opt [ ] Vyjádření subvektory (báz. a nebáz.) B,N Index bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indexů veličin B,N

Transkript

1 1 2-LP-Lineární programování Lineární funkce i omezovací podmínky opt t X c R c R b b b R...vektor limitů (kapacitních), a i i R b A...matice strukturálních koeficientů, > b! R hod = b, 0,..vektorproměnných,...vektor cen úlohy Přípustné řešení Přípustná oblast Optimální řešení A b, 0 = Optimální hodnota Obvyklé tvary úloh: tý sloupec A X = : b, 0 = opt arg { c. X } = f = c tvar opt relace základní ma/ = standardní ma/ kanonický ma/ = normální ma/, b i >0 2 2-LP-Lineární programování Vyádření subvektory (báz. a nebáz.),n Inde bázových a nebázových proměnných β, ν Množina indeů veličin,n [ A ],[ A ], [ A ], regulární, [ A ] = N R N R =, N, c = c, cn,, c R, N, cn R b b b b b b úloha: c c N. X N A= A A řešení: b., i N = i N i= 1 i tá i tý sloupec souřadnice báze [ A ] vyádření vektoru v bázi A 1 1 = A b A AN. N = část bázového řešení při = 0 výsledné bázové řešení: 1 = A b N = 0 N a

2 3 2-LP-Lineární programování f ma f 1...unimodální řešení 2...multi modální řešení 3... bez řešení 4 2-LP-Lineární programování Základní algoritmus: 1. Výběr výchozího přípustného báz. řešení 2. if stávaící řešení nelze zlepšit pak konec inak di na Přechod k lepšímu bázickému řešení, návrat na 2. f ( ) vrstevnice f ( ) Řešení eistue Řešení neeistue V ednom z výsledných bázových řešení leží optimální řešení. Základní věta LP:Jestliže má úloha LP optimální řešení nabývá cílová funkce své optimální hodnoty v kraních bodech (vrcholů obalu) množiny přípustných řešení.vrcholy sou určeny rovnicí: c A N = 1., = 0 Hledání optimálního řešení e tedy ekvivalentní hledání přípustných bází z konečného počtu možností:. b b! =! ( b )!

3 5 2-LP-Lineární programování cena řešení: f = c. = c cn N f = c A b c A [ A ]. + c 1 1 N N N N f c fn f = c A b + c c A A 1 1 N N N b f fn ( ) 1 N N N f = c A b + c A A c b f Cena bázového řešení f N Redukovaná cena V optimálním bodě e f N 0přiimalizaci 0při ma imalizaci 6 2-LP-Lineární programování Dualita. Duální problém e negativní transpozice primárního problému Duální problém od duálního e primární { } = { } P: opt c. / A. b, 0 D : dual opt λ. b / λ c, λ omezení Primarní duální maimalizace imalizace vektor ransponovaný vektor Vektor omezení Vektor cílové funkce = ez omezení ma c λ b ma omezení proměnné b λ 0 b λ 0 = b λ volné 0 0 volné λ c λ c λ = c proměnné omezení

4 7 2-LP-Lineární programování Slabá dualita: platí c b důkaz : : t t. λ...přípustné řešení P,D t t t A b A λ bλ t t A λ tc= ct Silná dualita: c. = b. λ Uprava omezení na typ rovnosti ma c. / A. + η = b, 0, η 0 { } { } b. y / A. y ζ = c, y, ζ 0 podmínky optima obsahuí nelineární rovnice: A. + η = b, A. y ζ = c, podmínky komplementarity v maticové a µ formulaci : 0 0 = = µ µ [ diag] diagζ [ diagy][ diagη], y, ζ, η LP-Lineární programování Konstrukce duální úlohy primární duální ma funkce LP = { L( ξ )} LD( λr, λn ) = L( ξ ) λ λ R, N 0 úloha { LP } R L (, λ ) R L, λ = c. + λ. b A. = ( ) ( λ) { λ b} c λ { } ma λ, λ 0 L D N R N L, b c λ = λ + λ A L, Duální: ma { λ } λ { } { ( λ, λ )} 0 if c 0 = λb+ if c < 0

5 9 2-LP-Lineární programování Metody vnitřního bodu. Afinní cechování. Postup: 1. k=0, nalezne se striktně vnitřní bod 0 2. do dovoleného prostoru se vepíše elipsoid E k se středem ve výchozím bodě. (E k tvoří redukovaný přípustný prostor na ehož okrai lze naít eplicitní Potenciálová redukce P: c v / A v = b, v 0 ( ) D:ma λ b / λ A + η = c, η 0 řešení k ). 3. = = + = gap c v b λ λ A η v v A λ η v potenciálová funkce: F η, v = q.log η v logv log η, q> n if k k = k + 1, goto 2 inak konec 10 2-LP-Lineární programování Postupné LP: opt ( k { ) k f( ) f ( ) } ( k ) J Γ 0 + lin. funkce Γ + = podm. rovnosti Φ L { } ( k) ( k Φ J ) Φ + L ( k) U U Φ podm. nerovnosti omezení veličin J Γ, J Φ Γ, Φ Jakobiány vektorových funkcí Algoritmus postupného LP. 1. iniciace startovacího bodu ξ 0 ; k=1 2. řešení ustáleného stavu Γ ( ) = 0 R 3. e li optimalita true pak konec inak pokraču 4. linearizace fce a omez. podmínek 5. k:=k+1;lp řešení nových hodnot ξ (k)

6 11 2-LP-Lineární programování Úlohy s LP LP-Lineární programování C( Kč h 1 ) k k k 23 k 34 nákladová křivka: CP = C+ k P = 1 P = P 0 1, = 1 P ( MW ) C C L P C L E P E P C G ržní mechanizmus: C=G(P)nabídka generace výkonu při daných cenách C=L(P) Poptávka po odběru výkonu při daných cenách C E..rov. cena nabídka=poptávce formulace rovnovážné ceny : U P P = P = P PE CE = arg ma ( CL( P) CG( P) ) dp, L P C = C = C P U E L G E L G Matematická formulace úlohy: maimalizace plochy ma PC i i PC... i G L mezi křivkami P P = 0, P P 0 i i, i G L