Od Pythagora ke geometrickému modelování. Miroslav Lávička 1
|
|
- Vladislav Doležal
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Od Pythagora ke geometrickému modelování Miroslav Lávička 1 lavicka@kma.zcu.cz 1 Katedra matematiky Fakulty aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Brána matematikou otevřená Seminář pro učitele středních a vysokých škol Plzeň, 29. března 2012 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
2 Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
3 Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
4 Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
5 Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
6 Úvod Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
7 Úvod Antická civilizace zrod matematiky jako vědy 1 Archaická doba ( př. n. l.) 1.1 Rozmach poleis 1.2 Velká kolonizace rozšíření řecké kultury 1.3 Proměna státního zřízení řeckých obcí 1.4 Nejsilnější řecké obce: Vzestup Sparty a Athén Sparta nejmocnější stát Řecka Athény na cestě k demokracii 2 Klasická doba ( př. n. l.) 2.1 Řecko-perské války 2.2 Dominance Athén 2.3 Peloponéská válka 2.4 Boj o hegemonii: Soupeření Sparty a Théb 2.5 Nástup Makedonie konec nezávislosti řeckých poleis 2.6 Kultura a společnost klasického věku 3 Helénistická doba ( př. n. l.) 3.1 Alexandrovy výboje 3.2 Helénistický svět 3.3 Antigonovci: převaha Makedonie 3.4 Římské zásahy 3.5 Konec řecké svobody 4 Římská nadvláda (146 př. n. l ) 4.1 Mithridatés a římské občanské války 4.2 Římská provincie 4.3 Doba pozdní antiky Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
8 Úvod Antická civilizace zrod matematiky jako vědy 1 Archaická doba ( př. n. l.) 1.1 Rozmach poleis 1.2 Velká kolonizace rozšíření řecké kultury 1.3 Proměna státního zřízení řeckých obcí 1.4 Nejsilnější řecké obce: Vzestup Sparty a Athén Sparta nejmocnější stát Řecka Athény na cestě k demokracii 2 Klasická doba ( př. n. l.) 2.1 Řecko-perské války Antická civilizace dala světu 2.2 Dominance Athén 2.3 Peloponéská válka matematiku jako vědu 2.4 Boj o hegemonii: Soupeření Sparty a Théb 2.5 Nástup Makedonie konec nezávislosti řeckých poleis 2.6 Kultura a společnost Co? klasického Jak? věku Proč? 3 Helénistická doba ( př. n. l.) 3.1 Alexandrovy výboje 3.2 Helénistický svět 3.3 Antigonovci: převaha Makedonie 3.4 Římské zásahy 3.5 Konec řecké svobody 4 Římská nadvláda (146 př. n. l ) 4.1 Mithridatés a římské občanské války 4.2 Římská provincie 4.3 Doba pozdní antiky Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
9 Úvod Odkaz řecké matematiky Dědictví řecké matematiky... Thalés Thaletova věta, Thaletova kružnice Pythagoras Pythagorova věta, pythagorejské trojice Platón platónská tělesa Eukleides Eukleidovy prostory, eukleidovské konstrukce, ne-eukleidovské geometrie Archimédés Archimédův zákon, Archimédův šroub, Archimédova spirála, Archimédova serpentina, archimédovská tělesa Apollónios Apolloniovy úlohy, Apolloniova kružnice Diofantos diofantovské rovnice... a řada dalších Eratostenes, Aristarchos, Nikomachos, Pappos, Meneachmos, Menelaos, Herón, Ptolemaios,... Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
10 Od Pythagora... Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
11 Od Pythagora... Pythagoras ze Samu. Pythagorejská škola řecký matematik, astronom a filozof pythagorejská škola ( tajné náboženské společenství) při hledání zákonů vesmírů studovali pythagorejci tzv. kvadrivium (geometrie, aritmetika, astronomie, muzika) matematika (zvl. aritmetika) se stala základem kosmologické filozofie pythagorejců ("Všechno je číslo") objev Pythagorovy věty připisovali pythagorejci svému mistrovi věta už byla dříve známa Babylóňanům a Egypťanům, ale pythagorejci zřejmě jako první provedli důkaz největší dosah pro řeckou matematiku měl důkaz iracionality 2 (úhlopříčka a strana jednotkového čtverce jsou nesouměřitelné) (okolo 582 p.n.l. okolo 496 p.n.l.) nabourání souladu mezi aritmetikou a geometrií (1. krize matematiky) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
12 Od Pythagora... Pythagoras ze Samu. Pythagorejská škola řecký matematik, astronom a filozof pythagorejská škola ( tajné náboženské společenství) při hledání zákonů vesmírů studovali pythagorejci tzv. kvadrivium (geometrie, aritmetika, astronomie, muzika) matematika (zvl. aritmetika) se stala základem kosmologické filozofie pythagorejců ("Všechno je číslo") objev Pythagorovy věty připisovali pythagorejci svému mistrovi věta už byla dříve známa Babylóňanům a Egypťanům, ale pythagorejci zřejmě jako první provedli důkaz největší dosah pro řeckou matematiku měl důkaz iracionality 2 (úhlopříčka a strana jednotkového čtverce jsou nesouměřitelné) (okolo 582 p.n.l. okolo 496 p.n.l.) nabourání souladu mezi aritmetikou a geometrií (1. krize matematiky) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
13 Od Pythagora... Pythagoras ze Samu. Pythagorejská škola řecký matematik, astronom a filozof pythagorejská škola ( tajné náboženské společenství) při hledání zákonů vesmírů studovali pythagorejci tzv. kvadrivium (geometrie, aritmetika, astronomie, muzika) matematika (zvl. aritmetika) se stala základem kosmologické filozofie pythagorejců ("Všechno je číslo") objev Pythagorovy věty připisovali pythagorejci svému mistrovi věta už byla dříve známa Babylóňanům a Egypťanům, ale pythagorejci zřejmě jako první provedli důkaz největší dosah pro řeckou matematiku měl důkaz iracionality 2 (úhlopříčka a strana jednotkového čtverce jsou nesouměřitelné) (okolo 582 p.n.l. okolo 496 p.n.l.) nabourání souladu mezi aritmetikou a geometrií (1. krize matematiky) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
14 Od Pythagora... Pythagoras ze Samu. Pythagorejská škola řecký matematik, astronom a filozof pythagorejská škola ( tajné náboženské společenství) při hledání zákonů vesmírů studovali pythagorejci tzv. kvadrivium (geometrie, aritmetika, astronomie, muzika) matematika (zvl. aritmetika) se stala základem kosmologické filozofie pythagorejců ("Všechno je číslo") objev Pythagorovy věty připisovali pythagorejci svému mistrovi věta už byla dříve známa Babylóňanům a Egypťanům, ale pythagorejci zřejmě jako první provedli důkaz největší dosah pro řeckou matematiku měl důkaz iracionality 2 (úhlopříčka a strana jednotkového čtverce jsou nesouměřitelné) (okolo 582 p.n.l. okolo 496 p.n.l.) nabourání souladu mezi aritmetikou a geometrií (1. krize matematiky) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
15 Od Pythagora... Pythagoras ze Samu. Pythagorejská škola řecký matematik, astronom a filozof pythagorejská škola ( tajné náboženské společenství) při hledání zákonů vesmírů studovali pythagorejci tzv. kvadrivium (geometrie, aritmetika, astronomie, muzika) matematika (zvl. aritmetika) se stala základem kosmologické filozofie pythagorejců ("Všechno je číslo") objev Pythagorovy věty připisovali pythagorejci svému mistrovi věta už byla dříve známa Babylóňanům a Egypťanům, ale pythagorejci zřejmě jako první provedli důkaz největší dosah pro řeckou matematiku měl důkaz iracionality 2 (úhlopříčka a strana jednotkového čtverce jsou nesouměřitelné) (okolo 582 p.n.l. okolo 496 p.n.l.) nabourání souladu mezi aritmetikou a geometrií (1. krize matematiky) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
16 Od Pythagora... Figurální čísla tzv. figurální čísla (trojúhelníková, čtvercová, obdélníková, pětiúhelníková, atd.) byla pro pythagorejce nástrojem jak znázorňovat úvahy o číslech přeskupování kaménků do různých tvarů bylo pomůckou k objevům a k provádění důkazů, např (2n 1) = n 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
17 Od Pythagora... Pythagorova věta C b b a A c b c a B a c c Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
18 Od Pythagora... Objev nesouměřitelnosti. První krize matematiky objev spadá do posledních desetiletí 5. st. p.n.l. poměr úhlopříčky a strany čtverce nelze vyjádřit číslem (celým nebo zlomkem) Všechno je číslo 1. krize matematiky krize řecké matematiky byla vyřešena odstraněním pythagorejské aritmetiky a důslednou geometrizací matematiky reálné číslo... úsečka (resp. její délka) druhá mocnina... čtverec (resp. jeho obsah) součin dvou čísel... obdélník (resp. jeho obsah) třetí mocnina... krychle (resp. její objem) atd = 2 = ( 2) 2 u : a = 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
19 Od Pythagora... Objev nesouměřitelnosti. První krize matematiky objev spadá do posledních desetiletí 5. st. p.n.l. poměr úhlopříčky a strany čtverce nelze vyjádřit číslem (celým nebo zlomkem) Všechno je číslo 1. krize matematiky krize řecké matematiky byla vyřešena odstraněním pythagorejské aritmetiky a důslednou geometrizací matematiky reálné číslo... úsečka (resp. její délka) druhá mocnina... čtverec (resp. jeho obsah) součin dvou čísel... obdélník (resp. jeho obsah) třetí mocnina... krychle (resp. její objem) atd = 2 = ( 2) 2 u : a = 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
20 Od Pythagora... Objev nesouměřitelnosti. První krize matematiky objev spadá do posledních desetiletí 5. st. p.n.l. poměr úhlopříčky a strany čtverce nelze vyjádřit číslem (celým nebo zlomkem) Všechno je číslo 1. krize matematiky krize řecké matematiky byla vyřešena odstraněním pythagorejské aritmetiky a důslednou geometrizací matematiky reálné číslo... úsečka (resp. její délka) druhá mocnina... čtverec (resp. jeho obsah) součin dvou čísel... obdélník (resp. jeho obsah) třetí mocnina... krychle (resp. její objem) atd = 2 = ( 2) 2 u : a = 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
21 Od Pythagora... Objev nesouměřitelnosti. První krize matematiky objev spadá do posledních desetiletí 5. st. p.n.l. poměr úhlopříčky a strany čtverce nelze vyjádřit číslem (celým nebo zlomkem) Všechno je číslo 1. krize matematiky Princip homogenity krize řecké matematiky byla vyřešena odstraněním A + B C nelze sečíst (úsečka a obdélník) pythagorejské aritmetiky a důslednou geometrizací A E + B C, kde E je jednotková úsečka = 2 = ( 2) 2 matematiky u : a = 2 reálné číslo... úsečka (resp. její délka) druhá mocnina... čtverec (resp. jeho obsah) součin dvou čísel... obdélník (resp. jeho obsah) třetí mocnina... krychle (resp. její objem) atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
22 Od Pythagora... Pythagorejské trojice a jejich generátory Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a, b, c takových, že a 2 + b 2 = c 2. Nejznámější příklad pythagorejské trojice jsou čísla 3, 4, 5. Libovolný násobek pythagorejské trojice je také pythagorejská trojice. Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí takových, že dosazením proměnné nebo proměnných do těchto funkcí se vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel a, b, c. Nejznámější generátor (tzv. Euklidova formule): a, b, c = f(m, n), kde m, n N a m > n a a = 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 + n 2 Pro n = 1 se také hovoří o Platonově formuli. Jiné generátory (s vazbami, např. c b = 1, c b = 2): a = 2n + 1, b = 2n 2 + 2n, c = 2n 2 + 2n + 1, a = 4n, b = 4n 2 1, c = 4n Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
23 Od Pythagora... Pythagorejské trojice a jejich generátory Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a, b, c takových, že a 2 + b 2 = c 2. Nejznámější příklad pythagorejské trojice jsou čísla 3, 4, 5. Libovolný násobek pythagorejské trojice je také pythagorejská trojice. Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí takových, že dosazením proměnné nebo proměnných do těchto funkcí se vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel a, b, c. Nejznámější generátor (tzv. Euklidova formule): a, b, c = f(m, n), kde m, n N a m > n a a = 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 + n 2 Pro n = 1 se také hovoří o Platonově formuli. Jiné generátory (s vazbami, např. c b = 1, c b = 2): a = 2n + 1, b = 2n 2 + 2n, c = 2n 2 + 2n + 1, a = 4n, b = 4n 2 1, c = 4n Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
24 Od Pythagora... Pythagorejské trojice a jejich generátory Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a, b, c takových, že a 2 + b 2 = c 2. Nejznámější příklad pythagorejské trojice jsou čísla 3, 4, 5. Libovolný násobek pythagorejské trojice je také pythagorejská trojice. Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí takových, že dosazením proměnné nebo proměnných do těchto funkcí se vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel a, b, c. Nejznámější generátor (tzv. Euklidova formule): a, b, c = f(m, n), kde m, n N a m > n a a = 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 + n 2 Pro n = 1 se také hovoří o Platonově formuli. Jiné generátory (s vazbami, např. c b = 1, c b = 2): a = 2n + 1, b = 2n 2 + 2n, c = 2n 2 + 2n + 1, a = 4n, b = 4n 2 1, c = 4n Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
25 Od Pythagora... Pythagorejské trojice a jejich generátory Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a, b, c takových, že a 2 + b 2 = c 2. Nejznámější příklad pythagorejské trojice jsou čísla 3, 4, 5. Libovolný násobek pythagorejské trojice je také pythagorejská trojice. Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí takových, že dosazením proměnné nebo proměnných do těchto funkcí se vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel a, b, c. Nejznámější generátor (tzv. Euklidova formule): a, b, c = f(m, n), kde m, n N a m > n a a = 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 + n 2 Pro n = 1 se také hovoří o Platonově formuli. Jiné generátory (s vazbami, např. c b = 1, c b = 2): a = 2n + 1, b = 2n 2 + 2n, c = 2n 2 + 2n + 1, a = 4n, b = 4n 2 1, c = 4n Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
26 Od Pythagora... Pythagorejské trojice a jejich generátory Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a, b, c takových, že a 2 + b 2 = c 2. Nejznámější příklad pythagorejské trojice jsou čísla 3, 4, 5. Libovolný násobek pythagorejské trojice je také pythagorejská trojice. Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí takových, že dosazením proměnné nebo proměnných do těchto funkcí se vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel a, b, c. Nejznámější generátor (tzv. Euklidova formule): a, b, c = f(m, n), kde m, n N a m > n a a = 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 + n 2 Pro n = 1 se také hovoří o Platonově formuli. Jiné generátory (s vazbami, např. c b = 1, c b = 2): a = 2n + 1, b = 2n 2 + 2n, c = 2n 2 + 2n + 1, a = 4n, b = 4n 2 1, c = 4n Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
27 Od Pythagora... Pythagorejské trojice a jejich generátory Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel a, b, c takových, že a 2 + b 2 = c 2. Nejznámější příklad pythagorejské trojice jsou čísla 3, 4, 5. Libovolný násobek pythagorejské trojice je také pythagorejská trojice. Generátor pythagorejských čísel je trojice matematických funkcí takových, že dosazením proměnné nebo proměnných do těchto funkcí se vygenerují jednotlivé hodnoty pythagorejských čísel a, b, c. Nejznámější generátor (tzv. Euklidova formule): a, b, c = f(m, n), kde m, n N a m > n a a = 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 + n 2 Pro n = 1 se také hovoří o Platonově formuli. Jiné generátory (s vazbami, např. c b = 1, c b = 2): a = 2n + 1, b = 2n 2 + 2n, c = 2n 2 + 2n + 1, a = 4n, b = 4n 2 1, c = 4n Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
28 Od Pythagora... Euklidova formule Trojice generovaná Euklidovou formulí se nazývá primitivní, jestliže a, b, c jsou po dvou nesoudělná čísla. Splnění pythagorejské podmínky se snadno ověří a 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 n 2 ) 2 = m 4 + 2m 2 n 2 + m 4 = (m 2 + n 2 ) 2 = c 2 Euklidova formule generuje VŠECHNY primitivní pythagorejské trojice, ale NE VŠECHNY pythagorejské trojice. Je nutné provést úpravu na tvar, který již generuje (byť nejednoznačně) všechny trojice a = k (2mn), b = k (m 2 n 2 ), c = k (m 2 + n 2 ) Např. všechny primitivní pythagorejské trojice, kdy délka přepony c < 100 (3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
29 Od Pythagora... Euklidova formule Trojice generovaná Euklidovou formulí se nazývá primitivní, jestliže a, b, c jsou po dvou nesoudělná čísla. Splnění pythagorejské podmínky se snadno ověří a 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 n 2 ) 2 = m 4 + 2m 2 n 2 + m 4 = (m 2 + n 2 ) 2 = c 2 Euklidova formule generuje VŠECHNY primitivní pythagorejské trojice, ale NE VŠECHNY pythagorejské trojice. Je nutné provést úpravu na tvar, který již generuje (byť nejednoznačně) všechny trojice a = k (2mn), b = k (m 2 n 2 ), c = k (m 2 + n 2 ) Např. všechny primitivní pythagorejské trojice, kdy délka přepony c < 100 (3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
30 Od Pythagora... Euklidova formule Trojice generovaná Euklidovou formulí se nazývá primitivní, jestliže a, b, c jsou po dvou nesoudělná čísla. Splnění pythagorejské podmínky se snadno ověří a 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 n 2 ) 2 = m 4 + 2m 2 n 2 + m 4 = (m 2 + n 2 ) 2 = c 2 Euklidova formule generuje VŠECHNY primitivní pythagorejské trojice, ale NE VŠECHNY pythagorejské trojice. Je nutné provést úpravu na tvar, který již generuje (byť nejednoznačně) všechny trojice a = k (2mn), b = k (m 2 n 2 ), c = k (m 2 + n 2 ) Např. všechny primitivní pythagorejské trojice, kdy délka přepony c < 100 (3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
31 Od Pythagora... Euklidova formule Trojice generovaná Euklidovou formulí se nazývá primitivní, jestliže a, b, c jsou po dvou nesoudělná čísla. Splnění pythagorejské podmínky se snadno ověří a 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 n 2 ) 2 = m 4 + 2m 2 n 2 + m 4 = (m 2 + n 2 ) 2 = c 2 Euklidova formule generuje VŠECHNY primitivní pythagorejské trojice, ale NE VŠECHNY pythagorejské trojice. Je nutné provést úpravu na tvar, který již generuje (byť nejednoznačně) všechny trojice a = k (2mn), b = k (m 2 n 2 ), c = k (m 2 + n 2 ) Např. všechny primitivní pythagorejské trojice, kdy délka přepony c < 100 (3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
32 Od Pythagora... Geometrie Euklidovy formule Platí ( ) a 2 + b 2 = c 2 a 2 ( ) b 2 = + = 1 c c Geometricky vzato bod o kartézských souřadnicích x = a c, y = b c, kde D(a, b, c) = 1, leží na jednotkové kružnici x 2 + y 2 = 1. Existuje tedy vzájemně jednoznačná korespondence mezi body na jednotkové kružnici, které mají racionální souřadnice, a primitivními pythagorejskými trojicemi Euklidova formule může být snadno odvozena pomocí stereografické projekce Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
33 Od Pythagora... Geometrie Euklidovy formule Platí ( ) a 2 + b 2 = c 2 a 2 ( ) b 2 = + = 1 c c Geometricky vzato bod o kartézských souřadnicích x = a c, y = b c, kde D(a, b, c) = 1, leží na jednotkové kružnici x 2 + y 2 = 1. Existuje tedy vzájemně jednoznačná korespondence mezi body na jednotkové kružnici, které mají racionální souřadnice, a primitivními pythagorejskými trojicemi Euklidova formule může být snadno odvozena pomocí stereografické projekce Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
34 Od Pythagora... Geometrie Euklidovy formule Platí ( ) a 2 + b 2 = c 2 a 2 ( ) b 2 = + = 1 c c Geometricky vzato bod o kartézských souřadnicích x = a c, y = b c, kde D(a, b, c) = 1, leží na jednotkové kružnici x 2 + y 2 = 1. Existuje tedy vzájemně jednoznačná korespondence mezi body na jednotkové kružnici, které mají racionální souřadnice, a primitivními pythagorejskými trojicemi Euklidova formule může být snadno odvozena pomocí stereografické projekce Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
35 Od Pythagora... Geometrie Euklidovy formule Platí ( ) a 2 + b 2 = c 2 a 2 ( ) b 2 = + = 1 c c Geometricky vzato bod o kartézských souřadnicích x = a c, y = b c, kde D(a, b, c) = 1, leží na jednotkové kružnici x 2 + y 2 = 1. Existuje tedy vzájemně jednoznačná korespondence mezi body na jednotkové kružnici, které mají racionální souřadnice, a primitivními pythagorejskými trojicemi Euklidova formule může být snadno odvozena pomocí stereografické projekce Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
36 Od Pythagora... Racionální parametrizace kružnice Uvažujme na ose x pohyblivý bod P = [t, 0], t R Užitím inverzní stereografické projekce se středem v severním pólu N získáme na kružnici bod [ ] 2t P = t 2 + 1, t2 1 t Parametrizace jednotkové kružnice ve tvaru [ ] 2t x(t) = t 2 + 1, t2 1 t je racionální alternativou k více známé goniometrické parametrizaci x(ϕ) = [cos ϕ, sin ϕ] Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
37 Od Pythagora... Racionální parametrizace kružnice Uvažujme na ose x pohyblivý bod P = [t, 0], t R Užitím inverzní stereografické projekce se středem v severním pólu N získáme na kružnici bod [ ] 2t P = t 2 + 1, t2 1 t Parametrizace jednotkové kružnice ve tvaru [ ] 2t x(t) = t 2 + 1, t2 1 t je racionální alternativou k více známé goniometrické parametrizaci x(ϕ) = [cos ϕ, sin ϕ] Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
38 Od Pythagora... Racionální parametrizace kružnice Uvažujme na ose x pohyblivý bod P = [t, 0], t R Užitím inverzní stereografické projekce se středem v severním pólu N získáme na kružnici bod [ ] 2t P = t 2 + 1, t2 1 t Parametrizace jednotkové kružnice ve tvaru [ ] 2t x(t) = t 2 + 1, t2 1 t je racionální alternativou k více známé goniometrické parametrizaci x(ϕ) = [cos ϕ, sin ϕ] Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
39 Od Pythagora to už nemůže být náhoda ;-) Uvažujme komplexní číslo z = x + yi, x, y R, i 2 = 1 Potom z 2 = (x + yi) 2 = x 2 y 2 + 2xyi, Neboli Re(z 2 ) = x 2 y 2, Im(z 2 ) = 2xy, z 2 = x 2 + y 2 tvoří pythagorejskou trojici Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
40 Od Pythagora to už nemůže být náhoda ;-) Uvažujme komplexní číslo z = x + yi, x, y R, i 2 = 1 Potom z 2 = (x + yi) 2 = x 2 y 2 + 2xyi, Neboli Re(z 2 ) = x 2 y 2, Im(z 2 ) = 2xy, z 2 = x 2 + y 2 tvoří pythagorejskou trojici Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
41 Od Pythagora to už nemůže být náhoda ;-) Uvažujme komplexní číslo z = x + yi, x, y R, i 2 = 1 Potom z 2 = (x + yi) 2 = x 2 y 2 + 2xyi, Neboli Re(z 2 ) = x 2 y 2, Im(z 2 ) = 2xy, z 2 = x 2 + y 2 tvoří pythagorejskou trojici Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
42 Od Pythagora... Kam dál? Pythagorejské čtveřice a, b, c, d a 2 + b 2 + c 2 = d 2 Např. (2, 3, 6, 7), obecně a = m 2 +n 2 p 2 q 2, b = 2mq+2np, c = 2nq 2mp, d = m 2 +n 2 +p 2 +q 2 Pythagorejské n-tice x 1, x 2,..., x n, kde n > 3 Velká Fermatova věta: Neexistují přirozená čísla x, y, z a n, pro která x n + y n = z n, kde n > 2 a x, y, z 0 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
43 Od Pythagora... Kam dál? Pythagorejské čtveřice a, b, c, d a 2 + b 2 + c 2 = d 2 Např. (2, 3, 6, 7), obecně a = m 2 +n 2 p 2 q 2, b = 2mq+2np, c = 2nq 2mp, d = m 2 +n 2 +p 2 +q 2 Pythagorejské n-tice x 1, x 2,..., x n, kde n > 3 Velká Fermatova věta: Neexistují přirozená čísla x, y, z a n, pro která x n + y n = z n, kde n > 2 a x, y, z 0 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
44 Od Pythagora... Kam dál? Pythagorejské čtveřice a, b, c, d a 2 + b 2 + c 2 = d 2 Např. (2, 3, 6, 7), obecně a = m 2 +n 2 p 2 q 2, b = 2mq+2np, c = 2nq 2mp, d = m 2 +n 2 +p 2 +q 2 Pythagorejské n-tice x 1, x 2,..., x n, kde n > 3 Velká Fermatova věta: Neexistují přirozená čísla x, y, z a n, pro která x n + y n = z n, kde n > 2 a x, y, z 0 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
45 Od Pythagora... Kam dál? Pythagorejské čtveřice a, b, c, d a 2 + b 2 + c 2 = d 2 Např. (2, 3, 6, 7), obecně a = m 2 +n 2 p 2 q 2, b = 2mq+2np, c = 2nq 2mp, d = m 2 +n 2 +p 2 +q 2 Pythagorejské n-tice x 1, x 2,..., x n, kde n > 3 Velká Fermatova věta: Neexistují přirozená čísla x, y, z a n, pro která x n + y n = z n, kde n > 2 a x, y, z 0 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
46 ... ke geometrické modelování Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
47 ... ke geometrické modelování Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
48 ... ke geometrické modelování Krátký výlet do nedávné historie Geometrické modelování nebo také Computer Aided Geometric Design (CAGD) je moderní geometrická disciplína, která se zabývá studiem reprezentací křivek, ploch a těles volného tvaru a jejich užitím v následných aplikacích. U zrodu CAGD stáli inženýři Pierre Bézier ( ), Paul de Casteljau ( 1930) a Steven A. Coons (? 1979). CAGD se stalo suverénním vědním oborem cca kolem roku 1974, kdy se na University of Utah konala první tematická konference. První kompendium věnované CAGD bylo publikováno v roce Pokud se zabýváme historií CAGD zjistíme, že vývoj CAGD je úzce spjat s problematikou racionálních technik a racionálních reprezentací geometrických objektů Dnes nachází geometrické modelování uplatnění ve strojírenství, stavebnictví, architektuře, biologii, geografii, počítačových animacích, lékařství atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
49 ... ke geometrické modelování Krátký výlet do nedávné historie Geometrické modelování nebo také Computer Aided Geometric Design (CAGD) je moderní geometrická disciplína, která se zabývá studiem reprezentací křivek, ploch a těles volného tvaru a jejich užitím v následných aplikacích. U zrodu CAGD stáli inženýři Pierre Bézier ( ), Paul de Casteljau ( 1930) a Steven A. Coons (? 1979). CAGD se stalo suverénním vědním oborem cca kolem roku 1974, kdy se na University of Utah konala první tematická konference. První kompendium věnované CAGD bylo publikováno v roce Pokud se zabýváme historií CAGD zjistíme, že vývoj CAGD je úzce spjat s problematikou racionálních technik a racionálních reprezentací geometrických objektů Dnes nachází geometrické modelování uplatnění ve strojírenství, stavebnictví, architektuře, biologii, geografii, počítačových animacích, lékařství atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
50 ... ke geometrické modelování Krátký výlet do nedávné historie Geometrické modelování nebo také Computer Aided Geometric Design (CAGD) je moderní geometrická disciplína, která se zabývá studiem reprezentací křivek, ploch a těles volného tvaru a jejich užitím v následných aplikacích. U zrodu CAGD stáli inženýři Pierre Bézier ( ), Paul de Casteljau ( 1930) a Steven A. Coons (? 1979). CAGD se stalo suverénním vědním oborem cca kolem roku 1974, kdy se na University of Utah konala první tematická konference. První kompendium věnované CAGD bylo publikováno v roce Pokud se zabýváme historií CAGD zjistíme, že vývoj CAGD je úzce spjat s problematikou racionálních technik a racionálních reprezentací geometrických objektů Dnes nachází geometrické modelování uplatnění ve strojírenství, stavebnictví, architektuře, biologii, geografii, počítačových animacích, lékařství atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
51 ... ke geometrické modelování Krátký výlet do nedávné historie Geometrické modelování nebo také Computer Aided Geometric Design (CAGD) je moderní geometrická disciplína, která se zabývá studiem reprezentací křivek, ploch a těles volného tvaru a jejich užitím v následných aplikacích. U zrodu CAGD stáli inženýři Pierre Bézier ( ), Paul de Casteljau ( 1930) a Steven A. Coons (? 1979). CAGD se stalo suverénním vědním oborem cca kolem roku 1974, kdy se na University of Utah konala první tematická konference. První kompendium věnované CAGD bylo publikováno v roce Pokud se zabýváme historií CAGD zjistíme, že vývoj CAGD je úzce spjat s problematikou racionálních technik a racionálních reprezentací geometrických objektů Dnes nachází geometrické modelování uplatnění ve strojírenství, stavebnictví, architektuře, biologii, geografii, počítačových animacích, lékařství atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
52 ... ke geometrické modelování Krátký výlet do nedávné historie Geometrické modelování nebo také Computer Aided Geometric Design (CAGD) je moderní geometrická disciplína, která se zabývá studiem reprezentací křivek, ploch a těles volného tvaru a jejich užitím v následných aplikacích. U zrodu CAGD stáli inženýři Pierre Bézier ( ), Paul de Casteljau ( 1930) a Steven A. Coons (? 1979). CAGD se stalo suverénním vědním oborem cca kolem roku 1974, kdy se na University of Utah konala první tematická konference. První kompendium věnované CAGD bylo publikováno v roce Pokud se zabýváme historií CAGD zjistíme, že vývoj CAGD je úzce spjat s problematikou racionálních technik a racionálních reprezentací geometrických objektů Dnes nachází geometrické modelování uplatnění ve strojírenství, stavebnictví, architektuře, biologii, geografii, počítačových animacích, lékařství atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
53 ... ke geometrické modelování Krátký výlet do nedávné historie Geometrické modelování nebo také Computer Aided Geometric Design (CAGD) je moderní geometrická disciplína, která se zabývá studiem reprezentací křivek, ploch a těles volného tvaru a jejich užitím v následných aplikacích. U zrodu CAGD stáli inženýři Pierre Bézier ( ), Paul de Casteljau ( 1930) a Steven A. Coons (? 1979). CAGD se stalo suverénním vědním oborem cca kolem roku 1974, kdy se na University of Utah konala první tematická konference. První kompendium věnované CAGD bylo publikováno v roce Pokud se zabýváme historií CAGD zjistíme, že vývoj CAGD je úzce spjat s problematikou racionálních technik a racionálních reprezentací geometrických objektů Dnes nachází geometrické modelování uplatnění ve strojírenství, stavebnictví, architektuře, biologii, geografii, počítačových animacích, lékařství atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
54 ... ke geometrické modelování Krátký výlet do nedávné historie Geometrické modelování nebo také Computer Aided Geometric Design (CAGD) je moderní geometrická disciplína, která se zabývá studiem reprezentací křivek, ploch a těles volného tvaru a jejich užitím v následných aplikacích. U zrodu CAGD stáli inženýři Pierre Bézier ( ), Paul de Casteljau ( 1930) a Steven A. Coons (? 1979). CAGD se stalo suverénním vědním oborem cca kolem roku 1974, kdy se na University of Utah konala první tematická konference. První kompendium věnované CAGD bylo publikováno v roce Pokud se zabýváme historií CAGD zjistíme, že vývoj CAGD je úzce spjat s problematikou racionálních technik a racionálních reprezentací geometrických objektů Dnes nachází geometrické modelování uplatnění ve strojírenství, stavebnictví, architektuře, biologii, geografii, počítačových animacích, lékařství atd. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
55 ... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat parametrizací Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
56 ... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat parametrizací Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
57 ... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat goniometrickou parametrizací x(φ, ψ) = (cos φ cos ψ, sin φ cos ψ, sin ψ). Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
58 ... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat racionální parametrizací ( x(s, t) = 2s s 2 + t 2 + 1, ) 2t s 2 + t 2 + 1, s2 + t 2 1, s 2 + t jež se získá (jako v případě kružnice) stereografickou projekcí. Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
59 ... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně pomocí polynomiálních a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat do standardních CAD systémů Uvažujme např. jednotkovou sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat parametrizací ( x(s, t) = 2s s 2 + t 2 + 1, ) 2t s 2 + t 2 + 1, s2 + t 2 1, s 2 + t jež se získá (jako v případě kružnice) stereografickou projekcí. Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
60 ... ke geometrické modelování Racionální křivky a plochy Volba vhodné reprezentace geometrického objektu (explicitní, parametrická, nebo implicitní) hraje základní roli při vývoji algoritmů pro následné aplikace; např. CAD využívá výhradně parametrický popis Hlavní problémy CAGD Mezi všemi parametrizacemi mají největší praktický význam parametrizace popsané výhradně Zabýváme pomocí polynomiálních se reálnými objekty. a racionálních funkcí, neboť tyto reprezentace lze přímo implementovat Využíváme aparát do standardních algebraickécad geometrie systémů operující nad tělesem Uvažujmekomplexních např. jednotkovou čísel. sféru S : x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, kterou lze popsat parametrizací Zajímají nás objekty popsané racionálně. ( ) Většina operací používaných 2s v CAGD x(s, t) = s 2 + t 2 + 1, 2t obecně nezachovává s 2 + t 2 + 1, s2 + t 2 1 racionalitu odvozených objektů., s 2 + t jež se získá (jako v případě kružnice) stereografickou projekcí. Bohužel, ne pro všechny algebraické křivky a plochy existuje racionální popis. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
61 ... ke geometrické modelování Motivace: 3-osé a 5-osé obrábění Motivaci k zavedení ofsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat pouze translační pohyb ve směru všech os souřadného systému, nemůže se natáčet. Fréza se neustále dotýká obráběné plochy. 5-osé obrábění je obrábění frézou, která může vykonávat jak translační pohyb ve směru všech os souřadného systému, tak rotační pohyb. Frézu je tedy možné vždy nastavit tak, aby osa frézy byla rovnoběžná s normálou plochy v bodě, který chceme obrábět. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
62 ... ke geometrické modelování Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
63 ... ke geometrické modelování Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
64 ... ke geometrické modelování Klasický ofset v rovině Nechť C je křivka daná parametrizací c(t). Jednostranný ofset C d křivky C ve vzdálenosti d je potom dán parametrizací c d (t) = c(t) + d n(t), kde n(t) je jednotková normála křivky c(t). Oboustranný ofset křivky můžeme získat jako obálku jednoparametrického systému kružnic S(t) : (x c(t)) (x c(t)) = d 2, se středy kružnic na křivce C. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
65 ... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu c(t) = (x(t), y(t)) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
66 ... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
67 ... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu T(t 0, λ) = (x(t 0), y(t 0)) + λ(x (t 0), y (t 0)) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
68 ... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu n(t 0) = ( y (t 0), x (t 0)) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
69 ... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu N(t 0) = n(t0) n(t 0) = ( y (t 0), x (t 0)) (x (t 0)) 2 + (y (t 0)) 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
70 ... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu c d (t 0) = c(t 0) + d N(t 0) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
71 ... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu c d (t) = c(t) + d ( y (t), x (t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
72 ... ke geometrické modelování Konstrukce ofsetu c d (t) = c(t) + d ( y (t), x (t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
73 ... ke geometrické modelování Polynomiální křivky s Pythagorejským hodografem Nechť C je křivka daná polynomiální parametrizací c(t). Hodograf křivky c(t) je dán parametrizací c (t). Křivka c(t) je křivkou s pythagorejským hodografem (zkráceně PH křivka), pokud složky jejího hodografu c (t) splňují pythagorejskou podmínku, tj. x 2 (t) + y 2 (t) = σ 2 (t). Splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že hodograf lze vyjádřit ve tvaru x (t) = (u 2 (t) v 2 (t))w(t) y (t) = 2u(t)v(t)w(t) pro jisté polynomy u(t), v(t), w(t). Potom σ(t) = (u 2 (t) + v 2 (t))w(t). Vezmeme-li w(t) = 1 a u(t), v(t) takové, že D(u(t), v(t)) = 1, dostáváme regulární PH křivky lichého stupně. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
74 ... ke geometrické modelování Polynomiální křivky s Pythagorejským hodografem Nechť C je křivka daná polynomiální parametrizací c(t). Hodograf křivky c(t) je dán parametrizací c (t). Křivka c(t) je křivkou s pythagorejským hodografem (zkráceně PH křivka), pokud složky jejího hodografu c (t) splňují pythagorejskou podmínku, tj. x 2 (t) + y 2 (t) = σ 2 (t). Splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že hodograf lze vyjádřit ve tvaru x (t) = (u 2 (t) v 2 (t))w(t) y (t) = 2u(t)v(t)w(t) pro jisté polynomy u(t), v(t), w(t). Potom σ(t) = (u 2 (t) + v 2 (t))w(t). Vezmeme-li w(t) = 1 a u(t), v(t) takové, že D(u(t), v(t)) = 1, dostáváme regulární PH křivky lichého stupně. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
75 ... ke geometrické modelování Rovinné polynomiální PH křivky Přímým důsledkem zavedení PH křivek je, že jsou to křivky s polynomiální délkou oblouku, jelikož s(t) = t 0 t x 2 (u) + y 2 (u)du = σ(u) du. PH křivky jsou křivky s racionálním ofsetem jelikož platí ( ) ( ) y (t) n(t) = x 2 (u) + y 2 (u), x (t) y (t) = x 2 (u) + y 2 (u) σ(t), x (t) σ(t) je c d (t) = c(t) + dn(t) racionální. Nejjednoduššími PH křivkami jsou přímky u(t), v(t), w(t) volíme konstantní. Prvními netriviálními regulárními PH křivkami jsou kubiky u(t), v(t) volíme lineární w(t) = 1 Lze ukázat, že existuje právě jedna PH kubika, tzv. Tschirnhausenova kubika a(t) = ( 3a(3 t 2 ), at(3 t 2 ) ) 0 Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
76 ... ke geometrické modelování Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
77 ... ke geometrické modelování Polynomiální PH křivky v prostoru Analogicky můžeme zavést polynomiální prostorové PH křivky nechť c(t) = (x(t), y(t), z(t)) je prostorová křivka. Potom c(t) je prostorovou PH křivkou, pokud existuje polynom σ(t) splňující x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) = σ 2 (t). Podobně jako v rovině, splnění této podmínky je ekvivalentní s požadavkem, že hodograf musí být možné vyjádřit ve tvaru x (t) = u 2 (t) + v 2 (t) p 2 (t) q 2 (t), y (t) = 2u(t)p(t) + 2v(t)q(t), z (t) = 2u(t)q(t) 2v(t)p(t) pro polynomy u(t), v(t), p(t), q(t). Potom σ(t) = u 2 (t) + v 2 (t) + p 2 (t) + q 2 (t). Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
78 ... ke geometrické modelování Co dál? PH křivky v Minkowského prostoru R 2,1 Uvažujme prostorovou křivku y(t) = (y 1(t), y 2(t), y 3(t)), ke které vypočteme obálku kružnice se středem (y 1(t), y 2(t)) a poloměrem y 3(t) ( ) [ ( ) y1 y 3 x ±(t) = y y ( ) ] 1 y 2 y 12 + y y 2 ± y 12 + y 22 y 3 2 y 2 y 1 Studium racionality obálek vedlo k zavedení Minkowského křivek s pythagorejským hodografem (MPH křivky), které splňují podmínku y 12 (t) + y 22 (t) y 32 (t) = ϱ 2 (t), PH podmínka je nyní splněna vzhledem k Minkowského skalárnímu součinu u, v = u 1v 1 + u 2v 2 u 3v 3. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
79 ... ke geometrické modelování Co dál? PH křivky v Minkowského prostoru R 2,1 Uvažujme prostorovou křivku y(t) = (y 1(t), y 2(t), y 3(t)), ke které vypočteme obálku kružnice se středem (y 1(t), y 2(t)) a poloměrem y 3(t) ( ) [ ( ) y1 y 3 x ±(t) = y y ( ) ] 1 y 2 y 12 + y y 2 ± y 12 + y 22 y 3 2 y 2 y 1 Studium racionality obálek vedlo k zavedení Minkowského křivek s pythagorejským hodografem (MPH křivky), které splňují podmínku y 12 (t) + y 22 (t) y 32 (t) = ϱ 2 (t), PH podmínka je nyní splněna vzhledem k Minkowského skalárnímu součinu u, v = u 1v 1 + u 2v 2 u 3v 3. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
80 ... ke geometrické modelování Co dál? PH křivky v Minkowského prostoru R 2,1 Uvažujme prostorovou křivku y(t) = (y 1(t), y 2(t), y 3(t)), ke které vypočteme obálku kružnice se středem (y 1(t), y 2(t)) a poloměrem y 3(t) ( ) [ ( ) y1 y 3 x ±(t) = y y ( ) ] 1 y 2 y 12 + y y 2 ± y 12 + y 22 y 3 2 y 2 y 1 Studium racionality obálek vedlo k zavedení Minkowského křivek s pythagorejským hodografem (MPH křivky), které splňují podmínku y 12 (t) + y 22 (t) y 32 (t) = ϱ 2 (t), PH podmínka je nyní splněna vzhledem k Minkowského skalárnímu součinu u, v = u 1v 1 + u 2v 2 u 3v 3. Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
81 ... ke geometrické modelování Polynomiální MPH křivky Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby křivka byla prostorovou polynomiální MPH křivkou je y 1 = U 2 V 2 + P 2 Q 2, y 2 = 2UV 2P Q, y 3 = 2UP 2V Q, ϱ = U 2 + V 2 P 2 Q 2, U, V, P, Q R[t] zobecněné pythagorejské čtveřice (jiný než euklidovský skalární součin) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
82 ... ke geometrické modelování Polynomiální MPH křivky Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby křivka byla prostorovou polynomiální MPH křivkou je y 1 = U 2 V 2 + P 2 Q 2, y 2 = 2UV 2P Q, y 3 = 2UP 2V Q, ϱ = U 2 + V 2 P 2 Q 2, U, V, P, Q R[t] zobecněné pythagorejské čtveřice (jiný než euklidovský skalární součin) Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
83 Závěr Osnova 1 Úvod 2 Od Pythagora... Pythagorejská škola Pythagorejské trojice Euklidova formule, racionální parametrizace kružnice 3... ke geometrické modelování Vznik geometrického modelování Teorie racionálních ofsetů Křivky s pythagorejským hodografem 4 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
84 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
85 Závěr Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
86 Závěr DĚKUJI ZA POZORNOST! Od Pythagora ke geometrickému modelování 29. března / 34
Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33
Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33 Motivace Motivace 3-osé obrábění motivaci k zavedení offsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou,
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceAproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming
Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace
VíceAproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming
Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 5. října 2016 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 5. října 2016 1 / 14 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceKMA/GPM Barycentrické souřadnice a
KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009 1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické
VíceBézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
Bézierovy křivky Bohumír Bastl (bastl@kma.zcu.cz) KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26 Opakování Interpolace
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceKristýna Bémová. 13. prosince 2007
Křivky v počítačové grafice Kristýna Bémová Univerzita Karlova v Praze 13. prosince 2007 Kristýna Bémová (MFF UK) Křivky v počítačové grafice 13. prosince 2007 1 / 36 Pojmy - křivky a jejich parametrické
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VíceMaturitní témata od 2013
1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
Více3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VícePythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l
Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Baudhayana (kolem 800 př.n.l) Pythagoras ze Sámu (asi 580 př.n.l asi 500 př.n.l) Motivace: Tato věta mě zaujala, protože se o ní
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceDiferenciální geometrie
Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY Cyklické křivky patří především mezi technické křivky. Mají bohatou historii. První zmínku nacházíme dokonce už u Ptolemáia, konkrétnější studie
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceZákladní vlastnosti ploch
plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie
VíceVzdělávací obor matematika
"Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost
VíceMatematika - Historie - 1
Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 2. října 2018 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 2. října 2018 1 / 15 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceZákladní topologické pojmy:
Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński
VíceMATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
VíceJana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
VíceŽák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.
STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní
Více8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceMATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
VíceTEMATICKÝ PLÁN. září říjen
TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceDRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová
DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA Irena Sytařová Vzdělávací oblast Rámcového vzdělávacího programu Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tématické okruhy. V tématickém kruhu Číslo a proměnná si ţák
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VíceTémata absolventského klání z matematiky :
Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceTémata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA
Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceNezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.
Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VícePožadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků
Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy
VícePřehled. Motivace Úvod. Křivky a plochy počítačové grafiky. Závěr. Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie
Vývoj výpočetní geometrie Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled Motivace Úvod Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie Křivky a plochy počítačové
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VícePRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná
PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceZákladní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8.
5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 8. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 M9102
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceMatematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:
Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za
VíceVýpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2018 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Intersection 2018 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 26 Průsečík
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VícePředpokládané znalosti žáka 1. stupeň:
Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceVýpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2008 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Josef.Pelikan@mff.cuni.cz NPGR004, intersection.pdf 2008 Josef Pelikán, http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
Více