Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
|
|
|
- Robert Němeček
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
2 Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem P(A/B) = P(A B). P(B)
3 Z předchozí definice vyjádříme P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A). Rozšířením na s jevů dostáváme P(A 1 A 2 A s ) = P(A 1 ) P(A 2 /A 1 ) P(A s /A 1 A 2 A s 1 ). Pro 3 jevy platí P(A B C) = P(A) P(B/A) P(C/A B).
4 Z předchozí definice vyjádříme P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A). Rozšířením na s jevů dostáváme P(A 1 A 2 A s ) = P(A 1 ) P(A 2 /A 1 ) P(A s /A 1 A 2 A s 1 ). Pro 3 jevy platí P(A B C) = P(A) P(B/A) P(C/A B).
5 Z předchozí definice vyjádříme P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A). Rozšířením na s jevů dostáváme P(A 1 A 2 A s ) = P(A 1 ) P(A 2 /A 1 ) P(A s /A 1 A 2 A s 1 ). Pro 3 jevy platí P(A B C) = P(A) P(B/A) P(C/A B).
6 Jestliže P(A/B) = P(A), říkáme, že jev A je nezávislý na jevu B. Nezávislost dvou jevů je oboustranná. Je-li jev A nezávislý na jevu B, pak také jev B je nezávislý na jevu A, tedy P(B/A) = P(B). Jsou-li jevy A a B nezávislé, pak P(A B) = P(A) P(B). Daný vztah je nutnou i postačující podmínkou nezávislosti.
7 Mějme množinu náhodných jevů A i, i = 1, 2,..., n. U této množiny jevů rozlišujeme nezávislost podvojnou (tj. nezávislost každé dvojice jevů) a nezávislost vzájemnou. Jevy nazýváme vzájemně nezávislé (dále jen nezávislé), právě když pro libovolnou podmnožinu {A i1 A ir } množiny {A 1,..., A n } jevů, 2 r n, platí P(A i1 A ir ) = P(A i1 ) P(A ir ). Tento vztah musí platit pro všechny dvojice, trojice, atd. až n-tice náhodných jevů A 1,..., A n. Pro skupinu nezávislých jevů pak platí P(A 1 A 2 A s ) = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A s ).
8 Mějme množinu náhodných jevů A i, i = 1, 2,..., n. U této množiny jevů rozlišujeme nezávislost podvojnou (tj. nezávislost každé dvojice jevů) a nezávislost vzájemnou. Jevy nazýváme vzájemně nezávislé (dále jen nezávislé), právě když pro libovolnou podmnožinu {A i1 A ir } množiny {A 1,..., A n } jevů, 2 r n, platí P(A i1 A ir ) = P(A i1 ) P(A ir ). Tento vztah musí platit pro všechny dvojice, trojice, atd. až n-tice náhodných jevů A 1,..., A n. Pro skupinu nezávislých jevů pak platí P(A 1 A 2 A s ) = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A s ).
9 Pravděpodobnost sjednocení dvou libovolných jevů se rovná součtu pravděpodobností těchto jevů zmenšenému o pravděpodobnost jejich průniku. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Pro s libovolných jevů A 1, A 2,..., A s má pravidlo tvar P(A 1 A 2 A s ) = s i=1 + s 2 P(A i ) s 1 s 1 s i=1 j=i+1 s ( s +( 1) s 1 P i=1 j=i+1 k=j+1 P(A i A j )+ P(A i A j A k ) + + ) A i. i=1
10 Pravděpodobnost sjednocení dvou libovolných jevů se rovná součtu pravděpodobností těchto jevů zmenšenému o pravděpodobnost jejich průniku. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Pro s libovolných jevů A 1, A 2,..., A s má pravidlo tvar P(A 1 A 2 A s ) = s i=1 + s 2 P(A i ) s 1 s 1 s i=1 j=i+1 s ( s +( 1) s 1 P i=1 j=i+1 k=j+1 P(A i A j )+ P(A i A j A k ) + + ) A i. i=1
11 Pro 3 jevy A, B a C má pravidlo tvar P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+ +P(A B C).
12 Jsou-li jevy A, B neslučitelné, potom P(A B) = P(A) + P(B). To je možné zobecnit i na libovolný počet neslučitelných jevů P(A 1 A 2 A s ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A s ).
13 Jsou-li jevy A, B neslučitelné, potom P(A B) = P(A) + P(B). To je možné zobecnit i na libovolný počet neslučitelných jevů P(A 1 A 2 A s ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A s ).
14 Příklad 1 O daném návrhu nezávisle na sobě hlasují 3 osoby označené A, B a C. Osoba A nebude souhlasit s návrhem s pravděpodobností 0,7, osoba B nebude souhlasit s pravděpodobností 0,5 a osoba C s pravděpodobností 0,3. Jaká je pravděpodobnost, že návrh bude zamítnut, jestliže k zamítnutí stačí, aby alespoň jedna osoba nesouhlasila s návrhem?
15 Příklad 1 nebo P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+ +P(A B C) = = 0,7 + 0,5 + 0,3 0,7 0,5 0,7 0,3 0,5 0,3+ +0,7 0,5 0,3 = 0,895 P(A B C) = 1 P(A B C) = 1 P(A B C) = = 1 P(A) P(B) P(C) = 1 0,3 0,5 0,7 = 0,895
16 Příklad 1 nebo P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+ +P(A B C) = = 0,7 + 0,5 + 0,3 0,7 0,5 0,7 0,3 0,5 0,3+ +0,7 0,5 0,3 = 0,895 P(A B C) = 1 P(A B C) = 1 P(A B C) = = 1 P(A) P(B) P(C) = 1 0,3 0,5 0,7 = 0,895
17 Příklad 2 Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly 2 pětky, je-li známo, že součet ok je dělitelný pěti? jev A... padnou 2 pětky jev B... součet je dělitelný 5 (1+4, 4+1, 2+3, 3+2, 4+6, 6+4, 5+5)
18 Příklad 2 Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly 2 pětky, je-li známo, že součet ok je dělitelný pěti? jev A... padnou 2 pětky jev B... součet je dělitelný 5 (1+4, 4+1, 2+3, 3+2, 4+6, 6+4, 5+5)
19 Příklad 2 P(A B) = 1 36 P(B) = 7 36 P(A/B) = = 1 7
20 Příklad 2 P(A B) = 1 36 P(B) = 7 36 P(A/B) = = 1 7
21 Příklad 2 P(A B) = 1 36 P(B) = 7 36 P(A/B) = = 1 7
22 Příklad 3 Z úplné sady 32 karet náhodně vybereme 1 kartu. Značí-li jev A, že vytažená karta je zelená, jev B že vytažená karta je eso, určete pravděpodobnost jevů A, B, A B, A B. Jsou oba jevy nezávislé? P(A) = 8 32 = 1 4 P(B) = 4 32 = 1 8
23 Příklad 3 Z úplné sady 32 karet náhodně vybereme 1 kartu. Značí-li jev A, že vytažená karta je zelená, jev B že vytažená karta je eso, určete pravděpodobnost jevů A, B, A B, A B. Jsou oba jevy nezávislé? P(A) = 8 32 = 1 4 P(B) = 4 32 = 1 8
24 Příklad 3 P(A B) = 1 32 = P(A)P(B/A) = = 1 32 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = P(A) P(B) = = 1 = P(A B) 32 Jevy A a B jsou nezávislé.
25 Příklad 3 P(A B) = 1 32 = P(A)P(B/A) = = 1 32 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = P(A) P(B) = = 1 = P(A B) 32 Jevy A a B jsou nezávislé.
26 Příklad 3 P(A B) = 1 32 = P(A)P(B/A) = = 1 32 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = P(A) P(B) = = 1 = P(A B) 32 Jevy A a B jsou nezávislé.
27 Příklad 4 První dělník vyrobí denně 60 výrobků, z toho 10 % zmetků. Druhý dělník vyrobí denně 40 výrobků, z toho 5 % zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je zmetek a pochází od prvního resp. druhého dělníka?
28 Příklad 4 jev A 1... výrobek pochází od 1. dělníka P(A 1 ) = = 6 10 = 0,6 jev A 2... výrobek pochází od 2. dělníka jev B... výrobek je zmetek P(A 2 ) = = 4 10 = 0,4 P(B) = = = 0,08
29 Příklad 4 jev A 1... výrobek pochází od 1. dělníka P(A 1 ) = = 6 10 = 0,6 jev A 2... výrobek pochází od 2. dělníka jev B... výrobek je zmetek P(A 2 ) = = 4 10 = 0,4 P(B) = = = 0,08
30 Příklad 4 jev A 1... výrobek pochází od 1. dělníka P(A 1 ) = = 6 10 = 0,6 jev A 2... výrobek pochází od 2. dělníka jev B... výrobek je zmetek P(A 2 ) = = 4 10 = 0,4 P(B) = = = 0,08
31 Příklad 4 Výrobek je zmetek a pochází od 1. dělníka P(A 1 B) =? Výrobek je zmetek, za podmínky, že je od 1. dělníka P(B/A 1 ) = 0,1 P(A 1 B) = P(A 1 ) P(B/A 1 ) = 0,6 0,1 = 0,06
32 Příklad 4 Výrobek je zmetek a pochází od 1. dělníka P(A 1 B) =? Výrobek je zmetek, za podmínky, že je od 1. dělníka P(B/A 1 ) = 0,1 P(A 1 B) = P(A 1 ) P(B/A 1 ) = 0,6 0,1 = 0,06
33 Příklad 4 Výrobek je zmetek a pochází od 1. dělníka P(A 1 B) =? Výrobek je zmetek, za podmínky, že je od 1. dělníka P(B/A 1 ) = 0,1 P(A 1 B) = P(A 1 ) P(B/A 1 ) = 0,6 0,1 = 0,06
34 Příklad 4 Výrobek je zmetek a pochází od 2. dělníka P(A 2 B) =? Výrobek je zmetek, za podmínky, že je od 2. dělníka P(B/A 2 ) = 0,05 P(A 2 B) = P(A 2 ) P(B/A 2 ) = 0,4 0,05 = 0,02
35 Příklad 4 Výrobek je zmetek a pochází od 2. dělníka P(A 2 B) =? Výrobek je zmetek, za podmínky, že je od 2. dělníka P(B/A 2 ) = 0,05 P(A 2 B) = P(A 2 ) P(B/A 2 ) = 0,4 0,05 = 0,02
36 Příklad 4 Výrobek je zmetek a pochází od 2. dělníka P(A 2 B) =? Výrobek je zmetek, za podmínky, že je od 2. dělníka P(B/A 2 ) = 0,05 P(A 2 B) = P(A 2 ) P(B/A 2 ) = 0,4 0,05 = 0,02
37 Chceme určit pravděpodobnost jevu A, když známe pravděpodobnosti P(A/B i ) a pravděpodobnosti P(B i ), i = 1, 2,..., n pro B 1, B 2,..., B n, které tvoří úplnou skupinu neslučitelných jevů. Pro ně platí ( n ) n P B i = P(B i ) = 1. i=1 i=1
38 Pravděpodobnost jevu A je P(A) = P(B 1) P(A/B 1) + + P(B n) P(A/B n) = n P(B i) P(A/B i) i=1
39 Příklad 4 Na gymnáziu je v 3.A 13 chlapců a 16 děvčat, v 3.B je 14 chlapců a 12 děvčat. Náhodně vybereme v každé třídě po 1 studentovi a z těchto 2 opět náhodně vybereme jednoho. S jakou pravděpodobností to bude chlapec?
40 Příklad 4 jev A... je to chlapec jev B 1... je z 3.A jev B 2... je z 3.B
41 Příklad 4 jev A... je to chlapec jev B 1... je z 3.A jev B 2... je z 3.B
42 Příklad 4 jev A... je to chlapec jev B 1... je z 3.A jev B 2... je z 3.B
43 Příklad 4 P(B 1 ) = P(B 2 ) = 1 2 P(A/B 1 ) = P(A/B 2 ) = 14 26
44 Příklad 4 P(B 1 ) = P(B 2 ) = 1 2 P(A/B 1 ) = P(A/B 2 ) = 14 26
45 Příklad 4 P(B 1 ) = P(B 2 ) = 1 2 P(A/B 1 ) = P(A/B 2 ) = 14 26
46 Příklad 4 P(A) = P(B 1 ) P(A/B 1 ) + P(B 2 ) P(A/B 2 ) = = 0,493
47 Podmíněné pravděpodobnosti P(B i /A) lze vypočítat z Bayesova vzorce, který vyplývá z věty o násobení pravděpodobností a z formule úplné pravděpodobnosti: P(B i /A) = P(B i) P(A/B i ) n, i = 1, 2,..., n. P(B j ) P(A/B j ) j=1
48 Příklad 5 Je známo, že 90 % výrobků odpovídá standardu. Byla vypracována zjednodušená kontrolní zkouška, která u standardního výrobku dá kladný výsledek s pravděpodobností 95 %, kdežto u výrobku nestandardního s pravděpodobností 20 %. Jaká je pravděpodobnost, že výrobek, u kterého zkouška proběhla kladně, je standardní?
49 Příklad 5 jev A... zkouška výrobku dopadla kladně jev B 1... výrobek je standardní jev B 2... výrobek není standardní
50 Příklad 5 jev A... zkouška výrobku dopadla kladně jev B 1... výrobek je standardní jev B 2... výrobek není standardní
51 Příklad 5 jev A... zkouška výrobku dopadla kladně jev B 1... výrobek je standardní jev B 2... výrobek není standardní
52 Příklad 5 jev A... zkouška výrobku dopadla kladně jev B 1... výrobek je standardní jev B 2... výrobek není standardní P(B 1 ) = 0,9 P(B 2 ) = 0,1 P(A/B 1 ) = 0,95 P(A/B 2 ) = 0,2
53 Příklad 5 jev A... zkouška výrobku dopadla kladně jev B 1... výrobek je standardní jev B 2... výrobek není standardní P(B 1 ) = 0,9 P(B 2 ) = 0,1 P(A/B 1 ) = 0,95 P(A/B 2 ) = 0,2
54 Příklad 5 jev A... zkouška výrobku dopadla kladně jev B 1... výrobek je standardní jev B 2... výrobek není standardní P(B 1 ) = 0,9 P(B 2 ) = 0,1 P(A/B 1 ) = 0,95 P(A/B 2 ) = 0,2
55 Příklad 5 jev A... zkouška výrobku dopadla kladně jev B 1... výrobek je standardní jev B 2... výrobek není standardní P(B 1 ) = 0,9 P(B 2 ) = 0,1 P(A/B 1 ) = 0,95 P(A/B 2 ) = 0,2
56 Příklad 5 Pravděpodobnost, že výrobek, u něhož zkouška dala kladný výsledek, je standardní, je rovna P(B 1 ) P(A/B 1 ) P(B 1 /A) = P(B 1 ) P(A/B 1 ) + P(B 2 ) P(A/B 2 ) = 0,9 0,95 = 0,9 0,95 + 0,1 0,2 = 0,977
Intuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Řešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
Úvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
pravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Statistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 3 Pravděpodobnost jevů Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická
Pravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
Teorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
náhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
Náhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
Pravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
Informační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
Cvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
Podmíněná pravděpodobnost
odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní
Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,
Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
Řešení příkladů na procvičení pravděpodobnosti 1
Řešení příkladů na procvičení pravděpodobnosti 1 1. ŘEŠENÍ Škola: Š...Jakub úspešne dokončí školu Š 3... v komisii sú práve 3 zhovievaví profesori Š 4... v komisii sú práve 4 zhovievaví profesori Š 5...
Náhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
Statistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
Teoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10
![(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10](/thumbs/59/43601464.jpg "(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10")
2. cvičení - STATISTIKA Náhodný jev, Pravděpodobnost jevu, Podmíněná pravděpodbnost, Úplná pravděpodobnost, Bayesova věta 1. V cele předběžného zadržení sedí vedle sebe 10 podezřelých, z toho 3 ženy. Jaká
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České
Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost
Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost Úloha 1: Do třídy 1.A chodí 10 chlapců a 20 dívek, z toho jsou 3 chlapci se jménem Jakub a 2 dívky se jménem Katka. Martina tvrdí, že ráno potkala někoho ze třídy
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
S1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
Kombinatorika a úvod do pravděpodobnosti
Kombinatorika a úvod do pravděpodobnosti Jiří Fišer 27. září 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 27. září 2011 1/ 18 Variacek-tétřídyznprvků: = uspořádanéskupinyokprvcíchvybranýchznprvků. Permutace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).
1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též
Teorie pravděpodobnosti
Teorie pravděpodobnosti Petra Schreiberová, Viktor Dubovský Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2018 OBSAH 1 Jevy 3 1.1 Základní pojmy...................................
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
Diskrétní pravděpodobnost
Diskrétní pravděpodobnost Jiří Koula Definice. Konečným pravděpodobnostním prostorem nazveme dvojici(ω, P), kde Ω jekonečnámnožina {ω 1,..., ω n}apfunkcepřiřazujícíkaždépodmnožiněωčíslo zintervalu 0,1,splňujícíP(
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Vytěžování znalostí z dat
Pavel Kordík, Jan Motl (ČVUT FIT) Vytěžování znalostí z dat BI-VZD, 2012, Přednáška 7 1/27 Vytěžování znalostí z dat Pavel Kordík, Jan Motl Department of Computer Systems Faculty of Information Technology
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
Pravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
Příklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad 1 a) Jev spočívá v tom, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné pěti a jev v tom, že toto číslo náhodně vybrané přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě má
pravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN
Mnohorozměrná statistická data
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistický znak, statistický soubor Jednotlivé objekty nebo subjekty, které jsou při statistickém
Podmíněná pravděpodobnost, spolehlivost soustav
S1 odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav Lbor Žák odmíněná pravděpodobnost Nechť,, 0, podmíněná pravděpodobnost evu vzhledem k evu : S akou pravděpodobností
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia