L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:

Transkript

1 L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:

2 Na obrázcích je vyobrazena hospodáská budova a židlika, kterou urit mají tvoji rodie na chodb nebo na chat. Barevn jsou zde vyobrazeny rzné rovinné útvary. ernou, žlutou a zelenou barvou jsou vyobrazeny Tob dobe známé rovnobžníky (tyúhelníky, jejichž protilehlé strany jsou rovnobžné a stejn dlouhé. Všimni si dále mode vyznaených rovinných útvar.? Co mají tyto útvary spoleného? Mají jednu dvojici protjších stran rovnobžnou a druhou dvojici rznobžnou, což je krásn vidt pedevším u hospodáské budovy Zapamatuj si: Lichobžník je tyúhelník, jehož dv protjší strany jsou rovnobžné a další dv zbývající rznobžné Úkol: Hledej ve svém blízkém okolí další lichobžníky? Co všechno lze v lichobžníku vyznait?

3 A, B, C, D - vrcholy lichobžníku a, b, c, d - strany lichobžníku AB, CD - základny lichobžníku (jsou rovnobžné) BC, AD - ramena lichobžníku (jsou rznobžné) v - výška rovnobžníku (vzdálenost rovnobžných pímek p, q) AC, BD - úhlopíky lichobžníku,,, - vnitní úhly lichobžníku? Jaké druhy lichobžníku rozlišujeme? 1. Pravoúhlý lichobžník: lichobžník, který má jedno rameno kolmé k obma základnám

4 ? Kolik pravých vnitních úhl má pravoúhlý lichobžník? Dva pravé úhly? Mže mít pravoúhlý lichobžník jiný poet pravých úhl než dva? Ne. Pokud by ml tyi pravé úhly, jednalo by se o tverec nebo obdélník (rovnobžník). Pokud by ml ti pravé úhly, jednalo by se opt o tverec nebo obdélník (musel by mít pravý i tvrtý úhel pro asi?). Pokud by ml jeden pravý úhel, jednalo by se o obecný tyúhelník (nikoliv rovnobžník ani lichobžník) 2. Rovnoramenný lichobžník: lichobžník, jehož ramena jsou shodná

5 ? Co platí pro vnitní úhly pi základnách rovnoramenného lichobžníku? Vyzna si na obrázku výšky lichobžníku vedené z vrchol C a D, jejich prseíky se základnou AB si ozna X, Y.? Co mžeš íci o trojúhelnících AXD a BYC? Oba jsou pravoúhlé a shodné podle vty S(vtší strana)s(menší strana)u(úhel naproti vtší strany)? Co tedy platí pro vnitní úhly pi vrcholech A, B? Jsou shodné (viz pedchozí odpov)? Co platí pro úhly ADX a BCY? Jsou shodné (viz pedchozí odpov)? Co platí pro vnitní úhly pi vrcholech C a D? Jsou opt shodné. Skládají se totiž se shodných úhl ADX a BCY a pravých úhl XDC a YCD Zapamatuj si: Vnitní úhly pi každé základn rovnoramenného lichobžníku jsou shodné? Je rovnoramenný lichobžník osov soumrný rovinný útvar? Hledáme takovou pímku o (osu soumrnosti), podle které se lichobžník zobrazí sám na sebe. Nejlépe je zaít zkoušet, zda náhodou nejsou hledanými osami úhlopíky lichobžníku nebo spojnice sted stran.

6 Úkol: Vyzkoušej si zmiované možnosti a rozhodni, zda se podle nkteré pímky rovnoramenný lichobžník zobrazí sám na sebe.? Našel jsi takovou pímku? O( o) : A B... v osové soumrnosti podle osy o se bod A zobrazí do bodu B O( o) : X Y O( o) : C D? Na jaké rovinné útvary nám osa soumrnosti rozdlí rovnoramenný lichobžník? Na dva shodné pravoúhlé lichobžníky AS AB S CD D a S AB BCS CD Zapamatuj si: Rovnoramenný lichobžník je osov soumrný podle osy, která prochází stedy obou základen Úkol: Sestroj si úhlopíky v rovnoramenném lichobžníku a porovnej jejich velikost. Co jsi zjistil? Zapamatuj si: Úhlopíky v rovnoramenném lichobžníku jsou shodné 3. Obecný lichobžník: lichobžník, který má rzn dlouhá ramena a ani jeden jeho vnitní úhel není pravý

7 ? Jaký je souet všech vnitních úhl lichobžníku ABCD? Lichobžník je tyúhelník. Urit z pedchozích kapitol víš, že souet vnitních úhl tyúhelníku je 360. Vzpomeneš si, jakým zpsobem by si to dokázal? Pokud ne, napovím Ti následujícím obrázkem: Lichobžník jsem si pomocí úhlopíky rozdlil na dva trojúhelníky. Souet vnitních úhl v každém z nich je 180. Souet vnitních úhl v celém lichobžníku je tedy 360. Zapamatuj si: Souet vnitních úhl v lichobžníku je 360. Pehledné shrnutí Lichobžníky Obecný Pravoúhlý Rovnoramenný Dv protjší strany jsou rovnobžné, dv rznobžné Souet vnitních úhl je 360 Dv protjší strany jsou rovnobžné, dv rznobžné Souet vnitních úhl je 360 Dv protjší strany jsou rovnobžné, dv rznobžné Souet vnitních úhl je 360

8 Nemá žádný vnitní úhel pravý Vnitní úhly pi základnách nejsou shodné Má dva vnitní úhly pravé Vnitní úhly pi základnách nejsou shodné Není osové soumrný Není osov soumrný Úhlopíky nejsou shodné Úhlopíky nejsou shodné Nemá žádný vnitní úhel pravý Vnitní úhly pi základnách jsou shodné Je osov soumrný podle spojnice sted obou základen Úhlopíky jsou shodné C V I E N Í Jelikož jsi se v této kapitole dozvdl pouze základní charakteristiku, vlastnosti a druhy lichobžníku a informaci o vnitních úhlech již znáš z dívjších kapitol, neuvádím zde podrobn ešení vzorových píklad formou otázek a odpovdí. Nabízím Ti nkolik úloh, které se pokus sám vyešit. Na nkteré budeš znát odpov pímo, nkteré si budeš muset nejprve spoítat a popemýšlet o nich. Po seznamu úloh následuje kapitolka výsledky cviení a nápovdy k nkterým z nich. Zde si zkontroluješ svá ešení s mými. Peji Ti hodn štstí pi ešení úloh. Úloha 1: Na obrázku je nkolik tyúhelník. Pojmenuj je: Úloha 2: Narýsuj si libovolný lichobžník ABCD. Vyzna v nm:

9 a) strany lichobžníku a, b, c, d b) vnitní úhly,,, c) úhlopíky AC a BD d) aspo ti výšky lichobžníku e) prseík ramen X Úloha 3: Na obrázku je nakreslen lichobžník ABCD: Vyhledej a zapiš: a) základny lichobžníku b) ramena lichobžníku c) dvojice sousedních vrchol d) dvojice protilehlých vrchol Úloha 4: Narýsuj si libovolný rovnoramenný trojúhelník ABC. Poté sestroj stední píku A 1 B 1, kde A 1 je sted strany BC a B 1 je sted strany AC. Popiš rovinný útvar ABA 1 B 1. Úloha 5: V pedchozí úloze jsi sestrojil rovnoramenný lichobžník pomocí stední píky. Je stední píka nutná ke konstrukci rovnoramenného lichobžníku. Pokus se sestrojit do pedchozího obrázku další aspo dva rovnoramenné lichobžníky, aniž by si užil stední píky trojúhelníku Úloha 6: Ješt jednou se vra k narýsovanému rovnoramennému lichobžníku v úloze 5. Porovnej dvojice barevn si odpovídajících vnitních úhl (viz. obr.). Svou odpov vždy zdvodni.

10 Úloha 7: Na obrázku je vyznaen lichobžník, který není ani rovnoramenný, ani pravoúhlý: Odpovídej na následující otázky: a) Úhel YXC je shodný s jedním vnitním úhlem. Se kterým? b) Uri souet úhl XYC a c) Uri souet vnitních úhl a d) Uri souet vnitních úhl, a XCY Úloha 8: Urete velikosti neznámých vnitních úhl lichobžníku UVXY z obrázku:

11 Úloha 9: Urete velikosti neznámých vnitních úhl lichobžníku ABCD z obrázku: Úloha 10: Urete velikosti neznámých vnitních úhl lichobžníku ABCD z obrázku:

12 Výsledky cviení a nápovdy k nkterým z nich Úloha 1: Obrázek 1: Obdélník Obrázek 2: Pravoúhlý lichobžník Obrázek 3: Konvexní tyúhelník Obrázek 4: Kosodélník Obrázek 5: Lichobžník Obrázek 6: Nekonvexní tyúhelník Obrázek 7: Lichobžník Obrázek 8: Kosotverec Úloha 2: Na obrázku jsou barevn vyznaeny strany lichobžníku a, b, c, d, vnitní úhly,,,, úhlopíky AC a BD, aspo ti výšky lichobžníku v, prseík ramen X

13 Úloha 3: základny lichobžníku AD a BC ramena lichobžníku AB a CD dvojice sousedních vrchol AB a BC; BC a CD; CD a DA; DA a AB dvojice protilehlých vrchol A a C; B a D Úloha 4: Získal jsi rovnoramenný lichobžník

14 Úloha 5: Stední píka není nutná ke konstrukci rovnoramenného lichobžníku. Rovnoramenných lichobžník lze z rovnoramenného trojúhelníku získat nekonen mnoho: Na obrázku jsou rovnoramenné lichobžníky ABXY a ABLK Úloha 6: Žlut vyznaené vnitní úhly jsou shodné je to vlastnost rovnoramenných lichobžník (vnitní úhly pi základnách jsou shodné). Zbývající vyznaené vnitní úhly (erné a modré) jsou také shodné, protože to jsou úhly souhlasné. Úloha 7: a) úhel XYC je shodný s vnitním úhlem (souhlasné úhly) b) souet úhl je 180 (vedlejší úhly) c) souet vnitních úhl a je úhel je totožný s úhlem YXC a souet úhl YXC a je 180 (vedlejší úhly) d) souet vnitních úhl v každém trojúhelníku je 180 Úloha 8: Užijeme získané dovednosti z úlohy 7. Podívej se na obrázek k úloze 8 a najdi v nm další úhel o velikosti 75. Podailo se Ti to stejn jako mn? Na obrázku je hledaný úhel vyznaen ernou barvou:

15 Nyní již bez problém dopoteš neznámé vnitní úhly. Vnitní úhel u vrcholu Y má velikost ; vnitní úhel u vrcholu V má velikost Ovíme ješt, zda souet všech vnitních úhl nám dá 180 : Úloha 9: V pravoúhlém lichobžníku jsou dva vnitní úhly pravé, tetí je zadán. K výpotu posledního vnitního úhlu užijeme nap. vlastnost o soutu vnitních úhl v libovolném tyúhelníku. Pro velikost vnitního úhlu pi vrcholu B tedy platí: ABC ABC ABC ABC 360 ( ) Úhel pi vrcholu B lze také spoítat obdobn jako v úlohách 7 a 8 (pomocí souhlasných a vedlejších úhl). Pak by výpoet vypadal následovn: ABC Úloha 10: Zde využiji vlastnosti rovnoramenného lichobžníku vnitní úhly pi základnách jsou shodné. Proto má úhel pi vrcholu D velikost 112. Pro úhly pi druhé základn pak platí: 360 ( ) DAB ABC Opt však lze k výpotu úhl pi vrcholech A a B užít souhlasných a vedlejších úhl (úlohy 7, 8 a 9)

16