Matematický model a numerická simulace olověného akumulátoru

Transkript

1 Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: Matematický model a numerická simulace olověného akumulátoru Mathematical model and numerical simulation of lead acid battery Petr Vyroubal, Jiří Maxa, Petr Bača xvyrou02@stud.feec.vutbr.cz, maxa@feec.vutbr.cz, baca@feec.vutbr.cz Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Abstrakt: Simulace je v matematice vědecká metoda, při níž jsou zkoumány vlastnosti určitého systému pomocí experimentů s jeho matematickým modelem. Počítačové simulace se staly nedílnou součástí matematického modelování přirozených systémů ve fyzice, chemii a biologii a daly tak nový pohled do fungování těchto systémů. Tento článek se zabývá matematickým popisem elektrochemických dějů probíhajících při numerické simulaci nabíjení a vybíjení olověného akumulátoru v simulačním prostředí COMSOL Multiphysics. Abstract: In mathematics, the simulation is the scientific method, in which the properties of some systems are studied by experiments with its mathematical model. Computer simulations have become an integral part of mathematical modeling of natural systems in physics, chemistry and biology. This article deals with mathematical description of electrochemical processes, which take a place in the numerical simulation of charging and discharging lead-acid battery.

2 Matematický model a numerická simulace olověného akumulátoru Petr Vyroubal, Jiří Maxa, Petr Bača Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně xvyrou02@stud.feec.vutbr.cz, maxa@feec.vutbr.cz, baca@feec.vutbr.cz Abstrakt Simulace je v matematice vědecká metoda, při níž jsou zkoumány vlastnosti určitého systému pomocí experimentů s jeho matematickým modelem. Počítačové simulace se staly nedílnou součástí matematického modelování přirozených systémů ve fyzice, chemii a biologii a daly tak nový pohled do fungování těchto systémů. Tento článek se zabývá matematickým popisem elektrochemických dějů probíhajících při numerické simulaci nabíjení a vybíjení olověného akumulátoru v simulačním prostředí COMSOL Multiphysics. 1 Úvod COMSOL Multiphysics umožňuje modelování a simulaci fyzikálních procesů popsaných parciálními diferenciálními rovnicemi (PDE) s následným řešením metodou konečných prvků, jejíž princip spočívá v diskretizaci spojitého kontinua do určitého (konečného) počtu prvků, přičemž zjišťované parametry jsou určovány v jednotlivých uzlových bodech těchto prvků. [1]. Tento systém obsahuje velké množství modulů, které umožňují například strukturální simulace v mechanice, proudění tekutin, elektromagnetické pole, přestupy tepla a v neposlední řadě elektrochemické děje. Do řešení je možné zahrnout ně-kolik fyzikálních vlivů najednou a provádět tak komplexnější analýzu modelu (multifyzikální úlohy, viz obrázek 1) [2], [3]. elektrický potenciál na elektrodách elektrický potenciál v elektrolytu koncentrace disociovaných iontů v elektrolytu, zde pórovitost (objemový podíl elektrolytu) porézních elektrod Obrázek 2 znázorňuje chemické reakce probíhající při nabíjení a vybíjení v olověném akumulátoru. Reakce probíhající na kladné elektrodě při vybíjení lze popsat podle následující rovnice: Kombinace vodného roztoku a napětí bude mít za následek vývoj kyslíku na kladné elektrodě podle rovnice [1]: Reakce probíhající na záporné elektrodě při vybíjení lze popsat podle následující rovnice: Nulové napětí na záporné elektrodě má za následek vývoj vodíku podle rovnice: (1) (2) (3) (4) Obrázek 1: Příklad inženýrského problému, který zahrnuje několik typů analýz. 2 Modul Lead Acid Batteries Modul pro olověné baterie provádí výpočet s těmito nezávisle proměnnými veličinami [2], [3], [5]: Obrázek 2: Nabíjecí a vybíjecí cyklus olověného akumulátoru 2.1 Numerický model Kinetika elektrodových dějů je popsána pomocí Butler- Volmerovy rovnice, rychlost elektrodové reakce v závislosti na koncentraci elektrolytu (vyjádřená hodnotou proudové 419

3 hustoty na elektrodě ) je pak exponenciální funkcí hodnoty přepětí[1], [2]: ( ) Kde je výměnná proudová hustota a značí proud který neustále probíhá na povrchu rovnovážné elektrody v obou směrech, referenční koncentrace elektrolytu [, γ je řád reakce [ ], plynová konstanta [ ], teplota [, je Faradayova konstanta [, koeficient přenosu náboje na anodě [, koeficient přenosu náboje na katodě [, předpětí (odchylka potenciálu) η [ je popsáno vztahem [1], [2], [3]: Kde je potenciál elektrody [,, potenciál elektrolytu [V], rovnovážný potenciál elektrody [. Při vybíjení je plocha aktivního povrchu (plocha, kde dochází k vzájemným reakcím mezi elektrodou a elektrolytem), vypočítána dle následující rovnice [1], [2], [3]: (5) (6) (7) Kde ζ je korekce parametr morfologie povrchu [ ], je porozita při plném nabití [ a je porozita ve vybitém stavu [. Tato plocha může být také použita pro postranní reakce, jako je vývoj nebo redukce kyslíku. Při vybíjení je plocha aktivního povrchu (plocha, kde dochází k vzájemným reakcím mezi elektrodou a elektrolytem) [ ], vypočítána dle následující rovnice [1], [2], [3]: Při průchodu proudu iontovými vodiči dochází k transportním, tedy nerovnovážným jevům. Elektrická vodivost v proudových kolektorech a neporézních částech baterie se řídí Ohmovým zákonem [1], [2], [3]: je proudová hustota v neporézních částech baterie, konduktivita elektrody, je potenciál na elektrodě [ ], je transportní číslo [ ] a koncentrace elektrolytu Rovnice popisující přenos náboje v porézních částech baterie se rovněž řídí Ohmovým zákonem doplněným o parametr porozity [1], [2]: (8) (9) (10) Kde je exponent (empiricky zjištěný), který udává korekční faktor efektivního přenosu náboje v elektrolytu a je pak exponent (empiricky zjištěný), který udává korekční faktor efektivního přenosu náboje na elektrodách [1], [2], [3]. Disociované ionty v elektrolytu mohou být přenášeny v důsledku konvekce, migrace a difuze. Počet molekul, které projdou jednotkovou plochou za jednotku času, označme jako látkový tok [ ] [1], [2]: (11) Kde označuje difuzní koeficient [, ve kterém jsou zahrnuty migrační účinky, je průměrná rychlost [ ]. Látkový tok v elektrolytu se při elektrochemické reakci dá vypočítat jako: ( ) (12) Pro následné zpracování výsledků je důležitý následující parametr, který udává úroveň nabití baterie [1], [2]: (13) Změnu porozity v čase na elektrodách, popisuje následující rovnice [1], [2], [3]: ( ) (14) je stechiometrický koeficient olova, je stechiometrický koeficient oxidu olova, je stechiometrický koeficient síranu olova.,, jsou molární objemy olova, oxidu olova a síranu olova. 3 Postup při vytváření modelu Obecně postup při vytváření modelu je v každém simulačním prostředí velice podobný [4]. Základní části simulace: 1) Návrh modelu - Sestavení modelu - zvolit přijatelná zjednodušení modelu 2) Provedení simulace - využití / tvorba programu 420

4 - vizualizace problému - pozorování problému 3) Analýza získaných dat Uživatel při tvorbě modelu vytváří takzvaný modelovací strom, kde definuje geometrii objektu, materiálové vlastnosti, generuje výpočtovou síť a definuje okrajové podmínky řešení [1]. Geometrii zkoumaného modelu lze vytvořit CAD nástroji v grafickém editoru. Podkladem pro řešení úlohy dále mohou být také geometrické modely vytvořené v externích CAD systémech (SolidWorks, ). COMSOL je schopen načítat geometrické soubory ve formátech STL a VRML, které definují model povrchovou sítí, 2D soubory v DXF formátu a modely popsané 3D sítí ve formátu NASTRAN. Na obrázku 3 je příklad geometrie, vytvořené v systému SolidWorks. Obrázek 3: Příklad geometrie mřížky, která slouží jako nosná část pro aktivní materiál desek tvořících kladnou nebo zápornou elektrodu, vytvořeno v systému SolidWorks Zadání okrajových podmínek a vlastností oblastí v modelu je nezbytnou podmínkou pro řešení úlohy. Různým částem geometrie, jako jsou oblasti (domény), plochy, hrany nebo body, mohou být přiřazeny proměnné, výrazy anebo funkce, které lze dále využít při simulaci. Při zadávání materiálů subdomén je k dispozici knihovna předdefinovaných materiálů i chemických prvků. Vytvářený model může obsahovat několik oblastí a každé z nich lze přiřadit vlastnost rozdílného prostředí nebo materiálu. Geometrický model s nastavenými okrajovými podmínkami je připraven pro generování výpočetní sítě, v jejíchž uzlových bodech budou vypočtena potřebná data. Síť může být generována automaticky nebo lze vlastnosti sítě ovlivňovat nastavováním různých parametrů ve zvolených částech modelu. V jednom modelu lze kombinovat několik variant sítí s různým typem elementů [1], [5]. Na obrázku 4 je zobrazen příklad lineárních a kvadratických elementů /prvků) používaných při diskretizaci spojitého kontinua. Lineární prvky mají uzlový bod ve vrcholech daného prvku, kvadratické mají navíc uzlový bod ve středu hrany prvku. Obrázek 4: Příklad prvků, které se používají pro diskretizaci kontinua [5] Pro řešení úlohy obsahuje COMSOL několik typů řešičů pro výpočet lineárních i nelineárních úloh, úloh ve frekvenční a časové oblasti nebo úloh se zvoleným proměnlivým parametrem. Pro řešení soustav lineárních rovnic jsou k dispozici jak přímé tak iterační řešiče. Konečné zpracování výsledků může být provedeno několika způsoby. Multifyzikální úlohy obsahují vždy řadu vypočtených proměnných, které lze ve zvolených jednotkách zobrazovat současně pomocí barevných map, izočar, izoploch, proudnic, částic nebo řezů. Úlohy řešené v čase lze animovat s možností zápisu do formátu AVI, GIF nebo Flash. Zpracovaný model lze uložit ve formátu Java nebo do textového m-file (MATLAB). 3.1 Metoda konečných prvků (MKP) Metoda konečných prvků vznikla díky potřebě řešit složité úlohy z pružnosti a strukturní analýzy v inženýrské praxi. MKP nachází uplatnění v mnoha oborech při vývoji produktů, zpravidla v oblasti strojního inženýrství (např. letecký a automobilní průmysl, biomechanika) [4]. Některé moderní programy MKP (ANSYS, ABAQUS) obsahují specifické nástroje (tepelné, elektromagnetické, fluidní a strukturální simulace) [5]. 4 Experiment Jako demonstrační příklad byl namodelován olověný akumulátor s kapacitou. Pro zjednodušení byl tento akumulátor modelován jako jednorozměrná úloha (viz obrázek 5) a byly na něm nasimulovány vybíjecí křivky pro vybíjecí proudy, a (viz obrázek 6). Obrázek 5: 1D model olověného akumulátoru Tabulka 1: Geometrické rozměry částí akumulátoru Část akumulátoru Délka [mm] Kladná elektroda 0,7 Elektrolyt 1,8 Separátor 0,05 Záporná elektroda 0,7 421

5 Křivky, které znázorňují závislost napětí článku při různém vybíjecím proudu na čase, jsou znázorněny na obrázku 3. Je patrné, že při větším vybíjecím proudu klesá kapacita článku olověného akumulátoru a tudíž napětí článku na konci vybíjecího cyklu je nižší než při aplikaci nižšího vybíjecího proudu. 5 Závěr Pro modelování chemických dějů a pochodů je nutné znát jejich matematickou interpretaci a to jakým způsobem daný simulační program postupuje při řešení jednotlivých úloh. V tomto článku bylo popsáno, jakým způsobem je realizován matematický model olověného akumulátoru v systém COMSOL, který řeší soustavy parciálních diferenciálních rovnic (PDE) pomocí metody konečných prvků. Není nutné realizovat 3D model, pokud jsou známy konstanty a rozměry systému, postačuje k interpretaci 1D model. Po sestavení matematického modelu byla provedena simulace vybíjení olověného akumulátoru, jejíž výsledky odpovídají teoretickým znalostem. Takto nadefinovaný model po úpravě na konkrétní typ olověné baterie slouží jako vstupní krok pro další práci v oblasti matematické analýzy a vyhodnocení elektrochemických dějů v olověné baterii. Poděkování Obrázek 6: Vybíjecí křivky olověného akumulátoru pro 1/5 C, 1/10 C a 1/20C. Postprocesor automaticky počítá průběh koncentrace elektrolytu v závislosti na vzdálenosti v baterii, v našem případě od kladné elektrody až po hranici elektrolytu a separátoru ( viz obrázek 7). Tento příspěvek byl vytvořen za podpory projektu CVVOZE CZ.1.05/2.1.00/ a grantem FEKT-S Literatura [1] VYROUBAL, Petr, MAXA, Jiří a BAČA. Petr. Numerický model olověného akumulátoru. In: 34. Nekonvenční zdroje elektrické energie. Blansko: Česká elektrotechnická společnost, 2013, s ISBN [2] ESFAHANIAN, Vahid, TORABI, Farschad a MOSAHEBI, Ali. An innovative computational algorithm for simulation of lead-acid batteries. Journal of Power Sources. 2008, vol. 176, no 1. Dostupné z DOI: [3] NGUYEN, T.V., WHITE, R.E., SUNU, W. G. a HAAS, Richard. A mathematical model of a hermetically sealed lead-acid cell: Lead-Acid Cell Modelling. Electrochemica Acta. 1993, vol. 38, no 7. Dostupné z DOI: Obrázek 7: Koncentrační profil elektrolytu závislý na hloubce vniku do elektrody na konci vybíjení Při difuzi elektrolytu do pórovité elektrody dochází k lepšímu kontaktu mezi elektrolytem a objemem elektrody, což zlepšuje účinnost elektrochemické reakce, při které dochází ke spotřebovávání na povrchu pórů kladné elektrody a její následné přeměně na. Dochází tedy k poklesu koncentrace elektrolytu v pórech kladné elektrody v závislosti na rostoucím počtu pórů v kontaktu s elektrolytem. [4] VYROUBAL, Petr, MAXA. Jiří a BAČA, Petr. Simulation and mathematical description of charging and discharging of the lead acid accumulator. In: Advanced Batteries Accumulators and Fuel Cells - 13th ABAF. Brno, 2012, s ISBN [5] MKP v inženýrských výpočtech: FEM Lab [online]. [cit ]. Dostupné z: 422