Nehomogenní vlnová rovnice

Transkript

1 Nehomogenní vlnová rovnie Viděli jsme, že ve vakuu lze s použitím Lorentzovy kalibrae soustavu 4 Maxwellovýh rovni převést na soustavu dvou vlnovýh rovni ( 2 ρ( r, t 2 t 2 Φ( r, t = ( ɛ 0 ( 2 A( r, 2 t 2 t = µ 0 j( r, t (2 Podobně jako tomu bylo v elektrostatie je možné hledat řešení těhto rovni ve tvaru integrálu součinu vhodné (Greenovy funke souřadni r a r a, řekněme, nábojové hustoty v bodě r. Jakkoli je možné vzhledem k jedinečnosti tohoto řešení přímo výsledek napsat a poté ověřit (viz důležitý příklad X. v [], zkusíme použít postup z [] abyhom viděli, kde se vezme známý tvar řešení s retardovanými zdroji. I když je v časově proměnném případě tento přístup v rozporu se zahováním náboje, budeme si Greenovu funki i v tomto případě představovat jako řešení polníh rovni s bodovým zdrojem na pravé straně. Používáme-li následujíí konveni pro Fourierovu transformai f(t = f(ωe iωt dω f(ω = f(te iωt dt (3 přejde ve frekvenčním obraze časová derivae na násobení ( + ω2 ρ( r, ω 2 Φ( r, ω = (4 ɛ 0 Po vzoru Greenovy funke pro Poissonovu rovnii rozložíme zdroj na bodové náboje ρ( r, ω = ρ( r, ω δ( r r d 3 r (5 a budeme hledat poteniál G ω ( r, r, který každý z těhto bodovýh nábojů (nahází se v bodě r budí: ( + ω2 G ω ( r, r = δ( r r (6 2 a pak řešení složíme z poteniálů od jednotlivýh nábojů Φ( r, ω = ɛ 0 G ω ( r, r ρ( r, ω d 3 r (7 Pro ω = 0 přehází problém na Poissonovu rovnii a příslušná Greenova funke je G 0 ( r, r = 4π (8 S využitím translační symetrie úlohy, můžeme hledat G ω ( r, r = G ω ( r r a stejně jako v případě ω = 0 díky izotropii d Alembertova operátoru předpokládat závislost jen na G ω ( r r = G ω (. Můžeme tedy vzít r = 0 a za použití vztahu f(r = (rf /r psát pro r 0, kde hledáme řešení homogenní rovnie, ož je známá difereniální rovnie s dvěma nezávislými řešeními [rg ω (r] + ω2 2 [rg ω(r] = 0 (9 [rg ω (r] = Ae +i ω r + Be i ω r (0 Budeme uvažovat obě řešení zvlášť a položíme A = B = /(4π aby řešení byla správně normovaná Greenova funke. G ω ( r, r = e ±i ω r r 4π (

2 Zvláště v tehnikýh výpočteh, kdy pro zdroje předpokládáme harmoniké časové závislosti, může představovat tato Greenova funke vlnové rovnie výhozí bod výpočtů. Pro porozumění povaze řešení nehomogenní vlnové rovnie ale převedeme tuto funki zpět do časového obrazu. Speiální tvar závislosti na ω odpovídá posunutí v čase: f(ω = f 0 (ωe ±iωτ f(t = e iωt f 0 (ωe ±iωτ dω = e iω(t τ f 0 (ωdω = f 0 (t τ (2 Proto tedy Φ( r, ω = ɛ 0 má časový obraz Podobě pro vektorový poteniál máme G ω ( r, r ρ( r, ω d 3 r = Φ( r, t = ρ( r, t r r e ±i ω r r r r ρ( r, ω d 3 r (3 d 3 r (4 A( r, t = µ 0 4π j( r, t r r d 3 r (5 Rozdílná znaménka reprezentují retardovaný a avanovaný poteniál. Jakákoli jejih vhodně normovaná lineární kombinae splňuje původní nehomogenní vlnové rovnie. Pokud ale nemáme závažné důvody činit jinak, bereme vždy za řešení poteniály retardované, a náboje hápeme jako zdroje a příčinu pole. Jakkoli vzore s retardovaným zdrojem vypadají velmi podobně vztahům z elektro-magneto-statiky, je pro konkrétní zdroje závislé na čase často těžké spočíst již jen retardovaný čas, natož příslušný integrál. Pro praktiké výpočty se tak často musíme přejít do frekvenčního obrazu (např. předepíšeme harmoniký průběh proudů v anténě vysílajíí elektromagnetiké vlny. Pro pohybujíí se bodovou částii lze ale uvedené poteniály spočíst. Pole nerovnoměrně se pohybujíi nabité částie Příkladem, na kterém se často ilustruje pojem δ-funke je bodový náboj, zde naví ukážeme, že správná manipulae s δ-funkemi přináší zřejmé usnadnění výpočtů, a tedy, že takový popis je někdy výhodný. Bodový náboj pohybujíí se po trajektorii r 0 (t je popsán hustotou Pro poteniál tedy píšeme Φ( r, t = ρ( r, t = δ 3 ( r r 0 (t δ 3 ( r r 0 (t r r d 3 r (6 Abyhom mohli integrai přes prostorové souřadnie provést, museli byhom počítat Jaobián parametru δ-funke, místo toho ale můžeme tak jako dosud použít postup z []. Protože f(r, t r/ = f(r, t δ(t t r/dt můžeme psát Φ( r, t = tedy po již jednoduhé integrai přes r δ 3 ( r r 0 (t δ(t t r r Φ( r, t = δ(t t r r0(t r r 0 (t d 3 r dt (7 dt (8 2

3 V tomto vztahu r a t označují událost kde+kdy zkoumáme poteniál a r 0 (t a t označují událost vyzáření informae směrem k výzkumníkovi poteniálu, tedy kde ten částii v době výzkumu vidí skrze vlnění šíříí se ryhlostí, jenž mu o ní přináší informai. Událost t, r leží na budouím světelném kuželi události t, r 0 (t, ož je popsáno rovnií t t r r 0(t Místo výpočtu Jaobiánu teď vystačíme s jedinou derivaí, kterou dosadíme do vztahu δ(f(x = f (x 0 δ(x x 0 kde předpokládáme, že f(x = 0 má jediný kořen x 0. Protože integrační proměnná je t, musíme spočíst derivai levé strany (9 podle t : = 0 (9 kde jsme použili vztah d dt (t t r r 0(t = ( β. n, X s = X X. X s a zavedli označení pro ryhlost částie a směr od její polohy v retardovaném čase do bodu r (20 β = v 0 = d dt r 0(t, n = r r 0(t r r 0 (t Označíme-li řešení rovnie (9 t 0, pak dosazením dostáváme Φ( r, t = δ(t t r r0(t r r 0 (t dt = δ(t t 0 β. n Pro elektromagnetiké poteniály pohybujíího se bodového náboje tedy dostáváme r r 0 (t dt (2 a jenž lze spočíst z proudu A( r, t = µ 0 4π Φ( r, t = r r 0 (t 0 β. n v 0 (t 0 r r 0 (t 0 β. n = β/ r r 0 j( r, t = v 0 ρ = v 0 (t δ 3 ( r r 0 (t β. n (22 (23 který je součinem nábojové hustoty a ryhlosti a tak je výpočet vektorového poteniálu až na faktor µ 0 ɛ 0 v 0 = v 0 / 2 zela shodný. Jak jsme právě viděli znamená výskyt retardovanýh časů jistou komplikai ve výpočtu, která se pak ve výsledku projeví nečekaným faktorem ( β. n. Co ví, protože praujeme s obeně časově závislými poteniály, nemáme dostečnou intuii (jako tomu bylo v elektrostatie abyhom z tvaru poteniálů viděli vlastnosti pole E, natož B. Proto si jako ilustrai zkusíme spočíst z výše uvedenýh poteniálů důležitou část výrazu pro E, jenž je úměrná zryhlení částie, a, jak uvidíme, ubývá se vzdáleností mnohem pomaleji, než vlastní Coulombiké pole náboje. Zářivé pole bodového náboje Platí E = Φ A t B = A. 3

4 V poteniáleh (22-23 se vyskytují následujíí veličiny závislé na r a t: Derivaí vztahu podle času za použití (20 dostáváme tedy zatímo gradient téže rovnie dá tedy r 0 = r 0 (t 0( r, t v 0 = v 0 (t 0( r, t = d dt r 0(t n = r r 0(t 0( r, t r r 0 (t 0 ( r, t t t r r 0(t = 0 t t + n.dr 0(t dt t t = 0 t t = β n, t ( r i n j δ ji d(r 0 j (t dt t = n/ β n. t = 0 r i Derivae n naštěstí nebudeme potřebovat, protože klesají jako /R, kde R = r r 0. Prostorové a časové derivae veličin jako je např. v 0 spočteme podle vztahu f(t = f t t = f n/ t β n t f(t = f t t t = f t β n Celkem tři členy ve výrazu pro E obsahují derivai ryhlosti, jenž dá zryhlení. Zároveň si lze povšimnout, že členy, které zanedbáváme ubývají s R ryhleji, než ty jenž uvažujeme. Detailně si to ale komentovat nebudeme, neboť víme, že pole nezryhleného náboje je jen Lorentzovsky transformované Coulombiké pole a tedy klesá jako /R 2. V poteniálu Φ se ryhlost vyskytuje jednou Φ = R β. n =... + R ( ( β. n ( β. n = ( β. n( n/ R ( β. n 3 Při výpočtu časové derivae A narazíme na ryhlost v čitateli i jmenovateli A [ = β/ t t r r 0 β. n =... + ] tβ/ r r 0 β. n + β/ t β. n A t = =... + r r 0 β β. n β. n β. n β. n + β ( β. n 2 Sečtením získáme E = Φ A t =... R ( ( β. n ( β. n n + β( β. n + β( β. n 3 (24 4

5 Protože platí n [( n β β] = ( n β( β. n β( β. n můžeme část pole E závislou na zryhlení částie psát E =... + n [( n β β] R ( β. n =... + n [( n v/ v]. v = R 2 ( v. n/ 3 R 2 (25 kde jako poslední je uvedeno nerelativistiké přiblížení, v němž je použito označení v = n ( n v. Podrobným výpočtem lze ukázat, jak vypadá část pole nezávisejíí na zryhlení a také, že magnetiké pole se řídí vztahem známým z rovinné elekromagnetiké vlny B = n E (26 Díky tomu a faktu, že uvažovaná část elektrikého pole je kolmá na n, dostáváme, že Poyntingův vektor splňuje relai známou pro vlny S = nw, kde w = ( E. D + B. H/2 je hustota energie elektromagnetikého pole. Naví faktor /R zaručuje, že tok energie přes sféru o nekonečném poloměru je nenulový (to kvazistaionární pole lokalizovanýh nábojů a proudů nedokáží. Zatímo vynehaná část elektrikého pole poybujíího se náboje odpovídá Coulombikému poli a ubývá jako /R 2, námi studovaná složka závislá na zryhlení ubývá jako /R. Z rozměrovýh důvodů musí jít elektriké pole psát jako E ( R 2 +, RH kde H je veličina s rozměrem délky nějak souvisí se zryhlením částie. Pro R H převládá oulombiké pole, naopak pro R H převládá záření. Pro takto velká R mluvíme proto o radiační zóně, kde můžeme ostatní členy zanedbat. Pokud stále uvažujeme jednu částii, z kinematiky zjistíme, že velikost H je zhruba vzdálenost na níž by s uvažovaným zryhlením částie nabyla relativistikýh ryhlostí. I v případě, že záření vzniká kolektivním přespěním mnoha nábojů, řekněmě v anténě, má smysl mluvit o radiační zóně jako o oblasti, kde pole má již převážně podobu elektromagnetiké vlny. Jak uvidíme v následujíím příkladě, začíná radiační zóna obvykle blíže zdroji než byhom z výše uvedeného čekali. Vyzařovaí harakteristika a elektriké dipólové záření V radiační zóně můžeme pro Poyntingův vektor s psát S = E H = E µ 0 ( n E = n µ 0 E 2 = n ɛ 0 E 2, kde, stejně jako u rovinné vlny, jsme využili kolmost E na n a vztahu 2 ɛ 0 µ 0 =. Dosazením konkrétního tvaru E dostáváme S 2 n [( n v/ v] 2 2 = 6π 2 ɛ 0 R 2 3 ( v. n/ 6 6π 2 ɛ 0 R 2 3 v 2 (27 Šestá monina výrazu v. n/ souvisí s aberaí a Dopplerovým jevem a může při vyššíh ryhlosteh částie rozhodujíím způsobem určovat směr, kterým je záření vysíláno. V nerelativistikém případě je směr toku energie dán výrazem v 2 = n ( n v 2 = v 2 sin 2 ϑ, kde ϑ je úhel mezi (retardovaným směrem k pozorovateli a směrem zryhlení. Jako nejjednosušší případ si vybereme vyzařování nepohybujíího se v čase proměnného dipólu tvořeného opačně nabitými částiemi. Protože je výsledné pole lineární superpozií polí obou nábojů, stejně jako dipólový moment soustavy, můžeme pro zjednodušení jeden z nábojů ponehat v klidu v počátku, zatímo druhý se bude v jeho blízkosti pohybovat po ose z. Při tomto modelu bude dipólový moment systému p(t = r(t = p(t e z. Proto v nerelativistikém vztahu pro elektriké pole v radiační zóně můžeme kombinai v nahradit p. Velikost p = p(t sin θ tedy S = p 2 6π 2 ɛ 0 R 2 3 sin2 θ e r Protože pro integrál přes povrh koule o poloměru r platí sin 2 θds = (8/3πr 2, bude za předpokladu, že r =. R, tedy že amplituda pohybu náboje v našem modelu dipólu je mnohem menší než vlnová délka, platit I = S.dS = 2 p

6 Protože platí prinip superpozie, popisuje tento výsledek výkon záření, jenž opouští velmi malou (v porovnání s vlnovou délkou soustavu nábojů s dominujíím elektrikým dipólovým momentem a to i v případě, kdy se směr dipólového momentu libovolně mění, v nerelativistém přiblížení jsme viděli, že záření je členem sin 2 θ konentrováno do roviny kolmé k vektoru zryhlení. Důležité je vidět, že zatímo pole dipólu klesá jako R 3, tedy dokone ryhleji, než pole bodového náboje, radiační část pole stále přenáší energii do nekonečna díky hování E /R. Podobně vyzařují záření až do nekonečna i systémy s dominujíími vyššími multipólovými momenty, každý hybějíí faktor /R se ve vztazíh pro intezity pole, hustotu energie či vyzářený výkon nahradí časovou derivaí (/d/dt. Jestliže je zdroj nezanedbatelně velký dohází k interfereni polí od jeho jednotlivýh částí, ož obvykle výrazně mění vyzařovaí harakteristiku oproti dipólové S sin 2 θ. Za součást zdroje také musíme považovat jakékoli vodiče či např. objekty s ɛ r naházejíí se v jeho blízkosti. Síla působíí na vyzařujíí částii Zatímo pole v radiační zóně má doela přehledný tvar S = n w(θ, φ = n w( n v blízkosti zdroje záření je tvar Poyntingova vektoru velmi komplikovaný. Kdybyhom dokázali nalézt pole v blízkosti zdroje splňujíí příslušné okrajové podmínky (obvykle tam jsou nějaké vodiče, dokázali byhom určit kolik z energie přiváděné, řekněme do rozlehlého deskového kondenzátoru se motá v jeho okolí a slouží jen k výrobě blízkýh polí (jalové proudy a kolik energie systém opustí a v podobě záření odletí pryč. Nalézt takové řešení lze v podstatě ale jen pro nejjednodušší problémy a to jen za silně omezujííh předpokladů, např., že rozměry musejí být mnohem menší, než uvažovaná vlnová délka. To znamená, že třeba rozložení polí v okolí antény je analytiky nezvládnutelné, protože dobrá anténa nemůže být mnohem menší než vlnová délka. Podobě je ale velmi komplikovaný i problém zdánlivě nejjednodušší energetiká bilane v okolí uryhlované bodové částie. Důvodem pro to je, že klasiká bodová částie je fyzikálním obrazem matematikého objektu popsaného δ-funkí a příslušnými Greenovými funkemi. Ty mají velmi dobrý smysl v rámi lineární teorie svazujíí pole a jeho zdoje. Energie a její toky jsou ale popsány kvadratikými výrazy a tam jistota s níž používáme δ-funke atp. končí. Jako příklad uvažujme nabitou částii, která se nejříve v t <= t nahází v rovnoměrném přímočarém pohybu, pak na ni hvíli působí všelijaké síly, které ji uryhlují a brzdí, aby ji nakone v t > t 2 ponehaly ve stejném rovnoměrném přímočarém pohybu. Taková částie podle (27 vyzáří energii E = k v 2 dt = k v. vdt = k Předpokládáme, že tuto energii dodala síla F působíí na částii E = F. v dt ( [ v. v] t2 t v. vdt Protože okrajové členy jsou za daného počátečního a konového stavu nulové a ze zahování energie dostáváme ( F + k v. v dt = 0 ož by mohlo vést k doměne, že pohybová rovnie pro nabitou částistii musí vypadat m( a τ ȧ = F To je ovšem jen stěží přijatelné: ( je to difereniální rovnie třetího řádu, (2 ta řešení na něž jsme z Newtonovské dynamiky zvyklí se ztráejí mezi velmi ošklivými řešeními exponeniálně rostouími v čase, (3 kdybyhom htěli vybrat mezi řešeními to správné (to poznáme podle toho, že dobře dopadne viz naše podmínky na konovou ryhlost částie máme jasně nekausální teorii. Pro nás z toho plyne, že řešení úplnýh Maxwellovýh rovni pro rozlehlá tělesa neumíme kvůli obtížnosti nalézt, a ani klasiké bodové náboje náboje nejsou tím čím bývaly. 6