Ampérův zákon (1a) zákon elektromagnetické indukce. Gaussův zákon. zákon o neexistenci magnetických nábojů (1d)

Transkript

1 Učební text k přednáše UFY v obeném tvaru D rot H = j( r, t ) Ampérův zákon (a) B rot E + = zákon elektromagnetiké induke (b) div D = ρ ( r, t ) Gaussův zákon () div B = zákon o neexisteni magnetikýh nábojů (d) kde EH, jsou intenzity elektrikého respektive magnetikého pole, D, B jsou elektriká respektive magnetiká induke, j je hustota volnýh proudů a ρ je objemová hustota volnýh nábojů doplňujeme materiálovými vztahy D = ε E B = μh (a) (b) kde ε je permitivita prostředí a μ je permeabilita prostředí Soustava rovni () představuje elkem 8 rovni pro proměnnýh EDBH,,, Např rovnie (b) reprezentuje 3 vztahy pro složky vektorů E a B E z Ey B = y z E E = z x x z B y x E E B = x y y x z a rovnie (d) rozepsaná do složek B B x y Bz + + = x y z Co nám říkají: časově proměnné pole E generuje pole B a naopak časově proměnné pole B generuje pole E V případě nepohyblivého náboje bude pole E radiální a staionární Jestliže se náboj začne pohybovat, dohází ke změně pole E v blízkosti náboje a tato změna se bude šířit prostorem nějakou konečnou ryhlostí Časově proměnné elektriké pole indukuje magnetiké pole

2 Učební text k přednáše UFY E (Ampérův zákon) Pro zryhlujíí se náboj nebude konstantní a indukované pole B potom také bude časově proměnné Časově proměnné pole B generuje pole E (zákon elektromagnetiké induke) a elý proes pokračuje v nekonečném yklu Pole E a B jsou spřáhnuty a je nejvhodnější považovat je za dva aspekty jednoho fyzikálního jevu elektromagnetikého pole jehož zdrojem je pohybujíí se náboj Jednou vygenerovaný vzruh se od zdroje šíří ve formě vlny nezávisle na něm Časově proměnné elektriké a magnetiké pole se regenerují navzájem v nekonečném yklu Ve vakuu, kde nejsou přítomny elektriké náboje a proudy a kde platí ε = ε kde ε je permitivita vakua μ = μ kde μ je permeabilita vakua nabývají () tvar E rot B = εμ B rot E = t div D = div B = Aplikujeme-li na obě strany rovnie (3b) operai rot, potom dostáváme pro levou stranu s užitím identity rot rot A = grad div A ΔA, kde a vztahu (3) rot rot E = grad div E Δ E = ΔE Δ = + + x y z, (3a) (3b) (3) (3d) a pro pravou stranu s užitím rovnie (3a) B E rot = ( rot B) = εμ Odtud potom získáváme vlnovou rovnii pro E E ΔE = t kde jsme označili (4a)

3 Učební text k přednáše UFY = (5) εμ Analogikým postupem lze ze vztahu (3a) odvodit vlnovou rovnii pro B B ΔB = (4b) t Každý ze vztahů (4) reprezentuje 3 rovnie pro 3 složky vektoru E respektive B, například (4a) lze rozepsat takto E E E E x y z x x x x + + = E E E E y y y y + + = x y z Ez Ez Ez E + + = z x y z Dosadíme-li do (5) číselné hodnoty pro permitivitu a permeabilitu vakua, = = 3 ms εμ ( 8,85 s C m kg)( 4 π m kg C ) 8 - vidíme, že ryhlost šíření elektromagnetikýh vln ve vakuu je v pozoruhodné shodě se změřenou ryhlostí světla (v Maxwellově době to byla hodnota 353 km/h určená Fizeauem v roe 849) Tedy řečeno samotným Maxwellem This veloity [ie, his theoretial predition] is so nearly that of light, that it seems we have strong reason to onlude that light itself (inluding that of radiant heat, and other radiations if any) is an eletromagneti disturbane in the form of waves propagated through the eletromagneti field aording to eletromagneti laws V roe 983 přijala 7 Conférene Générale des Poids et Mesures v Paříži novou definii metru, a stanovila hodnotu ryhlosti světla ve vakuu (jako jedné ze základníh fyzikálníh konstant) na 8 =, m/s Jedním z řešení vlnové rovnie (4a) je tzv rovinná harmoniká vlna ve tvaru E( r, t) = Eos ( ωt k r + ϕ) kde ϕ rt, = ωt kr +ϕ je fáze vlny a k je vlnový vektor E je amplituda vlny, ( ) (6) ω π k = s = s, kde s je jednotkový vektor udávajíí směr šíření vlny λ Derivujme 3

4 Učební text k přednáše UFY E ϕ = E ( os ϕ ( r, t) ) = E ( sinϕ) = E ( sinϕ)( k ) = E jkisinϕ r r r j j j j i i i i Dosadíme-li řešení (6) do rovnie (3), dostaneme E div D= ε div E = ε = ε E k sinϕ = ε sinϕ E k = ε sin ϕ E k = a tedy E k ( ) j j j j j j= rj j= j= Vezměme rovnii (3b) Pro x-ovou složku její levé strany dostáváme E Ez y ( E) = = E sin sin sin ( ) sin zky ϕ E ykz ϕ = ϕ E zky E ykz = ϕ( k E ) x y z a tedy rot E = sinϕ k E Potom ( ) B = rot E = sinϕ ( k E ) a integraí (kde integrační konstantu, reprezentujíí časově nezávislé pole, položíme rovnou nule) B= sin ( ωt k r + ϕ)( k E) dt = ( k E) osϕ = εμ ( s E) osϕ = Bosϕ ω B = εμ s E = s E ) amplitudu magnetiké induke kde jsem označili ( ) ( Zřejmě B = E ε = μ = = E H E E μ Z μ kde veličina Z = 377Ω se nazývá impedane vakua ε E s k, B s k, E Čili shrnuto ( ) ( ) x (7) a vektory s( k), E, B tvoří pravotočivý systém Naví E a B kmitají ve fázi (v každém bodu prostoru) Jedná se tedy o vlnění příčné; vektorový součin E B udává směr šíření vlny Jako příklad uvažujme rovinnou harmonikou vlnu šíříí se ve směru osy z V tom případě bude s = (,, Protože ) se = sb = E z =, Bude-li E x B z = B y (obr M) 4

5 Učební text k přednáše UFY y B y E x z x Obr M Ortogonalita polí E a B v rovinné harmoniké vlně Energie a moment Jednou z nejdůležitějšíh vlastností elektromagnetikýh vln je, že přenášejí energii Existujeli v určité části prostoru elektromagnetiké pole, je přirozené uvažovat o zářivé energii připadajíí na jednotku objemu, tj o objemové hustotě energie u Pro samotné elektriké pole bude hustota energie (například mezi deskami kondenzátoru) ue ε = E (8a) Podobně pro magnetiké pole (například toroidu) bude Protože ale vztah E zřejmé že μ u B = B (8b) = B (7) odvozený pro rovinnou harmonikou vlnu platí zela obeně, je u B = E ε μ = = E B μ 5

6 Učební text k přednáše UFY a tedy ue = u B (9) Energie proudíí prostorem ve formě elektromagnetiké vlny je sdílena mezi elektrikou a magnetikou složkou pole Proto elková hustota energie (okamžitá hodnota) pole bude u = ue + ub = εe = B μ Abyhom mohli vyjádřit tok elektromagnetiké energie, nehť () představuje energii přenesenou za jednotku času (tedy výkon) přes jednotkovou plohu (v SI soustavě bude taková veličina vyjádřena v jednotkáh Wm - ) Elektromagnetiká vlna se šíří ryhlostí přes plohu o obsahu obsažená ve válovém objemu A Během časového intervalu ( t A Δ ), tedy ( Δt A) u S = = u = εe = ε EB = EB ΔtA μ S Δ t projde touto plohou energie V izotropníh prostředíh energie teče ve směru šíření vlny, a proto můžeme zavést vektor hustoty toku energie (Poyntingův vektor) = = B S E B εe μ Veličina S udává výkon na jednotku plohy, jejíž normála je S Pro rovinnou harmonikou lineárně polarizovanou vlnu šíříí se prostorem ve směru k E = E os ωt k r bude Vidíme, že S ( ) B = B os t k r ( ω ) S = ε E B os ωt k r = ε E B ( ) + os ( ωt k r) je ryhle se měníí funkí času Avšak frekvene optikýh vln jsou velmi vysoké (řádově 4 Hz) Okamžitá hodnota S se mění s dvojnásobnou frekvení a je v praxi neměřitelná (žádný detektor není dostatečně ryhlý, aby mohl sledovat změny S ) Proto se () () 6

7 Učební text k přednáše UFY zavádí časová střední hodnota velikosti Poyntingova vektoru tzv zářivost (irradiane) os ( ) Protože os ( + ωt k r ωt k r) = = dostáváme pro zářivost výraz I S = ε E B = ε E = B μ (3) Toto je důležitý výsledek, který nám říká, že zářivost (intenzita) je úměrná čtveri amplitudy elektromagnetiké vlny, I S E ; I S B Sfériká vlna přestavuje takové řešení vlnové rovnie, kdy se amplituda vlny mění úměrně r Zkoumejme nyní, jak to je z hlediska zákona zahování energie Uvažujme izotropní bodový zdroj záření ve vakuu rovnoměrně ve všeh směreh (tedy zdroj generujíí sfériké vlny) Obklopme takový zdroj dvěma konentrikými kulovými plohami o poloměreh r Nehť ( ) E r a ( ) E r jsou amplitudy těhto vln na první respektive druhé kulové ploše Má-li být zahována energie, musí být elkové toky energie těmito plohami za jednotku času stejné, tedy čili ( ) εe ( r) 4πr = εe ( r) 4π r ( ) = ( ) E r r E r r E r r = konst Amplituda tedy musí klesat jako r a zářivost (úměrná kvadrátu amplitudy) jako r r a Již v roe 69 Johannes Kepler navrhl vysvětlení, proč oas komety míří od Slune, jako důsledek tlaku slunečního záření To sloužilo jako jeden z podpůrnýh argumentů korpuskulární teorie světla Avšak Maxwell v roe 873 teoretiky ukázal, že radiační tlak je roven energii v jednote objemu (hustotě energie) elektromagnetiké vlny u ue u ε P= = + B = E + B Nebo jinak s užitím vztahu S = u μ Středování přes čas t τ (perioda vlny) T f = lim f t dt, u staionární veličiny časová střední hodnota nezávisí na volbě počátku časové škály T T () 7

8 Učební text k přednáše UFY S P= (4) Toto je okamžitý tlak působíí na dokonale absorbujíí povrh kolmý k dopadajíímu záření Protože se pole E a B ryhle mění s časem, praktiký význam má střední tlak záření (radiační tlak) S I P = = (5) Označíme-li p hybnost, potom změna hybnosti je rovna impulsu síly, tedy Δ p = AP (6) Δt kde A je obsah povrhu, na který záření dopadá Označíme-li p V objemovou hustotu hybnosti záření, potom p p ( t A) AP Δp Δt Δ = Δ a tedy V ( Δ ) p t A V = = = Δt S A (7) Odtud potom získáme výraz pro objemovou hustotu elektromagnetiké hybnosti p V S = (8) V případě dokonale odrážejíího povrhu, dohází při kolmém dopadu ke změně ryhlosti z + (dopadajíí vlna) na (odražená vlna) To odpovídá dvojnásobné změně hybnosti oproti dokonale pohlujíímu povrhu, tedy S P = (9) 8