( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A

Transkript

1 Vzdálenost dvou bod, sted úseky Ž Vzdálenost dvou bod Pi vyšetování vzájemné polohy bod, pímek a rovin lze použít libovolnou vhodn zvolenou soustavu souadnic (afinní). však pi vyšetování metrických vlastností (délek úseek a velikostí úhl, speciáln kolmosti pímek a rovin) je nutné použít kartézskou soustavu souadnic. Pro analytické vyjádení vzdálenosti dvou bod, (tj. délky úseky ) v kartézské soustav souadnic platí vta: Mjme dánu libovolnou kartézskou soustavu souadnic na pímce, resp. v rovin, resp. v prostoru. Pak platí: Vzdálenost bod [ ], [ ] na pímce je dána vzorcem. Vzdálenost bod [, y ], [, y ] v rovin je dána vzorcem ( ) ( ) + y y. Vzdálenost bod [, y, z ], [, y, z ] na pímce je dána vzorcem ( ) ( ) ( ) + y y + z z. První z tchto vzorc vyplývá z geometrického významu absolutní hodnoty rozdílu reálných ísel. Druhý vzorec plyne pro úseku v obecné poloze z Pythagorovy vty a ve speciálních polohách (když pímka je rovnobžná s osou, resp. y) plyne z prvního vzorce. y y y 0 C Tetí vzorec plyne pro úseku v obecné poloze opt z Pythagorovy vty, ve speciální poloze (když pímka je rovnobžná s nkterou ze souadnicových os, resp. souadnicových rovin) plyne z prvního, resp. druhého vzorce.

2 z ρ y Vypotte vzdálenost bod,, je-li dáno: 1,, 4, b) [ 5, 8 ], [ 7, 3] c) [ 6, 3, ], [ 5, 1, 8] d) [ 4, 1, 3 ], [ 1, 5,9] Dosadíme vždy do vzorce pro vzdálenost: a) ( ) ( ) ( ) ( ) + y y b) ( ) ( y y ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( y y ) ( z z ) 5 ( 6) 1 ( 3) ( 8 ) ( ) d) ( ) ( y y ) ( z z ) ( 1 4) 5 ( 1) 9 ( 3) ( ) ( ) Urete íslo r tak, aby platilo a) [ r + 1, r ], [, 3 ], d b) [, r 5 ], [ 4, 3 ], d 13 c) [ r, 4,5 ], [, r,5 ], d 3 d) [ ] [ ] d : r + 1, 4, 3,, r 3, 1, d 6

3 Opt budeme dosazovat do vzorce pro vzdálenost: a) d ( ) ( ) ( 1) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) + y y r + r + r + r 1 r + r + 1+ r + r + r Nyní položíme výslednou vzdálenost rovnou hodnot d: + r Vyešíme iracionální rovnici: + r + r 4 r 1 r 1 íslo r má hodnotu 1 nebo 1. b) d ( ) ( ) ( 4 ) ( 3 5) ( ) + y y + r + + r r + r 8 4r + r Nyní položíme výslednou vzdálenost rovnou hodnot d: 8 4r + r 13 Vyešíme iracionální rovnici: 8 4r + r r + r 13 r 4r 5 0 r 5 r ( )( ) r1 5, r 1 íslo r má hodnotu 5 nebo 1. c) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y + z z r + r r + r + r + 8r + 16 r + 4r + 0 Nyní položíme výslednou vzdálenost rovnou hodnot d: r + 4r Vyešíme iracionální rovnici: r + 4r r + 4r r + r + 1 0

4 ( r + 1) 0 r 1 íslo r má hodnotu 1. d) d ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 3 4) 1 ( 3) + y y + z z r + r + + ( ) ( ) 1 r + r r + r + r + r + 4 r + 6 Nyní položíme výslednou vzdálenost rovnou hodnot d: r Vyešíme iracionální rovnici: r r r 9 r 3 íslo r má hodnotu 3 nebo 3. Urete íslo s tak, aby vzdálenost byla nejmenší: 5,3,, 3, s 1, 4 b) [ s, 1,3 ], [ 1, s, 5] a) Nejprve dosadíme do vzorce pro vzdálenost ( 3 5) ( s 1 3) 4 ( ) + + První a tetí závorka pod odmocninou je pevn daná. Zamme se na druhou závorku. Pokud bude celá závorka (vetn mocniny) nulová, bude vzdálenost nejmenší. (Nakreslete obrázek a pípadn rozmyslete!) ( s 4) 0 s 4 Pokud s bude rovno 4, bude vzdálenost nejmenší. b) Nejprve dosadíme do vzorce pro vzdálenost ( 3 4) ( s 5) 6 ( 7) + + První a tetí závorka pod odmocninou je pevn daná. Zamme se na druhou závorku. Pokud bude celá závorka (vetn mocniny) nulová, bude vzdálenost nejmenší. ( s) 3 0 s 3 Pokud s bude rovno 3, bude vzdálenost nejmenší.

5 Vypotte vzdálenost bod,, je-li dáno: 0, 1, 1,3 1,, 0,1;1, 3,,5, 6, 1,5 b) [ ] c) [ ] [ ] 1, 1,3,,1, 3 d) [ ] Urete íslo r tak, aby platilo a) [ r] [ r ] d b) [ ] [ ] 1,1,, 4,,0, d : r,,1,, r + 5, 1, d 6

6 Urete íslo s tak, aby vzdálenost byla nejmenší: s, 1,3, 1, s, 5 b) [ s 1, 7,1 ], [ 1, s + 3, 1] Na ose urete bod tak, aby jeho vzdálenost od bodu [, 8] byla 10.

7 Vypoítejte délky stran trojúhelníku C a rozhodnte, zda je pravoúhlý, je-li dáno:,3, 5,4, C 5, 1 [ ] b) [ 3,1 ], [ 4, 1 ], C [ 5,] c) [ 1,, 3 ], [ 4,, 3 ], C[ 1,3, 5] d) [ 0,1, 3 ], [, 1,3 ], C [, 1, 3]

8 ted úseky Na íselné ose máme dva body [7] a [3]. Kde se na ose nachází sted úseky? Pokud má být uprosted, musí ležet na ísle 5, tedy [5]. Jakým matematickým postupem k této hodnot dojdeme? Je to prmr z hodnot pro oba krajní body Podívejme se, jak se situace zmní, pokud pjde o úseku v rovin? y y y y ituace na obou souadných osách je stejná jako pedtím.,,, y platí: Pro sted [ y ] úseky, kde [ y ], [ ] + y + y, y. Pro výpoet souadnic stedu úseky v prostoru sestavíme analogickou vtu.,,,,, y, z platí: Pro sted [ y z ] úseky, kde [ y z ], [ ] +, y y + y, z Vypoítejte souadnice stedu úseky, jestliže platí: 4,3, 0, 1 b) [ 3, 4, 1 ], [ 3,8, 5] Výpoet stedu provedeme dosazením do vzorce. z + z.

9 a) + y + y y ( 1) y 1 ouadnice stedu jsou [, 1]. b) + y + y y z 3 + ( 3) y ouadnice stedu jsou [0,, 3]. z + z ( ) z Jsou dány body,. Vypoítejte souadnice bodu tak, aby bod byl sted úseky. 4, 5, 3, b) [ 3,,7 ], [ 1,,3] Pi ešení opt využijeme vzorce na výpoet souadnic stedu. Pedpokládejme, že bod má souadnice [, y ] resp. [, y, z ]. a) + y + y y y 10 y 9 ouadnice bodu jsou [ 10, 9]. b) + y + y z + z y z y 7 + z 3 5 y 6 z 1 ouadnice bodu jsou [ 5, 6, 1]. Vypoítejte souadnice stedu úseky, jestliže platí: 1 3 a) 5,, 5, 4 b), 3,, 5 3

10 c) [ 0,4;0, 5; 0,5 ],,, d), + 3,,, 3, 6 3 Jsou dány body,. Vypoítejte souadnice bodu tak, aby bod byl sted úseky a) 1,,, 4 b) 1 7 [ 0,7; 0,8;0,05 ],,, 4 5 8

11 Urete bod D tak, aby obrazec CD byl rovnobžník, je-li dáno: 1,, 5,1, C 3,4 [ ] b) [, 3,1 ], [ 4, 0, 3 ], C [,3, 4] Vypoítejte délku tžnice t c trojúhelníku C, je-li dáno: 5, 3, 4, 1, C,4 [ ] b) [ 7,, 4 ], [ 3,0, ], C [ 1,4,8]