Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)"

Transkript

1 MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 K3. Cyklickékódy mnohočleny, reprezentace slov, chyby a shluky chyb kódy generované mnohočlenem 1. typ násobení mnohočlenů syndrom chyb dělení mnohočlenů dělitelnost a stupeň mnohočlenů a jejich kongruence detekce shluků chyb kódy generované mnohočlenem a lineární kódy kódy generované mnohočlenem 2. typ cyklické kódy konečná tělesa kořeny mnohočlenu minimální mnohočleny Hammingovy kódy mnohočleny x i 1 MI-AAK c A. Pluháček 2011

3 mnohočleny mnohočleny nad tělesem GF(2): Příklad: C(x)=c n 1 x n 1 + +c 1 x+c 0 c i GF(2) x? xjeneznámá (doslova!) mnohočleny stupně < n: vektorový/lineární prostor (ale bez skalárního součinu) izomorfní s prostorem uspořádaných ntic: c n 1 x n 1 + +c 0 (c n 1,..., c 0 ) př.: n=7 x 5 +x 3 +x izomorfie jen: součet & násobení skalárem mnohočleny: násobení a dělení mnohočlenů obv. postup analogie s okruhem celých čísel dělitelnost MI-AAK K3 1 c A. Pluháček 2011

4 reprezentace slov a=(a k 1,...,a 0 ) A(x)=a k 1 x k 1 + +a 0 b=(b n 1,...,b 0 ) B(x)=b n 1 x n 1 + +b 0... a A(x) k bitů původní informace b B(x) nbitů vyslanádata kódovéslovo e E(x) nbitů chyby(chybovéslovo) c C(x) nbitů čtenádata slovo příklad: n=7 b= B(x)=x 5 +x 3 +x 2 = =0 x 6 +1 x 5 +0 x 4 +1 x 3 +1 x 2 +0 x 1 +0 x 0 blzetedypovažovatzajinouformuzápisu B(x) uvědomíme si: uspořádaná n-tice mnohočlen stupně n 1 < n MI-AAK K3 2 c A. Pluháček 2011

5 chyby a shluky chyb b+e=c B(x)+E(x)=C(x) shluk chyb E(x) E(x)=E (x) x j & x E (x) E (x) e = E (x) x j e j,kde joznačujeposuvojmístvlevo E (x) e tvarshlukuchyb j poziceshlukuchyb deg E (x)+1 délkashlukuchyb deg E (x)označujestupeňmnohočlenu E (x) příklad: E(x) shlukchybdélky4 E (x) 1011 j=2 deg E (x)=3 MI-AAK K3 3 c A. Pluháček 2011

6 kódy generované mnohočlenem 1. typ B(x)=A(x) G(x) G(x)=g r x r + +g 0 generovacímnohočlen x G(x) g 0 0 Proč? n=maxdeg B(x)+1 k =maxdeg A(x)+1 n=k+r r =deg G(x) deg G(x)... redundance(nadbytečnost) příklad: G(x)=x 3 +x+1 a=1010 A(x)=x 3 +x B(x)=A(x) G(x)=x 6 +x 3 +x 2 +x b= MI-AAK K3 4 c A. Pluháček 2011

7 násobení mnohočlenů příklad: B(x)=G(x) A(x)=(x 3 +x+1) (x 3 +x) 1 x 6 +0 x 5 +1 x 4 +1 x 3 G(x) x 3 0 x 5 +0 x 4 +0 x 3 +0 x 2 G(x) 0 1 x 4 +0 x 3 +1 x 2 +1 x 1 G(x) x 0 x 3 +0 x 2 +0 x 1 +0 x 0 G(x) 0 1 x 6 +0 x 5 +0 x 4 +1 x 3 +1 x 2 +1 x 1 +0 x 0 = B(x) zkrácenýzápis : (zde neoznačujeskalárnísoučin!!!) b=g a MI-AAK K3 5 c A. Pluháček 2011

8 B(x)=G(x) A(x) násobení mnohočlenů ii G(x)=g 3 x 3 + +g 0 = x 3 +x+1 předchozí příklad: b klopný obvod typud MI-AAK K3 6 c A. Pluháček 2011

9 B(x)=G(x) A(x) násobení mnohočlenů iii G(x)=g 3 x 3 + +g 0 = x 3 +x+1 předchozí příklad: b MI-AAK K3 7 c A. Pluháček 2011

10 syndrom chyb kód generovaný mnohočlenem: B(x) = A(x) G(x) G(x) B(x) B(x)%G(x)=0 (% označuje zbytek po dělení) B(x)+E(x)=C(x) E(x)=0 C(x)%G(x)=0 S(x)=C(x)%G(x) syndromchyb! S(x)=0 C(x) kódovéslovo S(x)=C(x)%G(x)=[B(x)+E(x)]%G(x)= = B(x)%G(x)+E(x)%G(x)= =0+E(x)%G(x)= = E(x)%G(x) syndrom závisí pouze na chybách MI-AAK K3 8 c A. Pluháček 2011

11 dělení mnohočlenů příklad: C(x)=x 6 +x 2 +x dělenec G(x)=x 3 +x+1 dělitel 1 x x 5 +0 x 4 +0 x 3 +1 x 2 +1 x 1 +0 x 0 = 1 x 3 1 x x 5 +1 x 4 +1 x 3 0 x x 4 +1 x 3 +1 x 2 = 0 x 2 0 x x 4 +0 x 3 +0 x 2 1 x x 3 +1 x 2 +1 x 1 = 1 x 1 1 x x 3 +1 x 2 +1 x 1 1 x x 2 +0 x 1 +0 x 0 = 1 x 0 1 x x 2 +1 x 1 +1 x 0 0 x x 1 +1 x 0 zbytek C(x)%G(x) = x+1 podíl C(x) G(x) = x 3 +x+1 MI-AAK K3 9 c A. Pluháček 2011

12 dělení mnohočlenů ii zkrácenýzápis : :1011= C(x) G(x) 1011 C(x) G(x) 1011 C(x)%G(x) 011 výstup: nejprve C(x) G(x) potom C(x)%G(x) MI-AAK K3 10 c A. Pluháček 2011

13 dělitelnost a stupeň mnohočlenů označení: P(x) Q(x) podíl P(x)%Q(x) zbytek P(x)%Q(x)=0 Q(x) P(x) Q(x) P(x) deg P(x) stupeňmnohočlenu P(x) deg0= (???deg0= 1???) deg(p(x)+q(x)) max(deg P(x),deg Q(x)) deg(p(x) Q(x)) = deg P(x)+deg Q(x) deg(p(x)%q(x)) < deg Q(x) Q(x) 0 deg(p(x) Q(x)) = deg P(x) deg Q(x) Q(x) 0 Q(x) P(x) X(x) P(x)=Q(x) X(x) Q(x)jedělitelem P(x) MI-AAK K3 11 c A. Pluháček 2011

14 dělitelnost a stupeň mnohočlenů ii nerozložitelný(ireducibilní) mnohočlen(polynom) P(x): nemájinédělitelenež1ap(x)ajejichskalárnínásobky obdoba prvočísel polynom Q(x) lze rozložit na prvočinitele prvočinitel = nerozložitelný mnohočlen rozklad na prvočinitele je jednoznačný (až na skalární násobky) příklad: x 7 +1=(x 3 +x 2 +1) (x 3 +x+1) (x+1) MI-AAK K3 12 c A. Pluháček 2011

15 kongruence mnohočlenů ( K(x)) P(x)=Q(x)+M(x) K(x) P(x) Q(x) mod M(x) Mnohočleny P(x)aQ(x)jsou kongruentní modulo M(x). P(x) Q(x)mod M(x) P(x)%M(x)=Q(x)%M(x) Kongruence je relace reflexivní, symetrická a tranzitivní. P(x) Q(x)&U(x) V(x) P(x)+U(x) Q(x)+V(x) P(x) U(x) Q(x) V(x) P(x)+X(x) Q(x)+X(x) P(x) X(x) Q(x) X(x) mod M(x) MI-AAK K3 13 c A. Pluháček 2011

16 detekce shluků chyb shlukchyb E(x): E(x)=E (x) x j & x E (x) E (x) tvarshlukuchyb L=deg E (x)+1 délkashlukuchyb detekcechyb: S(x)=E(x)%G(x) 0? x G(x) = x j nemávliv E (x)%g(x)=0? E (x) 0 deg E (x) <deg G(x) } = E (x)%g(x) 0 Lze tedy zjistit všechny shluky chyb délky L r=deg G(x). příklad: G(x)=x = L 16 MI-AAK K3 14 c A. Pluháček 2011

17 kódy generované mnohočlenem a lineární kódy A(x)=a k 1 x k 1 + +a 0 B(x)=A(x) G(x)= = a k 1 G(x) x k a 0 G(x) G(x) x k 1,..., G(x) lineárněnezávislé deg A(x) < k báze lineárního prostoru A(x) G(x) všechny lineární kombinace Kód generovaný mnohočlenem je lineární.? Existuje generovací matice G?? Existuje-li, jaký má tvar? MI-AAK K3 15 c A. Pluháček 2011

18 kódy generované mnohočlenem a lineární kódy ii G(x)=g r x r + +g 0 g=(g r,..., g 0 ) G(x) x j g j a j x j G(x) a j (g j) G generovacímatice a=(a k 1,...,a 0 ), a j =1aa i =0,je-li i j a G=g j,kdeg j je j-týřádekmaticeg G= g (k 1) g (k 2). = g g r g r g r g 0 MI-AAK K3 16 c A. Pluháček 2011

19 kódy generované mnohočlenem 2. typ kód generovaný mnohočlenem(1. typ) B(x)=A(x) G(x) nebývásystematický příklad: G(x)=x 3 +x+1 G=? Jak vytvořit systematický klon? B(x)=A(x) x r + A(x) x r % G(x), kde r=deg G(x) kód generovaný mnohočlenem 2. typ příklad: G(x)=x 3 +x+1 A(x) 0101 A(x) x A(x) x 3 % G(x) 100 B(x) MI-AAK K3 17 c A. Pluháček 2011

20 kódy generované mnohočlenem 2. typ ii příklad: G(x)=x 3 +x+1 b a 1.typ 2.typ totéž osmičkově MI-AAK K3 18 c A. Pluháček 2011

21 cyklické kódy cyklický kód: lineární kód cyklický posuv kódového slova kódové slovo příklad: b a K 1 K 2 K α β γ δ K 1 jecyklickýkód K 2 nenícyklickýkód nenílineární K 3 nenícyklickýkód např. β 1 K 3 MI-AAK K3 19 c A. Pluháček 2011

22 cyklické kódy a kódy generované mnohočlenem předpoklad: G(x) (x n 1), tzn.: H(x) G(x) H(x)=x n 1 B(x)=b n 1 x n 1 + +b 0 = G(x) A(x) cyklický posuv vlevo: B (x)=b(x) x b n 1 x n + b n 1 = = B(x) x b n 1 (x n 1)= = A(x) G(x) x b n 1 G(x) H(x)= =[A(x) x+b n 1 H(x)] G(x) G(x) B (x) = kód(n, k)generovaný mnohočlenem G(x) je cyklický Platí pro 1. typ kódů generovaných mnohočlenem, ale i pro 2. typ kódů generovaných mnohočlenem a pro všechny jejich klony. MI-AAK K3 20 c A. Pluháček 2011

23 cyklické kódy a kódy generované mnohočlenem ii předpoklad: K cyklický kód (tzn.:lineárníkód+posuvkódovéhoslova...) kódováslova: b 0,b 1,... B 0 (x), B 1 (x),... b 0 =0 B 0 (x)=0 ( i >1)deg B 1 (x) deg B i (x) = ( i >1)deg B 1 (x) deg B i (x) (existuje jediný mnohočlen tohoto stupně) (jinak by existoval nenulový mnohočlen nižšího stupně) označme G(x)=B 1 (x) r=deg G(x)=deg B 1 (x) G(x), G(x) x,..., G(x) x n r 1 lineárněnezávislé a tvoří bázi kódu generovaného mnohočlenem G(x) = Každý cyklický kód nebo nějaký jeho klon je kód generovaný nějakým mnohočlenem G(x). Mnohočlenem G(x) je mnohočlen nejnižšího stupně příslušející nenulovému kódovému slovu. MI-AAK K3 21 c A. Pluháček 2011

24 dva jednoduché cyklické kódy G(x)=x+1 Æsystematickýkód (kód2.typu) B(x)=G(x) A(x) x=1 = G(x)=G(1)=0 = B(x)=0 = B(x)=b n 1 + +b 0 =0 = parita(sudá) cyklický kód pro každé n G(x)=x r +1 Æsystematickýkód (kód2.typu) x r 1 mod G(x) B(x)=b n 1 x n 1 + +b 0 B(x)=B j (x) (x r ) j + +B 0 (x) (x r ) 0 B(x) B j (x)+ +B 0 (x)mod G(x) = podélná parita rticbitů(sudá) r n cyklickýkód MI-AAK K3 22 c A. Pluháček 2011

25 konečná tělesa konečné těleso Galoisovo těleso GF(q) q=p,kde pjeprvočíslo prvky: uav nezápornáceláčíslamenšínež p u+v (u+v)%p u v (u v)%p q=p m,kde pjeprvočísloam >1přirozenéčíslo P(z) nerozložitelný mnohočlen nad tělesem GF(p), deg P(z)=m prvky: U(z)aV(z) mnohočlenystupně < m U(z)+V(z) sčítáníkoeficientůmod p U(z) V(z) [ U(z) V(z)]%P(z) Neexistuje konečné těleso s jiným počtem prvků! } P(z) GF(q) Všechna konečná tělesa se stejným počtem prvků jsou vzájemněizomorfní! (méněpřesně: jsouvšechnastejná ) MI-AAK K3 23 c A. Pluháček 2011

26 př.: GF(7) konečná tělesa ii 3+6=2 (protože3+6%9=7%7=2) 3 6=4 (protože3 6%7=18%7=4) atp =4, 2 3 =4 2=1, 2 4 =1 2=2, 2 5 =1 2=4, =1,3 1 =3,3 2 =2,3 3 =6,3 4 =4,3 5 =5,3 6 =1 5 0 =1,5 1 =5,5 2 =4,5 3 =6,5 4 =2,5 5 =3,5 6 =1 MI-AAK K3 24 c A. Pluháček 2011

27 konečná tělesa iii př.: GF(4)=GF(2 2 ) P(z)=z 2 + z+1 prvkygf(8): 0, 1, z, z+1 (z+1)+z=1 (z+1)+1=z atp. nerozložitelný mnohočlen 2. stupně nad tělesem GF(2) z z= z+1 [protože z z% P(z)=z 2 % P(z)=z+1] (z+1) z=1 [protože(z+1) z% P(z)= =(z 2 +z) % P(z)=1] atp. z 0 =1, z 1 = z, z 2 = z+1, z 3 = z 2 z=1 atd. MI-AAK K3 25 c A. Pluháček 2011

28 konečná tělesa iv ϑ GF(q), ϑ 0 (např.číslo unebomnohočlen U(z)) způsob zápisu prvku ϑ není podstatný ( i) ϑ i =1 nejmenšítakové isenazývářádprvku ϑ V každém konečném tělese existuje aspoň jeden prvek α řádu q 1; takovýprveksenazýváprimitivníprvek. = Každýprvek ϑ 0jenějakoumocninouprvku α. P(z) GF(p m ) Je-li z primitivním prvkem tělesa, P(z) se nazývá primitivní mnohočlen. řádmnohočlenu P(z): j=ord P(z) P(z) (z j 1) & ( i < j) P(z) (z i 1) ord P(z)=p deg P(z) 1 P(z)jeprimitivní MI-AAK K3 26 c A. Pluháček 2011

29 konečná tělesa v příklad: p=2 P(z)=(z 2 + z+1) (z 3 +1) & P(z) (z 1 +1) & P(z) (z 2 +1) ord P(z)=3=p 2 1Æřád P(z) deg P(z)=2Æstupeň P(z) P(z) je primitivní mnohočlen: GF(2 2 )=GF(4): prvky ϑ {0,1, z, z+1} primitivníprvek α=z 0+ϑ=ϑ ϑ+ϑ=0 z+1=(z+1) (z+1)+1=z (z+1)+z=1 0 ϑ=0 1 ϑ=ϑ z z=z 2 % P(z)=z+1 z (z+1)=(z 2 +z)%p(z)=1 (z+1) (z+1)=(z 2 +1)%P(z)=z MI-AAK K3 27 c A. Pluháček 2011

30 konečná tělesa vi příklad: GF(4) z 2 +z+1 různé způsoby označování prvků: z 10 2 z mocniny primitivního prvku α: příklad použití: 3 3=α 2 α 2 =α 4 =α 3 α 1 = =2 neboli 11 11=10 anebo(z+1) (z+1)=z i α i = z i z z MI-AAK K3 28 c A. Pluháček 2011

31 kořeny mnohočlenu charakteristika tělesa χ nejmenší takové číslo, že χ i=1 1=0 GF(p m ),kde pjeprvočíslo = χ=p F(x) mnohočlennadtělesemgf(p),tzn. koeficienty mnohočlenu GF(p) ξ GF(q)=GF(p m ) & F(ξ)=0 ξjekořennebolinulamnohočlenu F(x) Y(x) F(x)=(x ξ) Y(x) (x ξ) F(x) F(ξ)=0 = F(ξ χ )=0 příklad: z 3 + z+1 GF(8) F(x)=x 3 + x 2 +1 F(z 3 )=0 F(z 6 )=0 F(z 12 )=F(z 5 )=0 MI-AAK K3 29 c A. Pluháček 2011

32 P(z) GF(q)=GF(p m ) β GF(q) M β (β)=0 minimální mnohočleny F(β)=0 deg F(x) deg M β (x) M β (x)je minimální mnohočlen prvku β minimální mnohočlen jeprodanýprvekjediný (ažnasvojenaskalárnínásobky) F(β)=0 M β (x) F(x) M α (x)=p(x) αjeprimitivníprvek minimálnímnohočlen M β (x)prvku β=α i,budeoznačován též M #i (x) MI-AAK K3 30 c A. Pluháček 2011

33 minimální mnohočleny ii Jak nalézt minimální mnohočlen? β GF(p m ) M β (x)=? ( M β (x)=(x β) x βp ) (p j 1)... x β, kde j >1jetakovénejmenšíčíslo,že β (pj ) = β γ= β p = M γ (x)=m β (x) př.: GF(4)=GF(2 2 ) ϑ=3=z+1 ϑ 2 =2=z ϑ 4 =3=z+1 M ϑ (x)=(x 2)(x 3)=x 2 + x+1 κ=2=z M κ (x)=m ϑ (x)=x 2 + x+1 λ=1 M λ (x)=x+1 µ=0 M µ (x)=x MI-AAK K3 31 c A. Pluháček 2011

34 Hammingovy kódy kontrolní matice H Hammingova kódu K všechny možné vzájemně různé nenulové sloupce, např. H= α n 1 α n 2... α 1, kde n=2 m 1a αjeprimitivníprvektělesagf(2 m ) syndrom: s=c H T =e H T c=(c n-1,...,c 0 ) C(x)=c n-1 x n-1 + +c 0 s=c n-1 α n c 1 α+c 0 = C(α) s=0 αjekořenem C(x) M α (x) C(x) M α (x)jegenerovacímmnohočlenem K(nebojehoklonu) MI-AAK K3 32 c A. Pluháček 2011

35 Hammingovy kódy ii G(x) nerozložitelný mnohočlen, deg G(x) 2 Hammingůvkódsdélkouslova n=ord G(x) příklad: G(x)=(x 8 +x 4 +x 3 +x 2 +1) (x ) r=deg G(x)=8 n=ord G(x)=255 k=n r=255 8=247 G(x) generuje cyklický Hammingův kód(255, 247) Platíinaopak: Je-li KHammingůvkód(n, k), existuje mnohočlen G(x), který generuje cyklický kód ekvivalentní kódu K nebo jeho klon. MI-AAK K3 33 c A. Pluháček 2011

36 mnohočleny x i 1 (x i 1) (x j 1) i j důkaz: 1. j= q i & y= x i x j = y q 1jekořenem y q 1 y q 1=(y 1) (něco) 2. předp.: j= q i+z,kde z= j% q x j 1=x q i x z 1=x q i x z x z + x z 1= =(x q i 1) x z + x z 1 (x i 1) (x q i 1) x z 1=0 z=0 dva cyklické kódy: G(x)=x+1 provšechna n 1 G(x)=x r +1 pro r n (kde njedélkakódovéhoslova) MI-AAK K3 34 c A. Pluháček 2011

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Cyklické redundantní součty a generátory

Cyklické redundantní součty a generátory Cyklické redundantní součty a generátory pseudonáhodných čísel Rostislav Horčík: Y01DMA 20. dubna 2010: CRC a pseudonáhodná čísla 1/17 Definice Řekneme, že polynomy a(x), b(x) jsou kongruentní modulo m(x),

Více

Dělení. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Dělení. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Dělení c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha& EU:

Více

Odčítáníazobrazení zápornýchčísel

Odčítáníazobrazení zápornýchčísel MI-AAK(Aritmetika a kódy) Odčítáníazobrazení zápornýchčísel c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A

ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

PŘEDNÁŠKA PS 6 Přenos dat v počítačových sítích

PŘEDNÁŠKA PS 6 Přenos dat v počítačových sítích PŘEDNÁŠKA PS 6 Přenos dat v počítačových sítích Část 2 Osnova Metody detekce chybovosti Pravděpodobnost chyby ve zprávě Parita Kontrolní blokový součet (pseudosoučet) Redundantní cyklické kódy Jiný způsob

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x4-16 - e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme:

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Algebraické struktury

Algebraické struktury Algebraické struktury KMA/ALG Sylabus Teorie grup - grupy, podgrupy, normální podgrupy, faktorgrupy, Lagrangeova věta. Homomorfismus grup, věty o izomorfismu grup, cyklické grupy a jejich struktura. Direktní

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Číselnésoustavy, sčítáníasčítačky

Číselnésoustavy, sčítáníasčítačky MI-AAK(Aritmetika a kódy) Číselnésoustavy, sčítáníasčítačky c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,

Více

1 Teorie čísel. Základní informace

1 Teorie čísel. Základní informace 1 Teorie čísel Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními termíny z teorie čísel, seznámí se s pojmy faktorizace, dělitelnost, nejmenší společný násobek. Dále se seznámí

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

dr. Gollové vyjít, se podívat sem. Když si budete ty příklady jen tupě pročítat, tak se naučíte lim 0. Pokud máte

dr. Gollové vyjít, se podívat sem. Když si budete ty příklady jen tupě pročítat, tak se naučíte lim 0. Pokud máte Úvod Právě se díváte na moje řešení příkladů z X01AVT z roku 2007/2008. Zajisté obsahují spousty chyb a nedokáže je pochopit nikdo včetně autora, ale aspoň můžou posloužit jako menší návod k tomu, jak

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Splněno ANO/NE/hodnota

Splněno ANO/NE/hodnota část 1 - software pro přípravu interaktivních výukových hodin postavený na aktivní účasti žáků základní specifikace: autorský objektově orientovaný výukový software v českém jazyce s implementovanou galerií

Více

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI LINEÁRNÍ ALGEBRA RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI Jihlava, říjen 2012 ISBN 978 80 87035 65-8 Úvod do studia předmětu Základy lineární algebry Milí studenti! Lineární algebra, kterou

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem

Více

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková

Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Matematické základy kryptografických algoritmů Eliška Ochodková Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/14

Kapitola 7: Integrál. 1/14 Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci

Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci Kapitola 4 Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci 4.1 Polyadické číselné soustavy a jejich vlastnosti Polyadické soustavy jsou určeny přirozeným číslem z, kterému se říká základ nebo báze dané

Více

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 4. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:42 Obsah 1 Dělitelnost 1 1.1 Největší společný dělitel................................

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Predikátová logika. 3.1 Formule predikátové logiky

Predikátová logika. 3.1 Formule predikátové logiky 12 Kapitola 3 Predikátová logika 3.1 Formule predikátové logiky 3.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolů uvedených v textu.

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

2. ročník, 2012/ 2013 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks. i d 1azároveň p α i+1. i d. Konečně definujme k. L = p d/p i α i

2. ročník, 2012/ 2013 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks. i d 1azároveň p α i+1. i d. Konečně definujme k. L = p d/p i α i Řešení 2. série ÚlohaN2. Jedánopřirozenéčíslo d.dokažte,žejemožnénajíttakovékladnéreálnéčíslo c, žeprovšechnapřirozenáčísla n > dplatínerovnost [n 1,n 2,...,n d] > cn d. Hranatými závorkami značíme nejmenší

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

Úvod do teorie dělitelnosti

Úvod do teorie dělitelnosti Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace

Více