Support Vector Machines (jemný úvod)
|
|
- Dominik Vítek
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Support Vector Machines (jemný úvod)
2 Osnova Support Vector Classifier (SVC) Support Vector Machine (SVM) jádrový trik (kernel trick) klasifikace s měkkou hranicí (soft-margin classification) hledání optimálních parametrů
3 Formulace úlohy dáno: {x i, y i } n i=1 x i R p příznaky y i { 1, 1} třídy úloha: klasifikovat nové x R p do třídy 1 nebo 1
4 Motivace která přímka nejlépe odděluje instance daných dvou tříd?
5 Motivace která přímka nejlépe odděluje instance daných dvou tříd?
6 Přístup Support Vector Classifier (SVC) rozhodovací funkce f (x) = sign(w x + b)
7 Přístup SVC (2) myšlenka: maximalizace hranice o šířce d = 2 w
8 Přístup SVC (2) myšlenka: maximalizace hranice o šířce d = 2 w za podmínky správné klasifikace: w x i + b +1, když y i = +1 w x i + b 1, když y i = 1
9 Formulace optimalizační úlohy argmax w,b { 2 w } za podmínky správné klasifikace: w x i + b +1, když y i = +1 w x i + b 1, když y i = 1 nebo ekvivalentně: y(w x i + b) 1
10 Formulace optimalizační úlohy argmax w,b { 2 w } za podmínky správné klasifikace: w x i + b +1, když y i = +1 w x i + b 1, když y i = 1 nebo ekvivalentně: y(w x i + b) 1 ekvivalentně (formulace 1): argmin w,b { 1 2 w 2 } za podmínky správné klasifikace: y i (w x i + b) 1
11 Formulace optimalizační úlohy argmax w,b { 2 w } za podmínky správné klasifikace: w x i + b +1, když y i = +1 w x i + b 1, když y i = 1 nebo ekvivalentně: y(w x i + b) 1 ekvivalentně (formulace 1): argmin w,b { 1 2 w 2 } za podmínky správné klasifikace: y i (w x i + b) 1 ekvivalentně (chce se zbavit omezení) (formulace 2): L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i 1] L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n i=1 α i argmin w,b L p za podmínky: α i 0 α i - Lagrangeovy multiplikátory
12 Formulace optimalizační úlohy Primární a duální úloha L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n argmin w,b L p (za podmínky α i 0) i=1 α i
13 Formulace optimalizační úlohy Primární a duální úloha L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n argmin w,b L p (za podmínky α i 0) Lze ukázat: i=1 α i argmin w,b L p za podm. C 1 argmax w,b L p za podm. C 2 C 1 : Lp α i C 2 : Lp w = 0, α i 0 (odpovídá podm. správné klasifikace) = 0, Lp b = 0, α i 0
14 Formulace optimalizační úlohy Primární a duální úloha L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n argmin w,b L p (za podmínky α i 0) Lze ukázat: i=1 α i argmin w,b L p za podm. C 1 argmax w,b L p za podm. C 2 C 1 : Lp α i = 0, α i 0 (odpovídá podm. správné klasifikace) C 2 : Lp Lp w = 0, b = 0, α i 0 Hledám extrém L p : L p w = w n i=1 α ix i y i = 0
15 Formulace optimalizační úlohy Primární a duální úloha L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n argmin w,b L p (za podmínky α i 0) Lze ukázat: i=1 α i argmin w,b L p za podm. C 1 argmax w,b L p za podm. C 2 C 1 : Lp α i = 0, α i 0 (odpovídá podm. správné klasifikace) C 2 : Lp Lp w = 0, b = 0, α i 0 Hledám extrém L p : L p w = w n i=1 α ix i y i = 0 w = n i=1 α ix i y i
16 Formulace optimalizační úlohy Primární a duální úloha L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n argmin w,b L p (za podmínky α i 0) Lze ukázat: i=1 α i argmin w,b L p za podm. C 1 argmax w,b L p za podm. C 2 C 1 : Lp α i = 0, α i 0 (odpovídá podm. správné klasifikace) C 2 : Lp Lp w = 0, b = 0, α i 0 Hledám extrém L p : L p w = w n i=1 α ix i y i = 0 w = n i=1 α ix i y i = n i=1 α iy i = 0 L p b
17 Formulace optimalizační úlohy Primární a duální úloha L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n argmin w,b L p (za podmínky α i 0) Lze ukázat: i=1 α i argmin w,b L p za podm. C 1 argmax w,b L p za podm. C 2 C 1 : Lp α i = 0, α i 0 (odpovídá podm. správné klasifikace) C 2 : Lp Lp w = 0, b = 0, α i 0 Hledám extrém L p : L p w = w n i=1 α ix i y i = 0 w = n i=1 α ix i y i L p b = n i=1 α iy i = 0 Substitucí do L p získáme duální úlohu: L d = n i=1 α i 1 2 i,j α iα j x i x j y i y j argmax αi L d (za podmínky α i 0)
18 Optimalizační úlohy Rekapitulace formulace 1: argmin w,b { 1 2 w 2 } (za podm.: y i (w x i + b) 1)
19 Optimalizační úlohy Rekapitulace formulace 1: argmin w,b { 1 2 w 2 } (za podm.: y i (w x i + b) 1) p + 1 parametrů, n lin. omezení
20 Optimalizační úlohy Rekapitulace formulace 1: argmin w,b { 1 2 w 2 } (za podm.: y i (w x i + b) 1) p + 1 parametrů, n lin. omezení formulace 2: L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n i=1 α i argmin w,b L p (za podmínky α i 0)
21 Optimalizační úlohy Rekapitulace formulace 1: argmin w,b { 1 2 w 2 } (za podm.: y i (w x i + b) 1) p + 1 parametrů, n lin. omezení formulace 2: L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n i=1 α i argmin w,b L p (za podmínky α i 0) p + 1 parametrů, n omezení
22 Optimalizační úlohy Rekapitulace formulace 1: argmin w,b { 1 2 w 2 } (za podm.: y i (w x i + b) 1) p + 1 parametrů, n lin. omezení formulace 2: L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n i=1 α i argmin w,b L p (za podmínky α i 0) p + 1 parametrů, n omezení formulace 3: L d = n i=1 α i 1 2 i,j α iα j x i x j y i y j argmax αi L d (za podmínky α i 0)
23 Optimalizační úlohy Rekapitulace formulace 1: argmin w,b { 1 2 w 2 } (za podm.: y i (w x i + b) 1) p + 1 parametrů, n lin. omezení formulace 2: L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n i=1 α i argmin w,b L p (za podmínky α i 0) p + 1 parametrů, n omezení formulace 3: L d = n i=1 α i 1 2 i,j α iα j x i x j y i y j argmax αi L d (za podmínky α i 0) n parametrů, n omezení
24 Optimalizační úlohy Rekapitulace formulace 1: argmin w,b { 1 2 w 2 } (za podm.: y i (w x i + b) 1) p + 1 parametrů, n lin. omezení formulace 2: L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n i=1 α i argmin w,b L p (za podmínky α i 0) p + 1 parametrů, n omezení formulace 3: L d = n i=1 α i 1 2 i,j α iα j x i x j y i y j argmax αi L d (za podmínky α i 0) n parametrů, n omezení data x i vystupují pouze ve formě součinů x i x j
25 Optimalizační úlohy Rekapitulace formulace 1: argmin w,b { 1 2 w 2 } (za podm.: y i (w x i + b) 1) p + 1 parametrů, n lin. omezení formulace 2: L p = 1 2 w 2 n i=1 α i[(w x i + b)y i ] + n i=1 α i argmin w,b L p (za podmínky α i 0) p + 1 parametrů, n omezení formulace 3: L d = n i=1 α i 1 2 i,j α iα j x i x j y i y j argmax αi L d (za podmínky α i 0) n parametrů, n omezení data x i vystupují pouze ve formě součinů x i x j většina α i nulových, α i = 1 > 0 právě pro support vectors
26 Řešení optimalizační úlohy Rozhodovací funkce f (x) = sign(w x + b) w = n i=1 α ix i y i
27 Řešení optimalizační úlohy Rozhodovací funkce f (x) = sign(w x + b) w = n i=1 α ix i y i jak získat b?
28 Řešení optimalizační úlohy Rozhodovací funkce f (x) = sign(w x + b) w = n i=1 α ix i y i jak získat b? pro lib. support vector: y i (w x i + b) = 1 b = 1 y i w x i
29 Řešení optimalizační úlohy Rozhodovací funkce f (x) = sign(w x + b) w = n i=1 α ix i y i jak získat b? pro lib. support vector: y i (w x i + b) = 1 b = 1 y i w x i prakticky: b = P i,α i >0 ( 1 y i w x i ) P αi
30 Řešení optimalizační úlohy Rozhodovací funkce f (x) = sign(w x + b) w = n i=1 α ix i y i jak získat b? pro lib. support vector: y i (w x i + b) = 1 b = 1 y i w x i prakticky: b = P i,α i >0 ( 1 y i w x i ) P αi tedy konečně dostáváme: f (x) = sign( n i=1 α iy i x i x + b)
31 Trik s jádrem (Kernel trick) Rozhodovací funkce: f (x) = sign( n i=1 α iy i x i x + b)
32 Trik s jádrem (Kernel trick) Rozhodovací funkce: f (x) = sign( n i=1 α iy i x i x + b) Pozorování: příznaky x se vyskytují pouze ve formě skalárním součinu: x i x
33 Trik s jádrem (Kernel trick) Rozhodovací funkce: f (x) = sign( n i=1 α iy i x i x + b) Pozorování: příznaky x se vyskytují pouze ve formě skalárním součinu: x i x skalární součin x 1 x 2 lze nahradit jádrem K (x 1, x 2 )
34 Trik s jádrem (Kernel trick) Rozhodovací funkce: f (x) = sign( n i=1 α iy i x i x + b) Pozorování: příznaky x se vyskytují pouze ve formě skalárním součinu: x i x skalární součin x 1 x 2 lze nahradit jádrem K (x 1, x 2 ) K (x 1, x 2 ) = φ(x 1 ) φ(x 2 )
35 Trik s jádrem (Kernel trick) Rozhodovací funkce: f (x) = sign( n i=1 α iy i x i x + b) Pozorování: příznaky x se vyskytují pouze ve formě skalárním součinu: x i x skalární součin x 1 x 2 lze nahradit jádrem K (x 1, x 2 ) K (x 1, x 2 ) = φ(x 1 ) φ(x 2 ) jádro může realizovat operaci odpovídající skalárnímu součinu ve vysokorozměrném prostoru
36 Trik s jádrem (Kernel trick) Rozhodovací funkce: f (x) = sign( n i=1 α iy i x i x + b) Pozorování: příznaky x se vyskytují pouze ve formě skalárním součinu: x i x skalární součin x 1 x 2 lze nahradit jádrem K (x 1, x 2 ) K (x 1, x 2 ) = φ(x 1 ) φ(x 2 ) jádro může realizovat operaci odpovídající skalárnímu součinu ve vysokorozměrném prostoru použitím jádra se z SVC stávají SVM
37 Trik s jádrem (Kernel trick) Rozhodovací funkce: f (x) = sign( n i=1 α iy i x i x + b) Pozorování: příznaky x se vyskytují pouze ve formě skalárním součinu: x i x skalární součin x 1 x 2 lze nahradit jádrem K (x 1, x 2 ) K (x 1, x 2 ) = φ(x 1 ) φ(x 2 ) jádro může realizovat operaci odpovídající skalárnímu součinu ve vysokorozměrném prostoru použitím jádra se z SVC stávají SVM Používaná jádra: polynomiální: K (x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 + 1) q Gaussian radial-basis function (RBF): K (x 1, x 2 ) = exp{ x 1 x 2 2 2σ 2 } hyperbolický tangens: K (x 1, x 2 ) = tanh{β 1 x 1 x 2 + β 2 }
38 Trik s jádrem (Kernel trick) Příklad Polynomiální jádro stupně q = 2: K (x, y) = (x y + 1) 2, x, y R 2 operuje v prostoru R 6 :
39 Trik s jádrem (Kernel trick) Příklad Polynomiální jádro stupně q = 2: K (x, y) = (x y + 1) 2, x, y R 2 operuje v prostoru R 6 : x φ(x) = {x 2 1, x 2 2, 2x 1 x 2, 2x 1, 2x 2, 1}
40 Trik s jádrem (Kernel trick) Příklad Polynomiální jádro stupně q = 2: K (x, y) = (x y + 1) 2, x, y R 2 operuje v prostoru R 6 : x φ(x) = {x 2 1, x 2 2, 2x 1 x 2, 2x 1, 2x 2, 1} y φ(y) = {y 2 1, y 2 2, 2y 1 y 2, 2y 1, 2y 2, 1}
41 Trik s jádrem (Kernel trick) Příklad Polynomiální jádro stupně q = 2: K (x, y) = (x y + 1) 2, x, y R 2 operuje v prostoru R 6 : x φ(x) = {x 2 1, x 2 2, 2x 1 x 2, 2x 1, 2x 2, 1} y φ(y) = {y 2 1, y 2 2, 2y 1 y 2, 2y 1, 2y 2, 1} φ(x) φ(y) = x 2 1 y x 2 2 y x 1x 2 y 1 y 2 + 2x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + 1
42 Trik s jádrem (Kernel trick) Příklad Polynomiální jádro stupně q = 2: K (x, y) = (x y + 1) 2, x, y R 2 operuje v prostoru R 6 : x φ(x) = {x 2 1, x 2 2, 2x 1 x 2, 2x 1, 2x 2, 1} y φ(y) = {y 2 1, y 2 2, 2y 1 y 2, 2y 1, 2y 2, 1} φ(x) φ(y) = x 2 1 y x 2 2 y x 1x 2 y 1 y 2 + 2x 1 y 1 + 2x 2 y (x y + 1) 2 = (x 1 y 1 + x 2 y 2 + 1) 2 = x 2 1 y x 2 2 y x 1x 2 y 1 y 2 + 2x 1 y 1 + 2x 2 y 2
43 Ukázka jader
44 Klasifikace s měkkou hranicí Soft-margin classification Motivace: Řešení: Jak: třídy nemusejí být oddělitelné přesto chceme SVM použít dovolit SVM udělat malou chybu argmin w,b { 1 2 w 2 } +C n i=1 ξ i za podm. téměř správné klasifikace: y i (w x i + b) 1 ξ i C představuje regularizační konstantu C = odpovídá původní formulaci separabilní úlohy C se hledá nejčastěji pomocí křížové validace
45 SVM v praxi fungují velmi dobře časová složitost trénování: O(n 2 ) uživatel volí typ jádra a parametry parametry se hledají typicky křížovou validací po natrénování si stačí pamatovat support vectors
46 Klasifikace do více tříd SVM umí rozlišovat jen do dvou tříd možná řešení klasifikace do K tříd: jeden proti všem : K úloh: klasifikace třídy k proti zbytku, vítěz bere vše K (K 1) jeden na jednoho : 2 úloh: klasifikace třídy k 1 proti k 2, hlasování
47 Rozšíření SVM SVM regression detekce nečekaných pozorování novelty detection
48 Literatura Christopher J.C. Burges: A Tutorial on Support Vector Machines for Pattern Recognition, Data Mining and Knowledge Discovery (1998), volume 2, p Hastie T., Tibshirani R., Friedman J.: The Elements of Statistical Learning, Springer New York Inc., 2001, New York, NY, USA, tibs/elemstatlearn/
Optimální rozdělující nadplocha 4. Support vector machine. Adaboost.
Optimální rozdělující nadplocha. Support vector machine. Adaboost. Petr Pošík Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering Dept. of Cybernetics Opakování Lineární diskriminační
VíceAlgoritmy a struktury neuropočítačů ASN P9 SVM Support vector machines Support vector networks (Algoritmus podpůrných vektorů)
Algoritmy a struktury neuropočítačů ASN P9 SVM Support vector machines Support vector networks (Algoritmus podpůrných vektorů) Autor: Vladimir Vapnik Vapnik, V. The Nature of Statistical Learning Theory.
VíceLineární diskriminační funkce. Perceptronový algoritmus.
Lineární. Perceptronový algoritmus. Petr Pošík Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering Dept. of Cybernetics P. Pošík c 2012 Artificial Intelligence 1 / 12 Binární klasifikace
VíceÚvod do optimalizace, metody hladké optimalizace
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Úvod do optimalizace, metody hladké optimalizace Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 13. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Příklady
VíceStrojové učení Marta Vomlelová
Strojové učení Marta Vomlelová marta@ktiml.mff.cuni.cz KTIML, S303 Literatura 1.T. Hastie, R. Tishirani, and J. Friedman. The Elements of Statistical Learning, Data Mining, Inference and Prediction. Springer
VíceMarta Vomlelová marta@ktiml.mff.cuni.cz
Strojové učení Úvod, lineární regrese Marta Vomlelová marta@ktiml.mff.cuni.cz References [1] P. Berka. Dobývání znalostí z databází. Academia, 2003. [2] T. Hastie, R. Tishirani, and J. Friedman. The Elements
VíceKLASIFIKACE DOKUMENTŮ PODLE TÉMATU
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÉ GRAFIKY A MULTIMÉDIÍ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER GRAPHICS AND
VíceFakulta informačních technologií VUT Brno. Předmět: Srovnání klasifikátorů Autor : Jakub Mahdal Login: xmahda03 Datum:
Fakulta informačních technologií VUT Brno Předmět: Projekt: SRE Srovnání klasifikátorů Autor : Jakub Mahdal Login: xmahda03 Datum: 9.12.2006 Zadání Vyberte si jakékoliv 2 klasifikátory, např. GMM vs. neuronová
VíceLineární klasifikátory
Lineární klasifikátory Lineární klasifikátory obsah: perceptronový algoritmus základní verze varianta perceptronového algoritmu přihrádkový algoritmus podpůrné vektorové stroje Lineární klasifikátor navrhnout
VíceKybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11
Kybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11 Program 1. seminární cvičení: základní typy klasifikátorů a jejich princip 2. počítačové cvičení: procvičení na problému rozpoznávání číslic... body za aktivitu
VíceImplementace a testování SVM Implementation and testing of SVM
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Implementace a testování SVM Implementation and testing of SVM 2011 Ondřej Zjevík Prohlašuji, že jsem
VíceNěkteré potíže s klasifikačními modely v praxi. Nikola Kaspříková KMAT FIS VŠE v Praze
Některé potíže s klasifikačními modely v praxi Nikola Kaspříková KMAT FIS VŠE v Praze Literatura J. M. Chambers: Greater or Lesser Statistics: A Choice for Future Research. Statistics and Computation 3,
VíceKlasifikace a rozpoznávání
Klasifikace a rozpoznávání Prezentace přednášek M. Španěl, 2009 Ústav počítačové grafiky a multimédií Téma přednášky Unsupervised techniky Obsah: Literatura Úvod do shlukování Metriky, základní přístupy,
VíceÚloha - rozpoznávání číslic
Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceOperační výzkum. Teorie her. Řešení maticových her převodem na úlohu LP.
Operační výzkum Řešení maticových her převodem na úlohu LP. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu
VíceModerní systémy pro získávání znalostí z informací a dat
Moderní systémy pro získávání znalostí z informací a dat Jan Žižka IBA Institut biostatistiky a analýz PřF & LF, Masarykova universita Kamenice 126/3, 625 00 Brno Email: zizka@iba.muni.cz Bioinformatika:
VícePreceptron přednáška ze dne
Preceptron 2 Pavel Křížek Přemysl Šůcha 6. přednáška ze dne 3.4.2001 Obsah 1 Lineární diskriminační funkce 2 1.1 Zobecněná lineární diskriminační funkce............ 2 1.2 Učení klasifikátoru........................
VíceAPLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceData Envelopment Analysis (Analýza obalu dat)
Data Envelopment Analysis (Analýza obalu dat) Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Optimalizace s aplikací ve financích
VíceBayesovská klasifikace digitálních obrazů
Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický Bayesovská klasifikace digitálních obrazů Výzkumná zpráva č. 1168/2010 Lubomír Soukup prosinec 2010 1 Úvod V průběhu nedlouhého historického vývoje
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VícePřednáška 13 Redukce dimenzionality
Vytěžování Dat Přednáška 13 Redukce dimenzionality Miroslav Čepek Fakulta Elektrotechnická, ČVUT Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti ČVUT (FEL) Redukce dimenzionality 1 /
VíceUČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč
UČENÍ BEZ UČITELE Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac 1/22 OBSAH PŘEDNÁŠKY ÚVOD Učení
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceVZTAH MEZI STATISTICKÝM A STRUKTURNÍM ROZPOZNÁVÁNÍM
VZTAH MEZI STATISTICKÝM A STRUKTURNÍM ROZPOZNÁVÁNÍM 1/46 Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/
VíceStrojové učení Marta Vomlelová
Strojové učení Marta Vomlelová marta@ktiml.mff.cuni.cz KTIML, S303 Literatura T. Hastie, R. Tishirani, and J. Friedman. The Elements of Statistical Learning, Data Mining, Inference and Prediction. Springer
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
VíceJsou inspirovány poznatky o neuronech a nervových sítích živých organizmů a jejich schopnostmi:
Neuronové sítě V prezentaci jsou použity podklady zřady zdrojů (Marcel Jiřina, Dan Novák, Jean- Christophe Prévotet, Petr Berka, Jana Tučková a další) Neuronové sítě Jsou inspirovány poznatky o neuronech
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
Vícetransformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra kybernetiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra kybernetiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Plzeň, 2016 Martin Majer Prohlášení Předkládám tímto k posouzení a obhajobě bakalářskou práci zpracovanou na
VíceKlasifikace a rozpoznávání. Umělé neuronové sítě a Support Vector Machines
Klasifiace a rozpoznávání Umělé neuronové sítě a Support Vector Machines x 1 x 2 w 1 w 2 Lineární lasifiátory a y = f ( w T x+b) Σ f(.) y b Nevýhoda: pouze lineární rozhodovací hranice Možné řešení: Použít
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
Vícepřetrénování = ztráta schopnosti generalizovat vlivem přílišného zaměření klasifikátorů na rozeznávání pouze konkrétních trénovacích dat
Zkouška ISR 2013 přetrénování = ztráta schopnosti generalizovat vlivem přílišného zaměření klasifikátorů na rozeznávání pouze konkrétních trénovacích dat 1. Rozdílné principy u induktivního a deduktivního
VíceRozpoznávání v obraze
Rozpoznávání v obraze AdaBoost a detekce objektů IKR, 2013 Roman Juránek www.fit.vutbr.cz/~ijuranek/personal Detekce objektů Úloha - v daném obraze nalézt objekty určitých tříd
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceBRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS BACHELOR S THESIS MARTIN HLOSTA AUTHOR
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INFORMAČNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS MODUL PRO DOLOVÁNÍ
VíceJsou inspirovány poznatky o neuronech a nervových sítích živých organizmů a jejich schopnostmi:
Neuronové sítě V prezentaci jsou použity podklady z řady zdrojů (Marcel Jiřina, Dan Novák, Jean- Christophe Prévotet, Petr Berka, Jana Tučková a další) Neuronové sítě Jsou inspirovány poznatky o neuronech
VíceUž bylo: Učení bez učitele (unsupervised learning) Kompetitivní modely
Učení bez učitele Už bylo: Učení bez učitele (unsupervised learning) Kompetitivní modely Klastrování Kohonenovy mapy LVQ (Učení vektorové kvantizace) Zbývá: Hybridní modely (kombinace učení bez učitele
VíceVětná polarita v češtině. Kateřina Veselovská Žďárek Hořovice,
Větná polarita v češtině Kateřina Veselovská Žďárek Hořovice, 27. 11. 2009 1 Polarita - úvod do problematiky Větná polarita: a) Cíl a motivace b) Charakteristika c) Možnosti výzkumu Větná polarita a vyhledávání
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceKlasifikace dlouhodobých EEG záznamů
bakalářská práce Klasifikace dlouhodobých EEG záznamů Jiří Vošmik Květen 24 Ing. Václav Gerla, Ph.D. České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická, Katedra kybernetiky Poděkování Rád bych
VíceKlasifikační metody pro genetická data: regularizace a robustnost
Odd medicínské informatiky a biostatistiky Ústav informatiky AV ČR, vvi Práce vznikla za finanční podpory Nadačního fondu Neuron na podporu vědy Klasifikační metody pro genetická data Regularizovaná klasifikační
VíceSystémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd. Ivana Kozlová. Modely analýzy obalu dat
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Ivana Kozlová Modely analýzy obalu dat Plzeň 2010 Obsah 1 Efektivnost a její hodnocení 2 2 Základní
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
VíceProjekční algoritmus. Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění. Jan Klíma
Urychlení evolučních algoritmů pomocí regresních stromů a jejich zobecnění Jan Klíma Obsah Motivace & cíle práce Evoluční algoritmy Náhradní modelování Stromové regresní metody Implementace a výsledky
VíceKlasifikace a rozpoznávání. Lineární klasifikátory
Klasifikace a rozpoznávání Lineární klasifikátory Opakování - Skalární součin x = x1 x 2 w = w T x = w 1 w 2 x 1 x 2 w1 w 2 = w 1 x 1 + w 2 x 2 x. w w T x w Lineární klasifikátor y(x) = w T x + w 0 Vyber
VíceDnes budeme učit agenty, jak zlepšit svůj
Umělá inteligence II Roman Barták, KTIML roman.bartak@mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Úvodem Dnes budeme učit agenty, jak zlepšit svůj výkon při ř řešení š í budoucích úloh na základě pozorování
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
Více7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceNumerické metody: aproximace funkcí
Numerické metody: aproximace funkcí Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Více13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách
13 Regrese 13.1. Úvod Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot znaku Y na hodnotách znaku X. Přitom je třeba vyřešit jednak volbu funkcí k vystižení dané závislosti a dále stanovení konkrétních
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceIng. Petr Hájek, Ph.D. Podpora přednášky kurzu Aplikace umělé inteligence
APLIKACE UMĚLÉ INTELIGENCE Ing. Petr Hájek, Ph.D. Podpora přednášky kurzu Aplikace umělé inteligence Aplikace umělé inteligence - seminář ING. PETR HÁJEK, PH.D. ÚSTAV SYSTÉMOVÉHO INŽENÝRSTVÍ A INFORMATIKY
VíceNP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceKlasifikace a rozpoznávání
Klasifikace a rozpoznávání Prezentace přednášek Ústav počítačové grafiky a multimédií Téma přednášky Boosting Michal Hradiš UPGM FIT Brno University of Technology Obsah: Co je to boosting? Algoritmus AdaBoost
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceM5170: Matematické programování
M5170: Matematické programování Petr Zemánek (Masarykova Univerzita, Brno) Kapitola 4: Základy matematického programování (verze: 3. prosince 2018) Vymezení základních pojmů Nyní se již dostáváme k úlohám
VíceAutomatické vyhledávání informace a znalosti v elektronických textových datech
Automatické vyhledávání informace a znalosti v elektronických textových datech Jan Žižka Ústav informatiky & SoNet RC PEF, Mendelova universita Brno (Text Mining) Data, informace, znalost Elektronická
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE PRINCIPY KLASIFIKACE pomocí diskriminačních funkcí funkcí,
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VícePokročilé neparametrické metody. Klára Kubošová
Klára Kubošová Další typy stromů CHAID, PRIM, MARS CHAID - Chi-squared Automatic Interaction Detector G.V.Kass (1980) nebinární strom pro kategoriální proměnné. Jako kriteriální statistika pro větvení
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
Vícedat Robust ledna 2018
Analýza prostorově závislých funkcionálních dat V. Římalová, A. Menafoglio, A. Pini, E. Fišerová Robust 2018 25. ledna 2018 Motivace Data a náhled lokace Měsíční měření (březen-říjen 2015 a 2016) 5 chemických
VíceStátnicová otázka 6, okruh 1
Státnicová otázka 6, okruh 1 Vojtěch Franc, xfrancv@electra.felk.cvut.cz 7. února 2000 1 Zadání Statické optimalizace. Lineární a nelineární programování. Optimální řízení a rozhodování v dynamických systémech,
VíceOperační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky
Více12. Globální metody MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceFAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INTELIGENTNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INTELLIGENT SYSTEMS SNÍŽENÍ NÁROČNOSTI
VíceZískávání znalostí z dat
Získávání znalostí z dat Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví Získávání znalostí z dat Definice: proces netriviálního získávání implicitní, dříve neznámé a potencionálně užitečné informace
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceNeparametrické odhady hustoty pravděpodobnosti
Neparametrické odhady hustoty pravděpodobnosti Václav Hlaváč Elektrotechnická fakulta ČVUT Katedra kybernetiky Centrum strojového vnímání 121 35 Praha 2, Karlovo nám. 13 hlavac@fel.cvut.cz Statistické
VíceLiteratura: O. Zindulka: Matematika 3 (kapitola 4, kapitola 5)
Předmět: MA03 Opakování: formulace okrajové úlohy (OÚ), skalární součin funkcí, ortogonalita funkcí Nová látka: vlastní čísla a vlastní funkce OÚ ortogonalita vlastních funkcí řešitelnost OÚ Literatura:
Více3. Přednáška: Line search
Úloha: 3. Přednáška: Line search min f(x), x R n kde x R n, n 1 a f : R n R je dvakrát spojitě diferencovatelná. Iterační algoritmy: Začínám v x 0 a vytvářím posloupnost iterací {x k } k=0, tak, aby minimum
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceStatistické metody v digitálním zpracování obrazu. Jindřich Soukup 3. února 2012
Statistické metody v digitálním zpracování obrazu Jindřich Soukup 3. února 2012 Osnova Úvod (Neparametrické) odhady hustoty pravděpodobnosti Bootstrap Použití logistické regresi při klasifikaci Odhady
Více[1] LU rozklad A = L U
[1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,
VíceNumerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
Více