Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok 2005-2006"

Transkript

1 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice a nerovnice.... Soustavy rovnic a nerovnic...6. Geometrická zobrazení Použití metody substituce Absolutní hodnota Kvadratická rovnice a funkce Matematické důkazy Konstrukční úlohy Goniometrické vztahy, trigonometrie...7. Inverzní a složená funkce...8. Vzájemné polohy útvarů...9. Vzdálenosti.... Odchylky Obvody, obsahy, objemy a povrchy Kružnice a elipsa Hyperbola Parabola Posloupnost, aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost, nekonečná geometrická řada...8. Variace, kombinace a permutace bez opakování, kombinační čísla...0. Variace, kombinace a permutace s opakováním, binomická věta.... Pravděpodobnost, statistika.... Funkce a její ita, derivace funkce Průběh funkce Primitivní funkce, výpočty integrálů Určitý integrál a jeho použití...8

2 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Úpravy výrazů v matematice. Jaké úpravy výrazů se v matematice nejčastěji používají?. Upravte: a) 5 : 5 b a a b ab a b b a ab b a : ab c b a bc c b a. Rozhodněte v jaké části množiny R platí rovnosti: ( ) = = = =,,,. Je dán zlomek: a) Pro která R má zlomek smysl? Pro která R je zlomek roven nule? Pro která R nabývá kladných hodnot? 5. Upravte: ( ) 6. Dokažte, že pro všechna R y R,, platí: y y 7. Vysvětlete pojmy - usměrňování zlomků, částečné odmocňování 8. Upravte: a) ( ) : a a a a a a ( ). a a a 9. Vypočítejte: a) ( ) ( ) ( ) : 5 8 0

3 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova ( sin cos ) 0. Upravte: a) sin cotg tg cos sin cos sin. Řešte graficky: a) = y y y > 9 y < 5 log ( ) y 0 y 0 y 5 > 0. Vypočítejte (v algebraickém tvaru): 5 6i i i i i i a) ( ) ( )( ) ( n )! ( n )! n!. Upravte: a) n! ( n )! ( n )!. Vypočítejte: a) ( n n n) n 0 i i i i i ( ) ( ) n! n n! ( )

4 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Rovnice a nerovnice. Řešte v R : a) = = < 5 e) 9 5 f) <. Řešte v R : a) 7 = = 5 e) < 5. Řešte v R : a) 0 0, 0,0 0 ( ). Určete reálnou hodnotu parametru m tak, aby rovnice s neznámou R měla: a) kladný kořen 6 m m = 5 reálné kořeny A) m m = 0 B) m m = 0 C) m 9 = 0 reálné různé kořeny A) m = 0 B) m m = 0 jeden kořen roven nule m m = 0 5. Řešte v R rovnici s reálným parametrem p: = ( ) p p 6. Řešte v R : a) = = 8 = 7. Určete definiční obory funkcí: a) y = log( 0) 5 y = log ( ) : ( 5) 0

5 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Řešte v R : a) = 5 = 0 7 = 0 = 9. Řešte v R : a) log( ) log7 log = log( ) log6 8 log log log log... = 5log log 5 = log log log log log = e) log log = f) log = 0 g) log < 0. Řešte v R : a) sin = 0 sin = f) sin cos = 0 sin = tg = e) cotg =. Řešte graficky nerovnice: a) sin cos < tg <. Řešte v R : a) sin( π ) = 0, 5 cotg ( π 6) = sin = sin sin = cos. Řešte v C : a) 5 = 0 6i 8 = 0, Řešte v C : ( i) i = 0 a) 5 = 8 = 8 = i Jak se tyto rovnice nazývají?

6 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Soustavy rovnic a nerovnic. Řešte početně i graficky soustavu lineárních rovnic v R. y = 5 y = 5 y = 5 a) y = y = 0 y = 5. V R řešte soustavy rovnic použijte metodu GEM (Gaussova einační metoda) a JEM (Jordanova einační metoda): y z = 7 y z = a) y 5z = 5 y z = 5y z = 9 Jaký je geometrický význam této úlohy?. Řešte v R soustavu rovnic s parametrem b :. Pro které reálné hodnoty parametru b má v řešení [ y] ( b ) y ( b ) y = = R soustava rovnic b y =,, kde > 0 y < 0? by = 5. Určete všechny kvadratické funkce, jejichž grafy procházejí body: [, 57 ], [,9 ], [ 5, ] 6. Řešte početně i graficky: y = 9 y 8 7. Řešte graficky i výpočtem soustavy rovnic: a) = y y 5 = 0 y = y = 8 8. Řešte graficky soustavy nerovnic: y y < 5 a) y 6 y 0 y 5 y < 0 y 0 y y > 9 y 5 9. Řešte v R soustavu nerovnic: a) 6 9 < 0 0. V pravoúhlém trojúhelníku je součet délek stran cm, součet obsahů čtverců nad jeho stranami je 6050cm. Jak dlouhé jsou strany trojúhelníku?. Řešte v log log y = 5 a) log log y = R soustavy rovnic: log log y = log log y. = 5 y y = 5 = 5. Řešte v 0,π soustavu nerovnic: a) cotg < / sin / tg cos < /

7 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova V π π, sin cos y sin cos y řešte soustavu rovnic: 6 = =. Rozdíl dvou přirozených čísel je 8, rozdíl jejich aritmetického a geometrického průměru je 6. Určete tato čísla.

8 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Geometrická zobrazení. Vysvětlete pojmy: a) geometrické zobrazení shodné zobrazení podobné zobrazení samodružný bod, samodružný objekt. Jaká znáte shodná zobrazení v rovině? Každé z nich charakterizujte - čím je určeno, jakým způsobem zobrazíme bod, jaké útvary jsou samodružné.. Je dán trojúhelník ABC, a = 7cm, b = 6cm, c = 5cm, T je jeho těžiště. Sestrojte jeho obraz v zobrazení 0 0 T R B,0 S BC οt AC S TA ο R B,60 S ο ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) ( ). Určete všechny osy a středy souměrnosti útvarů: čtverec, obdélník, kosočtverec, rovnoběžník, trojúhelník - rovnostranný, rovnoramenný, obecný, kruh. 5. Je dán ostrý úhel AVB, bod S leží mezi rameny VA, VB. Sestrojte úsečku XY se středem S, bod X VA, bod Y VB. 6. Je dán bod S, kružnice k, přímka p. Sestrojte čtverec ABCD se středem S, vrchol A k, vrchol C p. 7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t a = 5 cm, b = 6cm, c = 5, 5cm. 8. Jsou dány kružnice k l, k l = { } ABCD tak, že vrchol,, přímka p ležící mezi nimi, úsečka KL. Sestrojte kosočtverec A k, vrchol C l, úhlopříčka BD p a platí: BD = KL. 9. Je dána přímka p, body A, B ležící ve stejné polorovině určené přímkou p. Sestrojte trojúhelník ABC, bod C p, tak, aby měl minimální obvod. 0. Jsou dány soustředné kružnice k, l, bod A k. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, vrchol B k, vrchol C l.. Jsou dány rovnoběžné přímky b, d, bod A ležící mezi nimi. Sestrojte čtverec ABCD, vrchol B b, vrchol D d.. Jsou dány různoběžné přímky a, b, úsečka KL. Sestrojte úsečku AB, bod A a, bod B b, AB KL, AB = KL.. Charakterizujte stejnolehlost - čím je určena, jakým způsobem zobrazíme bod, úsečku.. Je dán trojúhelník ABC, a = 7cm, b = 6cm, c = 5cm. Sestrojte jeho obraz - trojúhelník KLM v zobrazení H B, ο H ( A, ). Jaký je vztah mezi trojúhelníky ABC, KLM?

9 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Je dána kružnice k, její vnější bod Q. Bodem Q veďte sečnu s ke kružnici k tak, aby platilo: QB = QA, kde s k = { A, B} A. 6. Je dán čtverec ABCD, jeho vnitřní bod K. Sestrojte úsečku XY, body X, Y leží na obvodu čtverce ABCD a platí: KX = KY. 7. Jsou dány různoběžné přímky a, b, bod M a M b. Sestrojte kružnici k, bod M k, k se dotýká přímek a, b. 8. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC s rameny AC, BC. Vepište do něj čtverec KLMN, strana KL AB, vrchol M BC, vrchol N AC.

10 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Použití metody substituce. Řešte v R rovnice: a) 0 9 = 0 ( ) = 7( ). Řešte v R rovnici: = Řešte v R zavedením nových neznámých: = = = 0 y z y z. Řešte v R : a) 9. 8 = = = 8 5. Řešte v R : a) log = log log = 0 log 5 = log log log log 0 = 6. Řešte v y y R soustavu rovnic: = 5.9 = Řešte v R : a) sin π = tg π = sin cos sin = 0 tg cotg = 0 8. Řešte v N : n n n = 0 k k a) (!) 7n! 6 = 0 d 9. Vypočítejte: a) 0( ) sin cos d ln 5 e d d 5 e) sin cos d f) cos d

11 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Absolutní hodnota. Jak je definována absolutní hodnota reálného čísla a? Jaký je její geometrický význam?. Řešte zpaměti, R : a) = < e) <. Dokažte vztahy pro a R, b R : a) a. b = a. b a = b Jaký je vztah mezi výrazy: a b??? a b. Sestrojte grafy funkcí: a) y = y = a b y = y = e) 6 9 y = f) y = g) 9 y =. h) 9 y = i) y = sin j) y = log k) y = log 5. Řešte v R : a) 6 = 0 = = e) 6 5 < 6 f) < g) 6. Řešte graficky: = y y 7. Jak je definována absolutní hodnota kompleního čísla? Jaký je její geometrický význam? 8. Vypočtěte absolutní hodnotu kompleního čísla: i i z = i i

12 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Řešte v C algebraicky: z z = i 0. Řešte v C graficky: a) z = z i < z i < z i < z i > z

13 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Kvadratická rovnice a funkce. Jaký je obecný zápis kvadratické rovnice? Vysvětlete pojmy: ryze kvadratická rovnice kvadratická rovnice bez absolutního členu normovaná kvadratická rovnice. Řešte v množině R, v množině C : a) 7 6 = 0 = 0 = 0 7 = 0 e) 7 = 0 f) 5 = 0. Řešte v množině C : a) 6i 8 = 0 ( i) i = 0 ( i) 7i = 0. Ze stanice se má vypravit vlaků, z nichž každý má 5 vagónů. Aby se ušetřilo několik lokomotiv, zmenšili počet vlaků tím, že ke každému vlaku přidali tolikrát po 5 vagónech, kolik lokomotiv ušetřili. Tak byly opět vypraveny všechny vagóny. Kolik lokomotiv se ušetřilo, kolik vagónů měl každý vlak? 5. Pozemek obdélníkového tvaru o rozměrech metrů a metrů je rozdělen dvěma navzájem kolmými stejně širokými cestami rovnoběžnými se stranami pozemku. Zbývající část pozemku je zahrada, jejíž obsah se rovná 8 7 celého pozemku. Jak široké jsou cesty? 6. Uveďte Vietovy vzorce - vztahy mezi kořeny a koeficienty (normované) kvadratické rovnice. 7. Vysvětlete rozklad kvadratického trojčlenu b c ( a 0) a na součin kořenových činitelů. 8. Určete všechny kvadratické rovnice, a) jejichž kořeny jsou čísla a -5 jejichž dvojnásobným kořenem je číslo /5 9. Zapište všechny kvadratické rovnice, které mají kořeny a) čtyřikrát větší o čtyři větší než jsou kořeny rovnice 9 5 = 0 (pomocí Vietových vzorců bez řešení původní rovnice). 0. Určete, pro která reálná čísla p platí, že součet druhých mocnin kořenů rovnice p = 0 je roven 96.. Řešte v R rovnice: a) = 5 = = 8 =. Sestrojte grafy funkcí v závislosti na parametru a : a) y = a y a = ( ) y = a

14 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Sestrojte grafy funkcí a určete jejich vlastnosti: ( ) ( ) y D f, H f, P, P, monotónnost, omezenost, sudost, lichost. a) y = y = y =. Určete D(f): a) y = y = 5. Na oplocení pozemku obdélníkového tvaru máme k dispozici m 00 pletiva. Určete jeho rozměry tak, aby výměra byla co největší.

15 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Matematické důkazy. Co je to výrok?. Vysvětlete pojem tautologie výrokové logiky. Dokažte, že jde o tautologie: a, [ A B] [( A) ( B) ] b, [ A B] [( B) ( A) ] Vysvětlete termíny: obrácení implikace, obměna implikace.. Formulujte negace výroků: Přímka prochází nejvýše pěti body. Rovnice má alespoň dvě řešení. Každé přirozené číslo je kladné. Posloupnost a je rostoucí pro n n N platí: a n < a n. Jaké znáte typy důkazů v matematice? Stručně charakterizujte. 5. Vyjmenujte znaky dělitelnosti dvěma, třemi, čtyřmi, pěti, šesti, devíti, deseti. Dokažte: Pro n N n 6 n n 5 n 5 n platí: a) ( ) 6 ( n n) 6. Vysvětlete rozdíl mezi racionálním a iracionálním číslem. Dokažte sporem: není racionální číslo. 7. Dokažte matematickou indukcí: Pro n N platí: a)... Κ n = n ( n ) n ( n )( n ) n Κ n 8. Dokažte matematickou indukcí: Pro n N platí: 6 n n 9. Dokažte sporem: Každým bodem roviny lze vést k dané přímce nejvýše jednu kolmici. 0. Dokažte geometricky vztah: ( ) a b = a ab b. Dokažte geometricky: Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 80 stupňů.. Dokažte: Lineární funkce y = a b je pro a > 0 rostoucí, pro a < 0 klesající.. Dokažte, že pro každá dvě čísla a R, b R, a > 0, b > 0 platí vztahy: = 6 a b a) ab a b ab y =, = R : y.. Dokažte podle definice derivace: 0 ( 0 ) 0

16 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Konstrukční úlohy. Sestrojte množinu všech bodů v rovině, z nichž je vidět úsečku AB, AB = 5cm, pod úhlem: a) Je dána kružnice k( S cm) 0 0 kružnice k vytíná tětivy o délce cm.. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:,, bod A, AS = 7cm. Bodem A veďte všechny přímky, na nichž a) c, v, t b b b, b, c, ta c, a, va, α d, c, v, v b a e, β,t, t b a. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: v, e 5. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: a,α, e 6. Sestrojte lichoběžník ABCD, AB CD, je-li dáno: b, c, α, f, l O, r, 7. Jsou dány soustředné kružnice ( ) ( ) k O, r r > r, přímka p, která je sečnou kružnic k, l. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímky p, kružnice k k uvnitř, kružnice l vně. k,, bod A k, bod B ležící vně kružnice k. Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnice k v bodě A, bod B l. 8. Je dána kružnice ( O r) 9. Jakými způsoby lze sestrojit úsečku délky 5? 0. Jsou dány úsečky délek a, b (a >. Sestrojte úsečku délky: a) a b a b a b ab a b. Obdélník má strany o délkách a, b. Sestrojte čtverec o stejném obsahu.

17 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Goniometrické vztahy, trigonometrie. Pomocí jednotkové kružnice ukažte zavedení funkcí: y = sin, y = cos, y = tg, y = cotg. Odvoďte základní vztah sin cos =.. Vypočítejte zpaměti: a) a.sin π b.cos0 ab. cosπ cosπ sin π 8tgπ cosπ 6cotg π 5sin π 0. Vypočítejte: a) sin π cos π tg π sin 600 cos 0 tg 50 cotg 05 ( ) ( ) ( ) ( ). Vypočítejte hodnoty sin, cos, tg, cotg, jestliže je dáno: a) sin = 0, 6 π, π cotg = π, π 5. Upravte výrazy a určete podmínky: cos sin sin a) sin cotg sin sin cos cos tg z cos cos sin cos e) f) tg z tg cotg cos cos sin 6. Dokažte, že platí: a) sin ( cotg ) cos ( tg ) = sin cos = sin cotg tg 7. Dokažte, že platí vztah pro obsah trojúhelníku ABC : S = b c sin α. 8. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže platí a : b = :, α : β = :. 9. Určete velikost úhlu γ v trojúhelníku ABC, jestliže platí: a) c = a b ab c = a b ab 0. Silnice, vedoucí po hrázi rybníka, má být po zrušení rybníka nahrazena přímou cestou. Její krajní 0 body A, B jsou zaměřeny z bodu C pod úhlem γ = 60, a = AC = m, b = BC = m. Jak dlouhá bude nová cesta?. Na vrcholu kopce stojí rozhledna vysoká v = 5m. Její patu vidíme z údolí ve výškovém úhlu 0 0 α = 9, vrchol ve výškovém úhlu β. Jak vysoko je vrchol kopce nad pozorovacím místem?. Z věže vysoké v = 0 m a vzdálené od řeky a = 0m se jevila šířka řeky v zorném úhlu 0 0 α = 5. Určete šířku řeky v tomto místě.

18 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Inverzní a složená funkce. Vysvětlete, kdy je funkce prostá ve svém definičním oboru. Ukažte, zda jsou prosté funkce: a) y = c (konst.) y = y = e) y = e f) y = ln. Vysvětlete pojem rovnosti funkcí. Rozhodněte, zda jsou si rovny dané funkce f, g : a, f ( ) =, g( ) = sin cos b, f ( ) =, g( ) = c, f ( ) = sin, g( ) = tg cos y =. Vysvětlete pojem inverzní funkce. Jakou vlastnost musí mít funkce f, aby k ní eistovala funkce inverzní grafy funkcí f? Jaké jsou vztahy mezi množinami ( ) ( ) ( D f, H f, D f ), H ( f ) f, f?. Napište rovnici a určete ( ) ( ) ( f, H f, D f ), H ( f ) a) f : y = D inverzní funkce f : y = : y = : y = log f) f : y = sin f e) 5. Do stejné soustavy souřadné načrtněte grafy následujících funkcí: f? Jaký je vztah mezi f (relace) k funkci f : f : y = a) y =, y = y =, y =, y = a 6. Určete pro které reálné hodnoty parametru a jsou funkce f : y = g : y = log a a 5 a a) rostoucí klesající 7. Určete, z kterých funkcí jsou složeny následující funkce a derivujte je: y = a) ( ) y = cos sin y = y = ln e) y = ln (ln (ln )) 8. Vypočítejte integrály: 5 a) d d 5 7 sin (a d sin. cos d e) e d

19 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Vzájemné polohy útvarů. Zjistěte, zda dané body leží v jedné přímce: a) A [, ], B[ 7, ], C[,5] A[ 7,, ], B[ 5,, ], C[,8, ]. Zjistěte, zda leží dané body v jedné rovině: a) A [,, ], B[,, ], C[,, ], D[,, ] A [,, ], B[,,8 ], C[,, ], D[,,9 ]. Určete vzájemnou polohu přímek q p, : a) p : A[, ], směrový vektor a (,) q : B[, ], směrový vektor b (, ) p : A[,0, ], B[,, ], q : C[,, ], D[ 0,,]. Určete reálné číslo a tak, aby přímka p : = 5 6t, y = a t, t R procházela průsečíkem přímek r,s, kde r : = u, y = u, u R, s : = v, y = v, v R. 5. Ukažte, že přímka AB : A[,, ], B[,, ] Určete jejich průsečík., je různoběžná s rovinou α : y z = Zjistěte vzájemnou polohu roviny, která má obecnou rovnici y z = 0 a přímky, která je průsečnicí rovin α : y z = 0, β : y z 7 = Vysvětlete pojmy: příčka mimoběžek procházející daným bodem, nejkratší příčka mimoběžek. Uveďte příklad na krychli ABCDEFGH - mimoběžky AE, BC, bod S (střed krychle). 8. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM, průsečík přímky PQ s krychlí:

20 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Sestrojte řez jehlanu ABCDEFV rovinou KLM, vysvětlete pojem - prostorová kolineace.. Sestrojte řez hranolu ABCDEFGHIJ rovinou PQR, vysvětlete pojem - prostorová afinita.

21 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Vzdálenosti. Vypočítejte výšku c v v trojúhelníku ABC : A[, ], B[, ], C[,].. Určete vzdálenost přímek p, q : p : y 0 = 0 q: = t, y = t, t R. Určete vzdálenost rovin: α : y z 6 = 0 β : y z = 0.. Určete vzdálenost bodu [,6,8] K od roviny α : = r s, y = r, z = 6 s, r R, s R. Určete obraz bodu K v souměrnosti podle roviny α. 5. Určete vzdálenost bodu M [,,] od přímky AB, A[ 0,, ], B[,,0 ] p =. 6. Napište rovnici kružnice, je-li dán její střed S a rovnice přímky p, která se jí dotýká: [,], p : 8 5y = 0 S. 7. Na základě výpočtu vzdálenosti středů kružnic k,l rozhodněte o jejich vzájemné poloze: k : y 0 8y 00 = 0 l : y 6y = 0 8. Ukažte, že množinou všech bodů X roviny, které mají od bodu [,9] než od bodu B [ 6, 7], je kružnice. Určete její střed a poloměr. A třikrát větší vzdálenost 9. Je dán pravidelný čtyřboký hranol ABCDEFGH, AB = a, AE = v. Určete vzdálenost bodu B od přímky: a) GH EG AG Řešte výpočtem i graficky. 0. Určete vzdálenost vrcholu A pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV od přímky CV, je-li AB = a, AV = b. Řešte výpočtem i graficky.. Je dána krychle ABCDEFGH, AB = a, body K, L jsou po řadě středy hran AB, BC početně i konstrukčně: a) vzdálenost přímek EG, KL vzdálenost rovin ACH, BEG. Určete

22 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Odchylky. Jaký je vztah mezi středovým a obvodovým úhlem v kružnici? Trojúhelníku ABC je opsána kružnice, jeho vrcholy dělí kružnici na tři oblouky v poměru : : 7. Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC.. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC : a) A [,, ], B[,, 5 ], C[,, ] A,,, B,,, C,, [ ] [ ] [ ]. Vypočítejte souřadnice vektoru u, který je kolmý k vektoru v (,) a má velikost 5.. Je dána přímka p : = t, y = t, z = t, t R, rovina α : y 8 = 0, rovina β : = 5 r s, y = 6 r s, z = r, r R, s R. Vypočítejte: a) odchylku přímky p a roviny α odchylku přímky p a roviny β odchylku rovin α, β 5. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = a = 6cm, výška jehlanu v = cm. Určete: a) odchylku přímek BC, AV odchylku přímky AV od roviny ABC odchylku rovin ABC, ADV Úlohu řešte: a) metodou stereometrie - výpočtem a konstrukčně 6. Je dána krychle s hranou délky a. Určete odchylku: a) dvou stěnových úhlopříček dvou tělesových úhlopříček stěnové a tělesové úhlopříčky 7. Pod jakým úhlem je vidět kružnici : y 8 5 = 0 k z bodu [ 0,0] P?

23 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Obvody, obsahy, objemy a povrchy. Vypočítejte obsah trojúhelníku, je-li dáno: a) a = 6 cm, va = cm a = cm, b = 5cm, γ = 0 a = 5 cm, b = cm, c = cm (dokažte, že jde o pravoúhlý trojúhelník). Trojúhelníky ABC, KLM jsou podobné s poměrem podobnosti k. Co platí o poměru jejich výšek, obvodů, obsahů?. Nad stranami čtverce o straně délky a jsou sestrojeny uvnitř čtverce půlkružnice. Určete obsah obrazce, který vyvářejí - viz obrázek.. Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky a = cm, c = cm, je-li jeho výška o cm menší než délka ramene. 5. Obvod kruhové výseče, která je částí kruhu o poloměru cm, je 9 cm. Vypočítejte její obsah. 6. Úhlopříčný řez kvádru kolmý k rovině podstavy je čtverec s obsahem hrana je o cm delší než druhá. Vypočtěte objem a povrch tělesa. 5 cm. Jedna podstavná 7. Délka všech hran pravidelného čtyřbokého jehlanu je a = 6 cm. Vypočtěte jeho objem a povrch. 8. Podstava kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délky v poměru :. Výška hranolu je o cm menší než větší odvěsna podstavy a povrch hranolu je 68 cm. Vypočtěte objem hranolu. 9. Osový řez nádoby, která má tvar rotačního válce, je obdélník s úhlopříčkou u = 9 cm. Poměr obsahu pláště a obsahu podstavy je 5 :. Kolik litrů vody se vejde do nádoby? 0. Určete objem a povrch komolého kužele, jehož podstavy jsou kruh opsaný a vepsaný protilehlým stěnám krychle s hranou délky a.. Určete poměr objemů rotačního válce, polokoule a rotačního kužele se stejnými poloměry podstav a stejnými výškami.

24 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Kružnice a elipsa. Vyslovte definici kružnice, kruhu, elipsy.. Zapište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka, A[, ], B[, 5] AB.. Zjistěte, pro které hodnoty parametru p je rovnice y 6y p = 0 rovnicí kružnice. Určete souřadnice středu a poloměr.. Napište rovnici kružnice opsané trojúhelníku, A[, ], B[,0 ], C[ 0,5] ABC. 5. Zapište rovnice kružnic, které se dotýkají souřadnicových os a procházejí bodem A [,]. 6. Napište rovnice tečen kružnice dané rovnicí y 6 y = 0 v jejích průsečících s přímkou p : y =. 7. Určete rovnici tečny ke kružnici y 6y 9 = 0, která je rovnoběžná s přímkou p : y =. 8. Napište rovnici elipsy, jejíž osy splývají s osami souřadnými a která prochází body [, 6] L [ 6,0]. 9. Napište rovnici elipsy se středem S [,], hlavní vrchol [,8] 0. Proveďte rozbor elipsy, určete: S, A, B, C, D, E, F, a, b, e, o, o : a) 9y = 6 9 5y 5 00y = 0 A, ecentricita e =.. Určete vzájemnou polohu elipsy 9y 6 = 0 a přímky p : y 6 = 0.. Napište rovnice tečen elipsy: ( ) ( y ) = p : y = 0.. Ukažte, že pro každé R b a y = a b. v jejích průsečících s přímkou t leží bod [ a t, bsin t] cos na elipse, která má rovnici K,

25 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Hyperbola. Grafem jaké funkce je rovnoosá hyperbola? Zapište její rovnici a rovnice asymptot. Jaká je vzájemná poloha asymptot?. Vyslovte definici hyperboly.. Hyperbola má ohniska E[ 5,0 ], F[ 5,0], a prochází bodem M [,0]. Napište její rovnici.. Napište rovnici hyperboly s ohnisky E [ 0, ], F[ 0,6], která prochází bodem [ 0,] 5. Proveďte rozbor hyperboly, určete: S, A, B, E, F, a, b, e, o, o, h, h a) 9y 8 8y = 0 y 6 6y = 0 L. 6. Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly H, popř. souřadnice společných bodů: H : y = 6 a) p : = t, y =,5t, t R p : 5 6y 6 = 0 p : = t, y = t, t R 7. Určete vzájemnou polohu přímky p : 5 y t = 0, hyperboly H : y = 6 v závislosti na parametru t. H v bodě [,] 8. Napište rovnici tečny k hyperbole : 5y 80y = 0 Jakými způsoby lze úlohu řešit? 9. Určete rovnici hyperboly, která má svá ohniska v hlavních vrcholech elipsy a své vrcholy v ohniscích elipsy o rovnici: 9 5y = Sestrojte graf relace 9y = 6 y. T. 8. Vypočítejte odchylku tečen hyperboly y = 6, které procházejí bodem R,.

26 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Parabola. Sestrojte grafy relací: y =, y =, = y, = y.. Vyslovte definici paraboly.. Zapište vrcholovou rovnici paraboly, je-li dáno ohnisko F, řídící přímka d: a) F [,0], d : y = F [, ], d : y = F [ 6,], d : = 8 F [,], d : =. Zapište vrcholovou rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y, má vrchol [,5] prochází bodem A [ 0,]. 5. Je dána trojice bodů [, ], B[,7 ], C[,] V a A. Určete rovnici paraboly, která prochází body A, B, C a má osu rovnoběžnou s osou y. Načrtněte obrázek. 6. Proveďte rozbor paraboly,určete: V, F, p, o, d : a) y 5 = 0 y y = 0 7. Určete vzájemnou polohu přímky p, paraboly P, souřadnice společných bodů: a) p : y 5 = 0 P : y = 0 p : y = 0 P : y = 8 p : y = 0 P : y = 0 p : = 0 P : y = 0 8. Parabola o rovnici p = y se dotýká přímky, která má rovnici y 6 = 0. Určete parametr paraboly a souřadnice bodu dotyku. 9. Určete rovnici tečny paraboly P v jejím bodě T : : y = 5 P T [, ] y T 0. Určete velikost úhlu, pod nímž je z bodu M vidět parabolu P : M [ 0,] P : = y. Vypočítejte odchylku tečen kružnice K : y = 5 a paraboly P : y = 6 v jejich společných bodech.. Průměr parabolického automobilového reflektoru je cm, hloubka reflektoru je cm. Určete rovnici parabolického řezu a vypočítejte polohu vlákna žárovky, je-li reflektor zapnut na dálková světla (vlákno je v ohnisku).. Vypočítejte obsah obrazce omezeného parabolou y = a přímkou y = 0.

27 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Posloupnost, aritmetická posloupnost. Jak je definována posloupnost? Vysvětlete rozdíl mezi zadáním posloupnosti n-tým členem a rekurentním předpisem posloupnosti.. Zjistěte, která z čísel,65, jsou členy posloupnosti, kde a n = 5 n 8.. Určete rekurentní předpis posloupnosti: a) = n a n = n( n ). Danou posloupnost vyjádřete vzorcem pro n-tý člen: a = 0, a n = an 5. Napište definici posloupnosti: a) rostoucí klesající omezené shora (zdola) omezené a n Vyšetřete tyto vlastnosti na posloupnosti: a n n = n 6. Jak je definována aritmetická posloupnost? Pro jaké hodnoty diference d je aritmetická posloupnost: a, rostoucí b, klesající 7. Dokažte, že posloupnost a n = 5n je aritmetická. 8. Určete aritmetickou posloupnost ( a, d ), ve které platí: a, a a5 = 0 a a = 6 b, s 5 = 60 s0 = 70 c, a a = a a = Součin tří po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti se rovná jejich součtu, Určete tyto členy. d =. 0. Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete jejich velikost, je-li obsah trojúhelníka 6 dm.... n n. Vypočítejte: n n. Teploty Země přibývá směrem do jejího středu o 0 C na m. Jaká je teplota v hloubce 05 m, je-li v hloubce 5 m teplota 9 C?. Určete velikost ostrého úhlu, tvoří-li posloupnosti? cotg, ( sin ). Vypočítejte součet všech trojciferných přirozených čísel dělitelných pěti., tg tři po sobě jdoucí členy aritmetické

28 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Geometrická posloupnost, nekonečná geometrická řada. Jak je definována geometrická posloupnost?. Dokažte, že posloupnosti: a) a n = ( ) n jsou geometrické. Určete a, q. b n = n. n. V geometrické posloupnosti platí: a a =,5 a a =, 5. Určete a, a, s.. V geometrické posloupnosti je a =, q =, sn = 80. Určete n, an. 5. Mezi čísla 5 a 60 vložte tolik čísel, aby vznikla geometrická posloupnost, přičemž součet vložených čísel je Dokažte: Je-li a n geometrická posloupnost, potom pro každé přirozené číslo n platí: a n = an. an 7. Přičteme-li k číslům,6, 58 stejné číslo, dostaneme první tři členy geometrické posloupnosti. Určete v této posloupnosti s. 8. Mezi čísla, 8 vložte dvě čísla tak, aby první tři tvořila geometrickou posloupnost a poslední tři posloupnost aritmetickou. 9. Délky hran kvádru tvoří geometrickou posloupnost. Objem vycházejících z jednoho vrcholu, je cm. Určete délky hran. V = 6 cm. Součet délek hran, 0. Délky stran a, b, c trojúhelníku ABC tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Jak jsou velké, je-li délka strany b = 8 cm a obvod o = cm.. Kratší úhlopříčka, strana a delší úhlopříčka kosočtverce mají délky, které tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Vypočítejte velikosti úhlů kosočtverce.. Pro které hodnoty kvocientu q je geometrická posloupnost konvergentní? Vysvětlete pojem nekonečné geometrické řady a odvoďte vzorec pro její součet.. Zjistěte, které z nekonečných řad jsou konvergentní a určete jejich součty: n= n ( ) n n= n 0, 6. Dokažte správnost rovnosti: = 0, Zjistěte, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a určete pak její součet: ( ) ( ) ( ) Κ Κ n 6. Vypočítejte: n n n n Κ 8 n=, n

29 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Řešte v R: a) = Κ 0 5 = Κ log log log Κ = 8 6 Κ = 6 8. Řešte v 0, π : sin sin sin Κ = tg 9. Je dán čtverec o straně délky a. Do něho je vepsán čtverec tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran daného čtverce. Takto vzniklému čtverci je opět vepsán čtverec s vrcholy ve středech stran předchozího čtverce atd. Postup se stále opakuje. Určete: a) součet obvodů všech čtverců součet obsahů všech čtverců

30 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Variace, kombinace a permutace bez opakování, kombinační čísla. Vyslovte definici variace, kombinace a permutace bez opakování.. Definujte číslo n!. n. Vysvětlete pojem: kombinační číslo k ( n )! ( n )! n!. Zjednodušte výrazy: a) n! ( n )! ( n )! 5. Řešte rovnice: n! n n! ( ) ( n ) a) ( n )! n! 6 6n = 8 n = 8 n n n ( n )! ( n )! n = 0 ( n )! ( n )! n = e)! = 0( )! f) ( n!) 7n! 6 = 0 6. V R řešte rovnici s neznámou a parametrem n N : ( n )! ( n )! ( n )! Κ n( n )! ( n ) n! n! n! Κ =! 7. Jsou dány cifry 0,,,,,5,6, 7. Určete počet přirozených čísel, ve kterých se cifry neopakují a splňují podmínky: a) jsou pěticiferná jsou čtyřciferná sudá jsou větší než a zároveň menší než Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer 0,,,, 7. Kolik z těchto čísel je: a) dělitelných šesti? větších než 70? 9. V rovině je dáno 0 bodů, z nichž právě 5 leží na jedné přímce. Kolik je těmito body určeno: a) přímek trojúhelníků kružnic 0. Určete, kolika způsoby lze z 0 mužů a 6 žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou: a) právě ženy aspoň ženy. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b. Na přímce a je dáno 5 různých bodů A,...A 5, na přímce b různých bodů B,...B. Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech.

31 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova K sestavení vlajky, složené ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. Kolik z nich má modrý pruh? Kolik jich má modrý pruh uprostřed? Kolik jich nemá uprostřed červený pruh?. O telefonním čísle víme: je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné 5. Kolik telefonních čísel přichází v úvahu?. Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet tříčlenných variací bez opakování: a) desetkrát o 50 Určete původní počet prvků. 5. Určete počet prvků tak, aby: a) bylo možno z nich utvořit právě 00 permutací bez opakování při zvětšení jejich počtu o dva se počet permutací bez opakování zvětšil 56 krát při zmenšení jejich počtu o dva se počet permutací bez opakování zmenšil 0 krát 6. Určete počet prvků tak, aby: a) počet členných kombinací bez opakování z nich vytvořených byl 0 krát větší než počet členných kombinací bez opakování při zvětšení počtu prvků o se počet členných kombinací bez opakování zvětšil o

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice.

x = a a 2. Shodná zobrazení v rovině otočení Definujte shodné zobrazení, orientovaný úhel, otočení. Popište otočení bodu, přímky a kružnice. 1. Lineární rovnice, lineární rovnice s parametrem, soustavy lineárních rovnic Základní typy algebraických rovnic. Vysvětlete význam zkoušky. Princip řešení rovnic s parametrem, diskuse řešení, přípustnost

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek.

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek. . ABSOLUTNÍ HODNOTA definice absolutní hodnoty reálného čísla a geometrická interpretace, definice absolutní hodnoty komplexního čísla a geometrická interpretace, vzdálenost bodu od přímky (v rovině i

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Matematika POZNÁMKY PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika POZNÁMKY PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Interaktivní testy matematických znalostí

Interaktivní testy matematických znalostí MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce Interaktivní testy matematických znalostí Brno 2006 Jana Bobčíková Vedoucí práce: Mgr. Pavla Musilová, Ph.D. Prohlášení Prohlašuji,

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. 2Pravidla správného zápisu odpovědí. 1Základní informace k zadání zkoušky DIDAKTICKÝ TEST. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 30 bodů Pro přijetí uchazečů je rozhodné umístění v sestupném pořadí uchazečů podle dosaženého bodového hodnocení. 1Základní informace k zadání zkoušky

Více

Test Matematika Var: 101

Test Matematika Var: 101 Test Matematika Var: 101 Pokyny: Vyplňte příslušné kolečko odpovídající správné odpovědi u každé otázky ve zvláštním odpovědním formuláři, který Vám byl rozdán spolu se zadáním testu. 1. Přímky p: y =

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE . LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14

4 Goniometrické výrazy, rovnice a nerovnice Funkce, grafy funkcí, definiční obory... 14 Vážený čtenáři, sbírka příkladů, kterou jsi právě otevřel Vám chce pomoci při studiu jedné z nejkrásnějších vědních disciplín - matematiky. Sbírka obsahuje všechny typy příkladů, včetně výsledků, které

Více

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro nástavbové studium. varianta B 6 celkových týd. MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro nástavbové studium (hodinová dotace: varianta A 4 až 5 celkových týd. hodin, varianta B 6 celkových týd. hodin) Schválilo

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 43. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 43 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Pro a, b R + určete hodnotu výrazu ( a b) 2 ( a + b) 2, víte-li,

Více

Příklady na 13. týden

Příklady na 13. týden Příklady na 13. týden 13-1 Kruhový záhon o průměru 10 m se má osázet begóniemi. Na jednu sazenici je zapotřebí 2 dm 2. 1g semena má 5 000 zrn, jejichž klíčivost je 85 %. Pěstební odpad od výsevu do výsadby

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více