GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA
|
|
- Luboš Pravec
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA
2 Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace
3 Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému ovlivňovaná náhodnými faktory) KOMBINOVANÉ Význam variability Podnikové procesy (činnosti) nejsou obvykle deterministické - obsahují různé prvky variability (rozdílná délka jejich trvání)
4 K provedení simulace je potřeba získat náhodná čísla tj. numerickou realizaci náhodných veličin A Přímé zakomponování náhodných jevů (do simulačního modelu), jenž byly stanoveny na základě údajů napozorovaných na real. modelu!!! PROBLÉM!!! ŘEŠENÍ B 1. Stanovení pravděpodobnostních zákonitostí (typ rozdělení náhodné veličiny a její parametry) na základě údajů napozorovaných na reálním modelu simulační experimenty běžného rozsahu = několik set tisíc hodnot 2. Generování hodnot náhodných jevů na základě zjištěných pravděpodobnostních zákonitostí v průběhu chodu simulačního modelu
5 Náhoda Nic není náhoda aneb Existuje náhoda nebo je vše předurčeno? Náhoda je blbec, Nehoda není náhoda Náhoda - něco, co může ale nemusí nastat, přičemž existenci či neexistenci daného jevu nelze ovlivnit.
6 Náhodný pokus, náhodný jev, náhodná veličina, rozdělení Náhodný pokus pokus, jehož výsledek se od jednoho provedení pokusu k druhému (při stejných výchozích podmínkách) obecně mění (hod kostkou, mincí, ) Náhodný veličina jeveličina, jejíž hodnota je dána výsledkem náhodného pokusu (např. jednička na kostce). Náhodná veličinajeurčena rozdělením pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny pravidlo, kterým každému jevu popisovanému touto veličinou přiřazujeme určitou pravděpodobnost. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny získáme, pokud každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadíme pravděpodobnost.
7 Distribuční funkce Distribuční funkce F(x) popisuje rozložení pravděpodobnosti mezi náhodné jevy, F(x) je rovno pravděpodobnosti, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovno x Pro každé reálné x je distribuční funkce neklesající Pro každé reálné x platí
8 Hustota pravděpodobnosti, pravděpodobnostní funkce Hustota pravděpodobnosti f(x) derivace spojité distribuční funkce F(x) pro všechna reálná x je Pravděpodobnostní funkce P(x) pro diskrétní veličiny pro všechna reálná x i platí celkový součet f(x i ) je roven 1
9 Hustota pravděpodobnosti, distribuční funkce Normální normované rozdělení N(0,1) Rovnoměrné rozdělení R(0,1)
10 F(x) příklad hod kostkou 1 5/6 2/3 1/2 1/3 1/
11 Střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka Střední hodnota E(x) charakteristika polohy Rozptyl D(x) je střední hodnota čtverců odchylek hodnot náhodné veličiny od její střední hodnoty E(x). Charakterizuje variabilitu náhodné veličiny. Směrodatná odchylka odmocnina rozptylu
12 Základní druhy rozdělení DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ Rovnoměrné rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Negativně binomické rozdělení Pascalovo rozdělení Geometrické rozdělení Hypergeometrické rozdělení Logaritmické rozdělení Rovnoměrné rozdělení Normální rozdělení Exponenciální rozdělení Laplaceovo rozdělení Logistické rozdělení Maxwellovo rozdělení Studentovo rozdělení Fischer-Snedecorovo rozdělení Χ² rozdělení (Chí kvadrát)
13 Exponenciální rozdělení nejčastěji používané rozdělení v simulaci generování intervalů mezi po sobě následujícími příchody požadavků, délka trvání činností, výskyty poruch λ intenzita příchodů, tj.počet příchodů za jednotku času 1/ λ interval mezi po sobě následujícími příchody Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce Střední hodnota Hustota pravděpodobnosti pro parametry λ = 2 Rozptyl
14 Rovnoměrné rozdělení R(0,1) základ pro generování dalších náhodných veličin simulace délky trvání činností Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce Střední hodnota Hustota pravděpodobnosti rovnoměrného rozdělení R(4,8) Rozptyl
15 Normální rozdělení zachycení chyby při fyzikálních měřeních a ekonomických pozorováních generování dob trvání činností (! správná volba střední hodnoty, jinak záporné a vybočující hodnoty!) Hustota pravděpodobnosti Střední hodnota Rozptyl Hustota pravděpodobnosti pro parametry μ = 5, σ 2 = 1
16 Poissonovo rozdělení generování počtu příchozích entit do systému, počtu vadných výrobků, počtu vad na jeden výrobek, počet přerušení provozu za danou časovou jednotku λ intenzita příchodů, tj. průměrný počet příchodů za jednotku času Pravděpodobnostní funkce Střední hodnota Rozptyl Pravděpodobnostní funkce pro λ =3 a λ =8
17 Binomické rozdělení náhodná veličina X popisuje rozdělení počtu nastoupení jevu příznivého v n nezávislých realizacích náhodného pokusu dva parametry: n a p pravděpodobnost nastoupení příznivého jevu Pravděpodobnostní funkce Střední hodnota Rozptyl Pravděpodobnostní funkce s parametry n = 10 a p = 0,2
18 Jaký typ rozdělení vůbec generovat? data známé z reálného systému stanovení jaké hodnoty proces generuje: spojité nebo diskrétní stanovení jestli je proces stacionární nebo nestacionární oční testy analýza základních charakteristik rozdělení aplikace statistických testů testy dobré shody data neznámé hledání analogie s jinými procesy odhady expertů na daný problém
19 Postup generování náhodných čísel PRIMÁRNÍ GENERÁTORY generování posloupnosti náhodných čísel s rovnoměrným rozdělením SEKUNDÁRNÍ GENERÁTORY transformace rovnoměrně rozdělených veličin na veličiny s libovolným rozdělením
20 Generování náhodných čísel Nezávislé hodnoty rovnoměrného rozdělení na intervalu (0,1) R(0,1) R(0,1): f(x) = 1 pro x (0,1) jinak f(x) = 0 F(x) = 0 pro x 0 F(x) = x pro x (0,1) F(x) = 1 pro x 1
21 Jak generovat náhodná čísla 1. Tabulky náhodných čísel 2. Mechanické generátory 3. Fyzikální generátory 4. Aritmetické generátory
22 Tabulky náhodných čísel pro výpočty malého rozsahu (Tippetove tabulky čísel, atd ). po převedení do elektronické podoby počítač z ní načítá náhodná čísla. Příklad tabulky náhodných čísel: Výhoda: kvalitní data Nevýhoda: i nejrozsáhlejší tabulky jsou již malé
23 Mechanické generátory (TRN generátory) nejvíce známé hrací kostka při hře, nebo házení mincí. tam, kde na výsledku hodně záleží, jsou pro účely losování zhotoveny speciální přístroje (např. pro sázkové hry podniku SAZKA). Nevýhoda: pro simulaci na počítači nepoužitelné
24 Fyzikální generátory (TRN generátory) využití jistých fyzikálních pochodů, které mají náhodný charakter, např. počítání intervalů mezi rádioaktivními rozpady jednotlivých atomů, šumové generátory využívající vlastnosti polovodičového přechodu, atd. princip připojení zařízení, které registruje určité fyzikální pochody k počítači Výhoda: jsou náhodné Nevýhoda: nelze je reprodukovat, opakovat simulaci za stejných podmínek
25 Fyzikální generátory (TRN generátory) lávové lampy 60. a 70. léta, obrazy probublávajících barevných kuliček kapaliny v osvětlené zúžené žárovce snímány několika kamerami, tzv. lavarand. SG , komerční hardwarový generátor, generování na základě tepelného šumu připojeného rezistoru HotBit server, kde lze objednat náhodná čísla, generování na základě časového průběhu radioaktivního rozpadu částic, jak je zaznamenáván Geiger- Müllerovou trubicí.
26 Aritmetické generátory (PRN generátory) nejpoužívanějšími generátory pro účely počítačové simulace, náhodná čísla tvořena aritmetickými procedurami pomocí rekurentních výpočtů v nichž následující číslo deterministicky závisí na jednom či více předchozích číslech. čísla takto získaná označujeme jako čísla pseudonáhodná (jde o výpočet, nikoliv o náhodu) vlastnosti odpovídající RN: nezávislost a rovnoměrné rozložení na požadovaném intervalu Generování náhodných čísel spočívá v paradoxu, že náhoda může být vypočtena!
27 Kongruenční generátory Lineární kongruenční generátory (Lehmer, 1948) A) Smíšený x n+1 = a x n + c (mod m) B) Multiplikativní x n+1 = a x n (mod m) C) Aditivní, např. x n+1 = x n + x n-1 (mod m) x 0, a, c, m vhodně zvolená čísla x 0 násada, semínko, tzv. seed modulo m (celé číslo, m 0, zbytek po celočíselném dělení) Proměnná x může nabývat pouze konečného počtu hodnot P (perioda generátoru), platí že
28 Smíšený lineární kongruenční generátor n x n 11x n +9 (11x n +9)(mod 13) Výpočet x 2
29 Vliv nastaveni konstant x, c, a, m na periodu P x n+1 = a x n + c 1,4,0,3,6,2,5, 1,4,0,3,6,2,5, 1,4,0,3,6,2,5,
30 Vliv nastaveni konstant x, c, a, m na periodu P x n+1 = a x n + c
31 Vliv nastaveni konstant x, c, a, m na periodu P x n+1 = a x n + c
32 Testování náhodných čísel Ověření, zda generátor poskytuje hodnoty, které lze považovat za nezávislé hodnoty rozdělení R(0,1). tzv. empirické testy náhodnosti (hodnocení na základě statistik získaných z generovaných posloupnosti a jejich porovnání s hodnotami statistik vypočtenými za předpokladu náhodnosti) testy teoretické, vycházející z teorie čísel, zkoumání parametrů generátoru. žádný test nedává definitivní jistotu, úspěšnost v několika testech zvyšuje důvěru v náhodnost čísel. čísla generovaná počítačem jsou prohlášena za náhodná, jestliže testy nemohou odhalit rozdíl mezi čísly získané aritmetickým generátorem a skutečně náhodnou posloupností.
33 Metody transformace náhodných čísel na hodnoty náhodných veličin Vygenerujeme náhodné číslo z intervalu R (0,1), to pak transformujeme pomocí vhodné metody na náhodnou veličinu zvoleného rozdělení ( exponenciálního, ) Metoda inverzní transformace Zamítací metoda Kompoziční metoda
34 Metoda inverzní transformace Předpoklad: Existuje rostoucí distribuční funkce F(x) pro náhodnou veličinu X a také funkce k ní inverzní F -1 (x) Nalezne se inverzní funkce k distribuční funkci požadovaného rozdělení. Generuji hodnoty R(0,1) a pomocí inverzní funkce získám požadované hodnoty. Příklad: Pokud má požadovaná náhodná veličina distribuční funkci F(x) a máme-li generátor spojitého rozdělení U na intervalu (0,1) lze veličinu X s požadovaným rozdělením získat jako X=F -1 (U) ( kvantilová funkce) b X F -1 a 0 1 U
35 Požadavky na generátory náhodných čísel dlouhá perioda generování "dobré" pseudonáhodné posloupnosti (PP) = délka PP by měla být zlomkem délky periody generátoru lineární kongruenční generátor - délka periody minimálně 2 60, nejlépe volit periodu alespoň o rád vetší, než je druhá mocnina počtu generovaných čísel, někteří autoři doporučují efektivita uspokojující rychlost, využívání paměti počítače v co nejmenší možné míře opakovatelnost vlastnost důležitá především pro simulační úlohy, existence možnosti generovat shodné pseudonáhodné posloupnosti přenositelnost snadná implementace a plná funkčnost generátoru na různých platformách, hardwarových i softwarových nevypočitatelnost z vygenerované posloupnosti by nemělo být možné v rozumném čase určit, jaké číslo bude následovat (kasina, internet) úspěšnost v empirických testech ověřování hypotézy H0: "vygenerované hodnoty jsou nezávislá náhodná čísla z rovnoměrného rozdělení na intervalu (0,1)". skok dopředu je schopnost genetátoru spočítat xn+v na základě znalosti xn popřípadě x0 aníž bychom počítali hodnoty mezi
36 Literatura Hušek, R., Lauber,J. Simulační modely, SNTL/Alfa Praha 1987 Kuneš, J., Vavroch, O., Franta,V. Základy modelování, SNTL Praha 1989 Rábová, Z., Češka, M., Zendulka, J. Modelování a simulace, SNTL Praha 1982 Dlouhý, M., Fábry, J., Kuncová, M., Hladík, T. Simulace podnikových procesů, Computer Press, a.s. Brno, 2007 Keřkovský, M., Moderní přístupy k řízení výroby, C. H. Beck Praha 2001 Havrila, M., Počítačové projektovanie, Prešov, 2008, ISBN Havrila, M., Trendy v počítačovom projektovaní výrobných systémov, online cit. [ ], dostupné z Havrila, M., Tendencie v rozvoji počítačovej simulácie výrobných systémov. Manufacturing Engineering/Výrobné inžinierstvo, FVT TU Prešov, č. 3, 2008, VII, str , ISSN Geta Centrum s.r.o, Optimalizace pracoviště v digitální továrně, Baumbruk, M., Výhody integrace komponent digitální továrny: od PLM až k virtuálnímu ověřování, Siemens PLM software Lacko, B., Navrhování systémů řízení, Studijní text, Brno, 2006 Leeder, E., Digitální továrna mocný nástroj pro průmyslovou výrobu, AUTOMA 7/2008, s.56-58, Mareček, P., Virtuální simulace výroby aneb Digitální továrna, IT SYSTEMS 9/2006, on-line cit. [ ], dostupné z PLM Siemens, online cit. [ ],
NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:
NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného
VícePOČÍTAČOVÁ SIMULACE PODNIKOVÝCH PROCESŮ. Ing. V. Glombíková, PhD.
POČÍTAČOVÁ SIMULACE PODNIKOVÝCH PROCESŮ Ing. V. Glombíková, PhD. SIMULACE nástroj pro studium chování objektů reálného světa SYSTÉM určitým způsobem uspořádána množina komponent a relací mezi nimi. zjednodušený,
VíceGenerování pseudonáhodných. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Generování pseudonáhodných čísel při simulaci Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky V simulačních modelech se velice často vyskytují náhodné proměnné. Proto se budeme zabývat otázkou, jak při simulaci
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VíceSYSTÉMY HROMADNÉ OBSLUHY. Teorie front
SYSTÉMY HROMADNÉ OBSLUHY Teorie front Systémy hromadné obsluhy (SHO) Teorie hromadné obsluhy (THO) se zabývá kvantitativním hodnocením soustav schopných uspokojiť požadavky hromadného charakteru na nejakou
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceTRENDY V POČÍTAČOVÉM PROJEKTOVÁNÍ VÝROBNÍCH SYSTÉMŮ ERGONOMICKÉ SIMULACE PODNIKOVÝCH PROCESŮ
TRENDY V POČÍTAČOVÉM PROJEKTOVÁNÍ VÝROBNÍCH SYSTÉMŮ ERGONOMICKÉ SIMULACE PODNIKOVÝCH PROCESŮ Ing. V. Glombíková, PhD. Systémy pro simulaci výrobních systémů Systémy vyznačující se schopností vyhodnocení
VíceROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceStatistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009
VíceStatistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omylů a lží
Statistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omylů a lží Zdeněk Karpíšek Jsou tři druhy lží: lži, odsouzeníhodné lži a statistiky. Statistika je logická a přesná metoda, jak nepřesně
Více4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceBayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VícePočítačová simulace logistických procesů
Jan Fábry ŠKODA AUTO Vysoká škola Katedra logistiky, kvality a automobilové techniky 10.3.2019 logistických procesů logistických procesů Obsah kurzu 1. Základy počítačové simulace definice simulace, výhody
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VíceLIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceRovnoměrné rozdělení
Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Vícey = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
VíceGenerátory náhodných čísel V. Bílý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, Břehová 7, 115 19 Praha 1 bilyvit@fjfi.cvut.cz Abstrakt Během svého experimentu jsem se zajímal a porovnával různé generátory
VíceSTANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ. J. Pruška, T. Parák
STANOVENÍ SPOLEHLIVOSTI GEOTECHNICKÝCH KONSTRUKCÍ J. Pruška, T. Parák OBSAH: 1. Co je to spolehlivost, pravděpodobnost poruchy, riziko. 2. Deterministický a pravděpodobnostní přístup k řešení problémů.
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
VíceÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.
ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu
VíceLimitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
VíceIMOSI - MODELACE A SIMULACE LEARN 2013 správně možná špatně
IMOSI - MODELACE A SIMULACE LEARN 2013 správně možná špatně Simulátor označujeme jako kredibilní v případě, že: byla úspěšně završena fáze verifikace simulátoru se podařilo přesvědčit zadavatele simulačního
Více1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,
KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce
VíceTéma 3: Metoda Monte Carlo
y Náhodná proměnná D Téma 3: Metoda Monte Carlo Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia 1,0 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceUNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2010/2011 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
VíceYou created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2009/2010 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické
VíceEkonomické modelování pro podnikatelskou praxi
pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus
Více24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB
24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceTématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"
Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceStochastické signály (opáčko)
Stochastické signály (opáčko) Stochastický signál nemůžeme popsat rovnicí, ale pomocí sady parametrů. Hodit se bude statistika a pravděpodobnost (umíte). Tohle je jen miniminiminiopáčko, později probereme
Více1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost
1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VícePravděpodobnostní rozdělení
Náhodná proměnná Pravděpodobnostní rozdělení Základy logiky a matematiky, ISS FSV UK Martin Štrobl Tento pomocný materiál neobsahuje všechnu látku k danému tématu, pouze se zaměřuje na pochopení důležitých
VícePravděpodobnostní rozdělení v MS Excel
Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se
VícePočítačová simulace logistických procesů II 9. přednáška Stochastické procesy a jejich zohlednění v modelu, optimalizace na bázi simulace
Počítačová simulace logistických procesů II 9. přednáška Stochastické procesy a jejich zohlednění v modelu, optimalizace na bázi simulace Jan Fábry 28.10.2017 Počítačová simulace logistických procesů II
Více