Maturita Matematika Vzorové příklady pro opakování k profilové části maturity

Transkript

1 Maturita Matematika Vzorové příklady pro opakování k profilové části maturity 1 Operace s čísly, číselné obory 1) Která z následujících čísel jsou přirozená / celá / racionální / iracionální / reálná: 7 5 ; 3; ; 1; 0, 3; 3 ; e; 6,3 5 ) Znázorněte na číselné ose: ;3 ; 0;3 ;5 3 (bez výpočtu) ) Vypočítejte, výsledek vyjádřete jako desetinné periodické číslo, určete periodu případně předperiodu a pak zaokrouhlete na tři desetinná místa / na dvě platné číslice: 13 : 7 4) Vyjádřete ve tvaru zlomku: 6,4;,0158 5) Částečně odmocněte: 98 ; ) Usměrněte: ; ; ) Vypočtěte: ,1 + : ,5 7 8) Vypočtěte: ) Vypočtěte: ) Vypočtěte: 6,5 + 0,15.0,5 : 0, ) Vypočtěte: 1 ( 5) 1 1 0, 1) Určete čtyřciferné číslo mající současně tyto vlastnosti: je dělitelné čísly 8 a 18 v desítkové soustavě má zápis xxyy (x y) jeho ciferný součet je 18 13) Studentka si spočítala, že skripta přečte za jistý počet dní, prostuduje-li každý den 14 stran. Pokud si ponechá jeden den na zopakování, bude muset prostudovat 16 stran za den. Kolik stran mají skripta?

2 14) Vyslovte pravidlo dělitelnosti číslem 36 a rozhodněte, zda je číslo 1348 násobkem ) Určete y a D(x,y), jestliže x = 5 a n(x,y) = ) Je číslo 493 prvočíslo? Zdůvodněte! ) Zjednodušte, pokud má výraz smysl: ( 7.5 ) ) Zjednodušte na výraz obsahující jedinou odmocninu: : π 1 19) Zjednodušte, pokud má výraz smysl: 0,.0,5 π ( 0,.0,5) a Q Q Q 0) Určete výslednou množinu: ) + + Z U N b) R R c) I d) U 0 0 I 0 Algebraické výrazy 1. Co nejvíce zjednodušte výrazy a uveďte podmínky, za kterých mají smysl: 3 a) a b 5 b b) 5 3 a 3 a c) a a d) a : 6 a a Upravte do součinového tvaru:(jak nejvíce je to možné). y 3 4y 9y a 4 b + 6a 3 b + a b 4. x 6 y 6 5. (p+r) 4 r x + 6x 4a x 1 + x 5 x y 3 64x 3 9. (a +b c ) 4a b 10.x -(a+)x+(1+a)

3 11.Upravte výrazy: a) x x+3 b) x x 1.Vydělte výrazy: (1x 4 8x 3 17x +37x +50): (x 3) 13.Vydělte výrazy: (5+3x 6x 4 3x+ 10): (x 3 x 3 +3) 14.Upravte výraz a určete podmínky 1 1 x + x + 1 x 1 x 1 15.Vyjádřete ze vzorce neznámou a a t 1 s = at + vt 16.Zjednodušte a určete, kdy má výraz smysl: 17.Zjednodušte a určete, kdy má výraz smysl: n 4 n x 1 1 x 3x x 5 n 1 n+ 1 4x 16x 8x 18.Zjednodušte a určete, kdy má výraz smysl: 19.Zjednodušte a určete, kdy má výraz smysl: 0.Zjednodušte a určete, kdy má výraz smysl:

4 3 Množiny 1) Zapište výčtem prvků množiny: a) A = {n N, 3n < 15} b) B = {x R, x 4x + 3 = 0} ) Zapište pomocí intervalů množiny: a) C = {x R, -x > 18} b) D = {x R, x - 4 5} 3) Zapište charakteristickou vlastností množiny: a) E = {3,6,9,1,15,18, } b) F = (-, 7 4) Jsou dány množiny K = {1,,3,4}, L = {n N, 5n > 10}, M = {,4,8}, P množina všech sudých čísel menších než 10. Určete, které zápisy jsou pravdivé své tvrzení zdůvodněte! a) { } L b) b) K L c) c) K L = {} d) d) M L = {4,8} e) K \ L = {3,4} f) f) K \ M = {1,,3} g) g) M = P h) h) L N = {1,} 5) Je zadána libovolná základní množina U a její podmnožina A. Napište, čemu se rovná: a) A A U = b) A U = c) A {} = d) ( ) = A U U 6) Je zadána libovolná základní množina U a její dvě podmnožiny A, B. a) Na kterém obrázku je šedou barvou vyznačeno ( A B) U? b) Na kterém obrázku je šedou barvou vyznačeno A U B U? c) Jaká množina je vyznačena na obrázku č. 5?

5 Obr.1 Obr. Obr.3 Obr.4 Obr.5 Obr.6 7) Jsou dány množiny A = x Z : x 1 < 0}, B = { x Z : 1 < x 1 a) Čemu se rovná AU B? b) Čemu se rovná AI B? { } 8) Je dána přímka AB. Zapište pomocí množinových a geometrických symbolů a určete výslednou množinu: a) Průnik polopřímky AB a polopřímky k ní opačné. b) Sjednocení polopřímek AB a BA 9) V rovině jsou dány dvě poloroviny. Pokud je to možné, znázorněte jejich vzájemnou polohu tak, aby jejich průnikem byl: a) ostrý úhel b) tupý úhel c) přímý úhel d) plný úhel 10) Jsou dány množiny H = -, ) a G = (-5, 9. Zapište a graficky na číselné ose znázorněte: a) průnik množin H a G b) sjednocení množin H a G c) rozdíl množin H a G d) rozdíl množin G a H e) doplněk množiny H v R f) doplněk množiny G v R 11) Znázorněte ve Vennově diagramu pro dvě množiny (A B / ) / a (A / B) (do dvou obrázků). Porovnejte vybarvené oblasti. Předpokládejte, že množiny A, B jsou podmnožinami množiny C a vzhledem k ní určujte doplňky. 1) Znázorněte ve Vennově diagramu pro tři množiny (A B) C a A (B C). Porovnejte vybarvené oblasti. 13) Ze čtyřiceti rodin v jednom domě má 16 rodin auto i chatu. Přitom auto vlastní o 16 rodin více než chatu a není rodina, která by neměla chatu nebo auto. a) Kolik rodin má auto? b) Kolik rodin má pouze auto?

6 14) Během jednoho roku vystoupila dvakrát v jednom městě známá rocková skupina. Z 450 studentů gymnázia se koncertu této skupiny aspoň jednou zúčastnilo 90 studentů, právě jednou 00 studentů. Počet studentů, kteří byli pouze na 1. koncertu, je třikrát větší než počet studentů, kteří byli pouze na. koncertu. Kolik studentů bylo a) na 1. koncertu, b) na. koncertu? 15) Určete, které z následujících množin se rovnají: {x N; x < 0}, {0}, {x R; x }, {, 1,0,1,}, {x R; x }, Ø, {x Z; 3 < x < 3}, {x R; x 0}. 4 Výroková logika 1) Rozhodněte, která následující tvrzení jsou výroky, určete jejich pravdivostní hodnotu.: a. Jak se máš? b. Barcelona je hlavní město Španělska. c. x 3 = 5 d. - 3 < 0 e. Žádný učený z nebe nespadl f. V naší galaxii existuje alespoň jedna mimozemská civilizace. ) Sestavte tabulku pravdivostních hodnot: (A B) ( A B) 3) Sestavte tabulku pravdivostních hodnot: (A B) (B A) 4) Sestavte tabulku pravdivostních hodnot: [B (A C)] [(B C) (A C)] 5) Je dán výrok Jestliže je Bratislava hlavním městem Slovenské republiky, pak Žilina není hlavním městem Spolkové republiky Německo. Napište jeho negaci a obměněnou implikaci původního výroku. 6) Je dán složený výrok: (A B) B, kde A: Dnes bude v Praze pršet. B: Zůstanu doma. Je tento výrok kontradikce? Napište zadaný výrok slovy. 7) K implikaci Jestliže je ráno, pak mám dobrou náladu. vyslovte: a) obrácenou implikaci b) obměněnou implikaci c) negaci

7 8) Napište negaci [B (A C)] [(C B) A] 9) Někteří hazardéři nejsou inteligentní. Všichni hazardéři jsou obětaví lidé. Který závěr jednoznačně vyplývá z původních tvrzení? Někteří inteligentní lidé se nikdy nestanou hazardéry. Všichni obětaví lidé nejsou inteligentní. Všichni hazardéři nejsou obětaví. Někteří obětaví lidé nejsou inteligentní. Někteří hazardéři nejsou lidé. 10) Určete, který závěr vyplývá z následujících předpokladů: Jestliže Jarda nepřišel ke snídani, pak je nemocný. Jarda přišel ke snídani. Jarda je unavený. Jarda je doma. Jarda přišel ke snídani. Jarda je nemocný. Jarda není nemocný. 11) Napište negace výroků: (Bez použití Není pravda, že... ) Žádný učený z nebe nespadl.. Nejvýš jedno prvočíslo je sudé. 1) Adélka pronesla výrok: Jestliže nebudu mít hlad nebo nebudu mít žízeň, sním sušenku. Potom Adélka udělala toto: a) Adélka neměla hlad, měla žízeň a sušenku snědla. b) Adélka neměla hlad ani žízeň a sušenku nesnědla. c) Adélka měla hlad i žízeň a sušenku snědla. V kterých případech byl její výrok pravdivý? Napište jeho negaci. 13) Agáta pronesla výrok: Jestliže bude pršet, přijedu nebo jestliže nebude pršet, nepřijedu. Ve skutečnosti se pak stalo toto: a) Pršelo a přijela. b) Pršelo a nepřijela. Ve kterých případech je Agátin výrok pravdivý a ve kterých nepravdivý? Dokažte proč. 14) Negujte následující výroky: a. Přiletí vám do úst nejvýše dva pečení holubi. b. Každý je svého štěstí strůjcem. c. Bez práce nejsou koláče.

8 15) Negujte následující výroky a rozhodněte o pravdivosti původních výroků resp. jejich negací a. Každý trojúhelník je pravoúhlý. b. Aspoň jedno prvočíslo je sudé. c. Čísla 117 a 64 nemají žádný společný dělitel. 16) Negujte následující výroky a rozhodněte o pravdivosti původních výroků resp. jejich negací a. x,y R : (x + y) < 0 n b. n N : 1 0 = c. n N p N : p n 17) Tvrzení: Objekt nemá vlastnost A právě tehdy, když má vlastnost B. Vyberte ekvivalentní tvrzení: a. Objekt má vlastnost A v případě, že nemá vlastnost B, a pouze v tomto případě. b. Objekt, který nemá vlastnost B, nemusí mít vlastnost A. c. Objekt, který nemá vlastnost B, nemůže nemít vlastnost A. d. Objekt, který má vlastnost A, nemá nikdy vlastnost B. e. Objekt, který má vlastnost B, nemůže mít i vlastnost A. 18)Petr a Pavel čekají na své spolužáky Adama, Bedřicha a Cyrila. Petr tvrdí: Přijde-li Adam a Bedřich, přijde i Cyril. Pavel říká: Jestli přijde Adam a nepřijde Cyril, nepřijde ani Bedřich. Jsou výroky obou chlapců logicky ekvivalentní? 19) Adam řekl: Jestli se Německo letos dostane do finále, vyhraje i finálový zápas. Blanka mu odpověděla: To není pravda. Cyril řekl: Jestli se Německo letos dostane do finále, finálový zápas prohraje. Čí výrok byl pravdivý za předpokladu, že se Německo do finále nedostalo? 5 Funkce obecná vlastnosti 1) Rozhodněte, na kterých obrázcích jsou grafy funkcí:

9 ) Určete definiční obor funkce: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 3) Je dána funkce. Rozhodněte, zda existuje tak, aby platilo: a) b) 4) Rozhodněte, které funkce jsou ve svém definičním oboru prosté: a) b) c) 5) Určete, které z funkcí jsou sudé (liché) v definičním oboru a)

10 b) c) 6) Určete intervaly monotonie funkcí: a) b) c) 7) Funkce (viz obrázek): a) je sudá, je omezená b) je lichá, má lokální maximum i lokální minimum c) je sudá, je monotónní d) je lichá, není omezená 8) Funkce (viz obrázek): a) je sudá, je omezená b) je sudá, není omezená c) je lichá, je shora omezená d) je sudá, má globální maximum a lokální minimum e) je lichá, je monotónní 9) Načrtněte graf libovolné funkce, která je periodická, omezená a sudá. 10) Načrtněte graf libovolné funkce, která je zdola omezená, není shora omezená a je periodická. 11) Načrtněte graf libovolné funkce, která má globální maximum, nemá globální minimum a je periodická. 1) Určete, na kterém obrázku je graf funkce. 13) Určete, na kterém obrázku je graf inverzní funkce k funkci.

11 14) Určete, na kterém obrázku je graf funkce. 15) Funkce tangens je v intervalu prostá. Proto k funkci existuje inverzní funkce. Určete, na kterém obrázku je její graf.

12 16) Délka obdélníku je dvakrát větší než jeho šířka, která je metrů. Obdélník se změní tak, že se jeho šířka zvětší o a jeho délka se zvětší na dvojnásobek jeho šířky. Na původní šířce metrů: a) závisí přírůstek obvodu i přírůstek obsahu obdélníku b) závisí přírůstek obvodu, ale nezávisí přírůstek obsahu obdélníku c) nezávisí přírůstek obvodu, ale závisí přírůstek obsahu obdélníku d) nezávisí přírůstek obvodu, ani přírůstek obsahu obdélníku 17) Ocelový drát délky ohneme na třech místech do pravého úhlu tak, že z drátu vytvarujeme obdélník s rozměry a o obsahu. a) Vyjádřete jako funkci. b) Vyjádřete jako funkci. c) Pro které má vytvarovaný obdélník obsah? d) Pro které je obsah vytvarovaného obdélníku největší? 18) Plastová židle má prohnuté sedátko. Při zatížení se toto prohnutí zvětší, přitom prohnutí je lineární funkcí hmotnosti osoby, která na židli usedne. Když si na židli sedne člověk o hmotnosti, bylo sedátko prohnuto o, zatímco při usednutí osoby o hmotnosti bylo prohnutí sedátka rovno. Jak velké bude prohnutí sedátka, sedne li si na židli osoba o hmotnosti? 6 Funkce lineární, funkce kvadratická 1) Sestrojte grafy funkce: a) b) c) d) e)

13 f) g) h) i) j) ) Sestrojte graf funkce 3) Sestrojte graf funkce 4) Graficky řešte nerovnici v R: 5) Graficky řešte nerovnici v R: 6) Kvadratická funkce je: a) zdola omezená, minimum v bodě b) zdola omezená, minimum v bodě c) shora omezená, maximum v bodě d) shora omezená, maximum v bodě 7) Kolik čísel z množiny patří do oboru hodnot funkce? 8) Určete, v jakém bodě má funkce své maximum. 9) Určete koeficienty funkce, aby platilo. 10) Je dána funkce. Rozhodněte, které z bodů,,,. 11) Pro lineární funkci platí:. Napište předpis této funkce. 1) Graficky i početně řešte soustavu. 13) Obraz bodu ve středové souměrnosti se středem leží na parabole: a) b) c) d) e) 14) Z nádrže o objemu vytéká voda rychlostí. Najděte: a) funkci udávající množství vyteklé vody v za danou dobu v ; b) funkci udávající, kolik vody ještě v nádrži zbývá v daném čase.

14 Sestrojte grafy obou funkcí v téže soustavě souřadnic. 15) Určete předpis kvadratické funkce, víte li, že platí: funkce je sudá v, hodnota minima je a jeden z průsečíků grafu funkce s osou má souřadnice v bodě. 16) Určete předpis kvadratické funkce, víte li, že platí: funkce pro nabývá maxima, přičemž hodnota maxima je a osu protíná graf funkce v bodě. 7 Lineární rovnice, nerovnice, soustavy (Všechny fce mohou být i s absolutní hodnotou, všechny rce mohou být i s absolutní hodnotou a parametry.) 1) Řešte rovnici v oboru Z: ) Řešte rovnici v oboru R: 3) Řešte rovnici v oboru R: 4) Řešte nerovnici v N: 5) Řešte nerovnici v R: 6) Řešte rovnici v oboru R, je reálný parametr: 7) Řešte rovnici v oboru R, je reálný parametr: 8) Řešte rovnici v R:

15 9) Řešte nerovnici v R: 10) Řešte nerovnici v R: 11) Nakladatelství připravuje vydání nové knihy. Náklady na každý z prvních výtisků dosahují. Náklady na každý další výtisk jsou však už jen. Nakladatelství se rozhodlo prodávat knihu po. Jaký nejmenší počet výtisků musí nakladatelství vydat, aby za předpokladu, že všechny výtisky prodá, nabylo vydání knihy ztrátové? 1) Skupina stejně výkonných brigádníků ručně česala chmel na dvou stejně úrodných chmelnicích. První chmelnice měla dvakrát větší výměru než druhá chmelnice. Polovinu dne pracovali všichni brigádníci na větší chmelnici, druhou polovinu dne šla polovina z nich pracovat na menší chmelnici. Na konci dne byla větší chmelnice očesána, ale na menší chmelnici museli tři brigádníci pracovat ještě celý druhý den. Kolik bylo brigádníků? 13) Student se vrací z koleje na víkend domů. Ve městě vzdáleném od jeho bydliště mu ujel autobus. Proto zatelefonoval otci a domluvil se, že vyjde pěšky a otec mu pojede naproti autem. Vyšel současně s výjezdem auta a jde stálou rychlostí. Auto jede průměrnou rychlostí. Na otočení auta a nástup je třeba počítat minuty. a) Vyjádřete v závislosti na rychlosti, za jak dlouho se student dostane z města domů. b) Jaká musí být průměrná rychlost auta, aby se student dostal domů nejpozději za hodiny? 14) Kolik litrů vody teplé je třeba přidat do vody teplé, aby směs měla teplotu? 15) Řešte soustavu rovnic s reálnými neznámými: 16) Řešte soustavu rovnic s reálnými neznámými: 17) Řešte soustavu rovnic s reálnými neznámými:

16 18) Řešte soustavu nerovnic s reálnými neznámými: 19) Budou li dvě čerpadla o různých výkonech pracovat společně, splní úkol za hodin. Kdyby první rypadlo pracovalo hodiny a druhé hodin, splnila by rypadla úkolu. Za jak dlouho by splnilo úkol každé rypadlo samo? 0) Ve dvou sudech je nalita voda. Jestliže z prvního sudu nalijeme do druhého sudu právě tolik litrů vody, kolik už v něm je, a potom z druhého sudu do prvního tolik litrů, kolik už je v prvním sudu a opět z prvního sudu nalijeme do druhého sudu tolik litrů vody, kolik litrů už v něm je, bude v každém sudu. Kolik litrů vody bylo v každém sudu na začátku? 1) Vlak projíždí tunelem dlouhým. Od okamžiku, kdy do tunelu vjede lokomotiva, až do okamžiku, kdy poslední vagón opustí tunel, uplyne sekund. Od tohoto okamžiku uplyne dalších sekund, než lokomotiva dojede k výhybce, která je ve vzdálenosti od konce tunelu. Předpokládejte, že vlak jede konstantní rychlostí. Určete tuto rychlost a délku vlaku.. 8 Funkce lineární lomená, funkce mocninná, funkce odmocniny 1) Sestrojte graf funkce: a) b) c) d) e) f) ) Funkce je: a) rostoucí v intervalu b) klesající v intervalu c) rostoucí v intervalu d) klesající v intervalu

17 3) Funkce : a) protíná pouze osu b) protíná pouze osu c) protíná obě osy d) neprotíná žádnou z os 4) Funkce definovaná pro je: a) sudá b) lichá c) omezená d) rostoucí 5) Funkce je: a) sudá a má maximum b) sudá a má minimum c) sudá, zdola omezená d) lichá, není omezená 6) Funkce je: a) sudá, není omezená b) sudá, omezená c) lichá, není omezená d) není omezená 7) Určete definiční obor, obor hodnot, intervaly monotónnosti a načrtněte graf funkce. 8) Určete definiční obory funkce: a) b) c) 9) Určete inverzní funkci k funkci. Určete předpis lineární lomené funkce, jestliže víte, že prochází bodem, číslo nepatří do jejího definičního oboru a číslo nepatří do jejího oboru hodnot. 9 Kvadratické rovnice, nerovnice, rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru 1.) 3x =6x { 0,}.) x - x - 6 = 0 { 3,3}

18 3.) x - x 3 = 0 { 3, 1 } 4.) x = 0 5.) x. + = 3 x {, +, } x { 1 } x x 3 = x + { 1,,4} 6.) ) x x ) x { 1, )} x { 4,4 } x + 6x 7 9.) p 0 x ) x + 3 p 3 3x ) 3x + 1 x 1.) x 3 x ( x 1. x + 3 )( ) f 13.) ( 3)(. x + 5) 0 {( 7, 4) U ( 4,1) } 3 (, 1) U, 4 {(, 5) U (, ) } 0 3 ( 3,0) U ( 0,1) U, {( } x, 5 U 3, ) 5 x 14.) 0 p p 1 {(, 3) U ( 4, ) } x 3 15.) Pro která reálná m má rovnice x -(m-6)x m = 0 dva reálné kořeny?, 6 U 6, {( ) ( )} 16.) Pro která reálná m má rovnice mx + x + m = 0 alespoň jeden reálný kořen? 1 1, 17.) Pro která reálná m má rovnice 3x -mx + 3m = 0 jeden reálný kořen? { 0,9} 18.) Sestavte kvadratickou rovnici, jejímiž kořeny jsou čísla - a. x 4 { } 10 Iracionální rovnice a nerovnice 1.) x 7 = 5 { 16 }.) x + 7 = x + 5 { 3 } 3.) 3 + x 1 = x { 5 } 4.) 5 x + 1 = x + 1 { 0,3} 5.) 3 x + 5 = x 5 { 0 } 6.) 5 x = x 1 { }

19 7.) + x = x 10 { 3 } 8.) x + x + = 0 nemá řešení v R x { 10 } x + x 6 = { 7 } 15 x + 3 x = { 1} x + 6 x + 1 = { 1,15 } 4 + x + 4 x = { 4 } x x 1 = 3x { 1 } x + 11 x + 4 = { 7 } 1 + x x = { 9 } x 1 p {( 1,) U (, ) } 9.) = 3 x 4 10.) 11.) 6 1.) 13.) x 14.) 1 15.) 4 16.) 5 17.) x { } 18.) x + 5 f x + 3 5, 1) 11 Funkce exponenciální a logaritmická x {(, )} 1.) Určete definiční obor funkce: f 1: y=log + 1 x.) Určete definiční obor funkce: f : y =log ( 1) {( 1,0) } 1+ x 3.) Určete definiční obor funkce: f 3: y=log ( 1 x + 1 ), U 4, 3 x ( ) 4.) Určete definiční obor funkce: f 4: y = ( x + x 4 ) { 1,5 } log 3 ( ) ln 3x ) Určete definiční obor funkce: f 5: y = 3 x 3x x 6.) Načrtněte graf funkce: f 6: y = x - {( 7,0) U ( 0,1) U ( 1, ) U (, ) } (graf funkce je obrazem grafu funkce y = x, v posunutí T ([ 0,0] [ 0, ] ) 7.) Načrtněte graf funkce: f 7: y = log 0,5 (x+1) (graf funkce je obrazem grafu funkce y = log 0,5 x, v posunutí T ([,0] [ 0,1] ), Hf= (, ), f(0)=-1) 0 ) 8.) Jaký tvar má inverzní funkce k funkci y= x a v jakém vztahu jsou grafy obou funkcí. (funkce inverzní k dané funkci má předpis y = log x, grafy funkcí jsou souměrné podle přímky y=x) 9.) Pro která kladná čísla a jsou funkce y=a x 1, y= a rostoucí, pro která klesající a pro která konstantní. (grafy funkce jsou souměrné podle osy y. Je-li a větší než 1, je prvá rostoucí, druhá klesající, je-li a menší než 1, je prvá klesající, druhá rostoucí, je-li a=1, jsou obě funkce totožné, nerostou ani neklesají) 10.) Najděte všechna reálná u, pro která platí: log 0,5 7 log 0,5 u (řešte graficky) { 0p u p 7} 11.) S využitím grafu logaritmické funkce určete všechna reálná x pro která platí: x

20 a) log 8 x=0 b) log 8 x 0 c)log 8 x 0 f (a) 1, b) (,1, )( 1, ) 0 c ) 1.) Je dán čtverec o straně a. Jeho střední příčky jej dělí na čtyři shodné čtverce, každý z nich je opět jeho středními příčkami rozdělen na čtyři shodné čtverce atd. a) Napište rovnici funkce, jíž je při n-tém dělení určen počet čtverců s nejkratší délkou strany. b) Napište rovnice funkcí, jimiž jsou určeny délka obvodu a obsah nejmenšího čtverce při n- tém dělení) n n f : y = 4 b) o : y = a., S : y = a. 4 n { } 13.) Načrtněte graf funkce: f 8: y = log( x 4) ) Načrtněte graf funkce: f 9: y = log x ) Načrtněte graf funkce: f 10: y = - x ) x- Načrtněte graf funkce: f 11: y = Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice 1.).) = 9 x { 3 } x log x 3 = 81 3x { 0,003} 3.) 3 = 0, ) 3 x x+ 1 x+ x = { 1 } 3 x x x = 1 5 = 6 5.) 6 { } 6.) 4 x + x - 6 = 0 { 1 } 7.) 3 x+ + 9 x+1 = 180 { 1,619} 8.) log 5 (x-1)= { 13 } 9.) log x (x -x +)=1 { } 10.) log 3 (x+1) + log 3 (x+3) = 1 { 0 } 11.) log(x-) + log(8x+4) = 3 { 1 } 1.) log 3x = log( x 4) { 9 } x { 6 } 13.) log 5 + log x = log30 14.) log5 x + = 3 { 5,5} log x ) log x + = log x 16.).8 0, , 100 1, { } { } x ) x x 1, ) 17.) 3 1 1

21 13 18.) log( x 3) 1, ) 19.) log3 x + log3 ( x ) 1 { 3, )} 1 0.) 1 log x p 0 10,10 10) x { } 13 Funkce goniometrické, vztahy mezi nimi a grafy 1. Bez užití úhloměru sestrojte úhel α, jestliže: a. sin α = 3 b. cos α = 0, 4 c. 7 tg α = 5 d. cot g α = 1, 5. Načrtněte grafy funkcí: a. y = sin x b. y = 3cos x c. y = cos x 1 π d. y = sin x 4 e. y = sin x f. y = cos x g. y = sin x + 3 h. y = sin x π i. y = cos x 3 X π j. y = sin k. y = cos x 3. Zjednodušte: a. sin x + cos x + tg x b. 1 sin x + cot g x sin x c sin x 1 sin x d tg x 1+ cot gx e. tgx cos x 1 cos x

22 π π f. cos x cos + x 6 6 g. cos x + sin x tgx h. 1 cos x + sin x 1+ cosx + sin x 14 Goniometrické rovnice a nerovnice 1. Řešte v R rovnice: a. 3tgx = 3 b. cos x = 0, 5 c. x sin = 3 3 d. sin x π = 0 4 e. cos x + π = 1. Řešte v R rovnice: a. 3 cot g x + π = 3 b. 5 + sin x = 3 1 sin x c. cot g x = 3 cot gx d. 3tg x = 1 e. 4cos x 4cos x 3 = 0 f. ( cos x + 1) cos x = 1 g. 1 sin x + = sin x 3. Řešte v R rovnice: a. 3 sin x = cos x b. 3sin x + cos x + cos x = 0 c. tgx 3 cot gx = 0 d. tgx cot gx = 0 3 e. 4 4 sin x cos x = 0, 5 f. ( sin x + cos x) + ( sin x cos x) = 1 cos x g. 1 + cot gx 1 = 0 sin x 4. Řešte v R rovnice: a. sin x + cos x = 0 b. sin x cos x = 0 sin x = cos x sin x c. ( ) d. cos x = cot gx

23 e. sin x + sin x = 1 5. Řešte v R nerovnice: (Janeček 185/6.3) 1 a. sin x + π 4 1 b. cos x π 6 c. tg x + π 1 3 d. cot g x π Řešte v 0,π R nerovnice: (Janeček 185/6.5) a. 1 sin x b. 3 tgx 1 < 0 c. sin x > 1 d. cos x < 1 e. 1 cos x > 15 Trigonometrie f. sin x + 3 cos x 3 < 0 g. sin x 3 cos x > 1 h. cos x + 5cos x i. sin x + cosx > 1 j. cos x + sin x < Z daných prvků v pravoúhlém trojúhelníku ABC (s pravým úhlem při vrcholu C) vypočtěte další uvedené prvky: a. b = 54,5, α = ; a, c, β, vc b. a = 7, 5, v = 5, α, β,b, c c c. S = 17,4cm, a = 5,4cm; b,c,α, β. Určete zbývající strany a úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a. α = 48 50, β = , c = 135, 3m b. a = 134,5m, b = 111,m, γ = 54 1 c. a = 6,5cm, b = 11,5cm, c = 7, 35cm d. a = 746,4m, b = 1854m, β = e. a = 13,6cm, b =,5cm, α = 1 38 f. b = 6,5cm, c = 3,5cm, γ = 55 g. S = 131cm, c = 31,7cm, β = h. S = 16000cm, a = 50cm, b = 30cm

24 3. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC se předešlé úlohy (a-f). 16 Trojúhelníky 1. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, je-li dáno: (Petáková 77/18, 19) a. c = 6cm, a = 4,5cm, α = 45 b. c = 4cm, v a = 3cm, t a = 3, 5cm c. b = 8cm, t b =,5cm, γ = 30 d. c = 5cm, v a = 4cm, t c = 3, 5cm e. c = 6cm, a = 3cm, t b = 4cm f. c = 5cm, v a = 4cm, v c = 3cm g. c = 3cm, a = 5cm, t a = 4, 5cm h. c = 3,5cm, v c = 3cm, t a = cm i. c = 5cm, t a = 6cm, t c = 4, 5cm j. c = 6cm, v a = 3,5cm, v b = 5, 5cm k. c = 7cm, t b = 6cm, t c = 4, 5cm l. v c = 4cm, α = 60, β = 45 m. t c = 4cm, α = 60, β = 45 n. t c = 4cm, α = 45, γ = 60 o. c = 4cm, v c = 3cm, t c = 4, 5cm p. r = 4cm, v c = cm, c = 7, 5cm q. r = 4cm, t c = 4,5cm, c = 7, 5cm r. 4cm, r = v a = 3cm, c = 7cm s. r = 4cm, v a = 5cm, γ = 45. Je možné sestrojit trojúhelník, jehož výšky jsou cm, 4 cm a 5 cm? (Petáková 85/8) 3. Vypočítejte úhly, které svírají výšky v rovnostranném trojúhelníku. (Petáková 85/1) 4. Do rovnostranného trojúhelníku ABC o straně délky a je vepsán čtverec. Vypočítejte délku strany čtverce. (Petáková 86/4) 5. Graficky určete délku strany čtverce, který má stejný obsah jako daný obdélník. 17 Čtyřúhelníky,kruh,kružnice 1) Sestrojte kosočtverec ABCD,je-li dáno a) v = 3cm, e = v b) f = 4cm, ρ = 1,5cm kde ρ je poloměr vepsané kružnice. ) Sestrojte kosodélník ABCD, pro který platí a) a = 4cm, α = 60, e = 5,5 cm b) e = 5cm, f = 3cm, v a =,5cm 3) Sestrojte lichoběžník ABCD (AB//CD), pro který platí a) b = 4cm, v = 3,5cm, e = 8cm, f = 7cm b) b = 4cm, e = cm, α = 60, f = 5cm

25 4) Sestrojte čtyřúhelník ABCD, pro který platí a) je tětivový, a = 5cm, β = 10, e = 7cm, f = 8cm b) je tečnový, a = 7,5cm,b = 3,5cm, α = 45, ρ = cm 5) Obvod kruhové výseče, která je částí kruhu o poloměru 1 cm, je 39 cm. Vypočítejte její obsah. 6) Do kružnice o poloměru 6 cm je vepsán pravidelný šestiúhelník. Spočítejte obvod a obsah kruhové úseče, která je ohraničena stranou tohoto šestiúhelníku a obloukem dané kružnice. 7) Mějme čtverec ABCD. Spočtěte obsah a obvod mezikruží, ohraničeného kružnicí opsanou a vepsanou danému čtverci 8) Mějme čtverec ABCD o straně AB = a a čtyři kružnice o poloměru a/ se středy v bodech S AB,A BC,S CD,S AD. Spočtěte obvod a obsah plochy, která je průnikem alespoň dvou těchto kružnic ( čtyřlístek ) 9) Mějme rovnostranný trojúhelník ABC o straně AB = a a tři kružnice se středy v bodech A,B,C a poloměry r = a. Spočtěte obvod a obsah jejich průniku ( oblouky gotického okna ). 10) Je dána kružnice l(o;3cm) a její tečna t. Sestrojte všechny kružnice, které mají poloměr 1cm, dotýkají se přímky t a s kružnicí l mají vnější dotyk. 11) Jsou dány soustředné kružnice k 1 (O;5cm),k (O,cm) a přímka p, pro kterou platí Op = 3cm. Sestrojte všechny kružnice,které se dotýkají kružnic k 1, k a přímky p. 1) Jsou dány soustředné kružnice k 1 (O;5cm),k (O,cm) a bod M, pro který platí OM = 4cm. Sestrojte všechny kružnice,které se dotýkají kružnic k 1, k a prochází bodem M.. 13) Obdélník má strany o délkách a,b. Sestrojte čtverec o stejném obsahu. 14) Do kružnice je vepsán čtyřúhelník ABCD tak, že jeho vrcholy dělí kružnici v poměru 1::3:4. Vypočítejte velikosti jeho vnitřních úhlů 15) Delší strana rovnoramenného lichoběžníku měří 1 cm a je zároveň průměrem kružnice opsané tomuto lichoběžníku. Délka úhlopříčky měří 10,6 cm. Vypočítejte výšku tohoto lichoběžníku. 16) Výška a základny lichoběžníku jsou v poměru :3:5, jeho obsah je 51 cm. Vypočítejte jeho výšku a délky obou základen. 17) Obvod kruhové výseče,která je částí kruhu o poloměru 1 cm,je 39 cm. Vypočítejte její obsah. 18) Dokažte, že spojnice bodů, kterou na ciferníku vyznačují 3 a 6 je kolmá na spojnici 4 a ) Kruhová výseč má obvod 17 cm, obsah 17,5 cm. Určete její poloměr a příslušný středový úhel. 0) Určete délku stran obdélníku, je-li jeho obvod 38 cm a obsah 84cm. 18 Mnohoúhelníky 1) Je dána kružnice k(s;r).sestrojte stranu pravidelného pětiúhelníku. ) Je dána kružnice k(s;r).vepište do ní pravidelný dvanáctiúhelník.

26 3) Určete poloměr kružnice opsané pravidelnému pětiúhelníku, jeli délka jeho strany 10cm. 4) Určete počet úhlopříček v n-úhelníku pro n = 5,6,8,1. 5) Který konvexní n-úhelník má dvakrát víc úhlopříček než stran. 6) Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly myjí velikost ) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH spočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníků ACE, ABC a ADE. 8) Vypočítejte délku strany a, obvod o, a obsah S pravidelného pětiúhelníku, který je vepsán do kružnice o poloměru r = 6cm. 9) Vypočítejte délku strany a, obvod o, a obsah S pravidelného pětiúhelníku, kterému je vepsána kružnice o poloměru r = 6cm.. 10) Strana pravidelného devítiúhelníku je 5 cm. Vypočítejte poloměr kružnice, kterou lze danému devítiúhelníku opsat. 11) Strana pravidelného devítiúhelníku je 5 cm. Vypočítejte poloměr kružnice, kterou lze danému devítiúhelníku vepsat. 1) Vypočítejte obvod pravidelného sedmiúhelníku, je-li dána délka jeho nejkratší úhlopříčky. 13) Pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S definujte jako průnik polorovin. 14) Pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S definujte jako průnik či sjednocení úhlů. 15) V pravidelném dvanáctiúhelníku je velikost vnitřního úhlu rovna pětinásobku velikosti vnějšího úhlu. Ověřte. 16) Součet velikostí všech vnějších úhlů konvexního n-úhelníku je 360. Dokažte. 17)V kterém konvexním n-úhelníku je počet úhlopříček 3,5krát větší než počet stran? 18)Narýsujte šestiúhelník, který není pravidelný, ale je středově souměrný podle průsečíku úhlopříček spojující protější vrcholy. 19)Vypočtěte obsah pravidelného šestiúhelníka, jeli dán rozdíl poloměrů kružnice šestiúhelníku opsané a vepsané. 0) Je dán pravidelný pětiúhelník ABCDE. Vypočtěte základní velikosti orientovaných úhlů AED,CAB 19 Shodná a podobná zobrazení 1) Mějme dány dvě různoběžky p, q a bod S, který na nich neleží. Sestrojte čtverec ABCD tak, aby A p, C q a bod S byl středem tohoto čtverce. ) Mějme dány dvě rovnoběžky p, q a bod S, který na nich neleží. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF tak, aby A p, C q a bod S byl středem tohoto šestiúhelníku.

27 3) Mějme dán rovnostranný trojúhelník ABC a bod Z jako vnitřní bod tohoto trojúhelníku. Sestrojte trojúhelník XYZ tak, aby X AB, Y BC a trojúhelník XYZ měl nejmenší obvod (z takových možných trojúhelníků XYZ). 4) Mějme obdélník ABCD ( AB = 3 cm, AC = 5 cm). Sestrojte obraz trojúhelníku ACD ve stejnolehlosti se středem v bodě B a koeficientem κ = -1/. 5) Do pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C ( AC = 4 cm, BC = 3 cm vepište čtverec KLMN tak, aby K AC, M BC a L, M AB. 6) Mějme dány dvě různoběžky p, q a bod T, který na nich neleží. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby p, A q a bod T byl těžištěm tohoto trojúhelníku (úsečka AA O je jeho těžnice). A O 7) Jsou dány dvě různoběžky a,b. Uvnitř jednoho jejich úhlu je dán bod M. Sestrojte kružnici, která prochází bodem M a dotýká se přímek a,b. 1 8) Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: a = 4 cm, e = 8 cm, f = 7 cm. Ve stejnolehlosti H(S, k = ) sestrojte obraz rovnoběžníku ABCD. Bod S nenáleží rovnoběžníku ABCD. 9) Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno: c = 6 cm, a = 5 cm, γ = 60. Sestrojte obraz trojúhelníku ABC v otočení R(T,ϕ = -30 ). Bod T je těžiště trojúhelníku ABC. 10) Je dán tupoúhlý trojúhelník ABC. Určete jeho obraz v posunutí T(AO), kde O je průsečík výšek. 11) Jsou dány tři různé rovnoběžky a,b,c.na přímce a je dán bod A. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, bod B ležel na na přímce b a bod c na přímce C. 1) Které zobrazení vznikne složením a) tří; b) čtyř; c) pěti středových souměrností, jejichž středy jsou navzájem různé a neleží v přímce? 13) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, v nichž AC: BC = 5:4, γ = 60,v c = 5 cm. 14) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, znáte-li a:b:c = 4:3:5, r = 4cm. 15) Určete všechna shodná zobrazení, v nichž je čtverec ABCD samodružný. 16) Je dána úsečka CS 1, CS 1 = 3cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka CS 1 těžnicí t c a pro které dále platí a = 3,5cm, b = 5cm. 17) Je dána úsečka CS 1, CS 1 = 3cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je úsečka CS 1 těžnicí t c a pro které dále platí b = 8cm,β = ) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, znáte-li: a + b = 10cm, c = 5cm, v a = 3cm. 19) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, znáte-li: a + b + c = 1cm, v c = 3cm, γ = 60. 0) Narýsujte společné tečny daných dvou kružnic: k 1 (O 1 ; 3,5cm), k (O ; 1,5cm), O 1 O = 6,5cm 0 Tělesa polohové a metrické vztahy

28 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Označte KLMNOP po řadě středy hran AB,CD EF, GH, FG, FB. Určete vzájemnou polohu: rovin EKL, MNC a MOP, DBH přímek OP, CG a FN, BL přímky a roviny DM, ABF a MN, ADF. ) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete všechny přímky, které procházejí bodem E a některým dalším vrcholem krychle a s přímkou BC jsou: rovnoběžné - různoběžné mimoběžné 3) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete všechny přímky, které procházejí bodem H a některým dalším vrcholem krychle a s rovinou ABC jsou: rovnoběžné různoběžné 4) Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte o vzájemné poloze rovin určených body (jsou-li různoběžné, určete jejich průsečnici): ABC, EFH ABC, BCD ADH, BCE ACE, BDF 5) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KBL, bod K je středem hrany AE 1 bod L je bodem hrany EH, LH = EH. 4 6) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou XZY, bod X je středem hrany CG, 1 1 bod Y je bodem hrany HG, HY = HG, bod Z je bodem hrany AB, BZ = AB ) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou AHL, bod L je středem hrany CG. 8) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou XZY, bod X je bodem hrany EF, 1 XF = EF, bod Y je středem hrany FG, bod Z je bodem hrany AE, 4 1 AZ = AE. 4 9) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou XZY: X je střed strany AB, Y je střed strany AE, bod Z leží na hraně CG, přitom CZ : ZG = : 1 10) Je dán kvádr ABCDEFGH se čtvercovou podstavou a přímka p = PQ. Bod P je bodem polopřímky DC, DP = s povrchem kvádru. 4 3 CD, bod Q je bodem polopřímky FE, FQ = EF. Sestrojte průsečíky přímky p 3 11 ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM K є AB a BK = 3 AK ; L є CD a DL = 3 CL ; M є DV a DM = MV 1) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou XYZ X = S AD ; Y є CD a DY = 3 CY ; Z є BV a BZ = 3 VZ 13)Je dán kvádr ABCDEFGH:: AB = 6cm, BC = 4cm, AE = 7cm. Vypočítejte odchylku přímek DG,BG.

29 14)Je dán kvádr ABCDEFGH:: AB = 6cm, BC = 4cm, AE = 7cm. Vypočítejte odchylku přímky AS a roviny ADE. Bod S je střed horní podstavy. 15)Je dán kvádr ABCDEFGH:: AB = 6cm, BC = 4cm, AE = 7cm. Vypočítejte vzdálenost bodu B od roviny ACE. 16)Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Bod S je středem jeho podstavy. Určete odchylku přímek a) BC a SV b) AB a CV 17)Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku přímky p = XY (X je středem hrany EH a bod Y je bodem hrany BF, BY : YF = 1:3) a roviny ABC. 18)Je dána krychle ABCDEFGH s hranou délky a. Vypočtěte vzdálenost bodu A od přímky a) DH b) FG c) FH 19) Je dán kvádr ABCDEFGH: AB = 6cm, BC = 4cm, AE = 8cm. Vypočítejte vzdálenost a/ bodů AG b/ bodu F od přímky EG 0) Je dán kvádr ABCDEFGH: AB = 6cm, BC = 4cm, AE = 8cm. Vypočítejte odchylku a/ přímek BG, FC ABC b/ přímky EC od roviny 1) Je dán kvádr ABCDEFGH: AB = 4cm, BC = 6cm, AE = 7cm. 1) Narýsujte kvádr ve volném rovnoběžném promítání. ) Určete vzájemnou polohu a/ přímek: BH, DF a AB, DG b/ rovin: ACH, EFG a ADL, KFG (K je střed AB a L je střed HG) 3) Vypočítejte vzdálenost a/ bodů CE b/ bodu B od přímky AC 4) Vypočítejte odchylku a/ přímek EG, FH b/ přímky AG od roviny ABC 1 Mnohostěny 1. Je dána krychle ABCDEFGH o velikosti hrany a. Určete povrch a objem tělesa ACHF.. Délky stěnových úhlopříček kvádru jsou v poměru 10 : 17 : 5. Určete rozměry tohoto kvádru, je-li jeho objem 96 cm3. 3. Určete objem a povrch pravidelného osmistěnu vepsaného kouli o poloměru r. 4. Pro rozměry kvádru a, b, c platí a:b:c = 3:1:. Velikost tělesové úhlopříčky je rovna 8 cm. Určete povrch a objem kvádru. 5 Každými třemi středy hran krychle, jež vycházejí z jednoho jejího vrcholu, je určena rovina, která odděluje z krychle trojboký jehlan. Pokuste se načrtnout těleso, které vznikne po oddělení všech rohů a určete jeho povrch (délka hrany krychle je a).

30 6 Určete povrch a objem pravidelného čtyřstěnu o hraně délky 10 cm. 7 Vypočtěte objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, jehož pobočná hrana AV = 8,5 cm svírá s podstavou úhel o velikosti 30o. 8 Pravidelný čtyřboký komolý jehlan má podstavné hrany o délkách 3 úhel 60o. Určete povrch a objem komolého jehlanu. 8 dm a 3 6 dm. Pobočná stěna svírá s podstavou Rotační tělesa 1. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, kde a je délka strany BC, b délka AC a c délka AB. Vypočtěte poměr obsahů tří těles, která vzniknou rotací tohoto trojúhelníka postupně kolem každé jeho strany.. Do koule o poloměru x je vepsán rovnostranný válec a rovnostranný kužel. Určete poměr povrchů a objemů těchto těles. Nádoba tvru polokoule je zcela naplněna vodou. a) Nakloníme-li ji o úhel 30, vyteče z ní jisté množství vody. Kolik procent obsahu plochy vnitřku nádoby bude smáčet zbývající voda? b) Nakloníme-li ji o úhel 30, vyteče z ní 11 litrů vody. Kolik litrů v ní zůstane? 3. Nálevka má tvar rovnostranného kužele. Stanovte obsah plochy smáčené vodou, jsou-li v nálevce právě tři litry vody. 4. Půdorysem výklenku románského kostela je půlkruh s průměrem 6m. Výklenek je překlenut klenbou, která je čtvrtinou kulové plochy. Výška obvodových zdí je 7,58 m. a) Jak veliký je obestavěný prostor výklenku? b) Jak velký je obsah stěny a klenby? 5. Jak veliký je středový úhel v rozvinutém plášti rovnostranného kužele? 6. Rotační válec má povrch 0π dm Úhlopříčka osového řezu má délku 5 dm. Určete objem válce. 7. Vypočtěte povrch tělesa, které vznikne rotací rovnostranného trojúhelníka ABC okolo jeho strany délky a. 8. Rotační komolý kužel má poloměry podstav 4 dm a 3 dm. Jeho objem je 148 π dm. Určete jeho povrch. Ze tří kovových koulí o poloměrech 3 cm, 4cm a 5 cm byla zhotovena (slita) jediná koule. Určete její povrch. 3 Vektorová algebra 1. Ve zvolené soustavě souřadnic mají body A, B, C souřadnice A[; 1]; B[-1; 1]; C[3; 1]. Určete souřadnice bodu D tak, aby orientované úsečky AB, CD byly umístěním téhož vektoru.. Určete souřadnice vektoru -u, reprezentovaného uspořádanou dvojicí [A,B], jestliže platí: a) A[0; ], B[0; -1]; b) A[; -4; -5], B[-1; -; -3]. 3. Vypočtěte skalární součin vektorů a) u(3; -1; ) v(0; 4; 6) b) u = 5; v = ; ß = 45 D[0;1] a) 16; b) 5 4. Určete souřadnice vrcholu D rovnoběžníka ABCD, kde A[4;7], B[;8], C[-1;4]. D[1;3] 5. Určete souřadnice a 1 vektoru a (a 1 ; 7; -4) tak, aby vektory a, b byly kolmé, jestliže platí b(-; 3; 6). 6. Vypočítejte vektorový součin vektorů u, v, je-li u(1; ; 3), v(; -1; 4). a1 = -1,5 u x v = (11;;-5)

31 7. Jsou dány vektory a(;3;-1) b(1;-;3) c(;-1;1). Určete souřadnice vektoru x, který je kolmý k vektorům a i b a jehož skalární součin s vektorem c je roven Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, je-li A[0; ; 6], B[4; 0; 0], C[8; -; 1]. (-3;3;3) 9. Zjistěte, zda vektor u(1;1;)je lineární kombinací vektorů a(-1;0;1) a b(;;3). 10. Jsou dány body A[1;3;-], B[3;-;5], C[0;1;7].D[8;0;3]. není a) Vypočtěte obsahy všech stěn čtyřstěnu ABCD. b) Vypočítejte objem čtyřstěnu ABCD. c) Vypočítejte vektory, které jsou určeny výškami čtyřstěnu a) S(ABC) = 0,41; S(ACD) = 36; S(ABD) = 4,38; b) 31,17; c) v(a) = (-10;4;-1); v(b) = (1;4;1) 11. Je dán rovnoběžník ABCD. Nechť E je střed jeho strany BC, F střed strany AD a M průsečík přímek AE a BF. Dokažte, že vektory B-A, C-B a M-A jsou lineárně závislé a vyjádřete některý z nich jako lineární kombinaci ostatních. 1. jsou dány body A[0;1], B[3/;-], C[-;5];.D[;7]. Dokažte, že vektory B-a a D-C jsou k sobě kolmé. 13. Je dán vektor u = (3;5). Určete vektor v, který je k u kolmý a má velikost rovnu 68. AB+BC = 4AM ano (-10 34;6 34);(10 34; 6 34) 14. Vypočtěte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka ABC.. A[ 1; ], B[3;5], C[1+ 3 3; - 3 ];. 90 ;60 ;30 4 Analytická geometrie lineárních útvarů v E a E3. 1) Napište rovnici přímky, která prochází bodem A[6;10] tak, že má od přímky p: 3 x 3y 7 = 0 odchylku ß = 30. x-6 = 0 ; x 3 y = 0. Napište rovnici přímky procházející bodem A[1; ] a svírající s osou x úhel ß = 60. y = 3 x + 3 = 0 3. Najděte bod P souměrný s bodem P[8; -9] podle přímky p, která prochází body A=[3;-4] a B=[-1;-]. 4. Napište rovnici přímky k, která prochází průsečíkem přímek p 1, p daných rovnicemi 4x - 3y = 0, x + 3y - 0 = 0 a je kolmá k přímce q dané rovnicí x - y + 4 = Dokažte, že body A[-4; -], B[3; -5], C [0; 6] jsou vrcholy trojúhelníka. P=[10;-5] x + y 40/3 = 0 6. Jsou dány body A[-1; 0], B[1; 4]. Zjistěte, zda polopřímka x = 3 - s y = 1 + s, s 0 protíná polopřímku AB. 7. Napište rovnici přímky, která prochází bodem A[5; 3] kolmo k přímce určené body C[4; 7], D[-4; -5]. ano

32 8. Napište rovnici přímky, která prochází bodem A[;3] a má od bodu B[0;-1] vzdálenost v = V trojúhelníku ABC znáte vrcholy A[-6;] a B[;-] a průsečík výšek V[1;]. Určete souřadnice vrcholu C. 10. Napište rovnici stran trojúhelníku, jestliže znáte souřadnice jednoho vrcholu A[3; -4] a rovnice dvou výšek p: 7x - y - 1 = 0, q: x - 7y - 6 = Zobrazte v soustavě Oxy množinu všech bodů A[x, y], pro jejichž souřadnice x, y platí: a) x + x = y + y ; b) x + y = 4. x + 3y 19 = 0 y 3 = 0; 4x + 3y 17 = 0 C[;4] B[-4;-] 1. Určete odchylky přímek AB a p, je-li dáno: A[1;0;5], B[;1;6]; p: x = 1-t; y = + t; z = 3 - t. cosf = 1/3, úhel je Určete vzájemnou polohu přímek p a q p...x = 3+t q...x = -+s y = -1+3t y = 5+3s z = 1-t ; t R z = -3s ; s R 14. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny ß ( v případě různoběžnosti souřadnice průsečíku ) p...x = 3 - t ß...x = + r - s y = + t y = 3 - r + 5s z = t ; t R z = 5-3r + 4s ; r, s R 15. Spočtěte vzdálenost bodu A[3; ; -1] od roviny x - y + z + 7 = 0. Jsou mimoběžné X[17;-1;-43] 150 / Určete vzdálenost bodu M[1; 4; 5] od přímky AB A[1; ; 4], B[0; 5; 5]. 17. Jsou dány body M 1 [0; -1; 3] a M [1; 3; 5]. Napište rovnici roviny procházející bodem M a kolmé k přímce M 1 M. 18. Napište rovnici roviny procházející bodem C [-1; -1; ] a kolmé k rovinám x - y + z - 4 = 0, x + y - z + 4 = Napište rovnici roviny rovnoběžné s osou y a procházející body A[0; 1; 3], B[; 4; 5]. x + 4y + y 3 = 0 x + 3y + 4z 3 = 0 3x 4 y + 3z 7 = 0 5 Kružnice 1. Určete S, r kružnice a) x + y - 6x + 4y - 3 = 0, b) x + y +x + 4y - 11 = 0. a) S [3;-];r = 6 b) S [-1;-], r = 4. Napište rovnici kružnice procházející body a) A[3; 0]; B[-1; ], jejíž střed S leží na přímce p: x y + = 0. b) A [5;3]; B[6; ], jejíž střed S leží na přímce p: 3x - 4y 3 = 0 a)x + y + y + 9 = 0, b) x + y 18 x 1y + 9 = 0 3. Vypočítejte vzdálenost bodu A [8;1] od středu kružnice dané rovnicí x + y - 4x + 14y + 48 = 0.

33 4. Urči rovnici kružnice opsané trojúhelníku ABC, kde a) A [;1], B [1;4], C[6;9] b) A[6;9], B[7;8], C[0;1]. d = 10 a) x + y - 1x 8y + 7 = 0 b) x + y -6x -10y + 9 = 0 5. Je dána kružnice k: x + y - 6x - 10y + 9 = 0, určete její střed a poloměr r. Najděte rovnici tečny v daném bodě C[-1;]. S[3;5], r = 5; t: -4x 3y + = Napište rovnici kružnice, která prochází počátkem soustavy souřadnic, bodem A [;4] a má střed na ose x.. x + y - 10x = 0 7. Určete vzájemnou polohu přímky p a kružnice k. p: x - y 1 = 0; k: x + y 8 x + y + 1 = 0. T[3;1] 8. Vypočtěte velikost tětivy, kterou vytne kružnice k: x + y = 17 na přímce p: x y 3 = 0. d=5 9. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází středy kružnic k1: x + y +14x 16y + 77 = 0 a k: x + y +18x 14y + 66 = 0. x y + 3 = Je dána kružnice k: x + y = 10 a přímka p: x y + 5 = 0. Napište rovnice tečen kružnice k, které procházejí jejími průsečíky s přímkou. Elipsa t1: x+3y = 10 ; t: -3x + y = Určete střed a délku poloos u elipsy dané rovnicí e: 9x + 16 y +36x - 3y - 9 = 0. Určete souřadnice ohnisek.. Zjistěte, zda daná rovnice je rovnicí elipsy, a je-li tomu tak, najděte její střed, ohniska a poloosy : a) x + 4y + 4x - 1 = 0 [ 7;1; ] F[ 7;1] F 1 + b) 9x + 5y - 54x - 100y - 44 = 0 a) S = b) S = [ ;0 ], a = 5, b =,5; e =,5 3; F1[,5 3;0 ]; F [ +,5 3;0 ]; [ 3; ]; a = 5; b = 3; e = 4; F1[ 1; ]; F [ 7;] x 3. Určete vzájemnou polohu a) elipsy e: + y = 1 a přímky p: y = x + 13, b) elipsy e: 4x + 9y = 36 a přímky p: x = 3t; y = t. a) tečna; T [-6;1]; t1: y= x + 13 b) sečna T1[0;]; T [3;0] 4. Určete délku tětivy, kterou na elipse e: x + y 8y = 0 vytíná přímka p: y = x. d = 16 / 9* 5 5. Napiš rovnici tečen elipsy e: 4x + y = 16, které jsou kolmé k přímce p: x + y + = Napište rovnice tečen k elipse e: 9x 5 y = 5 t 1 : x y + 4 = 0; t : x y 4 = 0 x. + rovnoběžných s přímkou p: 4 + 5y 7 = 0

34 t1: 4x + 5y + 5 = 0; t: 4x + 5y - 5 = 0 7. Elipsa se dotýká osy x v bodě A [-4;0] a osy y v bodě B [0;3] napište její rovnici, jsou-li její osy rovnoběžné se souřadnými osami. e: 9x + 16y + 7x - 96y = 0 8. Osy elipsy jsou rovnoběžné se souřadnými osami, elipsa se dotýká osy y v bodě A [0;4] a protíná osu x v bodech B [3;0] a v bodě C [9;0]. Napište její rovnici. 9. Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa e: x + y = 18 na přímce p: x+ y 6 = 0. ( x 6) 3( y 4) = 1 d = Najděte společné body elipsy e a kružnice k. e: x + 4 y = 17, k : x + y = 5. A1 [1;];A [-1;]; A3[1;-]; A4[-1;-]. 6 Hyperbola 1. Napište rovnici přímky p, která prochází středem hyperboly h: x - y + 4x y + 13 = 0 a je rovnoběžná s přímkou q: x y + = 0.. Určete střed, vrcholy, ohniska a asymptoty hyperboly h: x - 4y 6x + 16y 11 = 0 a načrtněte ji. p: x y +3 = 0. S [3;] a =, b = 1;A [1;]; B [5;]; e = 5 ; f1 = [3-5 ;]; f = [3 + 5 ;]; 3. Napište rovnici takové tečny hyperboly h: 9x - 16y =144, která je rovnoběžná s přímkou p: 5x 4y = 10. a1: x- y +1 = 0 ; a: x + y 7 = 0. t1: 5x 4y + 16 = 0, t : 5x 4y 16 = 0 4. Rozhodněte, zda rovnice 9x - 16y - 36x 96y - 5 = 0 je rovnicí hyperboly. Je-li tomu tak, najděte její střed a velikosti obou poloos. S [;-3], a = 4, b = 3 5. Napište rovnici hyperboly se středem v počátku soustavy souřadnic, která má hlavní poloosu o velikosti a = 3, prochází bodem A [5;] a určete také rovnice jejích asymptot. x - 4y - 9 = 0, e = 3/ * 5; y1 = 0,5x, y = 0, 5x 6. Napište rovnici hyperboly se středem v počátku soustavy souřadnic a osami v osách souřadnic, která prochází bodem M ; a jednou její asymptotou je přímka p: x y = 0. [ ] a =1, b =, h: 4x - y = 4 7. Určete přímku q tak, aby přímka y = x + q byla tečnou hyperboly h: x - y = 1, určete souřadnice dotykového bodu. T1: y = x + 3, T1[ / 3 3; 3 / 3 ]; t : y = x 3; T [ / 3 3; 3 / 3] 8. Vypočtěte obsah trojúhelníku, tvořeného asymptotami hyperboly h: 9x - 4y = 36 a přímkou b: x = Určete souřadnice průsečíku hyperboly h: 16x - 5y + 64x = 0 s osami souřadnic. S=54 X1[3;0]; X[-7;0]; s osou y neexistují 10. Napište rovnici rovnoosé hyperboly se středem v počátku soustavy souřadnic, osami v osách x,y, která prochází bodem A [-5;3]. h: x - y = 16

35 Parabola 1. Napište rovnici paraboly, která má ohnisko A[;-1] a řídící přímku d: x = -4. ( y + 1) = 1( x + 1). Dokažte, že rovnice y - 6x 1y + 57 = 0 je rovnicí paraboly. Najděte její vrchol, ohnisko a řídící přímku. V[3,4], F[3,7]; d: y = napište rovnice tečen vedených z bodu P[1;-3] k parabole p: x = 8y. 4.. Napište rovnici paraboly, která má vrchol V[-; 1], prochází bodem M[0,3] a má osu a) rovnoběžnou s osou x b) rovnoběžnou s osou y. Určete její ohnisko F a rovnici její řídící přímky. t: 3x y, y + = 0. a) y - x -y - 3 = 0 F[-1,5;1]; d: x +,5 = 0 b) x - 4x -y +6 = 0 F[-;1,5]; d: y 0,5 = 0 5. Určete rovnici, vrchol V a ohnisko F paraboly, která má osu rovnoběžnou s osoux a prochází body M[-7;1] N[,6;0] a bod P[0,5;-3]. y + 10x 4y -6 =0, V[3,]F[0,5;] 6. Je dána parabola y - 6x + 4y + 4 = 0 a) určete její ohnisko F a rovnici řídící přímky d; b) napište rovnici té tečny dané paraboly, která je rovnoběžná s přímkou p: 3x y + 7 = 0. a) V[0;-]; F [1,5;-]; d: x + 3 = 0. b) t: 6x y 3 = Napište rovnice všech přímek, které procházejí bodem M[0,-1] a mají s parabolou y -y 4x + 13 = 0 společný právě jeden bod. t1: y 1 = 0, t: x + 3y + 3 = 0a přímka y = Napište rovnice těch tečen paraboly o parametrickém vyjádření x =, y = 3t, t náleží R, které procházejí bodem M [0,3]. 9. Určete rovnici paraboly y = ax + bx + c, která prochází body M1[1;7]; M[-1;3] M3[0;4]. 7 Aritmetická a geometrická posloupnost x = 0 nebo 3x-4y+1=0 1. Vypočtěte zbývající prvky dané aritmetické posloupnosti a 1 = 450; d = -4; a n = 10; n =?; s n =?. V aritmetické posloupnosti platí a + a5 = 8; a + a6 1 = Napište prvních pět členů této posloupnosti. 4 n = 11; sn = 3630 { 8; 6; 4; ;0} 3. Určete součet všech prvních deseti členů aritmetické posloupnosti, je- li a 3 = -4; a 5 =,4. s10 = 40

36 4. V aritmetické posloupnosti platí: a a 3 + a : a 7 4 = 4 = 3 8 Vypočtěte patnáctý člen posloupnosti. 5. Železné roury se skládají do vrstev tak, že roury vrstvy hořejší zapadají do mezer vrstvy dolejší. Do kolika vrstev se složí 75 rour, má-li hořejší vrstva jen 3 roury? a15=7 n = Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jak Jsou strany dlouhé, je-li obsah trojúhelníku 6dm? 7. Mezi čísla a 1 = 3 a s n = -9 vložme tolik členů aritm. posloupnosti, aby součet sn byl -33. Určete čísla d a n. + a7 a3 a4 8. Určete a 1 a d v aritmetické posloupnosti, ve které platí: = ; = 9. V geometrické posloupnosti je dáno a1=64,an=8 a q=0,5. Určete n a sn. 10. V GP určete a5 a q, je-li dáno a6=6, a8= V GP je q=, an= 16/3, sn=1/. Určete počet členů n. a n = 4, sn=10 q=, a5=3 nebo q=-, a5=-3 1. V GP je dáno a1=3, q=1/, an=1/4. Určete n a sn. n=8, s8=55/4 13. Stanovme první člen a kvocient GP, platí-li a3+a4+a7=5, a4+a5+a8=15. q=3, a1=1/153 n=6 a = 3,b = 4, c = 5. d = -1,, n = 11 a 1 = a d = Přičteme-li k číslům x= - 1, y=11, z=95 stejné číslo, dostaneme první tři členy GP. Určeme v této posloupnosti a5, s5. a5=480, s5=560 8 Kombinatorika 1. Sestavujeme vlajku ze 3 vodorovných pruhů. K dispozici jsou bílý, červený, modrý, zelený a žlutý pruh látky. a) kolik vlajek lze sestavit? b) kolik z nich má modrý pruh? c) kolik jich má modrý pruh uprostřed? d) kolik jich nemá červený pruh uprostřed?. Kolik přirozených čísel větších než 15 lze vytvořit z číslic 0,1,,3,5, jestliže se žádná číslice neopakuje? 3. Určete počet prvků, z nichž lze utvořit a) 40 dvoučlenných variací b) dvakrát více čtyřčlenných variací než tříčlenných variací. 4. Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet tříčlenných variací a) desetkrát

37 b) o 150. Určete původní počet prvků. 5. S připomínkami k zákonu chce vystoupit 6 poslanců A, B, C, D, E, F. Určete počet: a) všech pořadí jejich vystoupení; b)v kolika případech vystupuje A až po E; c) v kolik vystupuje A ihned po E? 6. V pětimístné lavici sedí 5 studentů. a) kolika způsoby si mohou sednout? b) co když žák A chce sedět na kraji? c) co když A a B chtějí sedět vedle sebe? 7. Kolikrát lze přemístit slova ve verši Sám svobody kdo hoden, svobodu zná vážiti každou, nemají-li se promíchat slova věty hlavní a vedlejší? 8. Určete počet prvků tak, aby a) bylo možno z nich utvořit právě permutací b)při zvětšení jejich počtu o se počet permutací zvětšil 56 krát; c) při zmenšení jejich počtu o dva se počet permutací zmenšil 0 krát. 9. Test se skládá ze dějepisných, zeměpisných a 1 literární otázky. Připraveno je 30 dějepisných, 5 zeměpisných a 0 literárních otázek. Kolik variant testu lze vytvořit? 10. Kolik je úhlopříček v konvexním n-úhelníku? 11.Zvětší-li se počet prvků o 15, zvětší se počet kombinací druhé třídy bez opakování vytvořených z těchto prvků třikrát. Určete původní počet prvků. 1. Kolik SPZ existuje, jsou-li tvořeny 3 písmeny a 4 čísly (písmen je 8)? 13.Kolik čtyřciferných čísel, v nichž se mohou cifry i opakovat, lze vytvořit z cifer 0,1,,3,,9? 14. Vyjádřete jediným kombinačním číslem součet : V množině všech přirozených čísel řešte rovnici : x x x = x x Řešte rovnici s neznámou x N : x x = 16 x 1 x +