Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Transkript

1 MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 K3. Cyklickékódy mnohočleny, reprezentace slov, chyby a shluky chyb kódy generované mnohočlenem 1. typ násobení mnohočlenů syndrom chyb dělení mnohočlenů dělitelnost a stupeň mnohočlenů a jejich kongruence detekce shluků chyb kódy generované mnohočlenem a lineární kódy kódy generované mnohočlenem 2. typ cyklické kódy konečná tělesa kořeny mnohočlenu minimální mnohočleny Hammingovy kódy mnohočleny x i 1 MI-AAK c A. Pluháček 2011

3 mnohočleny mnohočleny nad tělesem GF(2): Příklad: C(x)=c n 1 x n 1 + +c 1 x+c 0 c i GF(2) x? xjeneznámá (doslova!) mnohočleny stupně < n: vektorový/lineární prostor (ale bez skalárního součinu) izomorfní s prostorem uspořádaných ntic: c n 1 x n 1 + +c 0 (c n 1,..., c 0 ) př.: n=7 x 5 +x 3 +x izomorfie jen: součet & násobení skalárem mnohočleny: násobení a dělení mnohočlenů obv. postup analogie s okruhem celých čísel dělitelnost MI-AAK K3 1 c A. Pluháček 2011

4 reprezentace slov a=(a k 1,...,a 0 ) A(x)=a k 1 x k 1 + +a 0 b=(b n 1,...,b 0 ) B(x)=b n 1 x n 1 + +b 0... a A(x) k bitů původní informace b B(x) nbitů vyslanádata kódovéslovo e E(x) nbitů chyby(chybovéslovo) c C(x) nbitů čtenádata slovo příklad: n=7 b= B(x)=x 5 +x 3 +x 2 = =0 x 6 +1 x 5 +0 x 4 +1 x 3 +1 x 2 +0 x 1 +0 x 0 blzetedypovažovatzajinouformuzápisu B(x) uvědomíme si: uspořádaná n-tice mnohočlen stupně n 1 < n MI-AAK K3 2 c A. Pluháček 2011

5 chyby a shluky chyb b+e=c B(x)+E(x)=C(x) shluk chyb E(x) E(x)=E (x) x j & x E (x) E (x) e = E (x) x j e j,kde joznačujeposuvojmístvlevo E (x) e tvarshlukuchyb j poziceshlukuchyb deg E (x)+1 délkashlukuchyb deg E (x)označujestupeňmnohočlenu E (x) příklad: E(x) shlukchybdélky4 E (x) 1011 j=2 deg E (x)=3 MI-AAK K3 3 c A. Pluháček 2011

6 kódy generované mnohočlenem 1. typ B(x)=A(x) G(x) G(x)=g r x r + +g 0 generovacímnohočlen x G(x) g 0 0 Proč? n=maxdeg B(x)+1 k =maxdeg A(x)+1 n=k+r r =deg G(x) deg G(x)... redundance(nadbytečnost) příklad: G(x)=x 3 +x+1 a=1010 A(x)=x 3 +x B(x)=A(x) G(x)=x 6 +x 3 +x 2 +x b= MI-AAK K3 4 c A. Pluháček 2011

7 násobení mnohočlenů příklad: B(x)=G(x) A(x)=(x 3 +x+1) (x 3 +x) 1 x 6 +0 x 5 +1 x 4 +1 x 3 G(x) x 3 0 x 5 +0 x 4 +0 x 3 +0 x 2 G(x) 0 1 x 4 +0 x 3 +1 x 2 +1 x 1 G(x) x 0 x 3 +0 x 2 +0 x 1 +0 x 0 G(x) 0 1 x 6 +0 x 5 +0 x 4 +1 x 3 +1 x 2 +1 x 1 +0 x 0 = B(x) zkrácenýzápis : (zde neoznačujeskalárnísoučin!!!) b=g a MI-AAK K3 5 c A. Pluháček 2011

8 B(x)=G(x) A(x) násobení mnohočlenů ii G(x)=g 3 x 3 + +g 0 = x 3 +x+1 předchozí příklad: b klopný obvod typud MI-AAK K3 6 c A. Pluháček 2011

9 B(x)=G(x) A(x) násobení mnohočlenů iii G(x)=g 3 x 3 + +g 0 = x 3 +x+1 předchozí příklad: b MI-AAK K3 7 c A. Pluháček 2011

10 syndrom chyb kód generovaný mnohočlenem: B(x) = A(x) G(x) G(x) B(x) B(x)%G(x)=0 (% označuje zbytek po dělení) B(x)+E(x)=C(x) E(x)=0 C(x)%G(x)=0 S(x)=C(x)%G(x) syndromchyb! S(x)=0 C(x) kódovéslovo S(x)=C(x)%G(x)=[B(x)+E(x)]%G(x)= = B(x)%G(x)+E(x)%G(x)= =0+E(x)%G(x)= = E(x)%G(x) syndrom závisí pouze na chybách MI-AAK K3 8 c A. Pluháček 2011

11 dělení mnohočlenů příklad: C(x)=x 6 +x 2 +x dělenec G(x)=x 3 +x+1 dělitel 1 x x 5 +0 x 4 +0 x 3 +1 x 2 +1 x 1 +0 x 0 = 1 x 3 1 x x 5 +1 x 4 +1 x 3 0 x x 4 +1 x 3 +1 x 2 = 0 x 2 0 x x 4 +0 x 3 +0 x 2 1 x x 3 +1 x 2 +1 x 1 = 1 x 1 1 x x 3 +1 x 2 +1 x 1 1 x x 2 +0 x 1 +0 x 0 = 1 x 0 1 x x 2 +1 x 1 +1 x 0 0 x x 1 +1 x 0 zbytek C(x)%G(x) = x+1 podíl C(x) G(x) = x 3 +x+1 MI-AAK K3 9 c A. Pluháček 2011

12 dělení mnohočlenů ii zkrácenýzápis : :1011= C(x) G(x) 1011 C(x) G(x) 1011 C(x)%G(x) 011 výstup: nejprve C(x) G(x) potom C(x)%G(x) MI-AAK K3 10 c A. Pluháček 2011

13 dělitelnost a stupeň mnohočlenů označení: P(x) Q(x) podíl P(x)%Q(x) zbytek P(x)%Q(x)=0 Q(x) P(x) Q(x) P(x) deg P(x) stupeňmnohočlenu P(x) deg0= (???deg0= 1???) deg(p(x)+q(x)) max(deg P(x),deg Q(x)) deg(p(x) Q(x)) = deg P(x)+deg Q(x) deg(p(x)%q(x)) < deg Q(x) Q(x) 0 deg(p(x) Q(x)) = deg P(x) deg Q(x) Q(x) 0 Q(x) P(x) X(x) P(x)=Q(x) X(x) Q(x)jedělitelem P(x) MI-AAK K3 11 c A. Pluháček 2011

14 dělitelnost a stupeň mnohočlenů ii nerozložitelný(ireducibilní) mnohočlen(polynom) P(x): nemájinédělitelenež1ap(x)ajejichskalárnínásobky obdoba prvočísel polynom Q(x) lze rozložit na prvočinitele prvočinitel = nerozložitelný mnohočlen rozklad na prvočinitele je jednoznačný (až na skalární násobky) příklad: x 7 +1=(x 3 +x 2 +1) (x 3 +x+1) (x+1) MI-AAK K3 12 c A. Pluháček 2011

15 kongruence mnohočlenů ( K(x)) P(x)=Q(x)+M(x) K(x) P(x) Q(x) mod M(x) Mnohočleny P(x)aQ(x)jsou kongruentní modulo M(x). P(x) Q(x)mod M(x) P(x)%M(x)=Q(x)%M(x) Kongruence je relace reflexivní, symetrická a tranzitivní. P(x) Q(x)&U(x) V(x) P(x)+U(x) Q(x)+V(x) P(x) U(x) Q(x) V(x) P(x)+X(x) Q(x)+X(x) P(x) X(x) Q(x) X(x) mod M(x) MI-AAK K3 13 c A. Pluháček 2011

16 detekce shluků chyb shlukchyb E(x): E(x)=E (x) x j & x E (x) E (x) tvarshlukuchyb L=deg E (x)+1 délkashlukuchyb detekcechyb: S(x)=E(x)%G(x) 0? x G(x) = x j nemávliv E (x)%g(x)=0? E (x) 0 deg E (x) <deg G(x) } = E (x)%g(x) 0 Lze tedy zjistit všechny shluky chyb délky L r=deg G(x). příklad: G(x)=x = L 16 MI-AAK K3 14 c A. Pluháček 2011

17 kódy generované mnohočlenem a lineární kódy A(x)=a k 1 x k 1 + +a 0 B(x)=A(x) G(x)= = a k 1 G(x) x k a 0 G(x) G(x) x k 1,..., G(x) lineárněnezávislé deg A(x) < k báze lineárního prostoru A(x) G(x) všechny lineární kombinace Kód generovaný mnohočlenem je lineární.? Existuje generovací matice G?? Existuje-li, jaký má tvar? MI-AAK K3 15 c A. Pluháček 2011

18 kódy generované mnohočlenem a lineární kódy ii G(x)=g r x r + +g 0 g=(g r,..., g 0 ) G(x) x j g j a j x j G(x) a j (g j) G generovacímatice a=(a k 1,...,a 0 ), a j =1aa i =0,je-li i j a G=g j,kdeg j je j-týřádekmaticeg G= g (k 1) g (k 2). = g g r g r g r g 0 MI-AAK K3 16 c A. Pluháček 2011

19 kódy generované mnohočlenem 2. typ kód generovaný mnohočlenem(1. typ) B(x)=A(x) G(x) nebývásystematický příklad: G(x)=x 3 +x+1 G=? Jak vytvořit systematický klon? B(x)=A(x) x r + A(x) x r % G(x), kde r=deg G(x) kód generovaný mnohočlenem 2. typ příklad: G(x)=x 3 +x+1 A(x) 0101 A(x) x A(x) x 3 % G(x) 100 B(x) MI-AAK K3 17 c A. Pluháček 2011

20 kódy generované mnohočlenem 2. typ ii příklad: G(x)=x 3 +x+1 b a 1.typ 2.typ totéž osmičkově MI-AAK K3 18 c A. Pluháček 2011

21 cyklické kódy cyklický kód: lineární kód cyklický posuv kódového slova kódové slovo příklad: b a K 1 K 2 K α β γ δ K 1 jecyklickýkód K 2 nenícyklickýkód nenílineární K 3 nenícyklickýkód např. β 1 K 3 MI-AAK K3 19 c A. Pluháček 2011

22 cyklické kódy a kódy generované mnohočlenem předpoklad: G(x) (x n 1), tzn.: H(x) G(x) H(x)=x n 1 B(x)=b n 1 x n 1 + +b 0 = G(x) A(x) cyklický posuv vlevo: B (x)=b(x) x b n 1 x n + b n 1 = = B(x) x b n 1 (x n 1)= = A(x) G(x) x b n 1 G(x) H(x)= =[A(x) x+b n 1 H(x)] G(x) G(x) B (x) = kód(n, k)generovaný mnohočlenem G(x) je cyklický Platí pro 1. typ kódů generovaných mnohočlenem, ale i pro 2. typ kódů generovaných mnohočlenem a pro všechny jejich klony. MI-AAK K3 20 c A. Pluháček 2011

23 cyklické kódy a kódy generované mnohočlenem ii předpoklad: K cyklický kód (tzn.:lineárníkód+posuvkódovéhoslova...) kódováslova: b 0,b 1,... B 0 (x), B 1 (x),... b 0 =0 B 0 (x)=0 ( i >1)deg B 1 (x) deg B i (x) = ( i >1)deg B 1 (x) deg B i (x) (existuje jediný mnohočlen tohoto stupně) (jinak by existoval nenulový mnohočlen nižšího stupně) označme G(x)=B 1 (x) r=deg G(x)=deg B 1 (x) G(x), G(x) x,..., G(x) x n r 1 lineárněnezávislé a tvoří bázi kódu generovaného mnohočlenem G(x) = Každý cyklický kód nebo nějaký jeho klon je kód generovaný nějakým mnohočlenem G(x). Mnohočlenem G(x) je mnohočlen nejnižšího stupně příslušející nenulovému kódovému slovu. MI-AAK K3 21 c A. Pluháček 2011

24 dva jednoduché cyklické kódy G(x)=x+1 Æsystematickýkód (kód2.typu) B(x)=G(x) A(x) x=1 = G(x)=G(1)=0 = B(x)=0 = B(x)=b n 1 + +b 0 =0 = parita(sudá) cyklický kód pro každé n G(x)=x r +1 Æsystematickýkód (kód2.typu) x r 1 mod G(x) B(x)=b n 1 x n 1 + +b 0 B(x)=B j (x) (x r ) j + +B 0 (x) (x r ) 0 B(x) B j (x)+ +B 0 (x)mod G(x) = podélná parita rticbitů(sudá) r n cyklickýkód MI-AAK K3 22 c A. Pluháček 2011

25 konečná tělesa konečné těleso Galoisovo těleso GF(q) q=p,kde pjeprvočíslo prvky: uav nezápornáceláčíslamenšínež p u+v (u+v)%p u v (u v)%p q=p m,kde pjeprvočísloam >1přirozenéčíslo P(z) nerozložitelný mnohočlen nad tělesem GF(p), deg P(z)=m prvky: U(z)aV(z) mnohočlenystupně < m U(z)+V(z) sčítáníkoeficientůmod p U(z) V(z) [ U(z) V(z)]%P(z) Neexistuje konečné těleso s jiným počtem prvků! } P(z) GF(q) Všechna konečná tělesa se stejným počtem prvků jsou vzájemněizomorfní! (méněpřesně: jsouvšechnastejná ) MI-AAK K3 23 c A. Pluháček 2011

26 př.: GF(7) konečná tělesa ii 3+6=2 (protože3+6%9=7%7=2) 3 6=4 (protože3 6%7=18%7=4) atp =4, 2 3 =4 2=1, 2 4 =1 2=2, 2 5 =1 2=4, =1,3 1 =3,3 2 =2,3 3 =6,3 4 =4,3 5 =5,3 6 =1 5 0 =1,5 1 =5,5 2 =4,5 3 =6,5 4 =2,5 5 =3,5 6 =1 MI-AAK K3 24 c A. Pluháček 2011

27 konečná tělesa iii př.: GF(4)=GF(2 2 ) P(z)=z 2 + z+1 prvkygf(8): 0, 1, z, z+1 (z+1)+z=1 (z+1)+1=z atp. nerozložitelný mnohočlen 2. stupně nad tělesem GF(2) z z= z+1 [protože z z% P(z)=z 2 % P(z)=z+1] (z+1) z=1 [protože(z+1) z% P(z)= =(z 2 +z) % P(z)=1] atp. z 0 =1, z 1 = z, z 2 = z+1, z 3 = z 2 z=1 atd. MI-AAK K3 25 c A. Pluháček 2011

28 konečná tělesa iv ϑ GF(q), ϑ 0 (např.číslo unebomnohočlen U(z)) způsob zápisu prvku ϑ není podstatný ( i) ϑ i =1 nejmenšítakové isenazývářádprvku ϑ V každém konečném tělese existuje aspoň jeden prvek α řádu q 1; takovýprveksenazýváprimitivníprvek. = Každýprvek ϑ 0jenějakoumocninouprvku α. P(z) GF(p m ) Je-li z primitivním prvkem tělesa, P(z) se nazývá primitivní mnohočlen. řádmnohočlenu P(z): j=ord P(z) P(z) (z j 1) & ( i < j) P(z) (z i 1) ord P(z)=p deg P(z) 1 P(z)jeprimitivní MI-AAK K3 26 c A. Pluháček 2011

29 konečná tělesa v příklad: p=2 P(z)=(z 2 + z+1) (z 3 +1) & P(z) (z 1 +1) & P(z) (z 2 +1) ord P(z)=3=p 2 1Æřád P(z) deg P(z)=2Æstupeň P(z) P(z) je primitivní mnohočlen: GF(2 2 )=GF(4): prvky ϑ {0,1, z, z+1} primitivníprvek α=z 0+ϑ=ϑ ϑ+ϑ=0 z+1=(z+1) (z+1)+1=z (z+1)+z=1 0 ϑ=0 1 ϑ=ϑ z z=z 2 % P(z)=z+1 z (z+1)=(z 2 +z)%p(z)=1 (z+1) (z+1)=(z 2 +1)%P(z)=z MI-AAK K3 27 c A. Pluháček 2011

30 konečná tělesa vi příklad: GF(4) z 2 +z+1 různé způsoby označování prvků: z 10 2 z mocniny primitivního prvku α: příklad použití: 3 3=α 2 α 2 =α 4 =α 3 α 1 = =2 neboli 11 11=10 anebo(z+1) (z+1)=z i α i = z i z z MI-AAK K3 28 c A. Pluháček 2011

31 kořeny mnohočlenu charakteristika tělesa χ nejmenší takové číslo, že χ i=1 1=0 GF(p m ),kde pjeprvočíslo = χ=p F(x) mnohočlennadtělesemgf(p),tzn. koeficienty mnohočlenu GF(p) ξ GF(q)=GF(p m ) & F(ξ)=0 ξjekořennebolinulamnohočlenu F(x) Y(x) F(x)=(x ξ) Y(x) (x ξ) F(x) F(ξ)=0 = F(ξ χ )=0 příklad: z 3 + z+1 GF(8) F(x)=x 3 + x 2 +1 F(z 3 )=0 F(z 6 )=0 F(z 12 )=F(z 5 )=0 MI-AAK K3 29 c A. Pluháček 2011

32 P(z) GF(q)=GF(p m ) β GF(q) M β (β)=0 minimální mnohočleny F(β)=0 deg F(x) deg M β (x) M β (x)je minimální mnohočlen prvku β minimální mnohočlen jeprodanýprvekjediný (ažnasvojenaskalárnínásobky) F(β)=0 M β (x) F(x) M α (x)=p(x) αjeprimitivníprvek minimálnímnohočlen M β (x)prvku β=α i,budeoznačován též M #i (x) MI-AAK K3 30 c A. Pluháček 2011

33 minimální mnohočleny ii Jak nalézt minimální mnohočlen? β GF(p m ) M β (x)=? ( M β (x)=(x β) x βp ) (p j 1)... x β, kde j >1jetakovénejmenšíčíslo,že β (pj ) = β γ= β p = M γ (x)=m β (x) př.: GF(4)=GF(2 2 ) ϑ=3=z+1 ϑ 2 =2=z ϑ 4 =3=z+1 M ϑ (x)=(x 2)(x 3)=x 2 + x+1 κ=2=z M κ (x)=m ϑ (x)=x 2 + x+1 λ=1 M λ (x)=x+1 µ=0 M µ (x)=x MI-AAK K3 31 c A. Pluháček 2011

34 Hammingovy kódy kontrolní matice H Hammingova kódu K všechny možné vzájemně různé nenulové sloupce, např. H= α n 1 α n 2... α 1, kde n=2 m 1a αjeprimitivníprvektělesagf(2 m ) syndrom: s=c H T =e H T c=(c n-1,...,c 0 ) C(x)=c n-1 x n-1 + +c 0 s=c n-1 α n c 1 α+c 0 = C(α) s=0 αjekořenem C(x) M α (x) C(x) M α (x)jegenerovacímmnohočlenem K(nebojehoklonu) MI-AAK K3 32 c A. Pluháček 2011

35 Hammingovy kódy ii G(x) nerozložitelný mnohočlen, deg G(x) 2 Hammingůvkódsdélkouslova n=ord G(x) příklad: G(x)=(x 8 +x 4 +x 3 +x 2 +1) (x ) r=deg G(x)=8 n=ord G(x)=255 k=n r=255 8=247 G(x) generuje cyklický Hammingův kód(255, 247) Platíinaopak: Je-li KHammingůvkód(n, k), existuje mnohočlen G(x), který generuje cyklický kód ekvivalentní kódu K nebo jeho klon. MI-AAK K3 33 c A. Pluháček 2011

36 mnohočleny x i 1 (x i 1) (x j 1) i j důkaz: 1. j= q i & y= x i x j = y q 1jekořenem y q 1 y q 1=(y 1) (něco) 2. předp.: j= q i+z,kde z= j% q x j 1=x q i x z 1=x q i x z x z + x z 1= =(x q i 1) x z + x z 1 (x i 1) (x q i 1) x z 1=0 z=0 dva cyklické kódy: G(x)=x+1 provšechna n 1 G(x)=x r +1 pro r n (kde njedélkakódovéhoslova) MI-AAK K3 34 c A. Pluháček 2011