KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

Transkript

1 Přednáša 04 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz

2 Záon velých čísel

3 Lemma Nechť náhodná veličina nabývá pouze nezáporných hodnot, nechť existuje její střední hodnota. Pa platí: P( X ) E( X )

4 Čebyševova nerovnost Pro libovolnou náhodnou veličinu se střední hodnotou E(X) a rozptylem D(X) platí, že P( X E( X ) pro aždé ladné ε. ) D( X )

5 Bernoulliova věta Záon velých čísel Nechť náhodné veličiny X i A( p), de i =,,, n, jsou nezávislé. Pa pro aždé ladné ε platí, že lim n P( n X i p ) Pojmy: absolutní a relativní četnost

6 Centrální limitní věta a její apliace

7 Centrální limitní věta Nechť ( =,, ) je posloupnost nezávislých náhodných veličin se stejným rozdělením pravděpodobnosti se střední hodnotou a rozptylem. Pa pro náhodnou veličinu X U n platí, že lim ( x) ( x). n n FU n n X n

8 Poznáma apliacím CLV Centrální limitní větu užíváme obvyle v těch situacích, dy pracujeme s náhodnou veličinou, vyjádřenou součtem většího počtu nezávislých náhodných veličin se stejným rozdělením. Poud tuto veličinu znormujeme, zísáme veličinu, jejíž distribuční funce se příliš neliší od distribuční funce normovaného normálního rozdělení, a tedy i její vantily jsou přibližně rovny vantilům normovaného normálního rozdělení.

9 Úloha o mincích Vypočítejte pravděpodobnost toho, že při hodu 0 mincemi padne alespoň 70 líců. Pravděpodobnost toho, že při hodu 0 mincemi padne alespoň 70 líců, je asi 3,4 %.

10 Narození_chlapečů.xls Pravděpodobnost narození chlapečů Laicý naivní předpolad by mohl znít: pravděpodobnost narození chlapeča je stejná, jao pravděpodobnost narození holčičy, tedy obě jsou rovny číslu /. Tato hypotéza formulována jazyem teorie pravděpodobnosti zní tato: narození dítěte je náhodná veličina s rozdělením A(/). Co z této hypotézy plyne a jaý je soulad jejích důsledů se sutečností?

11 Problém rozsahu předvolebního průzumu Jistá politicá strana má informace, že podíl jejích potenciálních voličů je mezi 0 a 30 procenty. Koli občanů se ve výzumu musí oslovit, aby se spolehlivostí 95 % bylo procento jejích potenciálních voličů stanoveno s chybou nejvýše %? Postačí, aby dotazovaných osob bylo alespoň 600 (přibližný odhad).

12 Rozdělení užívaná ve statistice

13 Definice Pearsonova rozdělení Nechť je přirozené číslo. Budeme říat, že náhodná veličina Y má rozdělení χ (), jestliže její hustota má tvar g Y ( y, ) 0 pro y 0, g Y ( y, ) y e y pro y > 0.

14 Graf hustot pro malé hodnoty g (y) Y =4 0,5 0,4 0,3 0, =3 = = 0, y

15 Záladní vlastnost rozdělení χ () Nechť nezávislé náhodné veličiny U i, de i =,,,, mají všechny normované normální rozdělení No (0;). Pa platí: Y U i i ( )

16 Definice Studentova rozdělení Nechť je přirozené číslo. Budeme říat, že náhodná veličina T má rozdělení t(), jestliže její hustota má tvar pro aždé t R., ), ( T t t g

17 Graf hustoty pro hodnotu = 4 g (t) T 0,4 0,3 0, 0, - 0 t

18 Záladní vlastnost rozdělení t () Nechť náhodné veličiny U No (0;) a Y χ () jsou nezávislé. Pa platí: T U Y t()

19 Definice Fisherova rozdělení Nechť, jsou přirozená čísla. Budeme říat, že náhodná veličina F má rozdělení F( ; ), jestliže její hustota má tvar pro f 0, pro f > 0. 0 ),, ( f g F, ),, ( F f f f g

20 Graf hustoty pro hodnoty = 4, = g (f) F 0,5 0,4 0,3 0, 0, f

21 Záladní vlastnost rozdělení F( ; ) Nechť náhodné veličiny Y χ ( ) a Y χ ( ) jsou nezávislé. Pa platí: F Y Y F( ; )

22 Děuji za pozornost