(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
|
|
- Matyáš Vacek
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 2 cvičení - pravděpodobnost cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P (1) = 1; 0 V, 1 U 3 = 1 A B P (B) 5 A B P (B\A) = P (B) ; B\A B A 6 A B = P (A B) = + P (B) 7 P (A B) = + P (B) P (A B) Klasicá pravděpodobnost (Laplaceův model) Náhodný pous má n možných výsledů, teré mají stejnou pravděpodobnost výsytu Jestliže se náhodný jev A realizuje v m případech, pa je jeho pravděpodobnost = m n 21 Přílad V osudí je a bílých a b černých oulí Vypočtěte pravděpodobnosti uvedených náhodných jevů: {Házíme mincí - bílá = rub, černá = líc, a = b = 1 Házíme hrací ostou - bílá = 6, černá = opa, a = 1, b = 5} (i) A - náhodně vybraná oule je bílá; (ii) B - postupně vybíráme oule a poslední tažená oule je bílá; (iii) C - vybíráme 2 oule a obě jsou bílé; (iv) D - vybíráme 2 oule a ty mají různou barvu Řešení: (i) Při výběru máme a + b možností a v a případech nastane náhodný jev Je tudíž = a a+b (ii) Pro výběr poslední oule máme a + b možností a v a případech nastane náhodný jev Je tudíž P (B) = a a+b (iii) Přílad můžeme řešit dvěma způsoby: 1
2 1 Vybíráme dvojice, de nezáleží na pořadí výběru a výběr se nemůže opaovat (ombinace) Vybíráme z a+b oulí a v případě výběru z a bílých nastane sledovaný náhodný jev Je tedy P (C) = a 2 a + b 2 = a(a 1) (a + b)(a + b 1) 2 Nebo uvažujeme výběr jedné bílé oule a potom opět jedné bílé oule, ale z osudí, ve terém je o jednu bílou ouli méně Podle příladu (i) je P (C) = a a + b a 1 a 1 + b (iv) Máme opět 2 možnosti řešení: 1 Vybíráme dvojici oulí různé barvy a to učinit ab způsoby Hledaná pravděpodobnost je ab P (D) = a + b = 2 = 2ab (a + b)(a + b 1) ; 2 Náhodný jev D nastaneme ve dvou disjutních (neslučitelných) případech: D a -postupně losujeme bílou a pa černou ouli; D b - postupně losujeme černou a pa bílou ouli Obdobně jao v (iii) je = a a + b b a 1 + b + P (D) = P (D a ) + P (D b ) = b a + b a a + b 1 = 2ab (a + b)(a + b 1) 22 Přílad (Pravděpodobnost zařazení do průzumu) Alice a Bob žijí ve městě, teré má n = 10 obyvatel Do statisticého průzumu bude vybráno = 500 respodentů Pro všechny druhy výběrů vypočtěte pravděpodobnosti náhodných jevů: a) Do výběru bude Alice (Bob) vybrána alespoň jednou, jev A, resp B b) Budou vybráni Alice a Bob, jev A B 2
3 Řešení: Jestliže označíme symbolem v(n, ) počet výběrů prvů z n prvů a A, resp B jev, že je vybrána Alice, resp Bob, pa dostaneme počty výběrů: v(n 1, ) není vybrána Alice (Bob); v(n, ) v(n 1, ) je vybrána Alice (Bob); v(n, ) 2 v(n 1, ) + v(n 2, ) jsou vybráni Alice a Bob Pro hledané pravděpodobnosti dostaneme vzorce v(n 1, ) = P (B) = 1 = 1 v(n, ) a v(n 1, ) v(n 2, ) P (A B) = v(n, ) v(n, ) Pro jednotlivé druhy výběrů dostaneme jejich počty podle vzorců, ve terých druhy výběrů rozlišíme indexy: (i) Uspořádaný výběr bez vracení (variace bez opaování) (rozhoduje pořadí výběru): Všech možných výběrů je v ub = n(n 1) (n + 1) = n! (n )! (ii) Neuspořádaný výběr bez vracení (ombinace) (nezáleží na pořadí výběru): Všech možných výběrů je n!! (n )! v nb = n = (iii) Uspořádaný výběr s vracením (variace s opaováním) (je možný opaovaný výběr ): Celový počet výběrů je v us = n (iv) Neuspořádaný výběr s vracením (ombinace s opaováním) (je možný opaovaný výběr): n + 1 Celový počet výběrů je v ns = = (n + 1)!! (n 1)! V tomto případě nemůžeme použít uvedených vzorců, nebot ombinace s opaováním nemají stejnou pravděpodobnost Jednotlivým ombinacim odpovídá různý počet variací s opaovaním, teré mají stejnou pravděpodobnost Dosazením do vzorců dostaneme požadované pravděpodobnosti (i) = P (B) = 1 (n 1)(n 2) (n ) n(n 1)(n 2) (n + 1) = 3
4 = 1 n n = n = 005 P (A B) = 1 2 n n + (n )(n 1) n(n 1) = ( 1) n(n 1) = (ii) = P (B) = 1 n 1 n = 1 n n = n = 005 n 1 P (A B) = 1 2 n + n 2 n = ( 1) n(n 1) = (iii) ( ) n 1 = 1 = = 0088 n ( ) n 1 ( ) n 2 P (A B) = = n n = = Přílad U zoušy si student losuje otázy z 20 Pro nedostate času si stačil připravit 15 otáze Jestliže označíme A, 0, náhodný jev, dy student zodpoví dobře otáze, určete pravděpodobnosti jednotlivých možností Řešení: Všechny výběry dostaneme jao výběry prvů z 20 Pro jednotlivé případy vybíráme otáze z 15 a ze zbývajících 5 Jsou tudíž jednotlivé pravděpodobnosti rovny: 15 P (A ) = P (A 2 ) = 20 = 02817; P (A 3 ) = = 02167; P (A 1 ) = = 0696; 5 3 = 0031;
5 5 P (A 0 ) = 20 = 0001 (P (A ) + P (A 3 ) + P (A 2 ) + P (A 1 ) + P (A 0 ) = 1) 2 Přílad (Hypergeometricé rozdělení) Obecná formulace modelu Množina má N prvů a mezi nimi má M prvů sledovanou vlastnost Jaá je pravděpodobnost toho, že mezi n náhodně vybranými prvy má právě, 0 min{m, n} sledovanou vlastnost? Model se používá u situací podobného charateru jao: Loterie s N losy, z nichž M losů vyhrává a n losů zaoupíme V partii N výrobů je M 1 jaosti a zbývající jsou jiné vality, případně mají vadu Situaci můžeme znázornit na obrázu M n N M Řešení: Vybraná supina n prvů bude obsahovat právě prvů sledované vlastnosti, jestliže provedeme výběr ta, že prvů vybereme z množiny om prvcích a zbývajících n prvů vybereme ze supiny N M prvů, teré uvažovanou vlastnost nemají Všech možných výběrů n prvů z N je celem N Jednotlivé výběry (elementární jevy) jsou rovnocenné, n tedy stejně pravděpodobné Z M prvů se sledovanou vlastností vybereme supinu o prvcích celem M způsoby a zbývajících n prvů, teré vlastnost nemají vybereme ze supiny N M prvů celem N M n způsoby Podle pravidla součinu a definice pravděpodobnosti je výsledná pravděpodobnost výběru právě prvů, teré mají sledovanou vlastnost, rovna M N M n P =, 0 min{n, M} N M 25 Přílad Je-li Ω = {a, b, c} množinou elemntárních jevů, roz- 5
6 hodněte, zda je uvedená množina A σ algebrou a poud není doplňte ji ta, aby tuto vlastnost měla (I) A = {, {a}, {b}, {a, c}} Řešení: Množina A musí obsahovat celou množinu Ω, doplňy, sjednocení a průniy (I) Uvedená množina není σ algebrou Musíme ji doplnit o všechny prvy z Ω, dále o dvojice a trojice prvů a celou množinu Ω Po doplnění dostaneme: A = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} 26 Přílad Na množině A z příladu 5 definujte alespoň dvě různé pravděpodobnosti Řešení: (i) Můžeme požadovat stejnou pravděpodobnost elementárních jevů (rovnoměrné rozdělení) a dostaneme pro pravděpodobnosti jevů z A hodnoty: P ( ) = 0, P (a) = P (b) = P (c) = 1 3, P (a b) = P (a c) = P (b c) = 2 3, P (a b c) = 1 (ii) Můžeme třeba volit lineární funci pravděpodobnosti Protože je = 6, můžeme volit P (a) = 1 6, P (b) = 2 6, P (c) = 3 6 Potom je P ( ) = 0, P (a b) = P (a) + P (b) = = 3 6 P (b c) = P (b) + P (c) = = 5 6, P (a b c) = P (a) + P (b) + P (c) = = 1, P (a c) = = 6, 27 Geometricá pravděpodobnost Tento model používáme v situacích, dy jistému jevu U odpovídá neprázdná množina U R n, terá má onečný ladný objem v(u) Pravděpodobnost můžeme definovat na σ algebře A měřitelných podmnožin množiny U předpisem = v(a) v(u), A A 28 Přílad Náhodně volíme číslo x v intervalu 0, 10 ta, že je aždá volba stejně pravděpodobná Určete: a) pravděpodobnost P ( x 3 < 1), P (x = 2); b) závislost pravděpodobnosti F (a) = P ( x 3 a), a R na hodnotě parametru a 6
7 Řešení: a) K řešení použijeme geometricou pravděpodobnost Pravděpodobnost výsytu čísla x v intervalu je přímo úměrná jeho délce Ze situace znázorněné na obrázu Obr 81 dostaneme P ( x 3 < 1) = P (x (2, )) = = 2 10 = 02 Z obrázu Obr 82 dostaneme P (x = 2) = = Obr 81 Obr 82 b) Interval, ve terém leží číslo a se mění v závislosti na hodnotě parametru a Protože je 3 0 = 3 a 10 3 = 7, dostaneme vzorce pro vyjádření pravděpodobnosti: a < 0 : F (a) = 0; 0 a < 3 : F (a) = 3+a (3 a) 10 = 2a 10 = a 5 ; 3 a < 7 : F (a) = 3+a 0 10 = a+3 10 ; a 7 : F (a) = = 1 Graf závislosti je na obrázu Obr 83 1 F (a) Obr 83 Poznáma Všimněme si, že v tomto případě mají elementární jevy x = x 0 pravděpodobnost nulovou Je jich totiž příliš mnoho Dále nezáleží na tom, zda v případě a) uvažujeme otevřený, uzavřený a nebo polouzavřený interval Jevy se liší o jev s nulovou pravděpodobností Tato vlastnost je typicá pro náhodné veličiny, teré mají spojité rozdělení pravděpodobnosti 29 Přílad Konáme serii náhodných pousů, ve terých se objevuje jao výslede náhodný jev A s pravděpodobností = p, 0 < p < 1 Pous onáme doud nenastane náhodný jev A a) Vypočtěte pravděpodobnosti pro jednotlivé počty provedených pousů 7
8 b) Určete oli musíme minimálně provést pousů, aby se náhodný jev objevil s pravděpodobností větší než (i) 09, (ii) 095 Hodnoty vyčíslete pro p = p 1 = 05, p = p 2 = 1 6 Model odpovídá třeba situacím, dy házíme ostou doud nepadne šesta (p = 1/6), nebo házíme mincí poud nepadne rub (p = 1/2), případně z osudí s a bílými a b černými oulemi vytáhneme bílou ouli (p = a/(a + b)) Řešení: a) Při řešení úlohy použijeme jazya náhodných veličin Počet pousů, teré provedeme, doud nenastane jev A považujeme za náhodnou veličinu X Její hodnoty nejsou omezené, nabývají hodnot z množiny přirozených čísel N Množina elementárních jevů je tedy neonečná, je rovna množině přirozených čísel N Náhodný pous opaujeme, poud se objeví jev A, opačný jevu A, terý má pravděpodobnost = 1 p Jestliže je počet provedených pousů roven X N, pa pro pravděpodobnostní funci p X náhodné veličiny dostaneme vzorec p X (1) = P (X = 1) = p, p X (2) = P (X = 2) = (1 p)p, p X (3) = P (X = 3) = (1 p) 2 p, obecně je p X (n) = P (X = n) = (1 p) n 1 p, n N Pro zadané číselné hodnoty dostaneme pro pravděpodobnostní funci vyjádření p 1 = 05 p X (n) = 1 2 n; p 2 = 5 6 p X(n) = 5n 1 6 n, n N b) Jestliže si označíme zadanou pravděpodobnost jao P 0, pa hledáme nejmenší přirozené číslo n, pro teré platí ( ) P (X n) > P 0 Z vyjádření pravděpodobnostní funce dostaneme, že P (X n) = n =1 p X () = n =1 Po dosazení dostaneme podmínu ( ) ve tvaru p(1 p) 1 1 (1 p)n = p 1 (1 p) = 1 (1 p)n 1 (1 p) n > P 0 1 P 0 > (1 p) n ln (1 P 0 ) > n ln (1 p) ( ) n > ln (1 P 0) ln (1 p) Pro zadané číselné hodnoty dostaneme pro minmální počet opaování: 8
9 p = p 1 = 05 : n > ln (1 P 0) ln 05 ln 01 (i) P 0 = 09 n > ln 05 ln 005 (ii) P 0 = 095 n > ln 05 p = p 2 = 1/6 : n > ln (1 P 0) = 332 n = ; = 32 n = 5 ln (5/6) ln 01 (i) P 0 = 09 n > = 1262 n = 13; ln (5/6) ln 005 (ii) P 0 = 095 n > = 13 n = 17 ln (5/6) Poznáma Pravděpodobnosti jednotlivých výsledů tvoří geometricou řadu s vocientem q = 1 p Snadno se přesvědčíme, že n=1 P (X = n) = n=1 (1 p) n 1 p = p 1 (1 p) = 1 Teoreticy se může stát, že se náhodný jev jao výslede neobjeví Je to jev, terý nemůžeme považovat za nemožný, ale pro jeho pravděpodobnost dostaneme, že je rovna Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost jevů Jestliže je (Ω, A, P ) pravděpodobnostní prostor a A, B A, P (B) > 0, pa definujeme podmíněnou pravděpodobnost jevu A B jao P (A B) = P (A B) P (B) B A B A B A Potom je P (A B)P (B) = P (B A) Náhodné jevy A a B jsou nezávislé právě dyž platí jedna z podmíne ( ) P (A B) = P (B), P (A B) =, P (B A) = P (B), teré jsou evivalentní 9
10 Náhodné jevy A, B a C jsou nezávislé, právě dyž platí: ( ) P (A B C) = P (B) P (C), P (A B) = P (B), P (A C) = P (C), P (B C) = P (B) P (C) 211 Přílad Tři střelci zasahují terč po řadě s pravděpodobnostmi p 1 = 02, p 2 = 0 a p 3 = 06 Současně vystřelí a v terči je jediný zásah Určete pravděpodobnosti P i toho, že zásah pochází od i tého střelce Řešení: Označme si náhodné jevy A i, i = 1, 2, 3, terč zasáhne i tý střelec a A v terči je právě jeden zásah Potom je A = (A 1 A 2 A 3 ) (A 1 A 2 A 3 ) (A 1 A 2 A 3 ) Ve sjednocení jsou jednotlivé jevy neslučitelné (disjuntní), je tedy výsledná pravděpodobnost součtem dílčích pravděpodobností Protože jsou zásahy jednotlivých střelců na sobě nezávislé, pa pro pravděpodobnost jevu A dostaneme = p 1 (1 p 2 )(1 p 3 ) + (1 p 1 )p 2 (1 p 3 ) + (1 p 1 )(1 p 2 )p 3 a po dosazení pravděpodobností p 1 = 02, p 2 = 0, p 3 = 06 = = = 06 Jestliže si označíme B i jevy, že zásah pochází od i tého střelce, pa B i = A A i a podle vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost dostaneme, že P (B i ) = P (A A i), i = 1, 2, 3 Po dosazení příslušných hodnot dostaneme P (B 1 ) = P (A 1 A 2 A 3 ) = p 1(1 p 2 )(1 p 3 ) = = 0103; P (B 2 ) = P (A 1 A 2 A 3 ) P (B 3 ) = P (A 1 A 2 A 3 ) = (1 p 1)p 2 (1 p 3 ) = (1 p 1)(1 p 2 )p 3 = = = 0276; = 0621 Všimněme si, že se pravděpodobnost nejlepšího střelce zvýší a pravděpodobnost nejhoršího sníží 10
11 212 Přílad Nezávislé náhodné jevy A, B, C mají po řadě pravděpodobnosti = 02, P (B) = 03, P (C) = 0 Určete pravděpodobnosti náhodných jevů: a) X = A B; b) Y = (A B) C; c) Z = A B; d) W = A B C Řešení: Pro nezávislé jevy platí: P (A B) = P (B), tedy: a) P (X) = P (A B) = +P (B) P (A B) = = = = 0 b) P (Y ) = P (A B) P (C) = 0 0 = 0176 c) P (Z) = P (A B) = P (A B) = = = = 01 d) P (W ) = + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) = = = Přílad Automat vyrábí podložy ve tvaru obdélnía Tolerance v šířce není dodržena v 8%, tolerance v délce v 7% a v obou rozměrech ve 3% případů a) Rozhodněte, zda jsou porušení tolerance v délce a v šířce, závislé či nezávislé jevy b) Vypočtěte pravděpodobnost toho, že náhodně vybraný us má oba rozměry v toleranci Řešení: Označíme-li A jev porušení tolerance v šířce a B porušení tolerance v délce, pa A B je jev porušení tolerance v obou rozměrech a) Potom je = 008, P (B) = 007, P (A B) = 003 Sledované náhodné jevy jsou nezávislé právě dyž je P (A B) = P (B) = 00056, jsou tedy oba jevy A a B závislé b) Vybrání dobrého výrobu je jev A B Potom je jeho pravděpodobnost rovna P (A B) = P (A B) = 1 P (A B) = = 1 P (B) + P (A B) = = Přílad Ve čtverci 1, 1 1, 1 volíme náhodně bod (X, Y ) ta, že je aždá volba stejně pravděpodobná Rozhodněte, zda jsou náhodné 11
12 jevy A = {(X, Y ); X > 0}, B = {(X, Y ); Y > 0} a C = {(X, Y ); X Y > 0} závislé či nezávislé Řešení: K určení pravděpodobností využijeme geometricé pravděpodobnosti Je patrné, že = P (B) = P (C) = 1 2 Dále je: A B = {(X, Y ); X > 0 Y > 0}, tedy P (A B) = 1 ; A C = {(X, Y ); X > 0 Y > 0}, tedy P (A C) = 1 ; B C = {(X, Y ); X > 0 Y > 0}, tedy P (B C) = 1 Je tedy P (A B) = P (B) = 1, P (A C) = P (C) = 1, P (B C) = P (B) P (C) = 1 Jsou tudíž náhodné jevy A, B a C po dvou nezávislé Pro všechny tři náhodné jevy dostaneme A B C = {(X, Y ); X > 0 Y > 0}, tedy P (A B C) = 1 P (B) P (C) = 1 8 Náhodné jevy A, B a C jsou tudíž závislé 12
6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032
III. Opaované pousy, Bernoulliho nerovnost. Házíme pětrát hrací ostou a sledujeme výsyt šesty. Spočtěte pravděpodobnosti možných výsledů a určete, terý má největší pravděpodobnost. Řešení: Jedná se o serii
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
VíceZákladním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.
přednáša KOMBINATORIKA Při řešení mnoha praticých problémů se setáváme s úlohami, ve terých utváříme supiny z prvů nějaé onečné množiny Napřílad máme sestavit rozvrh hodin z daných předmětů, potřebujeme
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Více1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;
I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceZákladním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.
přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé
VíceNUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika I)
NUMP0 (Pravděpodobnost a Matematicá statistia I Střední hodnota disrétního rozdělení. V apce máte jednu desetiorunu, dvě dvacetioruny a jednu padesátiorunu. Zloděj Vám z apsy náhodně vybere tři mince.
VíceKombinace s opakováním
9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Tato hodina zabere opět minimálně 70 minut. Asi ji čeá rozšíření na dvě hodiny. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceKombinace s opakováním
9..3 Kombinace s opaováním Předpolady: 907. 908, 9, 92 Pedagogicá poznáma: Časová náročnost této hodiny je podobná hodině předchozí. Netradiční začáte. Nemáme žádné přílady, ale rovnou definici. Definice
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
Vícecv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Více1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)
1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 04 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Záon velých čísel Lemma Nechť náhodná veličina nabývá pouze nezáporných
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
63. roční matematicé olympiády Úlohy rajsého ola ategorie A 1. Najděte všechna celá ladná čísla, terá nejsou mocninou čísla 2 a terá se rovnají součtu trojnásobu svého největšího lichého dělitele a pětinásobu
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.
Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceNáhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
Více1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti
1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
Vícenáhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
Více3. Mocninné a Taylorovy řady
3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceMĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU
Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VícePříklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad 1 a) Jev spočívá v tom, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné pěti a jev v tom, že toto číslo náhodně vybrané přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě má
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
Více4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek
cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceGeometrická zobrazení
Pomocný text Geometricá zobrazení hodná zobrazení hodná zobrazení patří nejjednodušším zobrazením na rovině. Je jich vša hrozně málo a často se stává, že musíme sáhnout i po jiných, nědy výrazně složitějších
VíceObsah přednášky. 1. Principy Meta-learningu 2. Bumping 3. Bagging 4. Stacking 5. Boosting 6. Shrnutí
1 Obsah přednášy 1. Principy Meta-learningu 2. Bumping 3. Bagging 4. Stacing 5. Boosting 6. Shrnutí 2 Meta learning = Ensemble methods Cíl použít predici ombinaci více různých modelů Meta learning (meta
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VíceMATEMATIKA. O paradoxech spojených s losováním koulí
MATEMATIKA O paradoxeh spojenýh s losováním oulí PAVEL TLUSTÝ IRENEUSZ KRECH Eonomiá faulta JU, Česé Budějovie Uniwersytet Pedagogizny, Kraów Matematia popisuje a zoumá různé situae reálného světa. Je
Více9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Hakimiho
Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM 470-301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) 1 9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Haimiho 9.1. Doážete nareslit graf na 9 vrcholech, ve terém mají aždé dva
Více13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Náhodné veličiny Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:
Více( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)
3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. STR 2 <
8.. Otáza číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: b. b Opaování maturitě matematia. roč. STR :.) Zjednodušte:.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Umocněte: 7 7.. Otáza číslo Lineární a vadraticé rovnice.)
VíceShluková analýza, Hierarchické, Nehierarchické, Optimum, Dodatek. Učení bez učitele
1 Obsah přednášy 1. Shluová analýza 2. Podobnost objetů 3. Hierarchicé shluování 4. Nehierarchicé shluování 5. Optimální počet shluů 6. Další metody 2 Učení bez učitele není dána výstupní lasifiace (veličina
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost Gradovaný řetězec úloh Téma: Pravděpodobnost
Více(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10
2. cvičení - STATISTIKA Náhodný jev, Pravděpodobnost jevu, Podmíněná pravděpodbnost, Úplná pravděpodobnost, Bayesova věta 1. V cele předběžného zadržení sedí vedle sebe 10 podezřelých, z toho 3 ženy. Jaká
VíceTestování hypotéz. December 10, 2008
Testování hypotéz December, 2008 (Testování hypotéz o neznámé pravděpodobnosti) Jan a Františe mají pytlíy s uličami. Jan má 80 bílých a 20 červených, Františe má 30 bílých a 70 červených. Vybereme náhodně
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Více2. Elementární kombinatorika
2.1. Kombinace, variace, permutace bez opakování 2. Elementární kombinatorika Definice 2.1. Kombinace je neuspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové množiny. Variace je uspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceS1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VícePodmíněná pravděpodobnost
odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceCVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceAlternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení
Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Náhodná veličina X má alternativní rozdělení s parametrem p, jestliže nabývá hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
Více