Konstrukce obecného řešení systému dvou diskrétních rovnic metodou vlastních vektorů

Transkript

1 Konstrukce obecného řešení systému dvou diskrétních rovnic metodou vlastních vektorů JOSEF DIBLÍK Ústav matematiky a deskriptivní geometrie Fakulta stavební Vysoké učení technické v Brně Žižkova 7, 662 7, Brno, Česká republika diblik.j@fce.vutbr.cz JAROSLAV KLIMEK Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Vysoké učení technické v Brně Technická 8, 66 00, Brno, Česká republika xklime@stud.feec.vutbr.cz Abstrakt V tomto příspěvku je popsána konstrukce obecného řešení soustavy dvou homogenních lineárních diferenčních rovnic s konstantními koeficienty metodou vlastních vektorů. V případě násobného kořene charakteristické rovnice je dán algoritmus konstrukce řešení systému. Konstrukce obecného řešení je v případě násobného kořene demonstrována na příkladu, který je vyřešen navrženou metodou a pro porovnání také diskrétní obdobou Putzerova algoritmu pro řešení diskrétních rovnic. Úvod Nechť je dána soustava lineárních diferenčních rovnic s konstantními koeficienty x(n + = Ax(n, ( kde A je reálná čtvercová matice řádu 2 a x = [x, x 2 ] je hledaný vektor řešení, který závisí na proměnné n, tj. x = x(n, n n 0, n 0 Z. Předpokládáme, že netriviální řešení x 0 soustavy ( má tvar x = vλ n, (2 kde λ je vhodné reálné číslo a v je vhodný konstantní vektor. Dosadíme-li tvar (2 do soustavy (, dostaneme vλ n+ = Avλ n

2 a v jiné podobě Avλ n λvλ n = (A λivλ n = 0, kde I je čtvercová jednotková matice rozměru 2 2 a 0 je nulový vektor. Po krácení výrazem λ n dostaneme (A λiv = 0. ( Systém ( již neobsahuje nezávislou proměnnou n, je lineární algebraickou soustavou rovnic vzhledem ke složkám vektoru v a bude mít nenulové řešení v pouze tehdy, když det(a λi = 0. (4 Výše uvedená rovnice (4 se nazývá charakteristická rovnice. Její kořeny nazýváme vlastními čísly matice A. Pokud je λ = λ vlastním číslem matice A a vektor v = v je nenulovým řešením soustavy (A λ Iv = 0, pak nazýváme vektor v vlastním vektorem matice A. Potom vektorová funkce je jedním z řešení soustavy (. x = v (λ n 2 Případ navzájem různých kořenů charakteristické rovnice V případě, že charakteristická rovnice (4 má dva navzájem různé reálné kořeny λ, λ 2 a dva odpovídající (nenulové vlastní vektory v, v 2, je konstrukce obecného řešení soustavy rovnic ( jednoduchá. Dvě vektorové funkce v λ n, v 2 λ n 2 tvoří fundamentální systém řešení soustavy rovnic (. Obecné řešení této soustavy lze vyjádřit ve tvaru x(n = K v λ n + K 2 v 2 λ n 2, kde K, K 2 jsou libovolné konstanty. Případ násobných kořenů charakteristické rovnice V předchozí kapitole byl rozebrán případ dvou nenásobných vlastních čísel. Konstrukce fundamentálního systému řešení je komplikovanější v případě, kdy jsou kořeny charakteristické rovnice násobné. Vlastnímu číslu λ násobnosti dvě odpovídají dvě lineárně nezávislá řešení. Jedno z nich má tvar, který jsme předpokládali, tj. tvar (2.

3 . Spojitý případ - systém dvou diferenciálních rovnic Uveďme analogii řešeného problému pro případ systému diferenciálních rovnic. Nechť je dán systém dvou diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty y = Ay a nechť má charakteristická rovnice tohoto systému dvojnásobný kořen λ. Předpokládejme, že hodnost matice (A λi je rovna jedné. Potom vektorové funkce v e λt, (v t + v 2 e λt, kde v, v 2 jsou nenulové vektory vyhovující vztahům (viz např. [2] tvoří fundamentální systém řešení. (A λiv = 0, (5 (A λiv 2 = v, (6.2 Diskrétní případ Nyní bude ukázáno, že v případě systému diskrétních rovnic se konstrukce vektorů, analogických vektorům v, v 2 odlišuje od konstrukce vektorů v, v 2 ve spojitém případě. Tyto vektory již nelze konstruovat jako nenulová řešení ze systémů (5, (6. Přesněji, systém (6 je nutné nahradit jiným systémem. Uvažujme systém (. Jak již bylo uvedeno výše, platí (A λiv = 0, kde v je vlastní vektor matice A, příslušející vlastnímu číslu λ. Vektor x (n = v λ n je tedy řešením soustavy (. Předpokládejme, že hodnost matice (A λi je rovna jedné. Definujme vektor x 2 (n = (v n + v 2 λ n, (7 kde v 2 je vhodný nenulový vektor. Dosazením vektoru (7 do systému ( dostaneme [v (n + + v 2 ] λ n+ = A(v n + v 2 λ n. (8 Rovnici (8 lze krátit členem λ n a porovnáním koeficientů u mocnin argumentu n dostáváme n : v λ = Av, n 0 : (v + v 2 λ = Av 2. Úpravami získáme dva systémy (A λiv = 0, (9 (A λiv 2 = λv, (0

4 které určují vztahy mezi vektory v a v 2. Má-li tedy matice A vlastní číslo λ násobnosti dvě, pak dvě lineárně nezávislá řešení tvořící fundamentální systém řešení mají tvar x (n = v λ n, x 2 (n = (v n + v 2 λ n. Obecné řešení výchozího systému ( zapíšeme ve tvaru x(n = K v λ n + K 2 (v n + v 2 λ n, kde K a K 2 jsou libovolné konstanty. Poznamenejme, že se systémy (6 a (0 liší ve výrazech na pravých stranách.. Příklad V této části najdeme obecné řešení soustavy dvou homogenních lineárních diferenčních rovnic s konstantními koeficienty tvaru x (n + = 2x (n + x 2 (n, x 2 (n + = x (n + 4x 2 (n. ( Systém ( budeme řešit dvěma metodami - diskrétní obdobou Putzerova algoritmu a navrženou výše metodou. Odpovídající matice A soustavy diferenčních rovnic ( je: ( 2 A =. 4 Kořeny charakteristické rovnice 2 λ 4 λ = (λ 2 = 0 jsou λ = λ 2 = λ =. (2.4 Řešení pomocí diskrétní obdoby Putzerova algoritmu Hledáme řešení ve tvaru x(n = A n x(0, kde vektor konstant x(0 udává počáteční podmínky soustavy. Diskrétní obdoba Putzerova algoritmu určuje výpočet matice A n. Podle [] v našem případě platí: A n = 2 u j (nm(j, j= kde u j (n je neznámá funkce a matice M(j = (A λi j. Nejdříve určíme matice M: ( 0 M(0 = I =, 0 M( = (A λi = ( 2 4 = (.

5 Pro funkce u (n, u 2 (n podle [] v našem případě platí: u (n = λ n = n u 2 (n = n i=0 λ n i u (i = n i=0 n i i = n n = n n. i=0 Hledaná matice A n má tvar ( 0 A n = u (nm(0 + u 2 (nm( = n 0 ( n n = n n + n + n n ( = Obecné řešení soustavy (, které jsme získali diskrétní obdobou Putzerova algoritmu, má tvar ( n n ( x(n = n C n + n, ( C 2 kde C, C 2 jsou libovolné konstanty.5 Řešení pomocí vlastních vektorů Protože je vlastní číslo (2 dvojnásobné, hledáme vektory v, v 2, pro které platí vztahy (9, (0. Hodnost matice (A λi je jedna. Nejprve najdeme nenulový vlastní vektor ( v, v =, který odpovídá vlastnímu číslu λ = a pro který podle vztahu (9 platí: ( ( v, = 0. Oba řádky matice jsou lineárně závislé a soustavu lze redukovat na tvar v,2 v,2 v, + v,2 = 0. Ze vzájemného vztahu souřadnic vektoru v určíme nenulové řešení, například ( v =. Jedno z řešení soustavy ( je x (n = ( n. Nyní hledáme vektor v 2 = ( v2, v 2,2,

6 splňující vztah (0. Jeho rozepsáním dostáváme soustavu ( ( ( v2, =. Soustavu můžeme redukovat na vztah v 2,2 v 2, + v 2,2 = a jedno nenulové řešení je například v 2 = ( 0. Další řešení soustavy ( je x 2 (n = [( ( 0 n + ] n. Řešení x (n, x 2 (n systému ( tvoří fundamentální systém řešení. Obecné řešení soustavy ( je dáno lineární kombinací ( [( ( ] 0 x(n = K n + K 2 n + n s libovolnými konstantami K, K 2. Po úpravě máme ( n x(n = n n + ( K K 2. (4 Na závěr ukažme, že výsledky ( a (4 získané dvěma metodami jsou stejné. Mezi oběma vektory konstant platí vztah: ( ( K C = K 2 (C. 2 C Pokud provedeme uvedenou substituci ve výsledku (4, obdržíme ( ( ( n x(n = n C n + (C = n C + n(c 2 C 2 C C + (n + (C 2 C a po úpravě dostaneme výsledek x(n = n ( n n n + n ( C který je shodný s výsledkem, který jsme obdrželi pomocí diskrétní obdoby Putzerova algoritmu. Poděkování První autor byl podpořen výzkumným záměrem MSM C 2,

7 Reference [] Elaydi, S.N., An Introduction to Difference Equations, Second Edition, Springer, 999. [2] Kuben, J., Obyčejné diferenciální rovnice, VA v Brně, Brno, 2000.