ČÍSLICOVÁ TECHNIKA OBSAH KAPITOLA 1 ČÍSELNÉ SOUSTAVY A KÓDY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ČÍSLICOVÁ TECHNIKA OBSAH KAPITOLA 1 ČÍSELNÉ SOUSTAVY A KÓDY"

Transkript

1 OBSAH Čísla a číslice... Desítková (dekadická ) číselná soustava... Tvorba libovolné číselné soustavy... 3 Převody čísel mezi číselnými soustavami... 6 Převod čísel z dekadické soustavy do libovolné jiné... 6 Převod čísel z libovolné soustavy do dekadické... 7 Převody čísel mezi příbuznými číselnými soustavami... 7 Početní operace s binárními čísly... 9 Kód BCD Grayův kód Literatura V Ostravě Ing. Pavel Bachura

2 Čísla a číslice Číslo je abstraktní entita užívaná pro vyjádření množství nebo pořadí. (Možno zapomenout). Číslice jsou matematické symboly sloužící k zápisu čísel. (Nutno pamatovat!) Příklady: 7 číslice i číslo (jednociferné má jednu číslici cifru). 7 pouze číslo (dvouciferné má dvě číslice cifry). Desítková (dekadická ) číselná soustava Desítková (dekadická, decimální) soustava má základ číslo 10 a také 10 číslic: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Všimněme si, že samotný základ číselné soustavy mezi číslicemi není. To platí všeobecně. Největší číslice každé (poziční) 1 číselné soustavy je vždy o jedničku menší než její základ. Každá číslice v čísle má jinou váhu danou její pozicí (em). Proto desítková soustava patří do kategorie tzv. pozičních soustav ,48 desetitisíců tisíců stovek desítek jednotek desetin setin tisícin POZOR! Název desítková (dekadická) soustava není odvozen od počtu číslic! Název každé číselné soustavy je odvozen od jejího základu r (báze). Tato skutečnost je dobře patrná z tzv. Hornerova schématu, podle kterého je možno každé číslo rozepsat ,48 = kde základ číselné soustavy r = 10. Připomeňme: a) 10 0 = 1, neboť každé číslo (s výjimkou nuly) umocněné na nultou je jedna. Výraz 0 0 není definován b) 10 = = = 0, Tvrzení platí pro zde probírané poziční číselné soustavy, které mají základ přirozené číslo, s výjimkou soustavy unární se základem 1. Tu používá např. servírka při zápisu čárek k ceně piva na účtence v restauraci. Zde má každá čárka stejnou váhu bez ohledu na její pozici, tedy bez ohledu na to, jak vypadáme po prvním pivu nebo po patnáctém. Také římské číslice jsou nepoziční soustava. Označení r je podle anglického radix základ (původně latinsky kořen). 3 Nechci se pouštět do exaktních matematických důkazů, jen si zkuste na kalkulačce pomocí funkce y x postupně umocňovat nějaké kladné číslo y 0 kladným resp. záporným exponentem x blížícím se k nule (0,5, 0,1, 0,01, 0, ,... resp. 0,5, 0,1, 0,01, 0,000001,...) a uvidíte, jak se výsledky přibližují k jedničce. Strana (celkem 13)

3 Pro snazší pochopení budeme dále pracovat pouze s celými čísly, i když uvedené principy lze aplikovat i na čísla desetinná. U Hornerova schéma je důležité umět správně pojmenovat jednotlivé symboly: exponenty (mocnitelé) základu číselné koeficienty základčíselné soustavy r Tvorba libovolné číselné soustavy V technické praxi velmi často používáme i jiné poziční číselné soustavy než dekadickou. Nejdůležitější z nich je binární (dvojková) soustava a v těsném závěsu za ní hexadecimální (šestnáctková) soustava. Pro lepší pochopení dalších souvislostí ukážeme také méně používané soustavy - osmičkovou (oktalovou) a čtyřkovou, případně i jiné. Pokud pracujeme s více číselnými soustavami, je nutné tyto soustavy při zápisu čísel rozlišovat. To se zpravidla dělá pomocí dolního indexu za příslušným číslem. 956 v dekadické soustavě zapíšeme nebo 956 DEC 74 v oktalové (osmičkové) soustavě zapíšeme 74 8 nebo 74 OCT v binární (dvojkové) soustavě zapíšeme nebo BIN 70 v hexadecimální (šestnáctkové) soustavě zapíšeme nebo 70 HEX případně 70H Porozumět tvorbě číselných soustav je velmi snadné, pokud vyjdeme z následujících bodů: a) Na chvíli zapomeneme, že číslo 10 se čte deset. Jak ho tedy číst? Např = 10 přečteme šest plus čtyři je nula a jednička postupuje do vyššího u. b) Největší číslice každé poziční číselné soustavy je vždy o jedničku menší než její základ. Tedy: Desítková soustava má základ číslo 10 a také 10 číslic 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dvojková soustava má základ číslo a také číslice 4 0, 1. Čtyřková soustava má základ číslo 4 a také 4 číslice 0, 1,, 3. Pětková 5 soustava má základ číslo 5 a také 5 číslic 0, 1,, 3, 4. 4 Pro číslice dvojkové soustavy používáme často název bit z anglického sousloví binary digit (dvojková číslice; také angl. bit = drobek, kousek). 1 bit je základní a současně nejmenší jednotkou informace, používaná především v číslicové a výpočetní technice. Může nabývat pouze dvou hodnot (logických stavů) 0 a 1. Značí se malým písmenem b, např. 16 b, ale může se také objevit i označení bit, např. 16 bit (16 bitů). 5 Pětková soustava se v technické praxi nevyužívá. Přidal jsem ji proto, že žáci zpravidla číslo 5 velmi dobře znají a je jim tedy blízké. Strana 3 (celkem 13)

4 Osmičková soustava má základ číslo 8 a také 8 číslic 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7. Šesnáctková soustava má základ číslo 16 a také 16 číslic 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pozor! Nejsou zde žádná písmena! Jen číslice! c) Pokud k nějaké číslici libovolné poziční číselné soustavy přičteme jedničku, a výsledkem je opět číslice této číselné soustavy, napíšeme ji. d) Pokud k největší číslici libovolné poziční číselné soustavy přičteme jedničku, napíšeme znovu nulu a jednička postupuje do vyššího u (vzniká přenos do vyššího u, do vyšší pozice; jedna jde dál podržet palcem levé ruky). Příklady přičítání jedničky v různých číselných soustavách jsou v tabulce 1. Tab. 1.1 Příklady přičítání jedničky v různých číselných soustavách Příklady Důležité mezivýpočty a komentáře je 0 a jedna jde dál (9 je největší číslice) jsou 4 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) je 1 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) je 0 a jedna jde dál (4 je největší číslice) 1 + jsou 3 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) je 1 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) je 0 a jedna jde dál (1 je největší číslice) je 1 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) je 0 a jedna jde dál (3 je největší číslice) 1 + jsou 3 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) je 1 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) je 0 a jedna jde dál (7 je největší číslice) 1 + jsou 3 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) je 1 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) F F A0 16 FF F je 0 a jedna jde dál (F je největší číslice) je A (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) je 1 (přenos do vyššího u nevzniká, je 0) POZOR! Výrazy 10, 101, 30 a pod. čteme deset, sto jedna, třicet pouze v dekadické soustavě! V ostatních soustavách čteme jedna nula, jedna nula jedna, tři nula, a pod. Na základě popsaných principů můžeme snadno sestavit tabulku třeba prvních 5 čísel libovolné číselné soustavy. Vybírám jen číselné soustavy používané v číslicové technice: V praxi se ještě vyskytuje soustava dvanáctková (r = 1, 1 0 = 1, 1 1 = 1 tucet, 1 = 144 tucet tuctů veletucet) a šedesátková (r = 60, 60 0 = 1, 60 1 = 60 kopa, 60 = 3600 kopa kop velekopa). Strana 4 (celkem 13)

5 Tab. 1. Číselné soustavy s různými základy r (a kódy) Číselné soustavy s různými základy r dec r = 10 bin r = čtyř. r = 4 oct r = 8 hex r = 16 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * * 10 * * * * 3 * 11 * 3 * 3 * 3 * * 10 * 4 * 4 * * 5 * 5 * * 6 * 6 * 7 * * 7 * 7 * * 10 * 8 * * 9 * 10 * * A B C D E * 15 * * F * * * 55 * * FF BCD Kódy GRAY Všechna čísla v jednom každém ku tabulky mají stejnou velikost, jsou v totožném bodě na reálné ose, jsou jen vyjádřena v různých číselných soustavách. Například číslo 1101 je binární ekvivalent 6 dekadického čísla Matematický zápis: 1101 = V technické praxi ale říkáme poněkud nepřesně, že 1101 je binární třináctka. Čísla označená hvězdičkou musí každý technik v ČT a ICT dostat pod kůži, tzn. má-li například napsat binární či hexadecimální ekvivalent dekadického čísla 15 10, musí reagovat ihned! Zkuste si to! 6 Ekvivalentní jsou např. dvě různé věci, které se ale shodují v dané situaci rozhodujících vlastnostech. Ekvivalenty jsou tudíž, přes svou rozdílnost, zaměnitelné. Například ve starším elektronickém zařízení můžeme nahradit starý typ tranzistoru jeho novodobým ekvivalentem. Je nám lhostejný materiál, tvar, barva a velikost pouzdra, typové označení, často i uspoání vývodů, ale musí mít alespoň přibližně stejné elektrické parametry. Např. maximální kolektorový proud I Cmax, maximální napětí mezi kolektorem a emitorem U CEmax, maximální ztrátový výkon P max a pod. Strana 5 (celkem 13)

6 Číslo 55 DEC = BIN = FF HEX jsem do tabulky přidal pro jeho velmi významné postavení v číslicové a výpočetní technice. Je to největší číslo, které lze vyjádřit pomocí 1 B (byte, bajt), to jest tzv. slabiky, která obsahuje právě 8 bitů. Jak jsem ho převedl, uvidíme v následující kapitole. Binární čísla bývají často vpředu doplněna nulami na 4 respektive 8 bitů, tedy ½ bajtu nebo celý bajt. Např. 11 zapisujeme 0011 respektive Proč je tomu tak, pochopíme lépe při další práci s binárními čísly. Podstatné je, že hodnota čísel se tím nemění. Poslední dva sloupce tabulky jsou připraveny pro učivo z dalších kapitol. Pokud si děláte své výpisky, doporučuji je teď přidat a později vyplnit. Převody čísel mezi číselnými soustavami Převod čísel z dekadické soustavy do libovolné jiné Dekadické číslo dělíme celočíselně se zbytkem základem nové číselné soustavy tak dlouho, dokud nedělíme nulu. Zbytky po dělení seřazené zdola nahoru potom dávají číslo v nové číselné soustavě. Příklady: Převod čísla z desítkové soustavy do dvojkové celočíselné dělení zbytek po dělení 197 : = : = : = : = : = : = : = : = : = 0 0 směr čtení převedeného čísla výsledek převodu = Převod čísla z desítkové soustavy do čtyřkové celočíselné dělení zbytek po dělení 197 : 4 = : 4 = : 4 = : 4 = : 4 = 0 0 směr čtení převedeného čísla Převod čísla 3 10 z desítkové soustavy do osmičkové celočíselné dělení zbytek po dělení 3 : 8 = : 8 = : 8 = : 8 = 0 0 směr čtení převedeného čísla výsledek převodu = výsledek převodu 3 10 = Strana 6 (celkem 13)

7 Převod čísla 3 10 z desítkové soustavy do šestnáctkové celočíselné dělení zbytek po dělení 3 : 16 = (F 16 ) 13 : 16 = (D 16 ) 0 : 16 = 0 0 směr čtení převedeného čísla výsledek převodu 3 10 = DF 16 Poznámka: Jak zjistíme, že šestnáctkové ekvivalenty dekadických čísel a jsou F 16 a D 16? Zatím se ještě můžeme podívat do tabulky, ale už bychom si měli pamatovat: = A 16 a = F 16. Zbývající číslice odpočítáme pěkně na prstech: B, C, D, E 11, 1, 13, 14 (hnidopich může připočítávat prsty na nohou). Převod čísel z libovolné soustavy do dekadické Číslo zapsané v libovolné číselné soustavě rozepíšeme podle Honerova schématu a provedeme všechny výpočty podle pravidel platných v dekadické soustavě. Příklady: Převod čísla z binární soustavy (r = ) do desítkové = = = = Převod čísla ze čtyřkové soustavy (r = 4) do desítkové = = = = 5 10 Převod čísla z osmičkové soustavy (r = 8) do desítkové = = = = Převod čísla D7 16 z šestnáctkové soustavy (r = 16) do desítkové D7 16 = D = = = Převody čísel mezi příbuznými číselnými soustavami Číselně soustavy se základy, 4, 8 a 16 jsou příbuzné, Příbuznost je patrna nejlépe z toho, že můžeme velmi snadno převádět čísla z binární soustavy do zbývajících tří a také naopak. V číslicové technice se budeme zabývat především těmito příbuznými číselnými soustavami. Je proto velmi důležité tyto převody dokonale ovládat. Převod čísel ze čtyřkové soustavy (r = 4) do dvojkové Každou číslici čísla ve čtyřkové soustavě zapíšeme pomocí dvou bitů binárního čísla = Převod čísel z osmičkové soustavy (r = 8) do dvojkové Strana 7 (celkem 13)

8 ČÍSLICOVÁ TECHNIKA Každou číslici čísla v osmičkové soustavě zapíšeme pomocí tří bitů binárního čísla. Nevýznamné nuly na začátku binárního čísla není nutno zapisovat. Převod čísel z šestnáctkové soustavy (r = 16) do dvojkové Každou číslici čísla v šestnáctkové soustavě zapíšeme pomocí čtyř bitů binárního čísla. Nevýznamné nuly na začátku binárního čísla opět není nutno zapisovat. Stojí za povšimnutí, že počet bitů binárních ekvivalentů původních číslic je vždy shodný s počtem bitů binárního ekvivalentu největší číslice původní číselné soustavy (3 4 = 11, 7 8 = 111, = 1111 ). Převody čísel z dvojkové soustavy do ostatních příbuzných děláme opačným postupem, nejdříve binární číslo rozdělíme odzadu podle příslušného počtu bitů a pak převedeme každou bitovou skupinu zvlášť. Převod čísel z dvojkové soustavy do čtyřkové C Binární číslo rozdělíme odzadu po dvou bitech a převedeme každou dvojici zvlášť Převod čísel z dvojkové soustavy do osmičkové = C 16 = = 31 4 Binární číslo rozdělíme odzadu po třech bitech a převedeme každou trojici zvlášť = 71 8 Převod čísel z dvojkové soustavy do šestnáctkové Binární číslo rozdělíme odzadu po čtyřech bitech a převedeme každou čtveřici zvlášť B = B9 16 Převody čísel mezi ostatními příbuznými soustavami provádíme zpravidla přes dvojkovou soustavu. Převody pomocí kódu 841 Pro převody čtyřbitových (případně i tříbitových) binárních čísel používáme kód 841, což je v podstatě zkrácené Hornerovo schéma mocniny čísla. Uvedené číslice napíšeme sestupně a pak, pod ně, převáděné binární číslo. Součet číslic kódu, pod kterými jsou binární jedničky, je výsledek převodu 7. 7 Kód 841 je zpravidla vnímán pouze jako druhé označení kódu BCD (viz dále). Ale myslím si, že nic nebrání jeho rozšířenému použití tak, jak to dělám zde. Strana 8 (celkem 13)

9 841 číslice kódu (připravíme vždy stejně) 1011 převáděné binární číslo => 1011 = = = B 16 Máme-li naopak převést např. číslo D 16 do binární soustavy, nejprve si na prstech odpočítáme převod do dekadické (D 16 = ) a potom vybereme právě ty číslice kódu, jejichž součtem získáme převáděné číslo (13 10 = ). Jde to vždy jen jedním způsobem. Pod vybrané číslice pak napíšeme jedničky a pod zbývající nuly. 841 číslice kódu (připravíme vždy stejně) 1101 pod vybrané číslice pak napíšeme jedničky a pod zbývající nuly Tak získáme hledané binární číslo, výsledek převodu (D 16 = = = 1101 ). Znalost kódu 841 je velmi užitečná pro zrychlení převodů čísel. Početní operace s binárními čísly Některé z prvních počítačů (např. ENIAC) pracovaly v dekadické soustavě, tzn. pro každou z deseti číslic byl vymezen určitý rozsah napětí. Tyto počítače ale byly příliš složité, měly malý výpočetní výkon vzhledem ke své velikosti (brontosauří syndrom) a byly málo spolehlivé; kontrolní mechanismy správnosti zpracování dat byly jen velmi obtížně aplikovatelné. Ukázalo se, že je mnohem výhodnější umístit na vstup počítače převodník dekadického kódu na binární, ve kterém jsou vykonány veškeré početní operace a znovu použít převodník pro zobrazení výsledku v dekadické podobě. Pro vykonávání početních operací v binárním kódu je počítač vybaven potřebnými registry (rychlé paměťové buňky) a logickými obvody pro provádění poměrně jednoduchých logických operací (například posun bajtu v registru o jeden bit doleva či doprava, záměna nul jedničkami či jedniček nulami apod.) Ryze aritmetickou operaci ale počítač ve skutečnosti provádí jen jednu součet binárních čísel. Odčítání, násobení, dělení, umocňování, odmocňování i výpočty goniometrických a jiných funkcí to všechno je pomocí důvtipných algoritmů převáděno na sčítání. Proto budeme sčítání binárních čísel věnovat zvláštní pozornost. Jednobitová čísla již sčítat umíme (viz tvorba dvojkové soustavy) a k pochopení součtu vícebitových čísel stačí pozorně projít následující příklad s komentáři k dílčím výpočtům komentáře k dílčím výpočtům = 0 a jedna jde dál = 0 a 1 z přenosu = 1 (přenos 0) = 1 (přenos 0) = 0 a jedna jde dál = 0 a 1 z přenosu = 1 a jedna jde dál = 1 a 1 z přenosu = 0 a jedna jde dál = 1 a 1 z přenosu = 0 a jedna jde dál = 0 a 1 z přenosu = 1 a jedna jde dál 1 z přenosu Strana 9 (celkem 13)

10 Pěkný příklad pro pochopení toho, jak se aritmetické operace provádí pomocí sčítání, je rozdíl dvou binárních operandů vypočítaný pomocí jednotkového doplňku. Uvádím pouze postup výpočtu bez důkazu a) zopakujeme si názvy obou operandů, jak jsme se je učili ve třetí třídě základní školy menšenec a menšitel a menšitele doplníme vpředu nulami na stejný počet bitů, kolik jich má menšenec menšenec menšitel b) menšence opíšeme beze změny a přičteme jednotkový doplněk menšitele, který vytvoříme záměnou nul jedničkami a jedniček nulami menšenec doplněk menšitele mezisoučet c) z výsledného mezisoučtu odebereme jedničku z nejvyššího bitu, přičteme ji k nejnižšímu bitu a je to hotové (nevýznamnou nulu na začátku rozdílu již neopisuji) mezisoučet bez jedničky v nejvyšším bitu 1 tahle jednička by tam vyloženě chyběla, nutno ji přičíst hledaný rozdíl d) můžeme tedy nalezený rozdíl zapsat do původního zadání menšenec menšitel nalezený rozdíl e) pro jistotu vykonáme zkoušku, stejně jako ve třetí třídě základní školy, sečteme rozdíl s menšitelem a musí vyjít menšenec Zkouška: k nalezenému rozdílu přičteme menšitele a součet se vskutku shoduje s menšencem v zadáním Poznámka: V literatuře často nacházíme nalezení rozdílu binárních čísel pomocí tzv. dvojkového doplňku. Ten získáme tak, že jednotkový doplněk zvětšíme o jedničku. Dvojkový doplněk pak sečteme s menšencem a jedničku v nejvyšším bitu součtu (hledaného rozdílu původního zadání) odstraníme. Je evidentní, že obě metody jsou ve svém důsledku rovnocenné. Dvojkový doplněk je zřejmě lepší pro pochopení, jak to všechno funguje. To ale není předmětem tohoto zjednodušeného výukového materiálu. Důkaz najdete např. v [1] nebo zadáním výrazu dvojkový doplněk v četných odkazech vyhledávačů na webu. Strana 10 (celkem 13)

11 Kód BCD Kód BCD (Binary Coded Decimal) je jedním z nejčastěji používaných kódů pro reprezentaci desítkových čísel. Při tomto kódování je každá číslice dekadického čísla zakódována pomocí čtyř bitů binární číselné soustavy BCD = BCD Zpětný převod: BCD číslo rozdělíme odzadu po čtyřech bitech a převedeme každou čtveřici zvlášť. Čísla v kódu BCD jsou velmi podobná číslům binární soustavy, ale vychází při stejné hodnotě poněkud delší (alespoň od čísla = 1010 = BCD ). To je způsobeno tím, že ne každá kombinace nul a jedniček je v kódu BCD smysluplná. Například číslo BIN je v poku (odpovídá číslu ), ale BCD je zcela mimo realitu, neboť odzadu druhá čtveřice bitů 1101 sice odpovídá dekadickému číslu nebo hexadecimální číslici D 16, ale nemá ekvivalent v žádné dekadické číslici. Grayův kód Grayův kód se také nazývá zrcadlový. Brzy uvidíme proč. Abychom pochopili jeho význam, ukážeme si nejdříve, jak by svět vypadal bez něj. Dejme tomu, že chceme mít malou meteorologickou stanici a v pravidelných intervalech (třeba jednou za 5 minut) zaznamenat směr větru do paměti počítače. Postavíme si na zahradě otočný stožár s plechovou korouhvičkou (nebo punčochou), podle obrázku 1.1. Síla větru, působící zejména na ocas kohouta, natáčí korouhvičku i stožár v ložiskách vždy tak, že šipka stále ukazuje odkud vítr vane. (Velmi užitečné zařízení pro každou dobu). A nyní, jak tuto důležitou informaci dostaneme do paměti PC? Dole na stožáru je upevněno tzv. kódové kolo důmyslný obrazec na průhledném nosiči (sklo, čirý plast, filmová fólie) kruhového tvaru. Možná provedení kódových kol v binárním a Grayově kódu jsou na obrázcích 1. a 1.3. Nad toto kol umístíme zdroj světla (diodu LED) a pod Obr. 1.1 Příklad konstrukce zařízení pro snímání směru větru něj optická čidla (fotodiody, fototranzistory apod.) Počet snímačů je dán požadovanou přesností snímání úhlu natočení korouhve. V daném případě máme čtyři čidla, snímáme tedy čtyři bity, a tomu odpovídá 4 = 16 kombinací logických stavů. Celý obvod kola má 360º, snímáme tedy úhel natočení korouhve s teoretickou přesností 360 º : 16 =,5 º, není ale žádný problém nějaké bity přidat a přesnost tak výrazně zvýšit. Samotné kódové kolo je srdce snímače polohy s výstupem v příslušném kódu. Má čtyři kruhové dráhy (pro každý bit jednu) rozdělené do segmentů. Tmavé segmenty jsou neprůhledné, zastiňují tedy optická čidla pod sebou a ta indikují log. nuly. Pod průhlednými segmenty jsou působením procházejícího světla indikovány log. jedničky. Strana 11 (celkem 13)

12 Na obr. 1. jsou segmenty kódového kola uspoány podle binárního kódu. Bity s nejnižší váhou jsou nejblíže obvodu. Otáčením kola ve směru hodinových ručiček postupně získáváme na výstupech čidel všech 16 možných čtyřbitových binárních čísel. Při opačném směru otáčení se čísla vždy o 1 zmenšují. Na první pohled máme dokonalý snímač polohy, ale dále uvidíme, že tomu tak není. Obr. 1. Uspoání segmentů kódového kola podle binárního kódu. BIN DEC Je-li kódové kolo právě v naznačené poloze, mohlo by se zdát, že na výstupu bude číslo 0000 nebo Obě varianty by byly v poku, ale musíme vzít do úvahy i další faktory plynoucí z praktické realizace zařízení: jednotlivé optické snímací prvky se nám nikdy nemůže podařit zcela rovnoměrně nasvítit, usadit přesně do jedné přímky a také nikdy nebudou mít zcela shodnou citlivost na světlo dělicí linie mezi průhlednými a tmavými segmenty nebude nikdy dokonale rovná a rovnoběžná s linií čidel je prakticky nerealizovatelné, aby hranice rozhodnutí o logické úrovni na výstupu čidla byla přesně v polovině zastínění čidla, atd. Z uvedených skutečností vyplývá, že v blízkosti naznačené polohy kódového kola mohou být na výstupech optických čidel zcela náhodné logické úrovně a potažmo zcela libovolné binární číslo ze všech šestnácti možných. A to jsou velmi nepříjemné hazardní stavy! Snadno najdeme i další polohy s obdobným problémem. Jak tento nedostatek snímače polohy odstranit? Grayův kód má, oproti binárnímu a většině ostatních, jednu velmi zajímavou a důležitou vlastnost. Každé dvě sousední kombinace logických stavů se liší pouze v jednom bitu. Při přechodu z jedné kombinace do druhé se tedy žádná jiná na výstupech nemůže vyskytnout. Tím jsou odstraněny veškeré hazardní stavy při snímání polohy nejen našeho kódového kola. Nejdříve si ukážeme, jak se Grayův kód tvoří a proč se mu říká zrcadlový Začneme úplně stejně, jako doposud vždy. Nulou a jedničkou. Potom si pod jedničkou nakreslíme vodorovnou čáru vodní hladinu a podle ní zrcadlíme vše, co jsme napsali. Před každý ek nad hladinou doplníme nulu (je dutá, takže dobře plave) a pod hladinou jedničku. Strana 1 (celkem 13)

13 ČÍSLICOVÁ TECHNIKA Hladinu necháme klesnout až dolů a znovu zrcadlíme vše, co jsme dosud napsali. A opět před všechny kombinace doplníme nad hladinou nulu a pod hladinou jedničku. Hladinu opět necháme klesnout až dolů a znovu zrcadlíme vše, co jsme dosud napsali. A znovu před všechny kombinace doplníme nad hladinou nulu a pod hladinou jedničku. Tak můžeme pokračovat, jak dlouho chceme. Poznámka: Dobrá mnemotechnická pomůcka k zrcadlení může být perlička ze školních sešitů, kterou jsem kdysi slyšel v nějakém silvestrovském pořadu: Na břehu rybníka seděla dívka a dojila krávu. Ale ve vodě se to zrcadlilo obráceně. Na obr. 1.3 jsou segmenty kódového kola uspoány podle Grayova kódu. Obr. 1.3 Uspoání segmentů kódového kola podle Grayova kódu. Gray DEC Literatura 1. Antošová M., Davídek V.: Číslicová technika. KOPP, České Budějovice 003 Strana 13 (celkem 13)

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární.

ČÍSELNÉ SOUSTAVY. Číselnou soustavu, která pro reprezentaci čísel využívá pouze dvou číslic, nazýváme soustavou dvojkovou nebo binární. Číselné soustavy V běžném životě používáme soustavu desítkovou. Desítková se nazývá proto, že má deset číslic 0 až 9 a v jednom řádu tak dokáže rozlišit deset různých stavů. Mikrokontroléry (a obecně všechny

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

Kódováni dat. Kódy používané pro strojové operace

Kódováni dat. Kódy používané pro strojové operace Kódováni dat Před zpracováním dat například v počítači je třeba znaky převést do tvaru, kterému počítač rozumí, tj. přiřadit jim určité kombinace bitů. Tomuto převodu se říká kódování. Kód je předpis pro

Více

3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače... 3. 4 Problémy s matematickými operacemi 5

3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače... 3. 4 Problémy s matematickými operacemi 5 Obsah Obsah 1 Číselné soustavy 1 2 Paměť počítače 1 2.1 Měření objemu paměti počítače................... 1 3 Jednoduché datové typy 2 3.1 Interpretace čísel v paměti počítače................. 3 4 Problémy

Více

Mikroprocesorová technika (BMPT)

Mikroprocesorová technika (BMPT) Mikroprocesorová technika (BMPT) Přednáška č. 10 Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Ing. Tomáš Frýza, Ph.D. Obsah přednášky Číselné soustavy v mikroprocesorové technice Dekadická, binární, hexadecimální

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Základní jednotky používané ve výpočetní technice

Základní jednotky používané ve výpočetní technice Základní jednotky používané ve výpočetní technice Nejmenší jednotkou informace je bit [b], který může nabývat pouze dvou hodnot 1/0 (ano/ne, true/false). Tato jednotka není dostatečná pro praktické použití,

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.7. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Informační technologie

Více

Pokud není uvedeno jinak, uvedený materiál je z vlastních zdrojů autora

Pokud není uvedeno jinak, uvedený materiál je z vlastních zdrojů autora Číslo projektu Číslo materiálu ázev školy Autor ázev Téma hodiny Předmět Ročník /y/ C.1.07/1.5.00/34.0394 VY_3_IOVACE_1_ČT_1.01_ vyjádření čísel v různých číselných soustavách Střední odborná škola a Střední

Více

Nejvyšší řád čísla bit č. 7 bit č. 6 bit č.5 bit č. 4 bit č. 3 bit č. 2 bit č. 1 bit č. 0

Nejvyšší řád čísla bit č. 7 bit č. 6 bit č.5 bit č. 4 bit č. 3 bit č. 2 bit č. 1 bit č. 0 Číselné soustavy Cílem této kapitoly je sezn{mit se se z{kladními jednotkami používanými ve výpočetní technice. Poznat číselné soustavy, umět v nich prov{dět z{kladní aritmetické operace a naučit se převody

Více

Číslo materiálu. Datum tvorby Srpen 2012

Číslo materiálu. Datum tvorby Srpen 2012 Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0581 VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_03_Převod čísel mezi jednotlivými číselnými soustavami Střední odborná škola a Střední

Více

1. Základní pojmy a číselné soustavy

1. Základní pojmy a číselné soustavy 1. Základní pojmy a číselné soustavy 1.1. Základní pojmy Hardware (technické vybavení počítače) Souhrnný název pro veškerá fyzická zařízení, kterými je počítač vybaven. Software (programové vybavení počítače)

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing. Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0581 VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné

Více

Číselné soustavy. Binární číselná soustava

Číselné soustavy. Binární číselná soustava 12. Číselné soustavy, binární číselná soustava. Kódování informací, binární váhový kód, kódování záporných čísel. Standardní jednoduché datové typy s pevnou a s pohyblivou řádovou tečkou. Základní strukturované

Více

Číselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata?

Číselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata? Čísla a logika Číselné vyjádření hodnoty Au Kolik váží hrouda zlata? Dekadické vážení Když přidám osmé závaží g, váha se převáží => závaží zase odeberu a začnu přidávat závaží x menší 7 závaží g 2 závaží

Více

Způsoby realizace této funkce:

Způsoby realizace této funkce: KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY U těchto obvodů je výstup určen jen výhradně kombinací vstupních veličin. Hodnoty výstupních veličin nezávisejí na předcházejícím stavu logického obvodu, což znamená, že kombinační

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty

Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty Přednáška 5 A3B38MMP kat. měření, ČVUT - FEL, Praha J. Fischer A3B38MMP, 2015, J.Fischer, ČVUT - FEL, kat. měření 1 Čísla 4 bitová dec bin. hex. 0 0000 0 1 0001

Více

1.5.1 Číselné soustavy

1.5.1 Číselné soustavy .. Číselné soustavy Předpoklady: základní početní operace Pedagogická poznámka: Tato hodina není součástí klasické gymnaziální sady. Upřímně řečeno nevím proč. Jednak se všichni studenti určitě setkávají

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ Sčítání binárních čísel Binární čísla je možné sčítat stejným způsobem, jakým sčítáme čísla desítková. Příklad je uveden v tabulce níže. K přenosu jedničky do vyššího řádu dojde tehdy, jeli výsledkem součtu

Více

Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty

Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty Čísla, reprezentace, zjednodušené výpočty Přednáška 4 A3B38MMP kat. měření, ČVUT - FEL, Praha J. Fischer A3B38MMP, 2014, J.Fischer, ČVUT - FEL, kat. měření 1 Čísla 4 bitová dec bin. hex. 0 0000 0 1 0001

Více

Čísla v počítači Výpočetní technika I

Čísla v počítači Výpočetní technika I .. Výpočetní technika I Ing. Pavel Haluza ústav informatiky PEF MENDELU v Brně pavel.haluza@mendelu.cz Osnova přednášky ergonomie údržba počítače poziční a nepoziční soustavy převody mezi aritmetické operace

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci

Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci Kapitola 4 Aritmetické operace a obvody pro jejich realizaci 4.1 Polyadické číselné soustavy a jejich vlastnosti Polyadické soustavy jsou určeny přirozeným číslem z, kterému se říká základ nebo báze dané

Více

Čísla a číselné soustavy.

Čísla a číselné soustavy. Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.

Více

2 Ukládání dat do paměti počítače

2 Ukládání dat do paměti počítače Projekt OP VK Inovace studijních oborů zajišťovaných katedrami PřF UHK Registrační číslo: CZ..7/../8.8 Cíl Studenti budou umět zapisovat čísla ve dvojkové, osmičkové, desítkové a v šestnáctkové soustavě

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Ahoj mami. Uložení dat v počítači. Příklady kódování dat. IAJCE Přednáška č. 4

Ahoj mami. Uložení dat v počítači. Příklady kódování dat. IAJCE Přednáška č. 4 Uložení dat v počítači Data = užitečné, zpracovávané informace Kódování (formát) dat = způsob uložení v počítači (nutno vše převést na čísla ve dvojkové soustavě) Příklady kódování dat Text každému znaku

Více

Algoritmizace a programování

Algoritmizace a programování Algoritmizace a programování Výrazy Operátory Výrazy Verze pro akademický rok 2012/2013 1 Operace, operátory Unární jeden operand, operátor se zapisuje ve většině případů před operand, v některých případech

Více

( ) Jako základ mocnin nemusíme používat jen 10. Pokud není jasné, že číslo je uvedeno v desítkové soustavě, píšeme jej takto: ( 12054 ) 10

( ) Jako základ mocnin nemusíme používat jen 10. Pokud není jasné, že číslo je uvedeno v desítkové soustavě, píšeme jej takto: ( 12054 ) 10 .. Číselné soustavy I Předpoklady: základní početní operace Pedagogická poznámka: Tato a následující hodina není součástí klasické gymnaziální sady. Upřímně řečeno nevím proč. Jednak se všichni studenti

Více

Přednáška 2: Čísla v počítači. Práce s počítačem. Číselné soustavy. Převody mezi soustavami. Aritmetické operace. Uložení čísel v paměti počítače

Přednáška 2: Čísla v počítači. Práce s počítačem. Číselné soustavy. Převody mezi soustavami. Aritmetické operace. Uložení čísel v paměti počítače Ergonomie Ergonomie Osnova přednášky Výpočetní technika I Ing Pavel Haluza ústav informatiky PEF MENDELU v Brně pavelhaluza@mendelucz ergonomie údržba počítače poziční a nepoziční soustavy převody mezi

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury Data a datové typy 1 / 28 Obsah přednášky Základní datové typy Celá čísla Reálná čísla Znaky 2 / 28 Organizace dat Výběr vhodné datvé struktry různá paměťová náročnost různá

Více

Početní operace se zlomky

Početní operace se zlomky Početní operace se zlomky 1. Sčítání a. zlomků - upravíme zlomky na stejného jmenovatele (rozšiřováním, v některých případech krácením) hledáme společný násobek všech jmenovatelů (nejlépe nejmenší společný

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70 Obsah Čísla 0 20,

Více

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů Kapitola 1 Signály a systémy 1.1 Klasifikace signálů Signál představuje fyzikální vyjádření informace, obvykle ve formě okamžitých hodnot určité fyzikální veličiny, která je funkcí jedné nebo více nezávisle

Více

Principy počítačů I Reprezentace dat

Principy počítačů I Reprezentace dat Principy počítačů I Reprezentace dat snímek 1 Principy počítačů Část III Reprezentace dat VJJ 1 snímek 2 Symbolika musí být srozumitelná pro stroj, snadno reprezentovatelná pomocí fyzikálních veličin vhodně

Více

Analogově-číslicové převodníky ( A/D )

Analogově-číslicové převodníky ( A/D ) Analogově-číslicové převodníky ( A/D ) Převodníky analogového signálu v číslicový (zkráceně převodník N/ Č nebo A/D jsou povětšině založeny buď na principu transformace napětí na jinou fyzikální veličinu

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Informace, kódování a redundance

Informace, kódování a redundance Informace, kódování a redundance INFORMACE = fakt nebo poznatek, který snižuje neurčitost našeho poznání (entropii) DATA (jednotné číslo ÚDAJ) = kódovaná zpráva INFORAMCE = DATA + jejich INTERPRETACE (jak

Více

v aritmetické jednotce počíta

v aritmetické jednotce počíta v aritmetické jednotce počíta tače (Opakování) Dvojková, osmičková a šestnáctková soustava () Osmičková nebo šestnáctková soustava se používá ke snadnému zápisu binárních čísel. 2 A 3 Doplněné nuly B Číslo

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Informatika Datové formáty

Informatika Datové formáty Informatika Datové formáty Radim Farana Podklady předmětu Informatika pro akademický rok 2007/2008 Obsah Datové formáty (datové typy). Textové formáty, vlastnosti zdroje zpráv. Číselné formáty, číselné

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009)

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) 13. Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) Řešení společně připravili lektoři Aleph.cz a Kurzy-Fido.cz Úlohy z varianty

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. úpravy a převádění zlomků

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. úpravy a převádění zlomků METODICKÝ LIST DA Název tématu: Autor: Předmět: Zlomky smíšené číslo, složené zlomky a převod na desetinná čísla Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku.

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku. 5. Racionální čísla 5.1. Vymezení pojmu racionální číslo Dělením dvou celých čísel nemusí vyjít vždy číslo celé, např.: 6 : 3 = 2, ale podíl 2 : 3 není celé číslo. Vznikla tedy potřeba rozšíření celých

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Title: IX 6 11:27 (1 of 6)

Title: IX 6 11:27 (1 of 6) PŘEVODNÍKY ANALOGOVÝCH A ČÍSLICOVÝCH SIGNÁLŮ Převodníky umožňující transformaci číslicově vyjádřené informace na analogové napětí a naopak zaujímají v řídícím systému klíčové postavení. Značná část měřených

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

1 z 9 9.6.2008 13:27

1 z 9 9.6.2008 13:27 1 z 9 9.6.2008 13:27 Test: "TVY_KLO" Otázka č. 1 Převodníku je: kombinační logický obvod, který převádí jeden binární kód do druhého Odpověď B: obvod, pomocí kterého můžeme převádět číslo z jedné soustavy

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru ŠVP LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Matematika Vzdělávací obsah předmětu Matematika je utvořen vzdělávacím obsahem vzdělávacího

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

PODPORA ELEKTRONICKÝCH FOREM VÝUKY

PODPORA ELEKTRONICKÝCH FOREM VÝUKY INVE STICE DO ROZV O JE V ZDĚL ÁV Á NÍ PODPORA ELEKTRONICKÝCH FOREM VÝUKY CZ.1.07/1.1.06/01.0043 Tento projekt je financován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR. SOŠ informatiky a spojů a SOU, Jaselská

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 58 Binární logika

Více

1.1.3 Převody jednotek

1.1.3 Převody jednotek .. Převody jednotek Předpoklady: 0 Pomůcky: Pedagogická poznámka: Občas se převádění jednotek pojímá jako exhibice mířící do co největších mocnin. Snažím se takovému přístupu vyhnout. Nejde o základ fyziky,

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

MQL4 COURSE. By Coders guru www.forex-tsd.com. -4 Operace & Výrazy

MQL4 COURSE. By Coders guru www.forex-tsd.com. -4 Operace & Výrazy MQL4 COURSE By Coders guru www.forex-tsd.com -4 Operace & Výrazy Vítejte ve čtvrté lekci mého kurzu MQL4. Předchozí lekce Datové Typy prezentovaly mnoho nových konceptů ; Doufám, že jste všemu porozuměli,

Více

2.7 Binární sčítačka. 2.7.1 Úkol měření:

2.7 Binární sčítačka. 2.7.1 Úkol měření: 2.7 Binární sčítačka 2.7.1 Úkol měření: 1. Navrhněte a realizujte 3-bitovou sčítačku. Pro řešení využijte dílčích kroků: pomocí pravdivostní tabulky navrhněte a realizujte polosčítačku pomocí pravdivostní

Více

1.1.3 Převody jednotek

1.1.3 Převody jednotek .. Převody jednotek Předpoklady: 000 Pomůcky: Př. : Převeď ze základní jednotky na jednotku v závorce. a) 500 m[ km ] b) 0,05A [ µa ] c) 0, N[ kn ] d) 0,000 0045m[ nm ] e) 450 000J[ GJ ] f) 0,00 F[ nf

Více

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15 Manuál č. 15 NÁZEV HODINY/TÉMA: OPERACE S REÁLNÝMI ČÍSLY Časová jednotka (vyuč.hod.): 1h (45min.) Vyučovací předmět: Matematika Ročník: první Obor vzdělání: 3letý Použité metody: Hra s čísly, Práce s textem,

Více

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace.

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. 12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. Logická proměnná - proměnná nesoucí logickou hodnotu Logická funkce - funkce přiřazující

Více

Čísla v plovoucířádovéčárce. INP 2008 FIT VUT v Brně

Čísla v plovoucířádovéčárce. INP 2008 FIT VUT v Brně Čísla v plovoucířádovéčárce INP 2008 FIT VUT v Brně Čísla v pevné vs plovoucí řádové čárce Pevnářádováčárka FX bez desetinné části (8 bitů) Přímý kód: 0 až 255 Doplňkový kód: -128 až 127 aj. s desetinnou

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků obor přirozených čísel : počítání do dvaceti - číslice

Více

1 Paměť a číselné soustavy

1 Paměť a číselné soustavy Úvod 1 Paměť a číselné soustavy Počítač používá různé typy pamětí. Odlišují se svou funkcí, velikostí, rychlostí zápisu a čtení, schopností udržet data v paměti. Úkolem paměti je zpřístupňovat data dle

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Předmět: MATEMATIKA Ročník: 4. Časová dotace: 4 hodiny týdně Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Provádí písemné početní operace Zaokrouhluje přirozená čísla, provádí odhady a kontroluje

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 4. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace využívá při pamětném a písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

2.2 VYJADŘOVÁNÍ VELKÝCH ČÍSEL, POČÍTÁNÍ: NEPOZIČNÍ ČÍSELNÁ SOUSTAVA

2.2 VYJADŘOVÁNÍ VELKÝCH ČÍSEL, POČÍTÁNÍ: NEPOZIČNÍ ČÍSELNÁ SOUSTAVA 2.2 VYJADŘOVÁNÍ VELKÝCH ČÍSEL, POČÍTÁNÍ: NEPOZIČNÍ ČÍSELNÁ SOUSTAVA Zkusme nejprve vymyslet vlastní nepoziční soustavu třeba vajíčkovou : v kuchařských receptech se obvykle počítají vajíčka na kusy, při

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby Matematika - 1. ročník Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků Rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné

Více

Už známe datové typy pro representaci celých čísel i typy pro representaci

Už známe datové typy pro representaci celých čísel i typy pro representaci Dlouhá čísla Tomáš Holan, dlouha.txt, Verse: 19. února 2006. Už známe datové typy pro representaci celých čísel i typy pro representaci desetinných čísel. Co ale dělat, když nám žádný z dostupných datových

Více

VY_32_INOVACE_E 15 03

VY_32_INOVACE_E 15 03 Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Michal Musílek, 2009. michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/

Michal Musílek, 2009. michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/ Michal Musílek, 2009 michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/ Grafické násobení pomocí průsečíků přímek Algoritmus gelosia a Napierovy kostky Objev logaritmů, přirozený a dekadicky log Logaritmické

Více

Řešení druhé série (19.3.2009)

Řešení druhé série (19.3.2009) Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení druhé série (19.3.2009) Úlohy z varianty 16, ročník 2007 25. Hlavní myšlenka: efektivní převádění ze zlomku

Více

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Proč Excel? Práce s Excelem obnáší množství operací s tabulkami a jejich obsahem. Jejich jednotlivé buňky jsou uspořádány do sloupců

Více