MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Sbírka úloh z kombinatoriky

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Bakalářská práce z matematiky Sbírka úloh z kombinatoriky pro středoškoláky Brno 2007 Petr Šurek

2 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně pod vedením doc. RNDr. Eduarda Fuchse, CSc. a uvedl v seznamu všechnu použitou literaturu. Současně souhlasím, aby byla práce uložena v knihovně Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně a popřípadě také zpřístupněna na internetových stránkách fakulty ke studijním účelům. V Brně dne 15. května Petr Šurek

3 Poděkování: Rád bych poděkoval doc. RNDr. Eduardu Fuchsovi, CSc. za ochotu, vstřícnost a trpělivost, se kterými vedl moji bakalářskou práci, a za cenné rady a připomínky k ní. Dále bych chtěl také poděkovat doc. RNDr. Zdenku Karpíškovi, CSc. a doc. Ing. Milanu Svobodovi, CSc. za poskytnutí literatury a spousty cenných rad, které mi velmi pomohly během zpracovávání mojí bakalářské práce.

4 Obsah Úvod 6 Jednoduché kombinatorické úlohy 7 1 Permutace 10 2 Variace 14 3 Kombinace 17 Úlohy k opakování I 20 4 Permutace s opakováním 26 5 Variace s opakováním 29 6 Kombinace s opakováním 32 Úlohy k opakování II 35 7 Dirichletův princip 38 8 Princip inkluze a exkluze 40 Seznam použité literatury 43 5

5 Úvod Ve své bakalářské práci jsem se snažil sestavit sbírku příkladů z kombinatoriky v rozsahu středoškolského studia. Příklady jsem strukturoval podle obtížnosti od standardních a jednoduchých až po náročné příklady, vhodné pro volitelné doplňkové semináře. Jednotlivé úlohy byly převzaty a vybrány z doporučené literatury. Tato práce obsahuje celkem 168 příkladů z kombinatoriky pro středoškoláky. Je členěna do čtyř oddílů podle náročnosti úloh. První oddíl tvoří jednoduché úlohy z kombinatoriky využívající větu o pravidle součtu a pravidle součinu. Obsahuje 16 příkladů na procvičení, vždy s udanými výsledky řešení. Druhý oddíl tvoří kapitoly 1, 2, 3 obsahující jednodušší příklady permutací, variací a kombinací. Každá kapitola uvádí potřebné definice a vždy řešení několika zadání. Pak je připojeno v těchto kapitolách celkem 28 příkladů na procvičování, vždy s udanými výsledky řešení. Na závěr oddílu jsou připojeny úlohy k opakování látky kapitol 1, 2 a 3. Je to celkem 36 příkladů, vždy s udanými výsledky řešení. Třetí oddíl tvoří kapitoly 4, 5 a 6 obsahující náročnější úlohy permutací s opakováním, variací s opakováním a kombinací s opakováním. I v tomto oddílu, v každé kapitole, jsou uváděny potřebné definice a podrobně popsáno řešení několika zadání. Každá z kapitol tohoto oddílu je uzavřena vždy deseti příklady na procvičování, vždy s udanými výsledky řešení. Na závěr tohoto oddílu jsou připojeny úlohy k opakování látky kapitol 4, 5 a 6. Je to celkem 18 příkladů, vždy s udanými výsledky řešení. Poslední dvě kapitoly tj. 7 a 8 uvádějí náročnější příklady vhodné pro volitelné semináře. Kapitola 7 se věnuje Dirichletovu principu, uvádí definice, názorná řešení pěti příkladů a pět příkladů na procvičování opět s uváděnými výsledky řešení. Kapitola 8 se pak věnuje principu inkluze a exkluze, uvádí definice a názorná řešení pěti příkladů. Některé náročnější příklady z třetího oddílu (kap. 4, 5 a 6 vhodné i pro volitelný seminář jsou označeny hvězdičkou. Na závěr práce je pak uvedena literatura, ze které jsem čerpal mimo rámec literatury doporučené v zadání. V textu se držím obvyklého značení definovaných pojmů. Množina přirozených čísel je označena N, přičemž nula není považována za přirozené číslo. Předpokládám, že n, k jsou přirozená čísla, pokud není řečeno jinak, tj. n, k N. 6

6 Jednoduché kombinatorické úlohy Věta (Pravidlo součtu. Jsou-li A 1, A 2,..., A n konečné množiny, které mají po řadě p 1, p 2,..., p n prvků, a jsou-li každé dvě disjunktní, pak počet prvků množiny A 1 A2 A n je roven p 1 + p p n. Věta (Pravidlo součinu. Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat n 1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n 2 způsoby atd. až k-tý člen po výběru všech předcházejících členů n k způsoby, je roven n 1 n 2 n k. 1. Ze dvou sportovních šermířských oddílů, z nichž každý má 100 členů, je třeba vybrat po jednom šermíři pro jistou soutěž. Kolika způsoby lze tento výběr provést? [Podle pravidla součinu existuje 100 2, tj způsobů výběru] 2. Určete počet všech trojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou. [9 9 8 = 648] 3. Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 8 vybrat dvě různobarevná políčka tak, aby obě neležela v téže řadě ani v témže sloupci. [32 24 = 768] 4. Ze 3 exemplářů učebnice algebry, 7 exemplářů učebnice geometrie a 7 exemplářů učebnice trigonometrie je třeba vybrat po jednom exempláři každé učebnice. Kolika způsoby to můžeme provést? [3 7 7 = 147] 5. Určete, kolik dvojjazyčných slovníků je třeba k tomu, aby byla zajištěna možnost přímého překladu z anglického, francouzského, německého a ruského jazyka do každého z nich. [4 3 = 12] 7

7 6. Z města A do města B vede 5 cest, z města B do města C vedou tři cesty. Určete počet cest, které vedou z A do C a přitom procházejí B. [Podle pravidla součinu dostáváme 5 3 = 15 cest] 7. Z místa A do místa B vedou čtyři turistické cesty, z místa B do C tři. Určete počet způsobů, jimiž lze vybrat trasu (a z A do C a zpět; [12 12 = 144] (b z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest není žádná použita dvakrát; [6 12 = 72] (c z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát. [1 12 = 12] 8. Angličané obvykle dávají svým dětem několik jmen. Kolika způsoby lze pojmenovat ne více než třemi jmény novorozeně, je-li k dispozici 300 různých jmen? [Novorozeně může dostat 1, 2, nebo 3 jména, přičemž všechna jména jsou různá. Celkem je = možností] 9. V košíku je 12 jablek a 10 hrušek. Petr si má z něho vybrat bud jablko, anebo hrušku tak, aby Věra, která si po něm vybere jedno jablko a jednu hrušku, měla co největší možnosti výběru. Určete, co si má vybrat Petr. [Jablko] 10. Otec má 5 kabátů, 7 vest a šestery kalhoty. Kolika různými způsoby se může obléci? [5 7 6 = 210] 11. Na vrchol hory vedou čtyři turistické cesty a lanovka. Určete počet způsobů, kterými je možno se dostat (a na vrchol a zpět; (b na vrchol a zpět tak, aby zpáteční cesta byla jiná než cesta na vrchol; [25] [20] 8

8 (c na vrchol a zpět tak, aby aspoň jednou byla použita lanovka; [9] (d na vrchol a zpět tak, aby lanovka byla použita právě jednou. 12. Z 12 slov mužského rodu, 9 ženského a 10 středního rodu máme vybrat po jednom slovu každého rodu. Kolika způsoby lze provést tento výběr? [podle pravidla součinu existuje = způsobů] 13. Kolika způsoby lze vybrat jednu samohlásku a jednu souhlásku ze slova lavice? 14. Máme 8 červených vzájemně různých kostek a 7 kostek modrých, též vzájemně rozlišitelných. Kolika způsoby můžeme vybrat skupinu obsahující jednu červenou a jednu modrou kostku? *15. Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula a ze zbývajících devíti číslic se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou. Kolik z těchto čísel je větších než 9 000? Kolik je menších než 3 000? [8] [9] [56] [3 024, větších než je 336, menších než je 672] *16. Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, jejichž dekadický zápis je složen z číslic 1, 2, 3, 4, 5 (každá z nich se může opakovat, která jsou dělitelná (a pěti; (b dvěma; (c čtyřmi. [125] [250] [125] 9

9 Kapitola 1 Permutace Definice. Necht M je množina tvořená n různými prvky, n N. Libovolnou uspořádanou n-tici, tvořenou prvky této množiny, nazýváme n-prvkovou permutací (popř. permutací n prvků bez opakování. Počet permutací n různých prvků je P (n = n! kde symbol n! značí n-faktoriál a n! = n(n pro n N. Speciálně klademe 0! = 1. Platí (n + 1! = n! (n příklad. 6 lidí máme postavit do fronty, tj. přiřadit jim pořadí. Kolika způsoby to lze provést? Řešení. Každá taková šestice je jednou permutací prvků dané šestiprvkové množiny. Jejich počet je: P (6 = 6! = = příklad. 10 různých hraček máme rozdat deseti různým dětem. Kolika způsoby to lze provést? Řešení. Každé dítě má dostat právě jednu hračku, to znamená, musíme utvořit desetičlennou permutaci. Těchto permutací je P (10 = 10! 3. příklad. Kolik slov lze vytvořit z písmen slova žralok (za předpokladu, že musí být všechna písmena použita právě jednou Pozn.: Vytvořená slova nemusí mít věcný význam. Řešení. Naším úkolem je najít všechny šestice, vytvořené z písmen ž, r, a, l, o, k. Každá tato šestice odpovídá jedné permutaci z šesti prvků. Hledaný počet je tedy roven počtu permutací šestiprvkové množiny, tj. 6! = příklad. Určete počet prvků tak, aby bylo možno z nich utvořit právě permutací. 10

10 Řešení. Naším úkolem je najít takové číslo n, pro které by platilo: n! = n (n = Budeme tedy násobit po sobě jdoucí čísla od jedné do n, dokud nedostaneme číslo Velmi brzy zjistíme, že = K utvoření permutací je proto třeba 9 prvků. 5. příklad. Kolika způsoby můžeme rozestavit na šachovnici 8 věží tak, aby se žádné dvě z nich vzájemně neohrožovaly? Řešení. Je zřejmé, že při takovém rozestavení stojí na šachovnici v každém sloupci i v každé řadě jediná věž. Uvažujme jednu z těchto poloh a označme a 1 číslo obsazeného pole v první řadě, a 2 v druhé řadě,...,a 8 v osmé řadě. Pak je a 1, a 2,..., a 8 určitou permutací z čísel 1, 2,..., 8 (je jasné, že mezi čísly a 1, a 2,..., a 8 nejsou ani dvě sobě rovná; jinak by dvě věže stály v témže sloupci. Obráceně, jestliže a 1, a 2,..., a 8 je nějaká permutace čísel a 1, a 2,..., a 8, pak jí odpovídá jisté rozestavení věží, v němž se vzájemně neohrožují. To však znamená, že počet hledaných poloh věží je roven počtu permutací z čísel a 1, a 2,..., a 8, tj. P 8 = 8! = = Existuje tedy celkem možných rozestavení věží, která splňují požadovanou podmínku. 6. příklad. Kolik pěticiferných přirozených čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, mají-li čísla končit číslicí 1 nebo 3. Řešení. Všech skupin daných číslic, které mají na konci číslici 1, je P (4. Od tohoto počtu musíme odečíst skupiny, které mají na začátku číslici 0 a jejichž je P (3, nebot permutujeme jenom 3 prvky. Tedy pěticiferných přirozených čísel končících číslicí 1 je celkem P (4 P (3. Obdobnou úvahou dostaneme počet pěticiferných přirozených čísel končících číslicí 3, tj. P (4 P (3. Všech pěticiferných přirozených čísel končících číslicí 1 nebo 3 je tedy 2[P (4 P (3] = 2(4! 3! = 2 18 = V lavici sedí pět chlapců, z nichž dva bratři chtějí sedět vedle sebe. Kolika různými způsoby můžeme chlapce přesadit? 2. Určete, kolika způsoby se v šestimístné lavici může posadit šest hochů, jestliže [48] (a dva chtějí sedět vedle sebe; (b dva chtějí sedět vedle sebe a třetí chce sedět na kraji. [2 5! = 240] [2 2 4! = 96] 11

11 3. Určete, kolikrát lze přemístit slova ve verši Sám svobody kdo hoden, svobodu zná vážiti každou tak, aby se nepromíchala slova věty hlavní a vedlejší. 4. Určete počet všech devítimístných [2 (4! 2 = 1 152] (a telefonních (b přirozených čísel, v jejichž zápisu je každá z deseti číslic kromě devítky. [(a9!, (b9! 8!] 5. Kolik náhrdelníků lze sestavit ze 7 korálků různých velikostí? Předpokládejte, že každý náhrdelník musí obsahovat všechny korálky. Náhrdelníky se nemění ani při cyklických permutacích, ani při převrácení. [ 7! 14 = 360] 6. Určete, kolika způsoby je možné přeskupit písmena slova SYMBOL tak, aby byly mezi 2 samohláskami právě dvě souhlásky. 7. Určete počet prvků tak, aby (a bylo možno z nich utvořit právě permutací; (b při zvětšení jejich počtu o dva se počet permutací zvětšil 56krát; (c při zmenšení jejich počtu o dva se počet permutací zmenšil 20krát. [3 2 4! = 144] *8. Určete, kolika způsoby může m chlapců a n dívek nastoupit do zástupu tak, aby (a nejdříve stály všechny dívky a pak všichni chlapci; [8] [6] [5] [n!m!] (b mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka ani mezi žádnými dvěma dívkami nebyl žádný chlapec; [2n!m!] 12

12 (c mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka. Návod: Uspořádanou n-tici chlapců lze zařadit na n + 1 míst mezi n děvčat. [(n + 1!m!] *9. Představte si, že zapíšete pod sebe všechny permutace čísel 1, 2, 3, 4, 5; vznikne tak obdélníkové schéma, které má 120 řádků a 5 sloupců. Určete součet všech čísel v každém sloupci. [360] *10. Určete, kolika nulami končí dekadický zápis čísla 258!. Návod: Představte si číslo 258! ve tvaru 2 n1 3 n2 5 n3 7 n4 11 n5... p, kde p je největší prvočíslo menší než 258, a zdůvodněte, že hledaný počet nul je roven menšímu z čísel n 1, n 3. [63] 13

13 Kapitola 2 Variace Definice. k-členná variace z n prvků (bez opakování, kde n k, je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou. Počet takových variací je n! V k (n = n (n 1 (n 2... (n k + 1 = (n k! 1. příklad. Máme za úkol sestavit ze čtyř barev (bílá, modrá, červená, zelená trojbarevné prapory tak, aby se každá barva u jednoho praporu vyskytovala jen jednou. U praporu však záleží na pořadí barev, tj. není lhostejné, která z nich následuje za kterou. Řešení. Zvolíme-li libovolné tři barvy, např. bílou (označíme ji stručně b, modrou (m a červenou (č, můžeme zvolené tři barvy přeskupit těmito šesti způsoby: b,m,č b,č,m m,b,č m,č,b č,m,b č,b,m Ze tří zvolených barev jsme tak dostali 6 možných seskupení. Vyměníme-li nyní postupně všechny tři barvy za zbývající zelenou (z a provedeme-li v každé trojici barev podobná přeskupení, dostaneme těchto dalších 18 možností: z,m,č z,č,m m,z,č m,č,z č,m,z č,m,z b,z,č b,č,z z,b,č z,č,b č,z,b č,b,z b,m,z b,z,m m,b,z m,z,b z,m,b z,b,m Zjistili jsme, že ze čtyř barev je možno sestavit tři barvy do trojbarevných praporů 24 způsoby. Takový způsob sestavování je ovšem velmi zdlouhavý a pracný. Počet možných seskupení budeme proto v dalším počítat pomocí pojmu variace, který jsme zavedli výše. V 3 (4 = = příklad. Hokejového turnaje se účastní 8 družstev. Kolika způsoby mohou být obsazena první tři místa? Řešení. V 3 (8 = = 8! 5! = 336 (Variační číslo lze názorně zdůvodnit úvahou: kterékoli z 8 družstev může obsadit 1. místo. V každém z těchto 8 případů může být na 2. místě kterékoli ze zbývajících 7, na třetím pak v každém případě kterékoli ze zbývajících šesti. 14

14 3. příklad. V naší první fotbalové lize bojuje o titul 16 mužstev. Kolik je různých možností obsazení prvních tří medailových míst? Řešení. V dané úloze hledáme zřejmě počet všech uspořádaných trojic vybíraných z 16 prvků, jejich počet je V 3 (16 = = příklad. Ve škole se učí 10 různým předmětům a každému se učí nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby je možno sestavit rozvrh hodin na jeden den, je-li toho dne pět různých předmětů? Řešení. Protože jde o skupiny, v nichž záleží na pořadí prvků, které se neopakují, jde o variace 5-třídy z 10 prvků (n = 10, k = 5. Jejich počet je V 5 (10 = 10! (10 5! = ! 5! = Rozvrh hodin na jeden den je tedy možno z deseti předmětů sestavit způsoby. 5. příklad. Kolik čtyřciferných přirozených čísel s navzájem různými ciframi lze sestavit z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5?Kolik je mezi nimi sudých čísel? Řešení. Označme n 1 počet všech čtyřciferných přirozených čísel s navzájem různými ciframi, která jsou sestavena z cifer 0, 1,..., 5, a n 2 počet všech těchto čísel, která jsou navíc sudá. Pak platí n 1 = 5 V 3 (5 = = 300, nebot počáteční cifru daného čísla lze vybrat 5 způsoby z cifer 1, 2,..., 5, zbylé tři cifry pak vybereme V 3 (5 způsoby. K určení čísla n 2 rozdělme všechna sudá čísla do dvou skupin S 1, S 2 ; ve skupině S 1 budou ta čísla, která končí cifrou 0, těch je zřejmě V 3 (5 = = 60, ve skupině S 2 ta čísla, která končí některou z cifer 2, 4. Takových čísel je podle pravidla součinu = 96. Dohromady n 2 = S 1 + S 2 = = Výbor sportovního klubu tvoří sedm mužů a pět žen. Určete: (a kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře; [V 4 (12 = ] (b kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle (a tak, aby ve funkci předsedy byl muž a ve funkci místopředsedy žena nebo obráceně; [ = 6 300] (c kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle (a tak, aby právě jedním z nich byla žena. [ = 4 200] 15

15 2. Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den pro třídu, v níž se vyučuje dvanácti předmětům a každému nejvýše jednu vyučovací hodinu denně, má-li se skládat ze šesti vyučovacích hodin. V kolika z nich se vyskytuje daný předmět a v kolika z nich je tento předmět zařazen na 1. vyučovací hodinu? [V 6 (12 = , s daným předmětem 6 V 5 (11 = , s daným předmětem v 1. hodině V 5 (11 = ] 3. Určete počet prvků, z nichž lze utvořit (a 240 dvoučlenných variací; (b dvakrát více čtyřčlenných variací než tříčlenných variací. 4. O telefonním čísle svého spolužáka si Pavel zapamatoval jen to, že je devítimístné, začíná dvojčíslím 23, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu. [16] [5] [2 V 5 (6 = 1 440] 5. Kolika způsoby je možno rozdělit 8 chlapců a 4 děvčata na dvě šestičlenná volejbalová družstva tak, aby v každém družstvu bylo aspoň jedno děvče? [ ( ( (4 ( ] 6. Roztržitý pan profesor byl po zhlédnutí utkání v házené dotázán doma na výsledek. Odpověděl, že utkání neskončilo nerozhodně a že žádné z obou mužstev nevstřelilo více než 20 a méně než 10 branek. Určete počet možných výsledků. 7. Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet tříčlenných variací (a desetkrát (b o 150 Určete původní počet prvků. [V 2 (11 = 110] [(a3, (b5] 8. Určete počet všech nejvýše čtyřciferných čísel s různými číslicemi, která jsou sestavena z číslic 0, 2, 4, 6, 8. [V 1 (5 + [V 2 (5 V 1 (4] + [V 3 (5 V 2 (4] + [V 4 (5 V 3 (4] = 165] *9. Dokažte, že pro počet k-členných variací z n prvků platí V (k, n = nv (k 1, n 1. 16

16 Kapitola 3 Kombinace Definice. Kombinace k-té třídy z n prvků (bez opakování, kde n k, jsou libovolné k-prvkové podmnožiny dané n-prvkové množiny. Na pořadí prvků v podmnožině (k-tici nezáleží, žádný se v ní neopakuje. Počet kombinací k-té třídy je proto menší nebo roven než počet variací k-té třídy z téže množiny: vždy k! variací lišících se pouze pořadím vybraných prvků představuje tutéž kombinaci. C k (n = V k(n n! = k! (n k! k! toto číslo se nazývá kombinační číslo (nebo také binomický koeficient a označuje se ( n k 1. příklad. Kolika způsoby lze vyplnit tiket Sportky pro 1 tah? Řešení. Vybíráme šestici z 49 různých čísel (nezáleží na pořadí, v němž je zaškrtáváme ( C 6 (49 = = příklad. Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolika způsoby je možno zvolit do třídní samosprávy 3 zástupce, mají-li to být a samí chlapci; b samé dívky; c dva chlapci a jedna dívka? Řešení. a Poněvadž nezáleží na pořadí, jde o kombinace třetí třídy (volíme 3 zástupce z 18 prvků (ve třídě je 18 chlapců: ( 18 C 3 (18 = = 18! 3 15! 3! = 816 Do třídní samosprávy lze z 18 chlapců zvolit 3 zástupce 816 způsoby. b V tomto případě, který je obdobný s a, n = 14, k = 3; ( 14 C 3 (14 = = 14! 3 11! 3! =

17 Do třídní samosprávy lze ze 14 dívek zvolit 3 dívky 364 způsoby. c Dva chlapci se z 18 chlapců mohou vybrat C 2 (18 způsoby, jedna dívka z 14 dívek C 1 (14 způsoby. Ale každý z C 2 (18 způsobů lze spojit s kterýmkoli z C 1 (14 způsobů; jde tedy o násobení kombinací: C 2 (18 C 1 (14 = ( 18 2 ( 14 = 1 18! 14 16! 2! = = Z 18 chlapců a 14 dívek lze dva chlapce a jednu dívku zvolit do třídní samosprávy způsoby. 3. příklad. Je n účastníků telefonní sítě. Kolik existuje možností současného spojení tří dvojic? Řešení. Nejprve vybereme 6 účastníků C 6 (n způsoby. Uspořádáme tyto účastníky v libovolném pořadí a rozdělíme do dvojic (první, druhý; třetí, čtvrtý; pátý, šestý. To lze provést 6! způsoby. Účastníky můžeme uvnitř každé dvojice libovolně přestavovat, dále je nepodstatné pořadí dvojic; proto je celkový počet způsobů potřeba vydělit číslem 2 3 3!. n! Dostáváme způsobů. 48(n 6! 4. příklad. Rotu tvoří 3 důstojníci, 6 poddůstojníků a 60 vojínů. Kolika způsoby z nich lze vybrat oddíl, který tvoří jeden důstojník, dva poddůstojníci a 20 vojínů? Řešení. Důstojníky lze vybrat C 1 (3 způsoby, poddůstojníky C 2 (6 způsoby a vojíny C 20 (60 způsoby. Celkový počet způsobů je tedy podle pravidla součinu roven C 1 (3 C 2 (6 C 20 ( Je dán čtverec ABCD a na každé jeho straně n (n 3 vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech. [ ( 4n 3 4 ( n 3 ] 2. Trojúhelníkové číslo je číslo a n = ( n 2 ; n 2. Vyhledejte trojúhelníková čísla menší než 100. [Trojúhelníková čísla menší než 100 jsou: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91.] 3. Orchestr má 10 členů. Kolika způsoby lze z něho v průběhu 3 dnů vybírat vždy po 6 členech tak, aby každý den bylo jiné složení orchestru? [ ( 10 6 ( ( ( ( ] 18

18 4. Herní systém hokejového turnaje pro deset mužstev spočívá v tom, že v každé ze dvou skupin po pěti družstvech sehraje každé s každým jeden zápas; první dvě mužstva z obou skupin postupují do finále, kde opět každé s každým sehraje jeden zápas, avšak s výjimkou družstev, která již spolu hrála ve skupině. Určete celkový počet zápasů v turnaji. [2 (5 2 + ( = 24] 5. Marek má sedm knih, o které se zajímá Veronika, Veronika má deset knih, o které se zajímá Marek. Určete, kolika způsoby si Marek může vyměnit dvě své knihy za dvě knihy od Veroniky. [ ( 7 2 ( 10 2 = 945] 6. Určete, kolika způsoby je možno ze dvaceti osob vybrat deset, požadujeme-li, aby mezi vybranými (a nebyl pan A; (b nebyli zároveň pánové A, B; (c byl aspoň jeden z pánů A, B. 7. Určete počet prvků tak, aby [ ( ] [ ( ( 18 8 ] [2 ( ( 18 8 ] (a počet čtyřčlenných kombinací z nich vytvořených byl dvacetkrát větší než počet dvoučlenných kombinací; (b při zvětšení počtu prvků o jeden se počet tříčlenných kombinací zvětšil o 21. *8. Vyjádřete kombinačními čísly, kolika způsoby může m chlapců a n dívek utvořit taneční pár. [ ( ( m+n 2 n ( 2 m 2 ] *9. Na černá políčka šachovnice 8 8 máme rozmístit 12 bílých a 12 černých pěšců. Určete, kolika způsoby to lze provést. [ ( ( ] [18] [7] 19

19 Úlohy k opakování I 1. Kolik pěticiferných čísel je možno sestavit z číslic 0, 1, 3, 4, 7? Kolik z nich je sudých? 2. Kolik šesticiferných čísel je možno sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, mají-li čísla (a začínat cifrou 4; (b ciframi 4 nebo 5? [96, sudých 42] [120] [240] 3. Zmenšíme-li počet prvků o dva, zmenší se počet permutací dvacetkrát. Určete původní počet prvků. 4. Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet permutací 42krát. Určete původní počet prvků. 5. Kolik nejvýše čtyřciferných čísel je možno sestavit z cifer 0, 2, 4, 6? 6. Kolik různých signálů je možno utvořit z pěti praporků různých barev, jsou-li (a tři praporky postaveny vedle sebe; (b dva praporky postaveny vedle sebe; [5] [5] [49] [60] [20] 20

20 (c vůbec všech signálů? [325] 7. Kolika způsoby může být odměněno 1., 2., 3. cenou 13 účastníků sportovní soutěže? 8. Kolik prvků dá variací druhé třídy? [1 716] [180] 9. Kolik máme dáno prvků, jestliže variací třetí třídy z nich utvořených je pětkrát víc než variací druhé třídy? 10. Kolika přímkami můžeme spojit 10 bodů, jestliže tři z nich leží na jedné přímce? [7] [43] 11. Je dáno 12 bodů v rovině, z nichž 5 leží na jedné přímce. na jedné přímce. Kolik přímek je těmito body určeno? Žádné další tři neleží [57] 12. V rovině je 10 bodů obecně položených. (a Kolik kružnic lze jimi určit? [120] (b Kolik kružnic je určeno, leží-li 6 bodů na jedné kružnici? [101] 13. Je dáno 10 různých bodů v prostoru, z nichž žádné tři neleží na jedné přímce a žádné čtyři v jedné rovině. (a Kolik rovin lze jimi určit? (b Kolik rovin lze jimi určit, leží-li 4 body v jedné rovině? [120] [117] 21

21 14. V prostoru je 12 bodů obecně položených. (a Kolik čtyřstěnů lze z těchto bodů jako vrcholů vytvořit? [495] (b Kolik čtyřstěnů vytvoříme, leží-li 6 bodů v jedné rovině? [480] 15. V kolika bodech se protíná 9 přímek, z nichž 4 jsou navzájem rovnoběžné? 16. Zvětší-li se počet prvků o 1, zvýší se počet kombinací třetí třídy o 21. Kolik je dáno prvků? 17. Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolika způsoby se mohou zvolit do třídní samosprávy 3 zástupci, mají-li to být (a samí chlapci; (b samé dívky; (c dva chlapci a jedna dívka? [30] [7] [816] [364] [2 142] 18. Učitel má 20 geometrických a 30 aritmetických příkladů.na úlohu má vybrat 1 geometrický a 2 aritmetické. Kolik je možností různých úloh? [8 700] 19. Na maturitním večírku je 24 chlapců a 15 dívek. Kolik různých párů mohou vytvořit? [360] 20. Kolik je třeba vzít prvků, aby z nich bylo možno utvořit kombinací 3. třídy, které obsahují aspoň jeden ze dvou pevně zvolených prvků? [40] 22

22 21. Kolik je třeba vzít prvků, aby počet variací 2. třídy z nich utvořených k počtu variací 3. třídy bez opakování byl v poměru 1 : 20? [x = 22] 22. Kolik je třeba vzít prvků, aby počet variací 3. třídy z nich utvořený bez opakování byl právě tak velký jako počet kombinací 3. třídy zvětšený o pětinásobný počet prvků? [x = 4] 23. Kolik je třeba vzít prvků, aby se sedminásobný počet kombinací 2. třídy rovnal 3 2 počtu kombinací 3. třídy? [x = 16] 24. Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže (a v každé řadě záleží na pořadí; (b na pořadí v řadách nezáleží. [ ( 8 4 4!4!] 25. Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 8 postavit pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích. [ ( 8 4 ] [ ( 32 2 ( !] 26. Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova BEROUNKA tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila (a slovo BERAN; (b slova NERO, KUBA v libovolném pořadí; (c slova BUK, NORA v libovolném pořadí. [4!] [2] [3!] 23

23 27. Na maturitním večírku je 15 hochů a 12 děvčat. Určete, kolika způsoby z nich lze vybrat čtyři taneční páry. [ ( 12 4 V4 (15 = ( 15 4 V4 (12] 28. V kartézské souřadnicové soustavě jsou dány přímky: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5, y = 2, y = 4, y = 6, y = 8. Určete, kolik je v takto vzniklé síti rovnoběžníků. Návod: každý rovnoběžník je určen dvěma dvojicemi rovnoběžek. [ ( 5 2( 4 2 ] 29. Určete, v kolika bodech se protíná 12 přímek v rovině, z nichž 5 je rovnoběžných a žádné tři neprocházejí týmž bodem. [ ( 12 2 ( 5 2 ] 30. Je dán rovnostranný trojúhelník a na každé jeho straně je dáno n (n 3 vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků (a s vrcholy v daných bodech; (b s vrcholy v daných bodech a na různých stranách daného trojúhelníku. [ ( 3n 3 3 ( n 3 ] 31. Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, každá nejvýše jednou. [n 3 ] [V 1 (4 + V 2 (4 + V 2 (3 = 22] 32. Určete, kolika způsoby se kolem kulatého stolu může posadit pět mužů a pět žen tak, aby žádné dvě ženy neseděly vedle sebe. Návod: Očíslujeme-li jednotlivá místa, mohou muži sedět bud na místech 1, 3, 5, 7, 9, nebo na místech 2, 4, 6, 8, 10. [2 5!5! = ] 33. V prostoru je dáno n bodů, z nichž p leží v téže rovině, a kromě nich už žádné čtyři body v jedné rovině neleží. Určete: (a počet čtyřstěnů s vrcholy v daných bodech; [ ( n 4 ( p 4 ] 24

24 (b počet rovin, které tyto body určují. [ ( n 3 ( p 3 + 1] 34. V kupé železničního vagónu jsou proti sobě dvě lavice po pěti místech. Z deseti cestujících si čtyři přejí sedět ve směru jízdy, tři proti směru a zbývajícím třem to je lhostejné. Určete, kolika způsoby se mohou rozsadit. [3 5!5! = ] 35. Kolika způsoby lze ze 7 mužů a 4 žen vybrat šestičlennou skupinu tak, aby v ní byly (a právě dvě ženy; (b aspoň dvě ženy? [ ( 4 2 ( 7 4 ] [ ( 4 2 ( ( 4 3 ( ( 4 4 ( 7 2 ] 36. Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel s různými číslicemi, jejichž dekadický zápis je utvořen z číslic 0, 1, 2, 3, 5, 7. Kolik těchto čísel končí jedničkou? Kolik těchto čísel je lichých? [V 4 (6 V 3 (5 = 300; jedničkou končí V 3 (5 V 2 (4 = 48 čísel, lichých je 4 48 = 192] 25

25 Kapitola 4 Permutace s opakováním Definice. Permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje aspoň jednou. Počet permutací s opakováním z n prvků, v nichž se jednotlivé prvky opakují k 1, k 2,..., k n -krát je: P (k 1, k 2,..., k n = (k 1 + k k n! k 1! k 2!... k n! 1. příklad. Společnost 10 manželských dvojic se chystá na projížd ku lod kami, a proto se rozděluje na 5 skupin po čtyřech. Kolika způsoby se mohou rozdělit tak, aby v každé skupině byli dva muži a dvě ženy? 10! Řešení. Muže lze rozdělit na dvojice (2! 5 5! způsoby (přihlížíme-li i k permutacím uvnitř 10! dvojic a permutacím samotných dvojic. Ženy lze rozdělit způsoby (zde už je důležité (2! 5 pořadí dvojic. Celkem existuje (10!2 způsobů ! 2. příklad. Kolika způsoby lze rozestavit v první řadě šachovnice tyto bílé figury: 2 koně, 2 střelce, 2 věže, 1 krále a 1 dámu? Řešení. Zřejmě jde o určení počtu všech permutací 2 prvků 1. druhu (koňů, 2 prvků 2. druhu (střelců, 2 prvků 3. druhu (věží, 1 prvku 4. druhu (krále a 1 prvku 5. druhu (dámy. Tedy podle vztahu pro výpočet počtu permutací s opakováním platí: P (2, 2, 2, 1, 1 = 8! 2!2!2!1!1! = příklad. Kolik anagramů lze vytvořit z písmen slova MATEMATIKA? Řešení. Každý anagram je zřejmě dán nějakou permutací 3 písmen A, 2 písmen M, 2 písmen T, 1 písmene E, 1 písmene I a 1 písmene K. Proto je hledaný počet anagramů roven P 10! (3, 2, 2, 1, 1, 1 = = !(2! 2 (1! 3 26

26 1. Jistě jste poznali, že v anagramech AABIIKKMNOORT resp. MINIKABAROTOK je zašifrováno slovo KOMBINATORIKA. Určete počet všech anagramů, jež lze ze slova KOMBINATORIKA utvořit. [ 13! 2!2!2!2! ] 2. Určete, kolik různých slov lze získat přemístěním písmen slova ABRAKADABRA. Určete, v kolika z nich: [83 160] (a žádná dvojice sousedních písmen není tvořena dvěma písmeny A; (b žádná pětice sousedních písmen není tvořena pěti písmeny A. [3 780] [81 900]] 3. Poznáte zprávu Gaia Iulia Caesara zaslanou do Říma po vítězství nad pontským králem Frankem, která se skrývá v anagramu CDEIIIIINVVV? Kolika způsoby lze v ní přemístit písmena? [Veni, vidi, vici (přišel jsem, viděl jsem, zvítězil jsem, 12! 3!5! ] 4. Určete, kolika způsoby je možno přemístit písmena slova BATERKA tak, aby se souhlásky a samohlásky střídaly. Návod: Na začátku i na konci musím být souhláska. [4! 3! 2! ] 5. Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky (král, dáma, 2 věže, 2 jezdci, 2 střelci, 8 pěšáků (a na dvě pevně zvolené řady šachovnice 8 8; (b na libovolné dvě řady šachovnice 8 8. [ 16! 8!2!2!2! ] [ ( 8 16! ] 2 8!2!2!2! 6. Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, jež lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li v každém z nich být číslice 5 (a právě třikrát; [ 5! 3!2! = 10] 27

27 (b nejvýše třikrát; (c aspoň třikrát. [1 + 5! 4! + 5! 3!2! + 5! 2!3! = 26] [ 5! 3!2! + 5! 4! + 1 = 16] 7. Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných devíti, v jejichž dekadickém zápisu nejsou jiné číslice než 0, 1, 2, 5, Určete, kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic čísla (V těchto číslech se každá číslice vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát je v čísle [54] [3 4! 2! + 3 4! 2!2! = 54] 9. Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých? [1 + 10! 8! 9! 7! + 10! 3!7! 9! 3!6! = 55; sudých je 1 + 9! 8! + 8! 6!2! + 8! 7! = 46] 10. Ze sedmi kuliček, z nichž jsou čtyři modré (navzájem nerozlišitelné, jedna bílá, jedna červená a jedna zelená, máme vybrat a položit do řady vedle sebe pět kuliček. Kolika způsoby to lze provést? [3 5! 4! + 3 5! 3! + 5! 2! = 135] 28

28 Kapitola 5 Variace s opakováním Definice. Variace k-té třídy z n prvků s opakováním,kde n 1, jsou uspořádané k-tice tvořené z prvků dané n-prvkové množiny, přičemž se kterýkoli prvek může v k-tici libovolně opakovat. Počet variací s opakováním V k(n = n k 1. příklad. Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje způsobů výsledků pro tuto čtveřici? Počítejte s čtyřstupňovou klasifikací. Řešení. Každý student může získat jednu ze 4 známek, a proto existuje 4 4, tj. 256 způsobů hodnocení. 2. příklad. Kolik různých vrhů může nastat, házíme-li současně dvěma hracími kostkami? Řešení. Na každé kostce je 6 čísel, prvků je tedy n = 6. Při každém vrhu se utvoří skupina o dvou prvcích, tedy k = 2. Protože se prvky ve skupině mohou opakovat, jde o variace s opakováním. Dostaneme V 2(6 = 6 2 = příklad. Uvažujme všechna celá nezáporná čísla menší než 10 6 Určete, kterých čísel je víc: těch, která ve svém zápisu neobsahují žádnou cifru 9, nebo těch, v jejichž zápise je aspoň jednou cifra 9 použita? Řešení. Označme n 1 počet těch čísel menších než 10 6, která lze zapsat bez užití cifry 9, n 2 počet takových čísel, k jejichž zápisu aspoň jednou cifru 9 užijeme; zřejmě platí n 1 + n 2 = Snažší bude nejprve určit číslo n 1 : doplníme-li méněciferná čísla příslušným počtem nul, je n 1 rovno počtu šesticiferných zápisů, v nichž jsou užity některé z 9 cifer 0, 1,..., 8, v nichž záleží na pořadí a kde se cifry mohou opakovat. Proto podle pravidla součinu je n 1 = 9 6 = > = n příklad. Kolika způsoby lze z úplného souboru tzv. francouzských karet, s nimiž se hraje bridž (52 karet jež se dělí na 4 skupiny podle barev, vybrat po jedné kartě každé barvy? Kolik je těchto výběrů, je-li navíc požadováno, aby mezi vybranými kartami nebyly žádné dvě stejného typu, tj. dvě esa, dvě desítky atd.? 29

29 Řešení. Dostáváme 4-variace s opakováním z 13 karet. Celkem je 13 4, tj způsobů. Nemají-li se vyskytovat karty téhož typu, jde o variace bez opakování: V 4 (13 = Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze utvořit sestavením teček a čárek do skupin o jednom až čtyřech prvcích. [V 1(2 + V 2(2 + V 3(2 + V 4(2 = 30] 2. Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných čtyřmi, v nichž se vyskytují pouze cifry 1, 2, 3, 4, 5. [5 V 2(5 = 125] 3. Určete počet všech přirozených čísel menších než milión, která lze zapsat(dekadicky pouze použitím číslic 5, 8. [V 6(2 + V 5(2 + V 4(2 + V 3(2 + V 2(2 + V 1(2 = 126] 4. Určete, kolika způsoby lze k různých prvků rozmístit do r přihrádek. [V k (r = rk ] 5. Jméno a příjmení každého obyvatele městečka s obyvateli může začínat jedním ze 32 písmen. Dokažte, že aspoň dva obyvatelé městečka mají stejné iniciály. [Počet možných iniciál je V 2(32 = 1 024] 6. Kufřík má heslový zámek, který se otevře, když na každém z pěti kotoučů nastavíme správnou číslici; těchto číslic je na každém kotouči devět. Určete největší možný počet pokusů, které je nutno provést, chceme-li kufřík otevřít, jestliže jsme zapomněli heslo. [V 5(9 = 9 5 = ] 7. Kolika způsoby lze zvolit pětipísmenné heslo trezoru, může-li být na kterékoli místě libovolné písmeno abecedy (z 26 písmen [V 5(26 = 26 5 ] 8. Na panelu je k žárovek, z nichž každá může svítit zeleně, žlutě nebo červeně. Určete, kolik různých stavů může panel signalizovat. [3 k ] 30

30 9. Král Artuš posílá 6 spěšných zpráv svým rytířům. Každý ze tří připravených poslů může doručit libovolnou ze zpráv. Kolika způsoby může král Artuš rozdělit dopisy mezi kurýry? *10. Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je číslo sudé. Návod: Prvních pět číslic je libovolných (jen na 1. místě nesmí být nula a pro šesté je pět možností. [3 6 ] [ = ] 31

31 Kapitola 6 Kombinace s opakováním Definice. k-členná kombinace s opakováním z n prvků, kde n 1, je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. Počet K (k, n všech k-členných kombinací s opakováním z n prvků je ( n + k 1 K (k, n = k 1. příklad. V sáčku jsou červené, modré a zelené kuličky; kuličky téže barvy jsou nerozlišitelné. Určete, kolika způsoby lze vybrat 5 kuliček, jestliže v sáčku je a aspoň pět kuliček od každé barvy; b pět červených, čtyři modré a čtyři zelené. Řešení. V pětici kuliček, které vybíráme, nezáleží na pořadí a barvy kuliček se v ní mohou opakovat. Jde tedy o pětičlenné kombinace s opakováním ze tří prvků. a V tomto případě je možno utvořit všechny možné pětice ze tří barev, nebot kuliček od ( každé barvy je dostatečné množství, tj. pět. Počet způsobů výběru je tedy K (5, 3 = 7 5 = 21. b V tomto případě nelze vybrat pět modrých ani pět zelených kuliček; protože však všechny ostatní výběry uskutečnit lze, je počet způsobů výběru K (5, 3 2 = příklad. Mezi 6 dětí rozdělujeme 15 (stejných tenisových míčků. a Určete počet n 1 všech možných rozdělení. b Určete počet n 2 všech rozdělení, při kterých každé dítě dostane aspoň jeden míček. Řešení. Považujeme-li všechny míčky za nerozlišitelné, budeme pokládat za různá taková dvě rozdělení, při nichž některé dítě dostane různý počet míčků. Každé rozdělení zašifrujeme pomocí posloupnosti jedniček a nul tak, že napíšeme tolik jedniček, kolik míčků dáme 1. dítěti, oddělíme nulou, zapíšeme tolik jedniček, kolik míčků obdrží 2. dítě atd. tím vytvoříme uspořádanou 20-tici složenou z 15 jedniček a 5 nul; takovýchto posloupností existuje P (15, 5, tzn. n 1 = P (15, 5 = ( Pro určení počtu n2 spravedlivějších rozdělení tedy takových rozdělení, kdy žádné dítě nevyjde úplně naprázdno použijeme 32

32 tento obrat: rozdáme nejprve každému dítěti po jednom míčku, zbylých 9 pak už lze mezi děti rozdělovat bez omezení; snadnou úvahou z části a tedy zjistíme, že to lze provést P (9, 5 způsoby. Je tedy n 2 = P (9, 5 = ( příklad. Kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit 7 stejných hrušek a 5 stejných jablek, aniž by je krájely? Řešení. Nalezneme nejprve počet všech rozdělení hrušek mezi 3 osoby; stejně jako v předchozím případě zjistíme, že jich je P (7, 2 = ( 9 2. Podobně lze jablka mezi tyto osoby rozdělit P (5, 2 = ( 7 2. Podle pravidla součinu je možné rozdělení obou druhů ovoce provést ( ( = 756 způsoby. 1. Určete počet kvádrů, jejichž velikosti hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti. Kolik je v tomto počtu krychlí? [K (3, 10 = ( 12 3, krychlí je 10] 2. V novinovém stánku je ke koupi deset druhů pohledů, přičemž každý druh je k dispozici v padesáti exemplářích. Určete, kolika způsoby lze zakoupit (a 15 pohledů; (b 51 pohledů; (c 8 různých pohledů. [K (15, 10 = ( ] [K (51, 10 10] [K(8, 10 = ( 10 8 = 45] 3. Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má velikost vyjádřenou jedním z čísel 4, 5, 6, Ze všech bílých šachových figurek bez krále a dámy vybereme (a trojici, [K (3, 4 = ( 6 3 = 20] [K (3, 4 3 = 17] (b dvojici. [K (2, 4 = ( 5 2 = 10] 33

33 5. V sadě 32 karet je každá z následujících karet čtyřikrát: sedmička, osmička, devítka, desítka, spodek, svršek, král a eso. Karty téže hodnoty jsou přitom rozlišeny těmito barvami červená, zelená, žaludy, kule. Určete, kolika způsoby je možno vybrat čtyři karty, jestliže se (a rozlišují pouze barvy jednotlivých karet; (b rozlišují pouze hodnoty jednotlivých karet. [K (4, 4 = ( 7 4 ] [K (4, 8 = ( 11 4 ] 6. Apolloniovou úlohou se rozumí úloha sestrojit kružnici, která má tři z těchto vlastností: prochází daným bodem, dotýká se dané přímky, dotýká se dané kružnice. (Označíme-li tyto vlastnosti po řadě písmeny B, p, k můžeme každou Apolloniovu úlohu zapsat pomocí trojice z těchto písmen; tak např. úloha Bkk značí úlohu sestrojit kružnici procházející daným bodem a dotýkající se dvou daných kružnic. Určete počet všech Apolloniových úloh. [K (3, 3 = ( 5 3 = 10] 7. Kolik různých neuspořádaných trojic mohou dát počty ok na jednotlivých kostkách při vrhu třemi kostkami? (Jde o obvyklou kostku s jedním až šesti oky na jednotlivých stěnách. [K (3, 6 = ( 8 3 = 56] 8. Klenotník vybírá do prstenu tři drahokamy; k dispozici má tři rubíny, dva smaragdy a pět safírů. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme-li kameny téhož druhu za stejné? 9. Určete počet všech neuspořádaných trojic vrhů 3 kostkami. [K (3, 3 1 = ( = 9] [ ( ( = 8 3 = 56] *10. Určete počet všech pořadí m jedniček a n nul, v nichž žádné dvě jedničky nestojí vedle sebe. [ ( n+1 m ] 34

34 Úlohy k opakování II 1. Do výtahu vstoupilo 6 osob, dům má 8 pater; kolika způsoby mohou cestující vystupovat (a celkově; (b vystupuje-li v každém patře nejvýše jeden. [8 6 ] [ = ] 2. Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova Mississippi; kolik z nich nezačíná písmenem M? [ 11! 11!, písmenem M jich nezačíná 10! = 10!10] 4!2!2! 4!2!2! 4!2!2! 4!2!2! 3. V samoobsluze mají čtyři druhy kávy, každý po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 250 gramů kávy, jestliže (a balíčků každého druhu mají dostatečný počet; [K (5, 4 = ( 8 5 ] (b od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích. 4. Určete počet způsobů, jak lze všechny bílé šachové figurky (a rozdělit na 2 pevně zvolené řady; [K (5, 4 2] (b rozdělit na 2 libovolné řady. [ 16! 8!2!2!2! ] [ ( ! ] 8!2!2!2! 35

35 5. Pro kolik prvků je počet variací 3. třídy bez opakování k počtu variací téže třídy s opakováním v poměru 21 : 32? 6. Určete, kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit čtyři stejná jablka a šest stejných hrušek. Návod: Rozdělení jablek a hrušek jsou na sobě nezávislá, dále pak viz předchozí příklad. [8] [K (4, 3 K (6, 3 = ( 6 4 ( 8 6 = 420] 7. Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má jednu z velikostí daných čísly 4, 5, 6, 7, 8, 9. [K (3, 6 3 = 53] 8. Určete, kolika způsoby lze rozdat 18 knih třem žákům A, B, C tak, aby A a B měli dohromady dvakrát více knih než C. Návod: Vyberte 6 knih pro C a zbývajících 12 rozdělte mezi A a B. [ ( ] 9. Knihovna má pět regálů, do každého se vejde 20 knih. Určete, kolika způsoby lze do knihovny umístit 20 knih. Návod: Myslete si, že regály jsou umístěny vedle sebe a každé dva sousední jsou odděleny stejným předmětem. 10. Určete, kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm stejných jablek. Návod: Každé rozdělení osmi jablek mezi tři osoby A, B, C lze zašifrovat pomocí neuspořádané osmice z těchto písmen; např. AAABBBBC značí příděl tří jablek osobě A, čtyř jablek osobě B a jednoho jablka osobě C. [ 24! 4! ] [K (8, 3 = ( 10 8 = 45] 11. Kolik prvků dá o 441 kombinací s opakováním víc než bez opakování ve 3. třídě? [21] 36

36 12. Určete, kolik čtyřciferných přirozených čísel lze sestavit z číslic čísla (v těchto číslech se každá cifra vyskytuje nejvýše tolikrát, kolikrát se vyskytuje v daném čísle [4! + 6 4! 2! + 4! 2!2! = 102] 13. Určete kolika způsoby lze na černá políčka šachovnice 8 8 rozmístit 12 bílých (nerozlišitelných a 12 černých (nerozlišitelných kostek tak, aby toto rozmístění bylo symetrické podle středu šachovnice. Návod: Na černá políčka zvolené poloviny šachovnice rozmístíme 6 bílých a 6 černých kostek a další 4 nerozlišitelné předměty, čímž je postavení zbývajících černých a bílých kostek určeno. [ 16! 6!6!4! ] 14. Určete počet všech řešení rovnice x 1 + x x k = n, kde n N, v množině všech celých nezáporných čísel. [ ( n+k 1 n ] 15. Určete, kolika způsoby lze z padesátihaléřových a korunových mincí zaplatit částku a 6 Kč, b 2 Kč, jsou-li oba druhy mincí k dispozici v dostatečném množství. Návod: Každou částku lze zašifrovat pomocí písmen k (korunové mince a p (padesátihaléřové mince; např. čtyřem korunovým a čtyřem padesátihaléřovým mincím, odpovídá zápis kkkkpp. [ak (6, 2 = 7; bk (2, 2 = 3] 16. Kolika způsoby lze rozdělit 12 mincí stejné hodnoty do 5 různých obálek tak, aby žádná z obálek nezůstala prázdná? Návod: Nejprve vložte do každé obálky jednu minci. [330] 17. Určete kolika způsoby lze všechny figurky šachové hry (tj. od každé barvy 1 krále, 1 dámu, 2 věže, 2 jezdce, 2 střelce a 8 pěšců rozmístit na 64 políček šachovnice. Návod: Myslete si, že na 64 polí rozmist ujete kromě 32 figurek ještě 32 stejných předmětů, třeba mincí. [ 64! 32!(8! 2 (2! 6 ] 18. Kolik náhrdelníků lze sestavit ze 7 korálků dvou velikostí: 5 menších a 2 větších? Návod: Typy náhrdelníků se vzájemně odlišují počtem malých korálků umístěných mezi dvěma většími. [3] 37

37 Kapitola 7 Dirichletův princip Věta. Při každém rozdělení nk + 1 předmětů do k přihrádek, kde k a n jsou přirozená čísla, existuje alespoň jedna přihrádka obsahující alespoň n + 1 předmětů. 1. příklad. Konference se zúčastnilo 40 delegátů z 13 různých zemí. Dokažte, že delegace z alespoň jedné země měla více jak tři členy! Řešení. Rozdělíme delegáty do skupin podle zemí, ze kterých pochází, tj. v každé skupině jsou všichni delegáti z jedné země. Jestliže je skupin 13 a delegátů je více než 3 13 = 39, musí být aspoň v jedné skupině víc jak tři delegáti. 2. příklad. Podle antropologie neexistují lidé s větším počtem vlasů než Dokažte, že v Praze existují alespoň dva lidé se stejným počtem vlasů. Řešení. Nejprve uvážíme, že Praha má více než milión obyvatel. Obyvatele Prahy rozdělíme do skupin tak, že do n-té skupiny dáme všechny obyvatele Prahy, kteří mají právě n vlasů (n = 0, 1, 2,..., Podle tvrzení antropologů každý obyvatel Prahy spadá do některé z těchto skupin. Protože je Pražanů více jako skupin, aspoň v jedné tedy musí být více než jeden Pražan, tj. existují alespoň dva obyvatelé Prahy se stejným počtem vlasů. 3. příklad. Konference se zúčastnilo 70 delegátů, kteří hovoří 11 různými jazyky. Jedním jazykem hovoří nejvýše 15 delegátů. Organizační výbor rozhodl, že za oficiální bude považovat takový jazyk, kterým hovoří nejméně 5 delegátů. Dokažte, že na konferenci byly alespoň 3 oficiální jazyky. Řešení. Jestliže delegátů je 70 a hovoří 11 jazyky, jistě jedním jazykem hovoří nejméně 5 delegátů. Tedy existuje jeden oficiální jazyk, nazvěme ho třeba jazyk A. Jazykem A hovoří nejvýše 15 delegátů, tzn., že ostatními 10 jazyky hovoří aspoň 55 delegátů. Tedy mezi těmito jazyky se musí najít jazyk (označme jej například B, kterým hovoří nejméně 5 delegátů. To je druhý oficiální jazyk. Jazykem B hovoří nejvýše 15 delegátů, tedy zbývajícími 9 jazyky hovoří aspoň 40 delegátů. Opět podle Dirichletova principu je možné mezi těmito 9 jazyky vybrat jeden oficiální. Existenci čtyř oficiálních jazyků není možné dokázat (protipříkladem je například následující situace: Třemi jazyky hovoří po 15 delegátech, sedmi jazyky hovoří po 3 delegátech a jedním jazykem hovoří 4 delegáti. 38

38 4. příklad. V zahradě tvaru obdélníku o rozměrech 20m 15m musí být méně než 26 stromů, aby bylo zachováno pravidlo, že vzdálenost dvou stromů není menší než 5m. Dokažte! Řešení. Připust me, že by v zahradě bylo více než 25 stromů. Rozdělíme zahradu na obdélníky o rozměrech 4m 3m. Takových obdélníků se do naší zahrady vejde právě 25. Tedy podle Dirichletova principu existuje obdélník, ve kterém budou alespoň dva stromy. Jestliže úhlopříčka obdélníku má délku 5m, vzdálenost těchto stromů je menší než 5m. 5. příklad. 17 vědců si navzájem dopisuje (každý s každým, přitom v celé korespondenci se vyskytují pouze tři témata. Dokažte, existují tři z nich, kteří si mezi sebou dopisují na stejné téma. Řešení. Vybereme jednoho z vědců (libovolně a ostatních 16 rozdělíme do tří skupin tak, že do každé skupiny dáme všechny ty, kteří si s tímto zvoleným dopisují na jisté téma. Podle Dirichletova principu aspoň v jedné skupině se jich najde šest. Tedy máme šest vědců, kteří si se zvoleným píší na stejné téma. Nazvěme toto téma tématem číslo 1. Jestliže si mezi těmito šesti dva píší na téma číslo 1, přidáme k nim zvoleného a máme tři, kteří si píší na téma číslo 1. V opačném případě máme 6 vědců, kteří si mezi sebou dopisují pouze na téma číslo 2 a téma číslo 3. Mezi těmito šesti si zvolíme jednoho. Zbývajících pět rozdělíme na dvě skupiny. Skupinu těch, kteří si se zvoleným píší na téma číslo 2 a skupinu těch, kteří si s ním dopisují na téma číslo 3. Podle Dirichletova principu aspoň v jedné skupině se najdou tři. Tito tři si bud všichni píší na stejné téma a řešení je hotové, nebo se najdou dva, kteří si píší na stejné téma se zvoleným. Potom máme znovu tři vědce, kteří si dopisují na shodné téma. 1. Na vysokou školu přijali do prvního ročníku 120 posluchačů, kteří maturovali na 84 středních školách. Potom se v prvním ročníku najdou aspoň dva posluchači, kteří se poznají ze střední školy. Dokažte! 2. Nepořádný student měl v zásuvce ponožky pěti barev (z každé barvy aspoň dvě. Kolik nejméně kusů ponožek musí potmě vybrat, aby si mohl být jistý, že mezi nimi budou dvě od stejné barvy? 3. Soukromá knihovna má svazků, přičemž žádný z nich nemá více jak stran. Dokažte, že v knihovně existují alespoň dvě knihy se stejným počtem stran. 4. Dokažte, že v sadě, jenž má tvar obdélníku o rozměrech 100m 300m, musí být méně než stromů, jestliže vzdálenost libovolných dvou musí být větší než 4m. 5. V šachovém turnaji, kterého se účastní 6 hráčů, se vždy najde trojice hráčů, kteří mezi sebou hráli už každý s každým, nebo trojice, ve které žádný s žádným ještě nehrál. Dokažte! 39

39 Kapitola 8 Princip inkluze a exkluze Účinným prostředkem při řešení řady kombinatorických úloh je tzv. princip inkluze a exkluze (česky bychom mohli říci princip vylučování a zapojování prvků. Před jeho formulací si ukážeme v čem spočívá jeho podstata. Bud te M 1, M 2 libovolné konečné množiny, M mohutnost množiny M. Pak zřejmě platí M 1 M 2 = M 1 + M 2 M 1 M 2. Pro tři množiny je zřejmé, že mohutnost jejich sjednocení obecně neobdržíme, když od součtu jejich mohutností odečteme mohutnosti průniků všech dvojic těchto množin. Některé prvky bychom totiž mohli odečíst dvakrát a sice ty prvky, které leží v průniku všech tří těchto množin. Zřejmě tak platí M 1 M 2 M 3 = M 1 + M 2 + M 3 M 1 M 2 M 1 M 3 M 2 M 3 + M 1 M 2 M 3. Zobecněním popsaného procesu obdržíme následující princip inkluze a exkluze. Věta (Princip inkluze a exkluze. Bud dána konečná množina M. Necht prvky množiny M mohou mít vlastnosti α 1, α 2,..., α n. Symbolem M(α i1, α i2,..., α ik, α j 1, α j 2,..., α j p označme počet všech prvků množiny M, které mají vlastnosti α i1, α i2,..., α ik a nemají žádnou z vlastností α j1, α j2,..., α jp (bez ohledu na to, mají-li nebo nemají vlastnosti, které ve výčtu α i1, α i2,..., α ik, α j1, α j2,..., α jp nejsou uvedeny. Pak platí M(α 1, α 2,..., α n = M i<j<k n i=1 M(α i + i<j M(α i, α j M(α i, α j, α k + + ( 1 n M(α i, α 2,..., α n. 1. příklad. Ve vědeckovýzkumném ústavu pracuje 67 lidí, 47 z nich ovládá angličtinu, 35 němčinu a 23 zná oba z těchto jazyků. Kolik pracovníků ústavu neumí ani německy, ani anglicky? 40