Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Transkript

1 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou klasifikací. Příklad 2: Kolik náhrdelníků lze sestavit ze 7 korálků dvou velikostí: 5 menších a 2 větších jinak nerozlišitelných? Příklad 3: Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 Příklad 4: Student si má vytáhnout z 10 otázek 3. Je připraven na 5 otázek. Kolik existuje způsobů, kdy si vytáhne: A právě jednu, kterou umí B právě dvě, které umí C - právě tři, které umí, D - aspoň jednu, kterou umí, E - žádnou, kterou umí, F - nejvýše jednu, kterou umí, G - aspoň dvě, které umí, H - nejvýše dvě, které umí. Příklad 5: Na osmi stejných kartičkách jsou po řadě napsána čísla 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Náhodně se vezmou dvě kartičky. Kolik existuje případů, že zlomek utvořený z těchto dvou čísel lze krátit.

2 Příklad 6: Z úplné sady kostek domina se náhodně vybere 5 kostek. Kolik případů výběru bude obsahovat aspoň jednu kostku se šestkou. Příklad 7: V šatně si odložili čtyři návštěvníci kabáty a klobouky. Protože klobouky spadly, šatnářka je musí pověsit. V kolika případech se jí podaří: A - všechny klobouky přidělit ke správným kabátům, B - aspoň dva klobouky přidělit ke správným kabátům. Příklad 8: Z úplného telefonního seznamu náhodně vybereme určité pěticiferné telefonní číslo. Kolik je případů, že A - všechny číslice budou různé, B - všechny číslice budou liché, C - všechny číslice budou stejné, Příklad 9: Ve skříni je rozházeno 6 různých párů střevíců. Večer potmě se náhodně ze skříně vybere 5 střevíců. V kolika případech platí, že se z nich nechá sestavit alespoň jeden úplný pár? Příklad 10: Výtah, ve kterém je 7 osob, zastavuje na 10 poschodích. Kolik je případů, že nevystoupí v žádném poschodí více než jedna osoba. Příklad 11: V dílně pracovalo 9 mužů a 6 žen. Došlo k výbuchu, při němž byly zraněny 4 osoby. Kolik případů odpovídá, že to byli: A jen muži B jen ženy C nejvýše jedna žena D nejvýše jeden muž

3 Příklad 12: Společnost, ve které je 5 mužů a 10 žen, se náhodně rozdělí do 5 skupin po 3 osobách. Kolik je případů, že v každé skupině bude 1 muž.

4 ŘEŠENÍ

5 příklad 1: 4 studenti, 4 různá hodnocení vyjádřená čísly 1,2,3,4 => permutace P(4) = 4! = 24 případů

6 příklad 2: je 7 míst a musíme rozmístit 2 větší (5 menších) korálky, což je možné ( 7 2) = ( 7 5) = 21 způsoby, ostatní korálky zaplní zbývající místa. Ale náhrdelník není v řadě nýbrž v kruhu, a proto výsledek musíme dělit 7, což dává konečné 3 možnosti

7 příklad 3: označme si i počet ok na 1.kostce, j počet ok na 2.kostce a celou situaci si můžeme zobrazit graficky; jednotlivé případy hodů zobrazují uspořádané dvojice (i, j) i, j=1,2,3,4,5,6 pro případy příznivé jevu A musí platit i + j = 7 a těch je 6 pro případy příznivé jevu B musí platit i + j 5 těch je 10

8 příklad 4: nezáleží na pořadí výběru, jde tedy o kombinace; jednotlivé případy musíme skládat z výběru otázek, které umí a z výběru otázek, které neumí a dále s využitím pravidel o součtu a součinu A právě jednu, kterou umí: 1 z 5, které umí a 2 z 5, které neumí => ( 5 1)( 5 2) = 50 B právě dvě, které umí: ( 5 2)( 5 1) = 50 C - právě tři, které umí: ( 5 3) = 10 D - aspoň jednu, kterou umí: tj, 1 nebo 2 nebo 3, které umí; využijeme-li předchozích výsledků je celkový počet hledaných způsobů roven součtu = 110 E - žádnou, kterou umí: ( 5 3) = 10 F - nejvýše jednu, kterou umí: = 60 G - aspoň dvě, které umí: = 60 H - nejvýše dvě, které umí: = 110

9 příklad 5: čísla 7, 11, 13 jsou prvočísla a žádné ze zbývajících čísel není jejich násobek a zároveň všechna zbývající čísla jsou sudá, tedy z nich (těch sudých) vytvořené neuspořádané dvojice lze krátit jejich počet je => p = ( 5 2) = 10

10 příklad 6: 1. způsob celý problém si musíme rozložit na jednodušší: výběr bude obsahovat právě jednu 6 (tedy 4 bez 6) ( 6 1)( 21 4) s právě jednou 6 je celkem 06,16,26,36,46,56 šest kostek kostek bez šestky je 21 právě dvě 6 teď je to ještě komplikovanější, protože je tu dubler 66 buď dubler a ostatní bez 6, nebo (součet) bez dublera ( 1 1)( 21 4) + ( 1 0)( 6 2)( 21 3) právě tři 6 právě čtyři 6 právě pět 6 a podle pravidla součtu všechno sečteme 2. způsob před doplněk Když si uvědomíme, že požadavek aspoň jednu 6 vylučuje pouze jeden případ žádnou 6, můžeme příklad vyřešit tak, že spočítáme všechny možnosti výběru 5 kostek z 28 ( 28 5) = spočítáme všechny možnosti výběru 5 kostek z 21 bezšestkových ( 21 5) = a rozdíl představuje aspoň jednu

11 příklad 7: klobouky si můžeme představit jako čísla 1,2,3,4 a vytváříme uspořádané čtveřice A splní jediný případ (jediná čtveřice) 1234 B si rozložíme na tří případy: B2 právě dva správně, B3 právě tři správně, B4 právě 4 správně B2 jsou tyto možnosti: místo správně prohozený, místo správně prohozený nebo místo správně prohozený atd., tedy dva správně a zbývající dva mají už jedinou možnost, hledáme počet všech možností jak vybrat dvě místa, kam umístíme klobouky správně a k nim zbývající dva prohodíme celkem ( 4 2)=6 B3 nemožné; když jsou 3 klobouky správně umístěny, je pro poslední klobouk k dispozici jen jediné místo a to správné (což je případ B4) B4 = A jediný případ B = B2 B3 B4 a podle pravidla součtu dostáváme = 7 možností

12 příklad 8: vytváříme pětice z číslic 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 tel. čísla mohou začínat 0 A - všechny číslice budou různé - V(5,10) = = možností B - všechny číslice budou liché (pět číslic) V (5,5) = = 5 5 = 3125 možností C - všechny číslice budou stejné - 10 možností

13 příklad 9: Tento příklad se řeší přes doplněk, tj. určíme všechny možnosti a možností odpovídající negaci podmínky a tyto pak od sebe odečteme, viz příklad 6. 5 střevíců z 12 se dá vybrat (nezáleží na pořadí) celkem N = ( 12 5) = 792 způsoby. počet případů, kdy každý z pěti střevíců patří do jiného páru (vždycky musíme další střevíc vybírat z jiných párů; a z uspořádaných udělat neuspořádané), je k = (12 x 10 x 8 x 6 x 4)/5! = 192 celkem je tedy N k = 600

14 příklad 10: vybereme 7 pochodí a do nich necháme vystoupit po jednom člověku, na pořadí nezáleží K(7,10) = ( 10 7) = 120 možností

15 příklad 11: vybíráme zvlášť muže a zvlášť ženy a postupujeme podle pravidla součinu a součtu; nezáleží na pořadí: A jen muži (vybrána žádná žena, vybráni 4 muži) ( 6 0)( 9 4) = 126 B jen ženy ( 6 4)( 9 0) = 15 C nejvýše jedna žena ( 6 0)( 9 4) + ( 6 1)( 9 3) = 630 D nejvýše jeden muž ( 6 4)( 9 0) + ( 6 3)( 9 1) = 195

16 příklad 12: máme celkem 5 mužů a 10 žen a vytváříme neuspořádané trojice do 1. skupiny vybereme 1 muže a 2 ženy ( 5 1)( 10 2) = 225 možností po prvním výběru skupiny máme celkem 4 muže a 8 žen do 2. skupiny vyberem 1 muže a 2 ženy ( 4 1)( 8 2) = 112 možností analogicky do 3. skupiny vyberem 1 muže a 2 ženy ( 3 1)( 6 2) = 45 možností do 4. skupiny vyberem 1 muže a 2 ženy ( 2 1)( 4 2) = 12 možností do 5. skupiny již není co vybírat, zbyla = 1 možnost každý výběr skupiny se může kombinovat se všemi výběry dalších skupin, podle pravidla součinu celkem je = možností

17 KONEC