Číselnésoustavy, sčítáníasčítačky

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Číselnésoustavy, sčítáníasčítačky"

Vítězslav Němeček
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 MI-AAK(Aritmetika a kódy) Číselnésoustavy, sčítáníasčítačky c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti

, 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních

2 A1. Číselné soustavy, sčítání a sčítačky číselné soustavy standardní soustavy řádová mřížka základní operace v obecné řádové mřížce dvojkové sčítačky úplná sčítačka a poloviční sčítačka sčítačka s postupným šířením přenosu sčítačka s výhybkami sčítačka s predikcí přenosů kaskádní zapojení sčítačka s podmíněnými součty sčítání v rámci řádové mřížky MI-AAK c A. Pluháček 2011

sčítačka s postupným šířením přenosu sčítačka s výhybkami sčítačka s predikcí přenosů

3 číselné soustavy číselné soustavy poziční zejm. polyadické standardní desítková dekadická dvojková binární či dyadická osmičková oktalová šestnáctková hexadecimální trojková ternární či triadická apod. nestandardní se záporným základem(zejm. soustava polská) s relativními číslicemi soustava o několika základech aj. nepoziční tzv. římská čísla soustava zbytkových tříd(soustava česká) aj. MI-AAK A1 1 c A. Pluháček 2011

hexadecimální trojková ternární či triadická apod. nestandardní se záporným základem(zejm.

4 standardní soustavy standardní číselné soustavy polyadické A a n a n 1... a 0, a 1... a m A= n a i z i i= m z 2 základ(neboli báze) soustavy přirozené číslo a i 0; z) číslice(neboli cifry) nezáporná celá čísla 0 A z n+1 z m!!! Nelze zobrazit záporná čísla!!! MI-AAK A1 2 c A. Pluháček 2011

5 řádová mřížka n... nejvyššířád m... nejnižšířád A a n a n 1... a 0, a 1... a m A=a n z n + a n 1 z n a 0 + a 1 z 1... a m z m z... základčíselnésoustavy Z= z n+1 modulřádovémřížky nenízobrazitelný ε=z m jednotkařádovémřížky nejmenšíkladné zobrazitelné číslo zobrazitelnáčísla A: 0 A=k ε < Z, kjeceléčíslo k=a/ε=a = A=A jednotek ε A číslicevzápisučísla A ε polohařádovéčárky MI-AAK A1 3 c A. Pluháček 2011

.. základčíselnésoustavy Z= z n+1 modulřádovémřížky nenízobrazitelný ε=z m jednotkařádovémřížky

6 základní operace v obecné řádové mřížce sčítání a odčítání stejné řádové mřížky obou operandů a výsledku: A=A ε } B= B ε A ± B= A ε ± B ε=(a ± B ) ε Př.: z=10, Z=10=10 n+1, ε=0,01=10 m n=0, m=2 (neboli m= 2) A=1,23 A =1,23/0,01=123 B=4,56 B =4,56/0,01=456 A=1,23+4,56=( ) 0,01= = 579 0,01=5,79 různé řádové mřížky: převod do vhodné řádové mřížky přidání nul Př.: 1,234+56,7 = 01,234+56,700 = 57,934 Závěr: Sčítání a odčítání v obecné řádové mřížce lze snadno převést na sčítání a odčítání celých čísel. MI-AAK A1 4 c A. Pluháček 2011

: z=10, Z=10=10 n+1, ε=0,01=10 m n=0, m=2 (neboli m= 2) A=1,23 A =1,23/0,01=123 B=4,56 B =4,56/0,01=456 A=1,23+4,56=(123+456) 0,01= =

7 základní operace v obecné řádové mřížce ii násobení: A=A ε A B= B ε B } A B = A ε A B ε B = =(A B ) ε A ε B Př.: z=10 Z A =10, ε A =0,01, n A =0, m A =2 Z B =100, ε B =0,1, n B =1, m B =1 7,01 80,3=( ) 0,001= = ,001=562,903 Závěr: Násobení v obecné řádové mřížce lze snadno převést na násobení celých čísel. MI-AAK A1 5 c A. Pluháček 2011

8 dvojkové sčítačky úplná sčítačka(jednomístná dvojková sčítačka) [full adder] a b p q s s = a b p= = abp+abp+abp+abp q =M 3 (a, b, p)= = ab+ap+bp= = ab ap bp= = ab+(ap bp) MI-AAK A1 6 c A. Pluháček 2011

1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 s = a b p= = abp+abp+abp+abp q =M 3 (a, b,

9 dvojkové sčítačky ii poloviční sčítačka(půlsčítačka) [half adder] a b q s s = a b = ab+ab q=a b MI-AAK A1 7 c A. Pluháček 2011

10 sčítačka s postupným šířením přenosu sčítačka s postupným šířením přenosu [ripple-carry adder] n=3 Z=16 A a 3 a 2 a 1 a 0 B b 3 b 2 b 1 b 0 S s 3 s 2 s 1 s 0 p i+1 = q i zapojení s půlsčítačkami S= A+B+ p 0 q n Z MI-AAK A1 8 c A. Pluháček 2011

a 0 B b 3 b 2 b 1 b 0 S s 3 s 2 s 1 s 0 p i+1 = q i zapojení

11 sčítačka s postupným šířením přenosu ii q i = a i b i + a i p i + b i p i... přenosdovyššíhořádu q i = a i b i +(a i p i b i p i )=a i b i +(a i b i ) p i a i =0ab i =0 q i =0...přenosvřádu izaniká a i =1ab i =1 q i =1...přenosvřádu ivzniká jinak(je-li a i b i ) q i = p i...přenospřesřád iprochází p i+1 = q i = p i!aleažvustálenémstavu! p i+1 jezpožděnovůči p i zpoždění se kumulují frekvence hodinových pulsů nutno uvažovat největší zpoždění q i = G i + P i p i,kde G i = a i b i (přenosvřádu ivzniká generujesevněm) P i = a i b i (přenos prochází řádem i) P i =1, P i+1 =1,..., P i+k =1 = q i+k = p i p i P i P i+1 =1,... P i+k =1 = q i+k =1 MI-AAK A1 9 c A. Pluháček 2011

..přenosvřádu ivzniká jinak(je-li a i b i ) q i = p i...přenospřesřád iprochází p i+1 = q i = p i!aleažvustálenémstavu!

12 sčítačka s výhybkami sčítačka s výhybkami [carry skip adder] Sčítačka je rozdělena na sekce po k řádech. Přenos, který by muselprojítpřes křádůsekciobejde,po výhybce. Poznámky: Ke snížení maximálního zpoždění dojde jen v případě, že sekce jsou aspoň tři. Místo P i = a i b i lzeevidentněpoužít P i = P i+ G i, tzn. P i = a i+ b i. Je-li úplná sčítačka vytvořena ze dvou půlsčítaček, lze použítjako P i = a i b i výstupprvnípůlsčítačky. Sekce lze sdružovat(analogicky jako sčítačky) dovětšíchsekcí(dojakýchsi nadsekcí ), atypopř.doještěvětšíchsekcíatd. MI-AAK A1 10 c A. Pluháček 2011

Poznámky: Ke snížení maximálního zpoždění dojde jen v případě, že sekce jsou aspoň tři.

13 sčítačka s výhybkami ii Př.:3sekcepo4řádech celkem21bitů jedna sekce: tři sekce: MI-AAK A1 11 c A. Pluháček 2011

14 sčítačka s predikcí přenosů sčítačka s predikcí přenosů [carry look-ahead adder] q = ab+(ap bp)=ab+(a b) p=g+p p = ab+ap+bp = ab+(a+b) p=g+p p G i = a i b i P i = a i b i P i = a i+ b i přenossevřádu igeneruje přenos prochází řádem i přenos prochází řádem i nebosevněmgeneruje q 0 = p 1 = G 0 + P 0 p 0 q 1 = p 2 = G 1 + P 1 p 1 q 1 = p 2 = G 1 + P 1 G 0 + P 1 P 0 p 0 q 2 = p 3 = G 2 + P 2 G 1 + P 2 P 1 G 0 + P 2 P 1 P 0 p 0 atd. Místo P i lzepoužít P i. MI-AAK A1 12 c A. Pluháček 2011

přenos prochází řádem i nebosevněmgeneruje q 0 = p 1 = G 0 + P 0 p 0 q 1 = p 2 = G 1 + P 1 p 1 q 1 = p 2 = G 1 + P 1 G 0

15 sčítačka s predikcí přenosů ii predikce: p 1 = G 0 + P 0 p 0 p 2 = G 1 + P 1 G 0 + P 1 P 0 p 0 p 3 = G 2 + P 2 G 1 + P 2 P 1 G 0 + P 2 P 1 P 0 p 0 p 4 = G 3 + P 3 G 2 + P 3 P 2 G 1 + P 3 P 2 P 1 G P 3 P 2 P 1 P 0 p 0 MI-AAK A1 13 c A. Pluháček 2011

16 sčítačka s predikcí přenosů iii predikce: p 1 = G 0 + P 0 p 0 p 2 = G 1 + P 1 G 0 + P 1 P 0 p 0 p 3 = G 2 + P 2 G 1 + P 2 P 1 G 0 + P 2 P 1 P 0 p 0 p 4 = G 3 + P 3 G 2 + P 3 P 2 G 1 + P 3 P 2 P 1 G P 3 P 2 P 1 P 0 p 0 MI-AAK A1 14 c A. Pluháček 2011

17 sčítačka s predikcí přenosů iv sčítačka s predikcí přenosů na bázi půlsčítaček MI-AAK A1 15 c A. Pluháček 2011

18 sčítačka s predikcí přenosů kaskádní zapojení 4bitová sekce (jako příklad): p 1 = G 0 + P 0 p 0 p 2 = G 1 + P 1 G 0 + P 1 P 0 p 0 p 3 = G 2 + P 2 G 1 + P 2 P 1 G 0 + P 2 P 1 P 0 p 0 p 4 = G 3 + P 3 G 2 + P 3 P 2 G 1 + P 3 P 2 P 1 G P 3 P 2 P 1 P 0 p 0 G = G 3 + P 3 G 2 + P 3 P 2 G 1 + P 3 P 2 P 1 G 0 P = P 3 P 2 P 1 P 0 G... vsekcisegenerujepřenoszjejíhonejvyššíhořádu P... přenossekcíprochází p 4 = G + P p 0 MI-AAK A1 16 c A. Pluháček 2011

2 P 1 G 0 + + P 3 P 2 P 1 P 0 p 0 G = G 3 + P 3 G 2 + P 3 P 2 G 1 + P 3 P 2 P 1 G 0 P = P 3 P 2 P 1 P 0 G.

19 sčítačka s predikcí přenosů kaskádní zapojení ii MI-AAK A1 17 c A. Pluháček 2011

20 sčítačka s podmíněnými součty sčítačka s podmíněnými součty [conditional sum adder] stavební prvek: multiplexor: s 0 = a b... součet,je-li p=0 s 1 = a b 1... součet,je-li p=1 q 0 = a b... přenos,je-li p=0 q 1 = a+b... přenos,je-li p=1 dvojice multiplexorů: MI-AAK A1 18 c A. Pluháček 2011

.. součet,je-li p=0 s 1 = a b 1... součet,je-li p=1 q 0 = a b.

21 sčítačka s podmíněnými součty ii zapojení 8bitové sčítačky MI-AAK A1 19 c A. Pluháček 2011

22 sčítačka s podmíněnými součty iii Není-litřebaurčovatnapř.přenosyzřádů0,1,...,6,lze vypustit příslušné multiplexory: MI-AAK A1 20 c A. Pluháček 2011

23 sčítačka s podmíněnými součty iv 4bitová sčítačka MI-AAK A1 21 c A. Pluháček 2011

24 sčítačka s podmíněnými součty v 4bitovásčítačka p=? prop= { 0 1 MI-AAK A1 22 c A. Pluháček 2011

25 sčítačka s podmíněnými součty vi 4bitovásčítačka p=? prop= { 0 1 MI-AAK A1 23 c A. Pluháček 2011

26 sčítačka s podmíněnými součty vii 4bitovásčítačka p=? prop= { 0 1 MI-AAK A1 24 c A. Pluháček 2011

27 sčítání v rámci řádové mřížky Výstupsčítačky: S= A+B+ p 0 q n Z Nechť p 0 =0 (nebo úplná sčítačka v řádu 0 je nahrazena půlsčítačkou): S= A+B q n Z Sselišíod A+Bonásobek Z S A+B (mod Z) grafické znázornění(obdoba ciferníku na hodinách): = MI-AAK A1 25 c A. Pluháček 2011

28 sčítání v rámci řádové mřížky ii = průchodnulou přenosznejvyššíhořádu q n =1 v tomto případě(sčítání čísel bez znaménka): q n =1 A+B Z (Z= =16 10 ) q n =1 přeplnění(přetečení) překročenírozsahu obecně však:!!! přenos přeplnění(přetečení)!!! přeplnění angl. overflow MI-AAK A1 26 c A. Pluháček 2011

Podobné dokumenty

B. Sčítání,odčítání adoplňkovýkód

B. Sčítání,odčítání adoplňkovýkód číselné soustavy a řádová mřížka sčítání a odčítání racionálních a celých čísel úplná a poloviční sčítačka sčítačka s postupným šířením přenosu a s predikcí přenosů sčítání