Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ"

Transkript

1 ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace Mgr. Jan Pavelka Vybrané kapitoly z matematiky Geometrie na 2. stupni ZŠ Poznámka autora Následující studijní materiál slouží jako pomůcka při výuce vybraných kapitol učiva matematiky na základních školách. Jelikož se domnívám, že na geometrii je kladen minimální důraz, věnuji se především některým obtížnějším kapitolám z planimetrie.

2 OBSAH STUDIJNÍHO MATERIÁLU 1. SOUMĚRNOST SHODNOST SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ VĚTY O SHODNOSTI TROJÚHELNÍKŮ (SSS, SUS, USU) OSOVÁ SOUMĚRNOST OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY TROJÚHELNÍK VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ DRUHY TROJÚHELNÍKŮ VÝŠKY TROJÚHELNÍKU TĚŽNICE TROJÚHELNÍKU STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU KRUŽNICE VEPSANÁ TROJÚHELNÍKU KRUŽNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU OBVOD TROJÚHELNÍKU OBSAH TROJÚHELNÍKU ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI DRUHY ÚHLŮ DVOJICE ÚHLŮ OSA ÚHLU OPERACE S ÚHLY MĚŘÍCÍ PŘÍSTROJE POČÍTÁME S ÚHLY A PŘEVODY JEDNOTEK SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ÚHLŮ PŘEHLED ROVINNÝCH OBRAZCŮ PŘEHLED TĚLES A JEJICH PLÁŠTĚ METODICKÁ PŘÍRUČKA - HODINOVÉ DOTACE POUŽITÁ LITERATURA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ - PRACOVNÍ LISTY

3 1. SOUMĚRNOST 2 SHODNOST Shodnými útvary v rovině rozumíme takové dva rovinné obrazce, které se po posunutí na sebe navzájem kryjí. Několik rovinných útvarů je shodných, jestliže jsou každé dva z nich shodné. Na papíře stačí jeden útvar vystřihnout a položit na druhý. Jestliže se přesně kryjí, jsou shodné. Ne vždy však můžeme útvar vystřihnout, pomůžeme si tedy takzvanou "Průsvitkovou metodou". Ta spočívá v tom, že jeden z útvarů obkreslíme na průsvitku a vzniklý obrys přesuneme na druhý útvar. Jestliže se obrysy obou útvarů přesně překrývají, můžeme říct, že jsou útvary shodné. Nezapomeňte, že shodné útvary mohou být umístěny v různých polohách. Mohou být různě otočeny nebo převráceny. I vy tedy průsvitkou otáčejte a převracejte ji! ZNAK SHODNOSTI.. Dvě úsečky jsou shodné, mají-li stejnou délku! AB CD 2

4 Dva úhly jsou shodné, mají-li stejnou velikost! AVB ECD 3 SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ Trojúhelníky ABC a KLM jsou shodné: ABC KLM Zápis zároveň ukazuje, že při přemístění průsvitkou přejde bod A do bodu K (první bod zápisu do prvního bodu) bod B do bodu L (druhý bod do druhého bodu) bod C do bodu M (třetí bod do třetího bodu) A B C K L M Pak pro strany těchto trojúhelníků platí: a = k, b = l, c = m Je skoro jasné, že při tomto přemístění se tedy nemění ani délky úseček ani velikosti úhlů, proto pro naše dva shodné trojúhelníky platí: pro úhly pak 3

5 4 VĚTY O SHODNOSTI TROJÚHELNÍKŮ Věta SSS Shodují-li se dva trojúhelníky ve všech třech stranách, pak jsou shodné. Věta SUS Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné., Věta USU Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých, pak jsou shodné., TĚCHTO VLASTNOSTÍ BUDEME VYUŽÍVAT PŘI KONSTRUKCI TROJÚHELNÍKŮ. VŽDY JE DŮLEŽITÉ VYUŽÍT SPRÁVNOU VĚTU (SSS, SUS, USU)!!! 4

6 Jak na to? Co je třeba při rozhodování o shodnosti trojúhelníků zapotřebí? Snad vám pomůže následující postup: 1. Řádně prozkoumat zadání. 2. Rozmyslet si, co je zadáno, co není zadáno, co všechno je potřeba k vyřešení. 3. Na základě zadaných a známých hodnot (nejlépe v jednom trojúhelníku) se rozhodnout pro jednu z výše uvedených vět a zjistit, zda platí potřebné tři rovnosti; pokud ano, pak jsou trojúhelníky shodné. Jak bude vypadat správné řešení víte, tudíž si vyzkoušíme všechny tři věty v praxi. Příklad Sestroj trojúhelník ABC, který má délky stran a = 35 mm, b = 28 mm, c = 46 mm. Dle předcházejícího postupu nejdříve musíme rozmyslet, zda je vše podstatné zadáno, abychom mohli tento trojúhelník sestrojit, zda platí trojúhelníková nerovnost (popřípadě zda součet vnitřních úhlů nepřesáhl 180 ) K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu SSS, jelikož známe všechny tři strany trojúhelníku. 1) ROZBOR, kde si vše načrtneme a popíšeme, jak to zřejmě bude vypadat v konstrukci. 2) POSTUP KONSTRUKCE, je přesný postup zapsaný pomocí matematických značek (celosvětově uznávané). 3) KONSTRUKCE, přesně provedena (s využitím měřidel, úhloměru, tužky) 1) ROZBOR b = 28 mm a = 35 mm A c = 46 mm 5

7 Platí tedy tři nerovnosti : a + b > c a + c > b b + c > a Pro náš ABC : > > > 35 Trojúhelník ABC všechny tyto nerovnosti splňuje, lze jej tedy sestrojit! 2) POPIS KONSTUKCE 1. AB; AB = c = 46 mm 2. k; k ( A; b = 28 mm) 3. l; l ( B; a = 35 mm) 4. C; C k l náleží (leží na) 5. ABC průnik, průsečík 3) KONSTRUKCE - pozor popis bodů, kružnice (bez rozměrů ) Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu 1). 2) 3) 6

8 4) 5) Výsledek konstrukce! Příklad Sestroj ABC, který má délky stran b = 28 mm, c = 46 mm a úhel α = 49. K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu SUS, jelikož známe dvě strany a úhel jimi sevřený. 7

9 1) ROZBOR ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace α < 180 (součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180 ) lze tedy ABC sestrojit! 2) POPIS KONSTUKCE 1. AB; AB = c = 46 mm 2. BAX; BAX = k; k ( A; b = 28 mm) 4. C; C k AX náleží (leží na) 5. ABC průnik, průsečík AX polopřímka AX 3) KONSTRUKCE - pozor popis bodů, kružnice (bez rozměrů ) Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu 1) 2) 8

10 3) 4) 5) Výsledná konstrukce! Příklad Sestroj ABC, který má délku strany c = 46 mm a úhly α = 49 a β = 37. K sestrojení tohoto trojúhelníku využijeme větu USU, jelikož známe stranu a oba úhly jsou k ní přilehlé. 1) ROZBOR α + β < 180 (součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180 ) lze tedy ABC sestrojit! 9

11 2) POPIS KONSTUKCE) 1) AB; AB = c = 46 mm 2) BAX; BAX = 50 3) ABY; ABY = 37 4) C; C BY AX náleží (leží na) 5) ABC průnik, průsečík AX polopřímka AX 3) KONSTRUKCE - pozor popis bodů (bez rozměrů ) Pro názornost Vám rozklíčuji každý bod postupu 1) 2) 3) 10

12 4) a 5) Výsledná konstrukce! PRO ZOPAKOVÁNÍ Každé dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se: a) ve všech třech stranách - věta sss b) ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném - věta sus c) ve straně a dvou úhlech k ní přilehlých - věta usu Zápis: ABC A B C čteme trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem A B C. a) SSS b) SUS c) USU 5 OSOVÁ SOUMĚRNOST 11

13 Osová souměrnost je zobrazení v rovině, které překlápí vzory přes osu. Jednoduše si jej lze představit, jako obtisk po přeložení listu papíru. Osovou souměrností vznikne tedy obraz, který je shodný se vzorem a převrácený ve směru kolmém na osu. Původní obrazec nazýváme VZOR, ten který vznikne zobrazením nazýváme OBRAZ, ten označujeme většinou jako vzor s čárkou (A A ). Přímku, přes kterou se vzor překlápí nazýváme Osa souměrnosti. Všechny body, které leží na ose souměrnosti, zůstávají namístě a tedy i průsečíky vzorů s osou souměrnosti se kryjí se svými obrazy. Takové body, jejichž vzory se kryjí se svými obrazy nazýváme samodružné body (P = P ). Konstrukce obrazu v osové souměrnosti Zadání : Sestrojte obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o. Postup konstrukce: Sestrojíme obrazy bodů A,B a spojíme v úsečku A'B'. Obrazy nalezneme tak, že spustíme vždy ze vzoru kolmici na osu souměrnosti. Tím získáme bod P - patu kolmice o kterém víme, že leží ve středu úsečky vzor obraz. Nyní si ukážeme přesný postup, krok po kroku! 1. Sestrojíme kolmici k ose z bodu A. 12

14 2. Sestrojíme bod A tak, aby bod P byl středem úsečky AA. 3. Získali jsme obraz bodu A 4. Stejným způsobem sestrojíme obraz bodu B. 5. Získali jsem obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o. 6 OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY 13

15 Osově souměrný útvar se dá rozdělit přímkou na dvě shodné části, pro které platí: Když překlopíme jednu část podle této přímky, kryje se přesně s druhou částí. U geometrických útvarů rozhodneme o jejich souměrnosti snadno. Setkali jsme se již s úhlem a jeho osou souměrnosti (osou úhlu) a víme i že každá úsečka má svou osu souměrnosti a to osu úsečky. Osově souměrné útvary však neexistují pouze v geometrii, ale setkáváme se s nimi denně. Příkladem může být tento motýl, některé dopravní značky a další předměty. Útvary mohou mít i více než jednu osu souměrnosti!! 7 STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Středová souměrnost je, stejně jako souměrnost osová, zobrazení v rovině, které převádí vzory na obrazy. Rozdíl oproti osové souměrnosti je v tom, že překlopení vzoru probíhá přes jediný bod, který nazýváme střed souměrnosti. Konstrukce obrazu ve středové souměrnosti 14

16 Zadání: Sestrojte obraz ABC ve středové souměrnosti se středem S. Postup konstrukce: Postupně vyneseme polopřímky AS, BS, CS a sestrojíme body A', B', C' tak, aby bod S byl vždy středem úsečky vzor-obraz. Obrazy bodů A,B,C spojíme v trojúhelník, čímž dostaneme obraz ABC ve středové souměrnosti se středem v bodě S. Celý postup si nyní detailně rozklíčujeme. 1. Sestrojíme útvar, spojíme vrchol A s bodem S (středem souměrnosti) polopřímkou AS 2. Sestrojíme bod A tak, aby bod S byl středem úsečky AA. 3. Postup opakujeme 15

17 i u bodu B. Vytvoříme jeho obraz B. 4. Postup opakujeme i u bodu C. Vytvoříme jeho obraz C. 5. Vytvořené obrazy spojíme. 8 STŘEDOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY Středově souměrný útvar je vždy souměrný podle vlastního středu S. To znamená, že ke každému bodu nalezneme jeho obraz ve středové souměrnosti se středem S, který rovněž náleží tomuto útvaru (střed S je samodružný bod). 16

18 2. TROJÚHELNÍK Trojúhelník je mnohoúhelník s právě třemi vrcholy. Tato trojice bodů nesmí ležet na jedné přímce. Základní pojmy Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníka. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vrcholy, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého vrcholu dva). Znázornění a zápis Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem. Trojúhelník se zapisuje symbolem následovaným výčtem všech vrcholů. 17

19 9 VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ Trojúhelníková nerovnost Libovolný trojúhelník musí vždy splňovat trojúhelníkovou nerovnost. Součet dvou libovolných stran je vždy delší než strana třetí, neboli a + b > c a + c > b b + c > a, kde a, b, c jsou strany trojúhelníka. Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180!!! Dále platí: Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je

20 10 DRUHY TROJÚHELNÍKŮ Podle stran obecný trojúhelník (též různostranný) - žádné dvě strany nejsou shodné rovnoramenný trojúhelník - dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s třetí stranou rovnostranný trojúhelník - všechny strany jsou shodné Podle úhlů ostroúhlý trojúhelník - všechny vnitřní úhly jsou ostré pravoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré tupoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré 19

21 11 VÝŠKY TROJÚHELNÍKU Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. Každý trojúhelník má tři výšky. Výšky se označují malým písmenem v s dolním indexem příslušné strany (v c ). V následujících krocích můžete podrobně sledovat jednotlivé kroky při sestrojování výšek v trojúhelníku ABC. 1. Sestrojíme trojúhelník ABC, podle věty SSS. 20

22 2. Přiložíme trojúhelník ryskou ke straně c. Poté sestrojíme kolmici tak, že spojíme vrchol C s touto stranou. Postup opakujeme u strany a i b. 12 TĚŽNICE TROJÚHELNÍKU Těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá TĚŽIŠTĚ. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2:1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Těžnice se označují malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany. 2 díly : 1 dílu (každý díl = 3 1 tb ) 21

23 V následujících krocích můžete podrobně sledovat jednotlivé kroky při sestrojování těžnic v trojúhelníku ABC. 1. Sestroj trojúhelník ABC 2. Sestroj středy všech stran 3. Spoj vždy střed strany s protějším vrcholem 4. Výsledné těžnice označ (t a, t b, t c ) 22

24 13 STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU Střední příčka je spojnice středů dvou stran. Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky. Střední příčky se označují malým písmenem s s dolním indexem příslušné strany. 14 KRUŽNICE VEPSANÁ TROJÚHELNÍKU Kružnice vepsaná trojúhelníku je taková kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany. 23

25 Střed kružnice vepsané je průsečíkem všech 3 os úhlů trojúhelníku. 1. Máme trojúhelník ABC. 2. Sestrojíme osu o 1 úhlu α. 3. Sestrojíme osu o 2 úhlu β. 4. Průsečík os o 1 a o 2 je střed S kružnice vepsané k. Tuto kružnici sestrojíme, její poloměr je dán vzdáleností středu S a libovolné strany (určíme jej po sestrojení kolmice ze středu S na libovolnou stranu). 24

26 15 KRUŽNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU Kružnice opsaná trojúhelníku je taková kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran. Poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Střed kružnice opsané je průsečíkem všech 3 os stran trojúhelníku. 1. Máme trojúhelník ABC. 2. Sestrojíme osu o 1 úsečky AB. 25

27 3. Sestrojíme osu o 2 ús. AC 4. Průsečík os o 1 a o 2 je střed S kružnice opsané k. Tuto kružnici sestrojíme, její poloměr je dán vzdáleností středu S a libovolného vrcholu. 16 OBVOD TROJÚHELNÍKU Obvod trojúhelníka o se vypočte jako součet všech jeho stran: O = a + b + c a, b, c jsou strany trojúhelníka C B A 26

28 17 OBSAH TROJÚHELNÍKU Obsah trojúhelníka S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky: S = C V C 2 kde v c je výška příslušná straně c, NEBO S = B V B 2 S = A V A 2 3. ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI Co je to úhel? Úhel je část roviny omezená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímky, které vymezují úhel v rovině, se nazývají ramena úhlu, společný počáteční bod polopřímek se nazývá vrchol úhlu. Znázornění a zápis Úhel se znázorňuje pomocí jeho ramen, mezi kterými se vyznačí oblouček kolem vrcholu úhlu. Zápis úhlu se provádí pomocí řeckého písmene nebo pomocí symbolu úhlu a tří bodů v pořadí: pomocný bod na prvním rameně - vrchol - pomocný bod na druhém rameně. konvexní úhel AVB s označením AVB 27

29 nekonvexní úhel AVB s označením AVB. 18 DRUHY ÚHLŮ Nulový úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě. Mezi rameny není nic = 0. Ostrý úhel je úhel menší než pravý úhel. Pravý úhel je polovina přímého úhlu. Všimněte si na obrázku, že pravý úhel se označuje tečkou v obloučku = 90. Tupý úhel je větší než pravý úhel. Přímý úhel je úhel, jehož ramena jsou opačné polopřímky = 180. Plný úhel je úhel, jehož ramena leží na sobě, za úhel se považuje celá rovina kolem nich = 360. Konvexní úhel je úhel přímý nebo menší než přímý 180 Konkávní úhel je větší než přímý úhel

30 19 DVOJICE ÚHLŮ Vrcholové úhly jsou dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné. Vedlejší úhly jsou dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel. Souhlasné úhly jsou dva úhly, jejichž 29

31 první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou shodné. 20 OSA ÚHLU Všechny úhly jsou osově souměrné, osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel na dvě shodné části (poloviny úhlu). αα Podrobný postup při 30

32 sestrojování OSY ÚHLU! 1. Je dán úhel AVB. 2. Z bodu V sestrojíme oblouk kružnice, která protne obě ramena úhlu - dostaneme body X a Y. 3. Z bodů X a Y sestrojíme dva stejné oblouky kružnice (se stejným poloměrem), které se protnou uvnitř úhlu AVB vznikne bod Z. 4. Sestrojíme polopřímku VZ úhel ZVB je polovinou úhlu AVB. 31

33 21 OPERACE S ÚHLY SČÍTÁNÍ ÚHLŮ Dva úhly se sečtou tak, že se jedním ramenem přiloží zvenku k sobě a výsledný úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí sečíst velikosti úhlů. PRAKTICKY ŘEČENO: 1) Grafické sečtení úhlů a + b provedeme tak, že nejprve k jednomu rameni úhlu a přeneseme úhel b mimo úhel a. To znamená, že se oba úhly nepřekrývají, pokud jejich součet nepřesáhl 360 o. Jejich součet je tedy úhel, který vymezila jejich nesouhlasná ramena. Při odečítání úhlů a - b postupujeme obdobně, pouze úhel b přeneseme dovnitř úhlu a. Výsledný úhel opět vytyčují nespolečná ramena obou úhlů. ODČÍTÁNÍ ÚHLŮ Dva úhly se odečtou tak, že se jedním ramenem přiloží dovnitř sebe a výsledný úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí odečíst velikosti úhlů. 32

34 NÁSOBENÍ ÚHLŮ PŘIROZENÝM ČÍSLEM Násobení úhlu přirozeným číslem se převádí na opakované sčítání téhož úhlu tolikrát, kolik je dané přirozené číslo. Početně se vynásobí velikost úhlu daným přirozeným číslem. DĚLENÍ ÚHLŮ DVĚMA Úhel se dělí dvěma sestrojením osy úhlu. Početně se vydělí velikost úhlu dvěma 22 MĚŘÍCÍ PŘÍSTROJE Měřené úhlů je v praxi velmi důležité. Využívá je astronomie, geodézie a mnoho dalších oborů. Proto se také vyvinula řada měřících přístrojů. Úhloměr je i základem mnoha druhů dálkoměrů. úhloměr - nejjednodušší měřidlo - jedná se o polokruhovou desku se stupnicí po obvodu. Složitější přístroje mají pohyblivé rameno. 23 POČÍTÁME S ÚHLY A PŘEVODY JEDNOTEK Při počítání s úhlovými jednotkami bývá obvyklým problémem převod jednotek v dané soustavě (šedesátkové). Všechny minuty i vteřiny větší než 59 musíme převádět. 33

35 ZE STUPŇŮ NA MINUTY Při převodu velikosti úhlu na minuty musíme vědět, že 1 o = 60'. Vynásobíme tedy stupně šedesáti a zbylé minuty k nim přičteme. Př.: Převeďte 21 o 15' na minuty. 21 o 15' = 21 o ' = 1 260' + 15' = 1 275' Z MINUT NA STUPNĚ Při převodu velikosti úhlu z minut na stupně a minuty postupujeme přesně naopak než v předchozím příkladě. Dělíme celočíselně, tudíž může po vydělení zůstat i zbytek!! Př.: Zapište úhel o velikosti 2421' ve stupních. 2421' : 60 = 40 a zbytek 21' VYJÁDŘENÍ ÚHLU DESETINNÝM ČÍSLEM Stačí si připomenout, že 1 o = 60'. To znamená že počet minut musíme tímto číslem vydělit. Př.:Vyjádřete velikost úhlu 12 o 15' 18" desetinným číslem ve stupních. 12 o 15' = 12 o + 15 o : 60 = 12 o + 0,25 o = 12,25 o Z DESETINNÉHO ČÍSLA NA STUPNĚ Opačný postup je poněkud složitější, avšak budeme jej jistě potřebovat. Leckdy bývají naměřené velikosti úhlů v desetinném tvaru. Zkusme tedy převést např. 42,4 o na stupně, minuty: 1. Oddělíme celé stupně 42,4 o = 42 o + 0,4 o 2. Desetinnou část vynásobíme 60ti (počtem minut) 0,4 o.60 = 24' 3. Zapíšeme výsledek. 42,4 o = 42 o 24' 34

36 24 SČÍTÁNÍ A ODEČÍTÁNÍ ÚHLŮ SČÍTÁNÍ ÚHLŮ Jsou-li velikosti úhlů udány ve stupňové míře a v případě že minuty nepřekročí šedesátku, nemusíme si dělat žádné starosti. Sečteme zvlášť stupně a minuty: 12 o 30' + 60 o 20' = (12 o +60 o ) + (30'+20') = 72 o 50' Problém nastane, pokud při součtu minut dostaneme více než 60'! Pak nesmíme zapomenout opět převést do základního tvaru!! Př: Sečtěte : 10 o 50' + 40 o 29' Sčítat začneme odzadu, tzn. od minut po stupně, aby se nám lépe převádělo: 50' + 29' = 79' = 60' + 19' = 1 o 19' 20' můžeme opět zapsat do výsledku a nesmíme zapomenout 1 o přičíst ke stupňům: 10 o + 40 o + 1 o = 51 o 10 o 50' + 40 o 29' = 51 o 19' ODEČÍTÁNÍ ÚHLŮ Odečítání velikostí úhlů musíme věnovat zvýšenou pozornost. Jestliže jsou všechny části menšence větší než příslušné části menšitele, jednoduše je od sebe můžeme odečíst: Př.: 50 o 40' - 20 o 12' = (50 o -20 o ) + (40' - 12') = 30 o 28' Pokud však menšenci přísluší menší počet minut, než menšiteli, pak si můžeme jednoduše potřebný počet stupňů menšence převést na minuty tak, aby výsledně byl celkový počet minut menšence větší, než menšitele. Př.: ' ' = ( ') ' = ( ' + 12') ' = ' ' = ' 35

37 4. PŘEHLED ROVINNÝCH OBRAZCŮ TROJÚHELNÍK S = a v a 2 O = a + b + c ČTVEREC S = a a = a 2 O = 4 a OBDÉLNÍK S = a b O = 2 (a + b) = 2 a + 2 b ROVNOBĚŽNÍKY (KOSODÉLNÍK) S = a v a O = 2 (a + b) = 2 a + 2 b (KOSOČTVEREC) S = a v a O = 4 a a v a a 36

38 KRUH ZŠ a MŠ Ostrava Zábřeh, Kosmonautů 15, příspěvková organizace S = π r 2 O = 2 π r LICHOBĚŽNÍK S = ( a + c) va 2 O = a + b + c + d PRAVIDELNÝ ŠESTIÚHELNÍK S = a va 6 = 3 a v 2 a O = 6 a a VYSVĚTLIVKY O obvod S obsah (obrazce), povrch (tělesa) V objem a, b, c, d označení stran v, v a výška, výška na stranu a π Ludolfovo číslo (3,14159) Spl obsah pláště r poloměr Sp obsah podstavy a 37

39 5. PŘEHLED TĚLES A JEJICH PLÁŠTĚ KRYCHLE S = 6 a a = 6 a 2 V = a a a = a 3 KVÁDR S = 2 (a b + b c + a c) V = a b c HRANOL - DLE PODSTAVY NAPŘ. TROJBOKÝ, ŠESTIBOKÝ S = 2 Sp + Spl V = Sp v 38

40 VÁLEC S = 2 π r π r v V = π r 2 v PRAVIDELNÝ JEHLAN - ČTYŘBOKÝ S = a 2 + Spl V = 2 a v 3 39

41 PRAVIDELNÝ JEHLAN - TROJBOKÝ S = a 2 + Spl V = 2 a v 3 ROTAČNÍ KUŽEL S = π r (r + s) V = 2 π r v 3 KOULE S = 4 π r 2 V = 3 4 π r 3 40

42 6. METODICKÁ PŘÍRUČKA Téma: SHODNOST Ročník: 6. Pomůcky: Mezipředmětové vazby: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, VV, FY Téma: SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ, VĚTY SSS, SUS, USU Ročník: 7. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: ICT - GRAFIKA, FY, PČ Téma: OSOVÁ SOUMĚRNOST, OSOVĚ SOUMĚRNÉ ÚTVARY Ročník: 6. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY Téma: STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST, STŘED. SOUM. ÚTVARY Ročník: 7. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY, FY Téma: STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST, STŘED. SOUM. ÚTVARY Ročník: 7. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: VV, PP, PČ - DÍLNY Téma: VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ, VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKŮ, DRUHY TROJÚHELNÍKŮ, VÝŠKY, TĚŽNICE, STŘEDNÍ PŘÍČKY TROJÚHELNÍKU, KRUŽNICE VEPSANÁ A OPSANÁ TROJÚHELNÍKU Ročník: 6. Pomůcky: PRŮSVITKA, PRAVÍTKO, ÚHLOMĚR, KRUŽÍTKO Mezipředmětové vazby: PČ, FY, ICT Téma: OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU Ročník: Pomůcky: PRAVÍTKO, KALKULAČKA Mezipředmětové vazby: PČ, FY 41

43 Téma: ÚHEL A JEHO VLASTNOSTI - CELÁ KAPITOLA Ročník: 6. Pomůcky: Mezipředmětové vazby: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA PČ, FY Téma: ROVINNÉ OBRAZCE - N - ÚHELNÍKY, KRUH, KRUŽNICE Ročník: Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA Mezipředmětové vazby: PČ, VV Téma: TĚLESA A JEJICH PLÁŠTĚ - KRYCHLE, KVÁDR, JEHLANY.. Ročník: Pomůcky: PRAVÍTKO, KRUŽÍTKO, ÚHLOMĚR, KALKULAČKA, KOSTKY, KRABIČKY OD ZÁPALEK Mezipředmětové vazby: PČ, FY, ICT, DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE, 7. POUŽITÁ LITERATURA [1] Odvárko Oldřich, Kadleček Jiří: Matematika pro 6. ročník základní školy [3] Prometeus 1997; ISBN [2] Odvárko Oldřich, Kadleček Jiří: Matematika pro 7. ročník základní školy [3] Prometeus 1999; ISBN [3] Běloun František a kolektiv: Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ SPN 1992, 6.vydání; ISBN [4] Mikulčák Jiří a kol.: Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro SŠ SPN 1988; ISBN [5] [6] [7] [8] 42

44 8. PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ (A) Dopočítej velikosti všech chybějících úhlů v obrázku : (B) Sestroj trojúhelník ABC : a = 7,4 cm (náčrt, konstrukce, rozbor) b = 9 cm c = 14 cm V tomto trojúhelníku ABC sestroj těžnice. (C) Sestroj trojúhelník KLM : k = 8 cm l = 12 cm m = 9 cm Sestroj kružnici opsanou tomuto trojúhelníku KLM. (D) Sestroj trojúhelník ABC : a = 6 cm b= 12 cm c = 7 cm Sestroj kružnici vepsanou tomuto trojúhelníku. 43

45 (E) Sestroj výšky v následujícím trojúhelníku: B C A (F) Rozhodni který z následujících trojúhelníků je: Rovnoramenný Rovnostranný Pravoúhlý Ostroúhlý Tupoúhlý

46 (G) Vypočítej obsah trojúhelníku z následujícího obrázku: (H) Narýsuj trojúhelník s délkami stran: a= 4,5 cm b = 6 cm c = 5,7 cm Potom změř jeho výšku a vypočítej obvod a obsah trojúhelníku. (I) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku MNP P M F N (J) Sestroj výšky v následujícím trojúhelníku: D 45 E

47 (K) Rozhodni zda platí: Bod F patří úhlu: α, DVC, AUC, BUC Bod E patří úhlu: α, β, DVC, AVC, DVB, Vrchol úhlu ADC je bod: A, C, B (L) Sestroj osu konvexního úhlu KLM: K L L M K M C (M) Změř velikosti úhlů v trojúhelníku ABC A B 46

48 (N) Rozhodni co platí: A) úhly α a γ jsou vrcholové B) úhly β a δ jsou vedlejší C) úhly γ a δ jsou vrcholové D) úhly β a α jsou vedlejší α β δ γ (O) Graficky sečti úhel β a KLM: K β L M (P) Sestroj rozdíl úhlů KLM a β: K L M (Q) Sestroj rozdíl úhlů KLM a β: β K 47

49 β (R) Sestroj osy následujících úhlů: α =90 β = 60 (S) Narýsuj si libovolný ostrý úhel α. Graficky sestroj: A) 2 α B) α 2 Jaké druhy úhlů Ti vyšly?? Pojmenuj je (T) Bez měření zapiš velikosti úhlů α, β a γ. 39 γ β β α (U) Známe úhly α = a β =

50 Vypočítej α + β α β 2 α + ½ β Výsledky převeď do základního tvaru ( > 60 ) (V) V osové souměrnosti s osou o sestroj obraz o (W) Ve středové souměrnosti se středem v bodě D sestroj následující obraz D (X) Sestrojte β menší než 90. Sestroj osu β. (Y) Jaký je objem kvádru, který má výšku 18 dm, délku 6 dm a úhlopříčku dolní podstavy 10 dm? (Z) Kolik středů souměrnosti má osa úsečky? OBTÍŽNĚJŠÍ ÚLOHY NA PROCVIČENÍ 49

51 (AA) Obrazec na obrázku je vytvořen ze dvou shodných malých půlkruhů a jednoho velkého půlkruhu. Obvod obrazce je 219,8cm. Vypočítej poloměr r. Výsledek zaokrouhli na celé centimetry (BB) Kolik sloupků je potřeba na oplocení čtvercové zahrádky o výměře 1 aru, je-li mezi sloupky plotu vzdálenosti 2 m? (CC) Vypočítej obsah obruče, která je na obrázku vyznačena černou barvou. Vnější průměr je 560 mm a vnitřní průměr 480 mm. (DD) (EE) Který z následujících útvarů má největší součet os souměrnosti se středy souměrnosti? čtverec pravidelný šestiúhelník rovnostranný trojúhelník kruh Z kruhové desky o poloměru 16 cm má být vyříznuta část tvaru čtverce (viz. obrázek). Jakou bude mít čtverec plochu? (FF) Bedna ve tvaru kvádru s rozměry 120 cm, 96 cm, 144 cm je přesně zaplněna krabičkami tvaru krychle o hraně 24 cm. Kolik nejvíce krabiček se vejde do bedny? 50

52 (GG) Vypočítej kolik zaplatíme za barvu na bazén, když víš, že jeho rozměry jsou 22 m x 12 m a hloubka je 1,5 m. Na 5 m 2 vystačí jedna plechovka barvy za 136 Kč. (HH) Vypočítej povrch válce, jehož poloměr je 5 cm a jeho objem je 345 cm 3. (II) Terasa má tvar rovnoramenného lichoběžníku má délku 10,4 m, délka ramene je 5,7 m a velikost vnitřního úhlu mezi ramenem a základnou je 65. a) Urči přibližně, kolik čtverečných metrů dlaždic bude potřeba na vydláždění terasy. b) Podél obou ramen a kratší základny lichoběžníkové terasy bude zábradlí. Urči jeho délku. (JJ) (KK) Obsah rovnoběžníku EFGH je 56 cm 2. Vypočítej jeho výšky, když víš, že délky jeho sousedních stran jsou e = 7 cm, f = 14 cm. Jehlan s obdélníkovou podstavou o rozměrech 6 dm a 8 dm má boční hranu dělky 13 dm. Vypočítejte povrch a objem tohoto jehlanu a načrtněte jeho síť. 51

53 (LL) (MM) Vypočítejte povrch a objem rotačního kužele, jehož obvod podstavy je 125,6 cm a strana má délku 25 cm. Vypočítej obsah pravidelné čtyřcípé hvězdy, když víš, že její obvod je 120 cm a vzdálenost bodů IACI = 5 cm je (vhodně rozděl na trojúhelníky a ) C A (NN) Kolik litrů vody může maximálně za jednu sekundu odvádět koryto, jehož průřezem je půlkruh o poloměru 0,5 m, je-li rychlost toku vody 80 cm / s? (OO) (PP) (QQ) Vypočitej objem hranolu s kosočtvercovou podstavou, jehož jedna uhlopříčka podstavy má délku 20 cm a hrana podstavy má délku 26 cm. Délka hrany podstavy je k výšce hranolu v poměru 2 : 3. Pan Dvořák postaví u svého nového domu místo obyčejněho plotu zeď z cihel. Zeď bude dlouhá 47 m, vysoká 2,5 m a 29 cm široká. Cihla má rozměry 29 cm, 14 cm a 6,5 cm. Pan Dvořák objednal 5000 cihel. Vypočítej, zda mu budou stačit na celou zeď. Sníh napadl 3 dm 5 cm vysoko. Jak velký zaujímá prostor na dvoře 18 m širokém a 26 m dlouhém? Kolik sněhu je potřeba odházet na cestičku 1,5 m širokou ve směru délky? 52

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Monika Urbancová Datum 28. 8. 2014 Ročník 6. ročník Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo

Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. Učivo Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Výstupy žáka Vyučovací předmět / ročník: Matematika / 4. ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE Zpracoval: Mgr. Dana Štěpánová orientuje se v posloupnosti přirozených čísel

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

ŠVP Školní očekávané výstupy. - vytváří konkrétní soubory (peníze, milimetrový papír, apod.) s daným počtem prvků do 100

ŠVP Školní očekávané výstupy. - vytváří konkrétní soubory (peníze, milimetrový papír, apod.) s daným počtem prvků do 100 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 1. období 3. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo M3101 používá přirozená

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed.

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed. Přirozená čísla Desetinná čísla IX. X. Přirozená čísla opakování všech početních výkonů, zobrazení čísel na číselné ose, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Metody- slovní, názorně demonstrační a grafická.

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

ANOTACE VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ IV/ 2 SADA č. 2, PL č. 36

ANOTACE VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ IV/ 2 SADA č. 2, PL č. 36 ANOTACE VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ IV/ 2 SADA č. 2, PL č. 36 Název školy Základní škola a Mateřská škola, Dětřichov nad Bystřicí okres Bruntál, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.21110

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

ROČNÍK 1. ročník Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika a její aplikace Název předmětu Matematika Očekávané výstupy

ROČNÍK 1. ročník Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika a její aplikace Název předmětu Matematika Očekávané výstupy ROČNÍK 1. ročník Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Název předmětu Matematika ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE čte a zapisuje, znázorňuje na číselné ose, obor přirozených čísel do 20 OSV1 porovnává, užívá vztah

Více

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6.

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Mezipředm. vazby, PT Číslo a proměnná - užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem,

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Pavlína

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6.

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo ZÁŘÍ užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (zlomkem) PROSINEC využívá

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =

Více

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7.

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo I. čtvrtletí 40 hodin Opakování učiva z 6. ročníku (14) Přesahy a vazby, průřezová témata v oboru

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

Člověk a jeho svět. ČJ a literatura

Člověk a jeho svět. ČJ a literatura VZDĚLÁVACÍ OBLAST: Vzdělávací obor: Stupeň: Období: Ročník: Očekávané výstupy omp e t e n c e čivo Mezipředmětové vztahy oznámky používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,

Více

ŠVP Učivo. RVP ZV Očekávané výstupy. RVP ZV Kód. ŠVP Školní očekávané výstupy. Obsah RVP ZV

ŠVP Učivo. RVP ZV Očekávané výstupy. RVP ZV Kód. ŠVP Školní očekávané výstupy. Obsah RVP ZV 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 2. období 5. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Racionální čísla a procenta a základy finanční matematiky, Trojúhelníky a čtyřúhelníky, Výrazy I, Hranoly Třída: Sekunda Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC

Více

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. - Mnohostěny mají stěny, hrany

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE + MP vazby 1. Obor přirozených čísel - používá čísla v oboru 0-20 k modelování reálných situací.- práce s manipulativy - počítá předměty v oboru 0-20, vytváří soubory

Více

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK VZDĚLÁVACÍ OBLAST: VZDĚLÁVACÍ OBOR: PŘEDMĚT: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA MATEMATIKA - 4. ROČNÍK Téma, učivo Rozvíjené kompetence, očekávané výstupy Mezipředmětové vztahy Poznámky Opakování ze

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

Základní škola Náchod Plhov: ŠVP Klíče k životu

Základní škola Náchod Plhov: ŠVP Klíče k životu VZDĚLÁVACÍ OBLAST: VZDĚLÁVACÍ OBOR: PŘEDMĚT: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA MATEMATIKA 5. ROČNÍK Téma, učivo Rozvíjené kompetence, očekávané výstupy Mezipředmětové vztahy Opakování a aktivizace

Více

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem Číselné obory 1. Přirozená čísla vyjadřují počet. 1,2,3, 2. Celá čísla Kladná: nula Záporná: Kladná + nula = nezáporná čísla Celá čísla = přirozená + nula + záporná celá 3. Racionální čísla = celá čísla

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků obor přirozených čísel : počítání do dvaceti - číslice

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Ukázka zpracování učebních osnov vybraných předmětů. Škola Jaroslava Ježka základní škola pro zrakově postižené

Ukázka zpracování učebních osnov vybraných předmětů. Škola Jaroslava Ježka základní škola pro zrakově postižené Ukázka zpracování učebních osnov vybraných předmětů Škola Jaroslava Ježka základní škola pro zrakově postižené Škola má deset ročníků, 1.stupeň tvoří 1. až 6., 2.stupeň 7. až 10.ročník. V charakteristice

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika. Ročník: 6.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika. Ročník: 6. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. ROZPRACOVANÉ OČEKÁVANÉ VÝSTUPY - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla - provádí početní operace s přirozenými

Více