skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):
|
|
- Erik Bartoš
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok Iterační krok, poté opět test optima. 1.1 Příklad 1 Balírny čaje Dukát a.s. plánují na následující období výrobu dvou směsí čaje Zlatá směs a Standard. Pro výrobu těchto směsí mají smluvně k dispozici od dodavatelů tři druhy černého čaje (označme je C 1, C 2, C 3 ) postupně o kapacitě 10, 12 a 15 tun lišících se kvalitou a samozřejmě i nákupní cenou. Při výrobě obou směsí je třeba dodržovat technologické postupy, které mimo jiné určují, jaké procento jednotlivých komponent bude použito při této výrobě. Následující tabulka ukazuje skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Tab. 4.1: skladba kávových smˇesí: čajová směs kapacita (t) druh čaje Zlatá směs Standard C 1 0,5 0,10 10 C 2 0,25 0,5 12 C 3 0,25-15 Na základě přímých a nepřímých nákladů souvisejících s výrobou a vzhledem k předpokládané ceně obou směsí byl vykalkulován zisk, který činí Kč resp Kč na 1 tunu směsi Zlatá směs resp. Standard. Management firmy Dukát a.s. chce samozřejmě naplánovat produkci tak, aby byl její celkový zisk maximální. 1
2 1.2 Řešení Výchozí řešení Matematický model (úč. fce v tis.): z max = 10x 1 + 8x 2 0, 5x 1 + 0, 1x , 25x 1 + 0, 5x , 25x 1 15 x i 0, i = 1, 2 Tato soustava lineárních rovnic je v obecném tvaru, je nutné ji převést na standardní tvar pomocí přídatných proměnných. 0, 5x 1 + 0, 1x 2 + x , 25x 1 + 0, 5x 2 + x , 25x 1 + x 3 15 x i 0, i = 1, 2 Tato soustava je v kanonickém tvaru, protože odpovídající matice strukturních koeficientů obsahuje 3 jednotkové vektory, které lze uspořádat do jednotkové matice. Soustava obsahuje 5 proměnných a 3 rovnice. Soustava má tedy maximálně 10 základních řešení (tj. počet způsobů jak lze vybrat 3 základní proměnné z celkového počtu 5 proměnných). Základní (bazické) proměnné jsou x 1, x 2, x 3 Nezákladní proměnné jsou x 1, x 2. Pokud položíme tyto nezákladní proměnné rovny 0, potom z dané soustavy rovnic snadno získáme hodnoty základních proměnných: x 1 = 10, x 2 = 12, x 3 = 15 Řešení získané tímto způsobem je, vzhledem k nezápornosti všech jeho složek, základním řešením dané úlohy LP. Po získání výchozího základního řešení lze přistoupit v jednotlivých iteracích k testu optimality a ke zlepšování řešení. Celý výpočet je organizován v tzv. simplexové tabulce. x 1 1/2 1/ x 2 1/4 1/ x 3 1/ z
3 Poslední řádek obsahuje koeficienty účelové funkce v anulovaném tvaru, tj. tvaru, ve kterém jsou všechny proměnné modelu převedeny na levou stranu a na pravé straně je absolutní člen, který udává počáteční hodnotu účelové funkce ( ta je zpravidla rovna 0). V našem případě: z 10x 1 8x 2 = 0 Základní proměnné: x 1... vyjadřuje nespotřebovanou část suroviny C 1 (v tunách) x 2... vyjadřuje nespotřebovanou část suroviny C 2 (v tunách) x 3... vyjadřuje nespotřebovanou část suroviny C 3 (v tunách) Výchozí základní řešení: X 1 = (0, 0, 10, 12, 15), z = 0 Nic se nevyrábí hodnota účelové funkce je nulová. Nespotřebovány jsou veškeré suroviny, řešení není tudíž optimální Test optima: při maximalizaci, jsou li z j 0 pro všechna j = 1, 2,..., n, základní řešení je maximální, je li z j 0 alespoň pro jedno j = 1, 2,..., n, základní řešení není maximální. při minimalizaci, jsou li z j 0 pro všechna j = 1, 2,..., n, základní řešení je minimální, je li z j 0 alespoň pro jedno j = 1, 2,..., n, základní řešení není minimální Přechod na nové řešení: Jedna z nezákladních proměnných se stane základní: vybereme j-tý sloupec s minimální zápornou hodnotou v úč. fci, (v případě minimalizační úlohy vybíráme maximální kladnou hodnotu), v daném sloupci vybereme všechny koeficienty větší než 0, vypočteme podíly pravých stran b i a vybraných koeficientů, vystupující proměnnou je ta, na kterou připadne minimální podíl i-tý řádek, klíčovým prvkem je prvek na průsečíku i-tého řádku a j-tého sloupce a ij. 3
4 V našem případě je tedy klíčový první sloupec (z 1 = 10), vstupující proměnnou je tedy x 1. Klíčovým řádkem je první řádek (jednotlivé podíly jsou 10 : 1/2 = 20, 12 : 1/4 = 48, 15 : 1/4 = 60 minimum je 20) vystupující proměnou je tedy x 1. Přechod k novému řešení provedeme pomocí Gaussovy eliminační metody: Výchozí ˇrešení s vyznaˇceným klíˇcovým prvkem: Nové ˇrešení: x 1 1/2 1/ x 2 1/4 1/ x 3 1/ z x 1 1 1/ x 2 0 9/20-1/ x 3 0-1/20-1/ z Nové základní řešení vyplývající z druhého kroku je tedy: X 2 = (20, 0, 0, 7, 10), z = 200 Vyrábí se 20 tun směsi Zlatá směs. Ze surovin je plně spotřebována komponenta C 1, zůstává nevyužito 7 tun komponenty C 2 a 10 tun komponenty C 3. Hodnota produkce je tis. Kč. Výpočet dále pokračuje testem optimality, řešení není ještě optimální. Ve třetím kroku simplexové tabulky přejdeme na další základní řešení. Vstupující proměnnou je x 2 a nahrazuje vystupující proměnnou x 2, která se stává nezákladní. Optimální ˇrešení: x /9-4/ /9 x /9 20/ /9 x /18 1/9 1 97/9 z /9 120/ /3 4
5 Ve třetím iteračním kroku dostáváme optimální řešení, nebot všechna z j 0: X opt = (16,89, 15,56, 0, 0, 10,78), z = 293,3 Optimálním výrobním programem je vyrábět 16,89 tun Směsi Super a 15,56 tun směsi Standard. Při tomto výrobním programu jsou plně spotřebovány čaje C 1 a C 2 Nevyužito zůstává 10,78t čaje C 3. Hodnota produkce je ,3 tis. Kč a z daných surovin není možno za předpokládaných podmínek získat větší. Nenulové hodnoty v řádku účelové funkce simplexové tabulky pod přídatnými proměnnými x 1 a x 2 jsou tzv. stínové ceny udávají nám o kolik vzroste hodnota úč. fce pokud zvýšíme kapacitu příslušného zdroje o jednotku. V našem případě, pokud zvýšíme kapacitu čaje C 1 o tunu, zvýší se účelová funkce o ,33 Kč. Z pohledu balíren Dukát a. s. to má tedy význam, zda se vyplatí nakoupit o tunu více čaje C Příklad 2 Nalezněte řešení úlohy LP: Při platnosti těchto omezení: Simplexová tabulka: z min = 6x 1 2x 2 8x 3 x 1 + 2x 2 6 x 1 4x 2 2x 3 8 x 2 + x 3 7 x i 0, i = 1, 2, 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 b i x x x z Při volbě vstupující a vystupující proměnné je třeba myslet na skutečnost, že se jedná o minimalizační úlohu. Vstupující proměnnou je tedy sloupec s nejvyšší kladnou hodnotou v řádku účelové funkce. Dále se postupuje stejně jako u maximalizační úlohy. Vstupující proměnnou je tedy x 3 a vystupující proměnnou je x 3 (v tomto případě je to jednodušší tím, že ve 3. sloupci je jediný kladný koeficient vyšší než 0 ve 3. řádku). 5
Lineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
VíceVyužití simplexového algoritmu v projektování výroby
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH Ekonomická fakulta Katedra řízení Studijní program: B6208 Ekonomika a management Studijní obor: Řízení a ekonomika podniku Využití simplexového algoritmu v projektování
Více1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu.
Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1 Úlohy Lineárního programování Lineární programování je jednou z částí operačního výzkumu a zpravidla se používá pro řešení optimalizačních úloh ekonomických
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
VíceEKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY
UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceVyužití simplexového algoritmu pro transformaci výroby
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta Strukturální politika Evropské unie a rozvoj venkova DIPLOMOVÁ PRÁCE Využití simplexového algoritmu pro transformaci výroby Vypracoval: Bc.
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMatice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
Více3 Úloha lineární optimalizace
3 Úloha lineární optimalizace Od této přednášky se začneme zabývat jistou obsáhlou a dobře prozkoumanou třídou optimalizačních úloh zvanou úlohy lineární optimalizace, neboli lineární programování LP.
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace
VícePříklady modelů lineárního programování
Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Více1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov)
2. cvičenie formulácia a výsledky - LINGO 1. Úloha o optimálnom výrobnom pláne (optimálne využitie výrobných faktorov) a) maximalizácia zisku NECELOČÍSELNE!zadani ucelove fce; [UCELOVA_FCE] max = 120*x1+50*x2+150*x3+100*x4;!zadani
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
VíceMetody operačního výzkumu cvičení
Opakování vektorové algebry domácí úkol ) Pojem vektorového prostoru praktická aplikace - je tvořen všemi vektory dané dimenze - operace s vektory (součin, sčítání, násobení vektoru skalární hodnotou)
VíceMetody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
VíceGymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11
Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně
VíceTeoretická otázka č. 11 K čemu slouží analýza citlivosti báze vhledem ke složkám vektoru pravých stran? Popište rámcově způsob jejího provedení.
Bodování zkouškového testu: Teorie 40 bodů: 4x 0 Příklady 60 bodů: 5+20+25 Bonifikace 20 bodů Celkem 20 bodů: 00+20 Přehled některý možných zkouškových otázek z EMMI. Teoretická otázka č. Volně charakterizujte
VíceDRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma
DRN: Soustavy linárních rovnic numericky, norma Algoritmus (GEM: Gaussova eliminace s částečným pivotováním pro převod rozšířené regulární matice na horní trojúhelníkový tvar). Zadána matice C = (c i,j
VíceOSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA [ MOPV ] METODY OPERAČNÍHO VÝZKUMU Distanční opora RNDr. Miroslav Liška, CSc. OSTRAVA 2002 1 Simplexová metoda je iterační výpočetní postup pro nalezení optimálního
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VícePřiřazovací problém. Přednáška č. 7
Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceVektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12
Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory
VíceA0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly
Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková
VíceÚvod do optimalizace
Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace
VíceDeterminant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
VíceRegresní a korelační analýza
Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)
Více4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
Více5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceSTATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá
STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá 1) Lineární i nelineární regrese prostá, korelace Naeditujeme data viz obr. 1. Obr. 1 V menu Statistika zvolíme submenu Pokročilé lineární/nelineární
VíceVYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE. Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Ekonometrie a operační výzkum Název diplomové práce Optimalizace trasy při revizích elektrospotřebičů Diplomant: Vedoucí
Více4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceMikroekonomie. Vyučující kontakt. Doporoučená literatura. Podmínky zápočtu. GRAF (funkce) Téma cvičení č. 1: 5.10.2015
Vyučující kontakt Mikroekonomie Konzultační hodiny: pondělí: 13.00-14.30 jinak dle dohody Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU kancelář : 16 telefon : 38 777 2419 e-mail: jsetek@ef.jcu.cz
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VícePředmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu.
MATICE, DETERMINANTY A JEJICH VYUŽITÍ V PRAXI Mgr Eva Valentová autorka prof RNDr Jan Pelikán, CSc recenzenti Mgr Eva Pelikánová 04 Obsah Vektory 5 Aritmetické vektory 5 Maticová algebra I 8 Matice a
VíceMatice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
Více3. STRATEGICKÉ TAKTICKÉ OPERATIVNÍ ŘÍZENÍ, OBSAH, NÁPLŇ A FORMY
3. STRATEGICKÉ TAKTICKÉ OPERATIVNÍ ŘÍZENÍ, OBSAH, NÁPLŇ A FORMY Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceSoustavy lineárních rovnic
7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceOperace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.
1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna
VíceProblémy konstrukce a implementace modelů strukturální analýzy
Problémy konstrukce a implementace modelů strukturální analýzy Modely strukturální analýzy jsou určitou třídou lineárních modelů, tzn. že všechny obsažené funkce uvnitř těchto modelů mají lineární tvar.
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
Více2. Matice, soustavy lineárních rovnic
Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí
Více7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém
Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů
VíceKirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony
Kirchhoffovy zákony 1. Kirchhoffův zákon zákon o zachování elektrických nábojů uzel, větev obvodu... Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule Kirchhoffovy zákony 2. Kirchhoffův zákon zákon
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
VíceVýběr báze. u n. a 1 u 1
Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky
Více0 0 a 2,n. JACOBIOVA ITERAČNÍ METODA. Ax = b (D + L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b. (i) + T J
6 Jacobiova a Gaussova-Seidelova iterační metoda pro řešení systémů lin rovnic Kateřina Konečná/ ITERAČNÍ METODY PRO ŘEŠENÍ SYSTÉMŮ LINEÁRNÍCH ROVNIC Budeme se zabývat řešením soustavy lineárních rovnic
VíceSystémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování
Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a
VíceKarnaughovy mapy. Pravdivostní tabulka pro tři vstupní proměnné by mohla vypadat například takto:
Karnaughovy mapy Metoda je použitelná již pro dvě vstupní proměnné, své opodstatnění ale nachází až s větším počtem vstupů, kdy návrh takového výrazu přestává být triviální. Prvním krokem k sestavení logického
Vícekupní cena: 680 500,- Kč Splatnost jednorázově, do 30 dnů ode dne podpisu kupní smlouvy na účet prodávajícího. Návrh č. 2.
Návrh č. 1. kupní cena: 680 500,- Kč Návrh č. 2. kupní cena: 681 500,- Kč Návrh č. 3. 1 kupní cena: 682 500,- Kč Návrh č. 4. kupní cena: 683 500,- Kč Návrh č. 5. 2 kupní cena: 684 000,- Kč Návrh č. 6.
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceSimplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25
Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,
VíceEKO210 Kvantitativní management. Creative Commons. Attribution-NonCommercial-ShareAlike 2.0. You are free:
Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 2.0 You are free: to copy, distribute, display, and perform the work to make derivative works Under the following conditions: Attribution. You must
VíceOperační výzkum. Přiřazovací problém.
Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326
VíceDynamické metody pro predikci rizika
Dynamické metody pro predikci rizika 1 Úvod do analýzy časových řad Časová řada konečná posloupnost reálných hodnot určitého sledovaného ukazatele měřeného v určitých časových intervalech okamžikové např
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
Víceopt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N
1 2-LP-Lineární programování Lineární funkce i omezovací podmínky opt t X c R c R b b b R...vektor limitů (kapacitních), a i i R b A...matice strukturálních koeficientů, > b! R hod = b, 0,..vektorproměnných,...vektor
VíceMikroekonomie. 1. Opakování příklad 1. Opakování - Příklad 2. Řešení. Řešení. Opakování příklad 3 2.11.2015
1. Opakování příklad 1. Mikroekonomie Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Při ceně 10 korun se nakupuje 1000 výrobků za 1 den; při ceně 50 korun se nakupuje 500 výrobků za 1 den. Jaký je
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VíceElektrotechnická fakulta
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická
VíceDaniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ
PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ - 1 - Firma zabývající se výrobou světlometů do aut dostala zakázku na výrobu 3 druhů světlometů do aut, respektive do Škody Fabia, Octavia a Superb.
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceMatematický ústav v Opavě. Studijní text k předmětu. Softwarová podpora matematických metod v ekonomice
Matematický ústav v Opavě Studijní text k předmětu Softwarová podpora matematických metod v ekonomice Zpracoval: Ing. Josef Vícha Opava 2008 Úvod: V rámci realizace projektu FRVŠ 2008 byl zaveden do výuky
VíceObecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceRNDr. Sousedíková Radmila, Ph.D.
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Eaktní metody rozhodování - operační výzkum RNDr. Sousedíková Radmila,
Více4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování
4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
VíceJedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceOperační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.
Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu
VícePřednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová
Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová 1. Aplikace klasifikace nákladů na změnu objemu výroby 2. Modelování nákladů Podstata modelování nákladů Nákladové funkce Stanovení parametrů nákladových funkcí Klasifikační
VícePRAKTICKÉ KALKULACE 1: PŘÍKLAD (NEJEN O) SUPERMARKETU
PRAKTICKÉ KALKULACE 1: PŘÍKLAD (NEJEN O) SUPERMARKETU Série článků, kterou otevíráme tímto titulem, volně navazuje na předcházející dvojdílný příspěvek Tip na zimní večery: sestavte si nákladovou matici.
VíceOPTIMALIZACE PŘIJÍMACÍHO ŘÍZENÍ 2008/09
Analýza dovedností a tematických částí - český jazyk třída základní školy 9 89 87 82 86 82 77 7 průměrný percentil 2 47 47 46 43 47 46 Celek mluvnice sloh a literatura znalost porozumění aplikace Poznámka:
Více