- PDF Stažení zdarma

Transkript

1 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA RNDr. Petr Budinský, CSc.

2 FINANČNÍ MATEMATIKA Budoucí hodnota při různých typech úročení FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 2

3 Příklad: Uvažujme FV = Kč a úrokovou sazbu r = 12 %. Jak se zhodnotí uvedená investice během 3 let. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 3

4 Současná hodnota vypočtená z budoucí hodnoty FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 4

5 Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: a) jedenkrát ročně FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 5

6 Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: b) spojitě FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 6

7 Výnosové procento (výnos) při pevných peněžních tocích FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 7

8 Rovnosti a nerovnosti mezi výnosy FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 8

9 Příklad: Investujeme částku P = Kč na dobu 5 let, přičemž po 5 letech inkasujeme částku FV = Kč. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 9

10 Příklad: Uvažujme půjčku Kč na 10 let. Tato půjčka je splácena v pravidelných ročních splátkách (ve stejné výši) tak, aby poskytovala výnos y (1) = 8 % p. a = C (1/(1+ y) + 1/(1+ y) /(1+ y) = C[1-1/(1 1/(1 + y) 10 ]/y C = ,08/[1 1/1,08 10 ] = ,49 Kč 10 ) Z této splátky bude činit splátka úroků a o zbylou částku ,49 Kč se sníží splácená částka - zbytková část bude tedy činit ,51 Kč. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 10

11 Tabulka splátek FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 11

12 Dluhopisy FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 12

13 Součtový vzorec pro cenu dluhopisu FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 13

14 Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 1: Je-li výnos y roven kupónové sazbě c, potom je cena dluhopisu P rovna jeho nominální hodnotě FV; je-li výnos y větší, resp. menší než kupónová sazba c, potom cena dluhopisu P je menší, resp. větší než nominální hodnota FV. Pravidlo 2: Jestliže cena dluhopisu vzroste, resp. klesne, má to za následek snížení, resp. zvýšení výnosu dluhopisu. Obráceně: pokles, resp. vzestup úrokových sazeb (výnosů) má za následek vzestup, resp. pokles cen dluhopisů FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 14

15 Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 3: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nezmění, snižuje se výše diskontu, resp. prémie se zkracováním doby do splatnosti dluhopisu. Pravidlo 4: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nemění, diskont, resp. prémie se snižuje se zvyšující se rychlostí s tím, jak se doba do splatnosti dluhopisu zkracuje. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 15

16 Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 5: Pokles ve výnosu dluhopisu vede ke zvýšení ceny dluhopisu o částku vyšší než je částka (v absolutní hodnotě) odpovídající snížení ceny dluhopisu stejně velkém vzestupu ve výnosu dluhopisu. Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = Kč, kupónovou sazbou c = 10 % a výnosem y = 14 %. Výnos 12 % 13 % 14 % 15 % 16 % Cena 927,90 894,48 862,68 832,39 803,54 Přírůstek 65,22 31, ,29-59,14 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 16

17 Pravidla pro dluhopisy Pokračování příkladu: FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 17

18 Závislost ceny dluhopisu na zbytkové době do splatnosti FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 18

19 Oceňování dluhopisu - obecně FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 19

20 A + B = 360 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 20

21 Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = Kč vydaný se splatností a s kupónovou sazbou C = 14,85 %. Výnos toho to dluhopisu byl y = 7 % ke dni FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 21

22 Citlivost cen dluhopisů na změny ve výnosech Modifikovaná durace dluhopisu D mod je kladné číslo, které vyjadřuje, o kolik procent se zvýší, resp. sníží cena dluhopisu, jestliže se výnosy sníží, resp. zvýší o 1 %. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 22

23 Macaulayova durace FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 23

24 Macaulayova durace FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 24

25 Příklad: Parametry dluhopisu jsou následující: FV = Kč, n = 5, c = 10 %, y = 14 %. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 25

26 Závislost durace na C, Y a n FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 26

27 Závislost durace na době do splatnosti n FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 27

28 Odhad změny ceny dluhopisu Příklad: a) b) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 28

29 Konvexita dluhopisu Konvexita je někdy nazývána zakřivením dluhopisu. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 29

30 Výpočet konvexity CX = 2/y 2 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 30

31 INVESTIČNÍ MATEMATIKA Rizika při investicích do dluhopisových portfolií FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 31

32 Příklad: Uvažujme pětiletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = Kč a poskytuje výnos y = 4 %. Do tohoto dluhopisu investujeme a) na 3 roky FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 32

33 Příklad b) na 7 let FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 33

34 Investiční horizont X Durace Investujeme-li do konkrétního dluhopisu a je-li náš investiční horizont příliš: krátký - utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů ( kapitálová ztráta > vnos z reinvestic ) dlouhý - utrpíme ztrátu při poklesu výnosů ( ztráta z reinvestice > kapitálový výnos ) Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci dluhopisu, potom je kapitálová ztráta, resp. ztráta z reinvestic pokryta výnosem z reinvestic, resp. kapitálovým výnosem, a to při vzestupu i při poklesu výnosů. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 34

35 Příklad: Uvažujme 8letý dluhopis, který má nominální hodnotu FV = Kč s kupónovou sazbou c = 9,2 % a výnosem y = 9,2 %. Pomocí tohoto dluhopisu budeme postupně investovat na 1 rok, 2 roky, 3 roky,, 8 let. Budeme tedy postupně předpokládat 8 nákupu uvedeného dluhopisu. Tyto scénáře předpokládají postupně výnosy ve výši 8,4 %, 8,8 %, 9,2 % (nezměněný výnos), 9,6 % a 10 %. Kombinací zvolené investiční strategie s konkrétním scénářem vývoje výnosů dostaneme 40 různých možností. Pro každou z těchto možností vypočteme výnos k příslušnému investičnímu horizontu. Všechny výsledky jsou shrnuty v tabulce s tím, že každá možnost je popsána blokem, který nazveme hnízdem. Cena dluhopisu P = Kč. FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 35

36 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 36

38 Durace dluhopisového portfolia FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 38

39 Příklad: FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 39

40 Změna hodnoty V 0 při změně výnosového procenta FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 40

41 Konvexita dluhopisového portfolia FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 41

42 Vliv konvexity na chování dluhopisových portfolií FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 42

43 A FV A = x 1,08 4 = Benchmark V 4 (A) = x 1,08 4 = B V 4 (B) = x 1,08 3 x 1, x 1, 08 5 / 1,08 = V 4 + (B) = x 1,08 3 x 1, x 1, 08 5 / 1,08 = V 4 - (B) = x 1,08 3 x 1, x 1, 08 5 / 1,07 = C V 4 (C) = x 1,08 2 x 1, x 1, 08 6 / 1,08 2 = V 4 + (C) = x 1,08 2 x 1, x 1, 08 6 / 1,09 2 = V 4 - (C) = x 1,08 2 x 1, x 1, 08 6 / 1,07 2 = D V 4 (D) = x 1,08 1 x 1, x 1, 08 7 / 1,08 3 = V 4 + (D)= x 1,08 1 x 1, x 1, 08 7 / 1,09 3 = V 4 - (D) = x 1,08 1 x 1, x 1, 08 7 / 1,07 3 = V 4 + (D) > V 4 + (C) > V 4 + (B) > V 4 (A) V 4 - (D) > V 4 - (C) > V 4 - (B) > V 4 (A) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 43

44 SCÉNÁŘE Změna hodnoty V 4 při změně výnosového procenta REALIZOVANÉ VÝNOSY A B C D 5% % % % % % % FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 44

45 Portfolio E: Kč (n=1) a Kč (n=11) n = 1 FV = Kč D 1 = 1 n = 11 FV = Kč D 2 = 11 w 1 D 1 + w 2 D 2 = D P = IH w 1 + w 2 = 1 w w 2 = 4 w 1 + w 2 = 1 w 1 = 0,7 ; w 2 = 0,3 D E = 0,7 x 1 + 0,3 x 11 = 4 CX E (1,08 2 ) = 0,7 x 1 x 2 + 0,3 x 11 x 12 = 41 IH = /10 3/10 FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 45

46 BENCHMARK V 4 (A) = V 4 (E) = x 1,08 1 x 1, x 1,08 11 / 1,08 7 = V + 4 (E) = x 1,08 1 x 1, x 1,08 11 / 1,09 7 = V - 4 (E) = x 1,08 1 x 1, x 1,08 11 / 1,07 7 = D A = D B = D c = D D = D E = 4 CX A < CX B < CX c < CX D < CX E V 4 + (E) > V 4 + (D) > V 4 + (C) > V 4 + (B) > V 4 + (A) V 4 - (E) > V 4 - (D) > V 4 - (C) > V 4 - (B) > V 4 - (A) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 46

47 Příklad: Chceme investovat částku Kč na dobu 5 let, přičemž k dispozici máme dva bezkupónové dluhopisy A, B: A n = 3, y = 4% B n = 10, y = 4% Sestavíme portfolio zajištěné proti úrokovému riziku a vypočteme jeho výnos k investičnímu horizontu za předpokladu, že se výnosy den po nástupu portfolia zvýšily, resp. snížily o 1%. 3w A + 10 w B = 5 w A + w B = 1 7w B = 2 w A = 5 / 7, w B = 2 / 7 A Kč B Kč V 5 = x 1,04 3 x 1, x 1,04 10 / 1,04 5 = Kč V 5 + = x 1,04 3 x 1, x 1,04 10 / 1,05 5 = Kč V 5 - = x 1,04 3 x 1, x 1,04 10 / 1,03 5 = Kč FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 47

48 Derivátové kontrakty FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 48

49 Forwardový kontrakt FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 49

50 Opční kontrakt FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 50

51 Grafy zisku a ztrát z opcí FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 51

52 Portfolia složená z opcí FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 52

53 Býčí strategie (Bullish Spread) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 53

54 Medvědí strategie (Bearish Spread) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 54

55 Motýlí strategie (Butterfly Spread) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 55

56 Strategie kondora (Condor Spread) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 56

57 Dolní V - kombinace opcí put a call (Bottom Straddle) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 57

58 Dolní U - kombinace opcí put a call (Bottom Strangle) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 58

59 Zajištění akcie proti poklesu (Hedging) FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 59

60 Příklad: FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 60

62 Parita put-call FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 62

63 Příklad: Uvažujme 6měsíční call opci s uplatňovací cenou X = 100 Kč na akcii, jejíž cena S t = 100 Kč. Cena této opce c t = 10 Kč, úroková míra r = 8 % p.a.. (spojité úročení). Vypočteme spravedlivou cenu put opce se stejnou uplatňovací cenou. Cena put opce je p = 5 Kč místo ceny vypočtené na základě parity put a call opcí (6,08 Kč). Put opce je tedy nadhodnocena (nebo call opce podhodnocena), což umožňuje realizovat čistý zisk ve výši FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 63

64 Dlouhá pozice Krátká pozice FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA 64