Geometrie v rovině 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Geometrie v rovině 2"

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 2 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006

2

3 Obsah Úvod 5 1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník 7 Klíčováslova... 7 Trojúhelník Lomenáčára N-úhelník(mnohoúhelník) Konvexní n-úhelník(mnohoúhelník) Pravidelný n-úhelník Čtyřúhelník Konvexníčtyřúhelník Řešenépříklady Neřešenépříklady Výsledky Kružnice, kruh 41 Klíčováslova Kružnice Úhlyvkružnici Vzájemnápolohapřímkyakružnice Vzájemnápolohadvoukružnic Kruh Řešenépříklady Neřešenépříklady Výsledky Závěr 63 Literatura 65 3

4

5 Geometrie v rovině 2 5 Úvod Tento distanční text volně navazuje na distanční text Geometrie v rovině 1, který zpracovával teorii a její aplikace v rámci tematických celků přímka a její části(úsečka, polopřímka), polorovina, konvexní množina bodů a úhel, a to včetně stručného přehledu polohových vlastností daných geometrických útvarů. Specifickou kapitolou v rámci této struktury byla kapitola zabývající se porovnáváním, sčítáním, odčítáním a násobením úseček a úhlů. V předloženém distančním textu zavedeme pojmy trojúhelník, lomená čára, n- úhelník(mnohoúhelník), kružnice, kruh a budeme zkoumat vzájemnou polohu těchto útvarů. Tento text spolu s textem Geometrie v rovině 1 tvoří ucelený přehled geometrie v rovině pokrývající potřeby budoucího učitele geometrie v dané tematické oblasti. Se zahrnutím didaktiky geometrie příslušného stupně pokrývají tyto dva texty potřebné znalosti a dovednosti, které v profilují budoucího učitele geometrie pro primární vzdělávání. VcelémtextujsemsestejnějakovtextuGeometrie1snažilavyhýbatproblematice míry geometrických útvarů, pokud to nebylo nutné nebo se mi to nejevilo efektivní pro další studium(např. kružnici a kruh zavádím prioritně užitím středu a úsečky, nikoli velikosti poloměru). Všechny kapitoly textu mají stejnou strukturu, na kterou jste si zvykli během studia textu Geometrie v rovině 1, tedy připomínám: stručný průvodce kapitolou vás uvede do její teoretické problematiky a seznámí s jejím obsahem, klíčová slova vám budou nápomocna při vytváření logické osnovy teorie v kapitole obsažené. Poté následují jednotlivé podkapitoly, které definují spolu související pojmy a vyslovují k nim příslušné věty a tvrzení. Tyto podkapitoly obsahují komentář, který vám podle mých několikaletých zkušeností s výukou daného tématu v daném studijním oboru pomůže konkrétní definici, větu nebo tvrzení pochopit ve všech jeho aspektech. Pro vaši kontrolu je každá podkapitola uzavřena souborem otázek. Doporučuji vám pečlivě se těmito otázkami zabývat- může se stát, že vlastní nalezení odpovědi, byť s využitím předchozí teorie, bude časově náročné, ale jen tak získáte velmi důležitou zpětnou vazbu, zda můžete ve studiu textu pokračovat dále. Tyto otázky nahrazují dotazy, které při kontaktní výuce na nažším stupni vzdělání vyslovoval učitel, přičemž zabezpečoval, aby studenti v případě naznalostí většího rozsahu nepokračovali

6 6 Úvod dále. Obdobným testem vlastních znalostí a dovedností, a zejména jejich aplikací, pro vás budou dva soubory příkladů, které jsou zařazeny jako poslední dvě podkapitoly každé kapitoly. Řešené příklady obsahují typové úlohy s návody řešení, neřešené příklady pak úlohy s výsledky. Znovu apeluji na vaši vůli příklady individuálně řešit, důkladně promýšlet alternativy postupu a snažit se najít řešení(nikoli listováním dozadu směrem k výsledkům, ale vždy dopředu směrem k teorii a jejímu vysvětlení). I nyní obsahuje celý text relativně velké množství obrázků, které dokumentují popisované situace jak v teorii tak v zadání příkladů. Ale i nyní doporučuji precizně pracovat s náčrty, neboť geometrie pracuje se znázorněním prostoru a jeho částí- schopnost zhotovit vhodný náčrt vám pomůže nejen správně pochopit zadání úloh a kontrolovat výsledek jejich výsledky, ale i získat dovednost připravovat vhodné náčrty tolik potřebné ve vaší budoucí pedagogické praxi. Renáta Vávrová

7 Geometrie v rovině Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Tato poměrně rozsáhlá kapitola je věnována n-úhelníkům(mnohoúhelníkům), jejichž znalost je významnou součástí geometrických znalostí, a to již od prvního stupně základní školy. Zřejmě nebudeme mít problém s vysvětlením pojmů trojúhelník nebo čtyřúhelník, ale vymezit přesně tyto pojmy by nám bez přípravy již mohlo činit potíže stejně, jako vymezení dalších n-úhelníků nebo popis jejich prvků, vlastností a jejich klasifikace. Navíc zavedeme pojem lomená čára, který budeme nutně potřebovat pro definici nekonvexního n-úhelníka. Klíčová slova: trojúhelník, základní prvky trojúhelníka(vrcholy, strany, vnitřní úhly), další prvky trojúhelníka(vnější úhly, těžnice, těžiště, výšky, ortocentrum, střední příčky), klasifikace trojúhelníků(podle stran, podle vnitřních úhlů), lomená čára, jednoduchá a nejednoduchá lomená čára, uzavřená a otevřená lomená čára, n-úhelník, základní prvky n-úhelníka(vrcholy, strany, vnitřní úhly, úhlopříčky), další prvky n-úhelníka(vnější úhly). 1.1 Trojúhelník. Pojem trojúhelník můžeme definovat více způsoby, např. jako průnik polorovin, sjednocení úseček, průnik konvexních úhlů, jako n-úhelník pro n = 3. Definice 1.1.(Trojúhelník) Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, CAB, BCA.(Viz obr. 5.1a.) Definice 1.2.(Trojúhelník) Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABC nazveme sjednocení úseček AX, kde X je libovolný bod úsečky BC(bod Xprobíháúsečku BC).(Vizobr.5.1b.) Obrázek 1.1

8 8 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Body A, B, C se nazývají vrcholy trojúhelníka, úsečky AB, BC, AC se nazývají strany trojúhelníka, konvexní úhly ABC, BCA, CAB se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka, úhly vedlejší k vnitřním úhlům trojúhelníka se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Symbolický zápis: Slovní vyjádření trojúhelník ABC zapisujeme symbolicky ABC. Strany trojúhelníka ABC můžeme pojmenovat podle protilehlého vrcholu a,b,c(naprotivrcholu Astrana a,naprotivrcholu B strana batd.), vnitřní úhly trojúhelníka ABC většinou α, β, γ(naproti vrcholu A vnitřní úhel α, naproti vrcholu B vnitřní úhel β atd.), vnější úhly trojúhelníka ABC většinou α, β, γ (vedlejšíkúhlu αúhel α,vedlejšíkúhlu βúhel β atd.).(viz obr.5.2.) V grafickém znázornění trojúhelníka popisujeme vrcholy v abecedním pořadí v kladném smyslu obíhání(proti směru hodinových ručiček). Obrázek 1.2 Věta 1.1.(Trojúhelníková nerovnost) Grafický součet kterýchkoli dvou stran každého trojúhelníka je větší než strana třetí. Věta 1.2. Grafický součet všech vnitřních úhlů každého trojúhelníka je úhel přímý. Věta 1.3. Kterýkoli vnější úhel každého trojúhelníka je roven grafickému součtu protějších vnitřních úhlů. Věta 1.4. V každém trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel. Proti většímu vnitřnímu úhlu větší strana. Definice 1.3.(Těžnice trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Těžnicí trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhel-

9 Geometrie v rovině 2 9 níka a střed protější strany. Symbolickýzápis: t a,t b,t c (těžnicepříslušnástraně a,těžnicepříslušnástraně batd.). Všechny tři těžnice trojúhelníka se protínají v jediném bodě, tzv. těžiště trojúhelníka.značíme T.Těžištědělítěžnicivpoměru2:1(dvadílyodvrcholu ajedendílodstředustrany). Na obrázku 5.3a jsou znázorněny těžnice a těžiště ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.3b tupoúhlého trojúhelníka. Obrázek 1.3 Dokážeme sestrojit těžnice a těžiště pravoúhlého trojúhelníka? Jaká bude jejich poloha vzhledem k danému trojúhelníku? Je pravda, že těžiště libovolného(ostroúhlého, pravoúhlého i tupoúhlého trojúhelníka) je vždy bodem daného trojúhelníka? Definice 1.4. (Střední příčka trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Střední příčkou trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou středy jeho dvou stran. Symbolickýzápis: s a,s b,s c (střednípříčkapříslušnástraně a,střednípříčka příslušná straně b atd.). Každá střední příčka každého trojúhelníka je rovnoběžná s tou stranou trojúhelníka, jejíž střed není jejím krajním bodem. Tato strana je rovna dvojnásobku příslušné střední příčky. Na obrázku 5.4a jsou znázorněny střední příčky ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.4b tupoúhlého trojúhelníka.

10 10 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Obrázek 1.4 Definice 1.5.(Výška trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Výškou trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníka a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími dvěma vrcholy. Symbolickýzápis: v a,v b,v c (výškapříslušnástraně a,výškapříslušnástraně b atd.). Všechny tři přímky, v nichž leží výšky trojúhelníka, se protínají v jediném bodě, tzv. ortocentrum trojúhelníka. Značíme O. Na obrázku 5.5a jsou znázorněny výšky a ortocentrum ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.5b tupoúhlého trojúhelníka. Obrázek 1.5

11 Geometrie v rovině 2 11 Dokážeme sestrojit výšky a ortocentrum pravoúhlého trojúhelníka? Jaká bude jejich poloha vzhledem k danému trojúhelníku? Je pravda, že ortocentrum libovolného(ostroúhlého, pravoúhlého i tupoúhlého trojúhelníka) je vždy bodem daného trojúhelníka? Každému trojúhelníku lze vepsat i opsat kružnici. Budeme pracovat s pojmy osaúsečkyaosaúhlu. Věta 1.5.(Kružnice trojúhelníku opsaná) Osy všech tří stran každého trojúhelníka se protínají v jediném bodě, a to ve středu kružnice tomuto trojúhelníku opsané. Značíme k(s O ;r). Na obrázku 5.6a jsou znázorněna kružnice opsaná ostroúhlému trojúhelníku, na obrázku 5.6b tupoúhlému trojúhelníku. Obrázek 1.6 Dokážeme sestrojit kružnici opsanou pravoúhlému trojúhelníku? Je pravda, že střed kružnice opsané libovolnému trojúhelníku(ostroúhlému, pravoúhlému i tupoúhlému trojúhelníku) je vždy bodem daného trojúhelníka? Věta 1.6.(Kružnice trojúhelníku vepsaná) Osy všech tří vnitřních úhlů každého trojúhelníka se protínají v jediném bodě, a to ve středu kružnice tomuto trojúhelníku vepsané. Značíme k(s V ;ρ).

12 12 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Na obrázku 5.6a jsou znázorněna kružnice vepsaná ostroúhlému trojúhelníku, na obrázku 5.6b tupoúhlému trojúhelníku. Obrázek 1.7 Dokážeme sestrojit kružnici vepsanou pravoúhlému trojúhelníku? Je pravda, že střed kružnice vepsané libovolnému trojúhelníku(ostroúhlému, pravoúhlému i tupoúhlému trojúhelníku) je vždy bodem daného trojúhelníka? Trojúhelníky dělíme na základě dvou kritérií, a to jednak podle jejich stran a jednak podle jejich vnitřních úhlů. 1. Klasifikace trojúhelníků podle stran: a) trojúhelníky rovnoramenné: alespoň dvě strany jsou shodné, trojúhelníky rovnostranné: všechny tři strany jsou shodné, trojúhelníky nerovnostranné: právě dvě strany jsou shodné, b) trojúhelníky nerovnoramenné: žádné dvě strany nejsou shodné. 2. Klasifikace trojúhelníků podle vnitřních úhlů: a) trojúhelníky pravoúhlé: právě jeden vnitřní úhel je pravý, b) trojúhelníky kosoúhlé: všechny vnitřní úhly jsou kosé(ostré nebo tupé), trojúhelníky ostroúhlé: všechny vnitřní úhly jsou ostré, trojúhelníky tupoúhlé: právě jeden vnitřní úhel je tupý. V tuto chvíli bychom měli umět zavést pojem trojúhelník, a to různými způsoby (jako průnik polorovin, jako sjednocení úseček), měli bychom dokázat popsat

13 Geometrie v rovině 2 13 základní prvky trojúhelníka(vrcholy, strany, vnitřní úhly) a popsat a sestrojit další jeho prvky(vnější úhly, výšky, těžnice a střední příčky daného trojúhelníka, těžiště a ortocentrum), danému trojúhelníku bychom měli umět vepsat i opsat kružnici. Množinu všech trojúhelníků bychom měli dokázat rozdělit podle stran a podle vnitřních úhlů. Pro jistotu, že jsme správně porozuměli problematice související s pojmem trojúhelník, odpovíme na následující otázky. Nápovědou nám mohou být grafická znázornění. 1. Platí pro každý trojúhelník, že podmnožinami tohoto trojúhelníka jsou všechny jeho: a) těžnice, b) střední příčky, c) výšky? 2. Platí pro každý trojúhelník, že body tohoto trojúhelníka jsou jeho: a) těžiště, b) ortocentrum? 3. Je dán trojúhelník ABC. Symbolicky zapište popis konstrukce jeho: a) těžnic, těžiště, b) středních příček, c) výšek, ortocentra. 4. Platí pro každý trojúhelník, že bodem tohoto trojúhelníka je střed kružnice tomuto trojúhelníku: a) opsané, b) vepsané? 5. Je dán trojúhelník ABC. Symbolicky zapište popis konstrukce kružnice tomuto trojúhelníku: a) vepsané, b) opsané. 6. Je každý rovnoramenný trojúhelník zároveň rovnostranný?

14 14 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník 7. Je každý rovnostranný trojúhelník zároveň rovnoramenný? 8. Nechť R je množina všech rovnoramenných trojúhelníků, S množina všech rovnostranných trojúhelníků. Určete: a) R S, b) R S. 9. Nechť O je množina všech ostroúhlých trojúhelníků, T množina všech tupoúhlých trojúhelníků, P množina všech pravoúhlých trojúhelníků. Určete: a)(t O) P, b)(t O) P, c)(t O) P. 10. Umíme definovat trojúhelník jako průnik polorovin a jako sjednocení úseček. Pokusme se definovat trojúhelník jako průnik konvexních úhlů. Formulujte definici(opravdu se pokuste nejprve přemýšlet a svůj nápad zapište, výsledky poslouží jen ke kontrole). Měli bychom odpovědět: 1-a)ANO,b)ANO,c)ANO(těžnice,střednípříčkyavýškyjsouvždy podmnožinami daného trojúhelníka), 2- a) ANO, b) NE(ortocentrum tupoúhlého trojúhelníka není nikdy jeho bodem, ortocentrum ostroúhlého a pravoúhlého trojúhelníka je vždy jeho bodem- ortocentrum pravoúhlého trojúhelníkasplývásvrcholemjehopravéhoúhlu),4-a)ne(středkružniceopsané tupoúhlému trojúhelníku není nikdy jeho bodem, střed kružnice opsané ostroúhlému a pravoúhlému trojúhelníku je vždy jeho bodem- střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku splývá se středem jeho přepony), b) ANO, 6-a)NE,b)ANO,8-a) R S= R,b) R S= S,9-a)(T O) P=,b) (T O) P= P,(T O) P= T,10- Nechťjsoudánynekolineárníbody A, B, C. Trojúhelníkem nazveme průnik konvexních úhlů ABC, BCA, BAC, tedy ABC= <) ABC <) BCA <) BAC. Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Trojúhelník úspěšně zvládli a můžeme pokračovat ve studiu podkapitoly Lomená čára. Pokud jsme však někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení pokračovat dále nebudeme.

15 Geometrie v rovině Lomená čára. Pojem lomená čára budeme definovat jako sjednocení úseček, pro které platí určité vlastnosti. Definice 1.6. (Lomená čára) Lomenou čárou A 0 A 1 A 2...A n 1 A n (pro n 2)nazvemesjednoceníúseček A 0 A 1,A 1 A 2,A 2 A 3,...,A n 2 A n 1,A n 1 A n, znichžkaždédvěsousednímajíspolečnýpouzekrajníbodaneležívtéže přímce.(viz obr. 5.8.) Body A 0,A 1,A 2,...A n 1,A n budeme nazývat vrcholy lomené čáry, úsečky A 0 A 1,A 1 A 2,A 2 A 3,...,A n 2 A n 1,A n 1 A n budemenazývatstranylomenéčáry. Slovnívyjádřenílomenáčára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n budemesymbolickyzapisovat A 0 A 1 A 2...A n 1 A n.tedynaopakkaždou n-ticivelkýchtiskacíchpísmen A 0 A 1 A 2...A n 1 A n neoddělených čárkou musíme přečíst lomená čára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n. Definice1.7.(Uzavřenálomenáčára) Nechťjedánalomenáčára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n.tatolomenáčárasenazýváuzavřenálomenáčára,právěkdyž jejívrcholy A 0 a A n splynou.(vizobr.5.8a.) Lomená čára, která není uzavřená, se nazývá otevřená lomená čára.(viz obr. 5.8b.) Obrázek 1.8 Definice 1.8. (Jednoduchá lomená čára) Nechť je dána lomená čára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n.tatolomenáčárasenazývájednoduchálomenáčára,

16 16 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník právě když žádné dvě její nesousední strany nemají společný bod.(viz obr. 5.8.) Nyní rozumíme pojmu lomená čára a umíme určit, kdy je lomená čára uzavřená a kdy otevřená, kdy je lomená čára jednoduchá a kdy jednoduchá není. Znalosti pojmů souvisejících s pojmem lomená čára budeme potřebovat při zavedení pojmu mnohoúhelník a dalších pojmů s ním souvisejících. Následujícími úkoly prověříme, zda jsme textu dostatečně porozuměli. 1)Načrtnětepříkladlomenéčáry A 0 A 1 A 2 A 3 A 4,kteráje: a) jednoduchá uzavřená, b) nejednoduchá uzavřená, c) jednoduchá otevřená, d) nejednoduchá otevřená. 2 Jsou pravdivé následující výroky? a)každálomenáčárajevmnožině E 2 konvexní. b)existujealespoňjednalomenáčára,kterájevmnožině E 2 konvexní. c)žádnálomenáčáranenívmnožině E 2 konvexní. d) Každá jednoduchá lomená čára je otevřená. e) Existuje alespoň jedna jednoduchá lomená čára, která je otevřená. f) Žádná jednoduchá lomená čára není otevřená. g)každálomenáčáramáalespoň3vrcholy. h) Dvě nesousední strany každé lomené čáry mají nejvýše jeden společný bod. 3) Jsou geometrické útvary zobrazené na obrázku 5.9 lomené čáry? Pokud ano,pakpopištejejichvrcholyaurčete,ojakélomenéčárysejedná (otevřená x uzavřená, jednoduchá x nejednoduchá). Měli bychom odpovědět: 1-Např.vizobrázek5.10,2-a)NE,b)NE,c)ANO,d)NE,e)ANO,f)NE, g)ano,h)ano,3-a)ano(uzavřenánejednoduchá),b)ano(otevřená nejednoduchá, c) ANO(uzavřená jednoduchá), d) NE(popis vrcholů např. viz obrázek 5.11).

17 Geometrie v rovině 2 17 Obrázek 1.9 Obrázek 1.10 Obrázek 1.11

18 18 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Pokud jsme nechybovali, pak jsme základní teorii podkapitoly Lomená čára úspěšně zvládli. Pokud jsme někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 1.3 N-úhelník(mnohoúhelník). Pro zavedení pojmu n-úhelník budeme potřebovat dosud nedefinovaný pojem vnitřní oblast. Tento pojem zavedeme nyní pouze intuitivně(pomocí grafickéhonázoru),detailněsesnímseznámímevjinémtextu,kterýsevěnuje problematice míry geometrických útvarů. Definice 1.9. (N-úhelník (mnohoúhelník)) Nechť je dána jednoduchá uzavřenálomenáčára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n pro n 3. N-úhelníkem(mnohoúhelníkem) A 1 A 2...A n 1 A n nazvemesjednocenítétolomenéčáryajejívnitřní oblasti.(viz obr ) Vrcholylomenéčáry A 0,A 1,A 2,...A n 1,A n senazývajívrcholy n-úhelníka, stranylomenéčáry A 0 A 1,A 1 A 2,A 2 A 3,...,A n 2 A n 1,A n 1 A n senazývajístrany n-úhelníka,konvexníúhly A 0 A 1 A 2,A 1 A 2 A 3,...,A n 2 A n 1 A n senazývají vnitřní úhly n-úhelníka, úhly vedlejší k vnitřním úhlům n-úhelníka se nazývají vnější úhly n-úhelníka. V grafickém znázornění n-úhelníka popisujeme vrcholy v abecedním pořadí, resp. číselném pořadí, v kladném smyslu obíhání(proti směru hodinových ručiček).(viz obr ) Obrázek 1.12 Pojem trojúhelník, který jsme zaváděli v předchozí podkapitole, je tedy možné chápatijako n-úhelníkpro n=3.kjižznámýmtřemdefinicímtrojúhelníka (průnik polorovin, sjednocení úseček, průnik konvexních úhlů) tak přibývá

19 Geometrie v rovině 2 19 definice čtvrtá: Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABCnazvemesjednocenílomenéčáry ABCAajejívnitřníoblasti. Definice1.10.(Úhlopříčka n-úhelníka) Nechťjedán n-úhelník A 1 A 2... A n 1 A n.úhlopříčkou n-úhelníkanazvemekaždouúsečku,jejímižkrajnímibody jsou nesousední vrcholy daného n-úhelníka. Je zřejmé, že úhlopříčka n-úhelníka není vždy jeho podmnožinou. Dokázali bychom zobrazit několik n-úhelníků, jejichž všechny uhlopříčky podmnožinami daných n-úhelníků jsou a několik n-úhelníků, pro které to neplatí? Dokázali bychom formulovat závěr? Umíme zavést pojem n-úhelník, popsat jeho prvky(vrcholy, strany, vnitřní úhly, vnější úhly, úhlopříčky) a vše graficky znázornit. Chápeme souvislost mezi trojúhelníkem a obecným n-úhelníkem. Pro jistotu, že jsme pojmům dobře porozuměli, vyzkoušejme si vyřešit několik úloh. 1.Nechťjedán n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.kolikmátento n-úhelníkvrcholů, stran a úhlopříček? Řešení: Každý n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n má nvrcholů, nstrana n (n 3) 2 úhlopříček. Proč? Počet vrcholů a stran přímo vyplývá z definice n-úhelníka. Počet úhlopříček určíme takto: Vezmemevrchol A 1 aptámese,kolikúhlopříček n-úhelníkamákrajní bod právě v tomto vrcholu(resp. s kolika vrcholy n-úhelníka mohu vrchol A 1 spojittak,abysejednalooúhlopříčku).určitěnemůžemespojit vrcholsámsesebou(nebylabytoaniúsečka),adálejejnemůžemespojit se soudními dvěma vrcholy(jednalo by stranu n-úhelníka, nikoli o jeho úhlopříčku).tedycelkemnemůžemevrchol A 1 spojitsetřemivrcholy n-úhelníka. Tedy naopak existuje celkem n 3 vrcholů, se kterými můžemevrchol A 1 spojit,zbodu A 1 vedecelkem n 3úhlopříček. Vezmemedalšíbod A 2 aptámesestejně.zjistíme,žezbodu A 2 opět vedecelkem n 3úhlopříček(jepravda,žeúhlopříčku A 2 A 1 jsmejižzapočítalidopočtuúhlopříčekzbodu A 1,aletovyřešímenakonciúlohy). Uvažujemedále,zkaždéhoznvrcholů n-úhelníkamůžemevést n 3 úhlopříček.tojecelkem n (n 3)úhlopříček.Každouznichjsmezapo-

20 20 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník čítalidvakrát(jednoujako A k A l,podruhéjako A l A k ).Protojepotřeba součin n (n 3)dělitdvěma. Odpovídáme:Každý n-úhelníkmá n (n 3) 2 úhlopříček. 2. Bylo by možné definovat každý n-úhelník jako průnik polorovin? Pokud ano, pak vyslovte definici. Řešení: Ne, jako průnik polorovin lze definovat pouze některé n-úhelníky. Které? A jak bude znít jejich definice? Nechťjedáno nbodů A 1,A 2,...,A n 1,A n,znichžžádnétřisousedníneležívpřímce.zobrazmegrafickyprůnikpolorovin A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,..., A n 2 A n 1 A n.mohounastatdvapřípady(vizobrázek5.13).vprvním případě(viz obr. 5.13a) je průnikem polorovin opravdu n-úhelník, ve druhém(viz obr. 5.13b) nikoliv. Odpovídáme: Jako průnik polorovin je možné definovat pouze n-úhelník, který je konvexní(nekonvexní n-úhelníky takto definovat nelze). Znění definice n-úhelníka prozradíme níže. Obrázek Konvexní n-úhelník(mnohoúhelník). Definice 1.11.(Konvexní n-úhelník(mnohoúhelník)) Nechť je dáno n bodů A 1,A 2,..., A n 1,A n,znichžžádnétřisousedníneležívpřímce.konvexním n-úhelníkem(mnohoúhelníkem) A 1 A 2...A n 1 A n nazvemeprůnikpolorovin A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,...,A n 2 A n 1 A n,a n 1 A n A 1,A n A 1 A 2.

21 Geometrie v rovině 2 21 Poloroviny A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,...,A n 2 A n 1 A n senazývajíopěrnépoloroviny konvexního n-úhelníka(mnohoúhelníka). Definice 1.12.(Opěrná polorovina konvexního n-úhelníka) Nechť je dánkonvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.opěrnoupolorovinoukonvexního n- úhelníka nazveme každou polorovinu, v níž daný n-úhelník leží a která má s tímto n-úhelníkem společnou právě jednu jeho stranu. Věta 1.7.(Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N-úhelník je konvexní, právě když leží v jedné z polorovin určené kteroukoliv jeho stranou(opěrná polorovina). Pomocí pojmu opěrná polorovina můžeme definovat pojem vnitřní úhel konvexního n-úhelníka. Definice (Vnitřní úhel konvexního n-úhelníka) Nechť je dán konvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.vnitřnímúhlemkonvexního n-úhelníka nazveme průnik opěrných polorovin jeho sousedních stran. Věta 1.8.(Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N-úhelník je konvexní, právě když je každá jeho úhlopříčka jeho podmnožinou. Takto jsme odpovídali na otázku, zda jsou úhlopříčky každého n-úhelníka vždy jeho podmnožinami. Měli jsme říci, že nikoli. Všechny úhlopříčky jsou podmnožinami pouze v případě n-úhelníků konvexních. Samozřejmě, že o konvexnosti daného n-úhelníka můžeme rozhodnout i podle obecného kritéria konvexnosti množiny bodů. Věta 1.9.(Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N-úhelník je konvexní, právě kdyžprokaždédvajehobody X,Y platí,žeúsečka XY jejehopodmnožinou. Umíme vymezit pojmy konvexní n-úhelník(definujeme jej jako průnik polorovin), opěrná polorovina konvexního n-úhelníka a známe další definici vnitřního úhlu konvexního n-úhelníka. Umíme bezpečně poznat, zda je daný n-úhelník konvexní, a to na základě tří různých kritérií. Můžeme nyní prověřit naše znalosti následujícími kontrolními úkoly. 1. Na obrázku 5.14 jsou znázorněny n-úhelníky.

22 22 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník a) U každého n-úhelníka zjistěte počet jeho úhlopříček a symbolicky je zapište. b) Určete, zda jsou zobrazené n-úhelníky konvexní. c) U každého konvexního n-úhelníka zjistěte počet jeho opěrných polorovin a daný n-úhelník zapište jako jejich průnik. Obrázek Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků: a) Každý dvacetiúhelník má dvacet různých opěrných polorovin. b) Každý trojúhelník má tři různé opěrné poloroviny. c) Každý dvacetiúhelník je možné definovat jako průnik dvaceti konvexních úhlů. d) Každý trojúhelník je možné definovat jako průnik tří konvexních úhlů. e) Konvexní dvacetiúhelník má 170 úhlopříček. f) Nekonvexní dvacetiúhelník má 170 úhlopříček. g) Nekonvexní n-úhelník nemá žádné úhlopříčky. 3.Nechťjedánkonvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.určetesoučetvelikostí všechjehovnitřníchúhlůpro n=3, n=4, n=5, n=6, n=20, n. Měli bychom odpovídat takto:

23 Geometrie v rovině a)a-žádnáúhlopříčka;b-2úhlopříčky-a 1 A 3,A 2 A 4 ;C-2úhlopříčky 5úhlopříček-A 1 A 3,A 1 A 4, A 2 A 4,A 2 A 5,A 3 A 5 ;F- n (n 1) 2 úhlopříček - A 1 A 3,A 1 A 4,...,A 1 A n 1,A 2 A 4, A 2 A 5,...,A 2 A n,...,a n 2 A n. - A 1 A 3,A 2 A 4 ;D-5úhlopříček-A 1 A 3,A 1 A 4,A 2 A 4,A 2 A 5,A 3 A 5 ;E- b)a-ano(každýtrojúhelníkjekonvexní),b-ne,c-ano,d- NE,E-ANO,F-ANO. c)a-trojúhelník A 1 A 2 A 3-3opěrnépoloroviny: A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 1 A 3 A 1 A 2 ;B-čtyřúhelník A 1 A 2 A 3 A 4-4opěrnépoloroviny: A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 4 A 3 A 4 A 1 A 4 A 1 A 2 ;D-n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n - n opěrných polorovin: A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 4 A 3 A 4 A 5... A n 1 A n A 1 A n A 1 A a) NE(jen konvexní, počet opěrných polorovin nekonvexního n-úhelníka jemenšínež n-vizdefiniceopěrnépoloroviny),b)ano,c)ne(jako průnik konvexních úhlů je možné definovat jen konvexní n-úhelníky), d) ANO, e) ANO, f) ANO(počet úhlopříček nekonvexního n-úhelníka stejnějakokonvexního n-úhelníkajemožnépočítámezevztahu n (n 3) 2 ), g) NE(viz předchozí úloha). 3. Úhlopříčky vycházející z jednoho vrcholu konvexního n-úhelníku rozdělí tento n-úhelník na n 2 trojúhelníky(viz obr. 5.15). Součet velikostí vnitřníchúhlůvtrojúhelníkujeúhelpřímý(180 ).Součetvnitřníchúhlů vkonvexním n-úhelníkujetedy(n 2) 180.Součetvelikostívnitřníchúhlůkonvexníhočtyřúhelníkaje(4 2) 180 =360,konvexního pětiúhelníka(5 2) 180 =540,konvexníhošestiúhelníka(6 2) 180 = 720,konvexníhodvacetiúhelníka(20 2) 180 =3240.Pronekonvexní n-úhelníky nelze tento vztah použít. Obrázek 1.15

24 24 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Pravidelný n-úhelník. Definice 1.14.(Pravidelný n-úhelník) Nechť je dán konvexní n-úhelník. Tento n-úhelník se nazývá pravidelný n-úhelník, právě když má shodné všechny strany a všechny vnitřní úhly. Pravidelný trojúhelník se nazývá rovnostranný trojúhelník, pravidelný čtyřúhelník se nazývá čtverec. Pro ostatní pravidelné n-úhelníky(tj. pro n 5) žádné speciální označení neexistuje.(viz obr ) Obrázek 1.16 Každému pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Popisujeme stejnějakovpřípadětrojúhelníka S O -středkružniceopsané, r-poloměr kružniceopsané, S V -středkružnicevepsané, ρ-poloměrkružnicevepsané. Ve středu kružnice pravidelnému n-úhelníku opsané leží jeho těžiště. Obrázek 1.17 Měli bychom umět do dané kružnice vepsat pravidelné n-úhelníky pro n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12. Tedy rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný pětiúhelník, pravidelný šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník, pravidelný devítiúhelník, pravidelný desetiúhelník, pravidelný dvanáctiúhelník. Měli bychom zvládnout přibližnou konstrukci libovolného pravidelného n-úhelníka. Protože je přitom potřeba využít pojmů, s nimiž se detailně seznámíme až v následujících kapitolách, zařadíme tuto část do kapitoly Kružnice, kruh. V tuto chvíli již známe pojem pravidelný n-úhelník, umíme uvést příklady pravidelných n-úhelníků. Víme, že nás v rámci kapitoly Kružnice, kruh čeká

25 Geometrie v rovině 2 25 konstrukce pravidelných n-úhelníků(jejich vepsání do kružnice). Prověříme, zda rozumíme všemu a správně tak, že odpovíme na následující otázky. 1) Je každý konvexní n-úhelník pravidelný? 2) Je každý pravidelný n-úhelník konvexní? 3) Je každý vnitřní úhel pravidelného n-úhelníka konvexní? 4) Má každý pravidelný n-úhelník shodné vnitřní úhly? 5)Nechťjedánkonvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.určetevelikostjeho vnitřníhoúhlupro n=3, n=4, n=5, n=6, n=20, n. Měli bychom odpovídat: 1-NE,2-ANO,3-ANO,4-ANO,5-ukážemevýpočetvnitříhoúhlu v každém pravidelném n-úhelníku: Víme, že součet všech vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku vypočítáme ze vztahu(n 2) 180(n-úhelník jsme dělili jeho úhlopříčkami na n 2 trojúhelníky a sečetli jejich vnitřní úhly). Protože pravidelný n-úhelník má všechny vnitřní úhly navzájem shodné, stačí součet vnitřníchúhlůdělitjejichpočtem.počítámetedy (n 2) 180 n. Pro konkrétní n- úhelníky dostáváme následující výsledky: Rovnostrannýtrojúhelník:součetvnitřníchúhlů180,každýznich60. Čtverec:součetvnitřníchúhlů360,každýznich90. Pravidelnýpětiúhelník:součetvnitřníchúhlů540,každýznich108. Pravidelnýšestiúhelník:součetvnitřníchúhlů720,každýznich120. Pravidelnýdvacetiúhelník:součetvnitřníchúhlů3240,každýznich 162. Pro nepravidelné n-úhelníky nelze tento vztah použít Čtyřúhelník. Definice čtyřúhelníka by nám neměla dělat potíže, budeme aplikovat definici n-úhelníka.

26 26 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Definice 1.15.(Čtyřúhelník) Nechť je dána jednoduchá uzavřená lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 (A 4 = A 0 ).Čtyřúhelníkem A 1 A 2 A 3 A 4 nazvemesjednocení této lomené čáry a její vnitřní oblasti. Stejně tak můžeme aplikovat další části teorie o obecných n-úhelnících, tedy definice vrcholů, stran, vnitřních úhlů, vnějších úhlů a úhlopříček, grafické znázornění(popis vrcholů). Stejně jako obecné n-úhelníky můžeme i čtyřúhelníky rozdělit na konvexní a nekonvexní. V dalším textu se budeme zabývat konvexními čtyřúhelníky Konvexní čtyřúhelník. Definice konvexního čtyřúhelníka by nám neměla dělat potíže, budeme aplikovat definici konvexního n-úhelníka. Definice1.16.(Konvexníčtyřúhelník) Nechťjsoudánybody A 1,A 2,A 3, A 4, z nichž žádné tři sousední neleží v přímce. Konvexním čtyřúhelníkem A 1 A 2 A 3 A 4 nazvemeprůnikpolorovin A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,A 3 A 4 A 1,A 4 A 1 A 2. Poloroviny A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,A 3 A 4 A 1,A 4 A 1 A 2 senazývajíopěrnépoloroviny konvexního čtyřúhelníka. Zatímco každému trojúhelníku bylo možné opsat i vepsat kružnici, u čtyřúhelníků to neplatí. Podle toho, zda kružnici opsat resp. vepsat lze, zavádíme pojmy čtyřúhelníky tětivové, tečnové, dvojstředové. Definice 1.17.(Tětivový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá tětivový čtyřúhelník, právě když mu lze opsat kružnici. Název tětivový proto, že strany čtyřúhelníka jsou tětivami kružnice tomuto čtyřúhelníku opsané. Definice 1.18.(Tečnový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá tečnový čtyřúhelník, právě když mu lze vepsat kružnici. Název tečnový proto, že strany čtyřúhelníka leží v tečnách kružnice tomuto čtyřúhelníku vepsané. Definice 1.19.(Dvojstředový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyř-

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ... O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2014

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669

Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669 Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669 TUDIJNÍ OPOR DITNČNÍHO VZDĚLÁVÁNÍ ŘEŠENÍ PLNIMETRIKÝH KONTRUKČNÍH ÚLOH EV DVIDOVÁ Ostrava 2005 Zpracovala: RNDr. Eva Davidová Recenzenti: Doc. RNDr. Pavel Květoň,

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 1 Matematika Hodinová dotace Matematika 4 4 4 4 Realizuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP ZV. Matematika

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ

Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ Poznámka autora Následující studijní materiál slouží jako pomůcka

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

1.7.10 Střední příčky trojúhelníku

1.7.10 Střední příčky trojúhelníku 1710 Střední příčky trojúhelníku Předpoklady: Př 1: Narýsuj libovolný trojúhelník (zvol ho tak, aby se co nejvíce lišil od trojúhelníku, který narýsoval soused) Najdi středy všech stran S a, S b a S c

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 5. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace Využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Matematika a její aplikace - 6. ročník (RvTV)

Matematika a její aplikace - 6. ročník (RvTV) Matematika a její aplikace - 6. ročník (RvTV) Školní výstupy Učivo Vztahy počítá zpaměti i písemně s přirozenými čísly dokáže analyzovat text jednoduchých slovních úloh vyjadřuje část celku pomocí zlomků

Více

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku Matematika Vyučovací předmět navazuje na učivo matematiky I. stupně. Časová dotace předmětu je v 6., 7.,8. ročníku 4 hodiny, v 9. ročníku 5 hodin. Třída se na matematiku nedělí. Vyučovací předmět poskytuje

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování. Mgr. Dana Pavlíková

Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování. Mgr. Dana Pavlíková Člověk a svět práce rýsování Design a konstruování Mgr. Dana Pavlíková Brno 2012 Obsah KAPITOLA 1 Planimetrie... 4 KAPITOLA 2 Shodnost a podobnost trojúhelníků.... 20 KAPITOLA 3 Kružnice a kruh. Obvodové

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed.

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed. Přirozená čísla Desetinná čísla IX. X. Přirozená čísla opakování všech početních výkonů, zobrazení čísel na číselné ose, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Metody- slovní, názorně demonstrační a grafická.

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Období: 3. období Počet hodin ročník: 165 132 132 132 Učební texty: 1 3. období A) Cíle vzdělávací

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. MATEMATIKA MPZD1C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 1 Maximální bodové hodnocení: 0 bodů Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Časový limit pro řešení didaktického testu je 0 minut.

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. 9. ročníku 5 hodin týdně ve třídách s rozšířenou

Více

Ročník VI. B. Téma: Cíl: Žák - Vazba na ŠVP Poznámky

Ročník VI. B. Téma: Cíl: Žák - Vazba na ŠVP Poznámky Tématický plán Předmět Matematika Vyučující PhDr. Eva Bomerová Školní rok 2012/2013 Ročník VI. B hod./týd. 4 Učebnice: Hejný, M., Jirotková, D., Bomerová, E., Michnová, J.: Matematika pro 5. ročník ZŠ.

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata,

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata, 5.1.2.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata, Zná číslice 1 až 20, umí je napsat a

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY) R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM...

Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... TEST 1 ŘEŠENÍ...5 TEST ZADÁNÍ...40 TEST TABULKA S BODOVÝM

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky MICHAL HECZKO 2. ročník program celoživotního vzdělávání Program: Matematika - učitelství pro 2. stupeň ZŠ VYUŽITÍ GEOMETRICKÝCH APLIKACÍ

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více