EKO210 Kvantitativní management. Creative Commons. Attribution-NonCommercial-ShareAlike 2.0. You are free:

Transkript

1 Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 2.0 You are free: to copy, distribute, display, and perform the work to make derivative works Under the following conditions: Attribution. You must give the original author credit. Noncommercial. You may not use this work for commercial purposes. Share Alike. If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under a license identical to this one. For any reuse or distribution, you must make clear to others the license terms of this work. Any of these conditions can be waived if you get permission from the copyright holder. Your fair use and other rights are in no way affected by the above. This is a human-readable summary of the Legal Code (the full license). Disclaimer 1

2 Prof. Jan Pelikán 407 n.b. Jablonský: Operační výzkum Výborná: Příklady Pelikán: Praktikum z OV Pelikán: Diskrétní modely Zkouška: Zadání praktické úlohy a jak budu postupovat při řešení daného problému. Když vyhovuje tak bez ústní. Na cvičeních se píší testy, které se započítávají do zkoušky. Osnova: - lineární programování (lineární optimalizační modely) - aplikace teorie grafů - teorie obnova (praktické návody kdy a za jakých podmínek obnovovat) - zásoby (jak optimalizovat zásobovací proces) - teorie front - vícekriteriální rozhodování Lineární programování Př. Mám malý výrobní podnik truhlářskou dílnu, která zaměstnává 2 dělníky truhlář a pomocný dělník. Truhlář je nasmlouván na 6 hodin denně. Pomocný dělník na 8 hodin denně. Předpokládáme výrobu skříněk a stolků. Všeho máme dostatek (materiálu). Trh vezme cokoliv a tak neomezuje počet výrobků vyrobených za den. Úkol: Naplánovat výrobu, kolik kterého výrobku denně vyrábět. Připouští se i zlomková hodnota, která představuje rozpracovanou výrobu. Nedokončený výrobek se dokončí druhý den. Cílem je maximalizace zisku Truhlář na V1 stráví 2 hodiny času a dělník také. Truhlář vyrábí stolek V2 1 hodinu a expedice a ostatní úkoly, které dělá dělník zabere 2 hodiny. Skříňka V1 Stolek V2 Truhlář h/den Dělník h/den zisk 3 tis/ks 2 tis/ks max Chceme 2 čísla: počet stolků a skříněk, nemusí být celá, ale nesmí být záporná, tak aby zisk byl maximální. Čísla musí být taková, aby truhlář tyto výrobky stihl vyrobit a dělník expedovat. Řešení: Lineární programování a metoda Simplexová. kroky: 1. napsat model (ten nelze automatizovat), převedení do matematické interpretace (matematického modelu) 2. předání počítači (simplexové metodě) 3. zhodnocení výsledků a jejich předání Všechno je OK a tak se může pracovat, nebo není to v pořádku a tak se provede znova od začátku 2

3 Sestavení matematického modelu: - např. proměnné x 1 a x 2. - x1 0 a x2 0 === podmínka nezápornosti - cíl, ke kterému model bude směřovat. Musíme mu to předat ve tvaru matematické funkce. Můžu značit např: Z o Z = 3x 1 + 2x 2 max - účelová funkce -.musíme zadat omezující podmínky: omezení truhláře je 6 bilancuje spotřebu pracovních hodin truhláře s kapacitou hodin truhláře o 2x 1 + 1x celkové zatížení truhláře (nepředepisujeme, že musí být maximálně vytížen, cílem je maximalizace zisku nikoliv kapacity) - musíme zadat omezení: omezení dělníka je 8 bilancuje spotřebu pracovních hodin dělníka s kapacitou hodin dělníka o 2x 1 + 2x celkové zatížení dělníka - pokud by byli v zadání další omezení, tak bychom je přidali i do matematického modelu. Teorie: - přípustné řešení x = (x1;x2) vektor x je dvojice čísel, které jsou nezáporné a splňují naše podmínky. Nejde o maximalizaci, ale musí být splněny podmínky a cíl. Jakákoliv dvojice čísel splňující zatížení i podmínku nezápornosti. o (0;0) je přípustné řešení, (1;1) také přípustné, (100;100) jíž přípustné není, protože se přesáhne celkové zatížení - optimální řešení je přípustné řešení, které maximalizuje zisk (účelovou funkci) to nejlepší možné řešení o Přípustné řešení x 0 je optimální, jestliže pro všechna x přípustná je Z(x) 7(x 0 ) Grafické řešení: x2 Simplexová metoda porovnává vrcholy a to jen některé 6 3 x1 každý bod bude vyjadřovat přípustná řešení, která splňují nerovnost 2x 1 + 1x 2 6 (polorovina) a já to musím převést na přímku 2x 1 + 1x 2 = 6. Nejdříve dosadím za x1 nulu a 3

4 pak za x2 dosadím nulu. Hraniční přímka ukazuje, co je schopen vyrobit truhlář, když je plně vytížen. (3;0), (0;6) Omezení pro dělníka je hraniční přímka 2x 1 + 2x 2 = 8 dosadím (0;4), (4;0) P = množina přípustných řešení = včetně hranic - Množina je vypuklá a patří do ní vše, v daném 4 úhelníku. - Množina je ohraničena úsečkami. - vrcholy = význačné body, kde se hranice lomí - přípustných řešení je nekonečně mnoho Vrstevnice nám představují body se stejnou hodnotou účelové funkce účelová fce má tvar např: 3x 1 + 2x 2 = 0, jde o body např: (0;0) a zároveň (3;2), protože to je vektor kolmý k této fci. 3x 1 + 2x 2 = 1 Optimální řešení je první. Z není uvnitř, ani na hranici, ale ve vrcholu. U tohoto patologického řešení není řešení jedno, ale je jich nekonečně mnoho a je vymezena 2 vrcholy, které jsou optimální (alternativní vrcholy) x = λx a + (1- λ)x b 1 λ 0 Další možnost: Tato úloha má množinu P prázdnou, protože průnik mají v jiném kvadrantu P = 0. Např. mám špatné zvolené koeficienty ---> uvolnit nějaké kapacity. 4

5 Množina přípustných řešení je neomezená, možných řešení je nekonečno a nelze najít optimální řešení. Řešením je, že jsme zapomněli na nějaké omezení (voda, dělníci). Musíme přezkoumat model, správné a všechny údaje Další možnost. existuje jen jediný výrobní program, který mohu vyrábět. Věta (vlastnost) 1: Množina přípustných řešení je konvexní Věta 2 (základní věta): má-li úloha lineárního programování optimální řešení ==> má optimální řešení ve vrcholu D. Významy: a) neexistuje optimální řešení b) existuje optimální řešení, které je jediné a pak je ve vrcholu, nebo není jediné pak je ve více vrcholech i mimo vrcholy. optimální řešení nemá smysl hledat uvnitř množiny přípustných řešení. Je dobré ho hledat ve vrcholech. Budu porovnávat tedy jen těch několik vrcholů a to dělá Simplexová metoda. Z(x 1 ;x 2 ;...;x 3 ) = c 1 x 1 + c 1 x c n x n x se buď maximalizuje nebo minimalizuje c se nazývá ceny omezující podmínky x 1 0, x 2 0,..., x n 0 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 první omezení a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 druhé omezení omezení může být n. Libovolný počet rovnic naprosto nezávisí na počtu proměnných 5

6 Počítač a Simplexová metoda: - simplexová metoda požaduje soustavu rovnic 1. upravíme data tak, aby pouze rovnice, neumí používat nerovnice přídavná proměnná: x 1 2x 1 + x 2 + x 1 = 6 2x 1 + 2x 2 + x 2 = 8 x 2 0 x 1 přídavná proměnná (je to nevyužitá pracovní doba) x 1 0 Z=3x 1 +2x z je jak funkce tak proměnná, definuje hodnotu zisku z 3x 1 2x 2 = 0. x 1, x 2 jsou strukturní proměnné ze zadání čísla v matici jsou opsané koeficienty z jednotlivých rovnic 2x 1 + x 2 + x 1 = 6 2x 1 + 2x 2 + x 2 = 8 z 3x 1 2x 2 = 0 matice soustavy rovnic a matice rozšířená z X 1 X 2 X 1 X 2 B charakteristické pro matici je, že na pravé straně jsou všechna čísla nezáporná a má 3 jednotkové sloupce. Kanonický tvar soustavy lineárních rovnic - máme-li 3 rovnice a 3 jednotkové sloupce, pak matice je v kanonickém tvaru. Kanonické tvary nás vedou k vrcholům (obsahují informace o vrcholu). - je-li v kanonickém tvaru, je možné snadno spočítat řešení t s z X 1 X 2 X 1 X 2 B X X Z x 1 = 6 2t s x 2 = 8 2t 2s z = 3t + 2s - pro každé t a s spočítám řešení. 2 druhy proměnných proměnné základní, které dopočítáváme (x1, x2 a z) a proměnné nezákladní, za které dosazujeme - za proměnné lze dosadit nuly, pak základní proměnné se rovnají přímo pravým stranám toto řešení se nazývá základní řešení a týká se vrcholů, protože ty hledáme. - - základní řešení (0,0,6,8)z = 0, doplnily jsme za t a s nulu. Našli jsme vrchol (0,0), pokud bychom zvyšovali t, tak jdeme po ose x, pokud bychom zvyšovali parametr s, tak se pohybujeme po ose y. Dosazujeme-li za s i t, tak budu uvnitř. - -Simplexová metoda postupuje po hranách, nemá tedy smysl zároveň zvyšovat s i t. - pokud budu zvyšovat t, tak zisk se zvyšuje o 3 tisíce, v případě zvyšování s se zisk zvyšuje zisk o 2 tisíce. Preferuji ziskovější cestu a tedy zvyšuju t (tedy x 1 ). o x1 = 6-2t 0 všechny hodnoty musí být nezáporné a snažíme se o x2 = 8-2t 0 dosadit za t co největší číslo o z = 0+3t t 0 6

7 o 6 2t 0, tedy 6 2t a tedy 3 t. Můžeme tedy při maximálním využití truhláře vyrábět kusů. o dělník: 8 2t 0 tedy 8 2t a 4 t o Za t můžu dosadit maximálně 3, protože musím brát ohled na oba dělníky. V tuto chvíli vyrábíme 3 kusy stolku a žádný druhý výrobek K tomuto vrcholu však zase musím najít kanonický tvar. Nová kanonická soustava, která bude odpovídat vrcholu [3;0] výpočet: Dosazuju za x 1, rovnice od sebe odečíbám 2. od první, 3 od první. 2x 1 + x 2 + x 1 = 6 dělím 2 x 1 + 1/2x 2 + 1/2x 1 = 3 2x 1 + 2x 2 + x 2 = 8 x 2 + x 1 + x 2 = 2 z 3x 1 2x 2 = 0 z 1/2x 2 + 3/2x 1 = 9 Simplexová tabulka: z X 1 X 2 X 1 X 2 B X /2 1/2 0 3 X Z 1 0-1/2 3/ (3;0;0;2)z=9. Zisk je 9, zisk vzrostl, je něco lepšího? - přepíšu z řádek do tvaru z = 9 + ½x 2 3/2x 1, za tyto základní proměnné můžu dosazovat, pokud za ně dosadím nuly, tak zisk je devět, zisk poroste při dosazování za x2, pokud budu dosazovat za x1 bude zisk klesat, závěr je, že řešení není optimální. Pokud budu zvyšovat x 2, tak zisk poroste a při zvyšování x1, tak zisk bude klesat, proto není optimální. Zjistili jsme bod [3;0] se ziskem devět není optimální a proto budu zvětšovat x 2. Pokud je v Z záporné číslo, tak není splněna podmínka optimality. Pokud by byla všechna čísla kladná, tak je splněna podmínka optimality a můžu skončit. - Máme dvojí možnost výběru buď x 1 nebo x 2 Z nikdy nevybírám. Budu hledat tu, která se anuluje. z X 1 X 2 X 1 X 2 B X /2 1/2 0 3 X Z 1 0-1/2 3/2 0 9 o x 1 = 3-1/2t 0 neboli 3 ½ t t 6 o x 2 = 2 t neboli t 2 Platí že t 2. Pokud za t = 2, tak x 1 = 3 1 x 2 = 1, a tak bude vystupovat, protože v kanonickém tvaru považujeme za základní. Chci aby byl X 2 jednotkový. Opět vytvářím nový kanonický tvar. S druhým řádkem není potřeba dělat, protože je v kanonickém tvaru. Kromě x 2, které píšu x 2. Pro úpravu používat výstupní (klíčový) řádek, ten, který je červeně. Přičítám (-1/2) druhého řádku k prvnímu. V třetím řádku je (-1/2), tak opět použiju klíčový řádek (2. řádek) a přičtu (1/2) druhého řádku k řádku třetímu nezákl. nezákl z X 1 X 2 X 1 X 2 B X /2 2 X Z ½ 10 Dosadím za x 1 a x 2 dosadím nuly, (2,2,0,0) z = 10. Pokud v z řádku jsou jen kladná čísla, tak dané řešení je optimální. z = 10 x 1 - ½ x 2 budu-li měnit některou 7

8 proměnnou, tak se pohybuji po hranách, měním-li obě najednou, tak jdu dovnitř a zisk se snižuje. - Proměnná z byla ve všech tabulkách jednotková. Zisk se vždycky počítá a nikdy se za něj nedosazuje, proto se tento sloupec vynechává. - při hledání klíčového řádku bi aikt 0, mohou nastat, že aik 0 = není třeba řešit o aik > 0 pak bi aikt, pak bi/aik t. Stačí tedy spočítat podíl bi/aik, který je horní mezí pro parametr t X 1 X 2 X 1 X 2 B B i /a ik X /2 = 3 X /2 = 4 Z o podíly neděláme, jestliže tam je 0 nebo záporné číslo - Podmínky použití Simplexové metody: o algoritmus lze používat jen na rovnicích, které mají nezápornou pravou stranu (b 0) a musí být v kanonickém tvaru o krok č. 1: výpočet základního řešení. (seznam základních proměnných rovnají se b, seznam nezákladních proměnných položíme rovné nule, tím dostanu vrchol) + test optima. Tím ověřím optimálnost vrcholu. Je optimální, jestliže všechny koeficienty v z řádku jsou větší nebo rovny 0 (to platí pro maximalizaci) jestliže splněn, tak výpočet končí jestliže existuje alespoň jeden záporný sloupec v z řádku, tak vyberu tu s největším záporem. o krok č. 2: jak jsem zjistil klíčový řádek? t = minimum b i /a ik, ale jen pro a ik >0, řádek, který je klíčový l-tý řádek, tak tato proměnná bude vystupovat z báze pokud aik 0 pro všechna i, pak neexistuje optimální řešení a je konec, protože nemá smysl hledat jde o případ nekonečnosti (graf s 2 vodorovnými přímkami) zřejmě chyba modelu o krok č.3: eliminace Gauss (klíčový řádek, který je červený dělím, abych dostal jedničku a upravuji ostatní řádky. červený je jedna) návrat na krok 1 Poznámky: - týká se výsledné tabulky (té poslední) jde o redukované cenové koeficienty z j. Tyto koeficienty mají i další využití. Pokud je z j 0 odpovídá nějakému výrobku, který by se neměl vyrábět. Jestliže jsem donucen tento výrobek vyrábět, tak mě stojí z- koeficient, o toto číslo mi sníží zisk. Nedodržím optimální řešení simplexové metody. - x 1 a x 2 jsou nevyužité doby truhláře a dělníka. V případě, že bych zkrátil pracovní dobu truhláře o jednu hodinu, tak x 1 bych o 1 zvýšil a zisk bych si snížil o 1000 a optimální zisk by klesl o V případě x 2 to bude méně o 500 Kč. Platí i opačně, pokud bych přemluvil truhláře nebo dělníka, aby dělal více, tak zisk stoupne. Přídavné proměnné v z se nazývají stínové ceny (shadow, dual price), které oceňují zdroje (pracovní dobu truhláře a dělníka). Není to cena pracovní síly, ale je to marginální změna zisku při změně pracovní síly o jednotku. - Program by neměl cyklovat, protože máme konečný počet vrcholů. Simplexová metoda má vždy optimum po určitém počtu kroků. Výjimkou je degenerace 8

9 /1-3 5 nepočítáme 5 0 0/5 = 0 = t /5 - t = 0, tedy přírůstek zisku je nulový a pouze se mění báze a zisk se nemění. Protože vybírám řádek s nejmenším podílem. Minimalizace: - sousta lineárních rovnic v kanonickém tvaru (jednotkových sloupců, kolik je rovnic) - pravé strany lineárních rovnic jsou nezáporné - krok 1: o (test optima) všechna čísla z j 0, jestliže splněné, tak účelová funkce nabývá svého minima (stejně jako při maximalizaci), pokud existuje z j kladné, tak se vybere to největší z j větší než nula, jde o pokles účelové funkce - krok 2: o hledá se přípustnost řešení (naprosto stejné jako u maximalizace) o bi /a ik (hledáme minimum) - krok 3: o klíčový sloupec musí být jednotkových (vše je stejné jako u maximalizace) Intervaly stability Příklad: (zadání jako v lineárním programování) Výchozí tabulka z X 1 X 2 X 1 X 2 b X X Z Poslední tabulka X 1 X 2 X 1 X 2 b X /2 2 X Z ½ 10 opt. (2,2,0,0)=10 intervaly stability pravé strany - jak je řešení citlivé na změny vstupních parametrů (disponibilní pracovní fond) intervaly stability cen říká, v jakém intervalu se cena může pohybovat aniž se změní řešení intervaly stability pravé strany b b= ( 6 nad 8) bi = (6+t nad 8) - spočítáme to pomocí inverzní matice báze - počítáme to z poslední tabulky a jsou to sloupce x 1 a x 2 a řádek x 1 a x 2 a pravá strana v poslední tabulce b b = B -1. b = 1-1/

10 v případě že by v první tabulce bylo b t = (6+t nad 8), t se nesmí objevit na pravé straně b t = B -1 b t = 1-1/2 6 + t 6+t -4 2+t t - jestliže přidáme 2 kusy, tak se na druhé straně 2 kusy odeberou - když tam budou i váhy, tak je to 10+t - t = změna rozsahu pracovní doby truhláře, takže pokud jednu hodinu přidá, tak se zisk zvýší o 1000 Kč - 2+t 0 takže t -2-2-t 0 takže t 2 - t je součástí <-2,2> - b 1 je součástí <4,8> tabulka stále obsahuje optimální řešení pohybuje-li se pracovní doba truhláře v tomto intervalu, tak jde o optimální řešení b bt b b t /2t t 2 2+t /2T b t = B -1 b t = 1-1/ /2t 2 1/2t t t 2 + t zisk --- 3(2 1/2t) + 2(2 + t) = 6-3/2t t = /2t - 2 1/2t 0 takže t t 0 takže t -2 t je součástí <-2, 4> - b 2 je součástí <6,12> b2 znamená druhý dělník (nesmíme měnit pracovní dobu prvního dělníka) Intervaly stability cen Příklad: (zadání jako v lineárním programování) Výchozí tabulka z X 1 X 2 X 1 X 2 b X X Z t Poslední tabulka C B X 1 X 2 X 1 X 2 b 3+t X /2 2 2 X Z 0 = z ½ 10 z 1 z 2 z 3 z 4 z 0 opt. (2,2,0,0)=10 Zkoumáme interval stability první ceny nezávisle na změnách druhé ceny. t se nedostane z levé strany na stranu pravou. t se objeví pouze v z-řádku. Když v z-řádku se objeví záporné číslo, tak řešení přestane být optimální c 1 = 3 a my dáme c 1 = 3+t c 2 = 2 nemění se z j = C B * a j - c j z 3 = (3,2) * (1 nad -1) 0 = 1 10

11 z 1 = (3+t,2) *(1 nad 0) (3+t) = 0 z 2 = (3+t,2) *(0 nad 1) 2 = 0 z 3 = (3+t,2) * (1 nad -1) 0 = 1+ t 0 beru ze zadání, kde c = (3+t,2,0,0) z 1 = (3+t,2) *(-1/2 nad 1) 0 = -3/2 1/2t + 2 = ½ - ½t z 0 = (3+t)*2 + 2*2 =10 + 2t kontrola nezápornosti z-koeficientů: z 1 a z 2 jsou nezáporné, ale z 3 = 1+t a to je nezáporné jen když t -1, z4 = ½ - 1/2t takže nezáporné jen když t 1 - výsledný interval je <-1,1> řešení x = (2,2,0,0) takže v dílně se nic neděje, ale zisk se změní o 2t tedy z 0 = 2t c 1 je v intervalu <2,4>, pokud cena překročí hranice, tak tabulka není optimální Interval stability cen druhého výrobku X 1 X 2 X 1 X 2 b X X Z t Poslední tabulka C B X 1 X 2 X 1 X 2 b 3 X /2 2 2+t X Z t ½ + t 10+2t - první výrobek stojí 3*2 = druhý výrobek stojí 2(2+t) = 4+2t dohromady t růst je 2t (takže o 2000 na jednotku) - c = (3, 2+t, 0, 0) 1 nad 0 je sloupec X 1 - z 1 = (3,2+t)(1 nad 0) 3 = 0 - z 2 = (3,2+t)(0 nad 1) (2+t) = 0 - z 3 = (3,2+t)(1 nad -1) 0 =3 2 t = 1 t takže t 1 - z 4 = (3,2+t)(-1/2 nad 1) 0 = -3/ t = ½ + t takže t -1/2 - platí že t je součástí <-1/2,1> - c 2 je součástí <3/2,3> v tomto intervalu se nemění první, třetí a čtvrtá cena a nemění se ani kapacity a pak se cena může pohybovat v tomto intervalu, aby bylo optimum - jestliže je v optimálním z-řádku z-koeficient rovný nule, tak je i další tabulka optimální a optimálních řešení je nekonečně mnoho. V grafické podobě jde o omezení ve dvou vrcholech a řešením jsou všechny body na přímce mezi těmito vrcholy. 11

12 Příklad: x 1 + 4x 2 12 x1,x2 0 2x 1 + 2x 2 4 Z = 2x 1 + 4x 2 max x 1 + 4x 2 + x 1 = 12 x 1 0 2x 1 + 2x 2 x 2 = 4 x 2 0 x 2 je záporné, protože rovnice je 4 2 2x 1 4x 2 = 0 pomocná proměnná X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 B X /1 X /2 Z Z tady nejde použít simplexová metoda, protože není jednotkový sloupec u X 2, není tedy kanonický tvar. Avšak, můžeme přidat další sloupec v jednotkovém tvaru, ale hrubě jsme porušili zadání. Výchozí základní řešení, které jsme udělali přidáním dalšího sloupce: x= (0,0,12,0,4). Toto řešení není přípustným řešením úvodní úlohy. I pokud by počítač zjistil, že je optimální, tak jej nelze přijmout. Prvním úkolem dvoufázové metody je anulovat proměnnou, kterou jsme přidali. Tuto proměnnou můžeme vyškrtnou pomocí minimalizace x 1. Stahujeme ji z hodnoty 4 na hodnotu 0. min x 1 z = x min. A přidáme do tabulky. Opět ověřujeme podmínky simplexové metody - nezápornost pravé strany a jednotkové sloupce, což nejsou, ale přičteme řádek X 1 k řádku Z. Klíčový sloupec je ten, který je v případě minimalizace kladný a pak podíly B/x. Jako klíčový sloupec vybral první sloupec. Klíčový prvek je ten červený. X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 B X ½ -1/ /3 X /2 ½ 2 2/1 Z Z

13 Test optima je splněn, protože jde o minimalizace a tedy hodnoty musí být záporné. Řádek Z se už nezmění, neboť jsme se dostali na množinu přípustných řešení. Největší záporná je ve sloupci X2. Nejmenší poměr je u řádku X1. X 1 X 2 X 1 X 2 B X X /2 2 Z Toto řešení není optimální, neboť v Z řádku je záporné číslo. Řešení je teď v grafu (0,2) Vystupuje X 1 a vstupuje X 2. Pořád musím být v kanonickém tvaru X 1 X 2 X 1 X 2 B X 1-3/2 0 ½ 1 2 X 1 ¼ 1 ¼ 0 3 Z Hodnota Z opět vzrostla, ale řešení konečné to není, protože v Z-řádku je záporné číslo. X 1 X 2 X 1 X 2 B X X Z Příklad: x 1 + x 2 1 x 2 2 Z = x 1 + x 2 max V tuhle chvíli zde není žádné řešení. Řešení: x 1 + x 2 x 1 1 x 2 x 2 2 Z - x 1 - x 2 = 0 max X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 B X /1 X /1 Z Z Vystupuje x 1. 13

14 X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 B X X Z Z Z vystoupit stále nemůže, i když má všechny proměnné -1, ale B-sloupec není rovný nule. Test optima však říká, že dál to už nejde. Hodnoty nula není možné dosáhnout, protože zde neexistuje žádné přípustné řešení. Cílová programování (GOAL prog.) 4x 1 + 2x 2 12 x 0 x 1 + 2x 2 8 z = 2x 1 + 3x 2 max x = (1,33; 3,33) z = 12,6 jak, ale dosáhnout zisku 13? Účelová funkce je 12,6 a ta je optimální, ale oni chtějí, aby byla 13. Naše odpověď? S těmito kapacitami není možné dosáhnout zisku 13. Pokud však dojde k uvolnění, pak je možné řešení 13 dosáhnout a tím se zabývá cílové programování. 2x 1 + 3x x 1 + 2x 2 12, jenže já to musím změkčit. 4x 1 + 2x 2 + d + 1 d - 1= 12 d + 1 kolik suroviny ušetřím d - 1- kolik suroviny bude potřebovat navíc d + 1*d - 1 = 0, d + 1, d x 1 + 2x 2 + d + 2 d - 2= 8 d + 2*d - 2 = 0 d + 2, d Z = d d min Z = 13 x = (1,25; 3,5) d + 1= 0 d - 1= 0,25 14

15 Vícekriteriální programování 0 x1 6 0 x2 7 x1 + x f1 = 3x1 + 5x2 --- max f2 = 3x1 + x max 39,6 D A [3;7] [6;4] B f*1 = 44 [mil] f2 = 16 f1 = 38 f*2 = 22 3 ks prvního výrobku, 7 ks druhého výrobku f*1 = 44 optimum f2 = 16 6 pouze optimazilazce f1 [3;7]( do f2 jsem pouze dosadil neoptimalizoval jsem f2, ale f1) 2 pokusím se zoptimalizovat f2 ale zadání optim pro obě funkce. Co to je optimální řešení pro více funkcí nelze porovnat 2 řešení a porovnat je a říct to nejlepší = není tato množina uspořádaná z tohoto hlediska jeto nesmysl. Ale v praxi má smysl když ne obě max, tak kompromis aby nebyli extrémně velké a malé hodnoty a 1 řešení bude dominovat c: f1 = 20, f2 = 20 toto řešení je dominováno bodem B (B dominuje C), v obou kritériích je řešení B lepší než v kritériu C (jednou je v B 44 a jednou 22 což je větší než 20). Výsledný bod C bych nikdy neměl předávat,protože je dominován. Pokud bych doporučil dominovaný bod, tak bych doporučoval špatné řešení. K dominovaným kritériím existují lepší řešení. My se bavíme jen o nedominovaných. Nedominované jsou takové, ke kterým neexistuje lepší řešení. 44 je nejlepší možné a pokud budu zvyšovat 16, tak si maximálně můžu v f*1 pohoršit. Nedominované můžeme nahradit slovem dobré řešení. hledáme dobré kompromisní nedominované řešení je mnoho metod např: Metoda vah - simplexova metoda pouze 1 kritérium nejjednodušší sečíst, pokud jsou rozdílné parametry: váhy a sumu váha 0,7 f1 = 3x1 + 5x2 --- max váha 0,3 f2 = 3x1 + x max - f = 0,7 (3x1 + 5x2) + 0,3(3x1 + x2) = 3x1 + 3,8x2 --- max (to už budu dopočítávat v lingu) Problém je, kde sehnat váhy - metoda přináší funkci, která má již trochu jiné koeficienty a to 3 a 3,8, ale opět končí ve vrcholech jako v předcházejícím obrázku. Metod ústupků - ve výsledku už dává kompromis mezi bodem A a bodem B (první maximalizuje produkt, druhý maximalizuje vývoz). My nechceme maximalizovat, my chceme něco mezi. Jestli chci maximalizovat první, pak nemůžu chtít maximum na druhém... - Nejdříve musíme zjistit, o kolik můžeme klesnou s první účelovou funkcí. On navrhuje 10% ze 44 mil, což je 39,6 mil. Pokles f1 je možný na hodnotu 39,6. Musíme najít všechny přípustné body, které dosahují hranice 39,6, vyjádřím matematicky: o 3x1 + 5x2 39,6 15

16 o D = [5,2; 4,8] f1 = 39,6 f2 = 20,9 - Maximalizaci převedu na minimalizaci tak, že vezmu(udělám) mínus funkci, jinak je to totéž. Celočíselné programování problém batohu V1 V2 V3 V4 V Zisk maximal jsme na aukci, kde auto má nosnost maximálně 1000 kg a nabízejí nám 5 věcí z aukce. U každého výrobku se máme rozhodnout, jestli ho budeme brát. Bude 5 proměnných. x1 může nabývat hodnoty 0 nebo 1. x2 = 0 x 1 x3 = 0 x 1 x4 = 0 x 1 x5 = 0 x 1 Z = 4x1 + 7x2 + 11x3 + 8x4 + 9x max - to je účelová funkce. 500x x x x x Omezením je nosnost vozidla Má jen jedno omezení a výběr ano/ne. Když by tam byl odvoz stolků, tak by tam byly podmínky celočíselnosti. V1 V x 1 + 2x x 1 + 2x x 1 + 3x 2 max x 0 dopisuji později: x1 = 100 y y2 y 1 + y 2 1 y 1 ;y 2 {0;1} x 1,2 0 Nyní jde o diskrétní proměnné, protože mohou nabývat jen určité hodnoty. optimální x = (133;333). Představme si, že jsme toto řešení předali, ale řekli nám že to není možné protože x1 může být vyráběn jen v množství 0, 100, 500, tedy x 1 {0; 100; 500} rozhoduje, kolik se budr vyrábět výrobků y1 = 1 (vyrábí se 100 ks V1) x 0 nebude se vyrábět y2 = 1 (vyrábí se 500 ks V1) x 0 nebude se vyrábět na základě proměnných y platí že: x 1 = 100y y 2. Jeho řešení: V1 V2 X Chyba (600 je moc) y 1 + y

17 Výrobní problém fixní náklady V1 V Z 2 3 Fix X dolní X horní Jestliže výrobek V1 nevyrábím, tak se 500 neplatí a pokud vyrábím tak se platí, to platí i pro V2. x dolní je minimální velikost výroby, jestliže se vyrábí x1, x2 znamená, kolik ks se vyrábí 4x 1 + 2x x 1 + 2x z = 2x1 + 3x2 500y y 2 y 1 = 1 (jestliže se vyrábí V 1 ) nebo 0 (pokud se V 1 nevyrábí) y 2 = 1 (jestliže se vyrábí V 2 ) nebo 0 (pokud se V 2 nevyrábí) x 0 x 1 > 0 pak y 1 = 1 x 1 = 0 pak y 1 = 0 x 2 > 0 pak y 2 = 1 x 2 = 0 pak y 2 = 0 50y 1 x 1 300y 1 30y 2 x 2 400y 2 Bin packing problem V1 V2 V3 Váha Kusů Y = 8000 kg. Jde o to, kolik jízd se má provést (kolikrát se auto bude točit), aby jízd bylo co nejméně. Jak to naložit. x ij 0 počed ks V i, které naložíme do vozidla (kontejneru) k j x 1j = 65 počet kusů které se dají do prvního vozidla a odvézt musím 65 kusů. x 2j = 68 počet kusů které se dají do druhého vozidla a odvézt musím 68 kusů. x 3j = 150 počet kusů které se dají do třetího vozidla a odvézt musím 150 kusů. Tohle mi zajistí, že budou odvezeny všechny výrobky. Ten plán však může být nepřijatelný a proto musím bilancovat vozidla. 1. kontejner: 50x x x y 1 1. výrobek do 1. kont., 2. v do 1. kont. 2. kontejner: 50x x x y 2 j-tý kontejner: 50x 1j + 86x 2j + 63x 3j 8000y j j = 1,2...m (kde m je max. počet jízd) Není účelová funkce zatím dá plán rozvozu, potřebujeme však minimalizovat počet vozidel. opět proměnné y 1 = 1 x 0, y 2 = 1 x 0, y m = 1 x 0; y i ---- min = y 1 + y y m Simplexovou metodu zatím nelze použít, protože tyto příklady nejsou celočíselné. řešení: 17

18 Branch and Band method metoda větvení a hranic jde o dělení jednotlivých řešení, na stále menší a menší části a výběr toho nejlepšího 3x1 + 2x2 1 x1 + 2x2 7 x je celé z = 2x1 + 3x max tahle metoda se snaží ten páse mezi 2 a 3 [3;2,5] vymazat. Bude se mi dělat strom x2 položím 2 x2 3 [2,3;2] x2 [3,1] Mám množinu řešení a hledám optimum [ 2;2,5]. Celý pás od 2 do 3 vynechávám. Teď spodní 4úhelník. z 2x1 + 3x max 3x1 + 2x2 11 x1 + 2x2 7 x 0 x2 2 x2 3 Opět vzniknou 1 čtyřúhelník a 1 trojúhelník optimum je [2,3;2] z = 10,6. Protože není celočíselné tak pás mezi 2 a 3 vynecháme x1 2 7 x= (2,2) z = 10 Nemůžu ukončit práci, protože je tu možnost ještě na lepší řešení, teď malý trojúhelníček v pravo. pro x 3 [3,1]z=9 toto řešení je nejlepší, které simplexová metoda našla. Toto řešení mě nezajímá. Teď se přesunuji na ten malý3-úhelník nahoře. z 2x1 + 3x max 3x1 + 2x2 11 x1 + 2x2 7 x 0 x2 3 řešením je: [1,3] z = 11. Teď škrtám původní řešení, protože toto je lepší. Teď už končím protože nemám co řešit. 18

19 Přiklad: 4x1 + 2x2 9 x1 + 2x2 7 x1,2 0 a celé z = 2x1 + 3x max [0,6;3,1]z=10,8 [1;2,5]z=9,5 Jako první věc se spouští simplexový mechanismus Celečíselné ptimum bude mí z menší než 10,8, v některém z možných bodů (metoda větvení a hranic (hranice je ta horní mez) 1) není celočíselné optimum provedeme dělení podle větve (0,6 = 1 nebo 0), jedno podle které proměnné provedeme větvení větvící proměnná; pás mezi (0;1) vynecháme z větvení, oželíme, protože nejsou celočíselné z=10,8[0,6;3,1] optim řeš ze simplexu x1 0 (lze x1=0) x1 1 z = 9,5 4x1 + 2x2 9 [1;2,5] z = 9,5 x1+2x2 7 x1x2 0 celé x1 2 x2 3 z=2x1 + 3x2 ---max [1,25;2] prázdné řešení x1=0 z=8,5 (horní mez) proto nemusím simplex řeše: [0;3,5] neceločíselné, opět větvím x2 3 x2 4 [0;3] prázdné řešení z=9 hledat ani počítat, protože řešení jsou pod úrovní 9 z druhého sloupce, které už máme 19

20 Metoda B and B algoritmus: - pracuje s množinou neprozkoumaných větví na začátku obsahuje jen jedinou větev a to zadání úlohy - z* = průběžné nejlepší řešení účelové funkce a příslušná hodnota bude x* 1. výběr neprozkoumané větve o řešíme standardně simplexovou metodou a) větev nemá řešení pak se vracím zpět na jedničku a větev smažu z množiny neprozkoumaných větví, abych ji nedělal znovu. Metoda končí, když prozkoumám všechny větve a nic nenajdu b) optimální řešení x 0 a z 0 2. je-li z 0 z* - znovu se vracím na jedničku 3. je-li x 0 celočíselné pak za x* dosadím x 0 a za z* dosadím z 0 není li x0 celočíselné větvíme vytvoříme další 2 větve, které přidáme do množiny neprozkoumaných řešení 4. a) volba celočíselné proměnné x 0 k která není celá větev 1: xk [x 0 k] větev 2: xk [x k 0 ]+1 obě větve množině neprozkoumané větve jde se na jedničku, končíme až prozkoumáme všechny větve n-člených binárních vektorů je 2 n a to je maximální počet řešení, které budeme muset řešit tedy 2 n modelů (úloh lineárního programování) když je to bez podmínky celočíselnosti, tak se říší jen jeden model. Výpočetní složitosti - popisuje nebezpečí metody větvení a hranic - zabývá se dobou, která uplyne od počátku do konce algoritmu. počítá se horní odhad v závislosti na rozsahu úlohy (např. počet celočíselných proměnných n) - n je rozsah modelu, u matice je to počet řádků a sloupců - výpočetní složitosti je funkce f(n), která představuje řád horní meze výpočtu tuto funkci počet kroků nepřekročí - rozeznáváme algoritmy lineární (násobek daného počtu prvků horní hranice je n) logaritmus n n log n řazení pole podle velikosti nějakého klíče (quick sort) n 2 buble sort polynomiální n 3 inverze matice inverze operací říkají jak roste náš algoritmus až 2 n exponenciální Příklad: doba operace 1 mikrosekunda: 20operaci n s n log n 86 mikrosek 0,3 mili sek 0,4 mili. sek 10 sek n 2 0,4 milisek 1,6 mili sek 10 mili sek 20 sek n 3 8 milisek 64 mili sek 1 sek 17 minut 2 n 1 sekunda 11 dní let 20

21 teorie se zabývá fungováním rychlosti algoritmů suboptimální řešení po určitém čase či počtu kroků řešení zastavím a předám jen tyto částečná řešení optim. řešení většinou hned na začátku a pak už jen ověřování, že tomu tak je LINGO: model: MAX= 2*x1 + 3*x2; 4*x1 + 2*x2 <= 9; x1 + end SETS zabývá se poli a to jedno a více rozměrnými (popis matic) SETS: DOD/1..4/: A; dodavatelé a jsou 4 složky A(1), A(2), A(3), A(4) ODB/1..5/: B; odběratelé a je vyhrazeno 5 míst B(1), B(2),...,B(5) MAT(DOD,ODB):X,C; matic z dodavatelů a odběratelů (řádky, sloupce) X(1,1), X(1,2) ENDSETS; C je další matice DATA: A=100,50,40,70; dosadí za A konstanty B=20,40,80,100,60; C = (4 řádky a 5 sloupců... ; ENDDATA; 1. řádek c, x, > min xij 0 2. řádek 3. řádek i j i x x ij ij j i j i j Ai pro všechna i = B j pro všechna j Model v lingu: MIN= C(1,1) * X(1,1) + C(1,2)*X(1,2)... nebo jednodušší varianta: MIN=@SUM(MAT: C*X); toto je účelová funkce, první řádek <= A(I);); 2. <= B(J);); 3. řádek STATOS WINDOW průběžný výpis informací, k čemu zatím došel, jaké je zatím nejlepší řešení, hodnota účelové funkce nejlepšího základního řešení, odhad účelové funkce nejlepšího základního řešení REPORT WINDOW jsou tu i redukované ceny, (proměnné (omezení, duální hodnoty (duální ceny) ILP integer linear model 21

22 NLP non linear model OPTIONS: - nastavování parametrů: TOL integrality 10 - X 10-6 tak OK to je v toleranci lze nastavit Grafy (teorie grafů): V= {1,2,...,n} množina grafů, je to množina, která je konečná H VxV podmnožina kartézského součinu - jde o kolečka s čísly, umístění na papíře je libovolné - druhý grafický prvek je dvojice a to tak, že kolečka s čísly spojíme například úsečkami ve dvojice V = {1,2,3,4} H = {(1,2);(1,5);(1,4);(3,4)} grafy orientované (di graf každá hrana má svou orientaci) grafy neorientované Problémy, které se prostřednictvím algoritmů vytvořenými pro grafy řeší graf je úplný, pokud všechny dvojice, které existují jsou spojeny cesta grafu je cesta z jednoho bodu do jiného ceta z 1 do 5 je cesta z 1 do 2 a z 2 do 5 uzavřená cesta = cyklu, jde o posloupnost hran, které na sebe navazují a první začíná tam, kde poslední končí cyklus hamiltonův prochází všechny uzly právě jednou eulerův obsahuje všechny hrany právě jednou, začíná, kde končí (nekonečná smyčka) graf - souvislý z každého uzlu se dostanu po hranách do každého uzlu graf nesouvislý například 1 graf, který má 2 oddělené části strom graf, který je souvislý a neobsahuje žádný cyklus CPM Critical path method CPM/PERT Analýza projektů projekt se nejdříve namodeluje a pak teprve počítá graf obsahuje určité milníky (splněné etapy) a hrany, mohou tam být názvy činností (abychom věděli o co jde) Analýza projektu, který má zajistit závod, kde bude administrativní budova a tovární hala. K tomuto závodu povede železniční vlečka. Tento projekt někdo namaloval a tím vytvořil síťový graf. 22

23 Obsahuje 9 milníků 1. milník všechny plány schváleny a může se začít kopat a 9 milník, znamená zahájení výroby. Každý milník znamená ukončení činností, které do něj směřují (prohlásím za hotovou, pokud jsou všechny činnosti ukončeny) Není možné, aby začal další milník, pokud není ukončen předcházející (milníky, které do něj vstupují - jsou na sobě závislé). Z počátku může jít i více samostatných větví. Mohou být i fiktivní uzly, které zajistí že se 2 nezávislé větve v určitém místě setkají. (nelze instalovat technologii, pokud není hotová vlečka) Časová analýzy (síťový graf) - analýza toho, kdy mají jednotlivé firmy na jednotlivé části práce nastoupit a vykonávat je - dělá se buď ručně nebo tabulkově CPM skládá se ze 2 etap 1. etapa - do uzlu číslo 1 dosadím nulu (připravena k termínu nula pro přípravu realizace) Nejdříve skončí v termínu 3. Pak to postupně přičítám. Jestliže se u některých sbíhají různé větve, tak se bere ta pozdější doba zahájení, aby byly připraveny obě dvě a ne třeba jen jedna. T= XXX, = nejbližší možný termín, kdy se bude moc při nejlepším možném případě začít vyrábět 2. etapa horní hranice (kdy nejpozději). Nejzazší termíny jsou v pravo. V příkladě vyšlo optimálně za 23, my si nastavíme, že chceme, aby to bylo nejdéle za 23 a to z důvodu, abych začal co nejdříve splácet dluhy. Časové rezervy případě, kdy se sbíhají jednotlivé uzly a jsou zde různé doby dokončení. Nekritická činnost jsou zde rezervy pro dokončení U kritických činností se kreslí dvojitá čára nebo barevná (je zde nulová nebo minimální rezerva) Odečítám od opti málního času následujícího milníku dobu trvání předcházejícího (jdu zpětně) a rozdíl levé strany a čísla na čáře nám dá rezervu Řešení tabulkově na počítači. - každý řádek tabulky představuje jednu čáru v grafu 23

24 - správný graf by neměl obsahovat cyklus (síťový graf je acyklický), měl by mít jeden začátek a jeden konec. Začátek je uzel, do kterého nevede žádná hrana. 1 není v druhém sloupci a 9 není v prvním sloupci (takže 9 je poslední) i, j t ij 0 T i T 0 i +t j T 1 1 j -t ij T j rezerva 1, C 1, , C 2, , , , , C 6, , C 8, C Rezervy: dvojka je pouze v pravé straně a proto ji mohu řešit. Do pětky vede jen jedna činnost a proto ji teď řeším Jako poslední bude 9. uzel, který ze všech devítek vyberu ten s největším číslem a to je naším řešením. C = kritická činnost j T i 0 T i 1 T j 0 T j 1 RV ij = 4 RC ij = RN ij = RZ ij = 3 RV = volná rezerva RN = nezávislá rezerva RZ = rezerva závislá horní část je optimální spodní část jsou nejpozdější doby nastoupení RC ij = T j 1 (T i 0 + t ij ) RV ij = T j 0 (T i 0 + t ij ) RZ ij = T j 1 (T j 1 + t ij ) RN ij = T j 0 (T i 1 + t ij ) 24

25 Zkracování kritické cesty , 400 tis 10 T= tis 7 3 2, nelze zkrátit Pokud chci zkrátit projekt, tak se musím dohodnout s dodavateli, zdali to půjde, ale to zřejmě bude spojeno s vyššími náklady (více pracovníků, mimořádné změny. Například u činnosti 1 je možné zkrátit z 5 na 3 měsíce a to bude stát o 200 tis. víc. Zkrácení činnosti 2-4 lze o 1 měsíc a stát to bude 300 tis. Činnost 3-4 nelze zkrátit z technologických důvodů. Cílem je zkrátit T=8, ale půjde to. Při zkracování si musíme všímat kritické cesty a tu po nejmenších možných dobách zkracovat. V našem případě zkracování po měsících. Zkracovat postupně. Nejdříve jednu činnost a uvidí se, co to udělá. Nejdříve zkrátíme činnost 1-2, protože je nejlevnější T= Kritická cesta zůstala, ale doba se zkrátila na 9. Celková doba je součet dob trvání na kritické cestě. Náklady jsou o vyšší, protože jsme zkrátily činnost 1-2. Další zkrácení se provede stejným algoritmem, protože opět činnost 1-2 je levnější než činnost 2-4, které jsou obě na kritické cestě. Činnost 1-2 teď zkracujeme na 3 měsíce a zaplatíme proto dalších 200 tis. navíc, což znamená celkem už 400 tisíc T=8 N=

26 Cíl jsme splnily,protože jsme zkrátili původní dobu 10 měsíců na 8 měsíců. Celkové řešení však stojí o 400 tisíc více Metoda Pert - je to zobecnění a rozšíření metody CPM. Počítá s tím, že předem nevíme přesně doby trvání činností - u každé činnosti by mělo být doba trvání, ale zde tomu tak není a my se ho dozvíme až ve chvíli, kdy se uskuteční. Má beta rozdělení doby trvání činnosti mezi uzlem i a j. - Má nejmenší a největší možnou hodnotu, nejmenší číslo je optimistický odhad. Pesimistický odhad je trvání za nejhorších podmínek. Největší pravděpodobnost má modální hodnota. My chceme tyto tři údaje od dodavatele. - t 0 ij t m ij t p ij Střední hodnota t ij = (t 0 ij + 4*t m ij + t p ij) / 6 rozptyl - σ 2 ij = ((t p ij t 0 ij)/6) 2 = ((3-1)/6) 2 = (2/6) 2 = 1/9 Metoda Pert počítá celkovou dobu trvání, jenže tu nelze takže počítáme střední hodnotu a rozptyl. Střední hodnotu trvání činností spočítáme prostřednictvím metody CPM. Teď bereme čísla před závorkou a spočítáme celkovou dobu (čísla před závorkou je střední hodnota z čísel nad čárou). Celková doba má normální gaussovo rozdělení. 26

27 T=39 T 90 Na celkovou dobu má vliv jen kritická činnost. Nekritické činnosti mají rezervy a proto kritickou dobu neovlivní neboť výkyvy se pokryjí rezervou. Celková doba je ovlivňována jen kritickými činnostmi, její střední hodnotou a směrodatnou odchylkou. σ 2 T = σ σ σ 2 56 = 100/9 + 16/9 + 16/9 = 132/9 = 14,6 = cca 4 Střední hodnota je 39 měsíců a směrodatná odchylka je 4 měsíce T = N(39;4) Jaká je však pravděpodobnost, že celková doba T za 39 měsíců vskutku bude? Pravděpodobnost je plocha pod 39 na grafu. Pravděpodobnost je 50%. P(T 39)=0,5. T 90 = chci to s pravděpodobností 90%. Používá se normované normální rozdělení. Podle tabulek T 90 = 1,3. (T-T )/σ T = Z (T 90 39) / 4 = Z 90 = 1,3. T 90 = Z 90 * T 90 = *1,3 T 90 = 44,2 Chci to mít hotové za 43 měsíců. Jaká je pravděpodobnost, že to do 43 měsíců stihnu? P(T 43) = P((T-T ) / σ T (43 T ) / σ) = P ( Z (43-39) / 4) = 0,84. Termín do 43 měsíců splním s pravděpodobností 84%. Nákladová analýza z časové analýzy odvodí, kolik potřebuji peněz v jednotlivých rocích (měsících...). Je to součet všech nákladů, které se provádějí podle časové analýzy v daném časovém období. Některé jsou schopné podle limitů finanční prostředků stanovit časovou analýzu. Grafy typu MPM - uzlově definovaný graf - my jsme dělali hranově orientovaný graf, kde hrana představovala činnost a v tomto typu je činností uzel 27

28 0 Zemní práce, trvají 3 měsíce stavba adm. budovy Začátek stavba haly terénní. úpravy Konec hrany představují logické a časové vazby. Vazba může mít časové ohodnocení, které říká, kdy se může začít další práce. Když je nula, tak se může začít hned. Když je kladná, tak říká, jak dlouho se musí čekat, než započnou další práce v dalším čtverečku. Pokud je záporná, tak říká, že určitý čas před ukončením se může začít už další činnost Neorientované grafy - grafy na modelování sítí (komunikační, silniční, teplovodní...) - P5: hrany = silnice ohodnocení v km - uzly = města model mapy Hledáme nejkratší cestu z Kralup do Vraného. Metoda hledání nejkratší cesty z grafu. Není rozhodující kudy jedeme, ale rozhoduje, kolik kilometrů najedeme. Řeší se to tabulkou, která má stejný počet sloupců jako je uzlů v grafu. Nejkratší cesta (4 km) 1 (4) 1 (16) 1 (8) 3 (7) 5 (7) 2 (13) 3 (16km) 4 (12km) 4 (12) 2 (12) 4 (10) 7 (15) 4 (10) 4 (8 km) 7 (13) 5 (7) 3 (12) 6 (7) 5 (10) 5 (10) 7 (10) 6 (15) 7 (10) 27 číslo platí pro 5. uzel

29 V celém výpočtu hrají vliv 2 množiny. Množina uzlů kam znám cestu a množina uzlu z kterých cestu neznám. Nejkratší cesta je z bodu 1 do bodu 1. Druhou množinu tvoří zbylá čísla. Nejdříve vyškrtám všechny cesty do jedničky, protože tam jistě nepojedu, když tam jsem. Následuje cesta do dvojky. Tvrdí, že do dvojky se nedostane kratší cestou než 4 km. Do 2 uzlů umím cestovat optimálně. Z uzlu 1 do uzlu 1 vzdálenost 0 km. Z uzlu jedna do uzlu 2 se vzdáleností 4 km. Všechny ostatní dvojky vyškrtám, protože to jsou delší cesty. Z těchto 2 míst se posouvám do uzlu 4 a nejmenší vzdálenost je 8(km). Jako první jsem jel do Velvar, pak do Veltrus a teď jedu do Slaného (což je číslo 3). Z trojky je možné jet třeby do 5 a to je 16 km, které mám z jedničky a přičtu 7 km, které jsou do pětky. Vždycky vybírám ty nejkratší činnosti Hlavní cíl byl dostat se do vraného. Nás zajímají hrany (tučné a kurzívou) a ta je nejkratší, což je hrana končící v 6 a před ní předchází uzel 5. Najdeme kde je v rámečku pětka a vezmeme kilometry a jí předchází nějaký uzel a ten znovu budu hledat km km km N0 nejkratší cesta z výchozího bodu N1 ostatní uzly Algoritmus: - N 1 prázdná ---- konec - na množinu N 0 : sečteme ohodnocené Vj (číslo nad sloupcem) + délky hran příslušných sloupců - Vybereme minimum a ta která je nejmenší tu dáme do rámečku (tučný) Pozn: Sčítám postupně horní číslo s každým spodním a ten součet, který je nejmenší se dá do rámečku. Tahle cesta vede do nějakého čísla např. 1 a jedničky tedy ve všech jiných umístěních vyškrtám. Znovu se jde na bod 2 a opakuje se takhle dokola. Výsledkem je matice délky nejkratších cest, kterou se dostanu z bodu A do cílového bodu. Forma tabulky. Rozmisťovací problém umístění skladu Příklad: Mám 7 závodů a v jednom z nich chci umístit sklad, ten může být v kterémkoliv z těchto závodů. Podmínkou je že bude uvnitř jednoho ze závodů.úkolem je z těchto sedmi variant vybrat tu lepší. Hledáme místo pro umístění skladu. Kritérium: jediné kritérium, aby byl sklad blízko Kralupy Veltrusy Slaný Velvary Zlonice Vraný Bříza suma MAX Kralupy Veltrusy Slaný Velvary Zlonice Vraný Bříza XXXX

30 V = 15 Medián grafů minimalizuje součet vzdáleností do všech ostatních uzlů. Matice nejkratších vzdáleností. Součet v řádku, který je minimální je nejlepší. Vážený medián tam kde pojedeme dvakrát, tak sloupec násobíme dvěma atd. Provozovny, kde se jede vícekrát, vynásobíme a pak se opět sečtou data v řádku a najde se minimum. Pokud uvolníme předpoklad, že sklad musí být v uzlu, pak řešení je nekonečně mnoho. Bylo dokázáno, že na hranách neleží žádné lepší řešení. Dvoumedián firma je bohatá a může si dovolit dva sklady. Pak je zbytečné aby všichni jezdily do jednoho skladu, ale rozdělíme je tak, aby jezdily do jednoho z dvou skladů, mohou si vybrat. Možností je celkem 7 nad dvěma Příklad: Zadání stejné jako u předchozího příkladu. Kralupy Veltrusy Slaný Velvary Zlonice Vraný Bříza suma MAX Kralupy Veltrusy Slaný Velvary Zlonice Vraný Bříza XXXX Řešení: Počet řešení je 7 nad Kralupy Veltrusy Slaný Velvary Zlonice Vraný Bříza suma MAX (1,2) (1,3) (1,4) 43 (1,5) (6,7) 50 Počítám nejkratší vzdálenosti do dvojskladu. Vzdálenost do jedničky je nula, protože jednička jezdí z jedničky do jedničky. V dvojce je nula, protože dvojka jezdí do dvojky. Trojka jezdí do Kralup (jedničky), která je blíž než Veltrusy. Pokud se jezdí z některého skladu vícekrát, tak ten sloupec násobím příslušným počtem jízd. 30

31 Centr graf nejde o sklad, ale například o nemocnici, hasiče... Nevíme, kolikrát se pojede. Dopravní náklady zde nerozhodují, protože jde o životy, majetek... Mám 7 vesnic tak, jak je v grafu. Na penězích nezáleží. Jde pouze o to, aby všichni měli záchranku blízko. Mám 7 variant. Kralupy Veltrusy Slaný Velvary Zlonice Vraný Bříza MAX Kralupy Veltrusy Slaný Velvary Zlonice Vraný Bříza Maximální rádius je 25 kilometrů u varianty Kralupy. Dojezdová vzdálenost je právě rozhodující kritérium Varianta Veltrusy dojezdová vzdálenost je maximálně 28 kilometrů. Vybírám variantu Velvary a Břízu. Z těchto můžu dalším výběrem vybrat konkrétní město. Volný (absolutní) centr, který je na hranici a může dát lepší výsledek. Špatně se řeší, protože na hraně může být nekonečně mnoho bodů. Může být tedy lepší než prostý centr graf. Vícecentr - Počítá se stejně jako medián, ale narozdíl od něj nesčítáme, ale v řádku hledáme maximum. Příklad: Cílem položit kabely z každého uzlu do každého. Nejde ze každého do každého, protože nemáme tolik peněz. Cílem propojit všechny uzly, aby se každý účastník domluvil s každým účastníkem, ale aby byl počet kabelů minimální jde o MINIMÁLNÍ KOSTRU GRAFU. MINIMÁLNÍ KOSTRA GRAFU Postupně do grafu propojuji uzly s nejkratšími vzdálenostmi. OBRÁZEK: Celkový počet hran je 46 kilometrů a on tvrdí, že graf je souvislý tedy z každého uzlu existuje propojení do každého uzlu. Otázkou je, jestli je řešení nejlepší. Tento postup dává optimální řešení. 31

32 Úloha obchodního cestujícího Přklad: Máme sklad, který je v Kralupech. Z tohoto skaldu vyjíždí dodávka, která má objet všechny města a má se vrátit zpět. V každém městě má být právě jednou a najetý počet kilometrů má být minimální. Řešením je pořadí navštívených měst. Opět vycházím z matice Kralupy Veltrusy Slaný Velvary Zlonice Vraný Bříza suma MAX Kralupy Veltrusy Slaný Velvary Zlonice Vraný Bříza XXXX Matematický model a hledám optimální řešení: - nejdříve naplánujeme proměnné, budeme značit písmenem X ij. Nejde ani o km či kg, ale jde o rozhodnutí a proto mají hodnotu 1 nebo 0 a znamenají, zdali do daného uzlu pojedu či nepojedu. Jednička znamená že jedu z uzlu i do uzlu j. Průjezdy uzlů neberu v úvahu. Matice se značí C a C = {c ij } vzdálenost kilometrů. Skutečně najeté kilometr lze vyjádřit: c ij x ij ---- min. Pro i j nemá smysl řešit - Musíme zajistit, že se do každého uzlu pojede a že se z každého uzlu pojede. - Řádky znamenají odkud jedu a sloupec kam jedu. Jedu z 1 do x ij = 1,pro všechny i = 1,2,...,n, - dělá se i součet ve sloupci x ij = 1,pro všechny j = 1,2,...,n Matice: X X X X X Jsou zde particální cykly a proto toto řešení nelze přijmout, protože to není nejlepší řešení. Naším cílem, aby nebyly cykly a k tomu slouží Smyčkové podmínky, které nepropustí toto řešení. Podmínek je tolik, kolik je hran. Pro každou hranu vytvářím smyčku ve tvaru: u i + 1 n(1- x ij ) u j, i,j = 2,...,n, i j. Tato podmínky je vytvořena pro každou hranu. Jedeme z uzlu i do uzlu j. Pak má podmínka tvar u i + 1 u j u i + 1 n u j. Podmínka platí vždy, protože n je dostatečně velké. Jde u Tuckerovy smyčky. 32

33 Tuckerova podmínka pro hranu 4, 5 je to u u 5. pro hranu 5, 4 je to u u 4. Tento cyklus neprojde pře podmínku, protože nenajdu žádná dvě stejná čísla, která by to splnily. pro 30 uzlů to je možností. Pokud n bude dost vysoké, tak dostaneme obrovský model (velké množství rovnic a proměnných), výpočet pak může trvat velmi dlouhou dobu. Model je vhodný pro malé množství n. Metody heuristického algoritmu představují výpočetní postup o kterém nikdo nedokázal, že je optimální. Je to náhražka. Nejde o matematicky optimalizační řešení. Metoda nejbližšího souseda Výjezd z Kralup a jedu tam, kam je to nejblíže, tedy do Veltrus. Sloupce, kde už jsem byl znovu vyškrtám. Z Veltrus opět hledám nejbližší místo, které je Velvary. Z Velvar je to nejblíže do Zlonic a ze Zlonic jedu do Slaného. Ze Slanéhé do Vraného (který je 14 km) a z Vraného jedu do Břízi a odtud se ještě vracím do jedničky a zpět do jedničky 17 km Celkem je délka 79, L=79 Savings Algorithm Výhodnostní čísla pořád patří k obchodnímu cestujícímu - příklady, kdy 2 města spojím mezi sebou a budu je procházet tímto způsobem - výhodnostní propojení měst 1 i j S ij = 2C 1i + 2C 1j (C 1i + C ij + C 1j ) = C 1i + C 1j - C ij S 34 = C 13 C 34 + C 14 = = = 12 33

34 x x x x x x Nejdůležitější je propojit měst 5 a 6, protože zde je největší číslo. Začínáme zprostředka, propojíme město 5 a 5 což je 7 km, tímto se vyškrtne řádek 5 a sloupec 6, protože sem už nepojedu. Ze zbytku zas vybírám největší číslo. Další je číslo 27, čímž budu propojovat 3 s 5. Kilometrů to je a přes jedničku zpět do 3 Insert Algoritmus - jedu do nejvzdálenějšího čísla od jedničky to je první minitrasa, která měří 50 km pokus č. 1 vezmu hranu z 1 do 6 a zkusím z ní odbočit do jednotlivých směrů (1-2)=4 (2-6)=28 (1-6) =25 == 7 3 (1-3) (3,6) (1,6) == 5 4 (1-4)(4,6) (1,6) == 0 5 == 0 6 == 7 další minitrasa je Délka L=50km.Šestku jsem zrušil a místo ní je hrana 4,6, ale tato trasa ještě neobsahuje všechny uzly a proto totéž budu opakovat dál. další hrana je na každou hranu vždycky vkládám zbývající uzly a ono to nějak vyjde. Další pokračování je: délka je už L=55 Další pokračování je: Teď je délka 63 km. Finální trasa je: XXX XXX