2. FUNKCE Funkce 31
|
|
- Danuše Kubíčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0 Úloh k samostatnému řešení Definiční obor Úloh k samostatnému řešení Konstantní funkce Výklad Lineární funkce Úloh k samostatnému řešení Kvadratické funkce Úloh k samostatnému řešení 0 7 Lineární lomená funkce 7 Nepřímá úměrnost 7 Lineární lomená funkce Úloh k samostatnému řešení 8 Mocninné funkce 9 Eponenciální funkce Úloh k samostatnému řešení 8 0 Logaritmická funkce 9 Goniometrické funkce Velikost úhlu oblouková a stupňová míra sinus, kosinus, tangens a kotangens Úloh k samostatnému řešení 7 Goniometrické vzorce 7 Úloh k samostatnému řešení 7 Výsledk úloh k samostatnému řešení 7 Klíč k řešení úloh 7 Kontrolní otázk 8 Kontrolní test 8 Výsledk testu 8-9 -
2 Základ matematik FUNKCE Průvodce studiem Kapitola je rozdělena do devíti menších celků a t jsou ještě dále rozdělen na menší oddíl V každém oddíle je nejdříve vsvětlena teorie, jsou zaveden nové pojm a vzorce Pak následují Řešené úloh V Úlohách k samostatnému řešení si prověříte získané vědomosti K těmto úlohám jsou na konci kapitol uveden výsledk a pro t, kteří b si s úlohami nevěděli rad, také nápověda Na samý závěr se otestujete, jak jste zvládli tuto kapitolugraf v tetu bl vtvořen pomocí programu Matematika Hodně zdaru při studiu Cíle Seznámíte se s elementárními funkcemi, poznáte jejich definiční obor a obor hodnot, budete umět nakreslit jejich graf Budete umět určit vlastnosti funkcí Graf elementárních funkcí, s nimiž budete pracovat, jsou vkreslen na úvodním obrázku Předpokládané znalosti Umíte řešit nerovnice metodou nulových bodů, kterou si můžete zopakovat v kapitole, a také umíte pracovat s kartézskou soustavou souřadnic O v rovině =e = =cos =ln =sin
3 Základ matematik Výklad f na množině A R je předpis, který každému číslu z množin A přiřadí právě jedno reálné číslo Množina A se nazývá definiční obor funkce Označení D( f ), D f Obor hodnot funkce z definičního oboru funkce Označení H( f ), H f f je množina všech f tak, že = f ( ) = f ( ) je funkční předpis vjadřující závislost na R, ke kterým eistuje aspoň jedno je nezávisle proměnná, nebo také používáme označení argument, vbíráme ji z D( f ) je závisle proměnná, H ( f ) Hodnotu funkce f v bodě 0 v 0 označíme ( ) f = a nazývá se funkční hodnota funkce f o o Řešené úloh Příklad Zapište funkci, která vjadřuje závislost a) obvodu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce a jeho odvěsn, b) obvodu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku na délce c jeho přepon Řešení: a) přepona c = a, obvod trojúhelníku o = a + c = a + a = a( + ), o = ( + )a, a (0, ) b) c = a a = c c, o = a + c = + c = c( + ), o = ( + ) c, c (0, ) - -
4 Základ matematik Výklad Graf funkce f ve zvolené soustavě souřadnic O je množina všech bodů X [, f ( )], kde patří do definičního oboru funkce f Ve skutečnosti nakreslíme (načrtneme) jen část grafu na zvoleném intervalu I D( f ) Řešené úloh Příklad Rozhodněte, která z množin bodů na uvedeném obrázku je grafem funkce Svá tvrzení zdůvodněte a) Řešení: Toto je graf funkce, každému přísluší jediné Každá přímka rovnoběžná s osou danou množinu bodů protne nejvýše v jednom bodě b) Řešení: V tomto případě se o graf funkce nejedná, pro =, nacházíme dvě hodnot Tato situace je stejná pro všechna (, ) protne danou množinu bodů ve dvou různých bodech, každá přímka rovnoběžná s osou - -
5 Základ matematik Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Výklad f se nazývá ohraničená shora na množině M, eistuje-li takové číslo h, že pro všechna M je f ( ) h f se nazývá ohraničená zdola na množině M, eistuje-li takové číslo d, že pro všechna M je f ( ) d f je ohraničená na množině M, je-li v ní ohraničená shora i zdola V opačném případě se funkce f nazývá neohraničená na množině M Geometrický význam ohraničenosti funkce Je-li funkce = f () na množině M D( f ) ohraničená shora, leží její graf pro každé číslo M stále pod přímkou = h nebo na ní Je-li funkce = f () na množině M D( f ) ohraničená zdola, leží její graf pro každé číslo M stále nad přímkou = d nebo na ní M Je-li funkce = f () na množině M D( f ) ohraničená, leží její graf pro každé číslo stále mezi přímkami = h a = d nebo na nich Věta f je na množině M R ohraničená, právě kdž eistuje taková konstanta K 0, že pro M platí f ( ) K Řešená úloha Příklad Dokažte, že funkce = je pro všechna R ohraničená ( + ) Řešení: Protože pro R platí nerovnost ( ± ) 0 neboli dostáváme odtud + Podle vět je daná funkce ohraničená, +, Platí ted pro R : K =
6 Základ matematik Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Výklad Je dána funkce f a interval I, který je částí jejího definičního oboru ( I D( f )) f se nazývá rostoucí na intervalu I, právě kdž pro všechna Je-li < ( ) f ( ), pak f < f se nazývá klesající na intervalu I, právě kdž pro všechna Je-li, pak f > f < ( ) ( ) f se nazývá neklesající na intervalu I, právě kdž pro všechna Je-li < ( ) f ( ), pak f f se nazývá nerostoucí na intervalu I, právě kdž pro všechna Je-li, pak f f < ( ) ( ),, I platí: I platí:,, I platí: I platí: Tto funkce na I se souhrnně nazývají monotónní funkce na I D( f ), rostoucí a klesající funkce na I se souhrnně nazývají rze monotónní funkce na I D( f ) Z definice je zřejmé, že každá rostoucí funkce je zároveň neklesající na I a každá klesající funkce je zároveň nerostoucí na I Řešené úloh Příklad Z grafu rozhodněte, kde je funkce rostoucí a kde klesající = Řešení: je rostoucí na intervalech (, ) a (,0) klesá, na intervalech ( ) 0, a (, ) - -
7 Základ matematik Příklad Která z funkcí f, f je rostoucí a která klesající na D( f )? = = Řešení: Definiční obor obou funkcí D ( f ) = R Z grafů těchto funkcí lze včíst, že rostou-li hodnot proměnné, rostou hodnot funkce a klesají hodnot funkce f Pro libovolná f < dostaneme:, R, pro která platí <, >, f ) < f ( ), f ) > f ( ) ( ( Pro ilustraci zvolíme čísla =, a dosadíme do nerovnic funkčních hodnot = < > je příkladem rostoucí funkce a f je příkladem klesající funkce na R f - -
8 Základ matematik Prostá funkce Výklad se nazývá prostá, právě kdž pro všechna D( f ) Je-li, pak f f ( ) ( ) Řešené úloh Příklad Z grafu rozhodněte, zda je funkce prostá, platí: 9 =sin Řešení: není prostá, pro různá eistují stejné funkční hodnot Příklad Z grafu rozhodněte, zda je funkce prostá =arctg Řešení: je prostá, platí podle definice, že pro je f ( ) f ( ) rostoucí nebo klesající na celém definičním oboru je prostá - -
9 Základ matematik Sudá a lichá funkce Výklad f se nazývá sudá, právě kdž zároveň platí: Pro každé D( f ) je také D( f ) Pro každé D( f ) je f ( ) = f ( ) Graf sudé funkce je souměrný podle os f se nazývá lichá, právě kdž zároveň platí: Pro každé D( f ) je také D( f ) Pro každé D( f ) je f ( ) = f ( ) Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustav souřadnic O Není-li splněna ani jedna z uvedených podmínek, není funkce ani sudá ani lichá Řešené úloh Příklad Z grafu určete, zda je funkce lichá nebo sudá na intervalu (-, ) =sin +cos Řešení: je sudá, její graf je souměrný podle os - 7 -
10 Základ matematik Příklad Z části grafu určete, zda je funkce lichá nebo sudá na D( f ) = R {0} = sin +cos Řešení: je na D( f ) lichá, její graf je souměrný podle počátku Příklad 7 Z grafu určete, zda je v intervalu (-, ) funkce lichá nebo sudá =sin+cos Řešení: není ani sudá ani lichá Příklad 8 Rozhodněte, zda je funkce sudá či lichá: = Řešení: D( f ) = R {0}, D( f ) ( ) D( f ) ( ) f ( ) = ( ) = = f ( ) ( ) = je sudá - 8 -
11 Základ matematik Periodická funkce Výklad se nazývá periodická, právě kdž eistuje takové číslo p > 0, že pro každé k Z platí následující podmínk: Je-li D( f ), pak kp D( f ) + a platí f ( kp) = f ( ) + Číslo p se nazývá perioda funkce f Pokud v množině čísel p eistuje nejmenší kladné číslo, pak tuto periodu základní (primitivní) periodou funkce f p > 0 nazýváme Graf periodické funkce se pravidelně (periodick) opakuje po intervalech, jejichž délka je rovna základní periodě p Nejvýznamnější periodické funkce jsou goniometrické funkce (kap ) Řešené úloh Příklad 9 Z grafu periodické funkce odhadněte její primitivní periodu =cos+sin Řešení: Primitivní perioda je zřejmě p = - 9 -
12 Základ matematik Inverzní funkce Výklad Inverzní funkce k prosté funkci f () je f, která každému H ( f ) přiřadí právě to ( ) D( f ), pro které je f = Označení proměnných můžeme volit libovolně, a protože je obvklé značit závisle proměnnou a nezávisle proměnnou, zaměňujeme označení proměnných Důsledkem toho je, že D ( f ) = H ( f ) (a H ( f ) = D( f ) ) Proto graf obou funkcí jsou souměrné podle os I a III kvadrantu = Platí také, že inverzní funkce k rostoucí funkci je také rostoucí a inverzní funkce ke klesající funkci je klesající Řešené úloh Příklad 0 Dokažte, že funkce f : = +, R, je rostoucí ( a ted prostá) Určete funkci k ní inverzní f Řešení: Je zřejmé, že oborem hodnot H ( f ) = R f je rostoucí, neboť pro, R platí: je-li <, pak je + < +, takže f ( ) < f ( ) je rostoucí, ted prostá, a proto k ní eistuje funkce inverzní f, která je také rostoucí Její funkční předpis určíme tak, že z rovnice = + vjádříme : =, R a po záměně proměnných máme funkční předpis pro funkci inverzní =+ = f : =, D( f ) = H ( f ) = R = =
13 Základ matematik Příklad Dokažte, že funkce f : = +, < 0, ), je rostoucí ( a ted prostá) Určete funkci k ní inverzní f Řešení: Je zřejmé, že oborem hodnot H ( f ) =<, ) f je rostoucí, neboť pro, R platí: je-li <, pak je + < +, takže f ( ) < f ( ) je rostoucí, ted prostá, a proto k ní eistuje funkce inverzní f, která je také rostoucí Její funkční předpis určíme tak, že z rovnice = + vjádříme : = ( ), <, ) Po záměně proměnných máme funkční předpis pro inverzní funkci f : = ( ), D( f ) =<, ), H ( f ) =< 0, ) = + =(-) = Úloh k samostatnému řešení Rozhodněte, zda je funkce sudá či lichá: a) + =, b) d) ln, e) =, c) ( cos sin ) =, e e = =, f) ( sin ) g) = + e + e =, - -
14 Základ matematik Definiční obor D Výklad Funkci f považujeme za definovanou, je-li známo pravidlo, kterým je každému číslu přiřazena příslušná jediná hodnota f ( ) H, tj je-li dán předpis, kterým je toto přiřazení jednoznačně určeno Tento předpis může být vjádřen tabelárně (příslušnou tabulkou), grafick nebo analtick Tabelární způsob definování funkce se vsktuje v technických vědách velmi často, zvláště hledáme-li eperimentálně funkční závislost mezi dvěma uvažovanými veličinami Výhodou tohoto vjádření je to, že z něho můžeme včíst hodnot funkce v tabelovaných hodnotách argumentu Jeho velkou nevýhodou však je, že obvkle neobsahuje hodnot funkce ve všech potřebných hodnotách argumentu Dalším nedostatkem tabelárního vjádření je i to, že si při něm nemůžeme učinit bližší představu o povaze funkční závislosti mezi argumentem a závisle proměnnou Proto se obvkle snažíme vjádřit tuto závislost grafick nebo (přibližným) analtickým vzorcem Výhodou grafického způsobu zadání funkce je názornost, neboť podle grafu funkce si obvkle uděláme jasnou představu o povaze funkční závislosti Jeho nevýhodou je, že vjadřuje funkční hodnot jen přibližně a nedovoluje všetřovat vlastnosti funkcí metodami matematické analýz Analtický způsob definování funkce (funkčním předpisem) je nejvýznamnějším způsobem vjádření funkce Jeho předností je, že použitím metod matematické analýz můžeme zkoumat vlastnosti uvažované funkce Určitým nedostatkem analtického vjádření je, že postrádá názornost grafického vjádření Proto často používáme k snadnějšímu a názornějšímu výkladu vlastností uvažované funkce i jejího grafického, popř tabelárního vjádření Je-li funkce zadaná funkčním předpisem = f () a není-li zároveň uveden definiční obor funkce, pak se jim rozumí nejširší možný obor, v němž má výraz Ve funkčním předpisu nás budou zajímat následující možnosti: f () smsl Je-li ve funkčním předpisu zlomek, jmenovatel musí být různý od nul Je-li ve funkčním předpisu odmocnina se sudým odmocnitelem, výraz pod odmocninou musí být větší nebo roven nule (nezáporný) Je-li ve funkčním předpisu logaritmus, jeho argument musí být větší než nula (kladný) - -
15 Základ matematik Je-li ve funkčním předpisu tangens, nenulový sin tg =, musí být jmenovatel, ted cos cos, Je-li ve funkčním předpisu kotangens, sin, nenulový cos cotg =, musí být jmenovatel, ted sin Řešené úloh Příklad Určete definiční obor funkce = Řešení: 0 ( )( + ) 0, (, ) (,) ( ) D ( f ) =, nebo zápis D ( f ) = R {, } Příklad Určete definiční obor funkce + 0 = + Řešení: druhá podmínka platí vžd a také + > 0 vžd platí Stačí ted vřešit nerovnici ) D ( f ) = 0, Příklad Určete definiční obor funkce = log( ) Řešení: > 0 > D ( f ) =, - -
16 Základ matematik Příklad Určete definiční obor funkce = tg( ) Řešení: cos( ) 0 + k + + k :, takže + k, k Z D( f ) = R { + k } pro k Z Příklad Určete definiční obor funkce = cotg( ) Řešení: sin( ) 0 k + + k, takže k + D ( f ) = R { + k} pro k Z Úloh k samostatnému řešení Určete definiční obor funkce: a) = ln, b) = ln ln, c) 9 =, + + d) = cotg, e) + =, f) = ln( ) Konstantní funkce Výklad Konstantní funkce je každá funkce na množině R, která je dána předpisem = c Definičním oborem jsou všechna reálná čísla, obor hodnot je roven konstantě c Grafem je přímka rovnoběžná s osou procházející bodem [ 0, c], funkce není prostá - -
17 Základ matematik Lineární funkce Výklad Lineární funkce je každá funkce na množině R, která je dána předpisem = a + b, a 0, a, b R, a,b konstant Definičním oborem a oborem hodnot jsou všechna reálná čísla Grafem lineární funkce je přímka různoběžná s osou Každá přímka, která není rovnoběžná s osami, je grafem nějaké lineární funkce K sestrojení grafu nám ted stačí různé bod a > 0 funkce je rostoucí na R, je prostá a < 0 funkce je klesající na R, je prostá b = 0, = a přímá úměrnost graf funkce prochází počátkem soustav souřadnic Příklad užití lineární funkce ve fzice: Přímá úměrnost mezi zrchlením a hmotného bodu o konstantní hmotnosti m a velikosti působící síl F, F = ma Řešená úloha Příklad Nakreslete graf funkce = Řešení: Nejprve najdeme dva různé bod grafu funkce: Všimněte si, v zadání funkce je b =, tzn graf protíná osu v bodě [ 0, ] Další bod grafu zjistíme dosazením =, pak = Bod [ 0, ] a [, ] spojíme a výsledná přímka je grafem dané funkce = Úloh k samostatnému řešení Nakreslete graf lineární funkce: a) = a + pro a =,,,,,, b) = + b pro b =,,,,, - -
18 Základ matematik Kvadratické funkce Výklad Kvadratickou funkcí rozumíme každou funkci na množině předpisem = a + b + c, kde a R { 0} ; b, c R R, která je dána Definičním oborem jsou všechna reálná čísla Obor hodnot se liší podle zadání Grafem kvadratické funkce je parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou Řešené úloh Příklad Nakreslete graf funkce = Řešení: Vrchol parabol je bod V [ 0,0] parabol je osa Další bod si můžeme určit tabulkou, osa parabol je v ose a vrcholová tečna 0 8 = Výklad Všechn parabol, které mají k souřadnicovým osám a =, mají stejný tvar, liší se pouze umístěním vzhledem Graf funkcí a) + c, b) = ( k) se nakreslí na základě posunutí grafu funkce = = (výchozí parabola) ve směru a) os tak, že vrchol V [ 0, 0] přejde do vrcholu V [ 0, c], b) os tak, že vrchol V [ 0, 0] přejde do vrcholu V [k, 0] - -
19 Základ matematik Podívejme se nní na graf funkcí, které mají různé hodnot a a) =, b) =, c) =, d) =, e) =, e) =, g) =, h) = 0 Pokud je a > 0, je parabola otevřená ve směru kladné poloos, pokud je a < 0, je parabola otevřená ve směru záporné poloos Je-li a >, pak se parabola zúží vzhledem k parabole = Je-li a <, pak se parabola rozšíří Tto skutečnosti můžeme pozorovat na následujícím ilustračním obrázku = a + b + funkce na intervalu minimum Je-li V [, ] V V c není prostá na svém definičním oboru (, ) klesá a na (, ) V a < 0, pak funkce na intervalu (, ) má funkce maimum V D ( f ) = R Je-li a > 0, pak [ V roste Ve vrcholu V, ] V má funkce roste a na (, ) V klesá Ve vrcholu V Při kreslení grafů kvadratických funkcí můžeme nejprve upravit výraz doplněním na druhou mocninu dvojčlenu a přepsat funkční předpis do tvaru = a( + 0 ) 0 a + b + c Z tohoto zápisu kvadratické funkce určíme snadno souřadnice vrcholu V 0, ] [ 0-7 -
20 Základ matematik Řešené úloh Příklad Nakreslete graf funkce = Řešení: Ze zápisu funkce včteme souřadnice vrcholu [ 0, ] V Protože je a =, posuneme graf funkce = o jednotku ve směru záporné poloos Průsečík grafu s osou vpočítáme z rovnice = 0 =, = 0 8 = Příklad Nakreslete graf funkce = + Řešení: Pomocí průsečíků s osou Vřešíme ted rovnici 0 = + Kořen jsou =, = 0 Protože parabola je souměrná podle své os, která je kolmá k ose, jsou bod = 0, = také podle této os souměrné a osa parabol je osa úsečk Její rovnice je = Vrchol parabol na této ose leží a jeho první souřadnice je ted = Druhou souřadnici vpočteme dosazením = do rovnice V parabol = +, = posuneme graf parabol měl vrchol v bodě V, Vrchol má souřadnice [, ] V [ ] V V Protože a =, = tak, ab na ose procházel bod =, = a 0-8 -
21 Základ matematik Doplněním na druhou mocninu dvojčlenu získáme souřadnice vrcholu parabol Funkční předpis převedeme na tvar = + + = ( + ), souřadnice vrcholu jsou V [, ] Protože je a =, posuneme graf funkce o jednotk ve směru záporné poloos a o jednotk ve směru záporné = poloos 8 = Příklad Nakreslete graf funkce = Řešení: Zápis funkce upravíme na tvar ( = + ) = ( ), ze zápisu kvadratické funkce = ( ) 8 určíme souřadnice vrcholu, V [, 8] Průsečík s osou zjistíme vřešením rovnice 0 =, její kořen jsou =, = Průsečík s osou je [ 0, ] Protože je a =, posuneme graf funkce = o 8 jednotek ve směru záporné poloos a o jednotku ve směru kladné poloos 8 =
22 Základ matematik Příklad Nakreslete graf funkce = + Řešení: Zápis kvadratické funkce upravíme na tvar = ( + ) = ( ) +, vrchol V [, ] Protože je a =, posuneme graf funkce = o, jednotek ve směru kladné poloos a o, jednotk ve směru kladné poloos Vřešením rovnice 0 = + zjistíme průsečík s osou, kořen jsou =, = = Úloh k samostatnému řešení Nakreslete graf funkce a) = +, b) = +, c) = Nakreslete graf funkce a) = +, b) = Nakreslete graf funkce a) = +, b) =
23 Základ matematik 7 Lineární lomená funkce Výklad Dříve, než se začneme zabývat lineární lomenou funkcí v obecném tvaru, zmíníme se krátce o funkci, která je jejím speciálním případem nepřímou úměrností 7 Nepřímá úměrnost Výklad Nepřímá úměrnost je každá funkce na množině R { 0} {} kde k R 0 Podíváme se podrobně na graf nepřímé úměrnosti pro k = daná ve tvaru k =, 0, 0, -0, -0, = 0, 0, 0 0, 0, 0 = Grafem je rovnoosá hperbola o středu S [0, 0], os souřadnicového sstému jsou její asmptot (hperbola se k těmto přímkám přibližuje, ale neprotne je ani se jich nedotkne) Graf nepřímé úměrnosti je souměrný podle počátku souřadnicového sstému a funkce je ted lichá - -
24 Základ matematik Jak se mění průběh grafu funkce v závislosti na konstantě k, je zachcen na následujícím obrázku Zvolíme pro k postupně hodnot: -, -,, a odpovídající graf nakreslíme do jednoho souřadnicového sstému = - = = - = - - Je-li k > 0, pak funkce na intervalu (,0) klesá a klesá také na intervalu ( 0, ) Větve hperbol se nacházejí v I a III kvadrantu Je-li - k < 0, pak funkce na intervalu (,0) roste a roste také na intervalu ( 0, ) Větve hperbol se nacházejí v II a IV kvadrantu Nemůžeme však říci, že funkce je rostoucí nebo klesající na celém definičním oboru! je prostá Eistuje k ní funkce inverzní, která má stejný zápis f = : k, D ( f ) = (, 0) (0, ) = H ( f ) Příklad užití nepřímé úměrnosti v matematice a ve fzice: Délka je nepřímo úměrná šířce obdélníka při konstantním obsahu S S = Zákon Bolův-Marriottův pro izometrický děj s ideálním plnem c p =, kde c je konstanta, V tlak p ideálního plnu je nepřímo úměrný jeho objemu V při konstantní teplotě T - -
25 Základ matematik 7 Lineární lomená funkce Výklad Lineární lomená funkce je každá funkce na množině a + b =, kde a, b, d R; c R {} 0 a ad bc 0 c + d R d c, daná předpisem Grafem každé lineární lomené funkce je rovnoosá hperbola, kterou získáme z grafu funkce k = pomocí posunutí tak, že nejprve funkční předpis lineární lomené funkce f převedeme k na tvar f: = + 0, bod [ 0, 0] se posune do bodu [ 0, 0 ], 0 asmptot procházejí středem S[ 0, 0 ] rovnoběžně se souřadnicovými osami Řešená úloha Příklad 7 Nakreslete graf funkce { } Řešení: D(f) = R Zadanou funkci upravíme na požadovaný tvar vdělením čitatele jmenovatelem, dostaneme = + + Střed má souřadnice [, ] S, rovnice asmptot jsou =, = a k = + = + = =- - - = - - Úloh k samostatnému řešení 7 Nakreslete graf funkce: a) =, b) =, c) + + =, d) = - -
26 Základ matematik 8 Mocninné funkce Výklad Mocninné funkce jsou definován předpisem = n, n N a = n N n, Jiný zápis pro druhou variantu = n, n Z ( Z značí celá záporná čísla) n =, n N, n sudé n liché 7 = 9 = = = = = Definiční obor: R R Obor hodnot: 0, ) R sudá lichá Klesající na (, Rostoucí na 0, ) R Minimum: [, 0 0 ] nemá Maimum: nemá nemá Uvedené graf vužijte k náčrtku grafů: a) =, b) = +, c) = ( ) V úloze a) se graf funkce = posune o jednotku ve směru záporné poloos, b) graf funkce = se posune o jednotk ve směru kladné poloos, c) graf funkce = se posune o jednotku ve směru kladné poloos - -
27 Základ matematik =, n N n, n sudé n liché = = = = = = Definiční obor: {} 0 Obor hodnot: (, R R {} 0 0 ) R {} 0 sudá lichá Klesající na (, (, 0 0 ) ), ( 0, ) Rostoucí na (, 0) ---- Minimum: nemá nemá Maimum: nemá nemá Uvedené graf vužijte k náčrtku grafů těchto funkcí: a) =, b) = ( ), c) = ( + ) V úloze a) graf funkce = se posune o jednotku ve směru záporné poloos b) graf funkce = se posune o jednotk ve směru kladné poloos c) graf funkce = se posune o jednotku ve směru záporné poloos Poznámka Obecně se definují mocninné funkce předpisem r = pro r R {0} - -
28 Základ matematik 9 Eponenciální funkce Výklad Eponenciální funkce o základu a je funkce na množině R daná předpisem = a, kde a > 0, a Eponenciální funkce o základu a = e je velmi důležitou funkcí matematické analýz Grafem eponenciální funkce je tzv eponenciální křivka ( krátce eponenciála) Každý graf eponenciální funkce o libovolném základě prochází bodem pro všechna a 0 : a 0 =, osa je asmptotou Eponenciální křivk následující obrázk a [0, ], protože platí = a, = pro totéž a jsou souměrně sdružené podle os, viz a > 0 < a < = =( ) D + ( f ) = R, H ( f ) = R Je zdola ohraničená, shora není ohraničená Nemá v žádném bodě ani maimum ani minimum Funkční hodnota v bodě 0 je rovna je rostoucí, ted prostá je klesající, ted prostá - -
29 Základ matematik Je-li základem eponenciální funkce Eulerovo číslo e =, 78888, mluvíme o přirozené eponenciální funkci, = e =e Řešené úloh Příklad 9 Nakreslete graf eponenciální funkce: a) = e, b) = e, c) = e, d) = e +, e) = e, f) = e Řešení: a) b) =e =e c) d) - =e =e
30 Základ matematik e) f) =e =e - - Na ilustračním obrázku máte pro srovnání průběh všech funkcí z úlohvšimněte si posunutí základních grafů funkcí = e, = e e e e + e - + e e - - Úloh k samostatnému řešení 8 Nakreslete graf funkce: a) = 0, b) =, c) = - 8 -
31 Základ matematik 0 Logaritmická funkce Výklad Logaritmická funkce o základu a je funkce inverzní k eponenciální funkci = a, kde a je libovolné kladné číslo různé od jedné, R + { } a a R resp D ( f ) = R Logaritmus čísla při základu a je takové číslo, pro které platí a =, ted = = log a a Nejčastěji používáme funkce: o základu o základu a =0, pak se logaritmus nazývá dekadický a značí se a = e, pak se logaritmus nazývá přirozený a značí se = log, = ln Pravidla pro počítání s logaritm: a ( ) log log log = +, log a a = log log, a a a n log = n log a a, log a a =, log 0 =, ln e =, log = 0, a 0 log =, ln = 0 Řešené úloh Příklad 0 Nakreslete graf funkce: a) = log, b) = log, c) = ln, d) = log /, e) = log 0, Řešení: Graf sestrojíme souměrně podle os I a III kvadrantu ke grafu funkce = a - 9 -
32 Základ matematik a) b) = = =log =0 = =log c) c) d) =ln =log / e) =log /0-0 -
33 Základ matematik Výklad Srovnáme průběh funkcí = log, pro různá R + + a { }, R a a > 0 < a < =ln =log / je rostoucí, ted prostá ( 0, ), H( f R D ( f ) = ) = Je zdola i shora neohraničená Nemá v žádném bodě ani maimum ani minimum Funkční hodnota v bodě je rovna 0 je klesající, ted prostá Řešené úloh Příklad 0 Nakreslete graf funkce: a) = ln( + ), b) = log, c) = log, d) = log 0, Řešení: a) Argument logaritmické funkce musí být kladný, proto > a D( f ) = (, ) Posuneme graf funkce = ln o jednotku ve směru záporné poloos =ln(+)
34 Základ matematik V ostatních příkladech budeme postupovat obdobně: b) dvojnásobný argument zrchlí průběh funkce 0, log -0,0 0 0, 0 0, 0 log 0 0, 0 0, 0 0, 90 =log =log c) funkční hodnota se ztrojnásobí 0 - =log / - d) graf funkce = log 0, se posune o jednotk ve směru záporné poloos =log
35 Základ matematik Goniometrické funkce Výklad Goniometrické funkce ostrého úhlu jste poznali již na základní škole, zavedli jste je jako poměr stran v pravoúhlém trojúhelníku Následující definice jsou speciálními případ obecné definice těchto funkcí Mějme ted pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a,b a přeponou c Pak definujeme: Sinus α je poměr délk odvěsn protilehlé k úhlu α a délk přepon pravoúhlého trojúhelníku a sin α = c Kosinus α je poměr délk odvěsn přilehlé k úhlu α a délk přepon pravoúhlého trojúhelníku b cos α = c Tangens α je poměr délek odvěsn protilehlé k úhlu α a odvěsn přilehlé k úhlu α pravoúhlého trojúhelníku a tgα = b Kotangens α je poměr délek odvěsn přilehlé k úhlu α a odvěsn protilehlé k úhlu α pravoúhlého trojúhelníku b cotgα = a B a c C b α A - -
36 Základ matematik Velikost úhlu oblouková a stupňová míra Středoškolská definice goniometrických funkcí se opírá především o pojem velikost úhlu, kterou udáváme buď v míře obloukové, nebo v míře stupňové Mějme libovolný orientovaný úhel AVB, který umístíme do kartézské soustav souřadnic tak, že vrchol V umístíme do jejího počátku O, počáteční rameno AV do os Sestrojme jednotkovou kružnici k se středem V, tj kružnici o poloměru Délka této kružnice je Obloukovou míru úhlu AVB definujeme jako délku oblouku jednotkové kružnice mezi průsečík ramen VA, VB a jednotkové kružnice Pokud délka tohoto oblouku má velikost, je velikost úhlu AVB rovna rad (radián) Na střední škole se většinou dávala přednost vjádření velikosti úhlu ve stupňové míře Jednotka stupňové mír zvaná úhlový stupeň je úhel rovnající se 90 pravého úhlu Kromě jednotk stupeň, značíme, používáme i menší jednotk: minuta (značíme ') pro šedesátinu stupně a vteřina ( značíme kružnici odpovídá úhel 0, přísluší oblouku délk radiánu přísluší úhel 0 0 = Převodní vztah mezi stupni a radián dostaneme z přímé úměrnosti rad 0stupňů rad α stupňů α =, α = '' ) pro jednu šedesátinu minut Protože celé úhel velikosti 0, takže jednomu sinus, kosinus, tangens a kotangens Goniometrické funkce reálné proměnné definujeme pomocí jednotkové kružnice V kartézské soustavě souřadnic sestrojíme kružnici se středem v počátku a o poloměru jedna Každému reálnému číslu můžeme přiřadit orientovaný úhel velikosti ( v obloukové míře), jehož počáteční rameno je kladná poloosa a vrchol je v počátku soustav souřadnic Průsečík koncového ramene s kružnicí označme M [, M M ] Nepřehlédněme podstatný fakt, že definičním oborem každé z goniometrických funkcí je podmnožina reálných čísel; ani jednou nebude řeč o stupních!! - -
37 Základ matematik sinus, kosinus, tangens a kotangens definujeme takto: α M M[ M, M ] sin = M, M cos M =, sin tg =, cos 0 cos cos cotg =, sin 0 sin = sin = cos v každém bodě Definiční obor R R Obor hodnot,, lichá sudá Základní perioda Rostoucí v každém intervalu + k, + k v každém intervalu + k, + k Klesající v každém intervalu + k, + k v každém intervalu 0 + k, + k shora i zdola ohraničená shora i zdola ohraničená Maimum v každém bodě v každém bodě k + = k Minimum v každém bodě k + = + k Písmeno k v tabulce označuje libovolné celé číslo - -
38 Základ matematik =sin =cos - = tg = cotg Definiční obor množina všech R { ( k + ) } pro k Z množina všech R { k } pro k Z Obor hodnot R R lichá lichá Základní perioda Rostoucí v každém intervalu + k, + k Klesající v každém intervalu ( 0 + k, + k ) shora i zdola neohraničená shora i zdola neohraničená Maimum neeistuje neeistuje Minimum neeistuje neeistuje - -
39 Základ matematik =tg =cotg Znaménko funkce I kvadrant II kvadrant III kvadrant IV kvadrant sin cos tg cotg Monotónnost I kvadrant II kvadrant III kvadrant IV kvadrant sin roste klesá klesá roste cos klesá klesá roste roste tg roste roste roste roste cotg klesá klesá klesá klesá - 7 -
40 Základ matematik Goniometrické funkce jsou periodické Platí: Pro každé k Z a pro každé R je cos( + k ) = cos sin( + k ) = sin Pro každé Pro každé k Z a pro každé R ( k + ) je tg( + k ) = tg k Z a pro každé R { k} je cotg( + k ) = cotg sinus je lichá, platí ted pro R sin( ) = sin kosinus je sudá, platí ted pro R cos( ) = cos tangens je lichá, platí ted pro R tg( ) = tg kotangens je lichá, platí ted pro R cotg( ) = cotg rad 0 sin 0 cos tg 0 cotg nedef nedef 0 nedef 0 0 nedef 0 nedef nedef v tabulce značí, že hodnota není definována, bod nepatří definičnímu oboru Pro kteroukoliv goniometrickou funkci f platí rovnost: f ( ) = f ( ) = f ( + ) = f ( ) - 8 -
41 Základ matematik Řešené úloh Příklad Určete hodnot goniometrických funkcí f ( ) pro Řešení: = =, tj II kvadrant Vjádříme si ted = ve tvaru 0, kde 0 = 0, Znaménka hodnot goniometrických funkcí určíme podle tabulk sin = sin = sin = Znaménko funkce II kvadrant sin + cos - tg - cotg - cos = cos = cos = tg = tg = tg = cotg = cotg = cotg = Příklad Nakreslete graf funkce = cos + Řešení: Graf funkce = cos, jehož průběh známe, posuneme o ve směru záporné poloos =cos() =cos( + ) - 9 -
42 Základ matematik Příklad Nakreslete graf funkce = sin Řešení: Budeme postupovat od jednoduššího grafu Tím je graf funkce = sin Nní sestrojíme graf funkce = sin Průběh grafu se dvakrát zrchlí, perioda se zkrátí na polovinu =sin =sin Příklad Nakreslete graf funkce = sin Řešení: Graf funkce = sin se posune o jednotku ve směru záporné poloos =sin =sin
43 Základ matematik Příklad Nakreslete graf funkce = cos Řešení: Graf funkce = cos je výchozím grafem pro sestrojení grafu funkce = cos Funkční hodnot se zvětší dvakrát =cos =cos Při sestrojování grafů goniometrických funkcí vžd vcházíme ze základního grafu Jestliže se jedná o násobek funkce, tj = kf (), funkční hodnot se násobí Je-li k > graf se zvětšuje, je-li k (0, ) graf se smršťuje vzhledem k ose Příklad Nakreslete graf funkce = cos + + Řešení: Opět začínáme od grafu funkce = cos, ten posuneme o ve směru záporné poloos a sestrojíme tak graf funkce = cos +, ten pak posuneme o jednotku ve směru kladné poloos =cos( +)+ =cos =cos( +) - 7 -
44 Základ matematik Příklad 7 Nakreslete graf funkce = sin Řešení: Budeme postupovat od grafu funkce = sin, který posuneme o ve směru kladné poloos, máme graf funkce = sin vnásobíme a nní funkční hodnot =sin() =sin(- ) =sin(- ) - Příklad 8 Nakreslete graf funkce = tg( + ) Řešení: Nejdříve určíme definiční obor funkce: cos( + ) 0, odtud + k Graf funkce = tg posuneme o ve směru záporné poloos, přímk = + k jsou asmptot grafu funkce =tg =tg(+ )
45 Základ matematik Úloh k samostatnému řešení 9 Postupně zakreslete do téže soustav souřadnic graf těchto funkcí a) = sin, = sin, = 0,7sin, = 0,7sin +, b) = cos, = cos 0,, = cos 0, +, = cos 0,+ 0 Nakreslete graf funkce = 0, tg( + ) Goniometrické vzorce Výklad ( ) Pro každé D f platí: sin + cos =, tg cotg = Součtové vzorce: ( + ) = sin cos cos sin sin( ) = sin cos cos sin sin + cos tg ( + ) = cos cos sin sin cos ( ) = cos cos + sin sin tg + tg tg tg ( + ) = tg( ) tg tg = + tg tg cotg cotg cotg + = cotg + cotg ( ) cotg cotg cotg + = cotg cotg ( ) Vzorce pro dvojnásobný argument: tg sin = sin cos tg = tg cos = cos sin Vzorce pro poloviční argument: cotg = cotg cotg cos + cos sin = cos = cos cos sin = cos = + Goniometrické vzorce používáme k úpravám výrazů, k důkazům platnosti rovnic a k řešení goniometrických rovnic (viz kap 7) - 7 -
46 Základ matematik Příklad 9 Určete pro která R mají dané výraz smsl a pak výraz zjednodušte: a) (sin + cos ) sin, b) tg cos, cos c) sin + cotg sin Řešení: a) Při úpravě použijeme dva vzorce: sin + cos =, sin = sin cos sin + sin cos + cos sin =, R sin b) Při úpravě použijeme vztah: tg =, sin = cos cos sin cos cos sin sin cos cos = = = cotg, k, k Z sin sin cos c) Při úpravě použijeme vztah: cotg =, cos = sin sin cos cos + sin = cos, k, k Z sin Příklad 0 Dokažte: a) cos( + ) + cos( + ) = 0, b) sin( + ) sin( ) = cos Řešení: a) K důkazu potřebujeme součtové vzorce, L = cos cos sin sin + cos cos sin sin = = cos sin + cos + sin = 0 = P b) L = sin cos + cos sin sin cos + cos sin = = 0 + cos 0 + cos = cos = P - 7 -
47 Základ matematik Úloh k samostatnému řešení Dokažte: a) cos + cos( + ) + cos( + ) = 0, b) sin( + ) + sin( ) = sin, c) cos = cos, d) + sin = (sin + cos ) Výsledk úloh k samostatnému řešení a) ani sudá, ani lichá; b) lichá; c) lichá; d) sudá; e) lichá; f) sudá; g) ani sudá, ani lichá k a) (, ), b) (, ), c) (, (,, d), k Z, e) ; f) (, 0) (, ) Klíč k řešení úloh a) D( f ) = R {}, číslo patří D( f ), není splněna podmínka, proto funkce není ANI SUDÁ, ANI LICHÁ b) D( f ) = R {0}, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) + ) = = = = f ( ) LICHÁ ( ) ( c) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) = ( cos( ) ( ) sin( ) ) = ( cos + ( sin ) ) = ( ) = f ( ) = sin cos LICHÁ - 7 -
48 Základ matematik d) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) = = ln = f ( ) ln SUDÁ e) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) e = e e + e ( ) ( ) e = e e + e = e ( e e ) = f ( ) + e LICHÁ f) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), ( ) ( ) sin( ) ) = ( + sin ) = ( sin ) f ( ) f ( ) = = SUDÁ g) D( f ) = R, pro D( f ) je ( ) D( f ), f ( ) = ( ) + ( ) = ANI SUDÁ ANI LICHÁ a) > 0 + +, (,) b) ln > 0 > 0, ln > 0 > (, ) 9 c) , (, (, cos k d) cotg =, sin 0 k, k Z sin e) 0, D ( f ) = R {} f) > 0 ( ) > 0 D( f ) = (, 0) (, )
49 Základ matematik a) Jedná se o různoběžk procházející bodem na ose = + =+ 0 =-+ =-+ =- = b) Jedná se o rovnoběžk, které vtínají na ose úsek b =- =+ =+ = =+ =- - a) = ( ), V[, ], b) = ( ) +, V[, ] průsečík s osami jsou [ 0, ], [, 0], [, 0] průsečík s osou [0, ] = -+ 8 =
50 Základ matematik ( ) c) = +, V [, 0], průsečík s osou [0, 9] = a) = ( + ), V [, ], b) = ( ) 7, V[, 7], průsečík [ 0, 0], [, 0] průsečík s osou [ 0, ] = = -- a) 9 9 = + +, V [, ], b) = ( ), V[, ], průsečík [ 0, ],[, 0], [, 0] průsečík s osou [ 0, 9] = =
51 Základ matematik 7 a) = = - + = = = + = + = = [, ], S k =, průsečík [ 0, 0] b) = + = + + = = = = = =- - [ ] S,, k =, průsečík [ 0, 0] - c) = = + + = = + = + = [ 0, ], S k =, průsečík s osou [, 0]
52 Základ matematik d) = - S[,0 ], k =, průsečík s osou [ 0, ] = 8 a) b) c) =0 = =( ) a) =0,7sin(- )+ =sin =sin(- ) =0,7sin(- )
53 Základ matematik b) =cos0, =cos =cos(0,+ ) =cos(0,+ ) - 0 Určíme definiční obor: cos( + ) 0 odtud + k Pak = + k jsou rovnice asmptot grafu ( k Z) Budeme postupovat opět od nejjednoduššího grafu, jako v předchozích příkladech s funkcemi sinus a kosinus = tg = tg( + ) Graf = tg posuneme o ve směru záporné poloos = 0, tg( + ) Funkční hodnot vnásobíme 0, =tg(+ ) - - =tg =-0,tg(+ ) - 8 -
54 Základ matematik a) L = cos + cos cos sin sin + cos cos sin sin = = cos + cos sin + cos sin = 0 = P, b) L = sin cos + cos sin + sin cos cos sin = = sin + 0 sin 0 = sin = P, + cos c) L = = cos = P, d) P = sin + sin cos + cos = + sin = L Kontrolní otázk Jak je definována funkce? Jak poznáte, že je funkce sudá nebo lichá, znáte-li její funkční předpis? Jak poznáte, že je funkce sudá nebo lichá, znáte-li její graf? Kd je funkce rostoucí nebo klesající na definičním oboru funkce? Jakou funkci nazýváme prostou? Jak poznáte periodickou funkci, znáte-li její funkční předpis? 7 Na co všechno musíte brát ohled, určujete-li definiční obor funkce? 8 Jak poznáte lineární funkci? Jaký je její definiční obor, obor hodnot, vlastnosti a graf? 9 Jak poznáte kvadratickou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot,vlastnosti a graf? 0 Jak poznáte lineární lomenou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti? Načrtněte graf Jak poznáte mocninnou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti? Načrtněte graf Jak poznáte eponenciální funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti? Načrtněte graf Jak poznáte logaritmickou funkci, jaký je její definiční obor, obor hodnot a vlastnosti? Načrtněte graf Jaké goniometrické funkce znáte? Jaký je jejich definiční obor, obor hodnot a jaké mají vlastnosti? Načrtněte jejich graf Odpovědi najdete v tetu - 8 -
55 Základ matematik Kontrolní test Najděte definiční obor funkce ln ( ) a) ) 0,, b) (, ) = + :, c), ), d) (, ) Najděte definiční obor funkce = : a) (, ), b),, c),, d) (, ) Najděte definiční obor funkce + = : a) (, ), b) (,) (, ), c) (, ) (, ) Najděte definiční obor funkce = tg :, d), a) + k, b) R, c) + k, d) (,) Najděte definiční obor funkce = + : a) (,) (, ), b) (, ), c) R, d), Najděte definiční obor funkce = cotg : a) k, b) + k, c) R, d) 8 + k 7 Poznejte, která funkce je sudá a) = + 7, b) cos =, c) =, d) = sin 8 Poznejte, která funkce je lichá: a) = cos, b) = + 7, c) = sin, d) = Výsledk testu b), c), b), a), c), b), 7 b), 8 c) i d) - 8 -
Funkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceGONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceFUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE
Více(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky
Funkce Zavedení pojmu unkce, vlastnosti unkcí,lineární, kvadratické a mocninné unkce Repetitorium z matematik Podzim 01 Ivana Medková A Zavedení pojmu unkce V odorných a přírodovědných předmětech se často
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceRadián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.
Goniometrické funkce Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové Vjadřujeme-li úhl v míře stupňové, je jednotkou stupeň ( ), jestliže v míře obloukové, je jednotkou radián (rad). Ve stupňové míře
VíceEdita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY
Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceFunkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a
4.. Funkce kotangens Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. c B a A b C Tangens a kotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Vícea základ exponenciální funkce
Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. červenec 0 Název zpracovaného celku: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARIMICKÁ FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální unkce o základu a je každá
VícePřednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné
Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen
Více4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE
GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: GONIOMETRICKÉ FUNKCE vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou; jak jsou definovány čtyři základní goniometrické funkce:
VíceČíselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }
ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
VícePřehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.
Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Více4.2.15 Funkce kotangens
4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
Víceh = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R
.4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
Více3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE
. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její
VíceExponenciální funkce teorie
Eponenciální funkce teorie Eponenciální funkce je dána rovnicí f : = a, a ( 0,) (, ) Poznámka: pokud bchom připustili a =, vznikla b funkce konstantní pokud bchom připustili a < 0, nebla b funkce definována
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za
VíceKFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
VíceMANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro
VíceStřední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov
Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceNázev školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceFunkce. y = x + 4 [x; x + 4] Vynásob číslo 2 x 2 * x
Funkce Definice funkce: Funkce je zobrazení z množiny A reálných čísel do množiny B reálných čísel a to takové, že každému prvku z množiny A je přiřazen právě jeden prvek z množiny B. Toto zobrazení můžeme
VícePoznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1
Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceFUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
FUNKCE Gmnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiál z matematik pro nižší gmnázia Autoři projektu Student na prahu. století - vužití ICT ve vučování matematik na gmnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
VíceFunkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá
4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro
Více15. Goniometrické funkce
@157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou
VíceFunkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceSbírka úloh z matematiky
Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceGrafy elementárních funkcí v posunutém tvaru
Graf elementárních funkcí v posunutém tvaru Vsvětlíme si, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkční předpis základní elementární funkce Všechn změn původního grafu budou demonstrován
VíceFunkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
VíceZákladní poznatky o funkcích
Základní poznatk o funkcích Tajemství černé skříňk (Definice funkce, základní pojm) 0 c, d, g, h 0 a) ANO b) NE 0 D( f )={ 6} H( f )={ 7} 0 a) D( f )={ 0 } b) H( f )={ 8 9 0 } c) f ( 0)= f ( )=9 f ( )=
VíceKVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.
Více4.3.4 Základní goniometrické vzorce I
.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceFunkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.
4..0 Funkce tangens c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna x R nemůžeme
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceExponenciální a logaritmická funkce
Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální
Více2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost
.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceMatematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:
Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více4.3.3 Základní goniometrické vzorce I
4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceDiferenciální počet funkce jedné proměnné 1
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce
Více