Přehled. Motivace Úvod. Křivky a plochy počítačové grafiky. Závěr. Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie

Transkript

1 Vývoj výpočetní geometrie Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

2 Přehled Motivace Úvod Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie Křivky a plochy počítačové grafiky Vývoj konstruování křivek a ploch Příklady křivek a ploch počítačové grafiky Závěr

3 Motivace Podat přehled ve vývoji výpočetní geometrie a počítačové grafiky Zaměříme se na konstruování křivek a ploch metody vyvinuté pro lodní, letecký a automobilový průmysl Rozvoj výpočetní techniky tvorba matematického aparátu, který přinesl nové metody konstruování křivek a ploch (do té doby konstrukce spočívaly na metodách deskriptivní geometrie)

4 Rozvoj počítačové grafiky 60. léta 20. století - základy počítačové grafiky zpracování grafické informace na počítači otázky výstupu z počítače, vstup grafické informace do počítače vytváření, manipulace a popis grafické informace rychle vyvíjející se vědní obor 70. léta 20. století z počítačové grafiky se oddělují nové podobory př. výpočetní geometrie (Computational Geometry)

5 Výpočetní geometrie I Pojem výpočetní geometrie poprvé (1971) zavedl Archibald Forest absolvent strojního inženýrství na University of Edinburgh, zakládající člen Computer-aided Design Group, později profesor na University of East Anglia konzultant u Rolls-Royce, Boeing, General Motors a dalších Výpočetní geometrie zahrnovala geometrické teorie zabývající se transformacemi zobrazením prostoru do roviny týkající se konstruování křivek a ploch pomocí počítače a grafického výstupu

6 Výpočetní geometrie II V dnešním pojetí návrhy a analýza efektivních algoritmů pro řešení geometrických problémů určování vlastností a vztahů objektů v rovině a ve vícerozměrném prostoru tyto problémy mohou vycházet z aplikací například v počítačové grafice nebo v prostorovém modelování Hlavní oblasti kombinatorická výpočetní geometrie (Combinatorial Computational Geometry) numerická výpočetní geometrie - častěji známá pod pojmem geometrické modelování nebo Computer Aided Geometric Design (CAGD) předmětem našeho pojednání

7 Křivky a plochy I Vývoj konstruování křivek a ploch počátky geometrického modelování velmi staré kořeny (římské impérium) z počátku především v lodním stavitelství techniky používané při stavbě lodí nejvíce se zdokonalovaly ve století (hlavně v Itálii) k uchování základní geometrie lodi se používaly malé dřevěné modely žádné výkresy popisující tvar lodi první známé zmínky o konstruktivní geometrii, pomocí níž se definovaly křivky užité v lodním průmyslu r. 1752

8 Křivky a plochy II Novodobá historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace povrchu letounů

9 Křivky a plochy III v knize Analytical Geometry with Application to Aircraft poprvé klasické konstruování kombinované s výpočetními metodami poprvé zavedl mnohem účinnější metody jako první začal popisovat křivky numericky (konstruování křivek a ploch v minulosti spočívalo na metodách DG) nesporné výhody interpretace matematického popisu (na rozdíl od kresby) vždy správná veliký ohlas - brzy se rozšířilo do dalších amerických společností pro výrobu letadel

10 Křivky a plochy IV v lodním i leteckém průmyslu postupně se začínaly využívat kubiky (do té doby kružnice, kuželosečky) plochy se rozdělily na části (tzv. pláty) vše definováno pomocí matematických rovnic 60. léta 20. století James C. Ferguson analytik u amerického výrobce letadel Boeing matematicky popsal plochu s kubickými parametrickými křivkami, na místo ploch vytvářených do té doby graficky na základě oblouků kuželoseček

11 Křivky a plochy V Steven Anson Coons profesor na Massachusetts Institute of Technology (MIT) ve strojním inženýrství, zaměstnanec u amerického výrobce letadel Chance Vought matematizace povrchů letounů popisy obecných plátů ploch zadávány libovolnými okrajovými křivkami jeho teorie základ pro definice ploch, které se dnes běžně užívají př. B-spline nebo NURBS plochy 60. léta 20. století výroba prvních počítačů, které se využívají ve strojírenství k řízení strojů, postupně se rozšiřují do dalších odvětví ještě však nejsou známy metody, jak počítačům předávat data v numerické podobě (Limingova metoda používána zpočátku jen v leteckém průmyslu)

12 Křivky a plochy VI Evropa k rozvoji geometrického modelování (a to právě v předávání dat počítači) nezávisle na sobě přispěli Francouzi Paul de Faget de Casteljau a Pierre Etienne Bézier Paul de Faget de Casteljau (*1930) pracoval pro francouzskou automobilovou firmu Citroën k zadávání křivek používal kontrolní polygon do té doby tato metoda nebyla nikdy použita v diferenciální geometrii existuje pojem kontrolního polygonu (od r. 1923) neuplatnilo se v praxi křivka se zadává pomocí blízkých bodů (ne body, které leží na křivce) změna křivky zajištěna změnou poloh bodů kontrolního polygonu, nemanipuluje se přímo s křivkou (totéž pro plochy)

13 Křivky a plochy VII postup, který používal dnes známý jako de Casteljau algoritmus firma Citroën jeho práci držela v tajnosti Casteljau své postupy navrhoval již v r. 1959, zveřejněny až na konci 70. let 20. století Pierre Etienne Bézier (1910 v Paříži v Paříži) pracoval pro francouzskou konkurenční automobilovou firmu Renault začátek 60. let 20. století vedoucí konstrukčního oddělení zabýval se tím, jak počítačově reprezentovat křivky a plochy

14 Křivky a plochy VIII lze dokázat, že křivky, které vyvinul shodné s těmi, které popsal de Casteljau nezávisle také objevil algoritmus de Casteljau Bézierova práce publikována R. A. Forrestem doplněna také o popis Bézierových křivek pomocí Bersteinových polynomů Casteljau používal Bersteinovy polynomy již v padesátých letech) díky tomu tyto křivky a plochy nesou jméno Béziera, přestože je Casteljau vyvinul mnohem dříve

15 Křivky a plochy IX většina významných objevů v oblasti geometrického modelování byla až do 70. let 20. století izolována nakonec tyto snahy vyvrcholily vznikem nové vědní disciplíny CAGD bez zavedení počítačů do výroby by se ale tato disciplína jistě nemohla rozvinout

16 Křivky a plochy X metody počítačového modelování velmi se zdokonalily dnes k dispozici velmi kvalitní matematický aparát výraznou změnu přineslo používání - racionálních Bézierových křivek a ploch a neuniformních racionálních B-spline křivek a ploch tzv. NURBS těmito metodami lze pomocí aproximace generovat klasické geometrické prvky kuželosečky, kulové plochy v posledních letech vývoj v oblasti geometrického modelování přinesl mnoho dalších typů křivek a ploch zaváděných k různým speciálním účelům

17

18 Příklady křivek a ploch I křivky a plochy explicitně, implicitně, parametricky volba reprezentace závisí na konkrétním účelu a aplikaci dva základní způsoby zpracování vstupní množiny řídících bodů interpolace a aproximace Bézierova křivka příklad aproximační křivky n - tého stupně zadána n + 1 řídícími body prochází prvním a posledním bodem řídícího polygonu, ostatní body pouze aproximuje nevýhoda - při změně polohy jednoho bodu řídícího polygonu, dojde ke změně tvaru celé křivky to se řeší dělením křivek na segmenty a jejich postupným napojováním P 0 P 1 Bt () P 2 P 3

19 Příklady křivek a ploch II další aproximační metody Coonsovy kubiky neprocházejí krajními body kontrolního polygonu B-spline křivky skládají se z více segmentů obecnější křivky NURBS (neuniformní racionální B-spline křivky) aparát konstruování křivek rozšiřitelné do vyšší dimenze interpolační (poměrně složité), aproximační plochy plochy modelujeme pomocí zadávání sítě řídících bodů, která tvoří vtrojrozměrném prostoru mnohostěn

20 Příklady křivek a ploch III Bézierova plocha příklad aproximační plochy m n - tého stupně zadána maticí řídících bodů velikosti okrajovými ( křivkami m+ 1) ( nplochy + 1) jsou Bézierovy křivky další příklady Coonsovy plochy B-spline plochy NURBS

21 Ukázky ukázky Bézierovy křivky ukázky napojování Bézierových plátů velmi zajímavá oblast týkající se modelování ploch - tzv. plátování přičemž se požadují různé stupně hladkosti plátování se využívá při konstrukci složitějších tvarů a výhody jsou obdobné jako u křivek změny poloh řídících bodů ovlivňují výsledný tvar pouze lokálně

22 Závěr geometrické modelování obor, který se neustále vyvíjí v současné době využívá počítačové modely prakticky každá oblast výroby rozvoj grafických editorů, tzv. CAD systémů, umožnil projektování na počítači v různých odvětvích průmyslu