MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY"

Transkript

1 MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA

2 prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální verzi ke stažení na: <www.matematika-lucerna.cz/pomnenka.pdf>

3 Poděkování Na tomto místě děkuji panu doc. RNDr. Petru Gurkovi, CSc. za ochotu a veškerou poskytnutou pomoc nejen při psaní tohoto dokumentu, ale i při mnohých konzultacích. Děkuji panu Ing. Pavlu Střížovi, Ph.D. za technicko-uměleckou pomoc při zpracovávání tohoto materiálu, za trpělivost a ochotu, s jakou se Pomněnce i mně věnoval. Také děkuji Ivanu Johansenovi, tvůrci programu Graph. Tento šikovný program mi mockráte pomohl s grafickou představou příkladů a za jeho pomoci je nakresleno mnoho obrázků v této knize.

4 4 Citátky a postřehy od učitelů z České zemědělské univerzity: Informace je cokoli, co snižuje neurčitost našeho poznání o realitě. Mít štěstí znamená, že jsme neudělali chybu. Když si to vyzkoušíte, tak se s tím zkamarádíte a bude vše v pořádku. Dobrý student má právo být dobře zkoušen. Kdo chce dostřelit, musí přestřelit. Kdo společnosti přispívá ve vědách ale ne v mravech, ten společnosti spíše nepřispívá. Hlavně vědět PROČ, JAK už se najde. elektronický test informatika Petr Gurka matematická analýza Eva Kaňková makroekonomie Helena Nešetřilová lineární algebra Karel Hauzer filosofie Miroslav Svatoš agrární ekonomie účetnictví

5 Slovo úvodem Milí čtenáři, tento soubor je vytvořen převážně z materiálů zveřejněných na stránkách <www.matematika-lucerna.cz>. Jsou zde uvedeny příklady jednodušší i složitější pro přípravu na zkoušku z matematiky na úrovni České zemědělské univerzity (ČZU), ale také různé poznámky, rady a návody k výpočtům. Vzhledem k tomu, že je tento materiál šířený v elektronické podobě, může být v průběhu času měněn. Proto je na stránce uvedeno vždy aktuální datum souboru. Tento materiál vzniká od roku 009. Doporučuji soubor tisknout barevně, neboť je v něm spoustu barevných odkazů a oboustranně, nejlépe samozřejmě na recyklovaný papír. Oboustranný tisk je OPRAVDU velice důležitý, už proto, že pak budete mít vytištěný stoh o polovinu lehčí. Btw. věděli jste že... na jednoho obyvatele v České republice připadlo v roce 009 krásných 50 kg papíru? Obrázek : Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany Zdroj: <http://www.strany.cz/> Přeji vám mnoho úspěchů ve studiu a doufám, že vám tato kniha v některých věcech usnadní cestu a pomůže k úspěšnému složení zkoušek. Katka V 5

6 Obsah I Matematická analýza 8 Než začneme počítat 9. Vymezení náročnosti ČZU příkladů Vzorečky v knize Značení v Pomněnce Číselné obory Obecné předpisy a grafy elementárních funkcí Vzorečky pro algebraické úpravy Mnohočleny Kvadratická rovnice Mocniny Odmocniny Některé úpravy zlomků Logaritmy Vzorce Hodnoty Odlogaritmování Goniometrické funkce Vzorce Hodnoty Definiční obor jedné proměnné 4. Návody k výpočtu Ukázkové příklady Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Definiční obor dvou proměnných 4. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let

7 OBSAH 7 4 Limity Vzorce a vztahy Klasické příklady Derivace funkcí jedné proměnné Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě Úprava funkcí před derivováním Vzorce pro derivování Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Limity l Hospitalovo pravidlo 5 6. Předpoklady užití l Hospitalova pravidla Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Parciální derivace Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Inverzní funkce Návody k výpočtu Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Tečna a normála v bodě T Vzorce tečny a normály Návody k výpočtu Ukázkový příklad Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p Návody k výpočtu

8 8 OBSAH 0. Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Tečná rovina a normála 70. Vzorce tečné roviny a normály Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Jak čteme z derivací průběh původních funkcí? 7. Monotonie Monotonie a zakřivenost Monotonie 8. Návody k výpočtu Ukázkový příklad Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Konvexita a konkávita Návody k výpočtu Ukázkový příklad Memo pomůcka Ukázkový příklad zkouškové úrovně Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Souhrnný příklad 94 6 Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné Návody k výpočtu Extrémy možné intervaly Ukázkový příklad Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let

9 OBSAH 9 7 Lokální extrémy dvou proměnných Návody k výpočtu Ukázkový příklad Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Vázané extrémy Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Asymptoty Vzorce asymptot Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Taylorův polynom 0. Vzorce Taylorova polynomu Návody k výpočtu Ukázkové příklady Ukázkový příklad Ukázkový příklad Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Neurčitý integrál 6. Vzorce pro integrování Ukázkové jednoduché příklady Ukázkový příklad zkouškové úrovně Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Určitý integrál. Návod na výpočet určitého integrálu Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let

10 0 OBSAH Aplikace určitého integrálu 9. Vzorce aplikovaného integrálu Návod na výpočet plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami P Návod na výpočet délky křivky l Obecné znázornění pláště a objemu rotačních těles Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Diferenciální rovnice I. řádu 4 4. Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Diferenciální rovnice II. řádu Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let II Lineární algebra 46 6 Základní pojmy z lineární algebry Skalární součin Lineární rovnice 5 7. Ukázkové příklady Inverzní matice 5 8. Jordanova metoda Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic Matice Sčítání matic Obecný návod Příklady Násobení matic reálným číslem Obecný návod

11 OBSAH 9.. Příklad Násobení matic maticemi Obecný návod Příklady Rovnice s maticemi Matice s parametrem Determinanty 6 0. Návody k výpočtu Determinant matice. řádu Determinant matice. řádu Determinant matice. řádu Sarrusovo pravidlo Ukázkový příklad Determinant matice řádu > Ukázkové příklady Výpočet determinantů matic Rovnice s determinanty Cramerovo pravidlo Literatura III Přílohy 66 A Vzorce povolené ke zkoušce 67 A. Derivace A. Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí A. Vzorce pro integrování A.4 Aplikace určitého integrálu B Návod k programu Graph B. Úvod B. Popis pracovní lišty a nápovědy

12 OBSAH B.. Nastavení os B.. Nápověda B. Jak zadávat funkce B.. Předpisy funkcí a jak je zadávat B.. Konkrétní příklad B.4 Další funkce B.4. Ohraničení funkce, šrafování B.4. Tečna a normála B.4. Řada bodů / souřadnic B.4.4 Text, popisky a legenda B.4.5 Výpočty B.4.6 Ostatní B.5 Užitečné odkazy C Lineární algebra 80 C. Definice z lineární algebry C. Věty z lineární algebry D Řecká abeceda 90

13 Seznam obrázků Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany Označení kvadrantů Číselné obory Průběh funkce y = log x Průběh funkce y = ln x Průběh funkce y = log 5 x Průběh funkce y = log x Průběh funkcí y = log x, y = ln x, y = log 5 x, y = log x, y = log 00 x Jednotková kružnice hodnoty úhlů ve stupních Jednotková kružnice Průběh funkce y = log(x) Průběh funkce y = + x Průběh funkce y = + x Průběh funkce y = x Grafické znázornění: Tečna zadaná funkce a tečné body T a S Tečna a normála v bodě T Tečna a normála v bodě S Průběh funkce f(x) = 6x 0 x Průběh funkce p : y = x Očekávaný průběh hledané tečny Derivace zadané přímky p Derivace zadané funkce f(x) Průběh funkce y = sin x Rostoucí interval funkce y = sin x Průběh funkce y = sin x a funkce y = cos x Průběh funkce y = ln(6 + 9x ) Rostoucí interval funkce y = ln(6 + 9x )

14 4 SEZNAM OBRÁZKŮ.6 Průběh funkce y = ln(6 + 9x ) a funkce y = 8x 6 + 9x Konvexní průběh funkce y = ln(6 + 9x ) Průběh funkce y = ln(6 + 9x ) a funkce y = 8(6 9x ) (6+9x ) Průběh funkce y = x Průběh funkce y = x Průběh funkce y = x Průběh funkce y = Průběh ryze konvexní funkce Průběh ryze konvexní funkce Číselná osa Průběh funkce y = e x Dva globální extrémy na hranicích intervalu 0; Dva globální extrémy na hranicích intervalu ; Globální neostré extrémy jsou na hranicích ; Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici ; Průběh funkce y = x Průběh funkce y = (x ) ln x + a Taylorův polynom v bodě a Průběh funkce y = x 5 x a Taylorův polynom v bodě a [. Průběh funkcí y = x 49+5x a y = 50 (49 + 5x ) 49 ln(49 + 5x ) ] + C Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 0, Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 0, Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 0, Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 5, Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 5, Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 0, Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích,

15 SEZNAM OBRÁZKŮ 5. Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 0, Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 5, Průběh funkce y = 5 x a vymezení plochy v hranicích 0, Průběh funkce y = x + a vymezení plochy v hranicích 0, Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 0, Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích, Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích, Průběh funkce y = a vymezení plochy v hranicích 0, Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích, Obecné znázornění pláště rotačního tělesa (S) Obecné znázornění objemu rotačního tělesa (V) Lineární obal Násobení matic Sarrusovo pravidlo B. Základní pracovní plocha B. Základní nastavení os a barev B. Slovník seznam funkcí B.4 Vložení nové funkce B.5 Konkrétní příklad funkce f(x) = x + e ( x) B.6 Šrafování B.7 Vložení tečny a normály k vybrané funkci B.8 Řada bodů B.9 Vložení textu D. Cyklus učení

16 Seznam tabulek. Značení grafů funkcí Číselné obory Obecné předpisy vybraných elementárních funkcí Grafy elementarních funkcí Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot Důležité hodnoty goniometrických funkcí Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí Značení výsledků u definičních oborů Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x) Vybrané funkční hodnoty funkce y = + x Vybrané funkční hodnoty funkce y = + x Vybrané funkční hodnoty funkce y = x Funkční hodnoty funkce f : y = x a její inverzní funkce Inverzní funkce Jak čteme z derivací Rostoucí intervaly Klesající intervaly Intervaly konvexity Intervaly konvexity a konkávity Různé funkce a řada jejich derivací Určení kvality extrémů Extrémy body z případu 6. na intervalu 0; Extrémy body z případu 6. na intervalu ; Extrémy body z případu 6. na intervalu ; Extrémy body z případu 6.4 na intervalu ; Vybrané funkční hodnoty funkce y = x

17 6.7 Porovnání funkčních hodnot funkce y = x Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu Vektorové prostory a podprostory Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků A. Důležité hodnoty goniometrických funkcí B. Slovník B. Konkrétní funkce

18 Část I Matematická analýza 8

19 Kapitola Než začneme počítat. Vymezení náročnosti ČZU příkladů Návody na řešení příkladů jsou určeny především pro zkouškové úlohy na úrovni ČZU, tj.: funkce jsou spojité, jejich definiční obory jsou konečným sjednocením intervalů, derivace se počítá dle vzorců a pravidel.. Vzorečky v knize V knize jsou vzorce uvedeny na několika místech. V této kapitole jsou obecné vzorce pro algebraické úpravy apod. Vzorce pro výpočty jednotlivých typů příkladů jsou vždy uvedeny u patřičné kapitoly. V Příloze A jsou pak uvedené vzorečky, které jsou na ČZU povolené ke zkoušce. Ke zkoušce je však potřeba si i některé vzorečky pamatovat, a to konkrétně vzorce pro tyto typy příkladů: Tečna a normála, Asymptoty a Taylorův polynom.. Značení v Pomněnce Obrázek. zobrazuje používané označení kvadrantů. Obrázek.: Označení kvadrantů II I III IV Tabulka. zobrazuje typy značení křivek na obrázcích v knize. Ve většině příkladů je zadáním nultá derivace. U integrálů je však zadání, tedy funkce která se má integrovat, první derivací a výsledkem je derivace nultá. 9

20 0 KAPITOLA. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT Tabulka.: Značení grafů funkcí Nultá derivace První derivace Druhá derivace Taylorův polynom Asymptota

21 .4. ČÍSELNÉ OBORY.4 Číselné obory Tabulka.: Číselné obory Označení Název skupiny Příklad čísel N Přirozená čísla {,,, 4,... } N 0 Celá nezáporná čísla { 0,,,,... } Z Celá čísla {...,, 0,,,... } Q Racionální čísla { 7 9, } 5,... IQ Iracionální čísla {π, e,...} R Reálná čísla { } 7, π, e, 9 5,... C Komplexní čísla x + výsledky jsou i a i N N 0 Z Q a IQ R C (.4.) Obrázek.: Číselné obory IQ Q Z N 0 N R C

22 KAPITOLA. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT.5 Obecné předpisy a grafy elementárních funkcí Tabulka. představuje souhrn obecných předpisů vybraných elementárních funkcí. Tabulka.: Obecné předpisy vybraných elementárních funkcí Obrázek Název Obecný předpis Obrázek Název Obecný předpis Přímka y = ax + b Parabola y = ax + bx + c Hyperboly y = c x Hyberboly x a y b = Logaritmus y = log x Odmocnina y = a x + b Kde a, b, c jsou R.

23 .5. OBECNÉ PŘEDPISY A GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Tabulka.4: Grafy elementarních funkcí y y y x x y = x y = x y = x x y = x y = a x, a > y = a x, 0 < a < y = log a x, a > y = log a x, 0 < a < y = sin x y = cos x y = tg x y = cotg x

24 4 KAPITOLA. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT y = arcsin x y = arccos x y = arctg x y = arctg x

25 .6. VZOREČKY PRO ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY 5.6 Vzorečky pro algebraické úpravy.6. Mnohočleny Pro a, b R platí: (a + b) = a + ab + b, (.6.) (a b) = a ab + b, (.6.) a b = (a + b) (a b). (.6.).6. Kvadratická rovnice Jedná se o rovnici ax + bx + c = 0, (.6.4) kde a, b, c R, a 0, s neznámou x. Kořeny (neznámé) x, x vypočítáme podle vzorce Pokud D = 0, je x = x = b a x, = b ± D, jestliže D = b 4ac 0 (diskriminant). (.6.5) a dvojnásobným kořenem. Platí rovnost ax +bx+c = a(x x ) (x x ). Pokud a =, máme x +bx+c = (x x ) (x x ) = x x(x +x )+x x, tedy b = (x + x ), c = x x. Poznámka. Pokud D < 0, kvadratická rovnice (.6.4) nemá reálné kořeny. Má však dva komplexně sdružené komplexní kořeny x = b+i D a, x = b i D a, kde i je imaginární jednotka, tj. i =. Zjednodušeně řečeno, je-li diskriminant D > 0, pak řešením rovnice jsou dva různé reálné kořeny, diskriminant D = 0, pak řešením rovnice je jeden dvojnásobný reálný kořen, diskriminant D < 0, pak řešením rovnice dva komplexně sdružené kořeny.

26 6 KAPITOLA. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT.6. Mocniny Jsou-li r, s R, pak platí následující rovnosti pro všechna x, y R, pro která mají obě strany smysl: x r x s = x r+s, x r : x s = xr x s = xr s, x r = x r, x0 =, (.6.6) speciálně: x = x, x r x r = x 0 =, x r y r = (x y) r x r ( x ) r,, y r = ( ) r, y x r = (.6.7) x (x r ) s = x r s. (.6.8) Příklady. Pro x 0 máme: x = x, x x = x x = x (dle (.6.6))..6.4 Odmocniny Pro m, n N, r R a x, y (0, ) platí: n x = x n, (.6.9) n x y = n x n n x n x y, y =, n y (.6.0) n xr = ( n x ) r r n = x n, m x = n m x = n m x, (.6.) speciálně: n xn = x..6.5 Některé úpravy zlomků složený zlomek: usměrňování zlomků příklad: rozložení zlomků: x y w = x z y z x a + b c w = xz yw x x = = = a c + b c x (y, z, w 0), (.6.) x x = x x (x > 0), (.6.) a b + c. (.6.4).7 Logaritmy.7. Vzorce Předpokládejme, že a (0, ) (, ).

27 .7. LOGARITMY 7 Platí a y = x y = log a x pro x > 0, y R, (.7.) speciálně: 0 y = x x = log y (pro x > 0, y R), speciálně: e y = x x = ln y (pro x > 0, y R, e =, 7... je Eulerovo číslo), a log a b = b pro b > 0, (např. e ln = ), (.7.) Pro u, v > 0, s R a n N platí: log a (u v) = log a u + log a v, ( u ) log a = log v a u log a v, (.7.) log a (u s ) = s log a u, log a ( n u ) = loga (u) n = n log a u, (.7.4) log a = 0, log a a =, (.7.5) speciálně z (.7.4), (.7.5) plyne: s = log a ( a s ). (.7.6) log a b = log 0 b log 0 a (.7.7).7. Hodnoty Tabulka.5: Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot log a = 0 log a a = barva křivky x ( ; 0 0, 5 e log x 0, 489, 9, 9 6, , 889 ln x 0, , 695, 60944, 059 4, , 49 log 5 x 0, , , 6944, 4068, 865, 804 log x 0, , 00 0, 497 0, 69897, log 00 x 0, , 505 0, 649 0, , 5, 948 Obrázek.: Průběh funkce y = log x Zdroj: program Graph

28 8 KAPITOLA. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT Obrázek.4: Průběh funkce y = ln x Zdroj: program Graph Obrázek.5: Průběh funkce y = log 5 x Zdroj: program Graph Obrázek.6: Průběh funkce y = log x Zdroj: program Graph

29 .7. LOGARITMY 9 Obrázek.7: Průběh funkcí y = log x, y = ln x, y = log 5 x, y = log x, y = log 00 x Zdroj: program Graph

30 0 KAPITOLA. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT.7. Odlogaritmování Např. při výpočtu definičních oborů se občas setkáváme s nutností odlogaritmovat určitý výraz, níže jsou příklady, jak takovou úpravu provést. Pro a (0, ) (, ), A > 0 a y > 0 platí: x = log a y y = a x (.7.8) a B log a A = a log a AB = A B (.7.9) a log a A = A (.7.0) log a a B = B (.7.) V následujících příkladech ukážeme několik možností s logaritmy o různých základech. ) Dekadický logaritmus (základ 0) log(8 x) = 0 log(8 x) = (podle vzorce (.7.8)) 8 x = 0 x = ) Přirozený logaritmus (základ e) ln 6x = 0 ln 6x = ln 6x = ln e (podle vzorce (.7.)) 6x = e (neboť logaritmus je prostá funkce) x = e 6 ) Logaritmus o základu 6 log 6 (8x ) 5 = log 6 (8x ) = 7 log 6 (8x ) = log (podle vzorce (.7.)) 6 log 6 (8x ) = 6 log x = 6 7 (podle vzorce (.7.0)) 8x = x = x = ± x = ± x = ±

31 .8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE.8 Goniometrické funkce.8. Vzorce. sin (x ± kπ) = sin x 8. sin ( x) = sin x 5. sin x + cos x =. cos (x ± kπ) = cos x 9. cos ( x) = cos x 6. tg x = sin x cos x. tg (x ± kπ) = tg x 0. tg ( x) = tg x 7. tg x cotg x = 4. cotg (x ± kπ) = cotg x. cotg ( x) = cotg x 8. cotg x = cos x sin x tg α ± tg β 5. sin(α ± β) = sin α cos β ± sin β cos α. tg(α ± β) = 9. tg α = tg α tg α tg β tg α 6. cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β. sin α = 7. cotg α = cotg α cotg α cos α 0. cos α = + cos α 4. cos α = cos α sin α. sin α = sin α cos α. cotg(α ± β) = cotg α cotg β cotg β ± cotg α.8. Hodnoty Tabulka.6: Důležité hodnoty goniometrických funkcí x π π π 4 π 6 0 π 6 π 4 π π π π 4 5π 7π 6 π 6 5π 4 4π π 5π 7π 4 π 6 sin x 0 0 cos x tg x 0 0 cotg x 0 0 0

32 KAPITOLA. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT Tabulka.7: Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí ( ) π x ; sin = arcsin( ) = π arcsin x: π arcsin x ; π ( ) 7π sin = ( ) ALE arcsin = π 6 6 arccos x: arctg x: arccotg x: x ; cos(0) = arccos() = 0 arccos x 0; π x ( ; ) arctg x x ( ; ) ( π ; π ) arccotg x (0; π) ( ) π cos ( ) π tg ( ) π tg ( 5π ) tg ( π ) cotg 4 cotg ( ) 5π 4 = ( ) ALE arccos = π = arctg ( ) ( ) π = = ALE arctg ( ) ( ) π = = ALE arctg ( ) ( ) π = = arccotg() = π 4 = ALE arccotg() = π 4

33 .8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE Obrázek.8: Jednotková kružnice hodnoty úhlů ve stupních y (, ) (0, ) (, ) ( ), (, ) 5π 6 π 4 π 0 π π π 4 (, π 6 ) (, ) 50 0 (, 0) (, 0) π π x ( ), 7π 6 (, ) ( 5π 4 0, ) 4π π (0, ) 5π 0 7π 4 π 6 ( (, ) (,, ) ) y Obrázek.9: Jednotková kružnice sin α = y cos α = x 0 α x y x tg α = y x cotg α = x y sec α = x csc α = y

34 Kapitola Definiční obor jedné proměnné. Návody k výpočtu Činitelé, kteří kladou podmínky jsou:. JMENOVATEL. Musí být nenulový. x ; x 0. ODMOCNINA. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Může se rovnat nule ( 0 = 0). Nula je nejmenší číslo, které může být pod sudou odmocninou. x; x 0. LOGARITMUS. Logaritmovaný výraz (argument) musí být větší než nula, ať je základem logaritmu jakékoli číslo. ln x; x > 0 log x; x > 0 4. DVĚ CYKLOMETRICKÉ FUNKCE. Argument, ze kterého se počítá arcsin a arccos (nikoli arctg a arccotg) musí být na intervalu ; ArcSin arcsin x; x ArcCos arccos x; x Tabulka.: Značení výsledků u definičních oborů Značení na číselné ose otevírací závorka uzavírací závorka znaménka podmínky ( ) > <. Ukázkové příklady () y = log(x) Z Obrázku. je vidět, že x může být jakkoli veliké v kvadrantu I a IV, tedy kladné. Nikdy se však nerovná nule ani není záporné (x roste od nuly, nezačíná na ní), x > 0. Definiční obor je tedy x (0; ) () y = + x 4

35 .. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY 5 Obrázek.: Průběh funkce y = log(x) Zdroj: program Graph Tabulka.: Vybrané funkční hodnoty funkce y = log(x) x y Obrázek.: Průběh funkce y = + x Zdroj: program Graph Je evidentní, že nejmenší možná hodnota x je 0. Podmínky ze sudé odmocniny jsou x 0. Tabulka. ukazuje vybrané hodnoty, které tvoří zadanou funkci. Definiční obor je tedy x (0; )

36 6 KAPITOLA. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ Tabulka.: Vybrané funkční hodnoty funkce y = + x x y () y = + x Obrázek.: Průběh funkce y = + x Zdroj: program Graph Tabulka.4: Vybrané funkční hodnoty funkce y = + x x y Definiční obor je tedy x ( ; 0) (0; + ) nebo lze tuto skutečnost zapsat jako x R\{0}. (4) y = x Z této funkce žádné podmínky neplynou. Definiční obor je tedy x R.. Jednoduché příklady ze skript Zadání ) f(x) = x + x Výsledky D(f) = ( ; ) f(x) = + x x + 4 6x 8 x D(f) = {} ) f(x) = log (x 5x + 6x) D(f) = (0; ) (; ) 4) f(x) = x 4 + x + x D(f) = ( ; {}

37 .. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 7 Zadání Výsledky 5) f(x) = x 9 5 D(f) = ; ) 6) f(x) = e log (x+) 6 D(f) = ( ; 7 7) f(x) = x + x x 7 D(f) = ( ; 0) (0; ) 8) f(x) = 4 x x 4 8 D(f) = ; ) 9) ( ) x f(x) = arccos 9 D(f) = ; 0) f(x) = 5 arctg x 4 x + arcsin (x ) 0 D(f) = ; ) (; x + ) f(x) = arccos D(f) = ; ) f(x) = sin(arcsin x) D(f) = ; ) f(x) = arcsin(sin x) D(f) = ( ; ) 4) f(x) = log (4x ) 4 ; ( D(f) = ; ) ( ) 5) f(x) = ln(x ) x x 5 D(f) = (; ) (; ) 6) f(x) = 6 x + log (6x + x ) 6 D(f) = (0; 4 x 7) f(x) = log (x + x) x 8) f(x) = log ( + 4x x ) x x 7 D(f) = (0; 8 D(f) = ( ; ) (; 6) 9) f(x) = log(log x + 8) 9 D(f) = ; ) 0) f(x) = log ( log(x 5x + 6) ) 0 D(f) = (; )

38 8 KAPITOLA. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ Obrázek.4: Průběh funkce y = x y x Tabulka.5: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x x y Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 9x ( ) f(x) = log (8 x) + x D : x ( ; ) ; ) 0x + ; (7; 8) ( x ) 6x ) f(x) = ln + 6 x x 5 D : x 6; 4) (0; 4) (5; 6 x + 9x 5 ) f(x) = x 4 x 5 + ( D : x (, 5 x 5, ( x ) + x 5 4) f(x) = ln + e x 6 4 D : x 8; ) x 5 x 5) f(x) = x ln(x ) 5 D : x ( ; ) (; 4 6) f(x) = ( ) x 5 x + arcsin + ln(x ) 6 D : x (; ) (; 5 5 ( 4 x ) 6 7) f(x) = log x + e 5 4x 7 D : x 5 ) ( + x ; ; 5 x x 0 8) f(x) = + log(8 x) 8 D : x ( 4; 5; 6) (6; 8) log(x + 4) 9) f(x) = x + x ln(5 x) + x 9 D : x ; (; 4 4 x 8 0) f(x) = x x 0x + log(00 x ) 0 D : x ( 0; ) (0; (5; 0) ) f(x) = 5 x + ln x + 4x x 4 x ( x ) ( ) x + x ) f(x) = ln + arcsin x x ) f(x) = log(x 9 4) + x x 0 4) f(x) = ( x ) 5 x + x + ln x + x 8 D : x 5; 0) (; 4) D : x ; ) (; 4 D : x ( ; 4) ; ) (; (5; ) 4 D : x 5; 4) ( ; ) (; 5

39 .4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 9 Zadání Výsledky ( e 4x 5) f(x) = ln + e 4x 5 D : x ; ln ) 4 x 8 6) f(x) = x + 4x 5 + ln(x + x) 6 D : x ( 5; ) (0; ) ; ) x 9x + 0 7) f(x) = + log (log(0 x)) 7 D : x (; 4 5; 9) x 5 x 5 8) f(x) = x x + log(x ) 8 D : x ( ; ) (; (4; ) 9) f(x) = x 4x + + ln(5 x) 9 D : x ; ; 4 0) f(x) = log (log(x + 8)) 0 D : x ; ) ) f(x) = x + x x D : x ( ; 0) (0; ) ) f(x) = e log(x+) D : x ( ; 7 ) f(x) = ( ) 64 x x ln x D : x ( ; ) (5; 8 4x 5 ( x ) x 5 4) f(x) = ln + e x 6 4 D : x (5; ) x x 4 5) f(x) = 5 D : x ( 4; ; 6) (6; ) log(x + 4) x + 6 6) f(x) = x 6x log(x 9) 6 D : x 6; ) (4; ) x + x 4 7) f(x) = x + log (log(x + 5)) 7 D : x ( 7; 4 ( ; (; ) 9 8) f(x) = ( x ) x x log x 8 D : x ( ; 5) ( 4; ; 4) (7; ) 6 ( 9) f(x) = e 49 x x ) 4x + ln 9 D : x 7; ) (6; 7 x + 0 x + x 5 0) f(x) = 4 x + ln(6 x ) 0 D : x ( 4; ) ; 4) 6 ) f(x) = x x ln (5 x) ( ; ; 5) x + ) f(x) = x x x + + ln (x 4) ( ; ) (; ) ( x ) ) f(x) = ln x + 6 x + x 5 4; ) (; 4 4) f(x) = x arctg x 4 ( ; ; ) x 6x + 8 5) f(x) = + ln (x 6) 5 ( 8; 6) (6; ) x + 8 x + 7x 8 6) f(x) = 9 x + log (log(x + 7)) 6 ( 6; ) ; ) x 7) f(x) = ln(x + x 4 4) + x 7 ( ; 6 ( 4; ) 4; ) + 4x x + x 8) f(x) = 6 x + log (9 x ) 8 ; ; ( x ) 8 9) f(x) = ln x + e 5 x 9 5; ) ; 5 + 5x 6

40 40 KAPITOLA. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ Zadání Výsledky 40) f(x) = ( x ) x 5x + log 40 ( ; 5 ; 5; ) x x 9x 4) f(x) = + ln( x) 4 5; 0; (5; log(x + 5) ( x ) 4x 5 4) f(x) = ln 8 x + 6 x 4 4; ) (; 4 ( x ) 6 4) f(x) = ln x + x + x 5 4 ( 5; ; ) (4; ) x x 0 44) f(x) = x + log(log(x + 5)) 44 ( 4; (; 4) (5; ) 7x +

41 Kapitola Definiční obor dvou proměnných. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledek! p x + y 9 x + y + ) f (x, y) = ln ) f (x, y) = ln ) f (x, y) = p 6 4) f (x, y) = s x + ln(9 y ) x + y 4 5) f (x, y) = p x + y 9 y + ln x + y 4 x + y + arccos y y ln(x + ) 4

42 4 KAPITOLA. DEFINIČNÍ OBOR DVOU PROMĚNNÝCH 6) f (x, y) = s ln x y y 4x + 9y 6 ln x y 7) f (x, y) = ln 8) f (x, y) = p y + f (x, y) = r +x y ln x y 9) 0) ) f (x, y) = ln s ln x + y ln x y x y y log x f (x, y) = arcsin x + y x

43 .. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 6 4x 9y x + y 4 ) f (x, y) = log ) f (x, y) = 4) f (x, y) = ln 5) f (x, y) = arcsin(y x ) + arcsin(y x ) p 4x y ln( x y ) 6) f (x, y) = log 7) f (x, y) = ln x + y + x 4x + y 4 y 4 x x + 4y 6 4

44 44 KAPITOLA. DEFINIČNÍ OBOR DVOU PROMĚNNÝCH 8) f(x, y) = ln ( 4x + 9y ) 4x 6y + 6 4x y 4x + 4y + 8

45 Kapitola 4 Limity 4. Vzorce a vztahy Níže jsou uvedeny vzorce pro oboustranné limity ve vlastním bodě. Analogické vzorce platí i pro limity v ± a také pro limity jednostranné, není-li řečeno jinak může být A také ±. ) Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu, tj. je-li lim x a f(x) = A a lim x a f(x) = B, pak je A = B; ) je-li lim x a f(x) = A R a lim x a g(x) = B R, potom je: lim (f(x) + g(x)) = A + B; x a lim (f(x) g(x)) = A B; x a lim (f(x) g(x)) = A B; x a lim x a ( ) f(x) = A, samozřejmě za předpokladu, že B 0; g(x) B ) je-li f(x) h(x) g(x) v nějakém okolí bodu a (s vyjímkou tohoto bodu a) a lim f(x) = lim g(x) = A, potom x a x a je také lim h(x) = A; x a 4) lim x a g(x) = b, lim x b h(x) = A a je-li pro každé x D(g), x a splněna nerovnost g(x) b, pak je lim x a h(g(x)) = A. Poznámka. Důsledkem právě uvedených vlastností limit jsou i následující dvě vlastnosti: 5) je-li lim x a f(x) = A R, potom je lim x a (k f(x)) = k A pro libovolné k R; 6) je-li lim x a f(x) = 0 a je-li funkce g(x) omezená v nějakém okolí bodu a (tj. g(x) K, pro nějaké K R, potom je lim x a (f(x) g(x)) = 0. 45

46 46 KAPITOLA 4. LIMITY 4. Klasické příklady Určete limity funkcí: Zadání Výsledky Zadání Výsledky x + 5 x ) lim x x ) lim + x 0 log(x + 0) x + ) lim x x 5) lim x x 5x + 6 x 9 x 5x + 6 7) lim x x 9 9) lim x ( x 6 x x + ) lim x x + 4 ( ) x 4 ) lim x x + x ) 5 + x x 5) lim x 7 x + x 5 x x + 7) lim x x + x x 4 + x + 5 9) lim x x + x + 4 (x ) x ) lim x x x ) lim x x 9 + x 5) lim x 0 x x 6 + 7) lim x x + ( ) x + 9) lim ln x x x4 + x ) lim x x + 5x ) lim x 4) lim x x + x 5 0 6) lim x x 5x + 6 x 9 7 8) lim x (x x ) 0 ( 8 9 0) lim x x 4 x ( (x x + 6) 0 8 ) 0 x 4 + ) lim x (x + ) x + x 0 4) lim x x + x + 4 x + 6) lim x x x + x x + 7 8) lim x x x (x + ) 0 (x ) 0 9 0) lim x (x ) x 4 ) lim x 4 x x x 4) lim x x 4 6) lim x 8) lim x 6 9 ln 4 0) lim x x + 8 ( x) Neexistuje ) 0 ( ) x (x + ) 4 4 x 8 x 4 4 x ) lim x x 0 x x + x 4) lim ( x x) 4 0 x x x ( ) 5) lim x x x x 7) lim x π+ 5 e x 6) lim x + sin x tg x 7 8) lim x 0 cos x x 6 8 cos x + 5 cos x 9) lim x π cos 9 cos x sin x 4) lim x 0 sin x sin x cos x 4) lim x π 4 cos x sin x ( x 9 5 ) + 8x ) lim log x x x 4 4) lim x π ) lim x 0 tg x + tg x tg x tg x + ( sin x sin x sin x )

47 4.. KLASICKÉ PŘÍKLADY 47 45) lim x π sin x tg x sin x cos x 47) lim x π 4 cos x x + sin x 49) lim x x cos x 5) lim x arctg x x + cos x 45 46) lim 46 0 x π + sin x 47 48) lim x (x5 + sin x) ) lim ( arccotg x + ) 50 x 5 0 5) lim x + e x 5) Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru 5 D(f) = ( ; ) (; ) lim f(x) = 0 x lim f(x) = 0 x f(x) = x lim f(x) = x lim f(x) = x + 54) Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru D(f) = R\{ ; } f(x) = lim f(x) = 0 x x x + x lim x f(x) = 4 lim f(x) = x lim f(x) = 0 x lim x + f(x) = 4 lim f(x) = x +

48 Kapitola 5 Derivace funkcí jedné proměnné 5. Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h v bodě a (5..) 5. Úprava funkcí před derivováním Pakliže je naším úkolem zderivovat nějakou funkci, je často vhodnější si tuto funkci nejprve nějak příhodně upravit viz příklad (modře je vyznačena samotná derivace) a teprve po úpravě ji zderivovat. Výsledky však musí být stejné ať už zadání upravíme, nebo ne. Naším úkolem je zderivovat funkci: y = + x Mohu ji derivovat: a) Neupravenou y = + x y = 0 + x + x = + x + x + x = + x + x = ( + x) b) Upravenou y = ( + x) y = ( + x) = ( + x) = ( + x) 48

49 5.. VZORCE PRO DERIVOVÁNÍ Vzorce pro derivování Pokud aplikujeme vzorec Equation 5.. v každém bodě a, dostaneme následující vzorce. Níže jsou uvedeny všechny vzorce z tabulky z technické fakulty. Ani na zmíněné tabulce nejsou všechny vzorce Diferenciálního počtu. Některé vzorce jsou zde (i v tabulce) odvozené od ostatních, například: vzorce č., 4, 5 jsou odvozeny od vzorce č. ; vzorec č. 7 odvozen od vzorce č. 6; vzorec č. 9 odvozen od vzorce č. 0. Funkce a exponenty Pravidla pro derivování. (konstanta) = 0 Pravidla pro sčítání. (x) = 9. (u ± v) = u ± v. (x a = ax a Pravidla pro násobení ( ) 4. = x x 0. (u v) = u v + u v 5. ( x) = x Speciální případ s konstantou Logaritmy a exponenciála 0.a (k f(x)) = k (f(x)) 6. (log a x) = x ln a Násobení více funkcí 7. (log x) =. (u v w) = u v w + u v w + u v w (u v) w + (u v) w 8. x ln 0 (ln x) = x nebo též ((u v) w) = 9. (e x ) = e x Pravidla pro podíl 0. (a x ) = a x ln a. ( u ) u v u v = v Goniometrické funkce Speciální případ s konstantou ( ) f(x). (sin x) = cos x.a = f (x) k k. (cos x) = sin x Pravidla pro složené funkce. (tg x) = cos. [f (g(x))] = f (g(x)) g (x) (x) 4. (cotg x) = sin (x) Cyklometrické funkce 5. (arcsin x) = x 6. (arccos x) = x 7. (arctg x) = + x 8. (arccotg x) = + x Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici obecné mocniny ( ) f(x) g(x) g(x) ln f(x) = e v 5.4 Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky ) y = 7 x + 5 y = 7 x ) y = x x 5 x 4 y = x 7

50 50 KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Zadání ) y = ( x ) x 4) y = x x Výsledky x y = 4 x y = (x ) 5) y = x x 5 y = x x ( + x ln ) 6) y = x ln x x 6 y = ln x 7) y = ( x ) cos x + x sin x 7 y = x sin x 8) y = (x ) log x 8 y = log x + ln 9) y = tg x e x 9 y sin x cos x = e x cos x 0) y = 4x x 0 y = ) y = cos x sin x ) y = + ln x x ( ) x + ) y = ln x ( ) 4) y = arctg x ( ) x + 5) y = arccotg x 4 ( x) y = sin x y = ln x x y = 6 9 x 4 y = + x 5 y = + x ( ) x 6) y = e x+ + x + 6 y = e x+ + x + 7) y = arcsin x 7 y x = ( x )(x ) 8) y = tg 4 x tg x 4 ln(cos(x)) 8 y = 4 tg 5 x ( ( x )) 9) y = ln tg 9 y = sin x 0) y = x ( x ) ln ) y = ( ) + x x 0 y = x ln ( ) + x x ( x + x ) 5 y = 5(x + )4 (x ) x x ) y = x arctg x ln( + x ) y = arctg x ( ( π ) y = ln tg 4 + x )) 4) y = x 8 6 x + arcsin x 4 5) y = x 6x x + 4 arcsin 4 ( 6) y = x ) arctg x 7) ( y = x arcsin x 8) y = ( x )) (tg ln ) ( + ln x + ) x cos x sin x y = cos x 6 x 4 y = 4 5 y = 0 x 6x x 6 y = x + x 4 + x + ( ) 7 y = arcsin x 8 y = sin x

51 5.4. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 5 Zadání 0) y = ln Výsledky x 9) y = (x + ) + x (x + ) + arctg x 9 y = ( ) x x ) y = ln ( x x + arcsin x x ) arctg x x Vypočtěte druhé derivace funkcí: 4 (x + ) 0 y = arcsin x x y = arctg x x ) y = x tg + ln(cos x) y x tg x + = ( ) y = ln x + ) x + x x 4) y = 5) y = ln ( ln x ) ) ( x + x + 4 ( x ) 6) y = arctg + x x 7) y = ln + x + arctg ( ) x + x y = x x (x + ) 4 y = ln x + x 5 y = 6x x 4x 5 ((x + ) (x + 4)) 6 y = 6x (x6 ) ( + x 6 ) 7 y = 8x (x 4 ) 8) y = + ex 4 e x 8 y = 8 ex (4 + e x ) (4 e x ) + e x 9) y = ln e x 9 y = 4 ex ( + e 4x ) ( e 4x ) Vypočtěte f (4) pro funkci x 40) f(x) = + x Vypočtěte f (0) a f (0) pro funkci 4) f(x) = x 9 ( ) 9 x arcsin x Vypočtěte f (5) a f (5) pro funkci 4) f(x) = x x x ( 9 + ln x + ) x 9 40 f (4) = 0, 0 Ve kterých intervalech je derivace zadané funkce kladná? ( 4) y = tg x + ln(tg x) 4 x Pro které x je derivace zadané funkce rovna nule? 4 f (0) =, f (0) = 0 4 f (5) = 0, f (5) = 8 k π π ), (k + ) 44) y = (4x ) e x 44 x = Pro která x je derivace zadané funkce rovna nule? 45) y = sin x sin x + sin x 45 x = π + kπ, k Z Pro která x platí f (x) = 4 u zadané funkce? 46) y = 4 sin x + cos x 46 x = π + kπ, k Z

52 5 KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 5.5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání ) f(x) = ln ( sin x + ) cos x ( ) x ) f(x) = ln x + sin 5x ) f(x) = ln sin 5x 4) f(x) = x x + arccos x ( + ) x 5) f(x) = ln 4 + x 6) f(x) = x x 9 9 (x ln + ) x 9 7) f(x) = 9 x + x arcsin x + arcsin Výsledky f(x) = cos x cos x f(x) = x x f(x) = 4 f(x) = x x 0 sin 5x cos 5x 4 sin 4 5x 5 f(x) = x x f(x) = x 9 7 ( x ) f(x) = arcsin 8) f(x) = x 6x x + 4 arcsin 8 f(x) = 0 x 4 6x x e 4x 9) f(x) = ln + e 4x 9 f(x) = 8 e4x e 8x 4 ( ) 0) f(x) = ln ln x ln 4 x 0 f(x) ln x = x 4 + ln 4 x Nepočítáno: ( ) f(x) = ln x4 + + x ) ( ln x4 + x ) ( ) ) f(x) = ln sin x + + sin 4 x ) f(x) = x arctg x ( ) x 4) f(x) = ln x 4 ( ) + e x 5) f(x) = ln + e x + 6) f(x) = e π ex + arcsin ( ) e x 7) ( ) x f(x) = 4 arcsin + 4x x 8) f(x) = x arcsin ( x ) + x

53 Kapitola 6 Limity l Hospitalovo pravidlo 6. Předpoklady užití l Hospitalova pravidla Chceme-li počítat limity lim f(x) g(x) l Hospitalovým pravidlem, musí dané funkce splňovat následující předpoklady:.. něco 0 0. limity z derivace lim f (x) g (x) existuje. Potom lim f(x) g(x) = lim f (x) g (x) 6. Jednoduché příklady ze skript Užitím l Hospitalova pravidla vypočtěte následující limity: Zadání Výsledky Zadání Výsledky x x ) lim x x e x x ) lim + x 0 7 x 0 + sin x e x ) lim x 0 cos x ln x 5) lim x 0 + cotg x x 7) lim x e x + ln x 4) lim 4 0 x x 5 0 6) lim x + x x 0 e x 7 0 8) lim x 0 sin x sin 5x sin x cos x 9) lim x 0 x 9 7 0) lim 0 0 x π tg x ) lim x ln x 0 ) lim ln( x) ln x 0 x 0 + x ( ) lim ) cotg x 4) lim cotg x ) 4 0 x 0 +(ex x 0 + x ( x 5) lim x π cotg x π ) ( 5 6) lim tg x + ) 6 0 cos x x π x π ( x 50 ) 50x ) lim x x ( ) tg x 8) lim 00x x π 4 sin 8 x Následující limity počítejte oběma způsoby, tj. úpravami bez použijí l Hospitalova pravidla a s ním: Zadání Výsledky Zadání Výsledky x + x + 9) lim x x 9 x 0) lim 9 6 x x + tg x tg x + cos x ) lim ) lim 0 x 0 sin x x 0 sin x 5

54 54 KAPITOLA 6. LIMITY L HOSPITALOVO PRAVIDLO ) lim x 0 tg x sin x sin x 4) lim x 0 ( + x) 5 ( + 5x) x + x V dalších dvou příkladech vypočtěte limity dané funkce v hraničních bodech definičního oboru a nakreslete graf libovolné jiné funkce, která má ve stejných bodech stejné limity: Zadání Výsledky 5) y = x + 5x 8x x 5 lim x + 4 f(x) = lim f(x) = x 4 6) y = x + 4x x x 6 lim x ± f(x) = 4 lim x 0 f(x) = 4 lim f(x) = 7 x 6 lim x f(x) = lim f(x) = x lim x + f(x) = lim x f(x) = 6. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Nepočítáno: ln ( x) ) lim x 0 + sin x sin 5x e x ) lim x 5x cos x ) lim x π tg x tg x 4) lim x π 8 cos 4x 5) 0 x lim x + 0 x 6) tg x lim x 0 + sin x cotg x 7) lim x π 8 cos x x + sin 5x 8) lim x 0 x cos x + sin x 9) lim x 0 tg x x + 4 0) lim x 0 x sin x

55 Kapitola 7 Parciální derivace 7. Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě f f(a + h, b) (a, b) (a, b) = lim x h 0 h (7..) f f(a, b + h) (a, b) (a, b) = lim y h 0 h (7..) 7. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadáná funkce Výsledek f x Výsledek f y Výsledek f x y = f y x ) f(x, y) = xy ln(x + y) ln 5 ) y ln(x + y) + xy x + y ) x ln(x + y) + xy x + y ) f(x, y) = ln(x + x y) y sin() ) ) x y (x + x y) ) f(x, y) = sin(x y 4 ) + y e y x + 4) ( f(x, y) = ln sin y ) ( π ) + ln x 6 5) f(x, y) = arctg (y x) + x y + π 6) f(x, y) = sin(x + y ) + y e x y + 7) f(x, y) = arctg(x y) arctg 8) f(x, y) = sin(x y + y ) sin π Nepočítáno: 9) f(x, y) = arccotg(x y) arccotg( ) 0) ( π ) f(x, y) = cos(x xy) + cos 4 ) f(x, y) = e xy x y +x y + e ) ln(x + y) + 4x + 6xy + 9y (x + y) ) x + y x + x y x y x (x + x y) 55

56 Kapitola 8 Inverzní funkce 8. Návody k výpočtu Co je naším úkolem při výpočtu inverzních funkcí? Co je to vlastně inverzní funkce? Laicky řečeno, inverzní funkce zobrazuje hodnoty opačným směrem než původní funkce, jak je zřejmé z Tabulky 8.. Z toho také vyplývá, že funkce f : y = x je inverzní sama k sobě. Právě ke každé prosté funkci lze nalézt inverzní funkci. To znamená, že ne ke každé funkci jsme schopni inverzní funkci sestrojit. Např. funkce f : y = x definovaná na celém R není prostá, a proto k ní nejsme schopni sestrojit na tomto definičním oboru inverzní funkci. Lze ji však nalézt k její vhodně zvolené části viz Tabulka 8. třetí příklad. To samé se týká funkce f : y = sin x v posledních dvou příkladech zmíněné tabulky. Tabulka 8.: Funkční hodnoty funkce f : y = x a její inverzní funkce f : y = x f : y = x f() = f () = f() = 4 f (4) = f() = 6 f (6) = f(4) = 8 f (8) = 4 f(5) = 0 f (0) = 5 Příklad f : y = x + x 4 y (x 4) = x + / (x 4) xy 4y = x + /roznásobení levé strany xy x = + 4y / x /+4y x(y ) = 4y + /vytčení x x = 4y + y y = 4x + x inverzní funkce (k y nalezneme x) /přeznačení proměnné Tabulka 8. ukazuje celkem pět příkladů funkcí a jejich inverzních funkcí. V každém řádku je uveden jeden příklad, na obrázcích jsou celkem křivky: petrolejová = zadaná funkce plná = část zadané funkce k níž JE sestrojena inverzní funkce tečkovaná = část zadané funkce k níž NENÍ sestrojena inverzní funkce 56

57 8.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 57 růžová (plná) = inverzní funkce fialová (tečkovaná) = osa, podle níž je původní funkce překlopena 8. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání ) f : y = 4 log(x + ) ) f : y = x+ ) f : y = 4 x

58 58 KAPITOLA 8. INVERZNÍ FUNKCE Tabulka 8.: Inverzní funkce Zadaná funkce Inverzní funkce f : y = x f : y = x f : y = e x f : y = log x f : y = x x 0; ) f : y = x f : y = sin x π ; π f : y = arcsin x f : y = sin x π ; π f : y = arcsin x Zdroj: program Graph

59 Kapitola 9 Tečna a normála v bodě T 9. Vzorce tečny a normály Tečna t : y y T = f (x T ) (x x T ) (9..) Normála n : y y T = f (x T ) (x x T) když f (x T ) 0 (9..) Normála v extrémním případě, kdy se první derivace v bodě rovná v daném bodě nule f (x T ) = 0 (9..) n : x = x T (9..4) Všimněte si, že v případě, kdy se první derivace v bodě rovná nule v zadaném bodě, pak: t : y y T = 0 (9..5) n : x = x T (9..6) a předpisy tečny a normály neobsahují proměnnou x nebo y. Jedná se tedy o přímky, kdy: t osa x (tečna je rovnoběžná s osou x) n osa y (normála je rovnoběžná s osou y) 9. Návody k výpočtu Obecný předpis tečny a normály: 59

60 60 KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T t : y y T = f (x T ) (x x T ) n : y y T = f (x T ) (x x T). Máme zadaný předpis konkrétní funkce a bod o souřadnicích T = [x T ; y T ]. Nemusíme se zabývat definičním oborem máme zadaný konkrétní bod a ten určitě na křivce leží = v tom místě funkce existuje. Více řešit nemusíme. Zpravidla známe jen x-ovou souřadnici bodu. y-novou souřadnici dopočteme dosazením x-ové souřadnice do zadaného předpisu.. Vidíme, že pro dosazení do vzorce nepotřebujeme jen x-ovou a y-ovou souřadnici, ale i první derivaci. Vypočteme tedy. derivaci zadané funkce.. V případě, že se v. derivaci vyskytne proměnná x, dopočteme. derivaci v bodě. Vyjde-li např. y = x a máme zadaný bod T = [; 6], tak derivace v bodě je y =, tedy y = 6. (y-nová souřadnice se v derivaci v bodě nijak nepromítne). 4. Dosazení do vzorce: t : y y T = f (x T ) (x x T ) n : y y T = f (x T ) (x x T) Toto jsou proměnné, části vzorce, za které se nic nedosazuje a pouze se opisují. Za tyto části vzorce se dosazují souřadnice zadaného bodu T. Derivace v bodě (jedná se vždy o konkrétní číslo). Poznámka. Normála je kolmice na tečnu tyto dvě přímky tedy nikdy nemohou mít stejný předpis. Podívejme se však, co se stane, když vyjde první derivace v daném bodě nula f (x) = 0, a my bezmyšlenkovitě dosadíme do vzorců tečny a normály: t : y y T = 0 (x x T ) n : y y T = (x x T ) pro normálu nám vychází dělení nulou, což je operace vyhrazená pouze Chucku Norrisovi. Pakliže vyjde pro tečnu předpis y = y T, jedná se o nějakou konstantní funkci rovnoběžnou s osou x. Má-li být normála kolmá na tečnu a procházet zadaným bodem, musíme vycházet ze seciálního vzorečku pro tento případ, který říká: n : x = x T 9. Ukázkový příklad Máme zadanou funkci y = ln x Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech: T = [;?]

61 9.. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD 6 ) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce y = ln y = 0 Plné souřadnice bodů jsou tedy: T = [; 0] ) Vypočteme. derivaci funkce y = ln x y = x ) Vypočítáme. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body tedy pro každý zvlášť) y T = = 4) Dosazení do vzorce t : y 0 = (x ) 0 = x y y = x n : y 0 = (x ) 0 = y + x y = x Máme zadanou funkci y = ln x Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech: S = [e;?] ) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce y = ln e y = Plné souřadnice bodů jsou tedy: S = [e; ] ) Vypočteme. derivaci funkce y = ln x y = x

62 6 KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T ) Vypočítáme. derivaci v bodě (v našem případě máme dva body tedy pro každý zvlášť) y S = e 4) Dosazení do vzorce t : y = (x e) e 0 = x e y n : y = e (x e) 0 = y + e x e Obrázek 9.: Grafické znázornění: Tečna zadaná funkce a tečné body T a S Zdroj: program Graph

63 9.. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD 6 Obrázek 9.: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě T = [; 0] Zdroj: program Graph Obrázek 9.: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě S = [e; ] Zdroj: program Graph

64 64 KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T 9.4 Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky ) y = x tečna t : 0 = 6x y + 9 tečný bod T = [;?] normála n : 0 = x + 6y 57 ) y = x + x tečna t : 0 = x y + tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x + y ) y = x x 5 tečna t : 0 = 7x + y 7 tečný bod T = [;?] normála n : 0 = x 7y + 9 4) y = x ln x 4 tečna t : 0 = x y tečný bod T = [;?] 4 normála n : 0 = x + y 5) y = ln (x + ) 5 tečna t : 0 = x y tečný bod T = [0;?] 5 normála n : 0 = x + y 6) y = e x +4x tečna t : 0 = 6x y + 9 tečný bod T = [0;?] 6 normála n : 0 = x + 6y 54 7) y = e x sin x 7 tečna t : 0 = x y tečný bod T = [0;?] 7 normála n : 0 = x + y 8) y = x x 4 8 tečna t : 0 = 0x y tečný bod T = [;?] 8 normála n : 0 = x + 0y 6 9) y = x ln(x ) 9 tečna t : 0 = x y tečný bod T = [;?] 9 normála n : 0 = x + y 0) ( ) x y = arctg 0 tečna t : 0 = 4x y 6 x + tečný bod T = [ ;?] 0 normála n : 0 = 6x + 8y Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky x + 4x + ) y = tečna t : 0 = 4x + y x tečný bod T = [;?] normála n : 0 = x 4y + 9 ) y = + x + (x + ) tečna t : 0 = x y + 4 tečný bod T = [ ;?] normála n : 0 = x + y ) y = π 4 + arctg e x tečna t : 0 = x + y π tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x y + π 4) x y = ln x + 4 tečna t : 0 = x y + 9 tečný bod T = [0;?] 4 normála n : 0 = x + y 5) x y = + ln x 5 5 tečna t : 0 = x + y 8 tečný bod T = [;?] 5 normála n : 0 = x y

65 9.5. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 65 (4 x) 6) y = x + 6 tečna t : 0 = 5x + 4y 4 tečný bod T = [;?] 6 normála n : 0 = 4x 5y 7) y = e x 8 x x 7 tečna t : 0 = 6x y tečný bod T = [;?] 7 normála n : 0 = x + 6y 8 8) y = + cos x + sin x [ π ] tečný bod T = 4 ;? 8 tečna t : y = ( + x π ) 4 8 normála n : y = + + 9) y = + x e x 9 tečna t : 0 = ex y + tečný bod T = [0;?] 9 normála n : 0 = x e y + 4 x 0) y = ln x+ 0 tečna t : 0 = x y + 7 tečný bod T = [;?] 0 normála n : 0 = x y + 9 x ) y = 5 + ln + x+ tečna t : 0 = x y + 5 tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x y + 5 ( x π ) 4 ( ) sin x ) y = ln cos x Nepočítáno: tečný bod T = [ π 4 ;?] ( ) x ) y = 4 arctg x + tečný bod T = [;?]

66 Kapitola 0 Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p 0. Návody k výpočtu Při výpočtu tečen a normál rovnoběžných se zadanou přímkou p musíme nejdříve zjistit bod dotyku T, a dále budeme postupovat stejně, jako u úloh, pro nalezení rovnice tečny nebo normály, kde je zadán bod dotyku T. V zadání je předpis funkce, k níž tečnu hledáme, a předpis přímky, s níž je tečna rovnoběžná.. Máme zadanou funkci f(x) = 6x 0 x Obrázek 0.: Průběh funkce f(x) = 6x 0 x Zdroj: program Graph a máme zadanou přímku p : y = x (ve směrnicovém tvaru), se kterou má být hledaná tečna rovnoběžná. Obrázek 0.: Průběh funkce p : y = x Zdroj: program Graph. Očekáváme, že je-li tečna rovnoběžná s přímkou p, bude vypadat následovně viz Obrázek 0., čerchovaná přímka. Zadaná přímka p a hledaná tečna musí mít stejný sklon (směrnici), který je v našem případě: k t = (viz Obrázek 0.4) (pro normálu je směrnice převrácená hodnota s opačným znaménkem víme, že normála je kolmá na tečnu) k n =.. Dále spočteme derivaci zadané funkce (což je směrnice tečny v bodě dotyku) f (x) = 6 x 66

67 0.. NÁVODY K VÝPOČTU 67 Obrázek 0.: Očekávaný průběh hledané tečny Zdroj: program Graph Obrázek 0.4: Derivace zadané přímky p Zdroj: program Graph Obrázek 0.5: Derivace zadané funkce f(x) Zdroj: program Graph 4. Položíme do rovnosti směrnici zadané přímky p a derivaci zadané funkce f(x) 6 x = 8 = x x = 4 y = = T = [4; ] Dosadíme do vzorců t : y + = (x 4)

68 68 KAPITOLA 0. TEČNA A NORMÁLA ROVNOBĚŽNÁ S PŘÍMKOU P n : y + = (x 4) Poznámka. Směrnici přímky p : y = x lze získat jako derivaci této funkce. Poznámka 4. V zadání úlohy může být přímka zadaná v jiném než směrnicovém tvaru. Například přímka zadaná směrnicovou rovnicí: p : y = x může být zadaná různými obecnými rovnicemi: p : 4x + y = 0 p : x y = 0 0. Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky ) y = arcsin 4x tečný bod T = [ 8 ; π ] 4 přímka p: 4x y = 5 tečna t : 6x 4y + π = 0 ) y = ln(x + x ) tečný bod T = [ ] ; ln 8 přímka p: y = x tečna t : x + y + ln 8 + = 0 [ ) y = sin x na 0; π ] π tečný bod T = 6 ; přímka p: y = x tečna t : 6x 6y + π = 0 4) y = x + x 4 tečný bod () T = [ ; 0] přímka p: y = x + 4x 4 tečna () t : x y + = 0 4 tečný bod () [ T = ; 8 ] 7 4 tečna () t : 54x 7y 0 = 0 5) y = x + [ Spočtěte normálu 5 tečný bod () T = 5x ; ] 5 přímka p: x + y + = 0 5 normála () n : 0x + 5y + = 0 5 tečný bod () T = [ ; ] 5 normála () n : x + y + = 0 0. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky ) y = x + 8x tečna t : 0 = x y + přímka p: 60x + 5y 9 = 0 normála n : 0 = x + y + 78 ) y = x x 6 tečna t : 0 = x y 5 přímka p: x y 7 = 0 normála n : 0 = x + y + 7 ) y = 4x + x + tečna t : 0 = x y + 6

69 0.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 69 přímka p: 9x + y + = 0 normála n : 0 = x + y

70 Kapitola Tečná rovina a normála. Vzorce tečné roviny a normály Tečná rovina τ : 0 = (x x T ) z x (x, y, z) + (y y T) z y (x, y, z) (z z T) (..) Normála n : 0 = (x x T ) F x (x, y, z) + (y y T) F y (x, y, z) + (z z T) F (x, y, z) (..) z. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky ) f(x, y) = (x y) e x +y tečna t : 0 = e x e y z e tečný bod T = [; 0;?] normála n : x = + e t y = 0 e t z = e t ) f(x, y) = y + x e y x tečna t : 0 = x + y z tečný bod T = [; 0;?] normála n : x = + t y = 0 + t z = t ) f(x, y) = y ln (x y) tečna t : 0 = 6x y z tečný bod T = [; ;?] normála n : x = + 6t y = t z = 0 t 70

71 Kapitola Jak čteme z derivací průběh původních funkcí? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci.. Monotonie. Dostaneme zadanou např. funkci y = sin x.. Když si funkci nakleslíme (nějakým programem, přes tabulku funkčních hodnot či si graf funkce pamatujeme), bez počítání vidíme, že na určitých intervalech tato funkce roste a na jiných klesá. Právě to, kde roste a kde klesá zjišťujeme při výpočtech monotonií. My si ale běžně funkce nekreslíme, navíc v testech dostáváme funkce tak složité, že pro nás není možné si funkci načrtnout. Musíme postupovat analyticky, matematickým aparátem, kterým jsou derivace. Obrázek.: Průběh funkce y = sin x Zdroj: program Graph. Jaký je vztah mezi funkcí a její derivací? Podívejme se lépe na místo, kde funkce roste (na druhém obrázku je zvýrazněn jen jeden interval, kde funkce y = sin x roste). 4. Soustřeďme se na chování derivace zadané funkce, což je y = cos x, v místech, které jsme si vyznačili. 5. Nutně dospějeme k závěru, že v místech, kde původní, testovaná funkce f roste, je její první derivace f nad osou x. Všechny body ležící v intervalu, kde zadaná funkce f roste mají na křivce první derivace f kladnou funkční hodnotu (y-novou souřadnici). 6. Analogicky pro intervaly, kde funkce f klesá, jsou funkční hodnoty první derivace f záporné. 7. Co se týče extrémů, tak v místech, kde je na funkci y = sin x (plné křivce) extrém (ať už se jedná o maximum či minimum) je funkční hodnota derivace, tedy funkce y = cos x (tečkovaná křivka) rovna nule (tedy leží přímo na ose x). 7

72 7 KAPITOLA. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Obrázek.: Rostoucí interval funkce y = sin x (vybrán jen jeden) Zdroj: program Graph Obrázek.: Průběh funkce y = sin x (plná) a funkce y = cos x (tečkovaná) Zdroj: program Graph. Monotonie a zakřivenost (= konvexita a konkávita). Dostaneme zadanou např. funkci y = ln(6+9x ). Při výpočtu zakřivenosti funkce potřebujeme spočítat druhou derivaci, abychom z ní vyčetli chování funkce na daných intervalech podobně jako u výpočtu monotonií, kde pracujeme s první derivací. Nyní pro zadanou funkci zjistíme jak monotonii, tak zakřivenost. Z obrázku krásně vidíme, kde funkce roste a kde klesá. Zároveň vidíme, kde je konvexní a konkávní. Místům, kde se růst mění v pokles a naopak se říká extrémy, kde se mění konvexita v konkávitu a obráceně pak inflexní (inflexe = ohyb) body (za předpokladu, že v tomto bodě má graf funkce tečnu, což je v našich příkladech splněno).. Přestože nás zajímá více konvexita a konkávita, prohlédneme si tuto funkci i z pohledu monotonie. Opět tu je

73 .. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 7 Obrázek.4: Průběh funkce y = ln(6 + 9x ) Zdroj: program Graph zvýrazněná část rostoucí (klidně by to mohla být část klesající). Nyní čekáme, že derivace této funce, bude v místech růstu zadané funkce nad osou x. Je tomu skutečně tak? Obrázek.5: Rostoucí interval funkce y = ln(6 + 9x ) Zdroj: program Graph. Derivace funkce y = ln(6+9x ) je funkce y = 8x. Pokud si tuto funkci nakreslíme, zjistíme, že její průběh 6 + 9x je následující (viz Obrázek.6 tečkovaná křivka): Skutečně je v místech růstu první funkce nad osou x a tu protíná právě v místě, kde má funkce y = ln(6 + 9x ) extrém. 4. Podíváme se na tu samou funkci z pohledu konvexity a konkávity. Na obrázku je zvýrazněna konvexní část křivky. Body, kde se průběh mění jsou tzv. inflexní (zároveň v nich má daná funkce tečnu, tedy vlastní derivaci).

74 74 KAPITOLA. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Obrázek.6: Průběh funkce y = ln(6 + 9x ) (plná) a funkce y = 8x 6+9x (tečkovaná) Zdroj: program Graph Zatímco má křivka y = ln(6 + 9x ) jen jeden extrém, má dva inflexní body (extrém a inflexní bod nikdy nemohou být ve stejném místě). Obrázek.7: Konvexní průběh funkce y = ln(6 + 9x ) Zdroj: program Graph 5. Nyní se podíváme, jak vypadá druhá derivace funkce y = ln(6 + 9x ). Je to y = 8(6 9x ) (6 + 9x a po nakreslení ) je průběh druhé derivace takový (viz Obrázek.8 čárkovaná křivka): 6. V místech, kde je funkce konkávní jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) druhé derivace záporné, intervaly konvexní mají druhou derivaci kladnou.

75 .. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 75 Obrázek.8: Průběh funkce y = ln(6 + 9x ) (plná) a funkce y = 8(6 9x ) (6+9x ) (čárkovaná) Zdroj: program Graph Tabulka.: Jak čteme z derivací Průběh funkce Průběh druhé derivace Znaménko druhé derivace Tvar křivky Konvexní rostoucí + Konkávní klesající Tabulka. ukazuje rostoucí funkce, popř. jsou zvýrazněny intervaly, na kterých je průběh dané funkce rostoucí. Jak se na intervalech, kde je původní funkce rostoucí, chová první derivace? Funkční hodnoty jsou kladné tj. nad osou x. U klesajících intervalů je tomu naopak, jak ukazuje Tabulka.. V Tabulce.4 je znázorněno, kde se nachází druhá derivace na intervalu, na kterém je zadaná funkce konvexní je kladná. A kde se nachází na intervalech, kde je původní funkce konkávní? Viz Tabulka.5 funkční hodnoty jsou záporné. V Tabulce.6 lze spatřit nejen vztah mezi původní funkcí a její derivací, ale i vztah mezi derivacemi. Např. z třetí derivace můžeme vyčíst monotonii druhé derivace, zrovna tak, jako ze čtvrté derivace můžeme vyčíst konvexnost či konkávnost druhé derivace.

76 76 KAPITOLA. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Tabulka.: Rostoucí intervaly Zadaná funkce První derivace y = x y = y = ln x y = x y = x y = x y = e x y = e x Zdroj: program Graph

77 .. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 77 Tabulka.: Klesající intervaly Zadaná funkce První derivace y = x 4 y = 4x y = x + y = x y = sin x y = cos x y = cos x y = sin x Zdroj: program Graph

78 78 KAPITOLA. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Tabulka.4: Intervaly konvexity Zadaná funkce První derivace Druhá derivace y = x y = x y = y = x + y = x y = 6x y = e x y = e x y = e x y = sin x y = cos x y = sin x Zdroj: program Graph

79 .. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 79 Tabulka.5: Intervaly konvexity a konkávity Zadaná funkce První derivace Druhá derivace y = ln x y = x y = x y = x + y = x y = y = x y = x y = x y = sin x y = cos x y = sin x Zdroj: program Graph

80 80 KAPITOLA. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Tabulka.6: Různé funkce a řada jejich derivací Zadaná funkce První derivace Druhá derivace Třetí derivace Čtvrtá derivace y = y = 0 y = 0 y = 0 y = 0 y = x y = y = 0 y = 0 y = 0 y = x y = 4x y = 4 y = 0 y = 0 y = x y = 6x y = x y = y = 0 y = x 4 y = 8x y = 4x y = 48x y = 48 Zdroj: program Graph

81 Kapitola Monotonie. Návody k výpočtu. Nalezneme definiční obor na každém intervalu definičního oboru funkce existuje a zde se tedy nějak chová (může být konstantní, rostoucí či klesající, konvexní či konkávní). Nutno podotknout, že však nemusí být ani rostoucí ani klesající a naopak může být chvíli rostoucí a chvíli klesající apod. Když nebude funkce ani růst ani klesat, pak se bude jednat o nějakou konstantní funkci (přímku rovnoběžnou s osou x).. Vypočteme. derivaci a upravíme ji. (Pozn.: V případě, že vyjde derivace rovna nule, pak se jedná o konstantní funkci, která není ani konvexní ani konkávní.). Najdeme body, ve kterých je funkční hodnota derivace rovna nule či ve kterých derivace neexistuje (nulové body ze jmenovatele). 4. Z předchozího bodu nám vyjdou tzv. podezřelé body. Klidně se může stát, že nevyjde žádný nulový bod (v takovém případě je funkce ryze rostoucí nebo ryze klesající), nebo se může objevit bod jeden či více (třeba 5). Tyto body (jedná se o konkrétní čísla) naneseme na osu. 5. Na osu nejprve zaneseme definiční obor, pak podezřelé body. Nyní je potřeba zjistit znaménka funkčních hodnot první derivace. Vybereme z každého vzniklého intervalu číslo, to dosadíme do první derivace (za x). Vyjde-li + je funkce na daném intervalu rostoucí, vyjde-li znaménko je klesající na daném intervalu.. Ukázkový příklad Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet monotonií způsoby na jedné funkci.. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x. Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit. Z nákresu je zřejmé, kde funkce roste a kde klesá. Obrázek.: Průběh funkce y = x y x funkce y = x klesá na intervalu ( ; 0 funkce y = x roste na intervalu 0; ). Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme monotonii přes derivace, nikoli z obrázku. 8

82 8 KAPITOLA. MONOTONIE (a) Definiční obor x R (b) Derivace zadané funkce je y = x, což je nová funkce. My si ji nyní opět nakreslíme. Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme: Obrázek.: Průběh funkce y = x y x Derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu monotonií využívat. Když je na daném intervalu funkce rostoucí, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní funkce klesá, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. funkce y = x klesá na intervalu ( ; 0 funkce y = x roste na intervalu 0; ). Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující: (a) Definiční obor x R (b) Derivace zadané funkce je y = x (c) Zjištění nulových bodů položíme první derivaci do rovnosti s nulou x = 0 x = 0 (d) Zjištění znamének na intervalech, které vzniknou rozdělením číselné osy nulovými body. Nulový bod v našem případě vyšel jen jeden, x = 0. Máme tedy dva intervaly, ( ; 0 a 0; ). Jde tedy jen o to, zjistit průběh zadané funkce. Dosadíme vždy libovolně zvolené číslo z intervalu. + znamená, že funkce roste a značí, že je funkce na daném intervalu klesající. ( ; 0 např. číslo dosadíme číslo za x do první derivace y = ( ); y = 6 0; ) např. číslo 5 dosadíme číslo za x do první derivace y = (5); y = 0 + funkce y = x klesá na intervalu ( ; 0 funkce y = x roste na intervalu 0; ) Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!. Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky ) f(x) = x + x 6x roste ( ; a ; )

83 .. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 8 Zadání Výsledky klesá ; ) f(x) = x 4 x + 5 roste ; 0 a ; ) klesá ( ; a 0; ) f(x) = x e x roste ( ; a 0; ) klesá ; 0 4) f(x) = x e x 4 roste ( ; 4 klesá ; ) 5) f(x) = x + x x 5 roste ( ; a ; ) 5 klesá ; ) a ( ; ) a ( ; 6) f(x) = x + x 6 roste ( ; a ; ) 6 klesá ; 0) a (0; 7) f(x) = x x (x ) (8 x) x 8 roste 7 roste ( ; 6 a 6; ) 7 klesá 6; ) a ( ; ) a ( ; 6 ( 0; 6 5 8) f(x) = ) 6 8 klesá ( ; 0) a 5 ; ( 9) f(x) = x + ln ( 4x) 9 roste ; 4 9 klesá 4 ; ) 4 0) f(x) = x ln x 0 roste ; 0) a ; ) 0 klesá ( ; a (0; ) f(x) = + ln x x roste (0; klesá ; ) ) f(x) = x x roste 0; klesá ; ) f(x) = arctg x x klesá ( ; ) ( 4) f(x) = (x ) 4 (x + ) 5 4 roste ; 4 a ; ) klesá 7 ; ( 5) f(x) = x + arccotg x 5 roste ; a 5 klesá ; ) ; 6) f(x) = x + 4x + 4 x + x + 6 roste ; 0 6 klesá ( ; a 0; ) 7) f(x) = x 4x roste 74 ) ; 7 klesá ; 7 4

84 84 KAPITOLA. MONOTONIE Zadání Výsledky 8) ( ) x f(x) = arcsin + x 8 roste ; 8 klesá ( ; a ; ) ( 9) f(x) = x e x 4x+ 9 roste ; a + 9 klesá ; + 0) f(x) = ( x ) 4 ln 9 x 0 roste 0; ) a (; ) ( ) x ) f(x) = arccos x 0 klesá ( ; ) a ( ; 0 roste ( ; 0 ) klesá ; ) ; ) f(x) = x ln x ( ) x ) f(x) = ln 6 x 4 roste e; ) klesá (0; )a (; e roste ( ; ) klesá (0; ) 4) f(x) = arctg(x ) 4 roste ; ) 4 klesá ( ;.4 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky funkce na intervalu: ( ) ) f(x) = x e (x 4x+) roste ; a + ; klesá ; + ) f(x) = 9x 9x roste 0; ) ( ) a ( ; klesá ; ) a ( ; 0 ) f(x) = (x ) 5 x roste ( ; 4 klesá 4; 5 4) f(x) = x e x 4 roste 0; 6 ) 4 klesá 6 ; 5) f(x) = 5 + ln 4 x 5 roste( ; 0 5 klesá 0; ) 6) f(x) = ln ( x x ) 6 roste ) ;

85 .4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 85 6 ( klesá ; 7) f(x) = x x 8) f(x) = ln ( ) x + x 7 roste ( ; 0 a ; ) 7 klesá 0; ) ( a ; ( 8 klesá ; ) ( ) a ; 9) f(x) = x x 9 roste ; ) a ( ; ) a ( ; 9 klesá( ; a ; ) 0) f(x) = 4 x x 0 roste 6; 0 klesá ; 4 ( ) f(x) = + ln (6 x x ) roste ; klesá ) ; ) f(x) = 4x 4x roste 0; ) ( ) a ( ; klesá ; ) a ( ; 0 ) f(x) = 4) f(x) = 5) f(x) = x x 0x + 9 (x + ) x (4 x) + x roste ; ) a (; ) klesá ( ; a ; 9) a (9; ) 4 roste ) ( ; a ; 8 ( 4 klesá ; ) 8 a ; 5 roste ( ; 8 a 4; ) 5 klesá 8; ) a ( ; 4 6) f(x) = 4 + 4x x 6 roste 6; 6 klesá ; ( ) 7) f(x) = + ln(4x ) 7 roste ( ; 7 klesá ; ) x 8) f(x) = x 8 roste ( ; ) a (; 5x klesá ; 4) (4; ) 9) f(x) = ln 5 9x 9 roste 0; ) 9 klesá ( ; 0 0) f(x) = (x ) x 0 roste ; ) 0 klesá 0; ) f(x) = 0x x roste 5; 7 klesá ; 5 ( ) ) f(x) = + ln (9x ) roste ( ; klesá ; ) ) f(x) = x + x roste ( ; ) a ( ; 0 klesá 0; ) a (; )

86 Kapitola 4 Konvexita a konkávita 4. Návody k výpočtu Tyto návody nemusí platit úplně obecně, jsou uzpůsobeny požadavkům technické fakulty a příkladům, které se objevují v testech. Předpokladem použití tohoto návodu je, že funkce f má spojitou druhou derivaci na vnitřku definičního oboru (všechny funkce z písemek tuto vlastnost mají). lineární druhá derivace je na daném intervalu rovna 0 Funkce na určitých intervalech mohou být konvexní znaménko druhé derivace je na daném intervalu + konkávní znaménko druhé derivace je na daném intervalu. Zjistíme definiční obor na tomto intervalu funkce existuje a zde se tedy může nějak chovat, může být např. konvexní či konkávní. Nutno podotknout, že však nemusí být ani konvexní ani konkávní. Pak bude jejím grafem na tomto intervalu přímka... Vypočteme. derivace a upravíme ji tak, aby se nám dobře derivovala podruhé.. Vypočteme. derivace (tj. opětovně zderivujeme. derivaci) a upravíme ji pro potřeby následujících výpočtů. Budeme zjišťovat nulové body z. derivace, upravíme tedy funkci tak, aby se nám s ní dobře počítalo. Vyjdeli. derivace nenulová konstanta (neobsahuje proměnnou, zpravidla značenou x), pak je funkce konvexní nebo konkávní na celém definičním oboru. Vyjde-li. derivace 0, pak je funkce lineární (tedy není ani konvexní ani konkávní). 4. Budeme zjišťovat znaménko druhé derivace, pak mohou nastat situace: z. derivace nevyjde žádný podezřelý bod V tomto případě je druhá derivace stále + nebo stále, z čehož vyplývá, že je funkce buď ryze konvexní nebo ryze konkávní. z. derivace vyjde jeden či více podezřelých bodů např. ve chvíli, kdy je. derivace rovna nějaké nenulové konstantě. Funkce je buď konvexní nebo konkávní na celém R, záleží na znaménku. Podezřelé body se v případě, že se kolem nich mění konvexita v konkávitu nazývají inflexní body. 5. Získané údaje zakreslíme na číselnou osu, nejprve na osu zaneseme definiční obor a označíme, zda krajní body patří či nikoli do definičního oboru, tedy patří a nepatří. Pak zaneseme na číselnou osu nulové body z čitatele a ze jmenovatele. 6. Nyní je třeba zjistit znaménka funkčních hodnot. derivace. Zjišťujeme znaménka tak, že vezmeme nějaké libovolné číslo z intervalu vymezeného nulovými body (v rámci definičního oboru!), který vznikl zanesením nulových bodů na číselnou osu, vybereme číslo z tohoto intervalu a dosazujeme jej do druhé derivace. Vyjde-li + je funkce konvexní, vyjde-li je konkávní. Jak si snadno zapamatovat, jaké znaménko se vztahuje k jakému typu průběhu funkce je uvedeno na. záložce v souboru Konvexita. 4. Ukázkový příklad Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet konvexity způsoby na jedné funkci. 86

87 4.. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD 87. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x. Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit. Z nákresu je zřejmé, zda a kde je funkce konvexní či konkávní. Obrázek 4.: Průběh funkce y = x y x funkce y = x je konvexní na celém intervalu ( ; ). Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme konvexitu přes derivace. Postup je: (a) Definiční obor x R (b). derivace zadané funkce je y = x, což je nová funkce. Z ní čteme a ji si kreslíme při výpočtu monotonií. (c). derivace zadané funkce je y =, je již. funkce. Tu si nyní nakreslíme. Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme: Obrázek 4.: Průběh funkce y = y x I druhá derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu konvexit využívat. Když je na daném intervalu funkce konvexní, jsou funkční hodnoty (y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní funkce konkávní, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. (zároveň, když se nad celou věcí zamyslíme, lze z druhé derivace vyčíst monotonii první derivace ). funkce y = x je konvexní na celém intervalu ( ; ). Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující: (a) Definiční obor x R (b). derivace zadané funkce je y = x (c). derivace zadané funkce je y = (d) Zjištění nulových bodů v tomto případě se v druhé derivace nevyskytuje žádné x, odpadá dopočet nulových bodů (nemá smysl pokládat např. v našem případě dvojku rovnou nule, z toho nic nevzejde), v takovém případě, nevyskytuje-li se v druhé derivace proměnná, můžeme očekávat situace:

88 88 KAPITOLA 4. KONVEXITA A KONKÁVITA i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní V tomto případě se jedná o situaci (i), neboť funkční hodnota druhé derivace je rovna pro kterékoli libovolné x je kladná (rovna +). Kdy nastává jaká situace? i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní (y = kladná konstanta) ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní (y = záporná konstanta) iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní (y = nula), nule se rovná buď na celém definičním oboru nebo v místech nulových bodů (tzv. inflexních bodů) funkce y = x je konvexní na celém intervalu ( ; ) Ze všech způsobů vychází stejný výsledek! 4. Memo pomůcka Jak si zapamatovat, jaké znaménko přísluší jakému typu průběhu funkce a jak taková funkce vypadá? Při vyšetřování, zda je funkce na daném intervalu konvexní či konkávní se opíráme o funkční hodnoty druhé derivace na daném intervalu. Co znamená, když jsou funkční hodnoty kladné a co když jsou záporné? KONVEXITA + Jak si jednoduše zapamatovat, že zrovna znaménko plus (v druhé derivaci!) odpovídá konvexnímu průběhu dané funkce? Plus je v podstatě křížek a ve slově konvexita také jeden je. I průběh funkce je schovaný již v názvu konvexita. Všimněte si, že průběh se velice podobá písmenku U nebo V, což je opět obsaženo přímo ve slově konvexita. Obrázek 4.: Průběh ryze konvexní funkce y x

89 4.4. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ 89 KONKÁVITA Jak je to u konkávity? Krom vylučovací metody, že to musí být ta druhá, tu jsou následující pomůcky. Průběh se podobá písmenku A. KonkÁita. I zde lze tedy odvozovat od názvu typu průběhu. A znaménko mínus? Průběh fce by nám mohl připomenout převrácenou misku. Je otočená dnem vzhůru, co v ní bylo se vysypalo a proto smutné znaménko mínus, či oblíbené do konkávní kávu nenaliješ. Obrázek 4.4: Průběh ryze konvexní funkce y x 4.4 Ukázkový příklad zkouškové úrovně Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako. příklad. y = e x. Spočítáme definiční obor x R. Spočítáme první derivaci a upravíme y = e x ( 4x) = 4x e x. Spočítáme druhou derivaci a upravíme y = 4 e x +( 4x) e x ( 4x) = (vytýkáme... )= 4 e x ( + 4x ) 4. Položíme druhou derivaci rovnu nule a spočítáme nulové body 4 e x ( + 4x ) = 0 + 4x = 0 4x = x = 4 x = ± (máme podezřelé body) 5. Tyto nulové body zaneseme na osu a budeme zjišťovat znaménka funkčních hodnot druhé derivace.

90 90 KAPITOLA 4. KONVEXITA A KONKÁVITA Obrázek 4.5: Číselná osa y Funkce je konvexní na intervalech ( ; a + ; ) Funkce je konkávní na intervalu ; + Obrázek 4.6: Průběh funkce y = e x Zdroj: program Graph růžová (plná) = zadání petrolejová (tečkovaná) = první derivace z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení monotonie funkce zelená (čárkovaná) = druhá derivace z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení zakřivenosti funkce 4.5 Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky ) f(x) = x + x 6x konvexní ) ( ; konkávní ; ) f(x) = x 4 + 8x 4x konvexní ( ; a ) ;

91 4.5. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 9 Zadání Výsledky konkávní ; ) f(x) = x + x 5 konvexní 0; ) konkávní ; 0 ( 4) f(x) = x ( x) 4 konvexní ; ) 4 konkávní ; 5) f(x) = + x 5 konvexní ( ; ) 5 konkávní ; ) 6) f(x) = x + x 6 konvexní ; ) 7) f(x) = e x 7 konvexní, 0 a (0; ) ( 7 konkávní ; 8) f(x) = (x ) e x Nepočítáno: 9) f(x) = x + e x 0) f(x) = e x x ) f(x) = (x 4x + 5) e x ( ) f(x) = arcsin x ) ) f(x) = x ln x 4) f(x) = ln(x 9) 5) f(x) = + ln x x ( ) x 6) f(x) = ln x + 7) f(x) = x + sin x + 8) f(x) = sin x + cos x 9) f(x) = sin x 0) f(x) = 4 sin x + sin x 8 ) f(x) = cos x ln(cos x) ) f(x) = arctg x x ) f(x) = x arccotg x 4) f(x) = x + arccotg x 5) f(x) = arccos( x)

92 9 KAPITOLA 4. KONVEXITA A KONKÁVITA Zadání 6) f(x) = arcsin x Výsledky 4.6 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky ) f(x) = x e x konvexní ; ) konkávní ( ; ) f(x) = ln ( + x ) konvexní ; konkávní ( ; a ; ) ) ) f(x) = x + e x konvexní ; a ; konkávní ; 4) f(x) = ln ( 6 + 9x ) 4 konvexní 4 ; 4 ( 4 konkávní ; 4 ) 4 a ; 5) f(x) = ln x ( ) 5 konvexní e ; x ) 5 konkávní 0; e 6) f(x) = e x 6 konvexní ) ; 0 a (0; ) ( 6 konkávní ; ( 7) f(x) = x + arctg (x + ) 7 konvexní ; 7 konkávní ) ; 8) f(x) = x arctg x 8 konvexní 0; ) 8 konkávní ( ; 0 ( 9) f(x) = x 4 ln x 7 ) 9 konvexní ; 9 konkávní (0; 0) f(x) = x arctg x 0 konvexní ( ; ) ) f(x) = x + e x konvexní ( ; a ; ) konkávní ;

93 4.6. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 9 ( ) f(x) = e x konvexní ; a + ) ; konkávní ; + ) f(x) = x x konvexní ( ; 0 a (; ) konkávní ( ; ) a 0; )

94 Kapitola 5 Souhrnný příklad Ukážeme si nyní výpočet všech základních charakteristik funkcí na dvou příkladech. Zároveň si je nakreslíme a tak z obrázku snadno poznáme, kde křivky rostou, kde klesají, zda a kde mají maxima či inflexní body. Uvidíme tak souvislost mezi obrázky a výpočty. Porovnávejte průběžně výsledky výpočtu s realitou na obrázku. První příklad Druhý příklad Předpis: f : y = x + 8x g : y = x 7 x x 0,5 Tabulka funkčních hodnot: y y Definiční obor: D: x R D: x R První derivace: y = x + 8 y = 6x Nulové body z první derivace: Číselná osa: x + 8 = 0 6x = 0 x = 4 x = y y +4 0 Monotonie: funkce roste na intervalu ( ; 4 funkce roste na intervalu ( ; + ) funkce klesá na intervalu 4; + ) Extrémy: E =[4; 4] je maximum žádný extrém Druhá derivace: y = y = x Nulové body z druhé derivace: Číselná osa: = 0 x = 0 0 žádné nulové body x = 0 + y y + 0 Zakřivenost: funkce je konkávní na intervalu ( ; + ) funkce je konkávní na intervalu ( ; 0 funkce je konvexní na intervalu 0, + ) Inflexní body: žádný inflexní bod I =[0; 7] Obrázek: 94

95 Kapitola 6 Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné 6. Návody k výpočtu. Zadání se sestává z předpisu funkce a uzavřeného intervalu. V případě, že není interval zadán, shoduje se s definičním oborem funkce a v tomto případě je třeba definiční obor vypočítat. Naším úkolem je nalézt globální maxima a minima, tj. největší a nejmenší hodnoty funkce na daném intervalu (nebo na definičním oboru), a dále lokální maxima a minima (extrémy) funkce. Jedná se o konkrétní body na grafu a my hledáme jejich souřadnice. Maxima jsou body na grafu s nejvyšší funkční hodnotou (y-novou souřadnicí) a minima s nejnižší funkční hodnotou.. Lokální extrémy Zderivujeme zadanou funkci. Najdeme tzv. podezřelé body body, v nichž je derivace rovna nule nebo neexistuje. Pro podezřelé body, musíme zjistit, zda se jedná o lokální extrémy a když ano, tak jaké jsou kvality (zda se jedná o maximum či minimum, zda je ostré či neostré). Tabulka 6.: Určení kvality extrémů Dle pozice y-nové souřadnice Umístění v intervalu Unikátnost souřadnice maximum lokální (neboli relativní) ostré minimum globální (neboli absolutní) neostré Naneseme na číselnou osu zadaný interval, dále podezřelé body body z první derivace. Může se stát, že některé body vyjdou mimo zadaný interval, pak si jich vůbec nevšímáme. Zjišťujeme znaménka v intervalech rozdělených těmito body postupujeme nyní obdobně jako u výpočtu monotonií vybereme si číslo z každého intervalu, dosadíme vždy do první derivace a zapíšeme k danému intervalu znaménko, které nám vyšlo. + znamená rostoucí, klesající průběh funkce. Jestliže funkce nejprve roste a potom klesá, jedná se o lokální maximum (čteme zleva), jestliže je nejprve klesající a potom rostoucí, vyhodnotíme kvalitu extrému jako lokální minimum. Může se stát, že nám vyjdou stejná znaménka vedle sebe. V tom případě v daném bodě není lokální extrém (proto se bodům říká podezřelé, nemáme jistotu, že v nich nějaký lokální extrém najdeme).. Globální extrémy Spočteme funkční hodnoty v krajních bodech zadaného intervalu (v krajních bodech nemůže být lokální extrém, pouze globální) a v podezřelých bodech. Porovnáme funkční hodnoty (tedy y-nové souřadnice) a jednoduše vidíme, kde je číslo nejvyšší a kde nejnižší (! záleží na souřadnici y nikoli x). V případě, že nejmenší nebo největší hodnota leží uvnitř intervalu, jedná se o globální a zároveň lokální extrém. Je-li největší/nejmenší hodnota v bodě na hranici intervalu, jedná se pouze o extrém globální. 95

96 96 KAPITOLA 6. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 6. Extrémy možné intervaly Při výpočtu extrémů mohou nastat různé situace. U zápisu výsledků se musíme vyjádřit k tomu, o jaký typ extrému se jedná, zda jde o: lokální globální, maximum minimum, ostré neostré. Zda se jedná o maximum či minimum zjistíme z y-nové souřadnice. Je rozdíl, v tom, jestli se jedná o lokální nebo globální extrém. Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze maximum. Extrém je lokálním maximem jestliže funkce v něm nabývá maximální y-nové hodnoty na jeho bezprostředním okolí (oboustranném). Jestliže se největší hodnota nabývá pouze v tomto jediném bodě, jedná se o extrém ostrý. U globálního extrému funkce záleží na intervalu, na kterém danou funkci uvažujeme. Funkce může mít globální maximum v bodě, ve kterém má lokální maximum, nebo v krajním bodě (případně obou krajních bodech) příslušného intervalu. Globální maximum je ostré, pokud se na daném intervalu nabývá pouze v jednom bodě, jinak je neostré. Vše si ukážeme na konkrétním příkladě. Máme zadanou funkci y = x, která má na celém svém definičním oboru jen jeden extrém a tím je ostré lokální maximum se souřadnicemi [0; ]. Tento bod je neměnný, nicméně významnost a pojmenování se budou lišit s každou změnou intervalů. Nyní si ukážeme příklad na čtyřech vybraných intervalech: 0; ; ; ; Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 6.) Zadaný interval 0; Globální ostré extrémy jsou na hranicích (Obrázek 6.) Zadaný interval ;

97 6.. EXTRÉMY MOŽNÉ INTERVALY 97 Obrázek 6.: Dva globální extrémy na hranicích intervalu 0; Zdroj: program Graph Tabulka 6.: Extrémy body z případu 6. na intervalu 0; Extrém, který vyjde z derivace: [0; ] ostré globální maximum Body na hranicích intervalů: [0; ] ostré globální maximum [; ] ostré globální minimum Obrázek 6.: Dva globální extrémy na hranicích intervalu ; Zdroj: program Graph Neostré globální extrémy jsou na hranicích (Obrázek 6.) Zadaný interval ;

98 98 KAPITOLA 6. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Tabulka 6.: Extrémy body z případu 6. na intervalu ; Extrém, který vyjde z derivace: [0; ] bod je mimo interval, takže nás nezajímá Body na hranicích intervalů: [ ; 7] ostré globální minimum [ ; ] ostré globální maximum Obrázek 6.: Globální neostré extrémy jsou na hranicích ; Zdroj: program Graph Ostré lokální maximum uvnitř intervalu a ostré globální minimum na hranici (0brázek 6.4) Zadaný interval ; Obrázek 6.4: Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici ; Zdroj: program Graph

99 6.. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD 99 Tabulka 6.4: Extrémy body z případu 6. na intervalu ; Extrém, který vyjde z derivace: [0; ] ostré lokální a zároveň globální maximum Body na hranicích intervalů: [ ; ] neosté globální minimum [; ] neosté globální minimum Tabulka 6.5: Extrémy body z případu 6.4 na intervalu ; Extrém, který vyjde z derivace: [0; ] ostré lokální a zároveň globální maximum Body na hranicích intervalů: [ ; ] není na zadaném intervalu ani max ani min [; 7] ostré globální minimum 6. Ukázkový příklad Např. máme zadaný předpis funkce y = x 4 a interval x 5;. Tento předpis je tak jednoduchý, že není problém jej nakreslit okamžitě. Obrázek 6.5: Průběh funkce y = x 4 y x Hodnoty grafu zjistíme nalezením funkčních hodnot zjistíme konkrétní souřadnice bodů. Dosazujeme libovolná čísla z definičního oboru za x a dopočítáváme hodnoty y. Z obrázku je zřejmé, [ že nejnižším bodem této funkce na zadaném intervalu x 5; je bod o souřadnicích 5; 5 ] a nejvyšší je v bodě [0; 0], tedy 4 [ maximum je v bodě 5; 5 ] 4 minimum je v bodě [0; 0]. Ve zkouškových testech ale jak známo nejsou funkce tak jednoduché, abychom si je mohli takto nakreslit a proto musíme použít matematický aparát. V tomto případě příkladů se počítá ve dvou krocích. Počítájí se lokální a globální extrémy. Budeme hledat extrémy na zadaném intervalu

100 00 KAPITOLA 6. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Tabulka 6.6: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x 4 x y a následně budeme zjišťovat jejich kvalitu zda se jedná o maximum či minimum. Tuto informaci můžeme zjistit způsoby: průběhem funkce, když funkce kolem bodu nejdříve klesá a potom roste, jedná se o MINIMUM nejdříve roste a potom klesá, jedná se o MAXIMUM znaménkem. derivace, je-li: kladné v daném bodě, jedná se o MINIMUM záporné v daném bodě, jedná se o MAXIMUM (a) Lokální extrémy Spočteme první derivaci y = 4 x = x Z této derivace zjistíme nulové body x = 0 x = 0 y = 0 Jedná se o jediný bod o souřadnicích [0;0] Kvalitu nyní zjistíme oběma možnými způsoby: Průběhem funkce. Spočteme monotonii funkce. Protože počítáme lokální extrémy, počítáme s, nicméně v závěru se budeme soustředit pouze na zadaný interval. Na intervalu od ( ; 0 funkce y = x roste. 4 Na intervalu od 0; ) funkce y = x klesá. 4 Znaménko. derivace v daném bodě, spočteme tedy. derivaci y = ani nemusíme nic dosazovat, vyšla hned záporná konstanta, záporné znaménko indikuje MAXIMUM. (b) Hranice intervalu pro spodní hranici x = 5 y = 5 4 pro horní hranici x = y = 9 4 Tabulka 6.7: Porovnání funkčních hodnot funkce y = x 4 x 5 0 y A opět při použití různých postupů docházíme ke stejnému závěru, tedy že:

101 6.. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD 0 [ maximum je v bodě 5; 5 ] 4 minimum je v bodě [0; 0]

102 0 KAPITOLA 6. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 6.4 Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky ) f(x) = 9 x ostré globální a zároveň lokální maximum f(0) = na intervalu ; neostré globální minimum v bodě f( ) = 0 neostré globální minimum v bodě f() = 0 ) f(x) = x 4 x ostré lokální a zároveň globální maximum v bodě f na intervalu ; 4 ostré globální minimum v bodě f( ) = 6 ) f(x) = x x x + 5 ostré lokální a zároveň globální maximum f( ) = na intervalu ; ostré lokální a zároveň globální minimum f() = 5 ( ) 8 = 8 4 4) f(x) = x + x 6x + 9 na. intervalu 4; 4 4a ostré globální a zároveň lokální maximum v bodě f( ) = 90 4a ostré globální a zároveň lokální minimum v bodě f() = 5 na. intervalu ; 4b ostré globální maximum v bodě f( ) = 46 4b ostré globální minimum f() = na. intervalu 5; 5 4c ostré globální maximum f(5) = 54 4c ostré globální a zároveň lokální minimum f() = Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky ) f(x) = 0 5 0x x + log 4 ostré globální maximum v bodě [; log 4 na intervalu ; ostré globální minimum v bodě [; log 4] ) f(x) = x ln x + x ostré lokální maximum v bodě [e; e] na intervalu ; e ostré globální minimum v bodě [e ; 0] ) f(x) = 4 e x x+5 + ln 4 ostré globální maximum v bodě [; 4 e 7 + ln 4] na intervalu 0; ostré globální minimum v bodě [0; 4 e 5 + ln 4] 4) f(x) = 0 arctg (x x + ) + arctg 4 ostré globální maximum v bodě [ ; 0 arctg + ar na intervalu ; 4 ostré globální minimum v bodě [; arctg ] 5) f(x) = 5 4x + 4x ostré globální maximum v bodě [ ; ] [ na intervalu ; 5 ostré globální minimum v bodě ] ; ) f(x) = x + 6x ostré globální a lokální maximum v bodě [ ; na intervalu 0; 0 6 ostré lokální minimum v bodě [ 0; 5 5 ]

103 6.5. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 0 7) f(x) = 4 e x + + log 0 7 ostré globální a lokální maximum v bodě [0; 4 e + lo na intervalu 0; 0 7 ostré globální minimum v bodě [0; 4 e 88 + log 0] [ ] 5 8) f(x) = 0 log (4x 0x + 7) ostré globální maximum v bodě ; 0 log + 5 na intervalu ; 8 ostré globální minimum v bodě [ ; 0 log + 5 9) f(x) = 7 4x + 0x ostré globální maximum v bodě [ 5 ] ; na intervalu ; 0 9 ostré globální minimum v bodě [ 0; ] 0) f(x) = 6 arctg (x + 0x + 5) + arctg 5 0 ostré globální maximum v bodě [ 5; 6 arctg 45 na intervalu 6; 0 0 ostré globální minimum v bodě [0; 6 arctg 5 + arc ) f(x) = x x + na intervalu ; ) f(x) = x x 4 na intervalu ; ) f(x) = 4x + 4x + + na intervalu ; 4) f(x) = x + x x na intervalu ; 5) f(x) = ln (x + 4x + 7) + na intervalu ; 0 ( π 6) f(x) = arctg(x + x + ) tg ) na intervalu ; 7) f(x) = 7 4x 4x + + na intervalu 0; 8) f(x) = 4 log (4x x + ) + 5 na intervalu ; Nepočítáno:

104 Kapitola 7 Lokální extrémy dvou proměnných 7. Návody k výpočtu Potřebujeme sestavit matici: z x z x y z x y z y. Definiční obor, u našich příkladů většinou R R. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle x z x. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle x z x 4. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle y z y 5. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle y z y 6. Spočteme smíšenou parciální derivaci derivace () dle y nebo derivaci (4) dle x z x y 7. Spočteme souřadnice podezřelého bodu vyřešíme soustavu rovnic z x = 0 z y = 0 8. Kontrola, že podezřelý bod leží uvnitř definičního oboru, tzn. spočteme z-ovou souřadnici 9. Spočteme determinant matice, která nám vznikla 0. Mohou nastat tři situace: (a) det = 0 nelze zjistit kvalitu extrému touto metodou (b) det < 0 sedlový bod (c) det > 0 rozhodneme o kvalitě extrému na základě prvního prvku v matici z x. V případě (c) mohou nastat dvě situace: (a) z > 0 v nalezeném bodě je MINIMUM x (b) z < 0 v nalezeném bodě je MAXIMUM x (c) z x = 0 nemůže nastat 04

105 7.. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD Ukázkový příklad Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako. příklad. f(x, y) = x y y x Potřebujeme sestavit matici: z x z x y z x y z y z = x x y = x y z x = y z = x x y y z = x ( y ) x y y = y y ( ) z y = x y = x y z = x y x y (kontrolní výpočet, musí se rovnat z bod ) x y Soustava rovnic nalezení podezřelého bodu 7 x y = 0 x = y 8 x y y = 0 x y y = ( z) Poslední z-ovou souřadnici 7 y y y = ; x = Podezřelý bod má souřadnice [ ; ; ] 7, jsme získali tak, že jsme konkrétní hodnoty x a y dosadili do zadání. y x y x y x y Nyní dosadíme x = a y = : ( ) det ( ) = ( ) ( ) = 6 4 = det > 0 v bodě je extrém. O jeho kvalitě rozhodneme na základě velikosti z, což je tedy se jedná o maximum. x v bodě [ ; ; ] 7 je ostré lokální maximum

106 06 KAPITOLA 7. LOKÁLNÍ EXTRÉMY DVOU PROMĚNNÝCH 7. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání ) f(x, y) = x y y x Výsledky [ ; ; ] 7 ostré lokální MAX ) f(x, y) = 6x + 5xy y 8x + y [; 4; ] ostré lokální MAX ) f(x, y) = x y + xy 9x + 4y [ ; ; 4] ostré lokální MAX 4) f(x, y) = x + y xy 9x + 5y [; ; 4] ostré lokální MIN [ 5) f(x, y) = 7 + x + xy y + 6x 9y 5 ] 5 ; 4 5 ; 0 sedlový bod, det < 0 [ ] 78 6) f(x, y) = x 6y + xy + 8x 9y + 6 ; 8 ; 65 ostré lokální MAX Nepočítáno: 7) f(x, y) = x + y xy 4x + 4y + 9

107 Kapitola 8 Vázané extrémy 8. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky ) f(x, y) = x e y + M : y ln x + = 0 ostré lokální vázané MIN [e; ] ; e + ) f(x, y) = x + [ ] M : y x 5 = 0 ostré lokální vázané MAX ; 7; y + 0 ) f(x, y) = y + arctg(x + ) M : y (x + ) = 0 ostré lokální vázané MAX [ [ ; ; ] ] 4) f(x, y) = e x y M : y ln x = 0 4 ostré lokální vázané MIN ; ; e 5) f(x, y) = x + y ey + M : x y + = 0 5 ostré lokální vázané MIN [; ; 4 e] e 6) f(x, y) = x [ M : y x 4 = 0 6 ostré lokální vázané MIN ; 8; ] y + 0 7) f(x, y) = y + e x M : y x = 0 7 [ ostré lokální vázané MIN ] ln 0, 5 ln 0, 5. ; ; =, 44 07

108 Kapitola 9 Asymptoty 9. Vzorce asymptot Asymptoty grafů funkcí rozlišujeme na: svislé asymptoty (asymptoty bez směrnice), šikmé asymptoty (asymptoty se směrnicí). Svislá asymptota Je-li funkce y = f(x) definovaná pro x a, a R, potom přímka o rovnici x = a je svislou asyptotu grafu funkce f právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita funkce f v bodě a. Šikmé asymptoty Přímky o rovnicích y = k i x + q i, i =,, jsou šikmými asymtotami grafu funkce y = f(x) právě tehdy, jestliže tj. lim (f(x) k ix q i ) = 0, (9..) x ± k i : f(x) lim x ± x, (9..) q i : lim [f(x) kx] (9..) x ± (poznamenejme, že graf funkce může mít dvě šikmé asymptoty, jednu v a jednu v + ). 9. Jednoduché příklady ze skript Najděte rovnice všech asymptot grafů následujících funkcí: Zadání Výsledky ) f(x) = 4 x x = x = y = 0 ) f(x) = x + x 9 ) f(x) = x x 4) f(x) = x + x + 7 x + x = x = y = x x = y = x 4 x = x = y = x 08

109 9.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 09 Zadání Výsledky 5) f(x) = x x 5 x = x = y = 6) f(x) = x + + x + x 6 x = x = 0 x = y = 0 7) f(x) = ln x x x 7 y = x x = 0 8) f(x) = x cos x x 8 y = x x = 0 9) x f(x) = x 9 x = x = 0) f(x) = x x 0 y = 0 ) f(x) = x x x ) f(x) = x ex e x ) f(x) = arccos ( x ) + x y = y = y = x y = 0 y = π 4) f(x) = x e x 4 x = 0 y = x 5) f(x) = x + 5x x + x + 4 6) f(x) = x + x arctg x x ( ) 7) f(x) = x + arccos x ( x ) 8) f(x) = x + arctg 9) f(x) = x + ln x x 5 Nemá asymptoty 6 x = y = x + π + y = x π + 7 y = x + π 8 y = x + π y = x π 9 x = 0 y = x 0) f(x) = ln x x 0 x = 0 y = 0 ) f(x) = + e x sin x y = 9. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání ) y = 5 x x 4 + x Výsledky rovná: x = 4 šikmá: y = x + 4 ) y = x x ( x) rovná: x = ) y = 6x x x + šikmá: y = x + rovná: x = šikmá: y = x 4) y = 5x 9x ( x) 4 rovná: x = 4 šikmá: y = 9x 4

110 0 KAPITOLA 9. ASYMPTOTY 5) y = 5x x 7) y = 4x + 8x + x Nepočítáno: 6) y = 7x 5x + (x ) 8) y = 4x x x 9) y = x + x x 0) y = x + 0x + 5 x + ) y = 7 + 5x x x 4 ) y = x + x 4 x ) y = x6 + x (x ) x 5 4) y = x 5) y = x x + 5 x + 6) y = x x 5 x + 7) y = x arctg(x + ) + x 8) y = 4 5x + x x

111 Kapitola 0 Taylorův polynom 0. Vzorce Taylorova polynomu T n (x) = f(x a ) + f (x a )! (x x a ) + f (x a )! (x x a ) + f (x a )! Kde: n stupeň polynomu x proměnná, za kterou se nic nedosazuje x a x-ová souřadnice zadaného bodu f(x a ) y-ová souřadnice zadaného bodu (tzv. funkční hodnota) f n (x a ) je n-tá derivace v bodě x a (x x a ) + + f n (x a ) (x x a ) n n! (0..) 0. Návody k výpočtu Dostaneme zadanou funkci f(x) Dostaneme zadanou x-ovou souřadnici bodu A = [a, Taylorova polynomu f(a)]. Jedná se o bod dotyku zadané funkce a hledaného. Dopočítání y-nové souřadnice (f(a)). Budeme potřebovat všechny derivace až do řádu jako je stupeň zadaného Taylorova polynomu. Spočítáme všechny derivace v bodě vezmeme vždy x-ovou souřadnici zadaného bodu A a dosadíme ji do každé derivace. Vyjdou konstantní hodnoty (konkrétní čísla), které budeme dosazovat do vzorce. 4. Dosazení do vzorce 0. Ukázkové příklady 0.. Ukázkový příklad Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako. příklad. y = (x ) ln x +, bod x = Pohybujeme se v prostoru s jednou proměnnou máme proměnnou volitelnou a závislou a tedy každý bod má dvě souřadnice, x a y (někdy též značená f(x)). My známe pouze souřadnici x bodu a, nicméně počítáme Taylorův polynom a vzoreček pro něj, který je uveden dole, říká, že budeme na konci potřebovat obě. Nejprve tedy spočítáme druhou souřadnici zadaného bodu a. Tuto souřadnici zjistíme dosazením známé souřadnice do zadáné funkce. Dopočítání druhé souřadnice

112 KAPITOLA 0. TAYLORŮV POLYNOM y 0 = ( ) ln + = NÁHODOU! vyšly obě souřadnice stejné. Počítáme tedy Taylorův polynom. stupně pro bod [; ]. Do vzorečku dosazujeme obě hodnoty, [x 0 ; y 0 ].. derivace y = ( 0) ln x + (x ) x + 0 = ln x + x x. derivace v bodě x y (a) = ln +. derivace y = x = = 0 ( 0) x (x ) + x = x + x x + x = x + x = x + x. derivace v bodě x y (a) = + = =. derivace y = ( + 0) x (x + ) x x 4. derivace v bodě x y (a) = = = = x x x x 4 = x x x ( x ) x 4 = x 4 = x x Tabulka 0.: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu Stupeň derivace Derivace v bodě Koeficienty Taylorova polynomu. 0 0! = 0.! =.! = 6 = T = + (x ) (x ) Za samotné x se v tomto vzorečku NIC nedosazuje. Pouze se do výsledku opisuje (podobně jako u výpočtu tečen a normál). Kdybychom dosazovali jak za x tak za x 0, tak by bylo výsledkem jedno číslo. Taylorův polynom je ale nová funkce, ve které se samozřejmě musí objevit proměnná. 0.. Ukázkový příklad Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako. příklad.

113 0.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY Obrázek 0.: Průběh funkce y = (x ) ln x + (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná) Zdroj: program Graph y = x 5 x, bod a =. Dopočítání druhé souřadnice y 0 = 5 = = 0 [x a ; f(x a )] vyšly [; 0]. derivace y = 5 x x ( ) = 5 x +. derivace v bodě x = y (x) = 5 +. derivace = 5 + = 6 = x y = 5 x + ( ) x ( = 5 x) 4 x + 5 x + 4 4( x). derivace v bodě x = (x) = 5 + = 5 4 4( ) = 6 4 = 4 y. derivace y = 5 4 x + 4 ( x) ( ) ( 4( x) ) = 5 8 x = 5 8 ( x) + x 8( x) = 5 8 x + 8( x). derivace v bodě x = y (a) = ( ) = = 8 8 = 9 4 x ( x) = 5 x + 4 x ( x) + 6( x) = 5 8 6( x) + x 6( x) = 4( x) =

114 4 KAPITOLA 0. TAYLORŮV POLYNOM Tabulka 0.: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu Stupeň derivace Derivace v bodě Koeficienty Taylorova polynomu.! =. 4 4! = ! = = 8 T = 0 + (x ) + (x ) + (x ) 8 Obrázek 0.: Průběh funkce y = x 5 x (plná čára) a Taylorův polynom v bodě a (čárkovaná) Zdroj: program Graph 0.4 Jednoduché příklady ze skript Počítejte Taylorův polynom. stupně v zadaném bodě a. Zadání Výsledky ) f(x) = x a = T (x) = + (x ) 8 (x ) + (x ) 6 ) f(x) = x + x x a = T (x) = (x + ) (x + ) + (x + ) ) f(x) = x 0 x 6 + x 4 a = T (x) = + 8 (x ) + 6 (x ) + 04 (x ) 0.5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky ) f(x) = x + x a = 0 T (x) = + x x + 6 x ) f(x) = (x ) ln x + a = T = + (x ) (x ) ) f(x) = (x ) ln(x ) + a = 4 T (x) = + (x 4) + (x 4) 6 4) f(x) = x ln(x ) a = 4 T (x) = + (x ) 8 (x ) 5) f(x) = (x + ) ln(x ) a = 4 5 T (x) = + 6(x 4) (x 4) + (x 4) 6) f(x) = x x a = 6 T (x) = 5 (x ) + 7 (x ) + 7 (x )

115 0.5. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 5 9) f(x) = x x + + cos(x) a = 0 9 T (x) = x 7 x 0) f(x) = x e x a = 0 0 T (x) = x ( x + x ) ) f(x) = x 5 x a = T (x) = (x ) + (x ) + 7 (x ) ) f(x) = x + x + e x+ a = T (x) = ( 4 (5 4 e ) + ( e ) x ) + ( +( e ) x ) 4 ( e x ) ) f(x) = x + + x a = T (x) = (x + ) (x + ) 4) f(x) = x + + e x a = 4 T (x) = 7 ( 4 + x ) ( + x + ) Nepočítáno: + 4 (x ) 5) f(x) = cos x + x sin x a = π 6) f(x) = sin x + cos x a = π 4 7) f(x) = sin x + cos x a = π 4 8) f(x) = ( x x ) ln a = 9) f(x) = + ln(9x ) a = 0 ( 0) f(x) = sin x + π ) ( + cos x π ) a = 0 6 ) f(x) = 8 ( x ) x + ln a =

116 Kapitola Neurčitý integrál. Vzorce pro integrování. k f(x) dx = k Pravidla pro integrování f(x) dx. (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± Funkce a exponenty Funkce vedoucí na goniometrické funkce. 0 dx = C 9. cos x dx = sin x + C 4. dx = x + C 0. sin x dx = cos x + C 5. x α dx = xα+ dx + C, α. α + cos x = tg x + C 6. a x dx = ax ln a + C. dx sin x = cotg x + C Logaritmy a exponenciála Funkce vedoucí na cyklometrické funkce dx 7. dx = ln x + C. x x 8. e x dx = e x dx +C 4. + x = arctg x + C Vzorce pro použití metod Metoda per partes Neurčitý integrál Určitý integrál b b 5. u v = u v u v 6. u v = [u v] b a u v Metoda substituce Neurčitý integrál 7. f (g(x)) g (x) dx = Určitý integrál g(b) 8. f(g(x)) g (x) dx = g(a) g(x) = t g (x) dx = dt g(x) = t g (x) dx = dt = f(t) dt = = F (t) = F (g(x)) + C a g(a) b g(b) = Speciální možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru: 9. f(ax + b) dx = a F (ax + b) + C pro (F (x) = f(x)) 0. g(b) g(a) a f(t) dt = [F (t)] g(b) g(a) = F (g(b)) F (g(a)) g (x) g(x) a dx = ln g(x) + C g(x) dx. Ukázkové jednoduché příklady (substituční metoda) ) 4 + x dx = ( x ) arctg + C substituce zpět: arctg ( x x = 4t x = t = dx = dt ) + C 4 + 4t dt = 4 ( + t ) dt = + t dt = arctg t + C = 6

117 .. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ 7 ) cos x (sin x) = 4t 4 + sin x dx = sin x = t = cos dx = dt substituce zpět: ( ) sin x arctg + C dt 4 + 4t = dt 4 ( + t ) = dt + t = arctg t + C ) e x ex dx = ex e x ex dx = ( ( ex ) = + ) e x + C ex = t e x = t e x = t + e x dx = t dt t + = t ( ex (e x ) substituce zpět: + ) e x + C = e ( e x ) x + + C 4) ln x x + ln x dx = + ln x = t + ln x = t dx x = t dt t = t ( ) t t dt = (t + ) dt = + t + C ( ) t t dt = (t ) dt = t + C ( ( + ln x) + ln x substituce zpět: ) + ln x + C = ( ) + ln x + ln x ( ) ln x + ln x + C + C =. Ukázkový příklad zkouškové úrovně Tento příklad je uveden na stránkách <www.matematika-lucerna.cz> jako. příklad. x x dx řešíme metodou substituce, záleží nyní na volbě, co budeme substituovat x = t volba substituce 50x dx = dt derivace zvolené substituce zvlášť levá a zvlášť pravá strana dt x dx = z druhého řádku si vyjádříme zvlášť x dx, protože jej potřebujeme pro dosazení do zadání 50 x = t 49 vyjádříme si x pro substituci (vyjádříme jej z výrazu PŘED derivací) 5 Po samotné subtituci se nesmí v příkladu vyskytovat původní proměnná!! = t 49 5 t 50 dt 50 = t t dt = ( 49 ) 50 t dt t dt = t ln t + C 50 dt =

118 8 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL Substituce zpět [ (49 + 5x ) 49 ln(49 + 5x ) ] + C 50 Obrázek.: Průběh funkcí y = x x a y = [ (49 + 5x ) 49 ln(49 + 5x ) ] + C 50 Zdroj: program Graph.4 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky ( ) x (ln x + x) dx x ln x ) + x + C ln(sin x) ) sin dx cotg x [ln(sin x) + ] x + C x ( ) ) x sin x + sin4 x cos x dx sin x x cos x + sin5 x + C x 5 4) x ln x dx 4 x ln x x + C arcsin x 5) dx 5 x arcsin x + x + C x 6) ln(cos x) cos x dx 6 tg x ln (cos x) + tg x x + C

119 .4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 9 7) 8) 9) 0) ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) 4) 5) 7) 9) ) ) 5) dx sin x ( cotg x) ( ) x cos x ln x + x sin x 7 6 arctg ( 7 9 cotg x ) + C ( dx 8 x4 4 ln x ) + 4 ( sin(x) ) + C arctg 8x dx 9 x arctg 8x 8 8x + C e 4x 5 dx 0 ( 4x 5 ) e 4x 5 +C dx 5x 5 arcsin ( 5x ) + C 7 dx cos x 9 7 ( ) 4 tg x arcsin tg x + C x x dx 50 [(49 + 5x ) 49 ln(49 + 5x ) ] + C x + x 4 dx 4 arctg x + C x arctg x dx 5 x arctg x x + C 4 + ln x dx 6 ln x + ln x + C x cos x dx 7 x sin x cos x + C x e x dx 8 e x (x ) + C arcsin x dx 9 x arcsin x + x + C 7 sin x cos x dx arcsin ( 5 6 cos x ) + C (x + 6) cos x 4 + sin x (x + ) dx sin x + C e x ex dx arctg + C + 4 e4x 44 x x + dx x + + C sin x dx 4 x cos x + sin x + C Nepočítáno: x ( + x + 7 x dx 6) cos x x + ) + 7x + sin dx x cos x (x + x + 4 sin x) dx 8) x x + dx arcsin x x x + 6x + 7x + 8 dx 0) x x dx + x + x + x ( ) 5x + 4 cotg x x dx ) sin x 9x + + x 0 sin dx x dx x x + x x ( ln 4) x) x dx + x 0 x + 8x + 6 x 9x + 6 x dx 6) + x 4 x 7x + dx

120 0 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 7) 9) 4) 4) 45) 47) 49) 5) 5) 55) 57) 59) 6) 6) 65) 67) 69) x 5x x dx 8) 4x 5 x + 7x 7 x dx 40) + 5x + 6 x x dx 4) 5x + 6 arccos 5x dx 44) e x dx 46) cos x sin x dx 48) arcsin x dx arctg x dx x + 8x x + x 5 dx x x x 4 x dx + x 4 x + 5x + 4x + x dx + 5x + 4 x + 7x 7 x dx 5x + 6 cos x x 6 6 sin x dx 50) + 6x x + x 4 dx ( x + ) x ln x dx 5) sin x + 5 dx x x 4x 4x + x dx 54) x + 0x x dx 56) 4x + x 8x x + x dx 58) + 5x + 4 8x + 4 x dx 60) x + 5 arctg x dx 6) e x dx 64) e x e x dx 66) (x + ) ln x dx 68) 4x dx e x dx ( x ) arcsin e +x dx dx ( (x + ) x + x arctg x dx x x 4 dx ) x + x dx ( ) + cotg x sin x + 9x + sin dx x arccos 4x dx

121 Kapitola Určitý integrál. Návod na výpočet určitého integrálu Určitý integrál má narozdíl od neurčitého vymezené hranice. Vychází konkrétní čísla, k výsledkům se tedy již nepřipisuje +C. Určitý integrál vyjadřuje hodnotu mezi osou x a zadanou přímkou. Příklady s konstantou Zadání: y = 5 Hranice: 0, 6 Zadání: y = 5 Hranice: 0, 6 Výpočet z Obrázku.: Jedná se v podstatě o obdélník, výsledek dostaneme výpočtem strana krát strana. 5 6 = 0. Nebo můžeme jednoduše spočítat počet dílčích čtverečků. Výpočet integrálem: dx = [5x] 6 0 = [ ] = 0 0 = 0 Výpočet z Obrázku.: Jde o stejný obrazec, ovšem pod osou x. Výsledek je tedy stejný, jen s opačným znaménkem. Výpočet integrálem: dx = [5x] 6 0 = [( 5) 6 ( 5) 0] = 0 0 = 0 Obrázek.: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 0, 6 Zdroj: program Graph Příklady s přímkou Zadání: y = x Výpočet z Obrázku.: Zaprvé lze spočítat jednotlivé čtverečky. Obrázek obsahuje 0 celých čtverců a 5 malých trojúhelníků (polovičních čtverců). Očekávaný výsledek je tedy,5 p. j. Nebo můžeme celý trojúhelník chápat jako polovinu velkého čtverce a dopočítat se výsledku dle vzorce strana krát strana = 5 5 = 5 =,5 p. j.

122 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL Hranice: 0, 5 Zadání: y = x Hranice: 5, 0 Výpočet integrálem: 5 0 [ x x dx = ] 5 [ 5 ] = 0 0 = 5 0 =, 5 Výpočet z Obrázku.4: Plochy po obou stranách osy y jsou stejné a tedy se navzájem odečtou. 5 [ x ] 5 [ 5 ] Výpočet integrálem: x dx = = 5 ( 5) = 5 5 = 0 5 Zadání: y = x Výpočet z Obrázku.5: Jde o stejný trojúhelník jako na Obrázku., výsledek má ovšem opět opačné znaménko. 0 [ x ] 0 [ 0 ] Hranice: 5, 5 Výpočet integrálem: x dx = = 5 ( 5) = 0 5 =, 5 5

123 .. NÁVOD NA VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU Obrázek.: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 0, 6 Zdroj: program Graph Obrázek.: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 0, 5 Zdroj: program Graph

124 4 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL Obrázek.4: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 5, 0 Zdroj: program Graph Obrázek.5: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 5, 5 Zdroj: program Graph

125 .. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 5. Jednoduché příklady ze skript Zadání ) ) ) 4) 0 π 4 0 e Výsledky e x + e x dx e + e 4 e cos x dx π x + x dx e + arctg x dx 4 0 5) 6) 7) 8) 9) 0) π 0 x π 0 x sin x dx 5 x + x x ( x ) arcsin e x dx 4x 9 dx 6 5 ln dx 7 π dx 8 e 4 e 9 ln 5 sin 4 x cos x dx 0 5 ) ) ) 4) 5) e e π 0 0 π π π ln x x dx 8 cos x sin x dx 4 5 x cos x dx π + 9 x ln( + x ) dx 4 ln(9) ln() 7 cos x 4 sin x dx 5 ln

126 6 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL 6) 7) 8) 9) ln ln π π 6 π 0 8 e x +9 e x cos x sin 5 x x dx 6 π 6 dx cos x sin x dx 8 4 x x + dx 9 0) ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) π 0 π e ( x ) x dx 0 π e x cos x dx eπ 5 x 4 + x dx x + x x π 4 dx ( ) 4 5 ln (x + ) e x dx 4 e 5 x dx 5 8 x x + x dx x x x 4 + x x x x + x x arcsin x x x ln x x dx 7 ln dx 8 π 4 dx 9 Diverguje dx 0 Diverguje dx π 8 dx

127 .. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 7 ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 40) 4) 4) 4) 44) 45) 46) 47) 48) 49) π sin x dx Diverguje 9 4x x dx 4 π 4 e x dx 5 x + x + x ( x) x x dx 6 π dx 7 π ln x dx 8 tg x dx 9 Diverguje 4x + x dx 40 π dx x 4 x dx 4 ln x ln x dx 4 Diverguje x x dx 44 8 e x 9 + e x dx 45 Diverguje ln x dx 46 x e x dx 47 4 e x cos x dx 48 Diverguje (x ) dx 49 Diverguje

128 8 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL 50) 5) 0 arctg x + x dx 50 π4 64 x arctg x dx 5 Diverguje. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání ) ) 0 (x + ) ( x + 0 dx x + x + 5 ) x + x Nepočítáno: Výsledky dx.=,

129 Kapitola Aplikace určitého integrálu. Vzorce aplikovaného integrálu Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami b P = f(x) dx, pro f(x) 0 na a, b (..) a b P = (f(x) g(x)) dx, pro f(x) g(x) na a, b (..) a Délka křivky l = b a + (f (x)) dx (..) Plášť rotačního tělesa b S = π a f(x) + (f (x)) dx (..4) Objem rotačního tělesa b V = π a f (x) dx (..5) 9

130 0 KAPITOLA. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU. Návod na výpočet plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami P Co je kýženým výsledkem je zřejmé ze zadání obsah, respektive obsah jistého obrazce omezeného zadanými křivkami který je samozřejmě možno graficky znázornit. Výsledná čísla vychází v plošných jednotkách (p. j.). U aplikace vychází konkrétní nezáporná čísla, k výsledkům se tedy již nepřipisuje +C. V tomto souboru jsou ukázány příklady vždy pouze s jednou křivkou. Počítáme tedy obrazec mezi křivku a osou x. Příklady s konstantou Zadání: y = 5 Hranice: 0, 5 Zadání: y = 5 Hranice:, 5 Výpočet z Obrázku.: Jedná se v podstatě o čtverec takže klasické strana krát strana. 5 5 = 5 p. j. Výpočet integrálem: dx = [5x] 5 0 = [ ] = 5 0 = 5 p. j., což mimochodem odpovídá počtu jednotlivých čtverečků ve vymezené ploše (aditivita integrálů). Výpočet z Obrázku.: Jde o obdélník o stranách 5 a 6, výsledek je tedy 0 p. j. Výpočet integrálem: 5 5 dx = [5x] 5 = [5 5 5 ( )] = = 0 p. j. Obrázek.: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích 0, 5 Zdroj: program Graph Příklady s přímkou

131 .. NÁVOD NA VÝPOČET PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI P Obrázek.: Průběh funkce y = 5 a vymezení plochy v hranicích, 5 Zdroj: program Graph Zadání: y = x Hranice: 0, 5 Zadání: y = x Hranice: 5, 5 Výpočet z Obrázku.: Zaprvé lze prostě spočítat jednotlivé čtverečky. Obrázek obsahuje 0 celých čtverců a 5 malých trojúhelníků (polovičních čtverců). Očekávaný výsledek je tedy,5 p. j. Nebo můžeme celý trojúhelník chápat jako polovinu velkého čtverce a dopočítat se výsledku dle vzorce strana krát strana = 5 5 = 5 =,5 p. j. 5 [ x ] 5 [ 5 ] Výpočet integrálem: x dx = = 0 0 = 5 0=,5 p. j. 0 Výpočet z Obrázku.4: Vidíme že se v podstatě jedná o dva totožné trojúhelníky kdy už jsme v předešlém příkladě spočítali obsah jednoho z nich, takže můžeme jen předchozí výsledek vynásobit dvěma. Nebo si v hlavě spojíme trojúhelníky do čtverce. Výpočet integrálem: Tento příklad je trochu odlišný od ostatních, neb se část křivky na zadaném intervalu dostává pod osu x. Musíme tedy výpočet rozdělit a spočítat dané plochy zvlášť, neboť se VŽDY musí odečítat spodní křivka od horní. Výpočet první části obsahu. Obsah plochy nemůže být záporný. 0 5 [ x x dx = ] 0 5 [ 0 ] = ( 5) = Výpočet druhé části obsahu. 5 [ x ] 5 [ 5 ] x dx = = 0 (0) = 5 0 Sečteme obě plochy = 5 p. j. Ve zkouškových příkladech se nestane, že bychom museli příklad takto rozdělovat. Máme vždy zadané alespoň dvě funkce a vždy je jasné která je horní a která spodní. Zadání: y = 5 x Výpočet z Obrázku.5: A náš oblíbený 5 5 = 5 trojúhelník potřetí a naposledy.

132 KAPITOLA. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU [ x Hranice: 0, 5 Výpočet integrálem: (5 x) dx = 5 dx x dx = [5x] [ 5 ] ( [ ] 0 5 ) = (5 0) 0 = 5, 5 =,5 p. j ] 5 0 = Obrázek.: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 0, 5 Zdroj: program Graph Obrázek.4: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 5, 5 Zdroj: program Graph Příklady s posunutou přímkou

133 .. NÁVOD NA VÝPOČET PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI P Obrázek.5: Průběh funkce y = 5 x a vymezení plochy v hranicích 0, 5 Zdroj: program Graph Zadání: y = x + Výpočet z Obrázku.6: Obrazec si rozdělíme na spodní obdelník a vrchní trojúhelník. Opět můžeme jednoduše spočítat malé čtverce, obdelník se skládá z 0 čtverců a trojúheník jich obsahuje,5. Výsledná plocha obrazce je,5 p. j. Nebo lze spočítat obsah obdelníku 5 = 0 a trojúhelníku, který je,5 a opět dílčí obsahy sečíst [ x ] 5 Hranice: 0, 5 Výpočet integrálem: (x + ) dx = x dx + dx = + [x] 5 0 = 0 [ 5 0 ] + [ 5 0] = 0 0 ( 5 0 ) + (0 0) =, =,5 p. j. 0 Obrázek.6: Průběh funkce y = x + a vymezení plochy v hranicích 0, 5 Zdroj: program Graph

134 4 KAPITOLA. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Příklady s parabolou Zadání: y = x Hranice: 0, Zadání: y = x Hranice:, 0 Výpočet z Obrázku.7: Nyní začneme mít problémy s přesným určováním výsledků z obrázku. Každopádně stále dokážeme výsledek alespoň přibližně odhadnout. V tomto případě máme jeden celý čtverec a pak čtyři částečné. Výsledek je necelých p. j. Výpočet integrálem: 0 [ x x dx = ] 0 [ ] = 0 = 8 0 =,67 p. j. Výpočet z Obrázku.8: Zadaná funkce je osově souměrná, vyznačená plocha je identická s předchozí. 0 [ x Výpočet integrálem: x ] 0 [ 0 ] dx = = ( ) = 0 ( 8) = 8 =,67 p. j. Zadání: y = x Výpočet z Obrázku.9: Hranice:, [ x Výpočet integrálem: x dx = 6 = 5, 4 ] = ( ) = 8 8 = = Obrázek.7: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích 0, Zdroj: program Graph

135 .. NÁVOD NA VÝPOČET PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI P5 Obrázek.8: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích, 0 Zdroj: program Graph Obrázek.9: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích, Zdroj: program Graph

136 6 KAPITOLA. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU. Návod na výpočet délky křivky l Kýženým výsledkem je délka křivky na vymezeném intervalu, která samozřejmě vychází v délkových jednotkách (d. j.). Příklady s konstantou Zadání: y = Hranice: 0, Výpočet z Obrázku.0: Zde snad ani není co dodávat. Výpočet integrálem: + (() ) dx = dx = [x] 0 = 0 = d. j. + (0) dx = dx = Obrázek.0: Průběh funkce y = a vymezení plochy v hranicích 0, Zdroj: program Graph Příklady s přímkou Zadání: y = x Hranice:, Výpočet z Obrázku.: Úhlopříčka čtverce o stranách rovných jedné je rovna. Čtverce jsou čtyři a tedy čtyřikrát. Výpočet integrálem: + ((x) ) dx = [ ( )] = + = 4 d. j. + () dx = dx = [x ] =

137 .. NÁVOD NA VÝPOČET DÉLKY KŘIVKY L 7 Obrázek.: Průběh funkce y = x a vymezení plochy v hranicích, Zdroj: program Graph

138 8 KAPITOLA. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU.4 Obecné znázornění pláště a objemu rotačních těles Obrázek.: Obecné znázornění pláště rotačního tělesa (S) Obrázek.: Obecné znázornění objemu rotačního tělesa (V).5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let. Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami: Zadání ) y = x x y = x Výsledky (= 4, 5) plošných jednotek ) y = 0 y = x + y = 4 x 7 plošných jednotek 6 ) y = x y = x plošných jednotek 5 4) y = 0 y = ln x y = x = 4 0,5 plošných jednotek 5) y = 4x x y = x plošných jednotek 6 6) y = x y = x plošných jednotek 6 7) x = y = e x y = x 7 e plošných jednotek Nepočítáno: 8) y = 0 y = x y = x + 8 9) y = e y = e x x =

139 .5. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 9 0) y = x y = 4x ) y = x 4x y = x ) y = e x y = e x x = ) y = e y = e x x = 4 x = 0 4) y = x y = x 5) y = x x y = x + 6) y = x x y = x 7) y = x x y = x + 8) y = x y = x 9) y = x x y = x 0) y = x + 4x + 4 y = 4 ) y = x x y = x ) y = x x y = x ) y = x y = 8 x 4) y = x + 8 y = x 5) y = x x y = x 5) y = 4x x y = 4 x 6) y = 5x x y = x 4 7) y = 5x x y = x 4. Délka křivky: Zadání ) y = 9 x x 0; π ( Výsledky π ) arcsin délkových jednotek 6 ) y = x 4 ln x x ; e e + délkových jednotek 4 ) y = x x 0; π délkových jednotek 6 4) y = 4 x x 0; 4 π délkových jednotek 5) y = x x 0; 5 π délkových jednotek. Povrch / Plášť rotačního tělesa: Zadání Výsledky ) y = + x x ; 48π plošných jednotek

140 40 KAPITOLA. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU Nepočítáno: ) y = 9 x x 0; ) y = 6 x x 0; 4. Objem rotačního tělesa: Zadání x ) y = x + x ) y = + x Výsledky x ; π x ; π 4 Nepočítáno: ) y = x e x y = 0 x 0; 4) y = 4 x y = x + ( ln 7 ) 5 (7 ln 75 ) objemových jednotek objemových jednotek 5) y = x y = 0 y = x 6) y = ( ) x x y = 0 x ;

141 Kapitola 4 Diferenciální rovnice I. řádu 4. Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky ) y = x e x y = x x + e x +C ) y = y x ) y = y tg x y = C x y = C sin x 4) (x + ) y = y 4 4y = + C (x + )4 5) x y y = 0 5 y = C x 6) x y y = y + 6 y = C x 7) y = e x y 7 y = ln(e x +C) 8) y y + x = 0 8 y = (C x) 9) x y y = y 9 y = C (x ) 0) xy = ( + y ) arctg y 0 y = tg(c x) ) y = y ln y y = e C x ) y x y = + y + x y = C ( + x ) ) xy = 4y, y() = y = x 4 4) xy = + y, y() = 0 4 y = tg(ln x ) 5) (x + ) y + xy = 0, y(0) = 5 y = (x + ) e x 6) y = x y +, y(0) = 0 6 (y + ) = x 7) y = y cos x, y(π) = 7 y = e sin x 8) ( + e x ) y y = e x, y(0) = 8 y = ln 4 + ln( + e x ) 9) y = x + y x 9 y = x ln(c x ) 0) x y = x + y 0 y = x (C x ) ) x + x y = y y = x ln C x ) x y = y + x y x y = C ln x ) y = e y x + y x 4) y y ( y ) x = x 5) y = x y + y x ( y 6) x y = y ln x) 7) y = x + y x y y = x ln (ln C x ) 4 y = x arcsin(c x) 5 y = x ln(c x ) y = x e +Cx ( y = x tg ln ) C(x + y )

142 4 KAPITOLA 4. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I. ŘÁDU Zadání Výsledky 8) y y = e x 8 y = (x + C) e x 9) x y y = x 9 y = C x x 0) y + y = e x cos x 0 y = (C + sin x) e x ) y + x y = x y = x + C e x ) (x + ) y + y = x y = x + C x + ) y x y = x sin x y = x (C cos x) 4) y + y cos x = sin x 4 y = C e sin x + sin x 5) x y y = x ln x 5 y = C x x (ln x + ) 6) (x + ) y y = (x + ) 4 6 y = C (x + ) + (x + )4 7) y y = 4x e x 7 y = C e x x (ln x + ) 8) y y tg x = sin x 8 y = C cos x cos x 9) x y + y = ( ln x) x 9 y = C x + 5x 4 x ln x 40) ( x ) y + x y = x 40 y = C x + 4) y + y cotg x = sin x 4 y = C sin x + x sin x 4) y + x y x = arcsin x 4 y = C x + x arcsin x 4) y y = e x, y(0) = 4 4 y = e x + e x 44) y + y = x, y ( ) = 44 y = e x + x 9 45) y + y x = x, y() = 45 y = x x 46) y + x y = x, y() = 46 y = 4. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky ) ( + x ) y = x ( + y) y = C x + ) y = x y y = C e x ) y x = + x y = tg ( x + C) 4) xy + y = y x y 4 y = x + x + Cx 5) y y = (4x + x ) e x 5 y = C e x +x ( + x) e x 6) y + y = x x 6 y = C e arcsin x +

143 4.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 4 7) xy + y = sin x 7 y = C x cos x x 8) y y tg x = x + 8 y = C ( ) x cos x cos x + + x cos x 9) y xy = (sin x + ) e x 9 y = e x (C + x cos x) 0) y y sin x = x e cos x 0 ( y = e cos x C + x x ) ) (x + ) y = y y = 4 arctg x + C ) y + x = xy y = C e x + ) y + 4y = (0x + ) e x y = C e 4x + e x 9 4) y + y tg x = sin x 4 y = cos (C cos x + ) (0x 7) 5) y + xy = x Nepočítáno: 6) y y tg x = cos x 7) y + y = x + 5x + e x 8) xy y = x 9) y x = x e x 0) y sin x y cos x = ) xy + y = x + x ) y + y cos x = e sin x ) y + 6y = 9 e 8x 4) 7y 5y = 8 e 6x 5) 5 + y + 5y = 9x e x 6) 5xy 0y = 8x 4 cos x 7) y + y = x 4 e x 8) y + y x + = x + 9) sin (7x + 4) y y = 0 0) y sin x + y cos x = sin x ) y + 5y = 7 e 4x ) y + y cotg x = cos x ) y + y sin x = 4x x 4) y cos x + y sin x = 0 5) xy + y = 6) xy + y = e x 4 x + e cos x

144 Kapitola 5 Diferenciální rovnice II. řádu 5. Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky ) y + y 0y = 0 y = C e x +C e 5x ) y 4y = 0 y = C + C e 4x ) y + y y = 0 y = C e x +C x e x 4) y 4y + 4y = 0 4 y = C e x +C x e x 5) 4y 4y + y = 0 5 y = C e x +C x e x 6) y 4y + y = 0 6 y = e x (C cos x + C sin x) 7) y + y = 0 7 y = C e x +C x e x 8) y 4y + y = 0 8 y = e x (C cos x + C sin x) 9) 9y + y = 0 9 ( x ) ( x ) y = C cos + C sin 0) y y + y = e x 0 y = C e x +C e x + e x ) y y + y = e x y = C e x +C e x x e x ( ) ) y y + 5y = (4x + ) e x y = (C cos x + C sin x) e x x ( ) y + y y = (x + ) x e y = C e x +C e x + 5 x ) e x 5 4) y 7y + 0y = (6x + 7) e x 4 y = C e 5x +C e x (x + x) e x e x 5) y + 4y 5y = 5 y = C e x +C e 5x 5 6) y 5y + 6y = x + 6 y = C e x +C e x + x ) y y 6y = x + x 7 y = C e x +C e x x x ) y + y = x 8 y = C sin x + C cos x + x 9) y + y = 9x 9 y = C e x +C e x x x 0) y y = x x 0 y = C + C e x x 6 ) y 4y = 8x y = C e x +C e x x x ) y y + y = 9 sin x + cos x y = C e x +C e x + cos x ) y 7y + 6y = sin x y = C e x +C e 6x + (7 cos x + 5 sin x) 74 ( x ) 4) 9y 6y + y = sin 4 y = C e x +C x e x + cos x 5) y + y + 5y = 7 cos x 5 y = C e x cos x + C e x sin x cos x sin x ( x 6) y + y y = x e x 6 y = C e x +C e x + x 6 + x ) 44

145 7) y y + y = e x cos x 7 y = C e x sin x + C e x cos x + ex x sin x 8) y y = x x 8 y = C e x +C e x x 9) y y = + x x 9 y = C + C e x ln x 0) y 4y + 4y = ex x 0 y = C e x +C x e x e x ln x ) y + 8y = sin x y = C sin x + C cos x + cos x 6 sin x ) y y + y = e 5x y = C e x +C e x + e5x ) y 4y + 4y = x y = C e x +C x e x + 4 x + x + 8 4) y y + y = x e x 4 y = C e x sin x + C e x cos x + x e x 5. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky ) y + 4y = 8 cos x y = C cos x + C sin x + x sin x ) y y + 6y = (6x 4) e 6x y = C e 6x +C x e 6x +x (x ) e 6x ) y y = (9x + 9x ) e x y = C + C e x +(x + x + ) e x 4) y 5y 6y = 4 e 6x 4 y = C e 6x +C e x +x e 6x 5) y 6y + 9y = 5 e x 5 y = C e x +C x e x + 5 x e x 6) y + y + y = 4 e x 6 y = C e x +C x e x +x e x 7) y 4y + y = x 8x y = C e x +C e x +x + 8) y + y y = 6 e x 8 y = C e x +C e x x e x 9) y y = 4 e x 9 y = C e x +C e x x e x 0) y 4y + 4y = 4x + x + 0 y = C x e x +C e x +x + 5x + Nepočítáno: ) y 6y + 9y = x ) y + y = cos x ) y + y = cos x 4) y + 4y + y = 6 cos x + sin x 5) y + 4y + y = 7 cos x + 4 sin x 6) y + y = 9 x e x 7) y 6y = 6 x e x 8) y y + y = e x 9) y + 6 = 8 cos 4x + sin 4x 0) y + y + y = 6 e x ) y + y 8y = 6x + ) y + 9y = 5 sin x + 65 cos x ) y 6y + 8y = 9x 5x 5x 9 4) y 0y + 5 = 9x e x 5) y y + y = (6x + 5) e x

146 Část II Lineární algebra 46

147 Kapitola 6 Základní pojmy z lineární algebry Uvažujeme pouze vektorové konečně generované podprostory. Co je to vektor V aritmetických vektorových prostorech se jedná o objekt zadaný souřadnicemi, např. (; 5). Z fyzikálního hlediska jej lze interpretovat jako orientovanou úsečku, vycházející z počátku soustavy souřadnic a končící v bodě zadaném příslušnými souřadnicemi. Co je to aritmetický vektorový prostor Je to množina vektorů, které můžeme spolu sčítat a násobit reálnými čísly. Operace jsou definovány takto: dva vektory sečteme tak, že sečteme souřadnice na stejných pozicích, např. (; 5) + (; 6) = ( + ; 5 + 6) = (5; ), vektor vynásobíme reálným číslem tak, že vynásobíme všechny jeho souřadnice tímto číslem, např. 4 (; 5) = (8; 0). Každý vektorový prostor má právě dva triviální podprosotry. Prvním je případ, kdy se podprostor rovná vektorovému prostoru. Druhým případem je podprostor obsahující pouze nulový vektor. Co je to lineární kombinace Řekneme, že vektor je lineární kombinací jiných vektorů, lze-li jej vyjádřit jako součet násobků těchto vektorů. Např. (; 0) + 4 (0; ) = (; 4), což znamená, že vektor (;4) je lineární kombinací vektorů (; 0) a (0; ). Co je to lineární závislost a nezávislost vektorů Pokud pro danou skupinu vektorů platí, že žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních, řekneme, že vektory jsou lineárně nezávislé. Skupina vektorů, z nichž alespoň jeden je lineární kombinací ostatních je lineárně závislá, také říkáme, že vektory tvořící tuto skupinu jsou lineárně závislé. Co je to vektorový podprostor Je taková podmnožina vektorového prostoru, která je uzavřená k operacím součet vektorů a násobení vektoru reálným číslem v daném vektorovém prostoru. Dimenze vektorového podprostoru může být stejně velká, jako dim daného vektorového prostoru, nebo menší. Vektorový podprostor může být stejně velký, jako vektorový prostor viz dále v Tabulce

148 48 KAPITOLA 6. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Vektorový prostor (vp) Tabulka 6.: Vektorové prostory a podprostory Vektorový podprostor (vpp) jednotlivé případy Dimenze Obrázek Dim vpp = Dim vp Dim vpp < Dim vp Dim vpp Dim vp Dim vpp Dim vp Dim 0 Dim y y Dim x x y z y z y Dim x x x Je to vektorový prostor, který je jednobodovou množinou obsahující pouze nulový vektor o. V případě, že má prostor více podprostorů, je v tabulce uveden jen jeden příklad. Co je to báze (M) a dimenze podprostoru Báze je množina generátorů podprostoru, která neobsahuje zbytečné vektory, tj. je lineárně nezávislá. Platí, že všechny báze daného podprostoru mají stejný počet prvků. Počet prvků báze podprostoru se nazývá dimenze podprostoru. Dim 4 se špatně kreslí, ještě si lze představit, že čtvrtý parametr je např. čas t, to by šlo znázornit na krátkém videu popř. na obrázku typu *.gif. Co je to lineární obal L(A) množiny A Je vše, co je vygenerováno vektory z dané množiny. To znamená obsahuje vektory z dané množiny + všechny jejich lineární kombinace. Lineární obal je vždy podprostorem. Lineární obal obsahuje automaticky i vektory z původní množiny A. Co jsou generátory podprostoru Jsou to vektory, pomocí kterých dokážeme generovat všechny vektory podprostoru, a to pomocí operací součtu vektorů a násobení vektorů reálným číslem. Toto znamená, že každý vektor podprostoru je lineární kombinací jeho generátorů.

149 6.. SKALÁRNÍ SOUČIN 49 Obrázek 6.: Lineární obal generátory, vektory báze lineární kombinace generátorů lineární obal Co je to matice Tabulka čísel typu (m, n) má m řádků a n sloupců. Může sloužit např. jako jiný způsob zápisu soustavy rovnic. Máme řešit soustavu dvou rovnic o dvou nezámých x a y. I. x + y = 40 II. x y = 5 Při výpočtu soustav rovnic můžeme postupovat třemi způsoby:. dosazovací metoda. sčítací metoda. matice a její úpravy (Gaussova metoda řešení soustav) Mezi jednotlivými úpravami matic se používá znaménko shodnosti. Chceme-li z rovnice v=(,6,9) vypočítat vektor v, vynásobíme celou rovnici převrácenou hodnotou k, tj. v = (,6,9)=(,,), což při řešení rovnice s čísly místo vektorů odpovídá dělení číslem. Dělení vektoru číslem nezavádíme. 6. Skalární součin Náhodně vybrané vektory. příklad u = (5, 6) v = (, ) Skalární součin z = = 5 + = 7. příklad u = (5,, 4) v = (4,, 6) w = (,, 4)

150 50 KAPITOLA 6. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skalární součin = = 88 Kolmé vektory. příklad u = (, ) v = (, ) Skalární součin + ( ) = + = 0 4. příklad u = (, 5) v = (5, ) Skalární součin 5 + ( 5) = = 0 5. příklad u = ( 9,, 7) v = ( 9, 0, ) Skalární součin ( 9) = = 0 Ta nula není náhoda!

151 Kapitola 7 Lineární rovnice 7. Ukázkové příklady. x + y z t = x y + z + t = 0 v = (t ; t ; t; t) x + y z 9t = x y + z + 7t = 9. x y + z t = y z + t = v = (0; 7; 0; 6) x + y z + t = 5 x + y z + t = 4. x + y + z t = 6 x y + z 7t = 5 v = ( t; t + ; t; t) x + y 8t = x y + z + 6t = 5 4. x + y + z 4t = x y + z t = v = (t ; t; + t; t) x + y + z + 6t = 8 x z 5t = 0 5. x + z t = 4 x + y z t = v = (t ; t + ; ; t) x + y + z t = x + y + 4z 5t = 5 6. x + y + z t = 0 x + y z + t = 4 v = (0 z; z ; z; 8) y z + t = 4 x + 4y z + t = 0 7. x + 5y + t = 0 x + y z + t = 0 v = (5z 7t; 4t z; z; t) x + y + z t = 0 4x + 5y 5z + 8t = 0 8. x y + z t = 5 x y + z 7t = v = (t + ; t; t; t) x y z 7t = 5 4x + y z t = 5 Nepočítáno: 5

152 5 KAPITOLA 7. LINEÁRNÍ ROVNICE 9. x + y z + 8t = 7 x y + z 8t = 6 v = y 4z + 8t = x y z + 8t = 0 ( ) 75 9 ; ; 5 9 ; x + y z + t = 4 x + y 4z + 4t = v = ( t; t + ; ; t) y z t = 7 4x + 6y z 4t = 4. x y z t = 5 x + z + t = v = x + y + t = 6 x + y + z + t = 4 ( ) ; ; ; x + y z + t = 4 x + y 4z + 4t = y z t = 7 4x + 6y z + 4t = 4. x + z t = 4x + y z + t = 4 x + y + z = x + 7z t = 4. x y + z t = 7 x y + z 4t = x + y z + t = 6 x + y z t = 5. x y t = x + y + z + t = 0 x + z t = 7x y t = 7 6. x y = 0 x + y + z = 5 x + y z = 5 7. x y + z = 9 4x + y + z = 0 x + 4y + 6z = 0

153 Kapitola 8 Inverzní matice 8. Jordanova metoda Zadaná matice A A = 4 Jordanova metoda: Inverzní matice je tedy: A =

154 54 KAPITOLA 8. INVERZNÍ MATICE Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou: A A = A A = E = = Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic Zadaná matice A A = 4. věta inverzní matice pomocí determinantů Nechť A = (a ij ) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat A = det A D D... D n D D... D n D n D n... D nn = det A (D ij) T, kde D ij je algebraický doplněk prvku a ij matice A pro všechna i, j =,,..., n. ) Spočítáme determinant zadané matice A (tučně vyznačena) Sarrusovým pravidlem 4 4 = = 4 ) Potřebujeme algebraické doplňky submatic pro dosazení do vzorce zmíněného výše. Algebraické doplňky zjistíme na základě determinantů submatic: algebraický doplněk = ( ) i+j determinant submatice kde i = sloupec, j = řádek Matice vytvořená z dané matice vynecháním některých sloupců a řádků.

155 8.. METODA VÝPOČTU PŘES ALGEBRAICKÉ DOPLŇKY SUBMATIC 55 Tabulka 8.: Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků Zvýrazněný prvek (v rámečku) Submatice Výpočet determinantu submatice algebraický doplněk ( ) D = 4 ( ) = 4 + = ( ) + ( ) = 4 4 D = 4 ( ) = ( ) + ( ) = D = 4 ( 4 ) ( ) ( 4) = + 4 = ( ) + = D = 4 ( ) ( ) ( ) = = 0 ( ) + 0 = 0 D = 4 ( ) ( ) = + = ( ) + = D = 4 ( ) ( ) = = ( ) + ( ) = D = 4 ( 4 ) ( ) ( 4) = 4 = ( ) + ( ) = D = 4 ( ) ( ) = + = ( ) + = D = 4 ( 4 ) ( 4) = 4 = 5 ( ) + ( 5) = 5

156 56 KAPITOLA 8. INVERZNÍ MATICE Vzhledem k tomu, že musíme používat matici algebraických doplňků transponovanou, budeme nyní chápat značení transponovaně: D sloupec, řádek a dosadíme do matice A = = Výsledná matice je inverzní k zadané matici A. Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou: A 0 = = =

157 Kapitola 9 Matice 9. Sčítání matic 9.. Obecný návod Nechť A, B jsou matice typu (m, n), potom A + B je opět matice typu (m, n) taková, že a a... a n b b... b n a a... a n A + B = b b... b n = a m a m... a mn b m b m... b mn = a + b a + b... a n + b n a + b a + b... a n + b n a m + b m a m + b m... a mn + b mn 9.. Příklady A + B = ( 4 ) + ( 4 ) ( ) = ( ) 9. Násobení matic reálným číslem 9.. Obecný návod Platí, že pakliže násobíme matici A typu (m, n) nějakým číslem c, pak se výsledek rovná c A. A = a a... a n a a... a n c A = c a c a... c a n c a c a... c a n a m a m... a mn c a m c a m... c a mn 9.. Příklad Vynásobte matici K číslem 5: K = K = ( ) ( ) 5 5 ( 5) =

158 58 KAPITOLA 9. MATICE 9. Násobení matic maticemi 9.. Obecný návod Při výpočtu násobku dvou matic musíme v první řadě ověřit řešitelnost, v případě, že chceme k výpočtu použít Excel, musíme znát i velikost výsledné matice. Řešitelnost a velikost zjistíme následujícím způsobem: Matice má rozměr A m n (m = počet řádků, n = počet sloupců) Matice má rozměr B n o (n = počet řádků, o = počet sloupců) m n n o Matice lze vynásobit v pořadí A B, pakliže má první matice tolik slouců, kolik má druhá matice řádků Velikost výsledné matice bude m o, tedy bude mít tolik řádků, kolik má první matice řádků a bude mít tolik sloupců jako má druhá matice sloupků Násobení matic není komutativní, což znamená, že A B B A, pakliže není jedna (nebo obě) z daných matic jednotková. Obecně se dá násobení matic znázornit následovně: a a ( ) b b b A B = a a = b b b a a (a b ) + (a b ) (a b ) + (a b ) (a b ) + (a b ) (a b ) + (a b ) (a b ) + (a b ) (a b ) + (a b ) (a b ) + (a b ) (a b ) + (a b ) (a b ) + (a b ) Obrázek 9. snad ještě lépe dokresluje způsob, jakým se dvě matice násobí mezi sebou. Obrázek 9.: Násobení matic B b b b b b b A a a a a a a a 4 a 4

159 9.4. ROVNICE S MATICEMI 59 Návod na výpočet v Excelu:. zapíšeme hodnoty první matice. zapíšeme hodnoty druhé matice. zjistíme rozměr výsledné matice (sama se zamyslím) 4. kurzorem označíme rozsah polí výsledné matice (kde všude se objeví výsledek) 5. s označeným polem se do F(x) napíše = soucin.matic(ozačení polí s hodnotami první matice; označení polí s hodnotami druhé matice) 6. pro zobrazení stiskneme ctrl+shift+enter, samotný enter nestačí, neboť v takovém případě se vypíše pouze jedna hodnota (vyplní se jedna buňka) 9.. Příklady. Zjistíme řešitelnost úlohy: matice A má rozměr a matice B má rozměr. Řešitelná tedy je.. Výsledná matice bude o rozměru.. Výpočet úlohy B A není možný. A B = = ( ) = = Násobení matic jednotkovou maticí zleva a zprava ( ) ( ) ( C E = = E C = ( 0 0 ) ( 4 5 ) = ( ) ) = = ( ( ) ) = = ( ( ) ) Násobení matic zleva a zprava ( ) ( ) ( 5 6 D F = = ) = ( ) = ( ) F D = ( ) ( 4 ) = ( ) = ( ) = ( 4 46 ) 9.4 Rovnice s maticemi

160 60 KAPITOLA 9. MATICE. X ( A=B X ) A X=(E-B) ( A A = B = ). X+B=4B AX ( ) A = B = ( 5 4 ). X B=B X ( A ) 9 A = B = ( 0 ) 4. A X = B A = B = X+B=4B AX ( ) A = B = ( 5 4 ) 9.5 Matice s parametrem Vypočítejte hodnotu parametru k tak, aby byli řádky matice lineárně závislé... 0 k k 0 7 k 0

161 Kapitola 0 Determinanty 0. Návody k výpočtu 0.. Determinant matice. řádu Nechť A je čtvercová matice řádu n =. A = (a ). Pak z definice 8 uvedené v Přílohách III, v sekci Definice z lineární algebry C.: det A = ( ) r a k a k,..., a nkn, (π) dostáváme: det A = a Př: Matice A = (5) det = 5 ( ) Matice B = det = Matice C = ( ) det = Matice D = () det = 0.. Determinant matice. řádu Je-li A čtvercová matice n = ( ) a a A = a a Z definice vychází následující: det A = a a a a Př.: Matice A = Matice B = ( ( ) ) = det A = = 5 4 = 9 = det B = = 8 7 = Determinant matice. řádu Sarrusovo pravidlo Předpokládejme, že A je čtvercová matice řádu n =. 6

162 6 KAPITOLA 0. DETERMINANTY a a a a a a a a a V tomto případě je det A součtem šesti členů, protože existuje! = = 6 různých permutací. První tři jsou sudé a odpovídající členy determinantu budou mít znaménko +. Zbývající tři permutace jsou liché a příslušné členy budou mít znaménko. Podle definice determinantu tedy dostáváme: det A = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Při řešení se můžeme řídit tzv. Sarrusovým pravidlem Obrázek 0.: Sarrusovo pravidlo + a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Sarrusovo pravidlo lze použít pouze pro matice. řádu. U matic vyššího řádu NELZE! Sarrusovo pravidlo použít Ukázkový příklad Zadaná matice (tučně vyznačena) je matice řádu, použijeme tedy pro výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo = = = = 0 = 0..4 Determinant matice řádu > Při hledání determinantů matic řádu vyššího než. se řídíme větou 9. uvedenou v Přílohách III, v sekci Věty z lineární algebry C., nelze použít Sarrusovo pravidlo. Lze postupovat tak, že z matice řádkovými a sloupcovými úpravami dostaneme horní či dolní trojúhelníkovou matici. Determinant této matice se pak rovná součinu prvků na hlavní diagonále.

163 0.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY 6 0. Ukázkové příklady 0.. Výpočet determinantů matic Vypočítejte determinanty daných matic Zadání ) A = ) B = ) C = 4) D = 5) E = 6) F = Výsledky Determinant A = 4 Determinant B = 0 Determinant C = 44 4 Determinant D = 5 Determinant E = Rovnice s determinanty.. 0 x 0 4 x x + = = x + x 4 x

164 64 KAPITOLA 0. DETERMINANTY. 7 x 5 = x 4. x 0 x = x 5 x Cramerovo pravidlo. + x + 4z = 0 x + y z = 7 5y z = 4. x y + z = 9 4x + y + z = 0 x + 4y + 6z = 0. x + y + z = 0 x + y + z = 0 4x y z = 4. + y z = 0 4x + y z = x y + z =

165 Literatura Tištěné zdroje [] Dvořáková, Š.: Řešené příklady k matematice I, Praha 004, ISBN [] Dvořáková, Š., Slavík, V.: Integrální počet, ISBN [] Dvořáková, Š., Wohlmuthová M.: Řešené příklady k Matematice II, Praha 006, ISBN (ČZU) [4] Nešetřilová, H., Šařecová, P.: Matematické metody pro statistiku a operační výzkum, Praha 009, ISBN [5] Slavík, V., Hrubá, J.: Matematika: Diferenciální počet, Praha 99, ISBN [6] Slavík, V., Wolhmuthová, M.: Matematika I, Praha 004, ISBN Elektronické zdroje [7] Gurka, P.: Dostupné na World Wide Web: <http://www.petrg.wz.cz/> [8] Mašková, K.: Dostupné na World Wide Web: <http://matematika-lucerna.cz/> [9] Wikipedia: Dostupné na World Wide Web: <http://www.wikipedia.org/> [0] Greenpeace, kampaň Papír má dvě strany: Dostupné na World Wide Web: <http://www.strany.cz/> Programy, za jejichž pomoci byl soubor vytvořen [] Text a obrázky L A TEX ε [] Obrázky Graph (ke stažení <http://www.padowan.dk/graph/download.php>) [] Obrázky GeoGebra (ke stažení <http://www.geogebra.org/cms/>) [4] Obrázky Google <https://www.google.co.uk/> Online kalkulátory [5] Online kalkulátor (český) <http://wood.mendelu.cz/math/maw-html/?> [6] Webová verze programu Mathematica <http://www.wolframalpha.com/> [7] Sčítání a násobení matic (lineární algebra) <http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/algebra_matic/ index_male.php> Zajímavé odkazy [8] Stránky katedry matematiky ČZU TF <http://katmat.tf.czu.cz> [9] Masarykova univerzita (Brno) <http://is.muni.cz/elportal/studovna.pl> [0] ČVUT <http://math.feld.cvut.cz/mt/indexc.htm> 65

166 Část III Přílohy 66

167 Příloha A Vzorce povolené ke zkoušce A. Derivace Funkce a exponenty Pravidla pro derivování. (konstanta) = 0 Pravidla pro sčítání. (x) = 9. (u ± v) = u ± v. (x a = ax a Pravidla pro násobení ( ) 4. = x x 0. (u v) = u v + u v 5. ( x) = x Speciální případ s konstantou Logaritmy a exponenciála 0.a (k f(x)) = k (f(x)) 6. (log a x) = x ln a Násobení více funkcí 7. (log x) =. (u v w) = u v w + u v w + u v w (u v) w + (u v) w 8. x ln 0 (ln x) = x nebo též ((u v) w) = 9. (e x ) = e x Pravidla pro podíl 0. (a x ) = a x ln a. ( u ) u v u v = v Goniometrické funkce Speciální případ s konstantou ( ) f(x). (sin x) = cos x.a = f (x) k k. (cos x) = sin x Pravidla pro složené funkce. (tg x) = cos (x). [f (g(x))] = f (g(x)) g (x) 4. (cotg x) = sin (x) Cyklometrické funkce 5. (arcsin x) = x 6. (arccos x) = x 7. (arctg x) = + x 8. (arccotg x) = + x Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici A. Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí 4. v obecné mocniny ( ) f(x) g(x) g(x) ln f(x) = e 67

168 68 PŘÍLOHA A. VZORCE POVOLENÉ KE ZKOUŠCE Tabulka A.: Důležité hodnoty goniometrických funkcí x π π π 4 π 6 0 π 6 π 4 π π π π 4 5π 7π 6 π 6 5π 4 4π π 5π 7π 4 π 6 sin x 0 0 cos x tg x 0 0 cotg x A. Vzorce pro integrování. k f(x) dx = k Pravidla pro integrování f(x) dx. (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± Funkce a exponenty Funkce vedoucí na goniometrické funkce. 0 dx = C 9. cos x dx = sin x + C 4. dx = x + C 0. sin x dx = cos x + C 5. x α dx = xα+ dx + C, α. α + cos x = tg x + C 6. a x dx = ax ln a + C. dx sin x = cotg x + C Logaritmy a exponenciála Funkce vedoucí na cyklometrické funkce dx 7. dx = ln x + C. x x 8. e x dx = e x dx +C 4. + x = arctg x + C Vzorce pro použití metod Metoda per partes Neurčitý integrál Určitý integrál b b 5. u v = u v u v 6. u v = [u v] b a u v Metoda substituce Neurčitý integrál 7. f (g(x)) g (x) dx = Určitý integrál g(b) 8. f(g(x)) g (x) dx = g(a) g(x) = t g (x) dx = dt g(x) = t g (x) dx = dt = f(t) dt = = F (t) = F (g(x)) + C a g(a) b g(b) = Speciální možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru: 9. f(ax + b) dx = a F (ax + b) + C pro (F (x) = f(x)) 0. g(b) g(a) a f(t) dt = [F (t)] g(b) g(a) = F (g(b)) F (g(a)) g (x) g(x) a dx = ln g(x) + C g(x) dx

169 A.4. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 69 A.4 Aplikace určitého integrálu. Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami: b P = f(x) dx pro f(x) 0 na a, b, P = (f(x) g(x)) dx pro f(x) g(x) na a, b a b. Délka křivky: l = + (f (x)) dx a b. Plášť rotačního tělesa: S = π f(x) + (f (x)) dx a b 4. Objem rotačního tělesa: V = π f (x) dx a b a

170 Příloha B Návod k programu Graph 4. B. Úvod Tento jednoduchý ale šikovný open source program umožňuje nakreslit funkce, řady bodů, provádět základní výpočty apod. a tak nám může usnadnit orientaci při výpočtu příkladů a zároveň nám nabízí grafické řešení a ověření výsledků. Často se počítá definiční obor, monotonie, konvexita a konkávita. To jsou charakteristiky funkcí, které lze snadno vyčíst z obrázku. Bohužel zkouškové předpisy jsou tak složité, že není možné si je v hlavě představit, proto musíme použít matematický aparát ke zjištění, kde funkce roste a klesá či kde je konkávní a konkávní. V rámci domácí přípravy však použití tohoto programu může přinést lepší představu o počítaných příkladech. Verze 4., která je dostupná od 6. srpna 007, je již 8. verzí v pořadí. První verze byla uvedena v březnu 00. Do novějších verzí se mimo nových funkcí a případných oprav zapracovávají i nové jazyky, verze 4. je dostupná ve jazycích včetně srbštiny a mongolštiny a k šesti z nich je dostupná nápověda. Autorem je Ivan Johansen, který na programu stále pracuje. Program byl napsán pro práci pod operačním systémem Windows, dle zpráv od ostatních uživatelů jej však možné spustit jej i pod Linuxem a Macintoshem. Výstupy z grafu lze uložit pod koncovkou *.grf, nebo je též možné vyexportovat je jako obrázcek (nabízí se běžné druhy obrázků: *.jpg, *.png, *.bmp, *.emf a *.pdf) pod Soubor Uložit jako obrázek. V následujících kapitolkách si ukážeme nejdůležitější funkce, které Graph 4. nabízí. B. Popis pracovní lišty a nápovědy Obrázek B. ukazuje základní pracovní plochu programu s lištou nástrojů. Na následujících obrázcích jsou vysvětleny jednotlivé funkce a způsob ovládání. B.. Nastavení os Pod růžově zvýrazněným symbolem os se skrývá tabulka, kde je možné zaškrtnout zda se má zobrazovat mřížka, legenda, jak budou pojmenovány jednotlivé osy a nakonec i změna nastavení barev na Obrázek B.. 70

171 B.. POPIS PRACOVNÍ LIŠTY A NÁPOVĚDY 7 Obrázek B.: Základní pracovní plocha Zdroj: program Malování print screen programu Graph Obrázek B.: Základní nastavení os a barev Zdroj: program Malování print screen programu Graph B.. Nápověda Samotný program nabízí ve své nápovědě kompletní slovník pro překlad požadavků do jazyka Graphu. Je pod záložkou Nápověda Seznam funkcí jak je ukázáno na Obrázku B..

172 7 PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4. Obrázek B.: Slovník seznam funkcí Zdroj: program Malování print screen programu Graph B. Jak zadávat funkce Nejdůležitějším nástojem je samozřejmě samotné zadávání předpisů. Lze si buď vybrat z horní lišty Funkce Vložit funkci, nebo použít ikonu znázorňující osy s červenou křivkou, jak je znázorněno na Obrázku B.4. V tabulce Vložit funkci na Obrázku B.4 lze také nastavit ohraničení zobrazení křivky, tloušťku, styl čáry a její barvu pro lepší orientaci. Obrázek B.4: Vložení nové funkce Zdroj: program Malování print screen programu Graph

173 B.. JAK ZADÁVAT FUNKCE 7 B.. Předpisy funkcí a jak je zadávat Zde jsou vypsané zjednodušeně pokyny z této nápovědy: Tabulka B.: Slovník typ funkce jak se zapisuje jak poprosit Graph mocnina x x druhá odmocnina x sqrt (x) n n-tá odmocnina x root(n, x) logaritmus (přirozený) ln x ln (x) logaritmus (o základu n) log 0x logb(0x, ) logaritmus (dekadický) log x log (x) sinus sin x sin (x) cosinus cos x cos (x) tangens tg x tan (x) arcus sinus arcsin x asin (x) arcus cosinus arccos x acos (x) arcus tangens arctg x atan (x) Eulerovo číslo e e Ludolfovo číslo π pi Ctrl + Alt + tlačítko š stříška sqrt square root anglicky odmocnina

174 74 PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4. Funkce Tabulka B.: Konkrétní funkce Jak mluvit na Graph f(x) = (x + ) ln(x ) (x + ) ln(x ) 4 x f(x) = ln x + ln(sqrt((4 x)/(x + ))) f(x) = ln x + x 5 x 4 f(x) = ln x 6x x 5 5 f(x) = 5 x + ln x + 4x x 4 x 6 f(x) = 5x x + ln x + x x + x 8 + e x 6 ln((x + x 5)/(x )) + e (sqrt(x 6)) + 6 x ln((x 6x)/(x 5)) + sqrt(6 x ) sqrt(5 x ) + ln((x + 4x x)/(4 x)) sqrt(5x x ) + ln((x + x )/(x + x 8)) 7 f(x) = e log (x+) e (sqrt( log(x + 4))) 9x 8 f(x) = log (8 x) + x /(log(8 x)) + sqrt((9x )/(x 0x + )) 0x + e 4x 9 f(x) = ln + e 4x ln(sqrt(( e (4x))/( + e (4x)))) x x 0 0 f(x) = log (x + 4) + log (8 x) ((x x 0) (/))/(log(x + 4) ) + log(8 x)! NEŠETŘETE ZÁVORKAMI! Program pracuje s desetinnou tečkou.

175 B.. JAK ZADÁVAT FUNKCE 75 Není-li výraz v argumentu (to, co je logaritmováno, sínusováno atd.) v závorce, může se stát, že program nakreslí jinou funkci; dále viz příklad rozdílné interpretace jedné funkce. Zadáme-li do Graphu funkci ne zcela jednoznačným způsobem, může dojít k následujícímu: log 8 x log (8) x log (8 x) y x Toto bude nakresleno. Otázkou je, jakou funkci jsme měli na mysli. B.. Konkrétní příklad Předpis křivky: f(x) = x + e ( x) je tedy x+e (-x ) Tento předpis je nutné vložit do Vložit funkci. Z Obrázku B.5 je vidět, kde funkce roste a kde klesá. Funkce roste na intervalech ; 0 a, 5; ) Funkce klesá na intervalu 0;, 5 Lze tedy očekávat, že funkční hodnoty derivace budou v místech poklesu záporné a v místech růstu funkce kladné. Obrázek B.5: Konkrétní příklad funkce f(x) = x + e ( x ) Zdroj: program Malování print screen programu Graph

176 76 PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4. B.4 Další funkce B.4. Ohraničení funkce, šrafování Šrafováním se dá znázornit např. interval pro výpočet lokálních extrémů, plocha při výpočtu určitého integrálu apod. Kliknutím na růžově zvýrazněný symbol vyšrafované křivky na Obrázku B.6 se nám otevře dialogové okno se třemi záložkami: Šrafování zde zvolíme druh šrafování a směr od funkce a horizontální osy Možnosti nabízí se nám zobrazit šrafování od do, typ šrafování (čtverečky, šikmé čáry... ) Druhá funkce pro případ, že chceme zvýraznit plochu mezi dvěma funkcemi, je tu třetí záložka, kde určíme jaké funkce se mají na požadované ploše podílet Obrázek B.6: Šrafování Zdroj: program Malování print screen programu Graph

177 B.4. DALŠÍ FUNKCE 77 B.4. Tečna a normála Jak nakreslit tečnu a normálu? Musí být označena funkce, ke které mají být požadované přímky sestrojeny. Symbol je označen v růžovém rámečku na liště na Obrázku B.7. Pak je nutné zadat x-ovou souřadnici do horního pole dialogového okna. V případě, že má být nakreslena normála, pak je třeba zaškrtnout příkaz Kolmice (jiný název pro normálu, neboť normála je kolmá na tečnu). Obrázek B.7: Vložení tečny a normály k vybrané funkci Zdroj: program Malování print screen programu Graph B.4. Řada bodů / souřadnic Kromě funkcí je možno zadat i řadu bodů. To je vhodná jak pro znázornění konkrétních souřadnic, vývoj sledovaných veličin, tak ke zvýraznění určitých bodů např. maxim a minim, inflexních bodů, hraničních bodů a podobně. B.4.4 Text, popisky a legenda Kromě funkcí je možné na plochu vložit i text a další symboly. Je možné pohrát si s barvami textu a pořadí či velikostí písma. B.4.5 Výpočty Mezi další funkce patří například výpočet určitého integrálu (délka, obsah). Všechny ikonky nástrojů mají bublinovou nápovědu, takže kdo si chce s funkcemi pohrát více má šanci. K zadané již nakreslené funkci Graph hravě dopočítá a ihned nakreslí derivaci přos Funkce Vložit f (x),nezobrazí však její maximální algebraickou úpravu.

178 78 PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4. Obrázek B.8: Řada bodů Zdroj: program Malování print screen programu Graph Obrázek B.9: Vložení textu Zdroj: program Malování print screen programu Graph B.4.6 Ostatní Na nástrojové liště jsou další ikonky, např. ikonka černých os a červené křivky slouží k dopočítání a zvýraznění souřadnic na vybrané funkci, obrázky lupy či ručky, díky které lze s obrazem libovolně hýbat a posouvat osu, stačí

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Zápočtová písemka Řešení

Zápočtová písemka Řešení Zápočtová písemka Řešení 0. května 0. Spočítejte derivaci následujicí funkce podle x a podle ln x: y ln ln ln x )) + ln ln ln 598 )).. Řešení: Tento člen ln ln ln 598 )) sloužil samozřejmě jen k zmatení

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Derivace a průběh funkce.

Derivace a průběh funkce. Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

INOVACE MATEMATIKY PRO EKONOMY NA VŠE. Anketavroce2008

INOVACE MATEMATIKY PRO EKONOMY NA VŠE. Anketavroce2008 INOVACE MATEMATIKY PRO EKONOMY NA VŠE Anketavroce2008 Dne 11.12.2008 se obrátil člen katedry matematiky doc. RNDr. Jiří Henzler, CSc. na všechny učitele Vysoké školy ekonomické v Praze s následující výzvou:

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více