Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.

Transkript

1 3. EZY NA VÁLCÍCH 3.1. VÁLCOVÁ PLOCHA, VÁLEC Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a pímka a rznobžná s rovinou. Všechny pímky rovnobžné s pímkou a protínající kružnici k tvoí kruhovou válcovou plochu. Tyto pímky se nazývají povrchové pímky, kružnice k se nazývá ídící kružnice a pímka jdoucí stedem kružnice k rovnobžn s pímkou a se nazývá stedná. Definice : Rovina rovnobžná s rovinou protíná kruhovou válcovou plochu v kružnici k shodné s kružnicí k. ást prostoru omezená kruhovou válcovou plochou a rovinami se nazývá kruhový válec. Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec. Kolmá kruhová válcová plocha mže vzniknout také rotací povrchové pímky p kolem osy o. Potom se nazývá rotaní válcová plocha. Podobn kolmý kruhový válec mže též vzniknout rotací obdélníka kolem jedné své strany. Potom se nazývá rotaní válec. 39

2 Pokud necháme rotovat obdélník ASS A, rotací bod AA vzniknou podstavné hrany válce (kružnice k a k ), jednotlivé polohy úseky AA pi rotaci se nazývají strany válce. Rotací úseek AS a A S se tvoí podstavy válce (kruhy). Osa rotace je zárove osou válce a délka úseky SS je výška válce v. Definice: Rovnostranný válec je válec, jehož prmr podstavy se rovná výšce. Rotací úseky AA získáme pláš válce. Rozstihneme li jej podél nkteré jeho strany a rozvineme - li jej do roviny, vnikne obdélník o rozmrech v a 2r. Pláš spolu s obma podstavami tvoí povrch válce. Sí válce je rozvinutý povrch do roviny. Pokud hledáme sí válce, je poteba rozvinout jeho podstavy, tedy kružnice, do pímek. Tomuto postupu se íká rektifikace kružnice. Jednou z rektifikací ( a také používanou v této práci) je Sobotkova rektifikace kružnice. Její konstrukce je patrná z následujícího obrázku. Definice: Rovina rovnobžná s povrchovými pímkami válce se nazývá smrová rovina. ezem smrové roviny a válce je rovnobžník. Pi ezech smrovou rovinou využíváme toho, že dv strany rovnobžníka jsou pímo povrchovými pímkami válce. Staí tedy najít prsenici podstavy válce a roviny ezu a zbytek ezu jednoduše doplnit. Smrových rovin se opt využívá pi hledání prseík pímky a válce. 40

3 3.2. KONSTRUKCE EZ NA VÁLCÍCH QUÉTELETOVA DANDELINOVA VTA Vta: Rotaní válcová plocha je proata rovinou, která není rovnobžná s jejími povrchovými pímkami a ani k nim není kolmá, v elipse. Sted elipsy je na ose válcové plochy a její ohniska jsou dotykové body kulových ploch, které jsou válcové ploše vepsány a dotýkají se roviny ezu. Délka její vedlejší poloosy se rovná polomru válcové plochy. Dkaz : Ozname F a F dotykové body kulových ploch s rovinou ezu. Dále ozname roviny, v nichž leží dotykové kružnice válcové plochy a vepsaných kulových ploch,. Zvolíme li libovolnou povrchovou pímku p rotaní válcové plochy, protne roviny,, v bodech P, P, P. Nebo teny z bodu P ke kulovým plochám mají stejnou délku, platí: F P = P P a PF = PP F P + PF = P P + PP = P P = A A = A A + AA = F A + AF = AF + BF (plyne z podobnosti trojúhelníku S B X a S F Y) = AB Je tedy dokázáno, že ezem je množina bod, které mají stejný souet vzdáleností od dvou daných bod F a F rovný AB, tedy elipsa. Nebo nejvyšší bod ezu musí ležet na spádové pímce roviny ezu, potom na ní leží hlavní osa elipsy. Vedlejší osa je k ní kolmá, a tedy leží na hlavní pímce roviny ezu. 41

4 Pro sestrojování ez na válcích se dále využívá toho, že kružnice a elipsa jsou ve vzájemném vztahu osové afinity. OSOVÁ AFINITA MEZI KRUŽNICÍ A ELIPSOU Definice : Dva prmry kružnice nebo elipsy tvoí dvojici sdružených prmr, pokud teny v krajních bodech jednoho prmru jsou rovnobžné s druhým prmrem. Vta: V osové afinit kružnici nebo elipse odpovídá opt kružnice nebo elipsa, pitom sdruženým prmrm odpovídají opt sdružené prmry. Dsledek : Rovnobžným prmtem kružnice nebo elipsy, jejíž rovina není promítací, je kružnice nebo elipsa. Sted prmtu je prmtem stedu dané kružnice nebo elipsy. Sdružené prmry dané kružnice nebo elipsy se promítají do sdružených prmr prmtu. KONSTRUKCE AFINNÍ ELIPSY K DANÉ KRUŽNICI: Je dána kružnice k se stedem S. Dále je dána osa afinity a také bod S, který v dané osové afinit odpovídá bodu S. Afinní elipsu sestrojíme tak, že vezmeme dva libovolné kolmé prmry kružnice a k nim afinn najdeme dva prmry elipsy. Elipsu mžeme pomocí obecných sdružených prmr vyrýsovat Rytzovu konstrukcí (viz. dále) 42

5 Pokud chci najít pímo hlavní a vedlejší osu elipsy, musí pravý úhel mezi prmry kružnice pejít do pravého úhlu mezi prmry elipsy, musí jejich stedy SS ležet na Thaletov kružnici, která má sted na ose afinity. Hledané osy jsou potom spojnice sted s body, kde Thaletova kružnice protne osu (body I, II) Osové afinity mezi kružnicí a elipsou lze využít i k ešení nkterých úloh o elipse a také k odvození konstrukcí elipsy. Trojúhelníková konstrukce elipsy : Elipsa je dána svými osami AB a CD. Poté mžeme volit dv afinní kružnice k a k, které jsou opsány nad prmry AB (k ) a CD (k ). 1. afinita : osa AB, C - > C a D - > D, tedy smr afinity je rovnobžný s vedlejší osou elipsy. 2. afinita : osa CD, A - > A a B - > B, tedy smr afinity je rovnobžný s hlavní osou elipsy. Vedeme - li libovolnou polopímku z bodu S, protne kružnice k a k v bodech M a M, kterým v odpovídá v afinit bod M na elipse. Z bodu M tedy vedu paprsek smru afinity rovnobžný s vedlejší osou a z bodu M s hlavní osou. V jejich prseíku je hledaný bod M na elipse. 43

6 Z trojúhelníkové konstrukce vychází také proužkové konstrukce elipsy Proužková konstrukce elipsy : 1. soutová : Pohybují li se krajní body úseky XY konstantní délky (a + b) po hlavní a vedlejší ose elipsy (X po hlavní, Y po vedlejší), pak libovolný bod M uvnit úseky opisuje elipsu, piemž platí: a = MY, b = MX. 2. rozdílová : Pohybují li se krajní body úseky XY konstantní délky (a + b) po hlavní a vedlejší ose elipsy (X po hlavní, Y po vedlejší), pak libovolný bod M pímky XY vn úseky XY opisuje elipsu, piemž platí : a = MY, b = MX Využití pi praktických konstrukcích : Elipsa je dána hlavními vrcholy a obecným bodem M. Bod M je sted kružnice k o polomru a. Prseík Y kružnice a vedlejší osy spojíme s bodem M a najdeme prseík s hlavní osou, bod X. Vzdálenost MX je rovna velikosti vedlejší poloosy. Podle toho, který prseík kružnice k s vedlejší osou vezmeme, použijeme rozdílovou nebo soutovou konstrukci. 44

7 Rytzova konstrukce elipsy : Pomocí ní mžeme sestrojit hlavní a vedlejší osu elipsy z jejích sdružených prmr. Popis konstrukce : Bodem S vedeme kolmici k delšímu z prmr (p -> p ) a peneseme na nj jeho velikost (SP 1 -> P). Bod P spojíme s bližším z krajních bod druhého prmru (bod Q 2 ). Sestrojíme kružnici sted O úseky PQ 2 a dále kružnici k (O, OS ). Prodloužíme li úseku PQ 2 až k hranici kružnice, dostaneme body X a Y. Platí, že spojnice bod Y a S je hlavní osa elipsy a spojnice bod X a S je vedlejší osa elipsy. Jejich velikosti jsou následující: a = PY = Q 2 X, b = PX = Q 2 Y. Dkaz : Vychází opt z trojúhelníkové konstrukce elipsy. Trojúhelníky P 1 12 a Q 2 43 jsou shodné, nebo body2,4 a 1,3 leží na stejných kružnicích a pímky 1S a 3S jsou kolmé. Dále v rotaci o 90 se stedem v bod S pejde trojúhelník P 1 12 do trojúhelníku P34 ( bod 2 pejde do bodu 4). Vznikne tak obdélník Q 2 4P3 o úhlopíce Q 2 P, jejíž velikost je rovna (a b). Nebo body X a Y leží na kružnici o stedu O, platí : YQ 2 = PX = 4S = b Q 2 X = PY = 3S = a 45

8 Pi konstruování ez na válcích se tedy využívá toho, že hlavní osa ezné elipsy leží na spádové pímce a vedlejší osa na hlavní pímce. Dále se využívá afinity mezi kružnicí a elipsou i mezi elipsou a elipsou (sdružené prmry se zobrazí na sdružené prmry. Výsledná elipsa se asto hledá pomocí Rytzovy konstrukce. 46

9 Píklad 20 (Píklad I) : Sestrojte ez daného válce rovinou a urete sí seíznuté ásti. Popis konstrukce : V náryse se ezná elipsa zobrazí do kružnice. Její dva kolmé prmry (AB na spádové pímce s a CD na hlavní pímce druhé osnovy 2 h) se v pdoryse zobrazí do sdružených prmr. Elipsu zde sestrojíme pomocí Rytzovy konstrukce. Body pechodu viditelnosti T T pro pdorys leží v náryse na hlavní pímce první osnovy 1 h. Pro sestrojení sít se nám povrchové pímky jeví ve skutené velikosti v pdoryse. Kružnice je pevedena do pímky pomocí Sobotkovy rektifikace kružnice. Rozdlení kružnice na dvanáctiny je využito i pro sestrojení plášt. Skutenou velikost ezné elipsy zjistíme sklopením hlavní a vedlejší osy. 47

10 Píklad 21 (Píklad J) : Sestrojte ez daného válce rovinou, která je dána body K, L, M. Popis konstrukce : Bod K je nárysným stopníkem roviny, = (K,L,M). Stopy roviny uríme pomocí stopník pímky LM. Vidíme, že pdorysná stopa protíná podstavu, ezem proto bude pouze ást elipsy. Ta se v pdoryse zobrazí do ásti kružnice, její kolmé prmry na pímkách 1 h 1 a s 1 se v náryse zobrazí do sdružených prmr na pímkách 1 h 2 a s 2. V náryse dorýsujeme elipsu pomocí Rytzovy konstrukce. Bod pechodu viditelnosti T pro nárys leží v pdoryse na pímce 2 h 1. 48

11 Píklad 22 (Píklad K) : Sestrojte ez daného válce rovinou. Popis konstrukce : ezná elipsa se v náryse i v pdoryse zobrazí jako elipsa. Proto musíme pi hledání jejích sdružených prmr vycházet z podstavné kružnice (v pdoryse). Sted ezné elipsy je v prseíku roviny a osy válce o. Hledáme tedy k podstavné kružnici afinní elipsu v afinit s osou v pdorysné stop a se smrem SO. Nalezení tch prmr kružnice, které se zobrazí pímo do os elipsy v tomto píklad nevychází, proto hledáme sdružené prmry A 1 B 1 a C 1 D 1. Odvodíme je do nárysu a v obou prmtech elipsy rýsujeme opt pomocí Rytzovy konstrukce. Body pechodu viditelnosti pro nárys jsou body AB, pro pdorys body T T. 49

12 Píklad 23 : sestrojte ez daného válce rovinou. Popis konstrukce: Obdobn jako v píklad 22 se ezná elipsa v náryse i v pdoryse zobrazí jako elipsa. Proto musíme pi hledání jejích sdružených prmr vycházet z podstavné kružnice (v pdoryse). Sted ezné elipsy je v prseíku roviny a osy válce o. Hledáme tedy k podstavné kružnici afinní elipsu v afinit s osou v pdorysné stop a se smrem SO. Nalezení tch prmr kružnice, které se zobrazí pímo do os elipsy, v tomto píklad díky poloze roviny vychází. Najdeme je pomocí Thaletovy kružnice k. Hlavní a vedlejší vrcholy ABCD odvodíme do nárysu, kde pro sestrojení elipsy musíme použít Rytzovu konstrukci. Body pechodu viditelnosti pro pdorys jsou T a T, pro nárys U a U. 50

13 Píklad 24 : Sestrojte ez válce s podstavou v rovin smrovou rovinou, která obsahuje pímku p. Popis konstrukce : Zvolíme libovolnou pímku q rznobžnou s p a rovnobžnou s povrchovými pímkami. Nyní hledáme prseíky pímek p a q s rovinou podstavy (pomocí krycích pímek m a n). Spojnice prseík M a N, pímka r, je prsenice smrové roviny a roviny podstavy válce. Zbytek ezu doplníme pomocí rovnobžnosti s povrchovými pímkami. 51

14 Píklad 25 : Sestrojte ez válce, jehož podstava leží v rovin, danou rovinou. Popis konstrukce : ezem je elipsa, jejíž sted O je prseík osy válce a roviny ezu. Hledáme osu afinity elipsou ezu a elipsou podstavy, což je prsenice rovin a, pímka r. Nyní máme dánu afinitu osou r a odpovídajícími si body S a O. V náryse hlavní a vedlejší osa elipsy pejdou v afinit do sdružených prmr. Na hlavní ose leží i body pechodu viditelnosti. Do pdorysu pevedeme pímky sdružených prmr z nárysu a opt dorýsujeme pomocí Rytzovy konstrukce. Body pechodu viditelnosti pro pdorys odvodíme z nárysu. Na hlavní pímce první osnovy leží body na podstav, které odpovídají bodm pechodu viditelnosti na elipse pro pdorys. 52