6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032

Transkript

1 III. Opaované pousy, Bernoulliho nerovnost. Házíme pětrát hrací ostou a sledujeme výsyt šesty. Spočtěte pravděpodobnosti možných výsledů a určete, terý má největší pravděpodobnost. Řešení: Jedná se o serii pěti opaovaných pousů, při terých je pravděpodobnost sledovaného jevu rovna p =. ravděpodobnosti jsou určeny Bernoulliho schematem a pravděpodobnosti jednotlivých výsledů jsou hodnoty pravděpodobnostní funce Binomicého rozdělení Bi(, ), teré jsme označili (), = 0,,...,. n rotože je n () = p ( p) n, postupně dostaneme: () 0 (0) = 0 () = () = 3 (3) = 3 4 (4) = () = p 0 ( p) = = 0, 409 p( p) 4 = 4 = 0, 409 p ( p) 3 = 0 3 = 0, 07 p 3 ( p) = 0 = 0, 03 p 4 ( p) = = 0, 003 p ( p) 0 = = 0, 000. Nejpravděpodobnější jsou výsledy žádná šesta a jedna šesta, teré mají shodnou pravděpodobnost. = 0, Opaujeme 7 rát pous, terý dává jao výslede jev A a pravděpodobností (A) = p. Vypočtěte pravděpodobnosti jednotlivých výsledů a určete ty, terá mají největší pravděpodobnost. Výpočet proveďte pro hodnoty a) p = 0, ; b) p = 0, 3; c) p 3 = 0, 7. Řešení: ravděpodobnosti jednotlivých výsledů jsou hodnoty pravděpodobnostní funce Binomicého rozdělení Bi(7, p) a jsou rovny číslům 7 7 () = p ( p) 7, = 0,,..., 7. 7 p = 0, p = 0, 3 p 3 = 0, 0 0, , 084 0, , 370 0, 47 0, 047 0, 40 0, 377 0, , 003 0, 9 0, < 0 0, 097 0, 734 < 0 04, 7 0, , 0078.

2 Největší pravděpodobnost mají výsledy: p = 0, : = 0; 7 (0) = 0, 4783; p = 0, 3 : = 3 : 7 (3) = 0, 377; p 3 = 0, ; = 3, 4 : 7 (3) = 7 (4) = 0, Házíme hrací ostou (mincí) doud nepadne šesta (rub). Koli musíme provést hodů, aby sledovaný jev nastal s pravděpodobností a) = 0, 9; b) = 0, 99. Řešení: Konáme pous, ve terém sledovaný výslede nastane s pravděpodobností p, 0 < p <. Aby se ta stalo v tém hodu, musí v předchozích hodech nastat jev opačný, terý má pravděpodobnost p. rotože jsou jednotlivé hody na sobě nezávislé, je pravděpodobnost této situace rovna p.( p), = 0,,.... Jednotlivé situace se navzájem vylučují, a ta pravděpodobnost toho, že se sledovaný jev objeví do n tého hodu je n n (n) = p( p) = p. ( p). = = Tato pravděpodobnost je částečným součtem prvních n členů geometricé posloupnosti, ve teré je první člen roven p a vocient p. odle známých vzorců pro součet geometricé posloupnosti je (n) = p ( p)n ( p) = ( p) n. Dosazením dostaneme: ro hod ostou: a) p =, (n) 0, 9 : n n (n) = 0, 9 0, n.ln( ) ln(0, ) n ln0 ln ln n, 309. =, 3., 797, 0943 Musíme hodit ostou alespoň 3-rát, aby se s pravděpodobností větší než 0,9 objevila šesta. b) dsp =, (n) 0, 99 : n ln00 4, 0 = ln ln 0, 83. =,. Musíme hodit ostou alespoň -rát, aby se s pravděpodobností větší než 0,99 objevila šesta. ro hod mincí: a) p = 0,, (n) 0, 9 : (n) = n n 0, n 0 nln ln0 Odtud n ln0 ln =, = 3, 3.

3 Musíme hodit mincí alespoň 4-rát, aby se s pravděpodobností větší než 0,9 objevil rub. b) p = 0,, (n) 0, 99 : (n) = n n 0, 0 n 00 nln ln00 Odtud n ln00 4, 0. = =, 4. ln 0.93 Musíme hodit mincí alespoň 7-rát, aby se s pravděpodobností větší než 0,99 objevil rub. 4. Na automaticé lince se objeví chyba s pravděpodobností p = 0, 00. Koli musí projít cylů, aby se s pravděpodobností = 0, 9 objevila a) alespoň jedna chyba; b) alespoň dvě chyby. Řešení: ravděpodobnost, že se objeví právě chyb je rovna n n () = p ( p) n, = 0,,..., n. a) alespoň jedna znamená a více, tedy pravděpodobnost = n = n () = n (0) = ( p) n. odmína je splněna pro ( p) n 0, 9 ( p) n ln0, 0 0, 0 n ln( p). ro danou hodnotu je ln0, 0, 997. n = = 97,. ln0, Musí proběhnout alespoň 98 cylů, aby se objevila alespoň jedna chyba s pravděpodobností = 0, 9. b) alespoň dvě chyby znamená dvě a více, tedy pravděpodobnost = n = n () = n (0) n () = ( p) n np( p) n. odmína je splněna pro ( p) n np( p) n 0, 9 ( p) n + np( p) n 0, 0. Tedy 0, 99 n + n.0, 00.0, 99 n 0, 0. odmínu je třeba řešit numericy. Dostaneme n 947. Musí proběhnout 947 cylů, aby se objevily alespoň dvě chyby s pravděpodobností 0,9.. Házíme 00-rát mincí. Odhadněte pravděpodobnost toho, že se počet rubů bude pohybovat v rozmezí a) (4, 4); b) (40, 0). 3

4 Řešení: K řešení úlohy použijeme Bernoulliho nerovnost, de n = 00, p = 0,. ro relativní četnost výsytu rubů platí odhad ) (( n p < ε p( p). nε a) je np = 00.0, = 0, nε = 00.ε = 4, tedy ε = 4.0. o dosazení do Bernoulliho nerovnosti dostaneme odhad 00 0, < 0, = = 3 = 0,. 4 Zísaný odhad nemá žádnou hodnotu, aždá pravděpodobnost je větší než nula. Zvolili jsme příliš malé toleranční pole. b) je n.ε = 00.ε = 0, tedy ε = 0,. Z Bernoulliho nerovnosti dostaneme nyní odhad 00 0, < 0, 00.0 = 4 = 3 = 0, Jev A se vysytuje v serii 000 nezávislých pousů s pravděpodobností (A) = 0, 9. Odhadněte pravděpodobnost, s jaou se bude relativní četnost výsytů jevu A pohybovat s tolerancí a) ε = 0, ; b) ε = 0, ; c) ε = 0, 0. Řešení: K odhadu použijeme Bernouliho nerovnost, de je n = 000 a p = 0, 9. a) a = 000 0, 9 < 0, 0, 9.0, 0, 09 = 000.0, 40 = 9 = 0, rotože je nε = 000.0, = 00 a np = 000.0, 9 = 900, bude se s pravděpodobností a = 0, 997 jev A vysytovat v intervalu (700, 000). b) b = 000 0, 9 < 0, 0, 9.0, 0, 09 = 000.0, 0 = 9 = 0, rotože je nε = 000.0, = 00 a np = 000.0, 9 = 900, bude se s pravděpodobností b = 0, 99 jev A vysytovat v intervalu (800, 000). c) c = 000 0, 9 < 0, 0 0, 9.0, 0, 09 = 000.0, 0, = 9 = 0, rotože je nε = 000.0, 0 = 0 a np = 000.0, 9 = 900, bude se s pravděpodobností c = 0, 94 jev A vysytovat v intervalu (80, 90). 7. Házíme 000 rát minci. Odhadněte pravděpodobnost, s jaou se počet rubů bude vysytovat v intervalu a) (480, 0); b) (40, 0); c) (400, 00). Řešení: K odhadu pravděpodobnosti použijeme Bernoulliho nerovnost, de volíme n = 000, p = 0,, np = 000.0, = 00 a ε a = 0 = 0, 0, 000 ε b = = 0, 0, ε c = 00 = 0,. 000 rotože je n p < ε p( p) nε 000 0, < ε 0, 000ε, 4

5 dostaneme postupně: 0, a) a 000.0, 0 = = 0, = 0, , b) b 000.0, 0 = = 0, = 0, , c) c 000.0, = = 0, 0 = 0, Házíme hrací ostou 000 rát a sledujeme počet šeste. Stanovte interval, ve terém se bude počet šeste vysytovat s pravděpodobností a) a = 0, 8; b) b = 0, 9; c) c = 0, 99. Řešení: Ke stanovení intervalu použijeme Bernoulliho nerovnost. Je n = 000 a p =. odmína bude splněna, poud bude požadovaná pravděpodobnost větší než její odhad z nerovnosti. Je tedy: a) a = 0, 8 000ε 0, ε. ε = 3, Odtud plyne, že ε, Dále je np = 000 = 333, 333 a nε = 000., = 37, 8, bude se počet šeste s požadovanou pravděpodobností vysytovat v intervalu (9, 37). b) b = 0, 9 000ε 0, ε. ε =, Odtud plyne, že ε, 3.0. Dále je np = 000 = 333, 333 a nε = 000., 3.0 =, 70, bude se počet šeste s požadovanou pravděpodobností vysytovat v intervalu (8, 387). c) c = 0, ε 0, ε ε. =, Odtud plyne, že ε 8, Dále je np = 000 = 333, 333 a nε = 000.8, =,, bude se počet šeste s požadovanou pravděpodobností vysytovat v intervalu (7, 00). 9. rovedeme serii 00 nezávislých pousů, při terých nastává jev A s pravděpodobností (A) = 0, 3. V jaém intervalu se bude počet jevů A vysytovat s pravděpodobností a) a = 0, 9; b) b = 0, 9; c) c = 0, 99. Řešení: Ke stanovení intervalu použijeme Bernouliho nerovnosti, dy budeme požadovat, aby odhad pravděpodobnosti z této nerovnosti byl nejvýše roven požadované pravděpodobnosti. Volíme n = 00, p = 0, 3 a tedy np = 00.0, 3 = 0. Je pa: 0, 3.0, 7 00ε 0, 00ε ε 0, 00.( ) = 4 ( ).0. Odtud dostaneme: a) ε 4 = 0, 004 ε 0, ,.0 rotože je nε = 00.0, 048 = 3, 40, bude se počet jevů A s požadovanou pravděpodobností vysytovat v intervalu (7, 83).

6 b) ε 4 = 0, 0084 ε 0, 09. 0, 0.0 rotože je nε = 00.0, 09 = 4, 8, bude se počet jevů A s požadovanou pravděpodobností vysytovat v intervalu (04, 9). c) ε 4 = 0, 04 ε 0, , 0.0 rotože je nε = 00.0, 049 = 0, 47, bude se počet jevů A s požadovanou pravděpodobností vysytovat v intervalu (47, 3). 0. Házíme opaovaně mincí. Odhadněte, oli musíme provést hodů, aby relativní četnost rubů byla v toleranci ε = 0, 0 s pravděpodobností a) a = 0, 8; b) b = 0, 9; c) c = 0, 99. Řešení: K řešení použijeme Bernouliho nerovnosti, de volíme p = 0,, ε = 0, 0. Odhad pro pravděpodobnost z nerovnosti musí být větší než požadovaná pravděpodobnost. Tedy p( p).0 nε n..0 4 n 00. ostupně odtud dostaneme: a) n 00 = 00; nε = 00.0, 0 =, np = 00.0, = 0, 0, a tedy (, 7). b) n 00 = 000; nε = 000.0, 0 = 0, np = 000.0, = 00, 0, a tedy (40, 0). c) n 00 = 000; nε = 000.0, 0 = 00, np = 000.0, = 000, 0, 0 a tedy (400, 00).. Házíme hrací ostou. Koli hodů musíme provést, aby se relativní četnost výsytu šeste lišila od nejvýše o ε = 0, s pravděpodobností a) a = 0, 9; b) b = 0, 99. Řešení: K řešení použijeme Bernouliho nerovnost, de odhad pro pravděpodobnost z nerovnosti musí být větší než požadovaná pravděpodobnost. rotože je n p < ε p( p) nε je ( n ) < 0, 3n.0, 0. Odtud plyne, že 00 3n n 00 3( ). Dosazením do zísaného vztahu pro zadané hodnoty dostaneme:

7 a) = a = 0, 9 : n , = = 38, 9, tedy n 39. rotože je np = 39 = 3, a nε = 39.0, = 3, 9, leží při 39 hodech počet šeste v intervalu (9, 38) s pravděpodobností a = 0, 9. b) = b = 0, 99 : n , 0 = = 388, 89 tedy n rotože je np = 389 = 3, a nε = 389.0, 0 = 38, 9, leží při 389 hodech počet šeste v intervalu (9, 37) s pravděpodobností b = 0, 99.. Sdělovací anál má chybovost přenosu slov 0,%. ošleme zprávu o 000 slovech a požadujeme, aby se vysytlo nejvýše chyb: Jaá je pravděpodobnost dobrého přenosu zpávy. Řešení: řenos zprávy je 000 rát opaovaný pous s pravděpodobností p = 0, 00 výsytu chyby. ravděpodobnosti jednotlivých výsledů (počtu chyb) jsou dány Bernoulliho schematem. ři přenosu se vysytne právě chyb s pravděpodobností n n () = p ( p) n. ro zadané hodnoty máme pro hledanou pravděpodobnost vyjádření 000 = 000 () = 0, 00.0, =0 =0 Tyto hodnoty se obtížně vyčíslují a proto použijeme aproximace binomicého rozdělení rozdělením oissonovým. Je n () =. p() = λ! e λ, de λ = np, což v našem příladě je λ = np = 000.0, 00 =. Je tedy = =0 09 = e () = e =0! = e. = 0, 333.7, = ( ) = 3. ři přenosu zpráv ze slov je chybovost přenosu %. Zpráva obsahuje 0 slov. Koli chyb smí nejvýše obsahovat, požadujeme-li pravděpodobnost dobrého přenosu = 0, 9. Řešení: řenos slov je opaovaný pous s pravděpodobností sledovaného jevu (chyby) p = 0, 0. ravděpodobnost výsytu právě chyb je rovna 0 (), = 0,,..., 0. Hledáme tedy n 0 taové, aby n 0 =0 0 () 0, 9. K vyčíslení hodnot 0 () použijeme jejich přibližného vyjádření 0 () = () = e λ λ, λ = np = 0.0, 0 =,.! 7

8 Budeme tudíž postupně sčítat členy posloupnosti,! doud nepřeročíme hodnotu e,.0, 9. = 4, 487.0, 9 = 4, 7. Dostaneme: n 0 = 0 : ; n 0 = : +, =, ; n 0 = :, +, = 3, ; n 0 = 3 : 3, +,3 = 4, 87; n 0 = 4 : 4, 87 +,4 = 4, Je vidět, že zpráva po přenosu smí obsahovat nejvýše 3 chybná slova, aby byla pravděpodobnost dobrého přenosu = 0, Chybovost při přenosu symbolů sdělovacím análem je 0,3%. Jaý počet chyb při přenosu 000 symbolů má největší pravděpodobnost. Řešení: řenos symbolů je opaovaný pous, de pravděpodobnost sledovaného jevu (chyby) je p = 0, 003. ravděpodobnost výsytu právě chyb při přenosu 000 symbolů je rovna n () = ( n ) p ( p) n = 000 0, 003.0, , = 0,,.... ro vyčíslení těchto hodnot využijeme jejich aproximace n () = () = e λ λ, λ = np = 000.0, 003 =.! Hledáme tedy největší člen z posloupnosti a =, = 0,,.... Je! a , 8 4, 8, Největší hodnoty je dosaženo pro = a = a odpovídající pravděpodobnost je () = () = 4, 8.e = 4, 8.0, = 0, 0.. Jev A nastane s pravděpodobností a) p a = 0, 0; b) p b = 0, 03. Určete pravděpodobnost toho, že se jev A objeví při 00 opaováních alespoň 4rát. Řešení: ravděpodobnost, že se po n opaováních jev A objeví právě rát, je rovna číslu 00 () z Bernoulliho schematu. Hledaná pravděpodobnost je pa = 00 =4 00 () = ( 00 (0) + 00 () + 00 () + 00 (3)). ro vyčíslení hodnot 00 () použijeme jejich aproximace λ λ 00 () = () = e, λ = np = 00p.! Dostaneme postupně: 8

9 a) np a = 00.0, 0 = ; = e 3 = e 9 3 =0! = e ( ) = = 0, 333., 3333 = 0, 87 = 0, 487. b) np b = 00.0, 03 = ; = e 3 =0! = e ( ) = =.e =.0, = 0, = 0,