HRAVÁ MATEMATIKA JMÉNO ŠKOLA

Transkript

1 HRAVÁ MATEMATIKA 9 JMÉNO ŠKOLA TŘÍDA ŠKOLNÍ ROK Úloh označené mají všší náročnost. I. OPAKOVÁNÍ Z 8. ROČNÍKU II. SOUSTAVY ROVNIC 3 III. FUNKCE 7 IV. LOMENÉ VÝRAZY 43 V. OPAKOVÁNÍ Z GEOMETRIE 6 VI. PODOBNOST 7 VII. JEHLAN, KUŽEL, KOULE 80 VIII. GONIOMETRIE 93 IX. FINANČNÍ MATEMATIKA 05 Pracovní sešit pro 9. ročník ZŠ. vdání, 04 Vdal: Taktik International, spol. s r.o., P. O. BOX 36, Jindřišská 4, Praha Autoři: Mgr. Jana Presová, Mgr. Jana Davidová, Mgr. Dana Hermochová Lektoři: Mgr. Alena Hronová, Mgr. Markéta Vlková, Ing. Květa Tošnerová Spolupracovníci: RNDr. Ivana Šimurdová, Mgr. Monika Pavlíková, Mgr. Jan Podpěra, Mgr. Eva Slezáková, Mgr. Michal Malík, Mgr. Alena Máslová Grafická úprava: Bc. Marek Bárta, Jan Kubeš, MgA. Josef Tauš Projektový manager: Ing. Valerián Stec Produktový manager: Michaela Červená, Růžena Samková Všechna práva vhrazena. Kopírování a šíření tohoto díla i jeho části bez písemného souhlasu vdavatele je trestné. ISBN

2 CELÁ ČÍSLA A ZLOMKY. Najdi v nabídce nejmenší společné násobk a největší společné dělitele daných čísel a) n (9, 4) = 7 D (9, 4) = 3 b) n (8, 70) = 80 D (8, 70) = 7 c) n (7, 44, 80) = 70 D (7, 44, 80) = 36 Která čísla zbla? Kdž je sečteš, získáš tajný kód k trezoru. Kód k trezoru je Převeď zlomk na desetinná čísla. 3 8 = = 57 0,375,5 5 = 0, Uprav složený zlomek na základní tvar. 3 = 5 4. Je dán zlomek 3 a smíšené číslo. Podle poknů v tabulce sestav příklad a vpočítej je. 5 Zachovej pořadí zlomků. Tto výsledk uspořádej podle velikosti od nejmenšího k největšímu. Ve stejném pořadí pak zapiš slova u každého příkladu a vjde ti tajenka. Součet zlomků 5 není Rozdíl zlomků 3 5 má ráda Součin zlomků 3 5 víc než Podíl zlomků 5 8 kdž tě ta Podíl rozdílu a součinu zlomků 00 Součet rozdílu a součinu zlomků 7 5 Tajenka: není víc než, kdž tě ta má ráda.

3 POMĚR A PROCENTA. Porovnej jednotlivé výsledk.. Vpočítej. 30 % z 00 = 75 % z 80 5 % z km = 500 m 0 % z 45 < 90 % z 70 % z 5 t = 3500 kg % z 500 > 5 % z 8 5 % z 86 kg = 4300 g 40 % z 70 = 70 % z 40 % z 00 l =,3 hl 3. Na narozeninovou párt připravujeme koktejl. Ze smetan, ananasového džusu a kokosového sirupu chceme vrobit 3,4 l Virgin Colad. Koktejl obsahuje 7 % smetan, 0 % kokosového sirupu. Kolik ml jednotlivých složek koktejl obsahuje? smetana kokos. sirup ananas. džus 578 ml 680 ml 4 ml 4. Změň číslo v daném poměru. Nejprve rozhodni, zda se číslo zvětší nebo zmenší. Původní číslo Poměr Zvětšení / zmenšení Výsledné číslo 00 : : 5 4,5 9 : 3 4 : zmenší se zmenší se zvětší se zvětší se 5,4 3, Délk stran trojúhelníku ABC jsou v daných poměrech. Vjádři je postupným poměrem. a : b = 5 : 4 b : c = 3 : 4 a : b : c = 5 : : 6 Mozek vorvaně patří mezi největší savčí mozk. Jeho hmotnost je 9 kg. Vzhledem k hmotnosti sloního mozku se dá vjádřit poměrem 3 :. Poměr hmotnosti lidského mozku vzhledem ke slonímu je : 4. V jakém poměru je hmotnost lidského mozku vzhledem k vorvaňovu mozku? Urči hmotnost lidského mozku. Hmotnosti lidského a vorvaňova mozku jsou v poměru : 6. Hmotnost lidského mozku je,5 kg. I. OPAKOVÁNÍ Z 8. ROČNÍKU 3

4 MOCNINY A ODMOCNINY. Vpočítej a výsledk seřaď podle velikosti od nejmenšího po největší. a) ( ) 7 = c) 6 = 36 e) ( 4) = 6 b) 3 = 8 d) ( ) 3 = 8 f) 9 = , 8,, 8, 6, 7. Vpočítej. Pak příklad se stejnými výsledk zapiš do bublin. a) ( ) 5 = d) 4 0 = g) ( 6) 0 = b) ( ) 8 = e) ( ) 5 = h) 4 = c) 7 0 = f) 8 = i) ( ) 0 = A, H, D B, C, E, F, G, I 3. Vpočítej příklad bez použití kalkulačk a) ( 64 9) : 4 = 6 c) = b) 0,36 : 0, = d) = 3 ( 00) Vpočítej co nejjednodušším způsobem. Výsledek zapiš ve tvaru mocnin a) = c) 4 ( ) 3 = b) = Jsou následující rovnosti pravdivé? ANO NE a) 3,58 +,4 = 6 b) 5 4 = 0 c) 50 4 = 50 4 d) + 5 = ( + 5) 6. Monika má zrcadlo ve tvaru čtverce, které zakrývá 665,64 cm stěn pokoje. Jak dlouhá je jedna strana zrcadla? Strana zrcadla je dlouhá 5,8 cm. 4

5 UŽITÍ PYTHAGOROVY VĚTY. Urči, jaká je výška stanu s přední stěnou tvaru rovnoramenného trojúhelníku, jehož šířka je 3,8 m a boční hrana má,6 m. Výška stran je,8 m.. Zjisti, které trojúhelník jsou pravoúhlé. a) a =,5 cm; b = 3,4 cm; c = 4,9 cm b) k = 6 cm; l = 6, cm; m =, cm c) o = 4,4 cm; p = 3, cm; q =,9 cm d) =,5 dm; = 0,8 dm; z =,7 dm není pravoúhlý je pravoúhlý není pravoúhlý je pravoúhlý 3. Matěj si chce koupit nový tablet. U tabletu ve tvaru obdélníku se stranami 3 cm a 8 cm prodejce tvrdí, že má úhlopříčku dlouhou přesně cm. Matějovi se to nezdá. Ověř, jestli má prodejce pravdu. u =, cm Prodejce nemá pravdu. 4. Vpočítej třetí stran trojúhelníků tak, ab bl pravoúhlé. Bude-li potřeba, výsledk zaokrouhli na dvě desetinná místa. Vpočítej přeponu. a) a = 5,5 cm; b = 4,8 cm; c =... Vpočítej odvěsnu. b) =,9 dm; = 5,6 dm; z =... c = 7,3 cm 5. Je dán kvádr s podstavou 7 cm 3,9 cm a tělesovou úhlopříčkou 9 cm. Urči výšku kvádru a délku úhlopříčk podstav. Výsledk zaokrouhli na jedno desetinné místo. Výška kvádru je 4, cm a délka úhlopříčk podstav je 8 cm. z = 4,8 dm I. OPAKOVÁNÍ Z 8. ROČNÍKU 5

6 6. Poloměr kruhu na obrázku je 8 cm. a) Vpočítej délku stran, obvod a obsah červeně ohraničeného čtverce. S = 64 cm, a = 8 cm, o = 3 cm b) Vpočítej obsah zeleně ohraničeného čtverce. S = 8 cm VÝRAZY A MNOHOČLENY. Zapiš výrazem, kolik každý z chlapců měří, jestliže Petr měří cm. Potom vpočítej jejich výšk, kdž víš, že Petr měří 78 cm. Kuba je o 3 cm všší než Petr. Milan je o 5 cm menší než Kuba. Hnkova výška zvětšená o 7 cm je rovna dvojnásobku výšk Petra. ( + 3) cm ( ) cm ( 7) cm Kuba: 8 cm Milan: 66 cm Hnek: 84 cm. Zjednoduš výraz. a) = b) 8( + 3 ) + 36 = 4 + c) = d) ( 3)( + 5) + 3( + 5 ) =

7 3. Spoj výraz, které jsou si rovn. (a ) (a + ) (a 3) (a + ) (a 3) a + 4 a (a + ) a (a ) (a + 4) a 3a 4 a + a a a 3 a 3a + 4 a a 4. Rozlož výraz na součin mnohočlenů. a) + = ( ) c) = (3 + 4) b) a + ab 3a 3b = (a + b) (a 3) d) a 4 a 6 = a 4 ( a) ( + a) LINEÁRNÍ ROVNICE. Vřeš rovnice a proveď zkoušk. a) 5( ) 7( + ) = 3( ) = 5 L = P = 7 b) ( 3) ( + ) = ( ) = L = P = 3 c) =, = 0 L = P =, I. OPAKOVÁNÍ Z 8. ROČNÍKU 7

8 . Zjisti, pro která { ; 0; ; 3; 5} jsou si výraz 3 6a 6 rovn. Výraz jsou si rovn pro = 0 a = Tři studentk si na letní brigádě dohromad vdělal 780 Kč. Částku si rozdělil podle toho, jak dlouho pracoval. Pavlína dostala o třetinu méně než Hanka. Eva dostala o sto korun méně než Hanka. Kolik dostala každá z nich? Hanka dostala 705 Kč, Pavlína 470 Kč a Eva 605 Kč. 4. Neoprenové tričko blo zlevněno o 00 Kč. Původní cena trička zvýšená o Kč je šestkrát všší než výše slev. Kolik stálo tričko před zlevněním a kolik po zlevnění? Před zlevněním stálo tričko 599 Kč a po zlevnění 499 Kč. 5. Kamarádi o víkendu hráli paintball. Vendelín během 0 minut vstřílel polovinu kuliček ze zásobníku. Za dalších deset minut přišel o 3 zbtku a za dalších pět minut vstřílel i zbývajících 35 kuliček. Kolik kuliček měl Vendelín v zásobníku původně? Vendelín měl v zásobníku celkem 0 kuliček. 8

9 STATISTIKA A PRAVDĚPODOBNOST. Dvě stě žáků ze základní škol vplnilo anketu, kterému z nabízených sportů se věnovali v životě nejvíce. Výsledk jsou znázorněn pomocí kruhového diagramu. Urči, kolik žáků se věnovalo jednotlivým sportům. florbal lžování tenis plavání cklistika 40 žáků 7 žáků 5 žáků 9 žáků 44 žáků florbal (0 %) lžování (36 %) tenis (7,5 %) plavání (4,5 %) cklistika (%). Nakresli sloupcový diagram k dané tabulce. Tabulka vjadřuje, kolik telefonů určité značk se prodalo v elektroprodejně za měsíc. Vpočítej modus a medián značek prodaných telefonů. Kolik kusů telefonů se průměrně prodalo od jedné značk? Značka Počet kusů Samsung 0 Nokia 0 Siemens 5 Apple 30 Motorola 7 Son 8 počet kusů Sam. Nok. Sie. App. Mot. Son. značka V užším výběru Miss World porotci zjišťovali barvu očí finalistek. Výsledk zapsali do následující tabulk. Urči modus. Barva očí Hnědá Zelená Modrá Černá Šedá Počet finalistek Modus: hnědá Urči pravděpodobnost, že na hrací kostce padnou daná čísla. a) číslo větší než 4 b) sudé číslo Pravděpodobnost je Pravděpodobnost je 3 I. OPAKOVÁNÍ Z 8. ROČNÍKU 9

10 VYJÁDŘENÍ NEZNÁMÉ ZE VZORCE. Tvoje spolužačka Vendula chce vsvětlit, jak se vjadřuje neznámá ze vzorce. Co musí udělat nejdřív, ab ze vzorce 3 5 = 0 vjádřila? Zapiš pořadí, ve kterém bude provádět jednotlivé krok a) převede se na druhou stranu b) odmocní c) vdělí rovnici dvěma. Ze vzorce pro výpočet obsahu obdélníku vjádři stranu b a pak ji vpočítej. Obsah obdélníku je 50 dm a strana a = 300 cm. 3. Ze vzorce pro výpočet objemu válce vjádři výšku a pak ji vpočítej. Objem válce je 57 cm 3 a poloměr podstav je cm. b = S v = V a πr b = 50 cm v =,5 cm 4. Vber správnou možnost. a) Zakroužkuj vjádření neznámé ze vzorce. b) Zakroužkuj vjádření neznámé ze vzorce. 5 = = +,5 = = + 5 : = Kruh i čtverec na obrázku mají stejný obsah. Vjádři závislost délk stran čtverce a na poloměru kruhu r a pak závislost poloměru kruhu r na délce stran čtverce a. a = π r r = a π a + r 0

11 SOUHRNNÝ TEST. Vpočítej a výsledek zapiš jako desetinné číslo. a) ( ) ( 5 5 ) = 0,95 b) =,4. Zoologická zahrada ve své výroční zprávě zveřejnila přehled chovaných zvířat z podkmene obratlovců. a) Doplň tabulku. Třída Počet kusů chovaných druhů Rb 45 Počet chovaných druhů v % Obojživelníci 6 Plazi 38 9 Ptáci 59 9,5 Savci 46 Celkem 00, b) V jakém poměru jsou počt chovaných druhů rb a obojživelníků? Poměr uprav na základní tvar. Rb a obojživelníci jsou chované v poměru 5 : 4. c) Dokonči kruhový diagram. 3. 9,5 % 3 % rb obojživelníci 9 %,5 % plazi... ptáci 6 %... savci Vpočítej a výsledk znázorni na číselné ose. 3 = ( ) 6 = 0,5 = 3 = 3 5 = 50 = 7 9 0, I. OPAKOVÁNÍ Z 8. ROČNÍKU

12 4. Z jedné obdélníkové desk chce truhlář vtvořit dvě stejné desk tvaru trojúhelníku. Deska má rozměr dm a 9 dm. Vpočítej délku řezu. Délka řezu desk je 5 dm. 5. Uprav výraz. O správnosti svého postupu se přesvědč dosazením za b = 3 do původního a upraveného výrazu. a) (b + ) (b 3) = b + b 6 = 9 b) (b ) b (b 3) = b + 4 = 7 6. Kastelán počítal návštěvnost hradu ve druhém čtvrtletí roku 04. Zjistil, že v dubnu přišlo o 70 návštěvníků méně než v květnu a oproti červnu bla dubnová návštěvnost poloviční. Celkem v těchto třech měsících hrad navštívilo 870 lidí. Jaká bla návštěvnost v jednotlivých měsících? Návštěvnost bla v dubnu 00, v květnu 70 a v červnu 400 návštěvníků. 7. Ve skupině angličtinářů bli z písemného testu hodnoceni žáci těmito známkami:,,, 3, 5,,,, 3,, 3,. a) Zapiš četnost známek do tabulk. c) Vpočítej aritmetický průměr známek a výsledek zaokrouhli na setin. Známka Aritmetický průměr známek je,08. Četnost b) Urči medián a modus. Medián: Modus: 8. Z každého vzorce pro obsah obrazce vjádři proměnnou a. S = a b a = S S = a b S = a b a = S S = a + c v b a = S a = S c v

13 OPAKOVÁNÍ ZNALOSTÍ O ROVNICÍCH. Rozhodni, zda se jedná o ekvivalentní úprav rovnice. ANO NE K oběma stranám rovnice přičteme /odečteme stejné číslo. Obě stran rovnice vnásobíme libovolným stejným číslem. K levé straně rovnice přičteme libovolné číslo různé od nul. Od obou stran rovnice odečteme stejný mnohočlen. Pravou stranu rovnice můžeme vnásobit číslem. Obě stran rovnice můžeme vdělit stejným číslem různým od nul.. Vpočítej rovnice a proveď zkoušku. a) 9 m 8 = 6 m 4 b) 5 ( z + 6) = 3 ( z ) m = 8 L = P = 90 z = 4 L = P = 4 3. Znak X označuje určitý stejný počet kusů jablek. Podle váh zapiš rovnici, vužij ekvivalentních úprav a z rovnice zjisti, kolik je X jablek. Proveď zkoušku. = 3 L = P = 3 X X X X X X jsou 3 jablka. 4. Piráti si dělili ukradené zlaťák. První dostal 3 zlaťáků, druhý 4 zlaťáků a třetí 40 % z celkového počtu zlaťáků. Kolik zlaťáků piráti ukradli? Piráti uloupili 90 zlaťáků. II. SOUSTAVY ROVNIC 3

14 CO JE TO SOUSTAVA ROVNIC. Najdi alespoň tři dvojice čísel a, které jsou řešením rovnice o dvou neznámých. Proveď zkoušku. 5 3 = VOŽ. Doplň tabulku dvojic čísel tak, ab bl řešením rovnice 3 + = ,5 3. Z každé rovnice postupně vjádři obě neznámé. a) 3 + = 7 b) 7 = 3 = 7 3 m + 3n = m = 0 6n n = 5 0 m 6 4. Řeš soustav rovnic a proveď zkoušku. = 6 = 4 0 a + b = 3 a b = [ ; ] [; ] 5. Urči, která z uspořádaných dvojic čísel je řešením obou rovnic. + = 3 [; ] [; ] [; ] [; ] 3 = 5 4

15 DOSAZOVACÍ METODA. Nacvič si výpočet soustav rovnic metodou dosazovací. Jednu neznámou představuje a druhou neznámou představuje. Nejprve si vjádři z první rovnice a potom ho dosaď do druhé rovnice. Proveď zkoušku. 3 = + = 9 = = 4 = 5 L = P = 9 L = P =. Vpočítej soustav rovnic metodou dosazovací. Urči, která soustava rovnic má jedno, žádné a nekonečně mnoho řešení. Pokud je to možné, proveď zkoušku. a) + = 7 c) a b = = 7 6a 3b = 7 [4; ] L = P = 7 L = P = 7 nemá řešení 7 b) + = 3 d) = = = nekonečně mnoho řešení [a, 3 a ]; a R 3 [3; 5] L = P = 0 L = P = 7 II. SOUSTAVY ROVNIC 5

16 3. Lenka přepisovala soustavu rovnic ze sešitu na papír. Přitom však udělala několik chb. Najdeš je? Proveď zkoušku = /. 9 Zk.: + = = 8 + = 3 = 3 3. ( 3 + ) + = = 8 8 = = 4 /: ( 8) = 3 [7; 3] = 3. (-3) = 9 + = 7. rovnice L = P =. rovnice L = P = 9 4. V obchodě IKEA prodávají celkem 9 stolů. Psacích je o 5 více než jídelních. Kolik prodávají stolů psacích a kolik stolů jídelních? Vpočítej metodou dosazovací. Psacích stolů je 7, jídelních je. 5. Zapletalovi se vracejí z dovolené ve Francii a v peněžence jim zbývá několik drobných euro mincí v hodnotě a. Celkový počet kusů mincí je 58 a jejich celková hodnota je 89. Kolik mají mincí v hodnotě a kolik v hodnotě? mincí je 3; mincí je Tomáš má dvě přihrádk s CD-ROM. Aritmetický průměr počtu CD v obou přihrádkách je 30. Kdb přidal do první přihrádk dalších 0 CD, blo b jich zde,5 krát více než ve druhé přihrádce. Kolik CD je v každé přihrádce? V první přihrádce je 3 CD, ve druhé je 8 CD. 6

17 SČÍTACÍ METODA. Soustava rovnic je řešená sčítací metodou. Chbějící údaje doplň do kroužků. Proveď zkoušku. 7 = / = 4 4 = 7 = ZK: = 7 = L = = 7 P = = + = 8 L = 9 = 9 = 4 P = = [; 4 ] L = P = L = P =. Vpočítej soustav rovnic sčítací metodou. Proveď zkoušk. a) 6 m + n = 0 m 4 n = [3; ] L = P = 0 L = P = c) 3 +,7 = 5 0,9 = 0, [0,; ] L = P = L = P = 0,4 b) a + 5 = 0 4 a b = 0 d) ( t + 3) + s = 4 3 (4 t + s) = 7 [,5;,5] L = P = 0 L = P = 0 nemá řešení II. SOUSTAVY ROVNIC 7

18 3. Počet obvatel Londýna je o všší než počet obvatel Paříže. Čtřnásobný počet obvatel Paříže je o nižší než počet obvatel Londýna. Jaký je počet obvatel Londýna a Paříže? V Londýně žije a v Paříži obvatel. 4. V sále se svítí 4 žárovkami. Některé z nich jsou staré klasické s příkonem 60 W. Ostatní již bl vměněn za nové moderní LED žárovk s příkonem 9 W. Kolik je již vměněno žárovek, jestliže příkon sálu je nní 43 W? Vměnilo se 8 žárovek. SROVNÁVACÍ METODA. Zopakuj si vjadřování neznámé z daných rovnic. 7 3 a) = 7 = b) = = Ze všech rovnic vjádři neznámou a tvoř soustav rovnic vžd s rovnicí v rámečku. Řeš metodou srovnávací. Proveď zkoušk. 3 = 7 a) + 6 = = b) 3 = 5 = [ ; 0,5] L = P = L = P = 7 nemá řešení 8

19 ŘEŠENÍ SOUSTAV ROVNIC. Řeš soustav rovnic danými metodami a proveď zkoušku. a) metoda sčítací a dosazovací b) metoda dosazovací a srovnávací 3 + = = + 5 = + 9 = [7; 3] L = P = 8 L = P = [8; ] L = P = L = P =. Při dostavbě dálnice D8 bli investoři nuceni novou část stavb rozdělit na dva úsek. První úsek je 3,5 krát delší než druhý. Celková délka obou úseků dálnice je 54 km. Jakou délku mají oba úsek dálnice? Vpočítej libovolnou metodou.. úsek je dlouhý 4 km,. úsek je dlouhý km. 3. Na večírek přišlo o 0 chlapců méně než děvčat. Po odchodu sedmi chlapců a jedné slečn zblo na večírku dvakrát více děvčat než chlapců. Kolik chlapců a kolik děvčat přišlo na večírek? Na večírku blo 33 dívek a 3 chlapců. II. SOUSTAVY ROVNIC 9

20 4. Řeš rovnice. a) 4s + t = 4 s 3t = 7 c) 4 3 = = 7 [ ; 3] nemá řešení L = P = 4 L = P = 7 b) 6 = = 3 7 d) 5 ( ) + = 7 (5 6) = 3 4 [0; ] L = P = 0 L = P = 3 [ ; 0,] L = P = 7 L = P = 0 SLOVNÍ ÚLOHY O SMĚSÍCH A ROZTOCÍCH. V prodejně Oalis prodávají míchané čaje. Blink do čajů vkupují od dodavatele za cen uvedené v zelené tabulce. Do modré tabulk doplň cen směsí blinných čajů. V čaji jsou složk obsažen ve stejném množství. Blinka Cena za kg v Kč Meduňka lékařská Máta kadeřavá Pelněk pravý Andělika lékařská plod Heřmánek římský Složk čajů Cena za kg směsi v Kč Meduňka + máta Meduňka + heřmánek Pelněk + andělika Meduňka + máta + heřmánek

21 . Jana koupila na zeleninový salát rajčata cherr v ceně 8 Kč za kg a ledový salát v ceně 48 Kč za kg. Kolik kg rajčat a kolik kg salátu Jana koupila, jestliže zaplatila 95 Kč za 3 kg zelenin? 9 Jana koupila 7 kg rajčat a kg salátu V luusní pralinkárně připravili kg směsi dvou druhů bonbónů v ceně 70 Kč za kg. Marcipánové bonbón stojí 345 Kč/kg a nugátové 55 Kč/kg. Kolik kilogramů každého druhu bonbónů blo použito? Marcipánu blo kg, nugátu blo 0 kg. 4. V nemocnici v Kladně dezinfikují přístroje v nádobě, do které se vlévá 5 litrů dezinfekčního roztoku o koncentraci,5 %. Sestra má k dispozici šestilitrový kanstr se 00% dezinfekčním prostředkem. Na kolik nádob jí takový kanstr vstačí? Kanstr vstačí na 6 nádob. II. SOUSTAVY ROVNIC

22 SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU. Výletní parník míří z Jamajk na ostrov vzdálený 6 km. Vplouvá rchlostí 5 km/h. Potom svou rchlost zvýší na 30 km/h. Na ostrov dorazí přesně za 4 minut. Kolik minut pluje zvýšenou rchlostí? Se zvýšenou rchlostí pluje 0 minut.. Vzdušná vzdálenost Praha Berlín je 80 km. Letadlo z Prah do Berlína letí rchlostí 450 km/h. Druhé letadlo letí z Berlína do Prah. Obě letadla se minou po 0 minutách letu. Jaká je rchlost letadla letícího do Prah, jestliže obě letadla vzlétla současně? Berlín Praha Letadlo z Berlína letí rchlostí 390 km/h. 3. Z Prah vjíždí Pendolino. Ve stejný čas vjíždí rchlík z Pardubic. Oba vlak míří do Olomouce. Rchlík jede průměrnou rchlostí 65 km/h, Pendolino jede průměrnou rchlostí 5 km/h. Vzdálenost Praha Pardubice je 04 km. Za jak dlouho Pendolino dostihne rchlík? Praha Pardubice Olomouc Vlak se potkají za,08 hodin. 4. Na Mistrovství světa v atletice se právě chstá start běhu mužů na 500 metrů. Běžec Michal Šneberger vběhl rchlostí 6,5 m /s, běžec Bernard Lagat dosahující lepších výsledků vběhl až 5 s po startu, jeho rchlost bla 7 m /s. Dohoní běžec Lagat běžce Šnebergera? Pokud ano, tak na kterém metru a za kolik sekund? Lagat dohoní Šnebergera na 455 m po 65 s svého běhu (70 s od startu).

23 5. Televize Prima uspořádala soutěž snoubenců. Pro svatbu v televizi se musí co nejdříve setkat v centru města. Snoubenci jsou od sebe 6 km daleko. Nevěsta všla v 9:30 rchlostí 6 km/h, po 00 m ji na čtvrt hodin zdrželo hledání cest. Ženich vběhl v 9:30 rchlostí 9 km/h a po celou dobu běžel stejnou rchlostí. V kolik hodin se oba snoubenci setkali? Kolik km ušla nevěsta a kolik km uběhl ženich? Setkali se v 0:00. Ženich uběhl 4,5 km, nevěsta,5 km. 6. Technické muzeum potřebovalo přesunout tank T 34/85 do Pardubic na výstavu. Nákladní auto s tankem vrazilo v 8:30 rchlostí 45 km/h. Za půl hodin za ním vrazila dodávka s dalšími drobnými eponát rchlostí 75 km/h. V kolik hodin a v jaké vzdálenosti od muzea dodávka nákladní auto dohonila? Potkají se v 9:45, tj. 56,5 km od muzea. SLOVNÍ ÚLOHY O PRÁCI LIDÍ A VÝKONU STROJŮ. Dva kronikáři mají za úkol přepsat do počítače Kroniku města Jičína. Prvnímu b tato práce trvala 8 hodin, druhému 0 hodin. a) Jak velkou část práce b udělali společně za hodinu? 9 40 b) Jak velkou část práce b udělali společně za hodin? c) Jak velkou část práce b udělali společně za hodin? II. SOUSTAVY ROVNIC 3

24 . Manažerka Karolína b marketingový plán podniku sama zpracovávala k hodin, její kolega Marek b jej sám zpracovával m hodin. Jejich společná práce trvala hodin. Vber správnou rovnici vjadřující jejich společnou práci a poté z ní vjádři. a) k m = c) ( k + m) = = k m m + k b) k m = d) k + m = 3. Na dovolené v Egptě tě požádali místní údržbáři, abs jim pomohl s výpočt. Kdž do nádob na pitnou vodu přivedeme jeden pramen, naplní se nádoba za 6 hodin. Druhý pramen vod naplní nádobu za 9 hodin. Za jak dlouhou dobu se naplní nádoba při napojení obou pramenů? Oba pramen naplní nádobu za 3,6 h. 4. V ZOO Praha potřebují vědět, jak dlouho vstačí ovoce pro goril. Zásoba ve skladu b samici Kambě vstačila na 5 dní, samci Richardovi na 0 dní a malému Nuru dokonce na 40 dní. Na jak dlouho zásoba vstačí, pokud z ní budou krmeni všichni? Zásob vdrží na 8,7 dne. 5. Pan Karel zvládne postavit parní saunu za 0 dní. Pan Jaroslav se nabídl, že mu se stavbou pomůže. Společně postavili saunu za 6 dní. Jak dlouho b trvalo postavit saunu, pokud b pracoval pouze pan Jaroslav? Pan Jaroslav b saunu stavěl 5 dní. 4

25 SOUHRNNÝ TEST. Pětinásobek neznámého čísla zmenšený o 7 se rovná dvojnásobku téhož čísla zvětšeného o 8. Jaké je neznámé číslo? Neznámé číslo je 5.. Pro kterou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých je řešením uspořádaná dvojice [3,]? Správnou dvojici zakroužkuj. a) = 5 6 = 9 b) + = 7 = 0 3. Martinovi zůstalo na skladě v prodejně několik kusů chtrých telefonů v hodnotě 50 / kus a tabletů v hodnotě 80 / kus. Celkem měl na skladě kusů oboží o hodnotě 950. Kolik chtrých telefonů a kolik tabletů měl na skladě? Doplň tabulku. Řeš dosazovací metodou. Počet Cena za ks v Cena celkem v Telefon Tablet Celkem Řeš soustav rovnic sčítací metodou a zapiš řešení. 3 = 5 + = 3 [; ] 3 = = 4 0 = = 5 nemá řešení [,4;,5] II. SOUSTAVY ROVNIC 5

26 5. Ve sběrně za dopoledne vkoupili tolik červeného rbízu, že bl o 40 kg lehčí než osminásobek množství černého rbízu. Jana ale spočítala, že totéž množství červeného rbízu může zapsat jako pětinásobek množství černého rbízu zvětšený o 3 kg. Kolik červeného a černého rbízu vlastně ve sběrně vkoupili? Řeš srovnávací metodou. Červeného rbízu blo 5 kg, černého 4 kg. 6. Při nákupu granulí pro kočku Lízu se Jakub rozhodl koupit dražší granule po 90 Kč za kg a levnější za 55 Kč za kg. Prodavačka navážila celkem, kg granulí, za které Jakub zaplatil 83,50 Kč. Kolik kilogramů každého druhu granulí Jakub koupil? Dražších koupil 0,5 kg, levnějších 0,7 kg. 7. Při fzikálním pokusu sledovali žáci rovnoměrný přímočarý pohb dvou kuliček na vodorovné podložce. Černá kulička se pohbovala rchlostí 0 cm za s a bílá rchlostí 5 cm za s. Žáci začali měřit čas, kdž se černá kulička nacházela v bodě A. Bílá kulička se stejným bodem A prokutálela o 0 s později. Za jak dlouho předhoní bílá kulička černou? Kolik metrů přitom urazí? Bílá kulička dožene černou za 40 s od dob, kd projela bodem A a bude od něj vzdálená 6 m. 8. V hrnčířské dílně potřebují splnit zakázku do deseti dnů. Zakázku začne plnit pracovnice, která b ji sama dokončila za 5 dní. Po uplnutí jednoho dne se k ní přidá druhá, která b sama celou zakázku od začátku dokončila za 0 dní. Za jak dlouho splní zakázku, budou-li od této chvíle pracovat společně? Podaří se jim dodržet termín? Zakázka bude hotová za 9 dní. 6

27 ZÁVISLOSTI, PŘIŘAZOVÁNÍ, PŘEDPISY. Podle obrázku vtvoř pravdivá tvrzení. Následně do soustav souřadnic O vznač bod B [0;,3], C [ ; ], D [3; 0], E [4; ], F [ ; ]. ZÁVISLOSTI, PŘIŘAZOVÁNÍ, PŘEDPISY Čísla, v zápise A [; ] určují počátek soustav souřadnic. 3 Číslo je v zápise A [; ] Y-ová souřadnice počátku soustav souřadnic se rovná Bod O [0; 0] se nazývá Osa je polohu bodu A v soustavě souřadnic. nule. vodorovná osa soustav souřadnic. -ová souřadnice bodu A. C A [; ] F B D E. Doplň tabulku, která udává, kolik dávek a kolik ml L-Carnitinu musí profesionální veslař Michal Vabroušek vpít během různě dlouhých tréninků. Během jedné hodin musí vpít 3 dávk L-Carnitinu po deseti mililitrech. Počet hodin tréninku,5,5 3 3,5 4 4,5 Počet dávek 3 4,5 6 7,5 9 0,5 3,5 Objem L-Carnitinu v ml Běžkař Bauer trénuje na světový pohár v Krušných horách. Aplikace na mobilním telefonu mu umožnila zaznamenat počet uběhnutých kilometrů v průběhu tréninku. a) Kolik kilometrů běžkař Bauer celkem uběhl? b) Jak dlouho během celé tras odpočíval? (km) 30 G c) Jak dlouho bl v pohbu? d) Kd běžel nejrchleji? Kd nejpomaleji? e) Jakou měl průměrnou rchlost, neuvažuješ-li přestávk? f) Jaká bla jeho průměrná rchlost, započítáš-li i přestávk? 0 0 A B C D E F (h) a) 3 km b),5 h c) 3 h d) nejrchleji FG, nejpomaleji DE e) v = 7, km/h f) v = 0,7 km/h III. FUNKCE 7

28 CO JE A CO NENÍ FUNKCE. Rozhodni, zda následující tabulk definují funkce. Pokud ano, zapiš jejich definiční obor a obor hodnot. a) D =... {0,,, 3, 4} H =... {,, 3, 4} b) není funkce D =... H =.... Rozhodni, zda jsou na obrázcích znázorněn graf funkcí. Graf funkcí zakroužkuj. a) b) c) d) Ne Ano Ano Ne 3. Urči definiční obor a obor hodnot u funkcí, které jsou zadán grafem. a) b) D = (, 3 > H = (0,,5 > D = R {0} H = R {0} 4. Funkce je dána následující tabulkou a) Zapiš definiční obor funkce.... D = { 3,,, 0,, } b) Zapiš obor hodnot funkce.... H = {,, 0,,, 3} c) Urči hodnotu funkce, která je přiřazena číslům 3 a 0. f ( 3) = ; f (0) =... d) Sestroj graf funkce v pravoúhlé soustavě souřadnic O[; ]

29 PŘÍMÁ ÚMĚRNOST. Urči, který z grafů je graf přímé úměrnosti. a) b) c) d) Ne Ne Ano Ano. Přiřaď předpis funkcí k jednotlivým grafům. a) = b) = 0,5 c) = 0,5 4 D A E B d) = 4 e) = 3 C Sestroj graf funkcí. b) =, a) = 6 4 c) = III. FUNKCE 9

30 4. Jedna vstupenka na film Hunger games stojí 80 Kč. Doplň tabulku a sestroj graf přímé úměrnosti, jejíž některé bod jsou dán tabulkou. Zvol vhodné měřítko na osách a. Počet prodaných vstupenek Celková tržba v Kč prodané vstupenk (ks) tržba (Kč) NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST. Vber z následujících tabulek t, které vjadřují nepřímou úměrnost. Graf nepřímých úměrností načrtni. a) Počet operátorů v call centru u telefonního operátora Čekací doba zákazníka na lince v minutách Ano b) Hmotnost kuřete v kg,,5,8 Celková cena v Kč 56 67, ,80 Ne c) Rchlost auta v km/h Čas ujetí stejné vzdálenosti v hodinách 0,6 0,45 0,4 0,36 0,3 Ano 30

31 . Zakroužkuj graf nepřímé úměrnosti. a) b) c) d) Doplň tabulku nepřímé úměrnosti čísl z hvězdiček. Urči její koeficient k tak, ab platilo = k , ,5 k = 9 4,5 4, Načrtni graf nepřímé úměrnosti. a) = 7 ; pro = 7; 3,5; ; ; 3,5; b) = 0,5 ; R; Některé bod nenáleží grafu nepřímé úměrnosti dané rovnicí = 4. Najdeš je? A [; 4] F [ 8; 0,5] B [; ] C [ ; 4] D [ 4; ] A, B, G G [6; 4] E [ ; ] H [ 6; 0,5] III. FUNKCE 3

32 LINEÁRNÍ FUNKCE A JEJÍ GRAF. Rozhodni, zda jsou uvedená tvrzení pravdivá. Grafem lineární funkce, jejímž definičním oborem jsou všechna reálná čísla, může být polopřímka. Chceme-li sestrojit graf konstantní funkce, stačí, kdž známe souřadnice průsečíku jejího grafu s osou. Lineární funkce je dána vzorcem = k + q, kde k a q jsou libovolná reálná čísla. Pokud platí q = 0, jedná se o konstantní funkci. Definiční obor tvoří všechna čísla. Grafem konstantní funkce je rovnoběžka s osou. K sestrojení grafu lineární funkce stačí znát souřadnice dvou bodů, jimiž graf prochází. ANO NE. Utvoř správné čtveřice pro předpis lineární funkce = k + q. Konstantní funkce k 0 q R Obor hodnot funkce tvoří všechna reálná čísla. 0 Přímá úměrnost k = 0 q R Obor hodnot funkce tvoří všechna reálná čísla. 0 Ostatní lineární funkce k 0 q = 0 Oborem hodnot funkce je jen číslo q Sestroj graf lineární funkce. a) = + b) =, c) = Graf záleží na volbě poloh os a.

33 4. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf je zobrazen v soustavě souřadnic. a) = +... c) =... e) =, b) =... d) =... f) = Rozhodni a zapiš, zda bod uvedené v tabulce náleží grafům zadaných funkcí. Graf funkce Bod ANO NE = [0, 0] [, ] = + [, 3] [0, ] = 3 [, ] [ 6, ] 6. Do jedné soustav souřadnic sestroj všechn graf daných konstantních funkcí. Graf funkce f, kterému náleží bod [0; 0]. Graf funkce g, kterému náleží bod [;,5]. Graf funkce h, která je dána rovnicí =. Graf funkce k, která je dána rovnicí = 0,5. 0 g k f h III. FUNKCE 33

34 7. Pomocí dvou zadaných bodů, které leží na grafu lineární funkce, rozhodni, o jakou funkci se jedná. Zapiš do rámečku, zda se jedná o konstantní funkci, funkci přímé úměrnosti nebo o obecnou lineární funkci, a urči její rovnici. a) A [0; ], B [ 4; 0] b) C [; ], D [4; ] c) E [0; 0], F [ ; ] obecná lineární funkce konstantní funkce funkce přímé úměrnosti Vpočítej průsečík grafů daných funkcí s osou a osou. Pak sestroj graf těchto funkcí a vznač průsečík s osami a. Ověř, zda vznačené průsečík odpovídají výpočtu. a) = 3 b) = c) = 0,5 +,5 [0; 3] [3; 0] [0; ] [ ; 0] [0;,5] [ 3; 0] Graf záleží na volbě poloh os a

35 ROSTOUCÍ A KLESAJÍCÍ FUNKCE. Doplň vět. Pro rostoucí funkci platí: zvětšují-li se hodnot proměnné,... zvětšují se hodnot funkce. Pro klesající funkci platí:... zmenšují se hodnot proměnné, zmenšují se hodnot funkce.. Rozhodni, jestli jsou funkce rostoucí (R), klesající (K), nebo ani rostoucí ani klesající (ARAK). a) b) c) d) K K ARAK R 3. Obecná lineární funkce má předpis = k + 3. Napiš tři libovolné hodnot k pro tuto funkci s danou vlastností. a) klesající funkce b) rostoucí funkce VOŽ záporná čísla VOŽ záporná čísla 4. Přiřaď správné charakteristik k jednotlivým funkcím. Rostoucí lineární funkce: D Klesající lineární funkce: F a) hodnota k a q je vžd kladné číslo. b hodnota k je vžd záporné číslo a q vžd kladné číslo. c) hodnota k je vžd kladné číslo a q vžd záporné číslo. d) hodnota k je vžd kladné číslo, q může být libovolné číslo. e) hodnota k a q je vžd záporné číslo. f) hodnota k je vžd záporné číslo, q může být libovolné číslo. 5. Roztřiď předpis lineárních funkcí do složek. a) = 3 5 b) = c) = 5 d) = 3(4 + 3) e) = 3,5 7 f) = A, F B, E C, D rostoucí funkce klesající funkce konstantní funkce III. FUNKCE 35

36 LINEÁRNÍ FUNKCE V TEORII I V PRAXI. Lineární rovnicí vjádři závislost: a) obvodu rovnostranného trojúhelníku () na délce jeho stran (), b) velikosti jedné stran obdélníku () na straně druhé (), jestliže jeho obvod je 0 cm, c) délk stran čtverce () na jeho obvodu (), d) obvodu čtverce () na délce jeho stran (), e) obvodu obdélníku () na délce jeho stran (), jeho druhá strana je o 4 cm delší, f) délk kružnice () na jejím poloměru ().. Alza.cz obdržela novou zásilku ipadů. Jeden se prodává za akční cenu Kč. (Kč) a) Vjádři vzorcem závislost tržb v Kč na počtu prodaných ipadů. = 6500 b) Alza.cz dostane od výrobce za každý prodaný ipad 5 % z jeho cen jako bonus za zprostředkování prodeje. Zapiš vzorcem a grafick znázorni závislost odměn na počtu prodaných ipadů. = 35 N N c) O jaké funkce se jedná? Jde o přímé úměrnosti (ks) 3. Benzinová sekačka má objem palivové nádrže 0,9 l. Její průměrná spotřeba paliva je l benzínu na 500 m posečeného trávníku. a) Na kolik m bude stačit plná nádrž benzínu? Nádrž bude stačit na 450 m trávníku. b) Zapiš vzorcem, jak se mění stav benzínu v nádrži () na počtu posečených m trávníku (). Začínáme sekat s plnou nádrží. = 0,9 0,00 36

37 4. Horolezec Michal si potřebuje před zájezdem do Alp pořídit nové čtřicetimetrové lano značk Singing rock. V e-shopu nabízejí toto lano v ceně 4 Kč/m. Ke každé objednávce si e-shop účtuje 50 Kč za poštovné a balné. Pokud ho koupí v obchodě, zaplatí 49 Kč za každý metr lana. Sestroj graf závislosti celkové zaplacené cen na počtu metrů lana pro oba prodejce. Pak odpověz na otázk. (Kč) 000 a) Kde uvedené lano sežene výhodněji? Přes e-shop e-shop obchod b) Od kolika metrů se vplatí si lano objednat přes internet? Vplatí se mu to od 36 m (m) GRAFICKÉ ŘEŠENÍ SOUSTAVY DVOU ROVNIC. Jsou dán soustav dvou rovnic o dvou neznámých. Nejprve si vjádři ze všech rovnic a pak k daným soustavám přiřaď správný obrázek s grafickým řešením. 0,5 + = 3 + = 4 + = 6 + = 4 = 3 0,5 = 6 = 4 = 4 5 b 5 a III. FUNKCE 37

38 . Soustav rovnic řeš grafick i výpočtem. Proveď zkoušku. a) + = 5 + = 4 b) = 6 + = 0 a) [; 3] [; ] L = P = 5 L = P = 6 L = P = 4 L = P = 0 b) 3. Z Louisian vpluje v 9 hodin plachetnice Grece stálou rchlostí 8 km/h. V 9:30 hodin vpluje za ní ze stejného místa motorový člun, který bude plout stálou rchlostí 54 km/h. a) Vjádři rovnicí a grafick znázorni závislost délk ujeté dráh jednotlivých dopravních plavidel na čase. b) Z grafu urči, kd motorový člun dostihne plachetnici. c) Výpočtem urči, kd motorový člun dostihne plachetnici. Výsledek porovnej s grafickým řešením. = 8 km 90 = 54 7 h Počáteční stav 9:00. Motorový člun dohoní plachetnici v 9:45. vzdálenost (km) čas (h) 38

39 KVADRATICKÉ FUNKCE. Obtáhni parabol na obrázcích.. Přiřaď ke každému grafu odpovídající rovnici kvadratické funkce. a) f : = b) f : = c) f 3 : = 0,5 d) f 4 : = 0,5 e) f 5 : = f) f 6 : = e) f 5 a) f c) f 3 0 d) f f) f 6 b) f 3. Na každý lístek napiš bod, které náleží grafu dané funkce. = A, E, F = 5 = B, H, I = 0,4 D, G C A [0,; 0,0] B [ 0,5; 0,5] C [4; 80] D [ ; 0,4] E [; 4] F [ ; ] G [; 0,4] H [; ] I [3; 8] III. FUNKCE 39

40 4. Urči číslo a tak, ab graf funkce = a procházel daným bodem. a) [; 4] a = 4 c) [5; 00] a = 4 b) [; 8] a = d) [ 3; 7] a = 3 5. Doplň tabulku funkčních hodnot kvadratické funkce zadané rovnicí = 0, ,5 0 0,5 4,5 6. Načrtni graf kvadratických funkcí. a) =,5, R b) =, > 0 c) =, < 0 d) =, < 0 c a 0 d b 7. Rozhodni, zda je tabulkou zadána kvadratická funkce = a ,5 3, Ano, jedná se o kvadratickou funkci. 40

41 SOUHRNÝ TEST. Urči, zda jsou následující tabulk předpisem funkce. Pokud ano, urči definiční obor D a obor hodnot H. a) b) c) Ano D = { 4; ; 3; 5} H = { 8; ; 0; 7} Není funkce 3 4 Ano D = { 4; 3; ; } H = {}. Do tabulk přímé úměrnosti se vloudila chba. Dokážeš ji najít a nesprávný údaj opravit? Zapiš rovnici přímé úměrnosti, která je určena správnou tabulkou, a sestroj její graf. nebo = Koeficient rovnice nepřímé úměrnosti je 3. Zapiš rovnicí tuto nepřímou úměrnost a načrtni její graf. Které z bodů A [; 3], B [ 3; ], C [; 6], D [0; 0], E [6; ] leží na grafu této funkce? Na grafu funkce leží A, B, E. 6 4 = Kuchař má zásobu 3,5 l oleje. Na jak dlouho mu toto množství oleje vstačí, spotřebuje-li denně na přípravu jídel tři čtvrtě litru oleje? Olej vstačí na 8 dní. III. FUNKCE 4

42 5. Rostoucí funkci zakroužkuj, klesající dej do rámečku. Jak se říká lineární funkci, kterou jsi nedal ani do rámečku ani do kroužku? = 7 = 5 4 = 0 9 = 0 = 0 = 4 = 5 = = 9 = 0 4 konstantní funkce 6. Doplň tabulk a načrtni graf lineárních funkcí f, g, h, i do jedné soustav souřadnic. Jaká je vzájemná poloha grafů těchto funkcí? Doplň dvojice grafů funkcí do správného rámečku. f: = 0,5 + 0 h: = g: = i: = kolmice rovnoběžk různoběžk g, h f, i f, g i, h i, g f, h 7. Soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých řeš grafickou metodou. 3 = 6 = 4 řešení: [3; ] Zakroužkuj předpis kvadratické funkce. 8. Co je grafem kvadratické funkce? 9. a) = 3 0,9 b) = 5 c) = 4 d) = a) hperbola b) parabola c) přímka d) jiná křivka 4

43 OPAKOVÁNÍ MOCNINY. Políčka se správnou odpovědí označují bezpečnou cestu přes ledovcové trhlin. Naviguj horelezce až na vrchol hor. Jaký je výsledek čtvrté mocnin záporného čísla? Příklad vpočítám tak, že číslo umocním na kladný záporný součin mocnitelů. součet mocnitelů. Příklad 50 vpočítám tak, Výsledek číselného výrazu je stejný jako výsledek číselného výrazu že číslo umocním na podíl eponentů. rozdíl eponentů V peesu najdeš dvojice, které jsou si rovn. Vbarvi je stejnou barvou. Proměnná a je libovolné reálné číslo; a 0; proměnné r, s jsou libovolná přirozená čísla; r > s. a a r a a r a s a r + s a a r s a r a s a 0 a r +a r a 3. Vplň jednotlivá políčka tak, že vžd použiješ základ mocnin z prvního políčka daného řádku. 3 5 : ( 3) : : : Splň zadané úkol. a) Zapiš jako součin mocnin se základem a 3. [( 3) ] 5 ( ) ( 4 ) = b) Zapiš jako mocninu se základem. ( 4) 3 [3 ( ) ] 5 ( 3 ) (5 7) 5 = 3 4 IV. LOMENÉ VÝRAZY 43

44 ZNALOSTI O MNOHOČLENECH. Spoj mnohočlen s jejich názv z a 3 b c 7 jednočlen trojčlen čtřčlen dvoučlen. Doplň tabulku. z ( z) 3 z 4 0,3 6 8,6 66, Kdž dosadíš za libovolné číslo v následujícím výrazu, vjde vžd stejný výsledek. Jaký? Zdůvodni. 5 ( 4) + ( ) ( 4 ) Po dosazení jakéhokoliv čísla vjde výsledek 9, protože úpravou výrazu dostanu výsledek Uprav mnohočlen na nejstručnější tvar. Pak vpočítej jejich hodnotu pro a = π. Výsledk zaokrouhlené na tři desetinná místa dopiš do displeje na kalkulačce. a) 4a 5a 3 + a (a 3a 3 4a ) = a 3 + 7a a)... 39, 938 b)... 49, 98 b) (a 3a 3 ) 5a + (a a 3 ) = 5a + a 3 5. Vnásob mnohočlen, výsledk dosaď do barevných obdélníků a dopočítej výsledek. a (a 3) (a + 3) (7 a) 3a ( + a ) a 3 3a + 4a a + 6a + 3a 3 = a 3 4a + 0a + 44

45 6. Uprav na součin. a) = 7 (3 5 ) b) 5a 6 5a 5 + 0a 3 = 5a 3 (a 3 3a + 4) c) 5 6 = (5 4) (5 + 4) d) e) 00 36a = 64 ( ) ( + ) = (0 6a) (0 + 6a) f) = (4 ) g) 3 + = ( ) 7. Doplň čísla na místa teček tak, ab dané rovnosti platil. a) ( a... b ) = a... 4ab + 4 b b) ( ) = a c) (... 4) (... a + 4) = a d) abc (... ac... 0a 3 b ) = 4 a bc 3 0 a 4 b c PŘÍPRAVA NA LOMENÉ VÝRAZY. Je dán výraz Dosaď čísla z nabídk za a vpočítej hodnotu daného výrazu. Tato čísla zařaď do složek tak, ab pro hodnotu výrazu platilo to, co je napsáno pod složkou. 3 0,5 3,5 ; 3; ; 0; 3 < 0 = 0 > 0. Zjisti, pro které hodnot proměnné u se výraz rovná nule. a) z (z 3) z = 0; z = 3 c) 6 z z = ±4 b) (z + ) ( z) z = ; z = d) (9z 3 4z ) (z 0,5) z = 0; z = 4 ; 9 z = 0,5 IV. LOMENÉ VÝRAZY 45

46 3. Urči 3 různé dvojice hodnot proměnných a, pro které je hodnota výrazu rovna nule. a) 4 VOŽ b) 0, Ze vzorce vjádři proměnnou uvedenou v závorce. s v = (t ) V = a b c (b) V = π r h (h) t s V V t = b = h = v ac πr LOMENÝ VÝRAZ. Utvoř správné dvojice. Kd nemá lomený výraz smsl? Kd je lomený výraz roven 0? Kdž je čitatel roven nule. Kdž je jmenovatel roven nule.. Výraz zapiš ve tvaru lomeného výrazu a urči, kd má smsl. 53 4a a) 59 : 6 b) 4 a : 5 b c) (3 p ) : (5 p + 0) 5b 0 b 0 p 3p 5p Urči hodnotu lomeného výrazu pro daná. Uveď podmínk, za kterých má výraz smsl. ( + 4) a) = = 64 c) = 0 nemá smsl b) = = 3 d) = = 4 5 0; 4 R \ { 0; 4} 46

47 4. Ve městě pracuje lékařů. Město má občanů. a) Kolik občanů připadá na jednoho lékaře? Na jednoho lékaře připadá občanů. b) Kolik lékařů připadá na jednoho občana? Na jednoho občana připadá občanů. c) Kolik domácností připadá na jednoho lékaře, jestliže má jedna domácnost průměrně z členů? Na jednu domácnost připadá občanů. z 5. Může být výraz pro některé roven 0? Pokud ano, napiš pro které. Pokud ne, napiš proč. Výraz nemůže být roven nule, protože = je zakázané podmínkou Napiš, pro která a, b má daný výraz smsl. a) b) c) a b b a b a 3b a a b b a 3 a 3 a 7. Čísla, pro která je lomený výraz roven nule, vbarvi v tabulce červeně. Hodnot, pro které nemá lomený výraz smsl, vbarvi v tabulce žlutě. a) e) b) f) c) g) d) h) 6 5 4,5 4,5 0, IV. LOMENÉ VÝRAZY 47

48 ROZŠIŘOVÁNÍ A KRÁCENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ. Zkrať lomené výraz a uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = R d) = 3ab a, b 0 b) = 3 R e) = 3 3 4, 0 c) = 4, 0 f) = ab c a, b, c 0. Zkrať lomené výraz a uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = e3 s 9 l, e, s 0 d) l 36 = a(a+b) a 0 a ±b b) = 3m n 0 e) n n m = 4 0 c) =,5 p 0,p f) p + = 4 3. Zkrať lomené výraz a uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = 4 b) = m n m + n m n c) =

49 4. Daný výraz rozšiř barevně zvýrazněným výrazem. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) 3 b) 4 c) d) c 4 e) + 3 = 9 86 = = = c 4c + cd 4d c 4c cd + 4d = ; 0; c 4; c d 3; 3 5. Rozšiř, popřípadě zkrať zadané lomené výraz tak, ab ve jmenovateli nebla odmocnina. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) b) c) = = = ; 3 ; 3 3 ; 3 6. Doplň takové číslo nebo výraz, ab platila daná rovnost. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. 4 a b a) = d) = a b b) = z 0 e) = 4z c) = 0 f) = 4 6b 5 h 5 5 b 0; h 0 k 5 l; k 5 l 7. Dané dvojice lomených výrazů uprav tak, ab měl stejné jmenovatele. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. 3,,, a 7 7 9a + 63 (a 7)(a + 7) a (a 7)(a + 7) 5m (m 3)(m + 3) 0; 0 a ±7 m ± 3 m (m 3)(m + 3) IV. LOMENÉ VÝRAZY 49

50 SČÍTÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ. Vpočítej. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) + = 3 d) + = 7 0 b) + = 4 e) + = c) + = 7 0 f) + = +. Vpočítej. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) + = 4a + 3b ab d) + = a 0; b 0 8 ( + ) ( ) ± b) + = 6z + z 3 e) + = ( + ) ( + ) 0; c) + = ± 3. Doplň sčítací pramidu. Výraz na dalších řádcích získáš tak, že vžd sečteš dva nejbližší výraz, které se nacházejí o patro níže. Př. + =

51 4. Vpočítej příklad s více sčítanci. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) + + = 3 0 b) + + = 7( + ) ( )( + ) ± c) + + = ( 3)( + 3) ±3 5. Doplň chbějící údaje ve výpočtech. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) + = 6 b) + = + 9 = 3 ; c) + = = ( )( + ) 4 ± ODČÍTÁNÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ. Vpočítej. Uveď podmínk, kd mají výraz smsl. a) = a b) = c) = p 0 d) = 7 0 7p 8 e) = a f) = 3b c b c 3 c 3b IV. LOMENÉ VÝRAZY 5

52 . Vpočítej. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = 5 b) = 3 9 ( + )( 3) ; 3 c) = 7 ( ) 0; 3. Vpočítej. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = a 7ab a b a ±b b) = + 4 ( + ) 4. Přiřaď výsledk ke správným úlohám v tabulce. V pravém sloupci uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. Výsledk Podmínk 3a b a 3 4b a 3b a a b 4a + a + a + + a b 3 a 4b a + ab b a + b 5 a + 0 a 3a 6 3ab a + b a b a 4 (a + ) 4a + b b a, b 0 a ±b a b 5. Mslím si výraz. Kdž k němu přičtu zlomek, v jehož čitateli je součet druhých mocnin proměnných a a b, ve jmenovateli druhá mocnina proměnné a, dostanu číslo 5. Který výraz si mslím? Ověř výpočtem. Mslím si výraz 4a b. a 5

53 NÁSOBENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ. Vnásob a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = 7 c) = k k, l 0 l 8 a b) = b 0 d) = 0 f 4 e e, f 0. Vnásob a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = b) = a 7 b c 6 3 3c 6 a, b, c 0 a, c, 0 c) = h5 g 0 g, h 0 3. Doplň násobící pramidu tak, že vžd vnásobíš výraz v políčkách vedle sebe a výsledek napíšeš do políčka nad nimi. Předpokládej, že a, b, c, d jsou čísla různá od nul. ab 7 c 7 d 6 b 0 c 0 a 5 b 7 a 4 d 3 c 3 d 3 4. Vnásob a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. 5. a) = 5a b) = 3 Uveď podmínk, za kterých mají výraz A, B, C smsl a vpočítej zadané příklad. a a a b A = B = C = a + b a ( + ) a) A B = b) A C = ( + ) (a b) ( + ) (a + b) 4( ) a, b 0 3 a b a + ab + b 4a ( + ) a 0; IV. LOMENÉ VÝRAZY 53

54 6. Vnásob a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = 5(v 3f) 4(v + 3f) v 3f b) = 4a a 0; ± c) = 4u 3u 4u + v a 0; v 4u d) = 5a 3b ; a 3b 5 7. Vnásob a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = t (t +) 8 t ± b) + = v v 0; v DĚLENÍ LOMENÝCH VÝRAZŮ. Zapiš převrácené výraz k zadaným výrazům. Uveď podmínk, za kterých mají oba výraz smsl. a) 35 5 c) b) b ab a, b 0 d) k k + ( ) k ± ±. Vděl a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) : = c) : =, 0 k 6 l 3 k, l 0 a b) : = d) : = 0 b 0 e 4 00f 4 e, f 0 3. Vděl a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) : = bd 3 b) : = 8 35 a 7 c 4 u 6 v 48 a, b, c, d 0,, u, v 0 54

55 4. Vděl a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) : = a a, b 0; b a b) : = + 3( ) 0; ±; 3 5. Zjisti, kolikrát je výraz menší než výraz. Napiš, za jakých podmínek. 0; 6. Vděl a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) : = ( + ) b) : = c) : = 4( ) 4a( ) ( + ), 0; ± a 0; 7. Vděl a zjednoduš. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) : = uv u, v 0; u ±v + b) + : = ( + ) (m + n), 0; m n 8. Radek se zaradoval, protože našel sbírku řešených úloh, ze kterých paní učitelka připravuje test. Bohužel se mu na část příkladů vlila voda a příklad se rozmazal. Doplň příklad tak, ab bl správně. d a) : 4 e 3 f = c 4 u v 3 b) : = 0 7 IV. LOMENÉ VÝRAZY 55

56 SLOŽENÝ VÝRAZ. Zakroužkuj všechn složené výraz. a b a b a b c 3 5 s 5 7 s a + b a b. Výraz uprav na základní tvar. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = b c) = 5a a, b 0 8 l 3 k k, l 0 49 b) =, 0 d) = 9 7a b b 0; a b 3. Přiřaď výrazům jejich výsledk z nabídk. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. 3a 8 a 0 a) = a c) = 0 a, b 0 3a a ± b) = d) = 8 a ; a 4 a b; a 3b 4. Uprav složené výraz. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) =, 0 c) = a b αa, b,, Rozšiř výraz výrazem + a uprav. Uveď podmínk, za kterých má výraz smsl. = ( ) ( + ) 0; ± 56

57 6. Vpočítej a výsledné složené výraz uprav na jeden zlomek. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = 5,, s 0 b) a b ab a + b a + b 3 b (a b) = (a b) b a, b 0; a ±b c) + =, 0; ± 7. Kolikrát je výraz za podmínek a 0, b 0, a b, a b větší než výraz? a + b b 8. Uprav složené výraz. Uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl. a) = b) = a b, b 0 s s s 9. Pan Plachý má měsíční plat si rozdělují rovnoměrně. Jaký je měsíční příjem paní Plaché?, jeho žena má měsíční plat o 4 m n menší než on. Peníze 0. Příjem paní Plaché je (m n). n Třída 9. A jela do aquaparku. Akce se zúčastnilo osob a blo domluveno, že při počtu osob nemusí 3 lidé platit. Paní učitelka zaplatila celkem Kč. Kolik stojí jedna vstupenka bez hromadné slev? Vstupenka stojí a. b( 3) IV. LOMENÉ VÝRAZY 57

58 ROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI. Vpočítej rovnice. Zapiš podmínk, za kterých mají dané rovnice smsl. Proveď zkoušku. a) = 5 b) 7 = 9 4 = 5 0 = 0. Vpočítej rovnice, kde se vsktují výraz se stejnými jmenovateli. Zapiš podmínk, za kterých mají dané rovnice smsl. Proveď zkoušku. a) + = b) + = c = 3 L = P = c b = 30 b 5 L = P = 3 3. Vpočítej rovnice. Zapiš podmínk, za kterých mají dané rovnice smsl. Proveď zkoušku. a) + = 0 b) = nemá řešení ± = 0 3; 4 L = P =

59 4. Pro které hodnot proměnné je součin výrazů, roven jejich součtu? = 3 ±4 5. Je dán zlomek, jehož jmenovatel je o 3 větší než jeho čitatel. Kdž čitatele i jmenovatele tohoto zlomku zvětšíme o 5, dostanete. Který zlomek má tuto vlastnost? Tuto vlastnost má zlomek Vpočítej rovnici. Zapiš podmínk, za kterých má daná rovnice smsl. Proveď zkoušku. + = = 3 = 0,6 5 L = P = 0 3 0; 7. Martin počítal rovnice. Prohlédni si jeho řešení a oprav případné chb. Proveď zkoušku = ( 3) + 3( + ) ( + )( = 3) ( 3) + 3 ( + ) = ( + ) ( 3) = 6 = = 0 Zk.: L = P = IV. LOMENÉ VÝRAZY 59

60 SOUHRNNÝ TEST. Mocnin uprav a vjádři jako celé číslo. a) 0 ( 5) 3 0 = b) (4 ) = Uprav výraz na součin a zjisti, kd se rovnají nule. Výsledek napiš do tabulk. 4s s = s(s ) 4p 5 = (p 5)(p + 5) tu + t + 4u 8 = (t 4)(u + ) q r + 8qr + 98 r = r(q + 7) s = 0 s = 0,5 p =,5 p =,5 t = 4 u = q = 7 r = 0 3. Výraz zkrať na základní tvar. Urči podmínk, za kterých mají dané výraz smsl. a) 60 5 z 3 = 3 z 4 5 z, z 0 b) 3 z 3 = z z + 3 z z c) 5a 5b = a + ab + b 5(a b) (a + b) a b d) kl 3l 3m + km = 5k 5 l + m 5 k 3 4. Výraz rozšiř na výraz s uvedeným jmenovatelem. Urči podmínk, za kterých mají dané výraz smsl. a) 5uv 5u v a 5 = (5 a)( + a) u, 0 c) = 4 0u a 4 a b) ( + 3) u u = 3 d) = u 3u + 3u a ± u 0; u 60

61 5. Výraz uprav na co nejjednodušší tvar a urči podmínk, za kterých mají smsl. a) d + d = d d d d + d ± b) = + ( + ) 0; 6. Výraz uprav na co nejjednodušší tvar a urči podmínk, za kterých mají smsl. a) 36u 36 uv v = (u + ) u v 3 9u 8u + 9 u v u, v 0; u b) 5k l 5 : 0kl 4 = (3k l 3 ) 8l 3 k 3 l 4 k, l 0 7. Řeš rovnici s neznámou ve jmenovateli. Kdž z trojúhelníku vškrtneš všechna čísla, pro které rovnice nemá smsl, zůstane ti správné řešení. 5 + = 8 = 6 L = P = Výraz uprav na co nejjednodušší tvar a urči podmínk, za kterých mají smsl. a) b) = 3 = 5( + ) ( + ) ±3; 0 0; ±; 0,5 IV. LOMENÉ VÝRAZY 6

62 ÚHLY, TROJÚHELNÍKY. Doplň barevná políčka = = = = = = 46 4 : 5 = : 6 = 0 5. Urči bez měření velikost úhlů α, β, γ. β α = 55 γ β = 0 γ = α 3. Sestroj bez použití úhloměru úhl ρ = 45 a σ = 60. Pak sestroj úhel ε, pro který platí ε = σ + ρ. ρ σ ε 4. Dopočítej údaje v tabulce pro různé tp trojúhelníků. Trojúhelník Δ rovnostranný Δ rovnoramenný Δ obecný Stran trojúhelníku a = 8 mm rameno r = m základna z =, m a = 69 cm b = 56 cm c =... 6 cm Výška trojúhelníku v a = 7 mm výška v z = 0,8 m v b = 58 cm Obvod trojúhelníku o = 46 mm o = 3, m o = 86 cm Obsah trojúhelníku S = 9 mm S = 0,48 m S = 64 cm 6

63 SOUMĚRNOST, SHODNOST. Každý obrázek spoj čarou s pravdivým tvrzením zapsaným uprostřed. U středově souměrných obrazců střed souměrnosti označ S. U osově souměrných obrazců napiš počet jejich os souměrnosti. 4 S + S středově souměrné 5 osově souměrné S. 3. Na obrázku je bod B vzor a bod B je jeho obraz v osové souměrnosti. Sestroj osu této osové souměrnosti a označ ji o. Rozhodni, zda jsou dané dvojice bodů nebo útvarů osově souměrné podle os o. Ε ANO NE k c O(o): A A Ε d D B O(o): C C e o O(o): F F C A O(o): D D A B O(o): CDE C D E O(o): k k Narýsuj obraz trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S a obraz kosodélníku KLMN v osové souměrnosti s osou o. F C c D d e E k F A B M o M 4. Kažkou dvojici shodných trojúhelníků vbarvi jinou barvou a napiš, podle které vět jsou trojúhelník shodné. A C C 3,6 m 6 m sss 4 m B B R S T usu A m S C L 6 m sss 3,6 m K 4 m M Z N sus 4, m X 48 K L 3,6 m K G 6 m 63 E usu 77 Y 3,6 m F L N W 48 V sus 4, m U V. OPAKOVÁNÍ Z GEOMETRIE 63