Operace s polem příklady

Transkript

1 Equation Chapter 1 Setion 1 1 Gradient Operae s polem příklady Zadání: Nadmořská výška libovolného bodu na povrhu kope je dána formulí h(x y) = A exp [ (x/l 0 ) 9(y/l 0 ) ] kde A = 500 m l 0 = 100 m Nalezněte směr největšího stoupání do kope (malé posunutí po povrhu kope v tomto směru vyvolá největší přírůstek nadmořské výšky) v bodě B = [ 30 10] m B y x Řešení: Směr největšího stoupání vyjadřuje gradient skalární funke kterou je popsána povrhová ploha kope Platí A n grad h h x h y exp x/ l 0 9 y/ l 0 x 9 y x 9y l 0 Nepodstatné konstanty mění jen délku vektoru nikoliv jeho směr proto jsou v konečném výsledku vynehány V bodě B je tedy směr největšího stoupání určen vektorem Divergene n B (+30 90) (+10 30) (+1 3) Zadání: Nalezněte divergeni elektrikého pole bodového náboje v elém prostoru (pro bodový náboj je r 0 ) Řešení: Elektriké pole v okolí bodového náboje je dáno Coulombovým zákonem E = Q/(4 0 r ) n kde r je vzdálenost daného místa od náboje n je jednotkový vektor n = (x/r y/r z/r) míříí od náboje Elektriké pole má tedy složky (k =Q/(4 0 )) E x = kx/r 3 ) E y = ky/r 3 ) E z = kz/r 3 ) Pro výpočet divergene budeme potřebovat derivai vzdálenosti podle jednotlivýh proměnnýh: Divergene elektrikého pole je jak známo r/x = (x + y + z ) 1/ /x = x/r r/y = (x + y + z ) 1/ /y = y/r r/z = (x + y + z ) 1/ /z = z/r div E = E x /x + E y /y + E z /z Derivae jednotlivýh složek je v tomto případě optimální řešit jako derivae podílu

2 Podobně bude x 3 3 r x3r r 3 x Ex x x r x r x dx r r 3x k k k k k x x 3 x r r r r r Ey r 3y k y 5 r takže pro divergeni máme a Ez r 3z k z 5 r r 3x r 3y r 3z 3r 3 x y z div E k 0; r r r Divergene elektrikého pole je tedy v elém prostoru nulová (nejsou v něm zřídla toku) kromě množiny r = 0 ve které se toto zřídlo (zdroj pole singulární hustota náboje) nahází 3 Rotae Zadání: Nalezněte rotai magnetikého pole v okolí vodiče protékaného proudem Vodič je nekonečně dlouhý a limitně tenký (R 0 j ) Řešení: Magnetiké pole v okolí nekonečného tenkého vodiče je ve válovýh souřadniíh dáno Ampérovým zákonem: B = 0 I /(r) kde r je kolmá vzdálenost daného místa od vodiče osa z míří ve směru vodiče je jednotkový vektor tečný ke (kruhovým) siločarám = ( y/r x/r 0) Magnetiké pole má tedy složky (k = 0 I/() B x = k y/r ) B y = kx/r ) B z = 0 Pro výpočet rotae budeme potřebovat derivai vzdálenosti podle jednotlivýh proměnnýh Jednotlivé složky vektoru rot B jsou r/x = (x + y ) 1/ /x = x/r r/y = (x + y ) 1/ /y = y/r B B z y Bx B B z y Bx rot B y z z x x y nutno dopočítat Derivae jednotlivýh složek je v tomto případě optimální řešit jako derivae podílu a podobně bude x r xr r x B r x r y x x x r r x k k k k x x r r r r Bx r y k y 4 r takže poslední složka vektoru rot B je B y B r x y x r x r y k k 0; r 0 x y 4 4 r r

3 Rotae magnetikého pole je tedy v elém prostoru nulová (nejsou v něm víry) kromě množiny r 0 ve které je entrum vírů a současně zdroj magnetikého pole - singulární proudová hustota Poznámka: Čtenář si laskavě osvěží v paměti že viry jsou v buňkáh a v přeneseném významu též v počítačíh výři létají po lesíh a naše výpočty se týkají vírů 4 ABC toky Zadání: Nalezněte rotai a divergeni pole daného předpisem V ( A os y Bsin z Bos z Csin x C os x Asin y) Řešení: div V = 0; rot V = V Pole nemá zdroje ale je vírové Promyslete si jak takové pole vypadá (jeho rotae je rovna samotnému poli) a ověřte (Mathlab Mathematia) Mohou taková pole existovat v přírodě? Ano jde o konfigurae ve kterýh se nabité částie pohybují podél silokřivek magnetikého pole Proudová hustota je v tomto případě rovnoběžná s magnetikým polem j // B Z Maxwellovy rovnie rot H = j (magnetiký problém bez elektrikýh polí) plyne rot H // B tj rotae B je úměrná samotnému B V matematie se taková pole nazývají Beltramiho pole a mají šrouboviový (helikální harakter) Vír takového pole není nikdy plošný 5 Heliita Zadání: Nalezněte heliitu ABC toku z předhozího příkladu Návod: Heliita je matematiká veličina kterou se testuje šroubovitost pole Je definována vztahem H Vrot V Řešení: H A B C AB os y sin z BC os z sin x AC os xsin y

4 Equation Chapter 1 Setion 1 Elektromagnetiké vlny příklady 1 Vlnová rovnie Zadání: Ukažte že z Maxwellovýh rovni ve vakuu plyne vlnová rovnie pro elektriké i magnetiké pole Návod: použijte vektorovou identitu rot rot K = grad div K ΔK Řešení: Vyjdeme z Maxwellovýh rovni ve vakuu div E = 0 div B = 0 E (61) rot B = em 0 0 t B rot E =- t Budeme se snažit vyloučit z rovni elektriké pole proto provedeme rotai na třetí rovnii rote rot rot B = em 0 0 t rot E grad div B-D B = em 0 0 t Za div B dosadíme z druhé Maxwellovy rovnie za rot E z poslední a získáme vlnovou rovnii pro magnetiké pole: (6) em B DB - = 0 (63) 0 0 t Zela obdobně byhom získali vlnovou rovnii pro elektriké pole (rotaí poslední rovnie) Provedeme-li ve vlnové rovnii Fourierovu transformai získáme disperzní relai 1 w k = (64) em Tuto disperzní relai byhom získali i okamžitým použitím Fourierovy transformae na (61) 0 0 Vlny v anizotropním prostředí Zadání: Řešte pomoí Fourierovy transformae Maxwellovýh rovni konfigurai polí v elektromagnetiké vlně v elektriky anisotropním prostředí V jakém směru míří fázová ryhlost a v jakém směru míří grupová ryhlost? Předpoklady: V anizotropním prostředí nemusí vektory E a D mířit ve stejném směru Připomeňme si že D = 0 E + P Vektor elektriké polarizae P je objemová hustota dipólovýh momentů které vyvolá pole E Ty ale mohou sledovat například krystalografiké roviny a ne pole E Výsledkem je že pole E a D mají různý směr Stejně tak může u magnetiky aktivníh materiálů doházet k magnetizai prostředí a vektor H = B/ 0 M (kde M je tzv magnetizae) nemusí mířit ve stejném směru jako B Budeme předpokládat anizotropii elektrikýh vlastností tj elektriké vektory D a E nejsou rovnoběžné

5 E D S v g H B k v f Řešení: V Maxwellovýh rovniíh položíme j = 0 = 0 Vzhledem k anizotropii musíme v rovniíh ponehat oba elektriké vektory Provedeme Fourierovu transformai Maxwellovýh rovni: div D = 0 kd = 0 D k div B = 0 kb = 0 B k rot H = D/t k H = D D k H rot E = B/t k E = B B k E Fázová ryhlost míří ve směru vlnového vektoru k grupová ryhlost ve směru šíření energie tj ve směru Poytingova vektoru E H Poměry v elektromagnetiké vlně v elektriky anizotropním prostředí jsou vystiženy v obrázku 3 Vlny ve vodiči Zadání: Nalezněme vlnovou rovnii pro elektromagnetikou vlnu šíříí se v kovu Řešení: V Maxwellovýh rovniíh dosadíme za proudovou hustotu j = σe div D = r Q div B = 0 D rot H = se+ t B rot E =- t Aplikujme operai divergene na třetí a za div D dosaďme z první rovnie rq s é s ù + r = 0 r» r exp - t Q Q 0 t e ê e ú ë û (65) (66) Prostorová hustota náboje ve vodiči exponeniálně vymizí a nemusíme ji proto uvažovat Za výhozí sadu Maxwellovýh rovni pro vlny ve vodiči můžeme použít div E = 0 div B = 0 E rot B = mse+ em t B rot E =- t (67)

6 Nyní provedeme Fourierovu transformai a poté vyloučíme jedno z polí (například elektriké) a získáme disperzní relai ve tvaru w = k - i smw (68) Je-li vodivost nulová (σ = 0) přejde tato disperzní relae ve známou disperzní relai vln v nevodivém prostředí Ve vodiči je disperzní relae komplexní ož obeně znamená útlum Útlum v prostoru: Hledejme nejprve prostorový útlum (řešení v k): k = w + ismw» ismw (69) Vzhledem k vysoké vodivosti kovů jsme první člen na pravé straně zanedbali Tento výraz již snadno odmoníme Nezapomeňte že i 1/ = (1+i)/ 1/ Proto smw k = k + i k ; k = k = (610) 1 1 Reálná i imaginární část vlnového vektoru je stejně veliká (to je pro kovy typiké) V prostoru tedy bude mít vlna harakter exp[ik 1 x k x] Vlna je tlumená s harakteristikou vzdáleností útlumu 1 d = k = smw (611) Tuto vzdálenost (do které vlna pronikne) nazýváme skinová hloubka Útlum v čase: Hledejme nyní útlum v čase (řešení v ω) Disperzní relae je kvadratiká rovnie pro ω s řešením 4 -i sm - s m + 4 k w = (61) 1 Uvědomíme-li si že v diskriminantu je vodivostní člen dominantní (kov) zbývá jediné nenulové řešení i sm (613) Řešení ve frekveni je ryze imaginární w = w + i w ; w = 0 w =- sm (614) a má harakter útlumu 1 1 s harakteristikou dobou útlumu -i w t w t - smt e = e = e (615) 1 1 t = w = sm (616) Povšimněte si že při důsledném dodržení znaménkové konvene (u prostoru + u času ) ve vlnění typu exp[i (k x ωt)] vyšel útlum v čase i v prostoru

7 4 Grupová ryhlost při disperzi Zadání: Vyjádřete grupovou ryhlost za pomoi indexu lomu který je frekvenčně závislý Řešení: V prostředí s disperzí závisí index lomu na frekveni vlnění Získaný vztah budeme diferenovat k n( w) º = n( w) w = k (617) v w f dn w d w + nd w = dk dw æ dn ö n w ç + dw = dk dw çè ø Z posledního vztahu snadno určíme grupovou ryhlost (618) dw v = = (619) g dk dn n + w d w Vidíme že grupová ryhlost je malá v prostředíh s velkým indexem lomu nebo s velkou disperzí (vysokou hodnotou dn/dω) Nejvyšší index lomu má diamant (a 5) a grupová ryhlost světla v něm jen km/s Existují ale i uměle připravená prostředí s vysokou disperzní v nihž má ryhlost šíření světla pouhou ryhlost hode V roe 000 se dokone ve speiálně připraveném prostředí podařilo světlo zastavit 5 Pole ve slunečním světle Zadání: Sluneční záření má v okolí Země intenzitu I = 14 kw/m Nalezněte průměrnou hodnotu intenzity elektrikého a induke magnetikého pole v slunečním záření v místě kde se nahází Země Řešení: Intenzita dopadajíí energie je dána velikostí Poyntingova vektoru: I Z = S = EH Poměr elektriké intenzity a magnetiké induke v elektromagnetiké vlně je E/B = Tyto dva vztahy můžeme hápat jako soustavu dvou rovni pro elektriké a magnetiké pole: E 0I EB ; B Vynásobením a vydělením obou rovni dostaneme řešení: E I Výsledek: E = 76 V/m B = T 0 ; Poznámka: Pole 76 V/m se na první pohled zdá být enormní Musíme si však uvědomit že rozdíl poteniálů 76 V je měřen na vzdálenosti 1 m Skutečné emisní akty však tvají krátkou dobu a pozorované světlo se skládá z úseků rozměrů několikanásobku vlnové délky Na této vzdálenosti je již rozdíl poteniálů malý B I 0

8 Equation Chapter 1 Setion 1 Relativita příklady 7 1 Lorentzova transformae Zadání: Odvoďte z prinipu relativity a z prinipu konstantní ryhlosti světla Lorentzovu transformai Řešení: Má-li platit prinip relativity (ve všeh ineriálníh souřadniovýh soustaváh dopadnou mehaniké a elektromagnetiké děje stejně) a prinip konstantní ryhlosti světla musíme připustit že časové a prostorové souřadnie se transformují od soustavy k soustavě Uvažujme obenou lineární transformai t = At + Ax (71) 1 a inverzní transformai x = At + Ax (7) 3 4 t = At + Ax (73) 5 6 x = At + Ax (74) 7 8 Pro pomalé ryhlosti by měla tato transformae přejít v Galileovu transformai t = t (75) x = x - vt (76) t = t (77) x = x + vt (78) Toho můžeme využít u prostorovýh závislostí a hledanou transformai upravit do tvaru t = At + Ax 1 (79) x = g( x - vt) (710) t = At + Ax (711) 5 6 x = g ( x + vt ) (71) Pro malé ryhlosti musí γ1 A 1 A 5 1 a A A 8 0 Namísto osmi hledáme již jen pět koefiientů Pokud blikne v okamžiku kdy se soustavy míjejí v počátku obou soustav baterka uvidí z obou soustav pozorovatelé kulové vlnoplohy a pro šíření ve směru x bude platit x = t respektive x' = t' Vztahy dosadíme do všeh rovni: t = At + At (713) 1 t = g( t - vt) (714) t = At + At (715) 5 6 t = g ( t + vt ) (716)

9 Vynásobením (714) a (716) máme relai ze které snadno určíme = g ( + v)( - v) (717) g = v / (718) Transformae (79) (710) a (711) (71) musí být navzájem inverzní odsud plyne æ A A ö æa A ö æ1 0ö gv g = gv g (719) ç- ç ç0 1 è ø è ø è ø Z členu 1 určíme konstantu A 5 a z členu A 6 : A A v = g; = g / (70) 5 6 Ze symetrie mezi přímou a inverzní transformaí (v v t t' x x') pak plyne Výsledná transformae tedy je A A v = g; =- g / (71) 1 t = x = t - vx/ 1 - v / x - vt 1 - v / y = y z = z (7) Inverzní transformae má tvar: t + vx / t = 1 - v / x = x + vt 1 - v / y = y (73) z = z Transformae ryhlostí Zadání: Z Lorentzovy transformae nalezněte vztah pro skládání ryhlostí Řešení: Ryhlost částie v soustavě S je dána vztahem dx u º dt Čitatele i jmenovatele nalezneme diferenováním přímé Lorentzovy transformae (7):

10 dx ( ) v dx d ég x t ù - ê dx vdt u v u ë - v - dt - ú º = û = = = dt d ég( t x/ ) ù dt vdx/ dx ê - v - 1 -uv/ ë úû 1 - v dt Výsledný vztah je relativistiké skládání ryhlostí Uveďme přímý i inverzní vztah: u - v u = 1 - uv/ u + v u = 1 + uv / (74) 3 Částie s malou ryhlostí Zadání: V soustavě S nalezněte ryhlost částie pohybujíí se malou ryhlostí v soustavě S Vzájemná ryhlost soustav je ve srovnání s ryhlostí světla nízká (předpokládejte u v ) a pohyb ve směru ve směru vzájemné ryhlosti obou soustav Řešení: u + v u º» u + v 1 + uv / Pro pomalé ryhlosti platí Galileovo skládání ryhlostí 4 Částie s ryhlostí světla Zadání: Předpokládejte že se částie z předhozího příkladu pohybuje ryhlostí světla ( u ) Nalezněte výslednou ryhlost částie Řešení: u + v + v + v u º» = = 1 + uv / 1 + v/ ( + v)/ Částie pohybujíí se v jedné soustavě ryhlostí světla se i z hlediska libovolné další soustavy pohybuje ryhlostí světla Takto se v Lorentzově transformai odráží prinip konstantní ryhlosti světla 5 Jak dopadne +? Zadání: Předpokládejte že se částie pohybuje ryhlostí světla (u ) a že vzájemná ryhlost obou soustav je také rovna ryhlosti světla ( v ve skutečnosti by tento limitní případ pro materiální souřadniové soustavy nebylo možné realizovat) Nalezněte výslednou ryhlost částie Řešení: u v u 1 uv / 1 / Výsledná ryhlost je opět rovna ryhlosti světla kterou nelze překročit při pohybu materiálníh objektů které jsou shopny přenést informai