6) o pravděpodobnost jednotlivých omponent zísáme xα 1 ESα α π x f ( x) dx = 1 a za rovnosti a předpoladu smíšeného normálního rozdělení lze ES spočítat dle rovnice ES α xα = (1) 1 = σ ϕ ( σ α ) x f x dx x ( ( xα )) ( ). (11) = α 1 π σ ϕ σ 1 π µ = 1 = 1
4 3 Odhad parametrů smíšeného normálního rozdělení = je ompliovaný v tom, že nejsou známy realizace Odhad parametrů θ ( π, µ, σ ) procesu { Z }, jež by indiovaly, z terého režimu (omponentu) byla realizace procesu { X } generována. Nicméně lze odhadu použít metodu centrálních momentů nebo metodu maximální věrohodnosti, jež je řešena iteračním EM algoritmem. 3.1 Odhad metodou momentů Odhad parametrů smíšeného normálního rozdělení metodou centrálních momentů je prováděn následujícím způsobem. Nejprve jsou stanoveny momenty smíšeného normálního rozdělení, M M M M = = 1 = 1 = 1 = 1 π µ, = π σ + µ 3 = π 3 µ σ + µ, a poté jsou dopočteny centrální momenty µ = M 1 σ = M M,, 4 4 = π 3σ + 6 µ σ + µ, 1, ( M 3 3M1M M1 ), ( M 4 M1M 3 M1 M M1 ) τ = σ κ = σ Položením rovnosti centrálních momentů (13) a empiricých momentů jsou poté pomocí θ = π, µ, σ. více-riteriálního cílového programování nalezeny parametry 3. Odhad metodou maximální věrohodnosti Princip odhadu metodou maximální věrohodnosti spočívá v maximalizaci věrohodnostní funce pro smíšené normální rozdělení pravděpodobnosti, jež má tvar de θ ( π, µ, σ ) ( θ ) π ( µ σ ) = 1 (1) (13) f x; = g x;,, (14) =, je počet režimů (omponent) smíšeného rozdělení, pravděpodobnost -tého režimu a 1 g ( x; µ, σ ) = exp ( πσ ) ( x µ ) je funce hustoty normálního rozdělení se střední hodnotou µ a rozptylem σ. Věrohodnostní funce smíšeného normálního rozdělení je poté definována jao σ π je
5 N ; = ;,. (15) n= 1 = 1 ( θ ) π g ( x µ σ ) L X Odhad parametrů je prováděn iterační algoritmem EM (expectation-maximization), jenž se sládá ze dvou roů. V prvním rou (E-step) jsou pro výchozí parametry θ odhadnuty Z, jež indiují režim generující realizaci procesu jednotlivé realizace neznámého procesu { } { X }, a je zonstruován očeávaný logaritmus věrohodnostní funce (15). V druhém rou (M-step) je tato funce maximalizována a jsou zísány nové odhady parametrů roy jsou opaovány až dosažení onvergenčního ritéria. ( t 1) θ +. Oba Nechť je stanovena podmíněná pravděpodobnost, že daný režim vygeneroval realizaci x, p Z X θ, a dále lze tuto pravděpodobnost pomocí věty o podmíněné tedy ( t ) ;, ( t ) pravděpodobnosti dvou jevů vyjádřit ve tvaru p P A B ( Z; X, θ ) = P A = = 1 ( B) P ( B) ( ;, ) g ( x;, ) π g x µ σ π µ σ. (16) Úpravou logaritmu věrohodnostní funce (15) a apliací Jensenovy nerovnosti pro onvexní funce dle c log log log γ c = c γ γ = 1 = 1 γ = 1 (17) zísáme tvar očeávaného logaritmu věrohodnostní funce pro dané parametry l n= 1 = 1 n= 1 = 1 n= 1 = 1 X ; θ = log L X ; θ = log π g x; µ, σ = N N N ( µ σ ) log π g x;, p ( Z X θ ) ( θ ) ( Z; X, θ ) ( Z; X, θ ) t t ( ; µ, σ ) t t ( Z; X, θ ) = E log L X ;. V druhém rou je tato funce maximalizována s ohledem na parametry θ, tj. p p π g x ;, log p ( θ ) ˆ ( t+ 1) arg max X ; θ θ θ, tedy = l. (18) 4 Stanovení hodnot Value at Ris a Expected Shortfall Pro účel omparace propočtu jednodenního VaR a ES za předpoladu normálního a smíšeného normálního rozdělení byly zvoleny časové řady čtyř burzovních indexů, a to DAX,
6 FTSE 1, česý PX a SP 5. Pro propočet byly zvoleny časové řady denních výnosů za období až 9. Nejprve je ověřeno, zda empiricá rozdělení časových řad jsou leptourticá a zešimená. Poté je proveden odhad parametrů funcí hustot pravděpodobnosti metodou centrálních momentů () a metodou maximální věrohodnosti (ML). Obě metody jsou posléze porovnány, zda dle odhadnutých parametrů lze generovat náhodné veličiny s pravděpodobnostním rozdělením odpovídajícímu empiricým. V poslední části je stanoven jednodenní VaR a ES na 95% hladině spolehlivosti a výsledy jsou porovnány. Na následujícím obrázu jsou zobrazeny histogramy jednotlivých časových řad a jsou zde rovněž zachyceny funce hustoty empiricých a normálních rozdělení pravděpodobnosti. Obr.1: Histogramy a empiricá rozdělení pravděpodobnosti časových řad DAX FTSE 1 Density DAX Return Density FTSE1 Return Density PX PX Return Density SP SP5 Return Ja je z obrázu zřejmé, všechna empiricá rozdělení pravděpodobnosti vybraných tržních indexů jsou leptourticá a něterá zešimená. Pro omplexnost a ověření, že tomu ta opravdu je, byly provedeny něteré statisticé testy. Především byla testována šimost (sew = ) a špičatost (urtosis = 3) proti normálnímu rozdělení a byl proveden Shapiro-Wil test normality. V následující tabulce jsou uvedeny ja empiricé charateristiy polohy a variability, ta jsou zde v závorách uvedeny p-hodnoty provedených statisticých testů.
7 Tab.1: Empiricé charateristiy a p-hodnoty vybraných testů DAX FTSE 1 PX SP 5 Mean.... St.dev Sew.348 (.).58 (.34) (.1).57 (.46) urtosis 7.8 (.) 9.39 (.) (.) 1.13 (.) S-W test (.) (.) (.) (.) Z výše uvedeného vyplývá, že empiricá rozdělení vybraných časových řad nesplňují podmíny normality. Rozdělení indexu FTSE 1 a SP 5 jsou doonce zešimená (DAX doleva, PX doprava); špičatost je ve všech případech vyšší než 3, terá odpovídá rozdělení normálnímu. Dále bylo předpoládáno, že náhodný vývoj časových řad je charateristicý smíšeným normálním rozdělením pravděpodobnosti sládajícího se ze dvou omponent. Odhad parametrů byl proveden metodou momentů a metodou maximální věrohodnosti, přičemž oba odhady byly zísány pomocí iteračních algoritmů. V případě metody momentů byla použita Newton-Raphson metoda a u metody maximální věrohodnosti EM algoritmus popsaný výše. Odhadnuté parametry jednotlivých metod odhadu jsou zachyceny v následující tabulce a parametrizované funce hustoty pravděpodobnosti jsou znázorněny na Obr.. Tab.: Odhadnuté parametry smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti. DAX FTSE 1 PX SP 5 ML ML ML ML µ %.33% -.7%.34%.65%.81% -.13% -.7% µ.9% -.94%.58% -.86% -.89% -.37%.3%.7% σ 1.687%.98%.965%.8%.961% 1.15%.476%.37% σ.68%.55%.434%.311% 3.699% 3.74%.183%.84% π π Ja je z výsledů Tab. zřejmé, rozdíly v odhadech jsou relativně velé. Nejvíce patrný je tento rozdíl v pravděpodobnostech režimů π 1 a π a v něterých případech (SP 5) ve směrodatných odchylách či střední hodnotě (DAX, FTSE 1). Na Obr. jsou znázorněna rozdělení pravděpodobnosti normálního, empiricého a dále parametrizovaná smíšená normální rozdělení zísaných metodou momentů a maximální věrohodnosti. Přestože jsou funce zísané pomocí obou metod velmi blízé empiricému rozdělení, je nezbytné ověřit, zda odhadnuté parametry charaterizují pravděpodobnostní rozdělení adevátně.
8 5. mezinárodní onference Řízení a modelování finančních rizi VŠB-TU Ostrava, Eonomicá faulta, atedra Financí Ostrava září 1 Obr.: Empiricá a parametrizovaná rozdělení pravděpodobnosti DAX FTSE Normal Mixture 5 Mixture ML Emp (=Epa) -,1 -,5,5,1,15 -,15 -,1 -,5 PX Mixture ML Emp(=Epa),5,1,15 7 Normal 35 Normal Mixture Mixture ML 1 5 1,1, Mixture ML 3 Emp(=Epa) Mixture ,1 Mixture SP 5 4 -, Normal -,15 -,1 -,5 Emp(=Epa),5,1,15 Toto bylo provedeno pomocí dvou-výběrového olmogov-smirnov testu ta, že byla dle odhadnutých parametrů generována náhodná veličina v počtu 1 a 1 scénářů a poté byl proveden dvou-výběrový S test. Výsledy testů v podobě p-hodnot jsou uvedeny v následující tabulce. Tab.3: P-hodnoty dvou-výběrového S testu a) malý vzore (1 scénářů) b) velý vzore (1 scénářů) DAX FTSE 1 PX SP ML DAX FTSE 1 PX SP ML Dle výsledů je zřejmé, že generované vzory dle parametrů odhadnutých metodou momentů neodpovídá rozdělení empiricému pro malý ani pro velý vzore. Naopa metoda maximální věrohodností dává velmi dobré výsledy již při malém vzoru s výjimou indexu SP 5. Z tohoto důvodu není odhadům dle metody dále přihlíženo. V posledním rou byl stanoven analyticý propočet jednodenního VaR dle rovnice (9) a ES dle (11) na 5% hladině významnosti, viz Tab. 4.
9 Tab.4: Jednodenní VaR a ES stanovený analyticou metodou na 95% hladině spolehlivosti a) Value at Ris DAX FTSE 1 PX SP % 1.774% 1.683% 1.95% ML 1.835% 1.545% 1.95% 1.557% Normal.567%.197%.569%.35% Rozdíl.73%.65%.618%.677% b) Expected Shortfall DAX FTSE 1 PX SP % 3.735% 4.737% 5.664% ML 5.11% 4.344% 4.316% 4.43% Normal 3.19%.756% 3.33%.83% Rozdíl -1.9% % -1.83% -1.67% Porovnáním výsledů z Tab. 4 lze říci, že za předpoladu normálního rozdělení je hodnota jednodenního VaR výrazně vyšší než za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti, a to o,6 až,7 %. Hodnota VaR je ta nadhodnocena, což vede taé držbě zbytečně vysoého eonomicého apitálu pro rytí případného rizia. Naopa očeávaná ztráta je podhodnocena, a to o 1 % až téměř % proti smíšenému normálnímu rozdělení, což může mít za následe nedostatečného rytí rizia měřeného pomocí ES. Všechny uvedené hodnoty jsou procentuální a rozdíly pochopitelně narůstají, jsou-li vyjádřeny absolutně pomocí hodnoty investovaných prostředů. Údaje propočtené dle parametrů zísaných metodou jsou v tabulce uvedeny pouze pro omplexnost, ale pro neadevátní odhad parametrů rozdělení pravděpodobnosti není těmto výsledům přihlédnuto. 5 Závěr Příspěve byl věnován analyticému stanovení Value at Ris a Expected Shortfall za předpoladu smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti. Nejprve byl charaterizován způsob stanovení VaR a ES analyticou metodou za předpoladu normálního a poté smíšeného normálního rozdělení pravděpodobnosti výnosu. Dále byly prezentovány metody odhadu parametrů pravděpodobnostního rozdělení, tj. metoda momentů a metoda maximální věrohodnosti. V závěru příspěvu byly propočteny a porovnány jednotlivé hodnoty VaR a ES. omparace propočtu jednodenního VaR a ES za předpoladu normálního a smíšeného normálního rozdělení byla provedena pomocí časových řad čtyř burzovních indexů, a to DAX, FTSE 1, PX a SP 5 za období až 9. V příspěvu bylo ověřeno, že empiricá rozdělení vybraných časových řad jsou leptourticá a zešimená. Odhad parametrů funcí hustot pravděpodobnosti smíšeného normálního rozdělení byl proveden metodou centrálních momentů a metodou maximální věrohodnosti. Pomocí dvou-výběrového S testu bylo ověřeno, zda dle odhadnutých parametrů lze generovat náhodnou veličinu s totožným rozdělením pravděpodobnosti jao je rozdělení empiricé. Metoda momentů se zde uázala jao naprosto nevhodná. V poslední části příspěvu byl stanoven jednodenní VaR a ES na 95% hladině spolehlivosti. Z provedené omparace bylo ověřeno, že předpolad normálního rozdělení vede nad/podhodnocení hodnoty VaR a ES. V daném případě byla hodnota VaR nadhodnocena o,6 až,7 % proti předpoladu smíšeného normálního rozdělení, teré navíc na rozdíl od normálního plně (na 95% hladině spolehlivosti) odpovídá rozdělení empiricému. U hodnoty ES došlo naopa podhodnocení, a to o 1 až %.
10 Literatura [1] ALEXANDER, C.: Maret Ris Analysis. Chichester: Wiley, 8. [] BRANDIMARTE, P.: Numerical methods in finance and economics : a MATLAB-based introduction. Hoboem: Wiley, 6. [3] DANIELSSON, J.: The Value at Ris: ey Issues in the Implementation of Maret Ris. London: Ris Boos, 7. [4] DEMPSTER, A., LAIRD, N., RUBIN, D. (1977). Maximum lielihood from incomplete data via the EM algorithm. Journal of the Royal Statistical Society 39, s [5] JORION, P.: Value at Ris: The New Benchmar for Managing Financial Ris. New Yor: McGraw-Hill, 7. [6] LEWIS, N.C.: Maret Ris Modelling: Applied Statistical Methods for Practitioners. London: Ris Boos, 3. [7] MACAY, D.J.C.: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms. Cambridge: University Press, 5. [8] MCLACHLAN, G., RISHNAN, T. (1997). The EM algorithm and extensions. Chichester: Wiley, [9] ZMEŠAL, Z.: Financial Models. Ostrava: VSB-TU Ostrava, 4. Summary Analytical solution of Value at Ris and Expected Shortfall conditioned by mixture normal distribution The assumption of normal probability distribution belongs to the biggest imperfections of analytical solution of Value at Ris and Expected Shortfall. However, the returns are rather distributed leptourtic and the empirical distributions are often sewed. In these cases, this assumption results in over- or underestimation of VaR and ES compared with the genuine values. This paper is devoted to analytical solution of VaR and ES under the assumption of normal mixture probability distribution by which it is possible to characterize the typical leptourtic distribution of financial assets return. Firstly, the analytical solution of VaR and ES under normal distribution and under normal mixture distribution condition is described. Next, the techniques of estimating parameters of probability distributions are presented, i.e. general method of moments and maximum lielihood. Finally, the particular Value at Ris and Expected Shortfall are calculated and the results are compared.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 04 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Záon velých čísel Lemma Nechť náhodná veličina nabývá pouze nezáporných
VíceModelování vývoje výnosů zahraničního aktiva pro českého investora
Modelování vývoje výnosů zahraničního aktiva pro českého investora Aleš Kresta 1 Abstrakt Příspěvek je zaměřen na modelování výnosů závisejících na vývoji dvou rizikových faktorů, konkrétně je v příspěvku
VíceTestování hypotéz. December 10, 2008
Testování hypotéz December, 2008 (Testování hypotéz o neznámé pravděpodobnosti) Jan a Františe mají pytlíy s uličami. Jan má 80 bílých a 20 červených, Františe má 30 bílých a 70 červených. Vybereme náhodně
VíceIntervalové Odhady Parametrů
Parametrů Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceHodnocení přesnosti výsledků z metody FMECA
Hodnocení přesnosti výsledů z metody FMECA Josef Chudoba 1. Úvod Metoda FMECA je semivantitativní metoda, pomocí teré se identifiují poruchy s významnými důsledy ovlivňující funci systému. Závažnost následů
Víceoddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA)
Vytěžování dat Filip Železný Katedra počítačů oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 22. září 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 22. září 2014 1 / 25 Odhad rozdělení Úloha: Vstup: data D = {
VíceVŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Statistika. Vzorce a tabulky
VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Statistia Vzorce a tabuly Martina Litschmannová 3. března 05 Oficiální vzorce a tabuly KOMBINATORIKA Bez opaování Uspořádané
VíceValue at Risk. Karolína Maňáková
Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností
Více3 Bodové odhady a jejich vlastnosti
3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceIDENTIFIKACE BIMODALITY V DATECH
IDETIFIKACE BIMODALITY V DATECH Jiří Militky Technická universita v Liberci e- mail: jiri.miliky@vslib.cz Milan Meloun Universita Pardubice, Pardubice Motto: Je normální předpokládat normální data? Zvláštnosti
VíceEva Fišerová a Karel Hron. Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci.
Ortogonální regrese pro 3-složkové kompoziční data využitím lineárních modelů Eva Fišerová a Karel Hron Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci
VíceAlternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení
Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Náhodná veličina X má alternativní rozdělení s parametrem p, jestliže nabývá hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi
VíceDetermination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo
Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo Kateřina Zelinková 1 Abstract The financial institution, namely securities firms, banks
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Náhodné veličiny Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor
VíceZápočtová práce STATISTIKA I
Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru
VíceSTANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák
STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
Více4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody:
4 Přednáša: Kvazi-Newtonovsé metody: Metody s proměnnou metriou, modifiace Newtonovy metody Efetivní pro menší úlohy s hustou Hessovou maticí Newtonova metoda (opaování): f aproximujeme loálně vadraticou
VíceZávislost indexů C p,c pk na způsobu výpočtu směrodatné odchylky
Závislost indexů C,C na zůsobu výočtu směrodatné odchyly Ing. Renata Przeczová atedra ontroly a řízení jaosti, VŠB-TU Ostrava, FMMI Podni, terý chce usět v dnešní onurenci, musí neustále reagovat na měnící
VíceVLIV STATISTICKÉ ZÁVISLOSTI NÁHODNÝCH VELIČIN NA SPOLEHLIVOST KONSTRUKCE
IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 25 23.až 24.4.2003 Dům techniky Ostrava ISBN 80-02-055-7 VLIV STATISTICKÉ ZÁVISLOSTI NÁHODNÝCH VELIČIN NA SPOLEHLIVOST
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceBuckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)
Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,
VíceUni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results
Uni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results Jedno- a více-rozměrné parametrické testy k porovnání výsledků Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Katedra analytické chemie, Universita
VíceNárodníinformačnístředisko pro podporu jakosti
Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov
VíceObsah přednášky. 1. Principy Meta-learningu 2. Bumping 3. Bagging 4. Stacking 5. Boosting 6. Shrnutí
1 Obsah přednášy 1. Principy Meta-learningu 2. Bumping 3. Bagging 4. Stacing 5. Boosting 6. Shrnutí 2 Meta learning = Ensemble methods Cíl použít predici ombinaci více různých modelů Meta learning (meta
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOL BÁŇSKÁ TECHICKÁ UIVERZIT OSTRV FKULT STROJÍ MTEMTIK II V PŘÍKLDECH CVIČEÍ Č 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Ostrava 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Vysoá šola báňsá Technicá univerzita Ostrava
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceMetoda backward výběru proměnných v lineární regresi a její vlastnosti
Metoda backward výběru proměnných v lineární regresi a její vlastnosti Aktuárský seminář, 13. dubna 2018 Milan Bašta 1 / 30 1 Metody výběru proměnných do modelu 2 Monte Carlo simulace, backward metoda
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceStatistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I
Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení
VíceStatistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .
Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceMěření indukčností cívek
7..00 Ṫeorie eletromagneticého pole Měření indučností cíve.......... Petr Česá, studijní supina 05 Letní semestr 000/00 . Měření indučností cíve Měření vlastní a vzájemné indučnosti válcových cíve ZAÁNÍ
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceCvičení 3. Posudek únosnosti ohýbaného prutu. Software FREET Simulace metodou Monte Carlo Simulace metodou LHS
Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4. ročník bakalářského studia (všechny obory) Cvičení 3 Posudek únosnosti ohýbaného prutu Software FREET Simulace metodou Monte Carlo Simulace metodou LHS Katedra stavební
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VícePatrice Marek. Západočeská univerzita v Plzni. * Podpořeno z OPVK CZ.1.07/2.2.00/
Patrice Marek Západočeská univerzita v Plzni * Podpořeno z OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0377 OBSAH Předmět modelování Přehled modelů Vlastní model Data Experimenty Výsledky a budoucí práce PŘEDMĚT MODELOVÁNÍ
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
VíceZáklady teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceFaster Gradient Descent Methods
Faster Gradient Descent Methods Rychlejší gradientní spádové metody Ing. Lukáš Pospíšil, Ing. Martin Menšík Katedra aplikované matematiky, VŠB - Technická univerzita Ostrava 24.1.2012 Ing. Lukáš Pospíšil,
VíceMOŽNOSTI APROXIMACE ROZDĚLENÍ KOLEKTIVNÍHO RIZIKA
MOŽNOSTI APROXIMACE ROZDĚLENÍ KOLEKTIVNÍHO RIZIKA a) Viera Pacáková, b) Veronika Balcárková a) Univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní, Ústav matematiky, b)univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní,
VíceBayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceJarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test)
Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Autoři: Carlos M. Jarque and Anil K. Bera Předpoklady: - Výběrová data mohou obsahovat chybějící pozorování (chybějící hodnoty) vhodné zejména
VíceStatistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceMakrozátěžové testy sektoru penzijních společností
Marozátěžové testy setoru penzijních společností Marozátěžové testy setoru penzijních společností (PS) jsou v ČNB využívány jao nástroj pro hodnocení odolnosti setoru vůči možným nepříznivým šoům. estu
Více8 Coxův model proporcionálních rizik I
8 Coxův model proporcionálních rizik I Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí formulovat Coxův model proporcionálních rizik 2. Student rozumí významu regresních koeficientů modelu 3. Student zná
VíceKvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát
Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Jiří Havlický 1 Abstrakt Článek je zaměřen na stanovení a zhodnocení citlivosti výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného
VíceCvičení 9. Posudek únosnosti ohýbaného prutu metodou LHS v programu FREET. Software FREET Simulace metodou LHS
Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia obor Konstrukce staveb Cvičení 9 Posudek únosnosti ohýbaného prutu metodou LHS v programu FREET Software FREET Simulace metodou LHS
VícePENĚŽNÍ ZÁSOBA A VÝVOJ AKCIOVÝCH TRHŮ V ČESKÉ REPUBLICE, SLOVENSKÉ REPUBLICE A VE VYBRANÝCH ZEMÍCH 1
PENĚŽNÍ ZÁSOBA A VÝVOJ AKCIOVÝCH TRHŮ V ČESKÉ REPUBLICE, SLOVENSKÉ REPUBLICE A VE VYBRANÝCH ZEMÍCH LUMÍR KULHÁNEK, STANISLAV MATUSZEK Doc. Ing. Lumír Kulháne, CSc., Katedra financí, OPF Karviná, SU Opava,
VíceHodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D
Hodnocení vlastností materiálů podle ČSN EN 1990, přílohy D Miroslav Sýkora Kloknerův ústav, ČVUT v Praze 1. Úvod 2. Kvantil náhodné veličiny 3. Hodnocení jedné veličiny 4. Hodnocení modelu 5. Příklady
Vícey = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceL. Podéště 1875, Ostrava-Poruba, tel: ,
VYUŽITÍ MTOD ANALÝZY RIZIK V PRAXI U OBJKTŮ POŠKOZNÝCH POŽÁRM A ŽIVLNOU POHROMOU. USING RISK ANALYSIS MTHODS IN PRACTIC FOR BUILDINGS AND FACILITIS DAMAGD BY FIR OR NATURAL CALAMITIS. Karel Kubeča 1, Silvie
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VícePŘÍSPĚVEK K PROBLEMATICE ROZDĚLOVACÍCH KOEFICIENTŮ V NIKLOVÝCH SLITINÁCH. Adam Pawliczek, Jana Dobrovská, Hana Francová, Věra Dobrovská
4. 6. 5. 22, Hradec nad Moravicí PŘÍSPĚVEK K PROBLEMATIE ROZDĚLOVAÍH KOEFIIENTŮ V NIKLOVÝH SLITINÁH Adam Pawlicze, Jana Dobrovsá, Hana Francová, Věra Dobrovsá Vysoá šola báňsá Technicá univerzita Ostrava,
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství
Česé vysoé učení technicé v Praze Faulta biomedicínsého inženýrství Úloha KA03/č. 3: Měření routícího momentu Ing. Patri Kutíle, Ph.D., Ing. Adam Žiža (utile@bmi.cvut.cz, ziza@bmi.cvut.cz) Poděování: Tato
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
VíceÚvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost
VícePřednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení
Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly
Více1 ÚVOD - PRAVDĚPODOBNOST PORUCHY JAKO NÁHODNÁ VELIČINA
Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2009, ročník IX, řada stavební článek č.23 Petr KONEČNÝ 1 VLIV POČTU PROMĚNNÝCH NA PŘESNOST ODHADU PRAVDĚPODOBNOSTI
VíceŠárka Došlá. Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze. Bimodální rozdělení. Šárka Došlá. Motivace. Základní pojmy
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1/20 Joiner (1975): Histogram výšky studentů, který ilustruje bimodalitu lidské výšky. Schilling a kol. (2002): Ve skutečnosti bylo dané unimodální!
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceG( x) %, ν%, λ. x, x, N, N nezáporné přídatné proměnné, ( ) 2 Matematické programování
Matematicé programování Označení a definice veličin. opt i/maimalizace w, Žádaná hodnota,transpozice, relace typu nebo Inde diagonální formy vetoru. Obecná omezovací podmína Γ ( ( = ( Є, R, y podmíny typu
VíceRobustní statistické metody
Populární úvod Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, MU Brno 28. říjen 2006, Vlašim O co jde? Robustní znamená: necitlivý k malým odchylkám od ideálních předpokladů na který je metoda odhadu optimalizována.
VícePravděpodobnostní model rozdělení příjmů v České republice
Jitka Bartošová Pravděpodobnostní model rozdělení příjmů v České republice # Jitka Bartošová * Úvod Zkoumání rozdělení příjmů a jeho porovnávání z různých sociálně-ekonomických a časově-prostorových hledisek
VíceNestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada
Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceCharakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
VícePSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným
Víceχ 2 testy. Test nekorelovanosti.
χ 2 testy. Test neorelovanosti. Petr Poší Části doumentu jsou převzaty (i doslovně) z Miro Navara: Pravděpodobnost a matematicá statistia, https://cw.fel.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství
1 PŘÍLOHA KE KAPITOLE 11 2 Seznam příloh ke kapitole 11 Podkapitola 11.2. Přilité tyče: Graf 1 Graf 2 Graf 3 Graf 4 Graf 5 Graf 6 Graf 7 Graf 8 Graf 9 Graf 1 Graf 11 Rychlost šíření ultrazvuku vs. pořadí
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceVýznam stress testingu v oblasti risk managemementu
Význam stress testingu v oblasti risk managemementu Daniel Heinrich 1 Abstrakt V příspěvku je popsána podstata a význam stressového testování v oblasti risk managementu finančních institucí, postup a techniky
VíceVzorová prezentace do předmětu Statistika
Vzorová prezentace do předmětu Statistika Popis situace: U 3 náhodně vybraných osob byly zjišťovány hodnoty těchto proměnných: SEX - muž, žena PUVOD Skandinávie, Středomoří, 3 západní Evropa IQ hodnota
Více