1. KLASICKÁ MECHANIKA: - mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů

Transkript

1 1. KLASICKÁ MECHANIKA: - mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů Mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů: D1) Pohyb hmotného bodu je dán rovnicí s 1 t 6 t 8t 7,5, a) jakou dráhu urazí hmotný bod za první tři sekundy svého pohybu, b) jakou má počáteční rychlost a zrychlení, c) ve kterém okamžiku je jeho pohyb rovnoměrný? D) Pro rychlost hmotného bodu platí rovnice v 9t 8t, a) jakou dráhu urazí hmotný bod mezi druhou a pátou sekundou, b) kdy je zrychlení nulové a jakou rychlost má hmotný bod v tom okamžiku, c) kdy je hmotný bod v klidu? D) Vypočítejte zrychlení člověka na 40 severní šířky způsobené rotací Země. 0,018 m/s D4) Vlak se rozjíždí z klidu se zrychlením, které rovnoměrně narůstá a to tak, že za 100 s má hodnotu 0,5 m s -. Určete rychlost vlaku po 100 sekundách pohybu a dráhu, kterou vlak za tu dobu urazí. 5 m/s; 8 m D5) Hmotný bod se pohybuje se zrychlením, které závisí na čase dle vztahu a = k t, kde k = m.s -. Určete dráhu, kterou hmotný bod urazí od konce druhé do konce šesté sekundy, je-li na počátku pohybu v čase t =0s jeho rychlost m.s -, počáteční dráha je nulová. 11 m 1. Pohyb hmotného bodu v rovině Oxy je zadán rovnicemi: x asin t, y a cos t, a > 0. Určete trajektorii bodu a studujte jeho pohyb. [část paraboly, průsečíky s osou x v časech 4, 5 4, průsečíky s osou y v časech 0, π, rozsah x= a, maximum y= a, perioda π, rychlost v a cos t, v 4a sin t ] x y. Pohyb hmotného bodu pohybujícího se v rovině Oxy je popsán rovnicemi x Asin t, y Bcos t, kde A=0,4m, B=0, m, =0,5 rad.s -1. Určete a) rovnici trajektorie, b) rychlost a zrychlení hmotného bodu v okamžiku, kdy x = 0, c) rychlost a zrychlení hmotného bodu v okamžiku, kdy y = 0, d) poloměr křivosti trajektorie v okamžiku, kdy x = 0 a v okamžiku, kdy y = 0. [elipsa, střed v počátku SS, poloosy 0,4m a 0,m, b)0, m/s, -0,05 m/s, c) -0,1m/s, -0,1 m/s, d) 0,8m, 0,1 m]. Z okraje pobřežního útesu ve výšce 10 m nad hladinou moře vyhodíme míček rychlostí 5 m/s pod úhlem 0 vzhledem k horizontální rovině. V jaké vodorovné vzdálenosti od paty útesu dopadne míček na hladinu moře? Odpor vzduchu zanedbejte. [7, m pro g=10m/s ] 4. Na vrcholu dokonale hladké koule je hmotný bod v nestabilní poloze. Pokud ho vychýlíme z této polohy, bude se pohybovat nejprve po povrchu koule. V jaké vzdálenosti od vrcholu koule opustí hmotný bod její povrch a v jaké vzdálenosti od svislého průměru koule dopadne na vodorovnou podložku, je-li poloměr koule 1,5m? [0,5 m(rozdíl výšek),,18 m] 5. Malá kulička se pohybuje po vodorovné rovině rychlostí v 0. Rovina je zakončena válcovou plochou o poloměru r. Určete rychlost tělesa v závislosti na úhlu, který svírá průvodič bodu (s počátkem ve středu válcové plochy) se svislým průměrem. Jaká je minimální rychlost kuličky pro bezpečný průjezd smyčkou? Vlastní rotaci kuličky zanedbejte. [ v v gr 1 cos, v 5gr ] 0 0 k P1) Pohybové rovnice částice jsou dány x R cos t, y R sin t, z t. Určete délku dráhy uraženou částicí za dobu t, poloměr křivosti trajektorie a zrychlení částice. P) Těleso je vrženo rychlostí v 0 pod elevačním úhlem. Určete a) dobu pohybu, b) délku doletu, c) výšku výstupu, d) úhel, pod kterým je nutno těleso hodit, aby délka doletu byla maximální, f) rychlost v libovolném bodě dráhy. (odvození) D6) Určete vzdálenost (vodorovnou odlehlost místa), kam je třeba umístit nákladový vozík, aby materiál dopravovaný rychlostí, m/s po dopravníkovém pásu dopadal do středu vozíku, je-li sklon dopravníku 0 od vodorovné roviny a výškový rozdíl konce pásu a ložné plochy vozíku činí 4m. [,04m] Komentář [VO1]: Výsledek platí pro g=9,81m/s, materiál na dopravníku stoupá.

2 - mechanika tuhých těles výpočet těžiště a momentu setrvačnosti tělesa, rotační pohyby, Coriolisova síla Dynamika tuhých těles rotační pohyby, moment hybnosti: 6. Válec o hmotnosti m a poloměru R se pohybuje po nakloněné rovině o úhlu. Určete jeho zrychlení a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice. [ g sin ] 7. Na válci o hmotnosti M a poloměru R je namotáno lanko se závažím o hmotnosti m. Po uvolnění klesne závaží o dráhu h za čas t. Určete moment setrvačnosti válce a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice. gt [ m 1R 1 ] h 8. Na každém konci provazu vedeném přes kladku je v téže výšce opice. V určitém okamžiku začne jedna z opic šplhat vzhůru rychlostí v vzhledem k provazu. Jakou rychlostí se tato opice blíží ke v kladce? Co se děje s druhou opicí? Hmotnosti opic jsou stejné. [ u u ] 9. Přes pevnou kladku prochází provaz, na jehož koncích jsou opice o stejných hmotnostech. Obě opice začnou současně šplhat vzhůru, jedna rychlostí v a druhá rychlostí dvojnásobnou v vzhledem k provazu. Jakou rychlostí se opice blíží ke kladce? [ u u ] D7) Koule o hmotnosti m a poloměru R se pohybuje po nakloněné rovině o úhlu. Určete její zrychlení a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice. 5 [ g sin ] 7 D8) Na homogenní válec o poloměru 0,4 m a hmotnosti 000 kg začne působit moment 10 Nm. Za jakou dobu udělí tento moment válci rychlost, které odpovídá frekvence otáčení Hz? [01s] P1) Žebřík o hmotnosti m stojí na drsné podlaze opřen o hladkou zeď. Určete velikost působící třecí síly, znáte-li úhel, který svírá pata žebříku s vodorovnou podlahou. Těžiště žebříku je v jeho polovině. P) Dvě koule se mohou pohybovat po vodorovné tyči, jejíž hmotnost je zanedbatelné malá. Koule jsou udržovány vláknem v symetrické poloze vzhledem k ose otáčení tak, že jsou ve vzdálenosti 0,1m od osy. Tyč se otáčí kolem svislé osy jdoucí jejím středem s frekvencí 8 Hz. V určitém okamžiku vlákno přepálíme a koule se posunou na konce tyče do vzdálenosti 0,4 m od osy otáčení. Jaká bude potom frekvence rotačního pohybu? Dynamika tuhých těles výpočet těžiště: a a 10. Určete těžiště tělesa (viz obrázek) složeného z krychle o straně a a hranolu o základně a a a výšce 4 a, je-li hustota obou těles shodná. 4a a [ 17 a 7, a ] Určete těžiště homogenní polokoule o poloměru R a hustotě. [ 0, R ] 8 D9) Určete těžiště plného přímého kužele o výšce v a poloměru základny R. [ 0, v ] 4 P1) Určete polohu těžiště homogenní desky zanedbatelné tloušťky tvaru půlkruhu o poloměru R.

3 Dynamika tuhých těles výpočet momentu setrvačnosti: 1. Vypočtěte moment setrvačnosti čtverce z tenkého homogenního drátu vzhledem k ose jdoucí 5 jednou stranou čtverce. Strana čtverce má délku a a hmotnost celého čtverce je m. [ ma ] 1 1. Vypočtěte moment setrvačnosti tenké homogenní tyče vzhledem k ose o, která prochází jedním 1 z jejich konců a svírá s tyčí úhel. [ ml 0 sin ] D10) Určete moment setrvačnosti válce vzhledem k ose jdoucí těžištěm kolmo na osu symetrie. P1) Vypočtěte moment setrvačnosti tenké homogenní tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose kolmé na tyč procházející a) středem, b) koncovým bodem tyče. Dynamika tuhých těles pohybové rovnice, Coriolisova síla: 14. Vypočtěte velikost Coriolisovy síly, která působí na železniční vůz o hmotnosti 10 4 kg, jede-li vůz v místě na severní zeměpisné šířce 60 rychlostí 0 m/s směrem a) od jihu k severu, b) od západu k východu. [5 N doprava (na východ), 9 N (od osy Země)] 15. Na zemském rovníku je z děla vystřelen náboj o hmotnosti 5 kg počáteční rychlostí 600 m/s. Určete velikost Coriolisovy síly, která působí na náboj v okamžiku výstřelu, je-li vystřeleno a) vodorovně směrem k severu, b) vodorovně směrem k západu, c) svisle vzhůru, d) pod úhlem 0 směrem k severu, e) pod úhlem 0 směrem k západu. Úhlová rychlost rotace země je 7, rad.s -1. [a)0 N, b) 0,44 N do středu Země, c) 0,44N na západ, d) 0,N na západ, e) 0,44N] D11) V místě na 45 severní zeměpisné šířky padá svisle dolů těleso o hmotnosti 10 kg rychlostí 100 m/s. Určete velikost Coriolisovy síly, která na těleso působí, a porovnejte ji s velikostí síly tíhové. D1) Na těleso o hmotnosti m pohybující se rychlosti v 0 rovnoměrně přímočaře začne v okamžiku t = 0s působit odporující síla, která je úměrná rychlosti tělesa. Určete časové závislosti zrychlení, rychlosti a dráhy pohybujícího se tělesa. P1) Vztažná soustava se vzhledem k inerciální vztažné soustavě otáčí rovnoměrně zrychleně s úhlovým zrychlením rad.s -. V otáčející se soustavě se pohybuje hmotný bod o hmotnosti 1 kg. V okamžiku, kdy je úhlová rychlost soustavy rad/s je hmotný bod ve vzdálenosti m od osy rotace, jeho rychlost má vzhledem k otáčející se soustavě velikost,5 m/s a směřuje od osy otáčení. Určete velikost výsledné setrvačné síly působící na hmotný bod. - mechanické kmitání řešení pohybových rovnic harmonického, tlumeného a vynuceného kmitání, stav rezonance, kyvadla Mechanické kmitání netlumené: 16. Jaká je frekvence netlumeného harmonického pohybu hmotného bodu hmotnosti g, je-li amplituda pohybu 10 cm a celková energie hmotného bodu je 1 J? [50,5 Hz] D1) Kruhová deska uložená v horizontální rovině koná ve svislém směru kmitavý pohyb s amplitudou 0,75 m. Jaká může být maximální frekvence kmitání desky, aby se předmět uložený na desku od ní neoddělil? [0,576Hz] D14) Hmotný bod kmitá harmonicky s periodou s a počáteční fází 60. Napište rovnici výchylky tohoto kmitání a určete, za jak dlouho od počátečního okamžiku dosáhne poprvé hmotný bod výchylky odpovídající jedné pětině amplitudy výchylky. [0,60s] D15) Maximální zrychlení harmonického kmitavého pohybu hmotné částice je 49, cm.s -, jeho perioda s. Zapište rovnici pro okamžitou výchylku tohoto pohybu, je-li v čase t 0 s vzdálenost kmitající částice od rovnovážné polohy,5 cm. 0,05sin t 0,54 D16) Pružina, jejíž hmotnost lze zanedbat, se závažím 0 g prodlouží o 4 cm. Jaké závaží je nutno na pružinu zavěsit, aby při harmonickém pohybu s amplitudou 15 cm procházelo rovnovážnou polohou rychlostí 1 m.s -1. [0,11kg]

4 Mechanické kmitání tlumené: 17. Pozorováním tlumeného kmitání bylo zjištěno, že po dvou po sobě jdoucích výchylkách na tu stejnou stranu se amplituda kmitů zmenšila o 6/10 a doba kmitu je 0,5 s. Určete koeficient útlumu a frekvenci netlumených kmitů, které by probíhaly za jinak stejných podmínek. [1,8 s -1,,0 Hz] 18. Jaký je logaritmický dekrement útlumu tlumeného harmonického kmitání hmotného bodu, jestliže za 10s trvání pohybu hmotný bod ztratí 50% své mechanické energie, je-li perioda s? [0,069] D17) Součinitel útlumu je pro mechanické tlumené kmitání roven s -1. Určete dobu, za kterou klesne energie kmitů na 0%. D18) Amplituda tlumeného kmitání je za 10 s od začátku kmitání 1,1 cm, za 1 s od začátku kmitání 0, cm. Vypočítejte součinitel tlumení a počáteční amplitudu daného pohybu. P1) Perioda tlumených kmitů je 0, s, přičemž poměr amplitud první a šesté je roven 1. Vypočtěte rezonanční frekvenci kmitající soustavy. Mechanické kmitání vynucené: 19. Jaká je rezonanční amplituda hmotného bodu konajícího nucené harmonické kmity, je-li jeho hmotnost 100 g, vlastní úhlová frekvence 0 s -1, útlumu s -1, amplituda budící síly 10 N? Určete rezonanční úhlovou frekvenci. [84, cm, 19,54 s -1 ] D19) Na pružinový oscilátor, jehož parametry jsou: hmotnost 0,5kg a tuhost pružiny 9,0 N.m -1, působí periodicky proměnná síla F n sin 4t. Součinitel tlumení je s -1. Určete a) amplitudu nuceného kmitání tohoto oscilátoru, b) rezonanční úhlovou frekvenci a amplitudu kmitů při rezonanci. Mechanické kmitání kyvadla: 0. Vypočtěte redukovanou délku kyvadla tvořeného tenkou obručí o poloměru R, kývající kolem vodorovné osy jdoucí bodem na obvodu obruče kolmo k její rovině. [ L R] 1. Tíhové zrychlení bylo měřeno pomocí matematického kyvadla s velmi dlouhým závěsem, jeho délku nebylo možno určit. Při původní délce kyvadla byla doba kyvu s, při zkrácení kyvadla o délku 0,75 m se doba kyvu změnila na 1,8 s. Jaká hodnota tíhového zrychlení byla z těchto naměřených hodnot stanovena? [9,74 m/s ] D0) Určete dobu kmitu a redukovanou délku homogenního disku o poloměru R, který kývá kolem vodorovné osy procházející ve vzdálenosti R/ od středu disku kolmo k jeho rovině. g [ R ; R ] D1) Vypočtěte redukovanou délku kyvadla tvořeného velmi tenkou homogenní tyčí délky l, která kývá kolem vodorovné osy jdoucí koncovým bodem tyče. [ L ] D) Mějme reverzní kyvadlo. Poloměr setrvačnosti kyvadla, které kývá kolem osy O 1, je 0,5m, vzdálenost osy od těžiště je a=0,m. V jaké vzdálenosti x musí procházet druhá osa O, aby doba kmitu kolem obou os byla stejná? [0,8m] P1) Fyzické kyvadlo tvoří tenká homogenní tyč délky 5 cm. Určete, v jaké vzdálenosti od těžiště tyče musíme umístit osu otáčení kyvadla, aby frekvence kmitů byla maximální?

5 - mechanické vlnění vlnová rovnice, Dopplerův jev Mechanické vlnění vlnová rovnice, Dopplerův jev:. Ze zdroje vlnění, který kmitá s periodou 1 ms, se šíří vlnění ve směru přímky. Dva body této přímky vzdálené od zdroje 1 a 14,7 m kmitají s fázovým rozdílem (/ ) rad. Vypočítejte velikost fázové rychlosti vlnění. [600 m/s]. Ze zdroje vlnění se šíří vlna ve směru přímky. Bod ve vzdálenosti 0,04 m od zdroje vlnění má v okamžiku T/6 výchylku rovnu polovině amplitudy. Vypočítejte vlnovou délku vlnění. [0,48 m] 4. Stojíte ve vzdálenosti D od zdroje vysílajícího zvukové vlny do všech směrů stejně. Když se přemístíte o 50 m blíže, zjistíte, že se intenzita vln zdvojnásobila. Vypočtěte původní vzdálenost D. [170,7 m] D) Dvě ponorky se pohybují proti sobě v přibližně stejné hloubce. První se pohybuje rychlostí 10 m/s a vysílá ultrazvukové vlny s frekvencí 50 khz, které se ve vodě šíří rychlostí 1408 m/s. Po odrazu od druhé ponorky detekuje první ponorka odražený signál s frekvencí 5 khz. Určete rychlost druhé ponorky. H1) Jakou rychlostí se pohyboval závodní motocykl, jestliže poměr blížícího se a vzdalujícího se vozidla byl pro stojícího pozorovatele 5/4(velká tercie)? Rychlost zvuku je 40 m/s.. RELATIVISTICKÁ MECHANIKA - Einsteinovy postuláty a Lorentzova transformace - základy relativistické kinematiky a dynamiky D4) Soustava S / se pohybuje vzhledem k inerciální vztažné soustavě S rovnoměrně přímočaře rychlostí 0,6c. V soustavě S / je umístěna tyč o délce 10 m tak, že je rovnoběžná s vektorem relativní rychlosti obou soustav. Jakou délku této tyče změří pozorovatel v soustavě S? [8m] D5) Mezon se pohybuje rychlostí 0,8c vzhledem k pozorovateli. Jakou dobu života T mezonu zjistí pozorovatel, je-li za klidu doba života mezonu, s? [ s] D6) Kosmická loď prolétá kolem sluneční soustavy rychlostí 0,98 c. Na Zemi probíhá určitý děj po dobu půl hodiny. Jakou dobu trvání tohoto děje zjistí pozorovatel v kosmické lodi? [,5 h] D7) Soustava S / se pohybuje vzhledem k soustavě S stálou rychlostí 0,5c. V soustavě S / se pohybuje částice rychlostí c/. Vektory obou rychlostí jsou stejného směru i orientace. Určete rychlost částice vzhledem k soustavě S. [8m] D8) Vypočítejte klidovou energii elektronu, je-li jeho hmotnost 9, kg. [8, J = 0,51 MeV] D9) Jaká je hmotnost částice o klidové hmotnosti m, je-li její rychlost 0, c? [500m] 5. Jakou rychlost má částice, je-li její kinetická energie rovna energii klidové? [ c ] 4 6. Energie relativistických mionů je GeV. Určete dráhu L, kterou urazí za dobu své existence, jestliže klidová energie mionu je 110 MeV a doba existence mionu je,.10-6 s. [17,975 km] 7. Homogenní těleso tvaru krychle o hraně 0,1 m má klidovou hmotnost 6 kg. Vypočtěte hustotu tělesa a) v soustavě, vzhledem k níž je těleso v klidu, b) v soustavě, vzhledem k níž se těleso pohybuje rychlostí 0,5 c. [a) 6000 kg.m -, b) 8000 kg.m - ] 8. Ve výši 0 km nad povrchem Země vznikl mezon. Jakou musí mít minimální kinetickou energii, aby dopadl na povrch Země? Doba života mezonu ve vztažné soustavě s ním spojené je, s. Jeho klidová hmotnost je 10 m 0e, kde m 0e = 9, kg je klidová hmotnost elektronu. (mezon nepadá volným pádem, ale pohybuje se RPP) [4, ev]

6 D0) V urychlovači mají protony kinetickou energii 76 GeV. Určete hmotnost a rychlost urychlovaných částic, je-li klidová hmotnost protonu 1, kg. [ km/h] 5 D1) Částice o klidové hmotnosti m 0 má celkovou energii m 0c. Určete hybnost částice. [(4/)m 0 c] D) Podle klasické mechaniky určete potenciální rozdíl potřebný k urychlení elektronu na rychlost světla. Jakou rychlostí se bude elektron pohybovat ve skutečnosti a jakou bude mít hmotnost? [0,745c] P1) Soustava S / se pohybuje vzhledem k soustavě S stálou rychlostí 0,5c. V soustavě S / se pohybuje částice rychlostí c/4 tak, že vektory obou rychlostí jsou stejného směru. Určete rychlost částice vzhledem k soustavě S, mají-li vektory rychlosti a) stejnou orientaci, b) opačnou orientaci. P) Stanovte rychlost částice v případě, že její kinetická energie je rovna polovině klidové energie částice. P) Určete celkovou energii a hmotnost částice, která se pohybuje rychlostí v, pomocí její klidové hmotnosti a hybnosti.. TERMODYNAMIKA - zákony termodynamiky, vnitřní energie, entropie a entalpie termodynamické soustavy Zákony termodynamiky, vnitřní energie: D) Ve skleněné kapiláře na jednom konci zatavené je uzavřen vzduch sloupcem rtuti délky 10 cm. Je-li kapilára postavena zataveným koncem dolů, má sloupec vzduchu délku 16 cm, je-li kapilára zataveným koncem nahoru, je délka vzduchového sloupce 1 cm. Určete barometrický tlak. [988Pa] D4) Z bomby se stlačeným vodíkem, o objemu 10 l, uniká vadným ventilem plyn. Při teplotě 7 C je tlak vodíku Pa, za určitou dobu má plyn při teplotě 17 C tentýž tlak. Kolik vodíku uniklo? [1,48g] 9. V uzavřené nádobě stálého objemu 5 m je vzduch při počátečním tlaku 9, Pa a počáteční teploty 10 C. Dodáním tepla se vzduch ohřál a jeho tlak vzrostl na, Pa. Vypočítejte, kolik tepla jsme plynu dodali a o jakou hodnotu narostla vnitřní energie plynu. [8, J, 8, J] 0. Na kompresi kg dusíku při stálé teplotě 100 C bylo zapotřebí práce 6, J. Počáteční tlak dusíku byl Pa. Vypočítejte počáteční objem plynu, výsledný objem plynu, výsledný tlak a teplo, které je třeba při kompresi plynu odebrat. [, m, 0,4 m, 7, Pa, -6, J] 1. Vypočtěte účinnost tepelného oběhu ideálního plynu o látkovém množství n, který je složen z izobarického, adiabatického a izotermického děje. Tepelný stroj vykonává svůj oběh mezi teplotami 00 K a 600 K. [0,7%] D5) Kyslík o objemu 5l a tlaku 1 MPa se rozpíná na trojnásobný objem. Vypočtěte výsledný tlak a práci, kterou plyn vykoná. Uvažujte, že se plyn chová ideálně a změna stavu probíhá a) izobaricky, b) izotermicky nebo c) adiabaticky. Molární hmotnost kyslíku je.10 - kg/mol. [10kJ; 5,5kJ; 4,5kJ] D6) Dusík o teplotě 400 K zvětšil svůj objem na pětinásobek při adiabatickém ději, přičemž vnitřní energie plynu se zmenšila o 4 kj. Určete hmotnost plynu, je-li molární hmotnost dusíku kg/mol. Entropie a entalpie termodynamické soustavy:. Určete změnu entropie pro g dusíku, který izobaricky změní svoji teplotu z 0 C na 0 C. [0,16 J/K]. Vypočtěte změnu entropie 1 kg vzduchu, který se při stálém tlaku.10 5 Pa ohřeje z teploty 100 C na teplotu 650 C. [909,14 J/K] 4. Stanovte změnu entropie 00 g dusíku, který se ochladí ze 40 C na 0 C a) při izochorickém ději, b) při izobarickém ději. [a) 0, J/K, b) 8,4 J/K] 5. Vypočítejte, jak se změní entropie vodíku o hmotnosti 5 g, který se při teplotě 0 C izotermicky rozepnul z objemu 10 l na 0 l. [14,4 J/K]

7 D7) Určete změnu entropie po smíchání 10 g body o teplotě 100 C a 0g vody o teplotě 15 C. [0,956 J/K] D8) Dokažte, že pro elementární změnu stavu ideálního plynu platí pro 1 kmol vztah: dt dp ds CP R T p D9) Vypočítejte, jak se změní entropie 00 g kyslíku, který se ohřeje z 0 C na 0 C a) izochoricky, b) izobaricky. [1,54 J/K; 18,95 J/K] D40) Při zahřívání dvouatomového plynu o látkovém množství 1 mol se termodynamická teplota zvýšila dvakrát. Určete změnu entropie plynu, jestliže změna probíhá izochoricky resp. izobaricky. [14,41 J/K; 0,17 J/K] P1) Odvoďte výraz pro konečnou změnu entropie 1 kmol ideálního plynu pro děj, jehož počáteční a konečné hodnoty jsou známy pro a) T 1, T, V1, V b) T 1, T, p1, p c) V 1, V, p1, p. - fázové změny Termodynamika fázové změny: 6. Vypočtěte teplo potřebné k tomu, aby se led o hmotnosti 1 kg a teplotě 10 C ohřál na teplotu tání za normálního tlaku, při této teplotě roztál, vzniklá voda se ohřála na teplotu varu a při této teplotě se přeměnila v páru. Měrná tepelná kapacita ledu je,1 kj.kg -1.K -1, vody 4,18 kj.kg -1.K -1, měrné skupenské teplo tání ledu je kj.kg -1, měrné skupenské teplo varu vody je 60 kj.kg -1. [,0 MJ] 7. Do kalorimetru o tepelné kapacitě 0,1 kj.k -1, obsahujícího 1, kg vody teploty 5 C, vhodíme 0, kg ledu teploty 0 C. Když všechen led roztaje, ustálí se výsledná teplota 10,4 C. Vypočtěte měrné skupenské teplo tání ledu. [1 kj/kg] 8. Jakou rychlost musí mít olověná střela, aby se při nárazu na ocelovou desku právě roztavila? Teplota střely před překážkou je 7 C, teplota tání olova 7 C, měrné skupenské teplo tání olova,6 kj.kg -1 a měrná tepelná kapacita olova je 0,19 kj.kg -1.K -1. Předpokládejte, že deska nepřebírá žádné teplo. [50 m/s] P1) V tepelně izolované nádobě uvedeme do bezprostředního kontaktu vodní páru o hmotnosti m 1 o teplotě 100 C, vodu o hmotnosti m 0 o teplotě t 0 a led o hmotnosti m o teplotě 0 C. Po určitém čase se v nádobě vytvoří jediná kapalná fáze. Jaká bude její teplota? Předpokládejme, že tepelnou kapacitu nádoby lze zanedbat. - šíření tepla Termodynamika šíření tepla: 9. Dvě destičky, měděná o tloušťce 9 mm a železná o tloušťce mm jsou položeny na sebe. Vnější plocha měděné destičky je udržována na teplotě 50 C, vnější plocha železné na teplotě 0 C. Určete teplotu na rozhraní destiček. Součinitel tepelné vodivosti mědi je 80 W.m -1.K -1, železa 60 W.m -1.K -1. [,9 C] 40. Tři destičky týchž rozměrů jsou položeny na sebe. Prostřední je olověná, obě krajní jsou stříbrné. Vnější stěnu jedné stříbrné destičky udržujeme na teplotě 100 C, vnější stěnu druhé stříbrné destičky na teplotě 0 C. Vypočtěte teploty na rozhraní olověné destičky s oběma stříbrnými. Součinitel tepelné vodivosti stříbra je 40 W.m -1.K -1, olova 5 W.m -1.K -1. [9 C, 7,1 C] D41) Při velmi nízkých teplotách v blízkosti absolutní nuly závisí měrná tepelná kapacita pevných látek na termodynamické teplotě vztahem c kt, kde konstanta k závisí na druhu látky. Určete vztah pro teplo, kterým se těleso o hmotnosti m zahřeje z teploty T 1 na T. D4) Určete teplo, které projde za dobu 1 h cihlovou stěnou o tloušťce 0 cm plochou 16,5 m, je-li teplota vzduchu v místnosti C, teplota vnějšího vzduchu -1 C. Součinitel přestupu tepla mezi zdí a vzduchem je uvnitř místnosti 8 W.m -.K -1, venku W.m -.K -1. H) Jeden konec ocelové tyče délky 0 cm a průřezu cm udržujeme na konstantní teplotě 00 0 C, druhý konec je uložen do tajícího ledu. Kolik ledu rozpustí tyč za 10 minut, je-li možno zanedbat tepelné ztráty do okolí? [40,7g] H) Měděná tyč délky 15 cm je připojena k ocelové tyči stejného průřezu a délky 8 cm. Volný konec měděné tyče udržujeme na konstantní teplotě C, volný konec ocelové tyče na teplotě 0 0 C. Určete hustotu tepelného toku v tyčích, je-li možno zanedbat ztráty do okolí. [65,6 kw]

8 Termodynamika - záření černého tělesa: 41. Určete teplotu, na které se ustálí tenká černá destička umístěná ve vakuu kolmo ke směru šíření slunečních paprsků, je-li hustota zářivého toku, který na ni dopadá, 10 Wm -. [56 C] 4. Určete, jaké množství energie vyzařuje 1 cm povrchu černého tělesa za 1s, je-li známo, že maximální intenzita vyzařování připadá na vlnovou délku 484 nm. [7,9.10 J/s] 4. Povrch Slunce považujme za absolutně černé těleso. Vlnová délka maxima vyzařování je 0, m. Určete a) teplotu slunce, b) energii vyzářenou za 1 s, je-li poloměr Slunce 6, m, c) úbytek hmotnosti Slunce za 1s, d) průměrnou dobu, za kterou se hmotnost Slunce zmenší zářením o 1% (za předpokladu konstantní teploty). [a) 5796 K, b), J, c) 4,.10 9 kg, d) a] D4) Obvykle se udává, že střední hodnota energie, kterou vyzáří plocha o obsahu 1 cm zemského povrchu za dobu 1 min je 0,5 J. Jakou teplotu má černé těleso, které vyzařuje stejně? D44) Žárovka svítilny potřebuje příkon 1 W. Za předpokladu, že žárovka vyzařuje všemi směry rovnoměrně záření o vlnové délce 10-6 m, určete počet fotonů, které dopadají za 1s na 1m plochy postavené kolmo k paprskům ve vzdálenosti 10 km od žárovky. D45) Jsou dvě černá tělesa, teplota jednoho z nich je 500 K, vlnová délka odpovídající maximu vyzařování je pro první těleso o 0, m menší, než u druhého tělesa. Určete teplotu druhého tělesa. D46) Jaký proud prochází kovovým vláknem o průměru 0,1 mm, které je ve vyčerpané baňce, má-li teplotu 500 K a měrný odpor, m. Vlákno září jako černé těleso. [0,148A] P1) V žárovce která svítí, má rozžhavené vlákno teplotu 900 C. Náhle přestane žárovkou procházet elektrický proud. Za jakou dobu žárovka zhasne, pokud zhasnutí odpovídá teplota vlákna nižší než 400 C. Vlákno září jako černé těleso a další ztráty tepla zanedbáváme. Měrná tepelná kapacita materiálu vlákna je, m - a hustota je 1900 kg.m KVANTOVÁ MECHANIKA - zákony tepelného záření látek - částicová povaha elmg záření, fotoelektrický jev, brzdné RTG záření, Comptonův jev - vlnové vlastnosti mikročástic, Schrödingerova rovnice Dualismus vlna-částice: 44. Výstupní práce elektronů z katody fotonky je, J. Určete maximální vlnovou délku světla, které může způsobit fotoefekt. Určete rychlost fotoelektronů emitovaných při dopadu UV záření o vlnové délce,.10-7 m. (řešte klasicky i z hlediska relativity) [klas.: 8161 m/s, relat.: m/s] 45. Určete vlnovou délku elektronu, který má kinetickou energii a) 100 ev, b) MeV. [a) 0,1 nm; 0,57 pm] 46. Po zvětšení kinetické energie elektronu o 00 ev se jeho vlnová délka zmenšila na polovinu. Určete původní kinetickou energii a původní vlnovou délku elektronu. [67 ev, 1, m] D47) Rychlost elektronů v rentgenové trubici je rovna polovině rychlosti světla ve vakuu. Jaká je minimální délka spojitého spektra elektromagnetického záření, které vzniká zabržděním těchto elektronů. H4) Prahová vlnová délka pro fotoelektrickou emisi u wolframu je 0nm. Jaká musí být vlnová délka použitého světla, aby vyletovaly elektrony s maximální energií 1,5 ev? [1800Å] H5) Jakou rychlostí opouští elektron povrch lithia při ozáření světlem vlnové délky 00 nm? Výstupní práce lithia je,4 ev. [1, 10 6 ms -1 ] Heisenbergovy relace neurčitosti: 47. Excitovaný atom emituje foton během intervalu 0,01 s, vlnová délka záření je 600 nm. Určete, s jakou přesností může být určena energie a poloha fotonu. [1, J; m] D48) Při pohybu částice podél osy x je možno stanovit rychlost s neurčitostí 1 cm.s -1. Určete neurčitost stanovení polohy pro a) elektron, b) brownovskou částici o hmotnosti 10-1 g, c) kuličku hmotnosti 0,1 g.

9 - částice v potenciálové jámě, tunelový jev Částice v potenciálové jámě: D49) Elektron se nachází v 1-rozměrné potenciálové jámě o šířce l s dokonale tuhými stěnami. Určete nejmenší rozdíl energií dvou sousedních energetických hladin pro a) l 10 cm, b) l 10-9 m. [a) 1, ev, 1,19 ev] D50) Mějme elektron v základním stavu, který je uvězněn v potenciálové jámě konečné hloubky s energií EP0 0 ev a l 100 pm. Elektron se může dostat do vyššího vázaného stavu při ozáření jámy světlem. a) Jakou vlnovou délku světlo musí mít, aby ho elektron absorboval? b) Může elektron v základním stavu absorbovat foton o vlnové délce 100 nm? c) Jakou vlnovou délku musí mít foton, aby se jeho pohlcením stal elektron volným? d) Může elektron v základním stavu absorbovat foton s vlnovou délkou 0, nm? V jakém stavu se bude poté nacházet? [a) 14 nm, 57,6 nm, b) ne, c) 45,9 nm, d) 4,4 ev] D51) Částice o hmotnosti m se nachází v 1-rozměrné potenciálové jámě o šířce l. Určete hustotu energetických linií (počet energetických úrovní na jednotkový interval energie) pro případ elektronu, je-li l 1cm, n Bohrovy postuláty, Bohrův model atomu Bohrův model atomu vodíku: 48. Jakou silou se navzájem přitahují jádro a elektron na první dráze v Bohrově modelu atomu vodíku? Kolikrát je tato síla větší než síla gravitační, kterou na sebe elektron a jádro působí? [0, N,, ] 49. Určete celkovou energii elektronu na druhé kvantové dráze v Bohrově modelu atomu vodíku. [-,4 ev] 50. Určete indukci magnetického pole, které vytváří elektron obíhající v Bohrově modelu atomu vodíku na první dovolené dráze, uprostřed této dráhy. [1,4 T] 51. Určete vlnovou délku fotonu, který se vyzáří při přeskoku elektronu ze čtvrté kvantové dráhy na druhou. (využijte stanovení E z př. 5) [0,485 m] D5) Vypočítejte poloměr první dráhy elektronu obíhajícího kolem jádra v Bohrově modelu atomu vodíku a určete rychlost elektronu na této dráze. D5) Jaký je magnetický moment elektronu vodíkového atomu v základním stavu? - kvantově-mechanické řešení atomu vodíku, kvantová čísla - atomy s více elektrony - pásový model pevných látek, polovodiče Pásová teorie pevných látek: D54) Určete maximální hodnotu rychlosti vodivostních elektronů v mědi při teplotě 0K, je-li Fermiho energie 4,7 ev a koeficient volnosti mědi 0,67. [10, m/s] D55) Jaká je Fermiho energie mědi, jestliže ke koncentraci vodivostních elektronů přispívá každý atom mědi jediným elektronem, je-li koeficient volnosti mědi 0,67. D56) Čistý polovodič má při teplotě 0 C šířku zakázaného pásu ev. Určete, kolikrát se zvýší koncentrace vodivostních elektronů ve vodivostním pásu, jestliže teplota vzroste na 0 C?

10 6. FYZIKA ATOMOVÉHO JÁDRA - složení atomových jader, vazební energie jádra - radioaktivní přeměny jader - zákony zachování při jaderných reakcích 5. -částice s energií 5, MeV dopadá čelně na jádro atomu zlata s protonovým číslem 79. Jak blízko ke středu jádra je -částice v okamžiku, kdy se zastaví a změní směr pohybu? Zpětný ráz jádra zanedbejte. [4,9 fm] 5. Kolik energie je třeba k oddělení všech nukleonů, které tvoří typické středně hmotné jádro cínu (A=10, Z=50, N=70), jehož tab. Hmotnost je 119,90199u. Jaká je hodnota vazební energie na 1 nukleon v tomto nuklidu? Hmotnost vodíkového atomu je 1,00785u, hmotnost neutronu 1,008665u. Atomová hmotnostní jednotka u=1, kg. [101 MeV, 8,51 MeV] 54. Měření vzorku horniny z Měsíce na hmotnostním spektrografu ukázala, že poměr počtu stabilních atomů argonu Ar k počtu radioaktivních atomů draslíku K je 10,. Předpokládejme, že všechny argonové atomy vznikly rozpadem draslíku s poločasem rozpadu 1, y. Jaké je stáří analyzované horniny? [4, let] 55. Vypočtěte, kolikrát se zmenší hmota radioaktivního izotopu za roky, jestliže za 1 rok klesne 4 krát. [64]